Integración de funciones de una variable

Transcripción

1 Integrción de funciones de un vrible Tem 3 En el cpítulo nterior nos interesmos en el siguiente problem: dd un función, hllr su derivd. Sin embrgo, muchs plicciones importntes del cálculo están relcionds con el problem inverso, esto es, dd un función, clculr un nuev cuy derivd se l función inicil. Este proceso de cálculo llmdo integrción será desrrolldo lo lrgo de este cpítulo, el cul es dividido en dos prtes fundmentles:. Cálculo de primitivs: En est primer prte nos centrremos en cómo resolver el problem de cálculo nterior. Es decir, dd un función rel de un vrible rel f : I R, definid en el intervlo I, estudiremos diferentes métodos pr conseguir un nuev función F : I R que se derivble y cumpl que F (x f (x, pr todo x I. En tl cso diremos que F es un primitiv de f.. Aplicciones: En l segund prte del tem estudiremos lguns plicciones de interés del cálculo de primitivs. Hllremos áres comprendids entre dos curvs, longitudes de curvs, y áre y volumen encerrdo por un superficie de rotción. 3. Cálculo de primitivs. Integrl indefinid Comenzremos fijndo ls ides del problem que pretendemos resolver: Dd un función rel de vrible rel f : I R definid sobre un intervlo I queremos encontrr un función derivble F : I R tl que F (x f (x, pr todo x I. Definición 44 (Primitiv de un función Un función F(x que resuelv el problem nterior será llmd un primitiv de f (x. Por ejemplo, supongmos que queremos clculr un primitiv de l función f (x x. Entonces, de lo prendido en el tem nterior sbemos que l función F(x x es un primitiv de f (x y que F (x (x x f (x. De l mism mner l función G(x x + es tmbién un primitiv de f (x y que G (x (x + x f (x. Observemos del ejemplo nterior que un vez que uno obtiene un primitiv F(x de l función f (x definid sobre un intervlo I, entonces l nuev función F(x +C es tmbién un primitiv de f (x, pr 59

2 6 3.. Cálculo de primitivs. Integrl indefinid culquier constnte C. De hecho, un vez conocid un primitiv de un función, culquier otr primitiv es igul l nterior slvo un constnte. Esto lo expresmos en el siguiente resultdo: Resultdo Se f : I R un función definid en un intervlo I y F : I R un primitiv suy. Entonces culquier otr primitiv de f (x es de l form F(x +C, donde C es un constnte rel. Utilizremos el término integrl indefinid de l función f (x l conjunto de tods sus primitivs. A dicho conjunto lo denotremos por f (xdx. Así, si F(x es un primitiv de f (x escribiremos f (xdx F(x +C, y que por el resultdo nterior tods ls primitivs de f (x son igules F(x slvo constnte C. Por ejemplo, sbemos del cálculo básico de derivds que un primitiv de f (x cosx es l función F(x senx y que F (x (senx cosx f (x. Por tnto, usremos l notción cosxdx senx +C, pr indicr que el conjunto de tods ls primitivs de f (x cosx viene ddo por ls funciones de l form sen x +C. Hemos de observr que el cálculo de primitivs prece de mner nturl en muchos problems de l Físic, Químic, Biologí, etcéter. Un ejemplo elementl de esto ocurre cundo conocemos l velocidd de un cuerpo móvil, v(t, que depende del tiempo y queremos clculr el espcio, s(t, que el móvil h recorrido. Y que v(t s (t, tenemos que s(t es un primitiv de v(t. EJEMPLO Supongmos que l velocidd de un cuerpo móvil viene dd en función del tiempo por l función v(t t, donde t es el tiempo medido en segundos y l velocidd está medid en metros por segundo. Si pr el tiempo t s conocemos que el móvil h recorrido 3 m, vemos cuántos metros h recorrido pr t 4s. Como hemos visto nteriormente, s(t es un primitiv de v(t y sbemos que el conjunto de tods ls primitivs de l función t es v(t dt t dt t +C. Así, s(t t +C pr un ciert constnte C que hemos de determinr. Como sbemos que 3 s( +C, deducimos que C, con lo que s(t t +. Como querímos clculr los metros recorridos pr t 4s, tenemos que s( , es decir, h recorrido 8m pr el tiempo t 4s.

3 Tem Integrles inmedits y propieddes elementles En el tem nterior prendimos hllr ls derivds de lguns funciones elementles. Y que el cálculo de primitivs es un proceso inverso, podemos conocer ls integrles indefinids de cierts funciones. Recordmos ls integrles indefinids que debemos conocer en l siguiente tbl: INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES: Función Integrl indefinid Función Integrl indefinid C x +C x n (n x n+ n + +C x e x e x +C x ( > ln x +C x ln +C cosx senx +C senx cosx +C cos x + tg x tgx +C x sen x + cotg x cotgx +C rcsenx +C rccosx +C + x rctgx +C Además pr comenzr nuestro cálculo de primitivs nos será útil observr lguns propieddes elementles de ls integrles. Pr ello tenemos en cuent ls siguientes propieddes de ls funciones derivbles:. (F(x + G(x F (x + G (x,. (F(x F (x, R. A prtir de ésts deducimos el siguiente resultdo pr integrles indefinids: Resultdo L integrl indefinid verific ls siguientes propieddes:. ( f (x + g(xdx f (xdx + g(x dx.. Ddo un número rel se tiene que ( f (xdx f (xdx. Es muy importnte que tengmos en cuent que en generl csi nunc es cierto que ( f (xg(xdx f (xdx g(x dx. Por tnto, hemos de recordr que unque es propiedd se ciert pr l sum, no lo es pr el producto. Así, l integrl de un producto no es, en generl, el producto de ls integrles.

4 6 3.. Cálculo de primitivs. Integrl indefinid Vemos en unos ejemplos cómo usr todo lo nterior pr el cálculo de primitivs. EJEMPLOS del uso de ls regls básics de integrción Ejemplo : Pr el cálculo de l integrl indefinid de l función 6x usremos l segund propiedd del resultdo nterior pr reducirl un inmedit, como sigue: 6x dx 6 x dx 6 x3 3 +C x3 +C. Ejemplo : En éste y los siguientes ejemplos reescribiremos l integrl dd pr convertirl en inmedit: x dx x dx x +C x +C. Ejemplo 3 : Ejemplo 4 : xdx 3 + x dx 3 x / dx x3/ 3/ +C x 3 3 +C. + x dx 3 rctgx +C. El resultdo nterior nos d un mner de conseguir un integrl indefinid pr todo polinomio como sigue: EJEMPLOS de integrción de polinomios Ejemplo : Ejemplo : (x 7dx xdx (5x 7x + 3dx 5 7dx x 7x +C x 7x +C. x dx 7 xdx + 3dx 5 x3 3 7 x + 3x +C. Vemos hor cómo veces se puede modificr l expresión de un función pr trnsformrl de form que su integrl indefinid se inmedit: EJEMPLOS de trnsformción de un función pr integrr Ejemplo : x x ( + x dx + + x dx x rctgx +C. + x dx dx + x dx Ejemplo : x + dx x ( x + dx x x xdx + dx + ln x +C. x

5 Tem Integrción por sustitución o cmbio de vrible L regl de l cden pr l derivd firm que (F g (x F (g(xg (x. Por tnto, y que el proceso de integrción es un proceso inverso l de l derivd obtenemos el siguiente resultdo. Teorem Sen f un función continu y g un función derivble. Si F es un primitiv de f, entonces se tiene que f (g(xg (xdx F(g(x +C. Aunque el enuncido de este resultdo pued precer complejo, se interpret de l siguiente mner. Si tommos, y g(x entonces dy dx g (x y podemos escribir formlmente dy g (xdx. De est mner l integrl del teorem nterior se puede entender de form sencill hciendo ls sustituciones nteriores como f (g(xg (xdx f (ydy. Ahor si usmos que F es un primitiv de f obtenemos f (g(xg (xdx f (ydy F(y +C F(g(x +C. A l sustitución y g(x se le suele denominr cmbio de vrible. EJEMPLOS de cmbio de vrible Ejemplo : En ést y ls siguientes integrles hremos un cmbio de vrible del tipo y g(x pr reducir l integrl un estudid en l sección nterior: { } y x cos(xdx cosy dy dy dx seny +C sen(x +C. Ejemplo : Ejemplo 3 : e x { y e x dx + ex dy e x dx tgxdx { senx cosx dx } + y dy rctgy +C rctg(ex +C. y cosx dy senxdx } dy ln y +C y Ejemplo 4 : ln cosx +C. 3x 6x x 3 3x + dx { y x 3 3x + dy (3x 6xdx } dy ln y +C y Ejemplo 5 : 3x + dx { y 3x + dy 3dx 9 ln x 3 3x + +C. } (3x + 3 +C. y dy 3 3 y / dy 3 y 3/ 3/ +C

6 Cálculo de primitivs. Integrl indefinid Ejemplo 6 : Ejemplo 7 : x x + 3dx { y x + 3 dy xdx } y dy y / dy y 3/ 3/ +C (x C. x { } y x x dx (y + ydy (y 3/ + y / dy dy dx 3..3 Integrción por prtes y5/ 5/ + y3/ 3/ +C (x (x 3 3 +C. Sen u(x, v(x dos funciones derivbles sobre un intervlo I. Sbemos que l derivd del producto viene dd por (u(xv(x u (xv(x + u(xv (x. Así, integrndo l iguldd nterior y despejndo obtenemos Teorem Integrción por prtes Dds dos funciones derivbles u,v : I R sobre un intervlo I se tiene que u(xv (xdx u(xv(x v(xu (xdx. En generl, est fórmul se us pr funciones integrr que son vists como un producto de dos funciones. El resultdo nterior nos firm que l integrl l izquierd de l iguldd puede ser clculd si se conoce el vlor de l integrl de l derech. L elección decud de ls funciones u(x y v(x puede llevrnos simplificr o complicr l integrl clculr, por eso consejmos que como regls generles se sign los siguientes criterios:. Intentr que v (x se l prte más complicd de l integrl y que se just un integrl conocid (es decir, podemos conocer v(x.. Trtr que u(x stisfg que su derivd u (x es un función más simple que l propi función inicil u(x. Aunque ésts son sugerencis generles del uso del método de integrción por prtes, debemos tener en cuent que en ciertos csos otro tipo de elección pr u y v puede simplificr más l integrción. EJEMPLOS de integrción por prtes Ejemplo : Pr resolver l siguiente integrl usremos un elección decud de u y v siguiendo ls recomendciones nteriores: { v xcosxdx } (x cosx, v(x senx u(x x, u x senx senxdx x senx+cosx+c. (x Ejemplo : Análogmente, pr l siguiente integrl tenemos { xe x v dx (x e x, v(x e x } u(x x, u xe x e x dx xe x e x +C. (x

7 Tem 3 65 EJEMPLO de integrción por prtes reiterd En lgunos csos l integrl puede clculrse un vez que l integrción por prtes se us más de un vez: { x v cosxdx } (x cosx, v(x senx u(x x, u x senx x senxdx. (x x Ahor clculmos est últim integrl usndo de nuevo el método de integrción por prtes: { v x senxdx } (x senx, v(x cosx u(x x, u x cosx + cosxdx x cosx + senx +C. (x Por tnto obtenemos, x cosxdx x senx + x cosx senx +C. EJEMPLOS de integrción por prtes de tipo especil Ejemplo : En cierts situciones l integrción por prtes puede ser útil incluso cundo l función integrr no prece ser producto de dos: { v lnxdx } (x, v(x x u(x lnx, u x lnx dx x lnx x +C. (x /x Ejemplo : L situción nterior tmbién se d pr l siguiente integrl { v rctgxdx } (x, v(x x u(x rctgx, u (x /( + x x rctgx x + x dx. Ahor, clculmos l integrl de l derech por cmbio de vrible { } x y + x + x dx dy xdx y dy ln y +C ln( + x +C, con lo que tenemos rctgxdx x rctgx ln( + x +C. Ejemplo 3 : En el uso de integrción por prtes puede precer en el término de l derech un integrl que es proporcionl l integrl inicil. Vemos un ejemplo de esto y cómo resolverlo: { e x v cosxdx (x e x, v(x e x } u(x cosx, u e x cosx + e x senxdx (x senx { v (x e x, v(x e x u(x senx, u (x cosx } e x cosx + e x senx Despejndo l integrl, obtenemos que e x cosxdx (ex cosx + e x senx. e x cosxdx.

8 Cálculo de primitivs. Integrl indefinid 3..4 Integrción de funciones rcionles En est sección nos centrremos en l integrción de funciones rcionles, es decir, en l integrción del cociente de dos polinomios. Pr ello comenzremos observndo cómo conseguir l integrl indefinid de lguns funciones rcionles elementles y después bordremos el cso generl. Funciones rcionles sencills Consideremos primero ls siguientes funciones rcionles elementles: A x + b, A (x + b n, Ax + B x + bx + c, pr cierts constntes reles A,B,,b,c y número nturl n. En l tercer función rcionl supondremos que el polinomio x + bx + c no tiene ríces reles. Ahor explicremos cómo se pueden integrr dichs funciones pr culquier vlor de ls constntes nteriores. L primer integrl puede ser hech con el cmbio de vrible y x + b como sigue { A y x + b x + b dx dy dx } A y dy A ln y +C A ln x + b +C. EJEMPLO { 3 y x x dx dy dx } 3 y dy 3 ln y +C 3 ln x +C. Pr l integrl de l función rcionl A/(x + b n con n se puede hcer el cmbio de vrible y x + b: { A y x + b (x + b n dx dy dx } A y n dy A y n n +C A (x + b n +C. n EJEMPLO { 4 y x + (x + 3 dx dy dx } 4 y 3 dy 4 y +C (x + +C. Pr l integrl de l función (Ax+B/(x +bx+c escribiremos el numerdor como un constnte por l derivd del denomindor más un constnte, es decir, Ax + B x + bx + c α x + b x + bx + c + β x + bx + c. Aquí, α y β son constntes que vlen, respectivmente, A/( y (B ba/(.

9 Tem 3 67 Un vez que est función rcionl está dividid como sum de dos, l integrción se hrá pr cd un de ells de mner independiente. L primer se integrrá con un cmbio de vrible: { x + b y x x + bx + c dx } + bx + c dy (x + bdx y dy ln y +C ln x + bx + c +C. Pr l segund, observmos que el polinomio x + bx + c se puede escribir de l form α ((x + β + γ. Pr ello igulmos los dos polinomios y resolvemos, obteniendo α, β b/( y γ (4c b /(4. Tengmos en cuent que γ > y que b 4c < porque el polinomio x +bx+c no tiene ríces reles. Hecho esto, hcemos un cmbio de vrible pr poder integrr como un rcotngente: x + bx + c dx α (x + β dx + γ α γ γ + dx ( x+β { y x+β γ dy γ dx } γ α γ y + dy rctgy +C ( x + β rctg +C. α γ α γ γ EJEMPLOS Ejemplo : Clculemos l integrl de l función rcionl f (x x 6x + 3. Primero hemos de segurrnos que el polinomio de segundo grdo x 6x + 3 no tiene ríces reles, pr ver que podemos usr el método nterior. Pr ello bst resolver el sistem x 6x + 3 : x ( 6 ± ( ± 6. Como 6 no es un número rel, nuestro polinomio no tiene ríces reles y, por tnto, podemos usr el método nterior. Por tnto, escribimos Es fácil ver entonces que α y β. Ahor escribimos x 6x + 3 α x 6 x 6x β x 6x + 3. x 6x + 3 α ((x + β + γ y clculmos el vlor de ls incógnits α,β,γ. Desrrollndo: x 6x + 3 α ((x + β + γ α x + α β x + α (β + γ. Por tnto, α, β 3 y γ 4. Con lo que nuestr integrl clculr qued de l siguiente mner: x 6x + 3 dx (x dx { } y (x 3/ ( x 3 + dx dy (/dx y dy rctgy +C rctg + ( x 3 +C.

10 Cálculo de primitivs. Integrl indefinid Ejemplo : Clculemos hor l integrl indefinid de l función g(x 3x 5 + x + x. Es fácil ver que no existen ríces reles del polinomio 5 + x + x por lo que podemos usr el método explicdo nteriormente. Primero descomponemos l función rcionl g(x de l form 3x 5 + x + x α + x 5 + x + x + β 5 + x + x. Es directo ver que α 3/ y β 4. Por tnto, 3x 5 + x + x dx 3 + x 5 + x + x dx x + x dx. Ahor clculmos ls dos integrles de l derech de form independiente: { } + x y 5 + x + x 5 + x + x dx dy ( + xdx y dy ln y +C ln(5 + x + x +C. Y pr poder relizr l segund integrl necesitmos expresr l últim frcción de l form 5 + x + x α ((x + β + γ. Desrrollndo obtenemos que α, β y γ 4. Así, 5 + x + x dx (x dx 4 y + dy rctgy +C rctg ( x+ ( x + Por tnto, l integrl que querímos resolver qued 3x 5 + x + x dx 3 + x 5 + x + x dx + 4 ( x + + rctg +C. Ejemplo 3 : Clculemos hor l integrl indefinid de l función h(x + x + x + x. dx + +C. { y (x + / dy (/dx 5 + x + x dx 3 ln(5 + x + x + Y que + x + x no tiene ríces reles, descomponemos l función rcionl h(x de l form + x + x + x α + x + x + x + β + x + x. Es directo ver que α / y β /. Por tnto, + x + x + x dx + x + x + x dx + + x + x dx. }

11 Tem 3 69 Ahor clculmos ls dos integrles de l derech de form independiente: { } + x y + x + x + x + x dx dy ( + xdx y dy ln y +C ln( + x + x +C. Pr poder relizr l segund integrl necesitmos expresr l últim frcción de l form + x + x α ((x + β + γ. Desrrollndo obtenemos que α, β / y γ 3/4. Así, + x + x dx 3 (x + / + 3/4 dx 4 3 { y (x + / 3 ( dx x+ dy (/ 3dx 3 + y + dy rctgy +C ( x + rctg +C } Por tnto, l integrl de h(x qued + x + x + x dx + x + x + x dx + + x + x dx ln( + x + x + + ( x + rctg +C. 3 3 Funciones rcionles generles Lo primero que se h de tener en cuent pr conseguir l integrr indefinid de un función rcionl R(x N(x D(x es que el polinomio del numerdor N(x h de tener menor grdo que el polinomio del denomindor D(x. Si éste no fuese el cso, hrímos l división de los polinomios obteniendo un cociente C(x y un resto r(x. Así, N(x C(xD(x + r(x y R(x C(x + r(x D(x. De est mner nos quedrí un polinomio C(x más un función rcionl r(x/d(x donde el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. EJEMPLO Clculemos l integrl indefinid de l función rcionl f (x + 4x x + 4x 3 + x. Y que el grdo del polinomio del numerdor no es menor que el del denomindor hcemos l división de + 4x x + 4x 3 entre + x. Un clculo sencillo nos d que + 4x x + 4x 3 ( + 4x( + x +.

12 7 3.. Cálculo de primitivs. Integrl indefinid Por tnto, Con lo que + 4x x + 4x 3 + x + 4x + + x. + 4x x + 4x 3 + x dx ( + 4xdx + + x dx x + x + rctgx +C. Un vez tenido en cuent el primer pso pr l integrción de un función rcionl, supondremos de hor en delnte que el grdo del numerdor es menor que el del denomindor, y estudiremos este tipo de integrl indefinid. Pr ello usremos el siguiente resultdo que nos firm que bjo cierts condiciones nuestr función rcionl puede descomponerse como sum de funciones rciones que sbemos integrr. Así, l integrción de l función inicil se reducirá l integrción de cd uno de los sumndos. Teorem Consideremos l función rcionl R(x N(x D(x donde el grdo del polinomio N(x es menor que el grdo del polinomio D(x. Sen,..., n ls ríces reles de D(x con multipliciddes respectivs r,...,r n, y supongmos que D(x se puede descomponer de l form D(x d(x r...(x n r n (x + b x + c...(x + b m x + c m donde ningún fctor cudrático se repite. Entonces l función rcionl puede escribirse de l form N(x D(x A + A x (x A r (x r A n + A n x n (x n A nr n (x n r + n pr cierts constntes reles A i j,b i,c i. + B x +C x B m x +C m + b x + c x, + b m x + c m EJEMPLOS Ejemplo : Clculemos l integrl de l función rcionl x. Y que el polinomio x tiene ríces reles y, mbs de multiplicidd uno, escribimos x (x (x +. Por tnto, usndo el resultdo nterior obtenemos que x A x + B x + pr cierts constntes A y B que debemos determinr.

13 Tem 3 7 Pr el cálculo de ests constntes desrrollmos l iguldd y obtenemos Esto es, A / y B /. A(x + + B(x x x De est mner l integrl indefinid qued x dx x dx + x + ln x +C. Ejemplo : Clculmos hor l integrl indefinid de l función rcionl (A + Bx + (A B x. x + dx ln x + ln x + +C 3x x 6x + 9. Primero observmos que el polinomio x 6x + 9 tiene como ríz l número 3 y con multiplicidd. De hecho tenemos que x 6x + 9 (x 3, sí que por el resultdo nterior existen dos números reles A,B tles que 3x x 6x + 9 A x 3 + B (x 3. Desrrollndo l iguldd se obtiene fácilmente que A 3 y B 9. Por tnto, nos quedn dos integrles rcionles sencills que y sbemos resolver: 3x x 6x + 9 dx 3 x 3 dx dx 3 ln x 3 (x 3 x 3 +C. Ejemplo 3 : Vemos cómo conseguir l integrl indefinid de l siguiente función rcionl f (x 9 8x 4x 4x 3 + 4x 4 4 6x + x 3. Y que el grdo del numerdor no es menor que el del denomindor lo primero que debemos hcer es l división de mbos polinomios. Al hcer dich división nos qued: y sí Por tnto, 9 8x 4x 4x 3 + 4x 4 ( + 7x( 4 6x + x 3 + ( x, f (x + 7x + f (xdx x + 7 x + x 4 6x + x 3. x 4 6x + x 3 dx. Ahor tenemos que clculr l integrl de l derech que es de un función rcionl donde el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. Comenzmos clculndo ls ríces del polinomio 4 6x+x 3. Es fácil ver usndo l regl de Ruffini que el polinomio tiene sus tres ríces reles. Ests ríces son el y el con multiplicidd doble.

14 7 3.. Cálculo de primitivs. Integrl indefinid Entonces el resultdo nterior nos firm que existen constntes A,B,C tles que x 4 6x + x 3 A x + + B (x + + C x. Si resolvemos l iguldd nterior obtenemos que A /6, B / y C /6. De est mner x 4 6x + x 3 dx 6 x + dx L integrl indefinid de f (x entonces nos qued (x + dx 6 6 ln x + + (x + ln x +C. 6 x dx f (xdx x + 7 x + 6 ln x + + (x + ln x +C. 6 Ejemplo 4 : Clculmos hor un primitiv de l función rcionl g(x + 33x + 6x x 3 + 4x 4 x (5 4x + x ( + x + x. Observmos primero que el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. Además el denomindor y está descompuesto como producto de polinomios: x ( 5 4x + x ( + x + x donde los dos términos cudráticos no tienen ríces reles. Por tnto, el resultdo nterior nos dice que nuestr función rcionl puede ser descompuest de l siguiente mner + 33x + 6x x 3 + 4x 4 x (5 4x + x ( + x + x A x + Bx +C 5 4x + x + Dx + E + x + x, pr cierts constntes reles A,B,C,D,E. Resolviendo el sistem obtenemos que A,B,C,D 6,E 7. Ahor debemos integrr de mner independiente ls tres funciones rcionles que nos hn queddo usndo los métodos que conocemos. L primer es direct: dx ln x +C. x Pr resolver l segund, hemos de descomponer de l form 4 + x α 5 4x + x 5 4x + x + β 5 4x + x. Pero es obvio que en este cso α y β. Así, l integrl debe ser de tipo rcotngente y qued 5 4x + x dx (x dx rctg(x +C. +

15 Tem 3 73 Pr l tercer función rcionl, donde α 3 y β. Por tnto, 6x x + x dx 3 6x x + x α + x + x + x + β + x + x, + + x + x + x dx + + x + x dx 3 ln( + x + x + (x + + dx 3 ln( + x + x + rctg(x + +C. Nuestr integrl qued sí como g(xdx ln x + rctg(x + 3 ln( + x + x + rctg(x + +C Integrción de funciones rcionles trigonométrics Cundo intentmos clculr un primitiv de un función que sólo depende de senx y cosx es recomendble, en generl, hcer un cmbio de vrible del tipo y senx, o bien, y cosx que suele simplificr l integrl, donde normlmente yud tener en cuent l relción sen x + cos x. Aunque es importnte sber que esto no siempre funcion. EJEMPLOS Ejemplo : Ejemplo : senx( + cosxdx { y cosx dy senxdx cosx cos x cos 3 x ( sen + sen x dx xcosx + sen x ( + +C. + y senx + rctg(senx +C. } ( + ydy y y +C { y senx dx dy cosxdx dy y + rctgy +C } y + y dy En el cso prticulr en el que queremos clculr un primitiv de l función f (x sen n xcos m x, podemos seguir el siguiente criterio: si n es impr hcemos el cmbio de vrible y cosx; si m es impr hcemos el cmbio y sen x; si n y m son pres, l integrl puede ser simplificd usndo ls igulddes cos x + cos(x, sen x cos(x.

16 Cálculo de primitivs. Integrl indefinid EJEMPLOS Ejemplo : En este primer cso usremos el cmbio y senx y que el exponente en cosx es impr: sen 4 xcos 3 xdx { sen 4 x( sen y senx xcosxdx dy cosxdx } y 4 ( y dy y5 5 y7 7 +C 5 sen5 x 7 sen7 x +C. Ejemplo : En este segundo cso mbos exponentes son pres y podemos reducirl como sigue: ( cos(x sen 4 xcos xdx (sen x cos + cos(x xdx dx ( cos(x cos (x + cos 3 (xdx (x 8 8 sen(x cos (xdx+ + cos 3 (xdx. De est mner, l integrl que queremos clculr qued simplificd dos integrles más sencills que podemos hllr usndo los métodos nteriores. L primer, teniendo en cuent que el exponente es pr y l segund con el cmbio y sen(x y que el exponente en cos(x es impr. cos (xdx cos 3 (xdx ( x + sen(4x + cos(4x dx 4 { ( sen (xcos(xdx ( y dy y y3 6 +C, +C sen(x y sen(x dy cos(xdx sen3 (x 6 } +C. Finlmente, sen 4 xcos 3 xdx 6 x 48 sen3 (x sen(4x +C. 64 Cundo los cmbios de vrible nteriores no funcionn, podemos usr l sustitución: ( x y tg. Así, usndo lguns igulddes trigonométrics básics del ángulo doble tenemos que: ( x ( x ( x senx sen cos tg cos ( x tg( x + tg ( x y + y, ( cosx cos x ( sen x ( tg ( x cos ( x ( tg x + tg ( x y + y.

17 Tem 3 75 Además, y que x rctgy obtenemos que dx + y dy. En prticulr, si l función l que queremos clculrle l primitiv es un cociente de dos polinomios, mbos dependientes de ls vribles senx y cosx, entonces después del cmbio de vrible reduciremos l integrl un que es de tipo rcionl en l vrible y. EJEMPLOS de cmbio de vrible y tg(x/ Ejemplo : Consideremos el cmbio de vrible y tg(x/ en l siguiente integrl 3 senx + 4cosx dx 3 y +y + 4 y +y + y dy + 3y y dy Y que el polinomio + 3y y tiene como ríces reles simples y /, escribimos + 3y y A y + de donde deducimos que A /5 y B /5. Así, + 3y y dy 5 y dy + 5 B y +, y + dy 5 ln y + 5 ln y + +C. Con lo que podemos concluir que ( tg x 3 senx + 4cosx dx 5 ln + ( x 5 ln tg + +C. Ejemplo : Tommos y tg(x/: cosx dx y + y dy +y y dy Como el polinomio y tiene como ríces reles simples y, podemos escribir de donde deducimos que A y B. De est form, y dy y A y + B y +, y dy + dy ln y + ln y + +C. y + Por tnto, ( tg x ( cosx dx ln x + ln tg + +C.

18 Cálculo de primitivs. Integrl indefinid 3..6 Integrción de funciones con rdicles cudráticos Trtremos hor l cuestión de encontrr un primitiv pr un función donde prece un ríz cudrd de un polinomio de segundo grdo del tipo x + bx + c, pr cierts constntes reles,b,c, con. En este cso escribiremos el polinomio x + bx + c de l form x + bx + c ( (x + α + β pr cierts constntes α,β y rzonremos según sen los signos de y β.. Si y β son positivos, entonces expresremos nuestro polinomio como x + bx + c ( (x + α + β ( β x + α +. β El cmbio de vrible que tomremos será (x + α/ β senhy. En este cso usremos que senh y + cosh y.. Si es positivo y β es negtivo, entonces teniendo en cuent que β es positivo expresremos el polinomio de l form x + bx + c ( (x + α + β ( ( β x + α. β El cmbio de vrible que hremos será x + α / β coshy. Además, necesitremos usr que cosh y senh y. Es importnte observr que pr culquier número t se tiene que cosht. Por ello el cmbio de vrible nterior será: x + α β coshy, si x + α β > ; x + α β coshy, si x + α β >. 3. Si es negtivo entonces β h de ser negtiv, y que en cso contrrio tendrímos l ríz de un número negtivo. Expresmos entonces nuestro polinomio como x + bx + c ( (x + α + β ( x + α β +. β Hremos l sustitución (x + α/ β igul cosy, o bien, seny. Además, usremos que sen y + cos y. 4. Si β tenemos l ríz de un número l cudrdo y, por tnto, podemos eliminr l ríz y que en este cso debe ser positivo y x + bx + c (x + α x + α. Es decir, en este cso sólo simplificmos l función con l que trbjmos, pero no hce flt ningún cmbio de vrible.

19 Tem 3 77 EJEMPLOS Ejemplo : Comenzmos con un ejemplo sencillo donde el polinomio de grdo bjo l ríz y se encuentr en l form decud pr hcer el cmbio de vrible que necesitmos: { } x senhy dx + x dx coshydy + senh y coshydy dy y +C rcsenh x +C. Ejemplo : Consideremos hor un cso en el que es necesrio expresr de mner decud el polinomio de grdo bjo l ríz. Clculmos l integrl indefinid de f (x + x + x. Entonces escribimos + x + x (x + α + β, donde es fácil ver que α / y β 3/4. Por tnto, ( + x + x x Así, l integrl y podemos clculrl como sigue: ( (x x + x dx 3 3 senh y + ( x + { (x + / 3 senhy + dx 3 (/ 3dx coshydy 3 coshydy 3 4 cosh ydy. } Ahor, usndo l definición de coseno hiperbólico tenemos: ( e cosh y + e y y ey + + e y ( + ey + e y 4 Con esto, + x + x dx 3 + cosh(y dy ( rcsenh ( y + senh(y ( x + + ( 3 senh rcsenh ( x + 8 rcsenh + x + + x + x 3 4 +C. + cosh(y. +C ( x + +C 3 En est últim iguldd hemos usdo que senh( rcsenh t t +t pr culquier número t. Ejemplo 3 : Vemos hor cómo clculr un primitiv de l función f (x / x + x. Antes de nd observmos que el dominio de definición de l función f (x son los puntos donde x +x >. Es fácil ver, siguiendo lo prendido en tems nteriores, que el dominio de f (x es el conjunto (, (,. Y que el proceso de integrción se reliz en intervlos,

20 Cálculo de primitivs. Integrl indefinid puede ocurrir que l expresión de l primitiv en uno de los dos intervlos nteriores no coincid con l primitiv en el otro intervlo. Siguiendo el método explicdo nteriormente escribimos el polinomio bjo l ríz de l siguiente mner: x + x (x + α + β, donde es inmedito ver que α y β. Un vez que tenemos que x + x (x +, el cmbio de vrible que hemos de elegir será x + coshy. Así, distinguiremos según x + ó (x + se myor que uno. Observemos que x + > si y sólo si x >, es decir, cundo nos encontrmos en el intervlo de definición (,. Análogmente, (x + > si y sólo si x <, esto es, cundo nos encontrmos en el otro intervlo (, donde f (x está bien definid. Clculemos primero l integrl indefinid de f (x en el intervlo (,, es decir, cundo x + > : { } x + coshy x + x dx dx senhydy cosh y senhydy dy y +C rccosh(x + +C. Clculmos hor l integrl indefinid de f (x en el intervlo (,, o equivlentemente, cundo (x + > : { } (x + coshy x + x dx dx senhydy cosh y ( senhydy dy y +C rccosh( x +C. Ejemplo 4 : En el siguiente ejemplo clculremos l integrl de l función g(x 3x + 9x 6x. De nuevo, es fácil ver que el dominio de l función no es todo R, por lo que posiblemente l integrl indefinid puede vrir según el intervlo en el que vríe x. Primero escribimos el polinomio bjo l integrl de l form 9x 6x 9 ( (x + α + β, de donde α /3 y β /9. Por tnto, nos qued ( ( 9x 6x 9 x (3x. 3 9 Así que el cmbio de vrible que hemos de hcer es 3x coshy cundo 3x >. Distinguiremos por tnto según el signo del vlor bsoluto. Si 3x > o equivlentemente x > /3 obtenemos ( { } 3x coshy 3x + 9x 6x dx 3dx senhydy ( senhy coshy + cosh y 3 3 (coshy senhy + senh y dy. dy

21 Tem 3 79 Si usmos l definición de coseno y seno hiperbólicos tenemos: coshy senhy ey + e y e y e y ey e y 4 senh(y, ( e senh y e y y ey + e y ( + ey + e y 4 De est form coshy senhydy senh(ydy cosh(y +C, 4 senh ydy ( + cosh(ydy ( y + senh(y + cosh(y. +C, y sí ( 3x + 9x 6x dx (cosh( rccosh(3x + senh( rccosh(3x + rccosh(3x +C 6 ( + (3x + (3x (3x rccosh(3x +C. 6 Aquí hemos usdo que pr todo número rel t con t se cumple que cosh( rccosh t + t y senh( rccosh t t t. Análogmente, si (3x > (esto es, en el intervlo (, se obtiene, hciendo el cmbio de vrible (3 x cosh y, que ( 3x + 9x 6x dx (cosh( rccosh( 3x senh( rccosh( 3x + + rccosh( 3x +C 6 ( + ( 3x + ( 3x + ( 3x + rccosh( 3x +C. 6 Ejemplo 5 : Clculemos hor l integrl indefinid de l función h(x x / x. Lo primero que hemos de observr es que el dominio de definición de l función viene ddo por los puntos donde x >, esto es, el dominio es el intervlo (,. Por tnto, buscmos l integrl en dicho intervlo bierto. Como el polinomio que hy bjo l ríz y está expresdo de mner decud pr relizr el cmbio de vrible, tenemos x { x seny dx x dx cosydy cos(y ( rcsenx } dy sen y sen y cosydy ( y sen(y sen( rcsenx +C. +C sen ydy

22 8 3.. Integrl definid y áre de un gráfic Consideremos hor l función / x x y clculemos su integrl indefinid. Es fácil ver que el dominio de definición de l función es el intervlo (,, y pr hcer el cmbio de vrible correspondiente expresmos el polinomio cudrático bjo l ríz como: x x ((x + α + β, donde α / y β /4. Entonces tenemos x x ( ( x ( (x El cmbio que hemos de hcer es, por tnto, x seny: x x dx { x seny dx cosydy rcsen(x +C. } cosy sen y dy dy y +C 3. Integrl definid y áre de un gráfic Comencemos con un función no negtiv f (x definid sobre un intervlo cerrdo y cotdo [,b]. L gráfic de l función junto con ls rects x, x b, y determinn un dominio cerrdo (Figur 3.. Figur 3.: Áre encerrd por l gráfic de f (x. Si l función f (x cmbi de signo entonces l gráfic de l función junto con ls rects x, x b, y determinn vrios dominios cerrdos, unos por encim del eje x y otros por debjo (vése Figur 3.. Nuestro primer objetivo en est sección es el cálculo del áre nterior que determin un función definid en un intervlo cerrdo y cotdo.

23 Tem 3 8 Figur 3.: Áre encerrd por un función que cmbi de signo. Definición 45 (Integrl definid Se f : [,b] R un función continu. Denotemos por A el áre comprendid entre f (x y el eje de bsciss cundo f (x, y por A el áre por debjo del eje de bsciss y sobre l función f (x cundo f (x. Llmmos integrl definid entre y b l áre A menos el áre A. A l integrl definid entre y b l denotremos por b f (xdx. El porqué se us el nombre de integrl definid pr l definición de l diferenci de áres y porqué se us un símbolo similr l que y conocemos de integrl indefinid quedrá clro prtir del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl. Lo primero que hy que observr en el cso en el que tenemos un función continu f : [,b] R con f (x pr todo x [,b] es que entonces l integrl definid de f entre y b es simplemente el áre comprendid entre l gráfic de f (x y el eje de bsciss, y delimitd lterlmente por x y x b (Figur 3.. Si f (x no es positiv en ningún punto entonces l integrl definid de f entre y b es el áre comprendid entre l gráfic de f (x y el eje de bsciss, y delimitd lterlmente por x y x b pero cmbid de signo. De hecho, en generl, si f (x cmbi de signo entonces l integrl definid de f entre y b es el áre por encim del eje de bsciss menos el áre por debjo del eje. En l Figur 3. es el áre en gris oscuro menos el áre en gris clro. Si f es un función continu en un intervlo [,b] entonces denotremos b b f (xdx f (xdx. Vemos qué relción existe entre el áre delimitd por un función f (x y su integrl indefinid:

24 8 3.. Integrl definid y áre de un gráfic Teorem Fundmentl del Cálculo Se f : I R un función continu en un intervlo bierto I. Fijemos un punto en I y denotemos por x F(x f (x. Entonces F : I R es un función derivble y F (x f (x, es decir, F(x es un primitiv de f (x. Como consecuenci del resultdo nterior podemos deducir cómo clculr integrles definids prtir de integrles indefinids. Teorem (Regl de Brrow Se f : I R un función continu y F un primitiv suy. Ddos,b I con < b se tiene que b f (xdx F(x] b : F(b F(. EJEMPLOS Ejemplo : Consideremos l función f (x + x + x que es siempre positiv. Clculemos el áre determind por l gráfic de f (x sobre el eje de bsciss pr x entre y (Figur 3.3. (+x+x dx x + x + x3 3 Figur 3.3: f (x + x + x con x [,]. ] ( (( + ( + ( Ejemplo : Clculemos el áre que determin l gráfic de l función g(x x x con el eje de bsciss y ls rects x, x 3/. Observemos que g(x pr todo x [,3/] (Figur 3.4, con lo que en este cso el áre es igul l integrl definid cmbid de signo:

25 Tem 3 83 Figur 3.4: g(x x x con x [,3/]. 3 Así, el áre que buscmos es 9/8. ] 3 (x xdx x3 3 x 3 Ejemplo 3 : Consideremos l gráfic de l función ( 3 3 h(x x x x3 4 + x4 4, ( con x [,] (Figur 3.5. Clculemos l integrl definid de h(x en el intervlo [,]: Figur 3.5: h(x x x x 3 /4 + x 4 /4 con x [,]. ] (x x x3 4 + x4 dx x 4 x3 3 x4 6 + x Así, si llmmos A l áre por encim del eje de bsciss y A l áre delimitd por debjo del eje de bsciss, hemos obtenido que A A 3/5. Si quisiérmos clculr el vlor de A bst hcer: A (x x x3 4 + x4 dx x 4 x3 3 x4 6 + x5 De est mner A 83/8. ] 37 4.

26 Integrl definid y áre de un gráfic L regl de Brrow tiene plicciones directs no sólo l cálculo de áres sino problems básicos de l Físic, Químic o Biologí, entre otros. Por ejemplo, sbemos que en Físic l derivd del espcio recorrido por un móvil s(t respecto del tiempo t es l velocidd de dicho móvil v(t. Es decir, v(t s (t. En prticulr, s(t es un primitiv de l función v(t y plicndo l regl de Brrow entre dos tiempos t y t b obtenemos b s(b s( v(t dt. Esto nos dice que l distnci recorrid entre los tiempos t y t b que es s(b s( puede ser clculd usndo l integrl definid de l velocidd entre y b. EJEMPLOS Ejemplo : Se v(t t 3 + 3t l velocidd de un cuerpo móvil medid en metros por segundo. Clculemos l distnci recorrid por ese cuerpo entre los tiempos t s y t s. Si llmmos s(t l espcio recorrido en el tiempo t tenemos que clculr s( s(, que será ddo por ] s( s( v(tdt (t 3 + 3t dt t4 4 +t3 43 4,75. Por tnto, el espcio recorrido es de,75 metros. Ejemplo : Se v(t 3t + l velocidd de un móvil en metros por segundo. Si pr t s ps por un punto inicil A, clculemos cuánto trdrá en psr por un segundo punto B que se encuentr metros del punto inicil. Llmemos b l tiempo por el que psrá por el segundo punto B. Entonces sbemos que s(b s( y que l distnci entre mbos puntos es de m y ps por A pr t s y psrá por B pr t b segundos. De est form: b ] b s(b s( (3t + dt 3 t + t 3 b + b. ( De quí obtenemos que b ,9. Es decir, psrá por el punto B pr t 7,9s. Como ps por el punto A cundo t s, trdrá desde A hst B un tiempo de 7,9 5,9s. Ejemplo 3 : Un poblción de bcteris tiene un velocidd de crecimiento igul v(t t, donde t está medido en hors. Si en el momento de tiempo t hy un poblción de un millón de bcteris clculemos cuál será l poblción 4 hors más trde. Si llmmos p(t l poblción de bcteris en el tiempo t, entonces l velocidd de crecimiento es v(t p (t. De est form, p(t es un primitiv de v(t y l regl de Brrow nos dice que pr tiempos t y t b se tiene que b v(tdt p(b p(.

27 Tem 3 85 Por tnto, usndo l relción nterior entre los tiempos t y t 4, sbiendo que p( tenemos 4 p(4 p(+ 4 v(tdt + t dt +( Es decir, l poblción de bcteris es de 576 un dí más trde. Resumimos hor lguns de ls propieddes elementles de l integrl definid: Resultdo Sen f, g : [, b] R dos funciones continus, entonces tenemos:. b ( f (x + g(xdx b f (xdx + b. Pr culquier número rel r se tiene que b 3. Ddo un punto c [,b] se cumple que b g(x dx. 4. Si f (x g(x pr todo x [,b] entonces b r f (xdx r f (xdx. c b f (xdx f (xdx + f (xdx. c b b f (xdx g(x dx. 3.3 Alguns plicciones del cálculo integrl En est sección estudiremos lguns de ls plicciones más básics del cálculo integrl. Veremos cómo clculr áres delimitds por dos curvs, l longitud de l gráfic de un función y áres y volúmenes de superficies de rotción Áre comprendid entre dos curvs Sen f,g : [,b] R dos funciones continus tles que f (x g(x pr todo x [,b]. Llmemos A l áre encerrd por l región delimitd por l gráfic de l función f (x por rrib, l gráfic de l función g(x por bjo y lterlmente por ls rects x, x b (Figur 3.6. Entonces es fácil deducir de lo prendido en l sección nterior que dicho áre se puede clculr como b A ( f (x g(xdx. En el cso generl en el que ls gráfics de ls funciones f (x y g(x se crucen en el intervlo [,b] entonces l cntidd b ( f (x g(xdx d el áre en el que f (x está por encim de g(x menos el áre donde g(x está por encim de f (x durnte el intervlo [,b] (Figur 3.7.

28 Alguns plicciones del cálculo integrl Figur 3.6: Región delimitd por ls gráfics de dos funciones. Figur 3.7: Regiones determinds por gráfics que se cruzn. EJEMPLOS Ejemplo : Ls prábols y x, y x x encierrn un región (Figur 3.8. Vemos cómo clculr el áre de dich región. Figur 3.8: Región entre prábols. Comencemos primero con el cálculo de los puntos de corte de mbs gráfics. Es decir, buscmos los puntos tles que x x x. Despejndo tenemos x x, de donde x / o bien x. Además es clro que l prábol f (x x x está por encim de l gráfic de g(x x en el intervlo [ /,]. Por tnto, el áre que buscmos viene

29 Tem 3 87 dd por ( f (x g(xdx ( x + x + dx 3 x3 + ] x + x 9 8. Ejemplo : Ls gráfics de ls funciones f (x cosx y g(x senx se cortn en infinitos puntos lo lrgo del eje rel. Clculemos el áre que encierrn mbs gráfics entre los dos puntos consecutivos de corte que contienen x (Figur 3.9. Figur 3.9: Región entre f (x cosx y g(x senx. Pr clculr los puntos de corte igulemos f (x g(x, esto es, cosx senx, o equivlentemente, tgx. Est iguldd ocurre pr los puntos x π 4 + k π, con k entero. Así, los puntos que buscmos son ddos pr k y k, es decir, x 3π/4 y x π/4. El áre que buscmos viene dd por π/4 (cosx senxdx senx + cosx] π/4 3π/ Longitudes de curvs 3π/4 Se f (x un función derivble cuy derivd es continu en el intervlo cerrdo [,b]. Entonces l longitud L de l curv dd por l gráfic de l función f (x entre los puntos x y x b puede ser clculd como b L + f (x dx. EJEMPLOS Ejemplo : Clculemos l longitud de l curv de l prábol f (x x + x en el intervlo [,/] (Figur 3.: { } + x senhy + f (x dx + ( + x dx cosh ydy dx coshydy + cosh(y dy 4 ( rcsenh( + x + 4 ( y + senh(y +C senh( rcsenh( + x 4 rcsenh( + x + (x x + 4x +C. +C

30 Alguns plicciones del cálculo integrl De est form l longitud que buscmos es L 4 + f (x dx 4 rcsenh( + x + (x x + 4x ] ( rcsenh + rcsenh3 4,353. Figur 3.: Prábol f (x x + x con x [,/]. Ejemplo : Clculemos hor l longitud de l gráfic de l función f (x coshx pr x vrindo en un intervlo de l form [ r,r]. + f (x dx + senh xdx coshxdx senhx +C, con lo que l longitud viene dd por r L + f (x dx senhx] r r senhr senh( r senhr Áre y volumen de un superficie de rotción. r Se f (x un función continu y positiv en un intervlo [,b] y consideremos l superficie que result l rotr l gráfic de l función lrededor del eje x en R 3 (Figur 3.. El áre de l superficie de rotción puede ser clculd de l siguiente form: b A π f (x + f (x dx, cundo f (x es derivble y su derivd es continu. Además, el volumen encerrdo por dich superficie lrededor del eje x y delimitdo lterlmente por los plnos x, x b es b V π f (x dx.

31 Tem 3 89 Figur 3.: Superficie de rotción. EJEMPLOS Ejemplo : Consideremos l gráfic de l función constnte f (x con x [,h], es decir, el segmento horizontl ltur y de longitud h que vrí entre los vlores de x y x h. L superficie que result l rotr este segmento lrededor del eje x en R 3 es un cilindro de rdio y longitud h. Vemos cuál es su áre y el volumen que encierr: h A π V π h h f (x + f (x dx π h f (x dx π dx π x] h π h. dx π x] h π h, Ejemplo : Consideremos hor l gráfic de l función f (x r x/h con x [,h]. Dich gráfic es el segmento de rect que comienz en el punto (, y cb en el punto (h,r. L superficie que result l rotr este segmento lrededor del eje x en R 3 es un cono de rdio r en su bse y ltur h. Vemos cuál es su áre y el volumen que encierr: h h A π f (x + f (x dx π π r h r + h x ] h V π h f (x dx π π r r + h, h r h x ( r h x dx π r h ( r + h h dx π r h x dx π r x 3 ] h h 3 3 π r h. h r + h xdx