Ley de senos y cosenos

Transcripción

1 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Ley de senos y cosenos por Oliverio Rmírez Juárez En l lectur nterior resolviste distintos problems que implicn triángulos rectángulos, medinte l plicción del teorem de Pitágors y ls funciones trigonométrics como herrmients de nálisis y solución. En est lectur bordrás l solución de problems con triángulos oblicuángulos, que son triángulos en los que ninguno de sus ángulos es recto. A continución se muestrn ejemplos de triángulos oblicuángulos. Resolver un triángulo oblicuángulo, signific determinr los ldos y/o ángulos fltntes prtir de dtos conocidos. Pr esto, se plicn l ley de los senos y l ley de los cosenos. De cuerdo con (Sullivn, 1998, p. 51), l ley de senos dice que: Ley de Senos Pr un triángulo con ldos, b, y c, y ángulos opuestos α, β y γ, respectivmente, sen α sen β sen γ b c 1

2 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres L demostrción de est ley no es objetivo del curso, pero se puede encontrr el desrrollo en distintos libros o ligs de Internet, te invito que visites l sección Pr prender más, donde encontrrás enlces relciondos con el tem. Observ cómo se plic est ley. Ejemplo: 1. Pr el triángulo mostrdo en l siguiente figur, determin los ldos y ángulos fltntes. Solución. Debido que se conocen dos de los ángulos, es posible determinr el tercero recordndo que α + β + γ 180 (l sum de los ángulos internos de todo triángulo es igul 180 ), tienes: γ 180 α β γ γ 70 Ahor que y se conocen los tres ángulos, puedes plicr l relción que incluye l ldo conocido (en este cso b8): sen α sen β b

3 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres De est expresión, l únic incógnit es el ldo, despejndo, obtienes: b sen α sen β multiplicndo tod l ecución por b. b sen α sen B despejndo. Ahor que y tienes l expresión despejd, sustituye los vlores conocidos y obtienes: ( 8)( sen 50 ) ( 8)( 0.766) 7.07 sen Pr determinr el vlor de c, puedes hcer el mismo procedimiento considerndo l relción: sen α sen γ c Despejndo c, tienes: senγ c sen α Sustituyendo los dtos conocidos, qued: c ( 7.07)( sen 70 ) ( 7.07)( 0.939) c 8.67 sen En l siguiente figur se muestrn los dtos clculdos en zul. 3

4 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres. Pr el triángulo mostrdo en l siguiente figur, determin los ldos y ángulos fltntes. Solución. Es importnte que dependiendo de los dtos con los que cuents, identifiques l fórmul que puedes plicr cundo inicies con l solución de un triángulo. A continución se muestr l ley de los senos, señlndo en zul los dtos conocidos, De est form, se preci que l relción que se puede plicr es: y que sólo se desconoce el vlor de β, despejndo sen β, tienes: b sen α sen β Sustituyendo los dtos conocidos, qued: 9 sen 30 sen β sen β ( 9)( 0.5) 7 Pr encontrr β, us l función sin de l clculdor UVEG. 4

5 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Entonces el ángulo β 40. Sin embrgo, este vlor no es único, y que el seno tmbién es positivo en el segundo cudrnte, por lo que existe un segundo ángulo cuyo seno es 0.648, este ángulo es β 180 º 40º 140º A prtir de los dos ángulos conocidos, clcul el tercer ángulo (pr cd un de ls dos soluciones), esto es: α + β + γ 180 γ 180 α β γ γ 110 α + β + γ 180 γ 180 α β γ γ 10 Con los dtos conocidos, us l ley de senos nuevmente (se hn señldo en zul los dtos conocidos). 5

6 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Despejndo c, de est relción, tienes: b sen c sen β c ( 9)( ) γ ( 9)( sen 110 ) b sen γ ( 9)( sen 10 ) sen c c sen β ( 9)( ) sen En l siguiente figur se muestrn en zul los dtos clculdos pr l primer solución, y en rojo pr l segund. En los ejemplos nteriores se hn proporciondo ls figurs de los triángulos como poyo pr su solución, sin embrgo, debido que en muchos problems se requiere construir l gráfic del problem, pr fcilitr su solución, en lgunos de los siguientes ejemplos no se proporcion l figur del triángulo nlizdo pr inicir con l práctic del nálisis de un problem, sin l gráfic dd. 3. Con los siguientes dtos conocidos, determin los dtos fltntes del triángulo α 65 º, b 8, c 11. Solución. Debido que se conocen dos ldos, y el ángulo entre ellos, plic l ley de los cosenos, b 8 + c + 11 bc ( 8)( 11) cosα cos 65º 6

7 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Con los tres ldos conocidos, puedes plicr l ley de senos pr determinr el ángulo β, tienes: sen sen β α b Despejndo sen β, qued: b sen α sen β 8sen 65º sen β Por lo nterior, el ángulo β tiene dos vlores que cumplen con este vlor del seno: β 180º 43.58º β 43.58º y β 136.4º Con los vlores conocidos de los ángulos α y β, hllmos el tercer ángulo: γ 180º 65º 43.58º γ 71.4º γ 180º 65º 136.4º y γ 1.4º Al nlizr este último resultdo, se observ que el vlor de β 136.4º no es solución del triángulo, debido que l sum de los ángulos internos del triángulo no pueden sumr más de 180º. 4. Determin los dtos fltntes pr el triángulo con ls siguientes crcterístics: α 30, c30, b45. Solución. En los ejemplos nteriores se proporcionó l figur del triángulo, en este ejemplo sólo se proporcionn los dtos, sí que trzr un bosquejo del triángulo con los dtos conocidos es conveniente y yud visulizr el problem; l siguiente figur muestr un esbozo del triángulo. 7

8 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Los dtos desconocidos se señln en zul. Debido que se conocen dos ldos (b y c) y el ángulo (α ) entre ellos, plic l ley de los cosenos pr el ldo, tienes: b 45 + c bc cosα ( 45)( 30) 700( 0.866) cos30 Ahor que y se conoce el tercer ldo, puedes plicr l ley de los senos pr clculr lguno de los ángulos fltntes; clcul el ángulo bet ( β ). sen α sen β b sen 30 sen β sen 30 sen β 4. sen β ( 45)( 0.5) 4. Pr determinr el vlor del ángulo bet ( β ), us l función sen de l clculdor, y obtienes: β sen Por último, el ángulo gm ( γ ) es: β 68.6 γ ( ) α + β + γ 180 γ 180 α β γ

9 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Si los ldos de un triángulo son 5, b 6, y c 13, determin los tres ángulos del triángulo. Solución. Debido que se desconocen todos los ángulos del triángulo, no es posible plicr l ley de senos; en este cso inicis con l ley de cosenos. Si despejs cos α de l ley de los cosenos plicd pr el ldo, tienes: b + c bc cosα despejndo cos α, qued: bc cosα b b cosα Sustituyendo los vlores conocidos, obtienes: 6 cosα + + c + c bc 13 5 ( 6)( 13) cosα Aplicndo cos, obtienes el vlor del ángulo lf (α ), esto es: α Con este ángulo conocido, puedes plicr l ley de senos pr encontrr lguno de los otros dos ángulos. Aplícl pr hllr el ángulo bet ( β ): Por lo que el ángulo bet ( β ), es: sen β sen α b b sen α sen β 6sen 56.3 sen β

10 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Finlmente: ( ) 86. β sen γ γ 37 (Plmer, 003, p.495), mencion ls ecuciones de Mollweide como un método pr verificr los resultdos obtenidos l resolver un triángulo. Ests ecuciones son ls siguientes: b sen 1 ( α β ) + b cos 1 ( α β ) c cos 1 γ c sen 1 γ Y pueden usrse pr verificr l precisión de los resultdos obtenidos. Es importnte mencionr este punto porque l clculr el seno de lgún ángulo, o l longitud de lgún ldo de un triángulo, los vlores obtenidos son proximdos (dependiendo de los decimles considerdos). (Swokowski, 009, p. 633). Tmbién puedes utilizr l siguiente fórmul, que surge de l plicción de l ley de senos l segund ecución de Mollweide: + b sen α + sen β c sen γ Te invito que verifiques los resultdos obtenidos en los ejemplos nlizdos con ls ecuciones de Mollweide. 10

11 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Áres de triángulos Pr determinr el áre de un triángulo, se plic un fórmul bsd en los tres ldos de un triángulo. Mtemáticmente se expres como: A s ( s )( s b)( s c) + b + c s En donde s, represent el semiperímetro que está definido por Est fórmul que permite determinr el áre de un triángulo, prtir del conocimiento de l longitud de sus ldos (y no requiere de conocer l ltur del mismo), se le tribuye Herón de Alejndrí. Pérez (007, p. 11) mencion que l myor portción ls mtemátics de Herón fue L métric, en donde deduce l fórmul nterior. Tmbién coment que l demostrción dd por Herón tiene un excesiv complejidd. En l siguiente ctividd de prendizje se reliz un demostrción de est fórmul. Ejemplo: Clcul el áre de un triángulo cuyos ldos miden 5, b5 y c6. Solución. Pr usr l fórmul de Herón, clcul primero el semiperímetro, esto es: b + c + s s s

12 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Sustituyendo en l fórmul de Herón, pr encontrr el áre del triángulo, tienes: A s( s ) ( s b) ( s c) A 8( 8 5) ( 8 5) ( 8 6) A 8( 3) ( 3) ( ) 144 1u Por lo que el áre del triángulo es de 1 uniddes cudrds. 1

13 MB0003 _MAA1L_Ley Versión: Septiembre 01 Revisor: Ptrici Crdon Torres Referencis Plmer, C. I.; Fletcher, S.; Jrvis, J. A.; Mrchek, L. A. (003). Mtemátics práctics. [Versión electrónic]. Recuperdo el 5 de febrero de 010 del sitio Google libros: 3%A1tics+pr%C3%A1ctics+Clude+irwin+plmer&hles&cd1#vonepge&q&fflse Pérez, M.A. (007). Un histori de ls mtemátics: retos y conquists trvés de sus personjes. [Versión electrónic]. Recuperdo el 7 de mrzo de 010 del sitio Google libros: ul+de+her%c3%b3n+de+lejndr%c3%ad&cd3#vonepge&qf%c3%b3rmul%0de %0her%C3%B3n%0de%0lejndr%C3%AD&fflse Sullivn, M. (1998). Trigonometrí y geometrí nlític. [Versión electrónic]. Recuperdo el 3 de febrero de 010 del sitio Google libros: s_v_summry_r&cd0#vonepge&q&fflse Swokowski, E.; Swokowski, E. W.; Cole, J. A. (009). Álgebr y trigonometrí con geometrí nlític. [Versión electrónic]. Recuperdo el 5 de febrero de 010 del sitio Google libros: YeKsO8EC&printsecfrontcover&dq%C3%A1lgebr+con+trigonometr%C3%AD+swokows ki&cd1#vonepge&q%c3%a1lgebr%0con%0trigonometr%c3%ad%0swokowski& fflse 13