FUNCIONES MONÓTONAS EN UN INTERVALO Siempre aumenta en I Conserva las desigualdades en I Siempre disminuye en I Invierte las desigualdades en I
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- Trinidad Macías Palma
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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS FUNCIONES MONÓTONAS es estrictmente creciente p, q D, p < q ( p < ( q es estrictmente decreciente p, q D, p < q ( p > ( q Siempre ument Conserv ls desigulddes Siempre disminuye Invierte ls desigulddes ESTRICTAMENTE CRECIENTE ESTRICTAMENTE DECRECIENTE FUNCIONES MONÓTONAS EN UN INTERVALO es estrictmente creciente en I p, q I, p < q ( p < ( q es estrictmente decreciente en I p, q I, p < q ( p > ( q Siempre ument en I Conserv ls desigulddes en I Siempre disminuye en I Invierte ls desigulddes en I FUNCIONES MONÓTONAS EN UN PUNTO es estrictmente creciente en es estrictmente decreciente en E ( / x E( E ( / x E( x < ( x < ( ( x ( x > > ( x > ( ( x ( x < x > < estrictmente creciente en estrictmente creciente en Teorem Teorem Si es derivble en, entonces: estrictmente creciente en estrictmente decreciente en ( ( x E ( / x E (, x, > 0 x ( ( x E ( / x E (, x, < 0 x El recíproco no es cierto. ( 0 ( 0 estrictmente creciente en ( 0 estrictmente decreciente en ( 0 es un condición necesri pr que se estrictmente creciente en, pero no es suiciente. es un condición necesri pr que se estrictmente decreciente en, pero no es suiciente. I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG 1
2 Teorem Si es derivble en, entonces: Si ( ( > 0 ( < 0 es estrictmente creciente en es estrictmente decreciente en, no se puede irmr nd, podrí suceder "culquier cos" en : ser estrictmente creciente, estrictmente decreciente o no ser ni estrictmente creciente ni estrictmente decreciente. ( > 0 es un condición suiciente pr que se estrictmente creciente en, pero no es necesri.. Es posible que se estrictmente creciente en siendo ( ( < 0 es un condición suiciente pr que se estrictmente decreciente en, pero no es necesri.. Es posible que se estrictmente decreciente en siendo ( Ejemplo: Pr 2 2 ( x = x ( x = x ( x = x ( x = x ( 0 no es ni estrictmente creciente ni estrictmente decreciente en 0 ( 0 no es ni estrictmente creciente ni estrictmente decreciente en 0 ( 0 es estrictmente creciente en 0 ( 0 es estrictmente decreciente en 0 Rect tngente con pendiente positiv en m > 0 t > es estrictmente creciente en Rect tngente con pendiente negtiv en m < 0 t < es estrictmente decreciente en I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG 2
3 EXTREMOS LOCALES Máximos locles Extremos locles Mínimos locles Los extremos locles o reltivos estrictos son quellos puntos en los que l unción no es creciente ni decreciente, sino que se produce un cmbio en l monotoní. Este tipo de puntos se distinguen por ser quellos cuy imgen es l myor o menor de tods ls imágenes de los lrededores. El término locl o reltivo indic que el vlor de l, es el máximo o el mínimo de los lrededores, lo cuál no excluye que hy otros más lejdos unción en, ( de cuy imgen se myor o menor que (. Hy que distinguir entre extremo locl o reltivo y extremo bsoluto. tiene un máximo locl en E ( / x E (, x, ( x < ( tiene un mínimo locl en E ( / x E (, x, ( x > ( tiene un máximo locl en tiene un mínimo locl en Teorem Si es derivble en, entonces: = tiene un extremo locl en El recíproco no es cierto. ( / tiene un extremo locl en Un condición necesri, unque no suiciente, pr que un unción, derivble en, teng un extremo locl en, es que (. Por lo tnto, l tngente en los extremos locles será horizontl y pr determinr éstos, buscremos los vlores que nulen l primer derivd (puntos críticos de primer orden y éstos serán los posibles extremos locles, si los hy. Pr comprobr si un punto que nule l primer derivd es un extremo, recurriremos uno de los siguientes criterios: Criterio de cmbio de signo de l primer derivd = y ps de ser positiv ser negtiv en tiene un máximo locl en ( 0 = y ps de ser negtiv ser positiv en tiene un mínimo locl en tiene un máximo locl en MAX tiene un mínimo locl en MIN I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG
4 Criterio de l segund derivd Si y son derivbles en : Si ( y ( y ( y < tiene un máximo locl en > tiene un mínimo locl en =, no podemos irmr nd: puede ser estrictmente creciente en, estrictmente decreciente en o tener un extremo locl en. Ejemplos: En 0 = : 1 ( x = x ; 2 ( x = x ; ( x = x ; ( x = x Si existiern ls sucesivs derivds de, se podrí estudir con dichs derivds. Supongmos que entonces: Resumiendo: = y k es el orden de l primer derivd no nul en, es decir: Si k es impr: Si k es pr: k 1 ( = ( = ( =... = ( y ( ( ( ( ( 0 > 0 es estrictmente creciente en < 0 es estrictmente decreciente en > 0 tiene un mínimo locl en < 0 tiene un máximo locl en k impr es monóton en k pr tiene un extremo locl en I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG
5 CURVATURA: CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD. Convex CURVATURA Cóncv Pr dierencir entre unciones convexs o cóncvs observremos si en ls proximiddes del punto l rect tngente se encuentr por debjo o por encim de l gráic, por suponer esto un dierenci importnte en l orm de l gráic, unque se trte de unciones con el mismo tipo de monotoní. de donde Llmndo t ( Ecución de l rect tngente l gráic de en el punto de bscis x= y = x ( ( ( ( ( ( y = x + x l ordend de l rect tngente en, se tiene y dmos ls siguientes deiniciones: ( = ( ( + ( t x x es convex en si existe un entorno de en el que l tngente en se encuentr por debjo de l gráic de l unción. es cóncv en si existe un entorno de en el que l tngente en se encuentr por encim de l gráic de l unción. convex en E x E x ( x > t ( x ( / (,, cóncv en E x E x ( x < t ( x ( / (,, convex en cóncv en Teorem Si y son derivbles en : Si > es convex en < es cóncv en =, no se puede irmr nd, podrí suceder "culquier cos" en : ser convex, cóncv o no ser ni convex ni cóncv. > es un condición suiciente pr que se convex en, pero no es necesri. =. Es posible que se convex en siendo < es un condición suiciente pr que se estrictmente decreciente en, pero no es necesri. =. Es posible que se estrictmente decreciente en siendo I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG 5
6 Ejemplo: Pr ( x = x ( x = x ( x = x ( x = x ( 0 es convex en 0 ( 0 es cóncv en 0 ( 0 no es ni convex ni cóncv en 0 ( 0 no es ni convex ni cóncv en 0 PUNTOS DE INFLEXIÓN Los puntos de inlexión de un unción son quellos en los que l tngente trvies l gráic. En ellos l unción no es ni convex ni cóncv sino que se produce un cmbio en l curvtur, de cóncv convex o vicevers. Como no es convex ni cóncv en un punto de inlexión : no es convex en ( > / 0 y derivbles en no es cóncv en ( </ 0 Teorem Si y son derivbles en : = tiene un punto de inlexión en = El recíproco no es cierto. ( / un punto de inlexión en Un condición necesri, unque no suiciente, pr que un unción dos veces derivble en, teng un punto de inlexión en, es que (. Por lo tnto, pr determinr los puntos de inlexión, buscremos los vlores que nulen l segund derivd (puntos críticos de segundo orden y éstos serán los posibles puntos de inlexión, si los hy. Pr comprobr si un punto que nule l segund derivd es un punto de inlexión, recurriremos uno de los siguientes criterios: Criterio de cmbio de signo de l segund derivd Si l segund derivd cmbi de signo en, tiene un punto de inlexión en. = y ps de ser negtiv ser positiv en tiene un punto de inlexión en ( 0 Punto de inlexión cóncvo-convexo = y ps de ser positiv ser negtiv en tiene un punto de inlexión en ( 0 Punto de inlexión convexo-cóncvo tiene un punto de inlexión en PI tiene un punto de inlexión mínimo en PI I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG 6
7 Criterio de l tercer derivd Si, y son derivbles en : Si ( y inlexión en. Ejemplos: En 0 ( y ( y ( y tiene un punto de inlexión en > tiene un punto de inlexión cóncvo-convexo en < tiene un punto de inlexión convexo-cóncvo en =, no podemos irmr nd: puede ser convex en, cóncv en o tener un punto de = : 1 ( x = x ; 2 ( x = x ; ( x = x ; ( x = x Si existiern ls sucesivs derivds de, se podrí estudir con dichs derivds. Supongmos que = y k es el orden de l primer derivd no nul en, es decir: k 1 ( = ( = = ( y ( 0 entonces: Si k es pr: Si k es impr: k k ( > 0 ( < 0 es convex en es cóncv en k k ( > 0 ( < 0 tiene un P.I. cóncvo-convexo en tiene un P.I. convexo-cóncvo en I.E.S. "Miguel de Cervntes" (Grnd Deprtmento de Mtemátics GBG 7
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