TEMA V: POLINOMIOS ORTOGONALES

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1 TEMA V: POLINOMIOS ORTOGONALES 1. Introducción Un sistem de funciones reles f n (x) (n =, 1,, 3,...) se dice ortogonl respecto l función peso ρ(x) en el intervlo, b] si f m (x)f n (x)ρ(x)dx = pr todo m n, donde ρ(x) es un función no negtiv fij que no depende de m y n. Por ejemplo: El sistem de funciones cos(nx) ρ(x) = 1 en el intervlo, π], y que pr m n π cos(mx)cos(nx)dx = 1 = 1 { (n =, 1,, 3,...) es ortogonl respecto l función peso π 1 m + n sen(m + n)x] ] π {cos(m + n)x] + cos(m n)x]} dx = + 1 m n sen(m n)x] ] π } = Un clse importnte de sistems ortogonles de funciones, están constituids por fmilis de polinomios p n (x) donde n =, 1,, 3... represent el grdo del mismo. En este tem estudiremos lguns de ests fmilis, tles como: polinomios de Legendre, polinomios de Hermite y polinomios de Lguerre.. Polinomios ortogonles. Generliddes Se ρ(x) un función rel definid e integrble sobre, b]; ρ(x) será positiv o nul y continu trozos. Supondremos que ρ(x) no es siempre nul. En el cso de un intevlo no cotdo sumiremos que tods ls integrles x m ρ(x)dx (m N) convergen. Ddos los polinomios reles P (x) y Q(x) usremos l notción = P (x)q(x)ρ(x)dx 1

2 Nótese que el producto posee tods ls propieddes de un producto esclr: conmuttivo, distributivo respecto l sum y P (x)ρ(x)dx > si P (x) = si P (x) = es Se dice que P y Q son ortogonles, respecto l función peso ρ(x), en, b] si =. L fmili de polinomios P n (x), donde n represent el grdo, se llm fmili o conjunto de polinomios ortogonles respecto ρ(x) en, b] si = pr n m. Se dice que l fmili de los P n (x) es ortonorml cundo = δ n,m = { si n m 1 si n = m Recordemos que si P n (x) es un fmili de polinomios de grdo n, no necesrimente ortogonles, todo polinomio de grdo m puede escribirse: m P (x) = c n P n (x) donde los c n son coeficientes numéricos que dependen de n y P (x). Teorem Es posible construir un fmili de polinomios ortogonles P n (x) sobre un intervlo, b] respecto un función peso ρ(x), rbitrri, definid sobre este intervlo. Demostrción: En efecto, l fmili x n (n =, 1,, 3,...) es linelmente independiente sobre, b] y el proceso de ortogonlizción de Schmidt grntiz el teorem. Teorem Un condición necesri y suficiente pr que l fmili de polinomios P n (x) se ortogonl es que: Demostrción: Si x k P n (x)ρ(x)dx = x k P n (x)ρ(x)dx = ( n, k / k < n) supongmos que m < n. P m (x) = + 1 x m x m ( n, k / k < n) Ddos P m (x) y P n (x) con n m y b m ] b m P n (x)p m (x)ρ(x)dx = k x k P n (x)ρ(x)dx = k. =

3 Si P n (x)p m (x)ρ(x)dx = k x k = m P m (x) y por tnto m= y que m n (m =, 1,, 3,..., k) (n m), entonces pr todo k < n escribimos b k ] b x k P n (x)ρ(x)dx = m P m (x)p n (x)ρ(x)dx = m= Not: Si P (x) es un polinomio de grdo m, y P n (x) un fmili de polinomios ortogonles P (x) = m c n P n (x) con c n = Teorem Si P n (x) es un fmili de polinomios ortogonles, existen tres números A n, B n y C n tles que pr n 1: y A n.c n xp n (x) = A n P n+1 (x) + B n P n (x) + C n P n (x) Demostrción: El polinomio xp n (x) de grdo n + 1 puede escribirse de l form: con xp n (x) = n+1 α k P k (x) α k = pero como == si k > n + 1 y n > k + 1, es decir, si k < n 1 y k > n + 1. Luego, sólo los coeficientes α n, α n y α n+1 intervienen en el desrrollo. Teorem Consideremos un fmili de polinomios, P n (x), ortogonles respecto l función peso ρ(x) en el intervlo, b]. Entonces, los ceros de los polinomios P n (x) son reles, simples y están contenidos en el intervlo (, b). Demostrción: Como P n (x)ρ(x)dx = pr n > y ρ(x) sobre (, b), P n (x) debe cmbir, l menos un vez, de signo sobre (, b). Sen x 1, x,..., x p los puntos de (, b) en los que P n (x) cmbi de signo. Se tiene: 1 p n. Consideremos el polinomio p Q(x) = (x x i ) i=1 3

4 el polinomio P n (x).q(x) tiene signo constnte sobre (, b), luego: P n (x)q(x)ρ(x)dx pero esto es bsurdo si p < n, luego debe ser p = n. Por lo tnto el polinomio P n (x) cmbi n veces de signo sobre (, b)...1 Series de polinomios ortogonles Definición Se llm espcio L ρ l conjunto de funciones reles f(x) tles que ls integrles y f(x) ρ(x)dx existen. f(x) ρ(x)dx No es complicdo comprobr que L ρ es un espcio vectoril sobre R, donde el único punto delicdo estrí en comprobr que f, g L ρ : f + g L ρ, pero l demostrción se slvrí usndo l desiguldd de Schwrz: b f(x)g(x)ρ(x)dx f (x)ρ(x)dx Se puede definir en L ρ el producto esclr el cul define su vez un norm < f g >= ] 1 f(x)g(x)ρ(x)dx f = < f f >] 1. g (x)ρ(x)dx ] 1 lo que nos permite hblr de distnci entre vectores de L ρ d(f, g) = f g = < f g f g >] 1 Pretendemos, hor, proximr funciones de L ρ por polinomios. Se P n (x) un fmili de polinomios ortonormles respecto ρ(x) en el intervlo, b], y f(x) L ρ. Queremos representr f(x) por un polinomio S n (x) de grdo n tl que l norm de f S n se mínim. = S n (x) = < f S n f S n >= c k P k (x) f(x) S n (x)] ρ(x)dx = f (x)ρ(x)dx f(x)s n (x)ρ(x)dx + 4 S n(x)ρ(x)dx =

5 hgmos: k = =< f f > c k f(x)p k (x)ρ(x)dx + c k f(x)p k (x)ρ(x)dx Los números k se llmn coeficientes de Fourier de f(x) respecto l sistem ortonorml P k (x). < f S n f S n >=< f f > c k k + L distnci de f(x) S n (x) será mínim si (k =, 1,, 3,...). Por lo que S n (x) = Teorem L integrl b c k =< f f > k P k (x). f(x) k + ( k c k ) ( k c k ) =, es decir, k = c k c k P k (x)] ρ(x)dx es mínim cundo los coeficientes c k son igules los coeficientes de Fourier k de f(x), reltivos l sistem ortonorml P k (x). en ests condiciones: y k = f(x)p k (x)ρ(x)dx < f S n f S n >=< f f > < S n S n > k < f f > est últim desiguldd se conoce como desiguldd de Bessel y de ell se deduce que lim k k = Definición Se dice que un fmili infinit de polinomios ortogonles es totl si f L ρ l desiguldd de Bessel se reduce un iguldd, es decir k = f (x)ρ(x)dx Teorem Tod fmili de polinomios ortogonles sobre un intervlo finito es totl sobre L ρ. Definición Se un función G(x, t) desrrollble en serie de potencis de t en un cierto dominio D. G(x, t) = φ n (x)t n 5

6 G(x, t) se le llm función genertriz de ls funciones φ n (x) Teorem L condición necesri y suficiente pr que los polinomios P n (x) definidos por el desrrollo G(x, t) = P n (x)t n sen ortogonles sobre el intervlo, b] respecto de l función peso ρ(x) es que l integrl I = no depend más que del producto tt. G(x, t)g(x, t )ρ(x)dx 3. Polinomios de Legendre Los polinomios de Legendre están definidos por l fórmul de Rodrigues, tl y como sigue: d n P n (x) = 1 n dx n (x 1) n, (n =, 1,, 3,...) P (x) = 1; P 1 (x) = x; P (x) = 1 (3x 1); P 3 (x) = 1 (5x3 3x);... L expresión generl del polinomio de Legendre de grdo n se obtiene prtir de l iguldd (x 1) n = () k k!(n k)! xn k por lo que n ] P n (x) = 1 d n n dx n (x 1) n = () k (n k)! n k!(n k)!(n k)! xn k donde n ] represent l prte enter de n. Hciendo uso de técnics de vrible complej, se puede demostrr que l función W (x, t) = (1 xt + t ) 1 es l función genertriz de los polinomios de Legendre, es decir, W (x, t) = (1 xt + t ) 1 = P n (x)t n este desrrollo tiene vlidez pr t suficientemente pequeño, en relidd t < r siendo r = min{ r 1, r } y r 1 y r ríces de l ecución 1 xt + t = 6

7 Not: En l práctic se tom pr x, 1], r = 1 L función genertriz W (x, t) nos permite demostrr con fcilidd ls siguientes propieddes de los polinomios de Legendre: Además teniendo en cuent que P n (1) = 1; P n+1 () = ; P n () = () n P n () = () n (n).4...n (1 xt + t ) W t + (t x)w = escribimos (1 xt + t ) np n (x)t n + (t x) P n (x)t n = n=1 igulndo cero el coeficiente de t n, obtenemos (n + 1)P n+1 (x) (n + 1)xP n (x) + np n (x) = ; (n = 1,, 3,...) (3.1) De mner similr y usndo que (1 xt + t ) W x tw = se tiene lo que implic (1 xt + t ) P n(x)t n t P n (x)t n+1 = P n+1(x) xp n(x) + P n(x) P n (x) = ; (n = 1,, 3,...) (3.) Derivndo en (3.1) y usndo el resultdo junto con (3.) pr eliminr P n (x) obtenemos P n+1(x) xp n(x) = (n + 1)P n (x); (n =, 1,, 3,...) (3.3) de form nálog, eliminndo P n+1 (x) se tiene sumndo (3.3) y (3.4) se obtiene xp n(x) P n(x) = np n (x); (n = 1,, 3,...) (3.4) P n+1(x) P n(x) = (n + 1)P n (x); (n = 1,, 3,...) (3.5) reemplzndo n por n 1 en (3.3) y usndo el resultdo junto con (3.4) pr eliminr P n (x) se tiene: (1 x )P n(x) = np n (x) nxp n (x); (n = 1,, 3,...) (3.6) 7

8 Finlmente derivndo en (3.6) respecto de x y usndo el resultdo junto con (3.4) pr eliminr nuevmente P n (x) se lleg : (1 x )P n(x)] + n(n + 1)Pn (x) = ; (n =, 1,, 3,...) lo que demuestr que el polinomio de Legendre P n (x) es solución de un ecución diferencil de segundo orden. Not:(1 x )y xy + λ(λ + 1)y = (Ec. de Legendre) Se pueden obtener, medinte cmbios de vribles, otrs ecuciones diferenciles cuys soluciones se pueden expresr en términos de los polinomios de Legendre. Por ejemplo, si tommos x = cos θ, 1 x = 1 cos θ = sen θ luego l ecución dy dθ = dy dx dx dθ = dy 1 dy ( sen θ) dx sen θ dθ = dy dx (1 x )y ] + n(n + 1)y = qued 1 d sen θ( 1 ] sen θ dθ sen θ )dy + n(n + 1)y = dθ o bien siendo y = P n (cos θ) 1 sen θ d dθ sen θ dy dθ ] + n(n + 1)y = Hciendo uso de técnics de integrción en vrible complej, se pueden obtener representciones integrles de los polinomios de Legendre. P n (x) = 1 π π x + x 1cosφ] n dφ Si x, 1] est representción permite comprobr que P n (x) 1, x 1, y que x + x 1cos φ = x + i 1 x cos φ = P n (x) 1 π π x + (1 x )cos φ x + (1 x ) = 1 x + x 1cosφ n dφ 1 π π dφ = 1 P n (cosθ) = π θ cos(n + 1 )ψ cosψ cosθ dψ, ( < θ < π, n =, 1,, 3,...) 8

9 Vemos continución que los polinomios de Legendre constituyen un fmili ortogonl respecto l función peso ρ(x) = 1 en el intervlo, 1], es decir que P n (x)p m (x)dx = si m n Pr ello usremos l ecución diferencil (1 x )P n(x)] + n(n + 1)Pn (x) = plicándosel P m (x) (1 x )P m(x)] + m(m + 1)Pm (x) = multiplicndo l primer por P m (x), l segund por P n (x) y restndo l segund l primer se obtiene (1 x )P m(x)] Pn (x) (1 x )P n(x)] Pm (x) + m(m + 1) n(n + 1)]P m (x)p n (x) = o bien { (1 x ) P m(x)p n (x) P m (x)p n(x) ]} + (m n)(m + n + 1)Pm (x)p n (x) = integrndo sobre el intervlo, 1] obtenemos luego si m n (m n)(m + n + 1) P m (x)p n (x)dx = Pr determinr el resultdo de l integrl en l relción P m (x)p n (x)dx = P n(x)dx, ctuemos como sigue: reemplzemos (n + 1)P n+1 (x) (n + 1)xP n (x) + np n (x) = (n = 1,, 3,...) n por n 1 y multiplicmos por (n + 1)P n (x) n(n+1)p n(x) (n)(n+1)xp n (x)p n (x)+(n)(n+1)p n (x)p n (x) = (n =, 3, 4,...) si ést le restmos l originl multiplicd por (n 1)P n (x) obtenemos n(n+1)p n(x)+(n)(n+1)p n (x)p n (x) (n+1)(n)p n (x)p n+1 (x) n(n)p n(x) =, (n =, 3, 4, 9

10 integrndo sobre el intervlo, 1] o bien n(n + 1) Pn(x)dx = n(n 1) Pn(x)dx (n =, 3, 4,...) Pn(x)dx = n 1 P n + 1 n(x)dx = n 3 P n + 1 n (x)dx =... = 3 P1 (x)dx = n + 1 n + 1 demás luego P (x)dx = =. + 1 y P n(x)dx = n + 1 P 1 (x)dx = 3 = (n =, 1,,...) Not: P n (cosθ) (n πn senθ sen + 1 )θ + π ], (n ), (δ θ π δ) 4 Pr terminr este prtdo plnteemos el representr funciones de L en serie de polinomios de Legendre. Se f(x) definid en (, 1) y tl que por lo que f(x) dx y f(x) = c n P n (x) ( < x < 1) f (x) dx existn f(x)p m (x)dx = c n P n (x)p m (x)dx = c n P n (x)p m (x)dx = c m = m + 1 f(x)p m (x)dx (m =, 1,, 3,...) m + 1 c m Not: L serie devolverá el vlor de f(x) en los puntos donde ést se continu. En los puntos de discontinuidd promedirá el slto, es decir, devolverá 1 ] f(x + ) + f(x ). Ejemplo: f(x) = { x < α 1 α < x 1 f(x) = c n P n (x) c n = n + 1 f(x)p n (x)dx = n + 1 α P n (x)dx = 1 α (n + 1)P n (x)dx = 1

11 = 1 P n+1 (x) P n(x) ] dx = 1 α P n+1(α) P n (α)] y c = 1 (1 α) f(x) = 1 (1 α) 1 P n+1 (α) P n (α)] P n (x), ( < x < 1) n=1 S m (α) = 1 (1 α) 1 m P n+1 (α)p n (α) P n (α)p n (α)] = 1 1 P m+1(α)p m (α) n=1 y como P n (α) cundo n lim S m(α) = 1 m = 1 f(α + ) + f(α ) ] 4. Polinomios de Hermite Otr fmili importnte de polinomios ortogonles son los polinomios de Hermite H n (x). y en generl H n (x) = () n e x dn e x dx n (n =, 1,,...) H (x) = 1, H 1 (x) = x, H (x) = 4x, H 3 (x) = 8x 3 1x H n (x) = n ] () k k!(n k)! (x)n k L función genertriz de los polinomios de Hermite viene dd por: W (x, t) = e xt t = H n (x) t n, ( t < ) Not: en relidd W (x, t) es l función genertriz de los polinomios H n(x). L función e xt t es nlític en t por tnto dmite desrrollo de Tylor en t = n W t n ] W (x, t) = e xt t = t= No es complicdo comprobr que 1 n ] W t n t n, ( t < ) t= n ] d = e x t n e (x t) = () n n ] e u e x t= du n = H n (x) u=x H n () = () n (n)! y H n+1 () = 11

12 Teniendo en cuent que W t (x t)w =, podemos escribir de donde se obtiene H n+1 (x) t n x H n (x) t n + H n (x) t n+1 = H n+1 (x) xh n (x) + nh n (x) =, (n = 1,, 3,...) si prtiésemos del hecho de que W tw =, tendrímos x H n(x) t n H n (x) t n+1 = o bien llevndo este resultdo l iguldd nterior H n(x) = nh n (x), (n = 1,, 3,...) H n+1 (x) xh n (x) + H n(x) = derivndo respecto x H n+1(x) H n (x) xh n(x) + H n(x) = (n + 1)H n (x) H n (x) xh n(x) + H n(x) = H n(x) xh n(x) + nh n (x) = Not: L ecución diferencil y xy + λy = se denomin ecución de Hermite. Los polinomios de Hermite dmiten ls siguientes representciones integrles H n (x) = n+1 () n e x π H n+1 (x) = n+ () n e x π ls cules se pueden reunir en un sol H n (x) = n ( i) n e x π e t t n cos(xt)dt (n =, 1,,...) e t t n+1 sen(xt)dt (n =, 1,,...) e t +itx t n dt (n =, 1,,...) Los polinomios de Hermite son ortogonles respecto l función peso ρ(x) = e x en el intervlo (, ), es decir, e x H n (x)h m (x)dx = (m n) 1

13 Si en l ecución diferencil y xy + ny = hcemos el cmbio y = e x u, obtenemos u + (n + 1 x )u = siendo u n (x) = e x Hn (x) un de sus soluciones. Tomemos ls igulddes u n + (n + 1 x )u n = y u m + (m + 1 x )u m = multiplicndo l primer por u m, l segund por u n y operndo integrndo sobre (, ) es decir d dx (u nu m u mu n ) + (n m)u m u n = (n m) u m (x)u n (x)dx = (n m) e x Hm (x)e x Hn (x)dx = (n m) e x H m (x)h n (x)dx = El vlor pr m = n, se obtiene siguiendo los psos: 1. se sustituye n por n 1 en H n+1 (x) xh n (x) + nh n (x) =. se multiplic el resultdo por H n (x) H n(x) xh n (x)h n (x) + (n 1)H n (x)h n (x) = 3. est iguldd le restmos l primer multiplicd por H n (x) H n(x) + (n 1)H n (x)h n (x) H n+1 (x)h n (x) nh n(x) = (n =, 3, 4,...) 4. se multiplic por e x y se integr sobre (, ) e x H n(x)dx = n 5. se plic reiterdmente est últim iguldd e x H n(x)dx (n =, 3, 4,...) pero e x H n(x)dx = n e x H (x)dx = π =! π e x H 1 (x)dx = n π (n =, 3, 4,...) y e x H 1 (x)dx = π = 1 1! π 13

14 luego e x H n(x)dx = n π (n =, 1,, 3,...) y l fmili de polinomios M n (x) = ( n π ) 1 H n (x) constituye un sistem ortonorml de polinomios respecto l función peso ρ(x) = e x en (, ). Además l fmili φ n (x) = ( n π) 1 e x Hn (x) constituye un sistem ortonorml de funciones sobre el intervlo (, ). n: Los polinomios de Hermite tienen l siguiente representción sintótic pr vlores grndes de ( H n (x) n+1 n n e n x e n ) nπ cos + 1 x (n ) Ls funciones f(x) L e x (, ) dmiten un desrrollo en serie de polinomios de Hermite. f(x) L e x (, ) si ls integrles e x f(x)dx existen, entonces siendo c n = y e x f (x)dx f(x) = c n H n (x) ( < x < ) 1 n e x f(x)h n (x)dx (n =, 1,,...) π donde l serie devuelve el vlor de f(x) en los puntos donde ést es continu y 1 donde es discontinu. Ejemplos: f(x + ) + f(x ) ] 1. f(x) = x p, (p =, 1,,...) p x p = c n H n (x) 1 c n = n (n)! e x x p 1 H n (x)dx = π n (n)! e x x p () n e x dn π dx n (e x )dx = 1 = n (n)! (p)! e x x p n (p)! dx = π (p n)! n (n)! π(p n)! Γ(p n+1 ) = (p)! p (n)!(p n)! luego de form nálog x p+1 = x p = (p)! p (p + 1)! p+1 p p H n (x) (n)!(p n)! H n+1 (x) (n + 1)!(p n)! ( < x < ), (p =, 1,,...) ( < x < ), (p =, 1,,...) 14

15 . f(x) = e x e x = c n H n (x) 1 c n = n e x +x H n (x)dx = ()n π n x dn e π dx n (e x )dx = n n e 4 e x = e n H n (x) 4 n ( < x < ) 5. Los polinomios de Lguerre L α n(x) = e x x α d n dx n (e x x n+α ) (n =, 1,,...) (α > ) Los polinomios L α n(x) se conocen como los polinomios de Lguerre generlizdos. L α (x) = 1, L α 1 (x) = 1 + α x, L α (x) = 1 (1 + α)( + α) ( + α)x + x ] en generl, usndo l regl de Leibniz L α n(x) = k Γ(n + α + 1) x k () Γ(k + α + 1) k!(n k)! k = Not: Los polinomios L n(x) = L n (x) constituyen los polinomios de Lguerre. W t W (x, t) = (1 t) α e xt 1 t = L α n(x)t n, ( t < 1) = (α+1)(1 t) α e xt 1 t +(1 t) α e xt x 1 t (1 t) = (α + 1)(1 t) α x(1 t) α 3] e xt 1 t de donde se obtiene lo que permite concluir (1 t) W t + x (1 t)(1 + α)]w = (n + 1)L α n+1(x) + (x α n 1)L α n(x) + (n + α)l α n(x) = (n = 1,, 3,...) por otro ldo W x = t(1 t) α e xt 1 t 15

16 por lo que y obtenemos (1 t) W x + tw = dl α n dx dlα n dx + Lα n(x) =, (n = 1,, 3,...) eliminndo L α n (x) de ls dos igulddes nteriores (x n 1) dlα n(x) dx + (n + 1) dlα n+1 (x) dx + (n + + α x)l α n(x) (n + 1)L α n+1(x) =, (n =, 1,,...) sustituyendo n por n 1 en est últim ecución y usndo el resultdo junto con l iguldd nterior ést pr eliminr d dx Lα n(x) obtenemos x dlα n(x) dx = nl α n(x) (n + α)l α n(x), (n = 1,, 3,...) derivndo respecto de x y usndo igulddes nteriores pr eliminr d dx Lα n(x) y L α n (x) se lleg x d L α n(x) dx + (α + 1 x) dlα n(x) dx + nl α n(x) =, (n =, 1,,...) Not: L ecución diferencil xy + (α + 1 x)y + λy = se denomin ecución generlizd de Lguerre y xy + (1 x)y + λy = ecución de Lguerre. Hciendo el cmbio de vrible y = e x x ν u obtenemos l ecución xu + (α + 1 ν)u + n + α + 1 x 4 siendo u α n(x) = e x x ν L α n(x) un de sus soluciones. ] ν(ν α) + u = x Los polinomios generlizdos de Lguerre dmiten l representción integrl pr x > L α n(x) = ex x α t n+ 1 α J α ( xt)e t dt (α > 1, n =, 1,,...) En prticulr pr α = ± 1 L 1 n (x) = ex t n 1 cos( xt)e t dt = π ex u n cos( xu)e u du = ()n π n H n( x) L 1 n (x) = ex t n sen( xt)e t dt = πx ex u n+1 sen( xu)e u du = ()n H n+1 ( x) xπ n+1 x 16

17 Los polinomios de Lguerre son ortogonles respecto l función peso ρ(x) = e x x α en el intervlo x <, es decir, y si m = n e x x α L α n(x)l α m(x)dx = (m n) (α > ) e x x α L α n(x)] dx = Γ(n + α + 1) (n =, 1,,...) (α > ) Tod función f(x) L e x xα(, ) se puede representr en serie de polinomios de Lguerre f(x) = c n L α n(x) ( < x < ) donde c n = e x x α f(x)l α Γ(n + α + 1) n(x)dx Not: L serie devolverá el vlor de f(x) en los puntos de continuidd de f y el vlor 1 f(x+ )+f(x )] en los puntos de discontinuidd. Ejemplos: 1. f(x) = x ν, (ν > 1 (α + 1)) luego c n = x ν = c n L α n(x) x ν+α e x L α Γ(n + α + 1) n(x)dx = x ν = Γ(ν + α + 1)Γ(ν + 1) en cso de que ν = p N x p = Γ(p+α+1)Γ(p+1) = () n Γ(ν + α + 1)Γ(ν + 1) Γ(n + α + 1)Γ(ν n + 1) 1 x ν dn e x Γ(n + α + 1) dx n x n+α] dx = () n Γ(n + α + 1)Γ(ν n + 1) Lα n(x) ( < x < ), (α > ) () n Γ(n + α + 1)Γ(p n + 1) Lα n(x) ( < x < ), (α > ), (p =, 1,,...). f(x) = e x e x = c n L α n(x) 17

18 c n = e x x α e x L α Γ(n + α + 1) n(x)dx = = e x = ( + 1) α n ( + 1) n+α+1 (n =, 1,,...) Otr form de resolver este ejemplo serí tomr t = 1 x dn e Γ(n + α + 1) dx n e x x n+α ]dx ( ) n L α + 1 n(x) ( x < ) + 1 en W (x, t) función genertriz. 18