EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 2009 PRIMER PARCIAL

Transcripción

1 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 PRIMER PARCIAL CUESTIONES TIPO TEST NOTA: SÓLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA EN CADA CUESTIÓN RESPUESTA CORRECTA: +, PUNTOS RESPUESTA INCORRECTA: -, PUNTOS RESPUESTA EN BLANCO: PUNTOS.- Un triángulo esférico se define como: a) Tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos. X b) Toda porción de superficie esférica limitada por tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos. c) Ninguna de las anteriores..- En toda superficie esférica de radio R, se verifica: a) La distancia medida, en grados seagesimales, entre dos cualesquiera de sus puntos puede medir más de 8º. X b) Cada ciclo tiene dos polos. πr c) El área de um triángulo esférico ABC es ( A + B + C ). 8º.- Sabiendo que el polinomio de MacLaurin de una cierta función f() es,! entonces, en : X a) es un infinitésimo equivalente a f(). b) es un infinitésimo equivalente a f().! c) f() es un infinitésimo 4.- Para valores de próimos a cero podemos utilizar la aproimación de arcsen: a) +.! X b).! c) +.!! 5.- La integral d es: - a a) impropia de primera especie para a >. b) definida a R. a, X c) impropia de segunda especie para [ ] 6.- La derivada de la funciónf() sent dt, entonces: X a) b) c) F'() sen( ) sen F'() sen( ) sen F'() cos( ) cos Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

2 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de Dada la función f() tg(), se verifica a) f() es una función periódica de periodo π. b) f () cos () X c) f() no puede tener asíntotas horizontales porque es periódica. 8.- Dada la función f() ln(-), se verifica a) El dominio de f() es [, ). X b) El dominio de f() es (, ). c) El dominio de f() es [, ). 9.- Dadas las matrices A y B que cumplen ABBA, entonces: a) (A+B) A + B X b) (A+B)(A-B) A - B c) (A-B) A - B.- El determinante de una matriz cuadrada es nulo si: a) Hay una fila idéntica a una columna. b) Coincide con su traspuesta. X c) No tiene inversa. PRIMER PARCIAL.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston (USA) con dirección a Monrovia (Liberia). S abiendo que las coord enadas geográficas de dichas ciudades son: Boston (longitud: 7º O, latitud: 4º N) Monrovia (longitud: º 49 O, latitud: 6º N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades. b) Hallar la longitud del punto donde la trayectoria corta al Ecuador. Nota: en ambos apartados, tómese como radio de la esfera terrestre R 67 km. Puntos.- Sea f() arc sen () a) Teoría: Escribir la definición del polinomio de MacLaurin de grado n. b) Hallar una aproimación del valor arc sen (.) con el polinomio de MacLaurin de grado 5 y acotar el error cometido. Puntos. Dada la curva de ecuaciones paramétricas: a.- Dominio b.- Periodicidad y ( t) sen ( t) () t cos( t). Se pide: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

3 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 c.- Asíntotas d.- Definir los conceptos siguientes: puntos críticos, singulares, de tangencia horizontal y vertical. e.- Puntos críticos, singulares y de tangencia horizontal y vertical en el intervalo π, π f.- Estudio de crecimiento y decrecimiento por ramas en el intervalo, π g.- Cortes con los ejes en el intervalo,. Puntos 4.- a) Definir la función beta β ( p,q). b) Utilizando las funciones gamma Γ (p) y beta β ( p,q), calcular la integral: ( ) c) Hallar el área encerrada por la curva de ecuaciones paramétricas () t + cos t y () t + 5 sen t d) Hallar la longitud de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r sen( α). Puntos - d Tiempo para realizar esta parte: horas Cada ejercicio se entregará en hojas separadas. Publicación de calificaciones: Martes 5 de septiembre de 9. Revisión del Eamen: Miércoles 6 de septiembre de 9 a las : horas en el Aula 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

4 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 PRIMER PARCIAL.- Se va a estudiar la viabilidad de ciertos vuelos desde Boston (USA) con dirección a Monrovia (Liberia). S abiendo que las coord enadas geográficas de dichas ciudades son: Boston (longitud: 7º O, latitud: 4º N) Monrovia (longitud: º 49 O, latitud: 6º N) a) Calcular la distancia entre ambas ciudades. b) Hallar la longitud del punto donde la trayectoria corta al Ecuador. Nota: en ambos apartados, tómese como radio de la esfera terrestre R 67 km. a) b A n N H B Polo norte en N. El punto A corresponde a Boston y el B a Monrovia. En el triángulo ABN: Teorema del coseno en este triángulo: N L B - L A -º 49 (-7º ) 6º 4 a 9º - 6º 8º 4, b 9º - 4º 46º 7 cos n cos a cos b + sen a sen b cos N n 64º 5 En unidades lineales: a I G 67 ng n π km. 6 b) Llamando H a la intersección del meridiano de Monrovia con el Ecuador, la longitud de I estará determinada por la longitud de B (Monrovia) y el valor del arco HI en el triángulo esférico rectángulo BHI. En BHI solo conocemos el cateto BH latitud B 6º pero observamos que el ángulo HBI es opuesto por el vértice al ángulo B del triángulo ABN. cos b cos a cos n + sen a sen n cos B B 44º 7 7 cosb cosacosn cosb sena senn Designamos HIl y usamos el pentágono de Neper correspondiente al triángulo HBI: sen 6º cotgb tgl tgl sen 6º tgb.8564 B l 6º 4 <º 49, luego I está al Oeste de Greenwich y la longitud de I es: L I º 49-6º 4 4º 8 8 O 9º-6º 9º-l Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 4

5 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9.- Sea f() arc sen () a) Teoría: Escribir la definición del polinomio de MacLaurin de grado n. b) Hallar una aproimación del valor arc sen (.) con el polinomio de MacLaurin de grado 5 y acotar el error cometido. a) n) f '() f ''() f () n Tn ( f (),a ) f () + ( - ) + ( - ) ( - )!! n! b) #: TAYLOR(ASIN( ),,, 5) 5 4 #: #: SOLVE(., ) #4: Sustituimos en el polinomio por.5 T5(.5) Cálculo del Error: d 6 #5: ASIN( ) d 4 9 ( ) #6: / ( - 4 ) #7: ( ) #8: IF < <.5, / ( - 4 ) Acotamos con #: 6! -8 #:.47 El verdadero valor está comprendido entre:.6788 y.6745 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

6 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 ( t) sen ( t) () t cos( t). Dada la curva de ecuaciones paramétricas:. Se pide: y a.- Dominio b.- Periodicidad c.- Asíntotas d.- Definir los conceptos siguientes: puntos críticos, singulares, de tangencia horizontal y vertical. e.- Puntos críticos, singulares y de tangencia horizontal y vertical en el intervalo π, f.- Estudio de crecimiento y decrecimiento por ramas en el intervalo g.- Cortes con los ejes en el intervalo π,. π, a.- Dominio: R b.- Periodicidad π Período de la : π π La curva es periódica de período T mcm π, π π Período de la y : Basta estudiar la curva para t [ π, π]. Por tanto, teniendo en cuenta la simetría, haremos variar t en [, π] y completaremos la gráfica por simetría. c.- Asíntotas No hay, pues y y. d.- Definir: Puntos críticos, singulares y de tangencia horizontal y vertical Puntos críticos: Valores del parámetro t que anulan al menos una de las derivadas (t), y (t), o bien alguna de ellas no está definida en t. Puntos tangencia horizontal: '(t) Son los valores de "t" que verifican: y'(t) Puntos tangencia vertical: '(t) Son los valores de "t" que verifican: y'(t) Puntos singulares: '(t) Son los valores de "t" que verifican: y'(t) e.- Puntos críticos, singulares y de tangencia horizontal y vertical π π t cos t t t, pues t, π 4 π y () t sen ( t) t t, pues t, π π () ( ) [ ] Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 6

7 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 t P(,) π Puntos de tangencia horizontal: P, y P t P, 4 Puntos de tangencia vertical: P π t P, Puntos singulares: No hay π π Puntos críticos: t < t < t 4 f.- Estudio del crecimiento y decrecimiento por ramas t (, y) y y () y() π, (,) 4, π π, ,, π π, - + -, (, ) π t P4 (,) g.- Cortes con los ejes Con OY: t P (,) sen( t) t π π t P4 (,) Con OX: π π y cos( t) t t P 5, 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7

8 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de a) Definir la función beta β ( p,q). b) Utilizando las funciones gamma Γ (p) y beta β ( p,q), calcular la integral: ( ) c) Hallar el área encerrada por la curva de ecuaciones paramétricas () t + cos t y () t + 5 sen t d) Hallar la longitud de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r sen( α). a) Función beta de Euler - d p q (p,q) ( ) d Sea p,q R, p,q>. Sea β la función beta de Euler. Esta integral es convergente y recibe el nombre de integral euleriana de ª especie. p q b) La integral ( ) d ( ) d β, q-/ luego p/ y q/. Γ(p) Γ(q) Como β ( p,q) resulta Γ (p + q) Γ Γ Γ Γ π π β, π Γ( )! Γ +, ya que p--/ y c) Usamos la fórmula para el cálculo del área de una curva cerrada dada por unas ecuaciones paramétricas: π π π π cost y(t) '(t)dt ( 5sent)( sent) dt ( 4sent sen t) dt 4sent dt + π 5 4cost 5t+ sen(t) 4+ π 4 π u Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 8

9 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 d) Para calcular el área podemos usar dos procedimientos: Como los pétalos comienzan y acaban en el origen, resolvemos r y nos quedamos con las soluciones entre y π/. sen(α); α, π/. La longitud del primer pétalo viene dada por L POLAR_ARC_LENGTH(sen(α),α,,π/) u. Luego la longitud de la curva completa es LL.6489 u. O bien mediante π / la fórmula: ( r( α )) + ( r'( α) ) dα. SEGUNDO PARCIAL CUESTIONES TIPO TEST NOTA: SÓLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA EN CADA CUESTIÓN RESPUESTA CORRECTA: +, PUNTOS RESPUESTA INCORRECTA: -, PUNTOS RESPUESTA EN BLANCO: PUNTOS.- Sea f: R R una aplicación lineal, entonces: sólo si f es sobreyectiva (epimorfismo). a) f() b) f() X c) f() sólo si f es inyectiva (monomorfismo). siempre..- Sea f: R R una aplicación lineal inyectiva (monomorfismo), entonces: a) dim(im(f)) X b) dim(im(f)). c) dim(im(f))..- En el plano afín se considera el sistema de referencia R { O (, );u(, ),v(, ) } Entonces las coordenadas del punto P(,) respecto de R son: X a), R 4 b), R c) (, ) R Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

10 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de Se consideran los subespacios E + y z y α F y +α del z α espacio afín R. Se verifica: a) E F X b) F E c) E y F son perpendiculares. 5.- En el espacio euclídeo el producto de una homotecia de razón k por una traslación de vector no nulo, verifica que: X a) Tiene un solo punto doble. b) No tiene puntos dobles. c) Tiene dos o más puntos dobles. 6.- Si la ecuación de un giro de ángulo α en el plano euclídeo es de la forma a c d entonces, podemos asegurar que: y b d c y a) Las coordenadas del centro de giro son C(a,b). b) c sen α. X c) El origen de coordenadas se transforma en el punto P(a,b). 7.- La transformación geométrica del plano de ecuaciones:,y y es: a) Un giro. X b) Una semejanza inversa. c) Una simetría. 8.- Todo giro del espacio euclídeo de ángulo α se puede descomponer en: X a) El producto de dos simetrías especulares cuyos planos contienen al eje de rotación y forman entre sí un ángulo α /. b) El producto de dos traslaciones. c) El producto de una simetría especular cuyo plano contenga al eje de rotación por un giro de ángulo α /. 9.- La matriz que define una cónica es: a) singular X b) simétrica c) antisimétrica.- La ecentricidad de una elipse es,5 y el eje mayor es cm. Entonces la distancia focal es: a) 5 cm X b) cm c) cm Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

11 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 Segundo Parcial En el espacio vectorial real de dimensión cuatro. Se dan las bases B { u,u,u,u4, } y B' { v ', v', v', v' 4, } las cuales están relacionadas por u v' + v' + v' 4 u v' + v' v' u v' + v' v' u4 v' + v' + v' 4 4 º Se considera el vector R cuyas coordenadas respecto de la base B' son. Determinar sus coordenadas respecto de la base B. (,,, ) 4 º Se considera el vector y R cuyas coordenadas respecto de la base B son y. Determinar sus coordenadas respecto de la base B'. (-,,,) ( puntos) Dado el endomorfismo f definido por la matriz: A a) Calcular su s valores p ropios y una base de cada uno de los subespacios de vectores propios. b) Determinar una base B de V respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal. Respecto de la base B cuál es la matriz diagonal D? c) Hallar unas ecuaciones paramétricas del subespacio de los vectores invariantes. (,5 puntos) 5 De un giro del plano Euclídeo se sabe que transforma el A en A y el punto B en B. Si las coordenadas de dichos puntos son las siguientes: A (, ) B (-,-) A (-56.55, 68.76) B (-8.6, ) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

12 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 Se pide calcular el ángulo de giro, las coordenadas del Centro y el transformado del origen de coordenadas. ( puntos) Clasificar la siguiente transformación del espacio ' y' y z' z ( puntos) Sea la cónica de ecuación: λy y+ + y+. a.- Clasificarla según los valores del parámetro real λ. b.- Para λ, se pide: Ecuación reducida Semiejes Ecentricidad Centro Asíntotas (,5 Puntos) Tiempo para realizar esta parte: horas Cada ejercicio se entregará en hojas separadas. Publicación de calificaciones: Martes 5 de septiembre de 9. Revisión del Eamen: Miércoles 6 de septiembre de 9 a las : horas en el Aula 4 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

13 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 En el espacio vectorial real de dimensión cuatro. Se dan las bases B { u,u,u,u4, } y B' { v ', v', v', v' 4, } las cuales están relacionadas por u v' + v' + v' 4 u v' + v' v' u v' + v' v' u4 v' + v' + v' 4 4 º Se considera el vector R cuyas coordenadas respecto de la base B son. Determinar sus coordenadas respecto de la base B. (,,, ) 4 º Se considera el vector y R cuyas coordenadas respecto de la base B son y. Determinar sus coordenadas respecto de la base B. (-,,,) La matriz de cambio de base de B a B es: y, por tanto, la matriz de cambio de base de B a B es º De las fórmulas de cambio de base se tiene a' b' c' d' º Análogamente , -, 5, a b c d ( ) y -,, -, ( ).. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía

14 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 4 Dado el endomorfismo f definido por la matriz: 5 A a) Calcular sus valores propios y una base de cada uno de los subespacios de vectores propios. b) Determinar una base B de V respecto de la cual la matriz asociada a f sea diagonal. Respecto de la base B cuál es la matriz diagonal D? c) Hallar unas ecuaciones paramétricas del subespacio de los vectores invariantes. a) Los valores propios son las raíces del polinomio característico de A. ( )( ) 5 5 λ λ λ λ, así pues, los valores propios de A son λ y 5 λ. El subespacio de los vectores propios asociados a λ es α α z y z y 4 y una base de V λ es ( ) { } -,,. Análogamente el subespacio de los vectores propios asociados a 5 λ es β α α z y z y y una base de V λ5 es ( ) ( ) { }..,,,. b) Una base de V respecto de la cual la matriz A es una matriz semejante y diagonal D es: ( ) ( ) ( ) { }, -,..,,,, B y la matriz semejante diagonal de f respecto de la base B es: 5 5 D. c) El subespacio de los vectores invariantes es α α λ z y V.

15 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 De un giro del plano Euclídeo se sabe que transforma el A en A y el punto B en B. Si las coordenadas de dichos puntos son las siguientes: A (, ), B (-, -), A (-56.55, 68.76), B (-8.6, ) Se pide calcular el ángulo de giro, las coordenadas del Centro y el transformado del origen de coordenadas. La ecuación de un giro del plano viene dada por: Siendo O (O, O y ) el transformado del origen de coordenadas y α el ángulo de giro Con los datos aportados, se formará un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas O + cosα- senα O y + cosα + senα -8.6 O - cosα + senα O y - cosα - senα Cuya solución es: O ; O y -5.94; cosα.765; senα.9848 por lo tanto, el ángulo de giro es α 8º y el transformado del origen O (-46.7, -5.94) Para calcular el centro de giro, se sabe que éste es el punto invariante de la transformación y que, por tanto será la solución del sistema O + cos α y senα es decir, y O y + senα + y cosα 46.7 (.765 ).9848 y (.765 ) y Lo que da como solución el punto C (-, -) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

16 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 Clasificar la siguiente transformación del espacio Por ser, M 7< Q M k 7 ' y' z' semejanza inversa de razón k 7 y y z una matriz ortogonal, ya que Q.Q t I, se trata de una Sea la cónica de ecuación: λy y+ + y+. a.- Clasificarla según los valores del parámetro real λ. b.- Para λ, se pide: Ecuación reducida Semiejes Ecentricidad Centro Asíntotas a.- A λ A < λ A λ λ Caso Caso Caso,, λ ( ) - ( ) A A + - Cónica Hipérbola Rectas secante. Hipérbola Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 6

17 EXAMEN EXTRAORDINARIO DE MATEMÁTICAS I 9 de septiembre de 9 b.- Estamos en el caso, se trata de una hipérbola. Ecuación reducida: λ '' +λ y'' + k A Ac Ac λ I λ λ± A λ (signo contrario a k) k A λ '' y'' '' + y'' + Semiejes: a b, se trata de una hipérbola equilátera. Ecentricidad: e y Centro: C (, ) Asíntotas: m Pendiente: a + am + am m m m Ecuaciones: y Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7