MATEMATICAS III (Lic. en Economía. 14/07/04) Convocatoria adelantada de Septiembre

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1 Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Universidad de Las Palmas de G.C. MATEMATICAS III (Lic. en Economía. 14/7/4) Convocatoria adelantada de Septiembre 1. (*) Sea f(x, y) : { ax + y, x y b, x = y. Entonces, f es continua en todo IR si: (a) a = 1, b =. (b) a = 1, b =. (c) ninguna de las anteriores.. (*) Sea Q Q(K, L) una función de producción homogénea de grado 9 siendo K el capital y L el trabajo. Si Q es diferenciable y Q(3, 6) = ( 1, ), entonces Q(3, 6) vale: (a) 1. (b) 9. (c) ninguna de las anteriores. 3. (*) Consideremos el sistema x u + v 3 y = 1 x y + uv = Entonces, en un entorno de (x, y, u, v) = (1,, 1, ), es falsa la siguiente afirmación: (a) (u, v) es función implícita de (x, y). (b) Todas las combinaciones de dos variables son funciones implícitas del resto. (c) x es función implícita (y, u, v). 4. Supongamos que f(x, y) es una función de clase C 1 en IR cuyo polinomio de Taylor en (, ) es p 1 (x, y) = 1 + y. Entonces y es función implícita de x, y = ϕ(x), en un entorno de (, ) con: (a) ϕ () =. (b) ϕ () = 1. (c) y no es función implícita de x en un entorno de (, ). ( ) 5. Sea f de clase C en IR e d tal que f(, 1) = (a, ) y Hf(, 1) =. Entonces, (, 1) es un máximo local d de f si: (a) a =, e <, d <. (b) a =, e <, d =. (c) (, 1) no es nunca un máximo local. 6. Consideremos los problemas: Opt. f(x, y) (x, y) IR (I), Opt. f(x, y) s.a.: g(x, y) = (II), ambos con máximo y mínimo global. Entonces si denotamos por max(min)f I y max(min)f II a los valores máximos y mínimos, respectivamente, de la función f en cada problema, podemos decir que: (a) min f I min f II y max f I max f II. (b) min f I min f II y max f I max f II. (c) min f I min f II y max f I max f II. 7. Dada la función de producción Q(x, y) = x 3/4 y 1/4, consideremos la isocuanta de valor 4 y el punto de dicha isocuanta (, ). El polinomio de Taylor de grado que expresa a x como función de y en dicho punto es: (a) 1 y 15y + 3 (b) y + 15y. (c) ninguno de los anteriores. 8. Sea Q(K, L) = AK α L β (con α = β) una función de producción. Supongamos que en un punto (K, L ) se tiene que Q(K, L ) = q y consideremos la isocuanta Q(K, L) = q. Supongamos también que en un entorno de dicho punto (K, L ), K es función implícita de L. Entonces en un entorno de dicho punto, la pendiente de la recta tangente a la isocuanta vale: (a) K. (b) L. (c) ninguna de las anteriores. L K 9. La integral dxdy, sobre el conjunto A = { (x, y) IR / x + y x, y, vale: A

2 (a) 1 8. (b) π. (c) ninguna de las anteriores. (Ayuda: recuerda que cos θ = 1 + cos θ) 1. Sea f(x, y, z) = x + y + byz + ax, con a y b parámetros. Entonces, para que (1,, 1) sea óptimo local debe ocurrir que: (a) b = a. (b) a =, b =. (c) ninguno de los anteriores. 11. Consideremos ahora el problema: Opt. x + y + byz + ax s.a.: x + y + z = con a y b parámetros. Entonces, para que (1,, 1) sea un punto crítico o estacionario del problema debe ocurrir que: (a) b = a. (b) a =, b =. (c) ninguno de los anteriores. 1. En el ejercicio anterior, el punto (1,, 1) es: (a) máximo local (b) mínimo global (c) ninguno de los anteriores. 13. Sea f diferenciable con f(x, y) = (x, y) y consideremos el problema: Opt. f(x, y) s.a.: 5x + 6xy + 5y. = 8 De dicho problema sabemos que el número de puntos críticos es: (a) cuatro. (b) seis. (c) cinco. 14. El problema 13 es: (a) convexo y por tanto tiene máximo y mínimo global. (b) convexo pero sus óptimos son locales. (c) no es convexo pero tiene óptimos globales pues la región factible es compacta. 15. Consideremos el problema: Opt. x + y + z s. a.: x + y + z 3 del que conocemos que el punto (1, 1, 1) verifica las condiciones de primer orden de Kuhn Tucker (K-T). Entonces, las condiciones de segundo orden de K-T nos aseguran que: (a) (1, 1, 1) es máximo local. (b) (1, 1, 1) es mínimo local. (c) no nos aseguran nada sobre (1, 1, 1). 16. En el problema del ejercicio 15, podemos afirmar que: (a) El problema es convexo pero (1, 1, 1) es sólo máximo local. (b) El problema no es convexo pero (1, 1, 1) es máximo local. (c) El problema es convexo y por ello (1, 1, 1) es máximo global. Importante 1. Duración: horas. Sólo una de las opciones de cada pregunta es correcta.. Cada respuesta correcta vale 5 puntos. Cada respuesta incorrecta descuenta puntos. Conserva este ejemplar para que puedas autocorregirte. 3. El ejercicio en el ordenador se realizará a la finalización de este examen. 4. Una copia de este examen, resuelto de forma razonada, se depositará en la dirección web: en su apartado de docencia. 5. Las calificaciones se harán públicas el jueves 15 de julio de 4, en la web de la asignatura y en el tablón de anuncios del Departameto (tercera planta del módulo D). 6. La revisión de exámenes será los días 16 y 19 de julio de 4 de 1: a 11: horas en el despacho D4.9.

3 Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Universidad de Las Palmas de G.C. MATEMATICAS III (Lic. en Economía. 14/7/4) Convocatoria adelantada de Septiembre Hoja de respuestas Apellidos y Nombre: Pregunta Respuesta a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c c c c c c c (Marca con tu respuesta. No hagas tachaduras, si necesitas otra plantilla pídela) D.N.I.: Firma:

4 Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Universidad de Las Palmas de G.C. MATEMATICAS III (Lic. en Economía. 14/7/4) Prueba de ordenador TIPO A Apellidos y Nombre: Ejercicio 1. Una empresa produce dos artículos de acuerdo a las funciones de demanda:.p x 1 =, 5p 16 + x = siendo p 1 y p sus precios y x 1 y x las cantidades de los productos, respectivamente. La fución de costes totales: C(x 1, x ) = x 1 + 4x 1 x + 4x. Teniendo como objetivo maximizar el beneficio como función de p 1, p, x 1 y x, se pide: 1. Obtener los valores de los multiplicadores de Lagrange para los puntos críticos del problema. (1 puntos). Clasificarlos y obtener el beneficio máximo, si existe. (5 puntos) 3. Obtener el efecto sobre el beneficio óptimo de un aumento en la demanda del primer producto de unidades. (5 puntos)

5 Soluciones 1. Será continua en todo IR cuando lo sea en puntos (x, x ). En ellos se tiene que: (a) Para x y : lim f(x, y) = (a + 1)x. (x,y) (x,y ) (b) Para x = y: lim f(x, y) = b. (x,y) (x,y ) Luego debe verificarse (a + 1)x = b, x IR, lo cual sólo ocurre cuando a = 1 y b =. La solución es (a).. De aplicar el teorema de Euler a la función homogénea que tenemos se obtiene: 3 Q (3, 6) + 6 Q(3, 6) = 9Q(3, 6). K L De la expresión del gradiente de Q se tiene que el primer término de la igualdad vale lo siguiente: 3 (-1) + 6 () = 9. Luego, Q(3, 6) = 9 = 1. La solución es (a) Puesto que las dos primeras condiciones del teorema de la función implícita se verifican, al tratarse de polinomios, toda la discusión pasa por la matriz jacobiana en el punto (1,, 1, ). ( ) ( ) xu v 3 x J f(x, y, u, v) = 3v y 1 xy x = J f(1,, 1, ) =. v u 1 Observamos pues que (u, v) es función implícita de (x, y), pero no la única ya que, por ejemplo (y, u) lo es de (x, v). Pero no lo es cualquiera, ya que por ejemplo, (x, u) no lo es de (y, v). La respuesta es (b). 4. El polinomio de Taylor de primer grado para la función f en (, ) es: p 1 (x, y) = f(, ) + f(, )(x, y). Donde las componentes de f(, ) son las parciales de f respecto de cada variable en (, ). Si por hipótesis el polinomio es 1 + y, se deduce entonces que f(, ) = 1 y f f (, ) = y (, ) = 1. De donde se deduce x y que en un entorno de (, ) para la ecuación f(x, y) = 1, y es función implícita de x y además su derivada vale: ϕ () = f/ x =. La respuesta correcta es (a). f/ y 5. Para que sea punto crítico es claro que a =. El determinante de la matriz hessiana es d y dicha matriz es indefinida. En consecuencia, la respuesta correcta es (c). 6. Es claro que el conjunto de soluciones del problema (I) incluye al de soluciones del problema (II), al ser el primer problema sin restricciones y el segundo, el mismo pero con restricciones de igualdad. Tenemos pues que la solución es (a). 7. La isocuanta vendrá dada por la ecuación: x 3/4 y 1/4 = 4, que se verifica en el punto (, ). El gradiente vale ( 3 x 1/4 y 1/4, 1 x3/4 y 3/4 ), que en (, ) vale ( 3, 1 ). Luego, en un entorno de (, ), x es función implícita de y. El polinomio de Taylor que mejor aproxima esa función implícita tiene la expresión: p(y) = x() + x y ()(y ) + 1 x y ()(y ). Conocemos: x() =, x f/ y(, ) () = y f/ x(, ) = 1/ 3/ = 1 3. Para obtener x y debemos derivar parcialmente respecto a y en la expresión: f y + f x x y =. Utilizando los diagramas de árbol que nos relacionan f y sus variables, obtenemos la expresión ya conocida: { { 1 x f y f x y + f x y x ( ) y + f x x y Sustituyendo en los valores de (x, y) = (, ) y se obtiene que x y = 7. Luego el polinomio de Taylor de 36 segundo grado será: p(y) = 1 7 (y ) (y ) = 7y 38y + 3. Respuesta: (c) 7

6 8. Las parciales de Q respecto a K y L valen: AαK α 1 L β y AβK α L β 1, respectivamente. Si K es función implícita de L en un entorno de dicho punto, entonces su derivada valdrá: Respuesta: (a). K L (L ) = Q/ L(K, L ) Q/ K(K, L ) = β K = K. α L L 9. Utilizando { el cambio a coordenadas polares: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, se tiene que la región A se transforma en: D = (ρ, θ)/ ρ cos θ, θ π. Luego: π/ cos θ ( π/ ) cos θ dxdy = ρdρdθ = ρdρ dθ = A La respuesta es (b). = π/ ρ ] cos θ dθ = π/ cos θdθ = π/ (1 + cosθ) dθ = π. 1. Para que (1,, 1) sea óptimo local debe cumplirse que: f(x, y, z) = (x + a, y + bz, by) = (,, ). De donde se deduce que, a = y b =. Además puesto que la matriz hessiana vale: Hf(x, y, z) =, que es semidefinida positiva y f es convexa, luego (1,, 1) es mínimo global de f. Respuesta: (b). 11. Construyendo la función lagrangiana se obtienen las ecuaciones: x + a λx = y + bz λy = by λz = x + y + z = En el punto (1,, 1) se cumplirán las ecuaciones anteriores cuando a =, b =, λ =. La respuesta correcta es (b). 1. El problema no es convexo, pero la región factible es compacta y la función objetivo es continua. El Teorema de Weierstrass nos asegura la existencia de máximo y mínimo global. Obteniendo la matriz hessiana para el punto estacionario y restringiendo a los vectores donde g(1,, 1) h = se obtiene que la matriz restringida es definida positiva y por tanto tenemos un mínimo. Respuesta: (b). 13. Se trata de un problema con restricciones de igualdad. El sistema será: ( ) ( ) ( x 1x + 6y + λ = y 6x + 1y ) Por tanto, el sistema de ecuaciones que debemos resolver es: x + λ(1x + 6y) = y + λ(6x + 1y) = 5x + 6xy + 5y = 8 Sustituyendo en la primera ecuación: y = x + 5λx, se tiene: 3λ Por tanto, las soluciones son: x ( 16λ + 1λ + 1 ) =. (a) x = = y =, (, ). (b) λ = 1 8 = y = x = ± 1, ( 1 1, ), ( 1, 1 ).

7 (c) λ = 1 = y = x = ±, (, ), (, ). La solución (, ) no es factible y por tanto se rechaza. Luego hay 4 puntos críticos. Respuesta: (a). ( ) 14. La matriz hessiana es Hf(x, y) =, (x, y) IR, que es definida positiva. Luego la función objetivo es convexa. Aunque el conjunto de restricciones no es convexo sí es compacto, por tanto alcanza máximos y mínimos globales. Respuesta: (c). 15. La región factible la determina la restricción x + y + z 3. Se trata de la esfera en 3D de centro (,, ) y radio 3 (incluyendo el interior) que es claramente convexa y compacta. Construyendo la función lagrangiana L(x, y, z; λ) = x + y + z + λ(x + y + z 3), deducimos inmediatamente las ecuaciones que debe cumplir un punto para ser candidato a óptimo local: x y o equivalentemente (junto con las demás condiciones): + λ x y = z x + λx =, (1) y + λy =, () + λz =, (3) λ(x + y + z 3) =, (4) x + y + z 3, λ ( ). (5) Como sabemos que (1, 1, 1) es óptimo debe verificar todas las ecuaciones. De donde deducimos que λ = 1. Las condiciones de segundo orden pasan por obtener la matriz Hessiana siguiente: H (x,y,z) L(x, y, z) = + λ + λ =. λ Esta matriz es semidefinida positiva y por tanto debemos restringir. El gradiente de la restricción es el vector (,, ) y por tanto los vectores tangentes son: h 1 + h + h 3 = h 3 = h 1 h. Restringiendo: (h 1, h, h 1 h ) h 1 h = (h 1 + h ). h 1 h Pero esta cantidad puede ser cero para valores de h 1 y h distintos de, basta tomar h 1 = h. En consecuencia, el criterio no decide. Respuesta: (c). 16. Sin embargo, sabemos que el problema es convexo (función objetivo convexa y región factible convexa, además también compacta). Por tanto, por el teorema local-global los condiciones de primer orden son necesarias y suficientes (pues el punto es regular) y como el multiplicador es negativo, se tiene que (1, 1, 1) es máximo global. La respuesta es (c). En resumen, la plantilla completa de respuestas correctas sería: Pregunta Respuesta a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c c c c c c c

8 Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Universidad de Las Palmas de G.C. MATEMATICAS III (Lic. en Economía. 14/7/4) Prueba de ordenador TIPO A Apellidos y Nombre: Ejercicio 1. Una empresa produce dos artículos de acuerdo a las funciones de demanda:.p x 1 =, 5p 16 + x = siendo p 1 y p sus precios y x 1 y x las cantidades de los productos, respectivamente. La fución de costes totales: C(x 1, x ) = x 1 + 4x 1 x + 4x. Teniendo como objetivo maximizar el beneficio como función de p 1, p, x 1 y x, se pide: 1. Obtener los valores de los multiplicadores de Lagrange para los puntos críticos del problema. (1 puntos). Clasificarlos y obtener el beneficio máximo, si existe. (5 puntos) 3. Obtener el efecto sobre el beneficio óptimo de un aumento en la demanda del primer producto de unidades. Solución. 1. El programa que hay que resolver será: max B(p 1, p, x 1, x ) = p 1 x 1 + p x x 1 4x 1 x 4x s. a :.p x 1 = 5p 16 + x = (5 puntos) Puesto que nos piden calcular los puntos estacionarios debemos plantear la funcón lagrangiana y en principio este apartado debe resolverse con Derive. Resolviendo el sistema obtenido de igualar el gradiente de la lagrangiana a cero, se obtiene un único punto crítico: (p 1, p, x 1, x ; λ 1, λ ) = ( 31 3, 74 3, 3, 11 6, 1 3, 11 ). Al tener un único punto 3 también podemos utilizar Lingo. max=p1*x1+p*x-x1*x1-4*x1*x-4*x*x;.*p *x1=; 5*p-16 + * x =; Optimal solution found at step: 9 Objective value: Variable Value Reduced Cost P E+ X E-6 P E+ X E-6 Row Slack or Surplus Dual Price E E Tenemos un máximo con beneficio obtenido de unidades monetarias. 3. Supondrá un aumento de unidades monetarias.