Breve sobre Kuhn-Tucker

Transcripción

1 Breve sobre Kuhn-Tucker Alejandro Lugon 20 de agosto de 2010 Resumen Se presentan a manera de manual de referencia los resultados relevantes para la solución de problemas de maximización usando los resultados de Kuhn-Tucker. Problema básico Para el problema: Max F (x) (1) s.a. g j (x) c j con j = 1,..., m con x R n. Se forma el Lagrangiano: L F (x) λ j (g j (x) c j ) (2) para obtener las: Condiciones de Kuhn-Tucker (CKT) = 0 para cada i = 1,..., n 4. Si g j (x) < c j entonces λ j = 0 para cada j = 1,..., m 1 Necesidad y suficiencia de las CKT Los resultados teóricos para el uso de estas condiciones se dan a continuación: Teorema 1 (Necesidad) Sea x solución del problema (1). Si x cumple la cualificación de las restricciones 2 entonces existe λ R m tal que (x, λ ) cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker 1 Formas equivalentes de esta condición son: [λ j > 0 entonces g j (x) = c j ] o [λ j (g j (x) c j ) = 0] 2 Veremos luego a qué se refiere esta condición 1

2 Supongamos por el momento que toda x posible cumple la cualificación de las restricciones. En ese caso, el teorema nos dice que toda solución debe satisfacer las CKT para cierto λ. Leída de otra forma; si x no cumple la CKT para ningún λ entonces no puede ser solución. En la práctica si aplicamos y resolvemos las ecuaciones de la CKT, todos los puntos que encontremos serán candidatos a resolver el problema (aunque no es seguro que sean solución), todos los demás puntos han sido descartados como posibles soluciones. La cualificación de las restricciones es una condición técnica que puede tomar varias formas, las más usuales son: Para el problema (1) el punto x cumple con la cualificación de las restricciones en cualquiera de los siguientes casos: Ind.Lin El conjunto de vectores de R n : { g j (x) g j (x) = c j } es linealmente independiente Lin Todas las restricciones g j son lineales. Slater Todas las restricciones g j son convexas y existe x tal que g j (x ) < c j para cada j = 1,..., m. Repitiendo lo dicho antes, con bastante generalidad las Condiciones de Kuhn-Tucker seleccionan un conjunto de puntos que debe incluir a la solución, si esta existe. Para poder asegurar que aquellos puntos que satisfacen las CKT son la solución tenemos los resultados de suficiencia. Teorema 2 (Suficiencia 1) Si en el problema (1), la función objetivo f es cóncava y todas las restricciones g j son convexas se cumple que: Si (x, λ ) cumple las condiciones de Kuhn-Tucker entonces x es solución de (1). Teorema 3 (Suficiencia 2) Si en el problema (1), (x, λ ) cumple las condiciones de Kuhn-Tucker y L(x, λ ), como función de x, es cóncava, entonces x es solución de (1). Demostración. Al ser L(x, λ ) cóncava, las condiciones: (x, λ ) = 0 para cada i = 1,..., n nos aseguran que x es un máximo de L(x, λ ), por lo que para todo x: L(x, λ ) L(x, λ ) F (x ) λ j (g j (x ) c j ) F (x) λ j (g j (x) c j ) F (x ) F (x) F (x ) F (x) λ j (g j (x ) c j ) λ j (g j (x) c j ) λ j (g j (x ) c j ) λ j (g j (x) c j ) Por las CKT sabemos que λ j (g j(x ) c j ) = 0 para toda j. F (x ) F (x) λ j (g j (x) c j ) F (x ) F (x) λ j (c j g j (x)) 2

3 Como x debe cumplir las restricciones tenemos que g j (x) c j y además los multiplicadores deben ser no negativos: λ j 0 luego para cada sumando λ j (c j g j (x)) 0 con lo que llegamos a: F (x ) F (x) 0 es decir: F (x ) F (x) El primero de estos teoremas se puede aplicar antes de usar las CKT. Para aplicar el segundo necesitamos resolver las CKT para verificar en cada candidato si L(x, λ ) es cóncavo. Debe ser claro que el primer teorema de suficiencia se desprende del segundo. Otra forma de estar seguros de haber obtenido la solución es usar el: Teorema 4 (Weierstrass) Si en (1), la función F es continua y las restricciones generan un conjunto cerrado y acotado, entonces el problema tiene al menos una solución. Si podemos aplicar el Teorema de Weierstass, la solución debe ser uno de los puntos seleccionados por las CKT y basta entonces evaluar la función objetivo en cada candidato para saber cuál es la solución. 2. Uso de las CKT Al usar las CKT debemos encontrar soluciones completas, valores para las x s y para las λ s, es decir tenemos n + m incógnitas. Para esto necesitamos (genéricamente) n + m ecuaciones. Observando las CKT, el punto 1 provee de n ecuaciones, las otras m ecuaciones salen del punto 4 considerando las dos alternativas: [g j (x) = c j ] o [g j (x) < c j y por lo tanto λ j = 0]. Como tenemos m de estas posibilidades se generan 2 m casos que envuelven a m + n ecuaciones para m + n variables. En cada caso luego de resolver las ecuaciones se deben verificar las desigualdades de los puntos 2 y Ejemplo El lagrangiano es: Max F (x, y) s.a. g 1 (x, y) c 1 g 2 (x, y) c 2 g 3 (x, y) c 3 L(x, y, λ 1, λ 2, λ 3 ) = F (x, y) λ 1 (g 1 (x, y) c 1 ) λ 2 (g 2 (x, y) c 2 ) λ 3 (g 3 (x, y) c 3 ) y las CKT: x = 0 y = 0 2. g 1 (x, y) c 1 g 2 (x, y) c 2 g 3 (x, y) c 3 3. λ 1 0 λ 2 0 λ 3 0 3

4 4. Si g 1 (x, y) < c 1 entonces λ 1 = 0 Si g 2 (x, y) < c 2 entonces λ 2 = 0 Si g 3 (x, y) < c 3 entonces λ 3 = 0 Como tenemos 3 restricciones tenemos 2 3 = 8 casos: g 1 g 2 g 3 1 = c 1 = c 2 = c 3 2 > c 1 = c 2 = c 3 3 = c 1 > c 2 = c 3 4 > c 1 > c 2 = c 3 5 = c 1 = c 2 > c 3 6 > c 1 = c 2 > c 3 7 = c 1 > c 2 > c 3 8 > c 1 > c 2 > c 3 2. Problemas con condiciones de nonegatividad En muchos problemas de la teoría económica las variables de elección deben ser no negativas, planteándose en este caso el problema: Max F (x) (3) s.a. g j (x) c j con j = 1,..., m x i 0 para i = 1,..., n Este problema puede ser tratado como se fuera del tipo (1) ahora con n + m restricciones (y multiplicadores). Lo que sucede es que los multiplicadores de las restricciones de no negatividad no tienen mayor interés. Es por esto que se adecuan las condiciones de Kuhn-Tucker para no trabajar con dichos multiplicadores. 2. Adecuación de las condiciones de Kuhn-Tucker El lagrangiano original para el problema (3) es: L F (x) pero vamos a escribir las condiciones de K-T en base al Lagrangiano corto : donde no usamos los multiplicadores µ. Observemos que: L F (x) n µ i ( x i ) (4) i=1 λ j (g j (x) c j ) (5) = + µ i Para el lagrangiano (4) las condiciones de K-T son: = + µ i = 0 para cada i = 1,..., n 4

5 x i 0 para i = 1,..., n µ i 0 para cada i = 1,..., n 4. Si g j (x) < c j entonces λ j = 0 Si x i > 0 entonces µ i = 0 Observemos que de la primera condición podemos despejar: y reemplazar en las otras: x i 0 para i = 1,..., n 0 para cada i = 1,..., n 4. Si g j (x) < c j entonces λ j = 0 Si x i > 0 entonces = 0 µ i = Donde observamos que no aparecen los multiplicadores µ y las condiciones están expresadas en términos del Lagrangiano (5). Finalmente podemos ordenar, simplificar y renumerar las condiciones para obtener: 0 para cada i = 1,..., n 3. x i 0 para i = 1,..., n 4. λ j 0 para cada j = 1,..., m 5. Si g j (x) < c j entonces λ j = 0 6. Si x i > 0 entonces = 0 Los casos y sistemas de ecuaciones se obtienen de las condiciones 5 y Ejemplo Tenemos: con las condiciones: Max xy x + y s.a. x + y 9 x + 5y 25 x 0 y 0 L xy x + y λ 1 (x + y 9) λ 2 (x + 5y 25) 5

6 x = y 1 λ 1 λ 2 0 y = x + 1 λ 1 5λ x + y 9 x + 5y x 0 y 0 4. λ 1 0 λ Si x + y < 9 entonces λ 1 = 0 Si x + 5y < 25 entonces λ 2 = 0 6. Si x > 0 entonces y 1 λ 1 λ 2 = 0 Si y > 0 entonces x + 1 λ 1 5λ 2 De las condiciones 5 y 6 tenemos 2 4 = 16 casos: R1 R2 x y a = = = = b > = = = c = > = = d > > = = e = = > = f > = > = g = > > = h > > > = i = = = > j > = = > k = > = > l > > = > m = = > > n > = > > p = > > > q > > > > 3. Problemas con restricciones mixtas Consideremos ahora el problema: Max F (x) (6) s.a. g j (x) c j con j = 1,..., m h k (x) = d k con k = 1,..., l con x R n. en el cual tenemos restricciones de desigualdad y de igualdad. 6

7 3. Adecuación de las CKT Para poder aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker podemos transformar el problema en: Max F (x) (7) s.a. g j (x) c j con j = 1,..., m h k (x) d k con k = 1,..., l h k (x) d k con k = 1,..., l Donde hemos usado: h k (x) = c k d k h k (x) d k { hk (x) d k h k (x) d k Para el problema?? se forma el Lagrangiano: L(x, λ, µ, ν) = F (x) y se obtienen las condiciones de Kuhn-Tucker: = 0 para cada i = 1,..., n h k (x) d k para cada k = 1,..., l h k (x) d k para cada k = 1,..., l µ k 0 para cada k = 1,..., l ν k 0 para cada k = 1,..., l 4. Si g j (x) < c j entonces λ j = 0 Si h k (x) < d k entonces µ k = 0 Si h k (x) > d k entonces ν k = 0 µ k (h k (x) d k ) + ν k (h k (x) d k ) (8) Del punto 2 podemos recuperar h k (x) = c k para cada k = 1,..., l, lo cual nos permite no considerar las dos últimas condiciones del punto 4. Por otro lado podemos transformar el lagrangiano de 8: L(x, λ, µ, ν) = F (x) = F (x) = F (x) = L(x, λ, η) µ k (h k (x) d k ) + ν k (h k (x) d k ) (µ k ν k )(h k (x) d k ) η k (h k (x) d k ) 7

8 Donde hemos definido un nuevo multiplicador: η k = µ k ν k y un nuevo Lagrangiano: L(x, λ, η) = F (x) η k (h k (x) d k ) (9) y es fácil ver la relación entre las derivadas de ambos Lagrangianos (ecuaciones (8) y(9): L(x, λ, µ, ν) = L(x, λ, η) En términos de este Lagrangiano las condiciones establecidas serían: = 0 para cada i = 1,..., n h k (x) = d k para cada k = 1,..., l 4. Si g j (x) < c j entonces λ j = 0 Donde los multiplicadores η k, al ser la diferencia de dos números no negativos, pueden tomar valores negativos, positivos o nulos. Es decir que no están restringidos a ser no negativos, como lo están los multiplicadores asociados a las restricciones de desigualdad Ejemplo Tenemos: con las condiciones: Max xy x + y s.a. x + y 9 x + 5y = 25 L xy x + y λ 1 (x + y 9) λ 2 (x + 5y 25) x = y 1 λ 1 λ 2 = 0 y = x + 1 λ 1 5λ 2 = 0 2. x + y 9 x + 5y = λ Si x + y < 9 entonces λ 1 = 0 De la condición 4 tenemos 2 1 = 2 casos: x + y < 9 y x + y = 9. 8

9 4. Teorema de la Envolvente Consideremos un problema de optimización con variables de elección x R n y parámetros q Q R s : Max F (x, q) (10) s.a. g j (x, q) 0 con j = 1,..., m y supongamos que para todo juego de parámetros q Q el problema tiene solución y esta es única, así podemos escribir: x(q), la solución de (10) para q. Lo que estamos haciendo es definir la función solución: x : Q R n, que a cada juego de parámetros q le asigna la solución particular del problema 3. También podemos definir la función valor óptimo: v : Q R, que a cada juego de parámetros q le asigna el valor máximo de la función: v(q) = F (x(q), q). Estas dos funciones en la teoría económica pueden ser de interés, por ejemplo: si el problema de maximización corresponde al problema del consumidor, los parámetros q son los precios y el ingreso, la función x(q) es la función demanda y la función v(q) es la utilidad indirecta. Una primera pregunta es si estas funciones x( ) y v( ) son continuas o, aún más, diferenciables respecto de los parámetros q, para lo que sigue asumiremos lo segundo. El Teorema de la Envolvente para el caso en que se tiene solo restricciones de igualdad es conocido: Teorema 5 (Envolvente) Para el problema Max F (x, q) s.a. g j (x, q) = 0 con j = 1,..., m sea v(q) = F (x(q), q) la función valor, la cual asumiremos diferenciable. Se cumple: v(q) q s q = = (x, q, λ) q s F (x, q) q s (x( q), q) (x( q), q,λ( q)) λ j ( q) g j(x, q) q s (x( q), q) Para tener un resultado similar para el problema con restricciones de desigualdad se debe asegurar que el conjunto de restricciones que se cumplen con igualdad en la solución x(q) : es invariante en una vecindad de q. B(q) = {j g j (x(q), q) = 0} 3 Observemos que también los multiplicadores de Lagrange que acompañan a cada solución dependen de q: λ(q) 9