CURSOS DE MATEMÁTICAS

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1 CURSOS DE MATEMÁTICAS Relaciones de equivalencia FERNANDO REVILLA Jefe del Departamento de Matemáticas del IES Santa Teresa de Madrid y profesor de Métodos Matemáticos de la Universidad UAX, Madrid (hasta el curso ). Prólogo La primera parte de cada curso consta de una colección de problemas en donde se usan los correspondientes conceptos y teoremas. En la segunda (sección Problemas diversos), aparecen problemas de variada dificultad. Índice 1. Concepto de relación binaria 2 2. Relación de equivalencia, conjunto cociente 3 3. Partición de un conjunto 6 4. Problemas diversos 6 c All rights reserved, Safe Creative, cód

2 1 CONCEPTO DE RELACIÓN BINARIA Nota. Los problemas que llevan el símbolo corresponden a demostraciones de resultados teóricos. 1. Concepto de relación binaria 1. Analizar si son reflexivas las relaciones en A = {a, b, c} : R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, a)}, S = {(a, b), (b, b), (c, a)}. La relación R es reflexiva pues para todo x A se verifica xrx. Sin embargo, la relación S no es reflexiva pues por ejemplo a Ra. 2. Analizar si son simétricas las relaciones: a) En el conjunto de las rectas del plano, rrs r es perpendicular a s. b) En Z, xry x y. a) Es simétrica, pues si r es perpendicular a s entonces s es perpendicular a r. Es decir, rrs. implica srr. b) No es simétrica, pues por ejemplo 0R1, pero 1 R0. 3. Analizar si son transitivas las relaciones: a) En Z, xry x y. b) En A = {1, 2, 3}, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 1)}. a) Es transitiva pues si xry e yrz, entonces x y e y z y por tanto x z. Es decir xrz. b) No es transitiva pues por ejemplo 1R2, 2R3, y 1 R3. 4. Analizar si son antisimétricas las relaciones: a) En Z, xry x y. b) En R, xry x = y. a) Es antisimétrica pues si xry e yrx, entonces x y e y x y por tanto x = y. b) No es antisimétrica, pues por ejemplo ( 1)R1, 1R( 1) y sin embargo, En el conjunto P(U) (partes de U), se define la relación ARB A B. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Reflexiva. Se cumple, pues para todo A P(U) se verifica A A. Simétrica. No se verifica, si A B con A B, entonces B A. Transitiva. Se cumple, si A B y B C, entonces A C. Antisimétrica. Se cumple, si A B y B A entonces A = B. 2

3 2 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE 6. En el conjunto R se define la relación xry x = y. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Reflexiva. Se cumple, pues para todo x R se verifica x = x. Simétrica. Se cumple, pues si x = y entonces y = x. Transitiva. Se cumple, pues si x = y y y = z entonces x = z. Antisimétrica. No se verifica, por ejemplo 1 = 1, 1 = 1 y sin embargo Sea R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 2), (2, 3)} una relación definida en A = {1, 2, 3, 4}. Estudiar cuales de las siguientes propiedades cumple: reflexiva, simétrica, transitiva, antisimétrica. Reflexiva. No se verifica, pues 4 R4. Simétrica. No se verifica, pues 2R3 pero 3 R2. Transitiva. No se verifica, pues 1R2 y 2R3 pero 1 R3. Antisimétrica. No se verifica, pues 1R2, 2R1 pero Relación de equivalencia, conjunto cociente 8. En un conjunto A formado por bolas de colores, demostrar que la relación xry si y sólo si x tiene el mismo color que y, es de equivalencia. En efecto, toda bola tiene el mismo color que ella misma (reflexiva). Si x tiene el mismo color que y, entonces y tiene el mismo color que x (simétrica). Si x tiene el mismo color que y e y tiene el mismo color que z, entonces x tiene el mismo color que z (transitiva). 9. Sea A un conjunto formado por siete bolas numeradas del 1 al 7 y tales que las bolas 1,2,3 son rojas, la 4 y 5 azules, y la 6 y 7 verdes. Se considera en A la relación de equivalencia xry, si y sólo si x e y tienen el mismo color. Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente. Las clases de equivalencia son: y por tanto, el conjunto cociente es: C[1] = C[2] = C[3] = {1, 2, 3} C[4] = C[5] = {4, 5} C[6] = C[7] = {6, 7}, A/R = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7}}. Nota. A veces se identifica cada clase de equivalencia, con lo que tienen en común los elementos de la clase. En la relación de equivalencia de este problema sería A/R {rojo, azul, verde}. 3

4 2 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE 10. En R se define la relación arb a 2 b 2 = a b. (a) Demostrar que R es relación de equivalencia. (b) Determinar la clase a la que pertenece 5. (c) Determinar el conjunto cociente R/R. (a) Reflexiva. Para todo a R se verifica a 2 a 2 = a a, en consecuencia ara. Simétrica. Para todo a, b R : arb a 2 b 2 = a b b 2 a 2 = b a bra. Transitiva. Para todo a, b, c R : { { arb a brc 2 b 2 = a b b 2 c 2 = b c (sumando) a2 c 2 = a c arc. La relación R es por tanto de equivalencia. (b) La clase a la que pertenece 5 es: Resolvemos la ecuación: C[5] = {x R : xr5} = {x R : x = x 5}. x = x 5 (x + 5)(x 5) = (x 5) (x + 5)(x 5) (x 5) = 0 (x 5)(x + 4) = 0 x = 5 o x = 4. La clase pedida es por tanto C[5] = {5, 4}. (c) Sea a R. La clase a la que pertenece a es: Resolvemos la ecuación: C[a] = {x R : xra} = {x R : x 2 a 2 = x a}. x 2 a 2 = x a (x + a)(x a) = (x a) (x + a)(x a) (x a) = 0 (x a)(x + a 1) = 0 x = a o x = 1 a. Es decir, C[a] = {a, 1 a}, y el conjunto cociente es: R/R = {{a, 1 a} : a R}. Nótese que cada clase tiene dos elementos, salvo en el caso a = 1 a (es decir, a = 1/2) que sólo tiene un elemento: C[1/2] = {1/2}. 11. En el conjunto A = {0, 1, 2,..., 20} se considera la relación xry si y sólo si x y es múltiplo de 2, es decir xry si y sólo si existe k Z tal que x y = 2k. Determinar las clases C[0] y C[1] y a partir de ellas deducir el conjunto cociente. 4

5 2 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, CONJUNTO COCIENTE Reflexiva. Para todo x A se verifica x x = 0 = 2 0 con 0 Z, en consecuencia xrx. Simétrica. Para todo x, y A : xry k Z : x y = 2k y x = 2( k) yrx (pues k Z). Transitiva. Para todo x, y, z A : { { xry k Z : x y = 2k yrz k Z : y z = 2k (sumando) x z = 2(k + k ) xrz (pues k + k Z). La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos C[0] y C[1] : C[0] = {x A : xr0} = {x A : x 0 es múltiplo de 2} = {x A : x es múltiplo de 2} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}. C[1] = {x A : xr1} = {x A : x 1 es múltiplo de 2} = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Dado que C[0] C[1] = A, no hay más clases de equivalencia y el conjunto cociente es por tanto A/R = {C[0], C[1]} = {{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, {1, 3, 5, 7, 9, 11}}. 12. En el conjunto E = R R se define la relación: (x, y)r(z, t) x 2 +y 2 = z 2 +t 2. Demostrar que R es relación de equivalencia y determinar el conjunto cociente E/R. Reflexiva. Para todo (x, y) E se verifica x 2 +y 2 = x 2 +y 2, en consecuencia (x, y)r(x, y). Simétrica. Para todo (x, y), (z, t) E : (x, y)r(z, t) x 2 + y 2 = z 2 + t 2 z 2 + t 2 = x 2 + y 2 (z, t)r(x, y). Transitiva. Para todo (x, y), (z, t), (u, v) E : { { (x, y)r(z, t) x (z, t)r(u, v) 2 + y 2 = z 2 + t 2 z 2 + t 2 = u 2 + v 2 x 2 + y 2 = u 2 + v 2 (x, y)r(u, v). La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica, para ello elijamos (x 0, y 0 ) E fijo. La clase a la que pertenece (x 0, y 0 ) es: C[(x 0, y 0 )] = {(x, y) E : (x, y)r(x 0, y 0 )} = {(x, y) E : x 2 +y 2 = x 2 0+y 2 0}. Dado que x y2 0 0, la clase C[(x 0, y 0 )] representa una circunferencia de centro el origen y radio r = x y2 0. En consecuencia, E/R = {C r : r 0} (C r circunf. de centro (0, 0) y radio r). Nótese que para r = 0, la circunferencia consta de un único punto: el (0, 0). 5

6 4 PROBLEMAS DIVERSOS 3. Partición de un conjunto 13. Escribir todas las particiones del conjunto A = {a, b, c}. Particiones con tres elementos: {{a}, {b}, {c}} (una partición). Particiones con dos elementos: {{a, b}, {c}}, {{a, c}, {b}} y {{b, c}, {a}} (tres particiones). Particiones con un elemento: {{a, b, c}} (una partición). 14. Sea R una relación de equivalencia en A y sea [a] la clase de equivalencia determinada por a A. Demostrar que: (i) Para todo a A se verifica a [a]. (ii) [a] = [b] arb. (iii) [a] [b] [a] [b] =. (i) Dado que R es reflexiva, ara para todo a A y por tanto a [a]. (ii) ) Si [a] = [b], entonces b [b] = [a], es decir arb. ) Si x [a], entonces xra. Pero por hipótesis tenemos arb, y por la propiedad transitiva se verifica xrb, lo cual implica que x [b]. Hemos demostrado que [a] [b]. El contenido [b] [a] se demuestra de manera análoga. (iii) Demostremos la implicación por reducción al absurdo. Supongamos que [a] [b] y sea c [a] [b]. Entonces, cra y crb y por las propiedades simétrica y transitiva, arb. Por (ii), deducimos [a] = [b] en contradicción con la hipótesis. 4. Problemas diversos 15. En el conjunto R de los números reales se considera la relación de equivalencia xry x = y. Determinar el conjunto cociente A/R. Sea a R. La clase de equivalencia determinada por a es: [a] = {x R : xra} = {x R : x = a } = { a, a} por tanto, el conjunto cociente es: A/R = {{ a, a} : a R}. 16. Sea X el conjunto de todas funciones de R en R. Dadas x(t), y(t) X se define la relación: x(t)ry(t) lím t 0 x(t) y(t) t 2 = 0. Demostrar que R es una relación de equivalencia. 6

7 4 PROBLEMAS DIVERSOS Reflexiva. Para todo x(t) X se verifica: es decir, x(t)rx(t). x(t) x(t) 0 lím t 0 t 2 = lím t 0 t 2 = lím 0 = 0, t 0 Simétrica. Para todo x(t), y(t) X se verifica: x(t) y(t) y(t) x(t) x(t)ry(t) lím t 0 t 2 = 0 lím t 0 t 2 x(t) y(t) = lím t 0 t 2 = 0 = 0 y(t)rx(t). Transitiva. Para todo x(t), y(t), z(t) X se verifica: { x(t) y(t) x(t)ry(t) y(t)rz(t) lím t 0 t 2 = 0 y(t) z(t) lím t 0 t 2 = 0, lo cual implica: x(t) z(t) x(t) y(t) + y(t) z(t) lím t 0 t 2 = lím t 0 t 2 x(t) y(t) y(t) z(t) = lím t 0 t 2 + lím t 0 t 2 = = 0 x(t)rz(t). La relación R es por tanto de equivalencia. 17. Sea R[x] el conjunto de los polinomios p(x) en la indeterminada x y con coeficiente reales. En R[x] se define la relación: p 1 (x)rp 2 (x) q(x) R[x] : p 2 (x) p 1 (x) = q(x)(x 2 + 1). (a) Demostrar que R es relación de equivalencia. (b) Demostrar que cada clase admite un representante de grado < 2. (c) Encontrar dicho representante para la clase definida por el polinomio p(x) = x 3 + x 2 + 3x + 4. (d) Determinar el conjunto cociente R[x]/R. (a) Reflexiva. Para todo p(x) R[x] se verifica p(x) p(x) = 0 = 0(x 2 + 1), por tanto p(x)rp(x). Simétrica. Para todo p 1 (x), p 2 (x) R[x] se verifica: p 1 (x)rp 2 (x) q(x) R[x] : p 2 (x) p 1 (x) = q(x)(x 2 + 1) p 1 (x) p 2 (x) = ( q(x))(x 2 + 1) p 2 (x)rp 1 (x). 7

8 4 PROBLEMAS DIVERSOS Transitiva. Para todo p 1 (x), p 2 (x), p 3 (x) R[x] : { { p1 (x)rp 2 (x) q(x) R[x] : p 2 (x)rp 3 (x) p2 (x) p 1 (x) = q(x)(x 2 + 1) h(x) R[x] : p 3 (x) p 2 (x) = h(x)(x 2 + 1) (sumado) p 3 (x) p 1 (x) = (q(x) + h(x))(x 2 + 1). Como q(x) + h(x) R[x], se verifica p 1 (x)rp 3 (x). (b) Sea p(x) R[x], efectuando la división euclídea de p(x) entre x obtenemos un cociente q(x) y un resto r(x) de grado < 2. Es decir: p(x) = q(x)(x 2 + 1) + r(x), grad r(x) < 2. Ahora bien, p(x) r(x) = q(x)(x 2 + 1), lo cual implica p(x)rr(x). Esto demuestra que cada clase admite un representante de grado < 2. (c) Efectuando la división euclídea de p(x) = x 3 + x 2 + 3x + 4 entre x 2 + 1, obtenemos inmediatamente el resto r(x) = 2x + 3. Por tanto: C[x 3 + x 2 + 3x + 4] = C[2x + 3]. (d) Toda clase de equivalencia tiene un representante de grado < 2. Además, si dos polinomios r 1 (x) y r 2 (x) de grados < 2 están relacionados, estos han de coincidir. En efecto, r 1 (x)rr 2 (x) quiere decir que r 2 (x) r 1 (x) = q(x) para algún q(x) R[x]. ( ) Dado que r 2 (x) r 1 (x) es de grado < 2, ha de ser q(x) = 0 para que se verifique la igualdad ( ), y como consecuencia r 1 (x) = r 2 (x). Concluimos que el conjunto cociente es: R[x]/R = {C[ax + b] : a, b R}, y el representante de cada clase con grado < 2 es único. 18. En el conjunto E = R R se define la relación (x, y)r(z, t) x = z. Demostrar que R es relación de equivalencia e identificar geométricamente el conjunto cociente E/R. Reflexiva. Para todo (x, y) E se verifica x = x, en consecuencia (x, y)r(x, y). Simétrica. Para todo (x, y), (z, t) E : (x, y)r(z, t) x = z z = x (z, t)r(x, y). Transitiva. Para todo (x, y), (z, t), (u, v) E : { { (x, y)r(z, t) x = z (z, t)r(u, v) z = u x = u (x, y)r(u, v). 8

9 4 PROBLEMAS DIVERSOS La relación R es por tanto de equivalencia. Determinemos una clase genérica, para ello elijamos (x 0, y 0 ) E fijo. La clase a la que pertenece (x 0, y 0 ) es: C[(x 0, y 0 )] = {(x, y) E : (x, y)r(x 0, y 0 )} = {(x, y) E : x = x 0 }. La clase C[(x 0, y 0 )] representa la recta vertical r : x = x 0, por tanto podemos identificar A/R como el conjunto cuyos elementos son las rectas verticales del plano. 19. Sea X el conjunto de las aplicaciones de R en R. Dadas x, y X se define la relación xry c > 0 : x(t) = y(t) para t < c. Demostrar que R es una relación de equivalencia. Reflexiva. Para toda x X se verifica trivialmente x(t) = x(t) para todo x R, en particular para t < c siendo c > 0 cualquiera. Es decir, xrx. Simétrica. Para todo x, y X se verifica: xry c > 0 : x(t) = y(t) para t < c y(t) = x(t) para t < c yrx. Transitiva. Para todo x, y, z X se verifica: { { xry yrz c1 > 0 : x(t) = y(t) para t < c 1 c 2 > 0 : y(t) = z(t) para t < c 2. Esto implica que x(t) = z(t) si t < c siendo c = mín{ c 1, c 2 }, es decir xrz. La relación R es por tanto de equivalencia. 20. Sean A y B dos conjuntos y R y S relaciones de equivalencia sobre A y B respectivamente. Probar que la relación (a 1, b 1 )T (a 2, b 2 ) (a 1 Ra 2 y b 1 Sb 2 ) es de equivalencia sobre A B. Reflexiva. Para todo (a, b) A B se verifica ara y bsb por ser R y S relaciones de equivalencia (por tanto reflexivas). Es decir, (a, b)t (a, b). Simétrica. Para todo (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) A B y teniendo en cuenta que R y S son simétricas: (a 1, b 1 )T (a 2, b 2 ) (a 1 Ra 2 y b 1 Sb 2 ) (a 2 Ra 1 y b 2 Sb 1 ) (a 2, b 2 )T (a 1, b 1 ). Transitiva. Para todo (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ), (a 3, b 3 ) A B y teniendo en cuenta que R y S son transitivas: { { (a1, b 1 )T (a 2, b 2 ) (a 2, b 2 )T (a 3, b 3 ) a1 Ra 2 y b 1 Sb 2 a 2 Ra 3 y b 2 Sb 3 (a 1 Ra 3 y b 1 Sb 3 ) (a 1, b 1 )T (a 3, b 3 ). 9

10 4 PROBLEMAS DIVERSOS La relación T es por tanto de equivalencia. 21. Sea U un conjunto y A U. En P(U) (partes de U) se define la relación binaria XR A Y X A = Y A. Comprobar que es una relación de equivalencia. En el caso de ser U = {1, 2, 3, 4} y A = {1, 2} determinar el conjunto cociente P(U)/R A. Reflexiva. Para todo X P(U) se verifica X A = X A, por tanto XR A X. Simétrica. Para todo X, Y P(U) : XR A Y X A = Y A Y A = X A Y R A X. Transitiva. Para todo X, Y, Z P(U) : { { XRA Y X A = Y A Y R A Z Y A = Z A X A = Z A XR AY. La relación R A es por tanto de equivalencia. Si B P(U), la clase determinada por B es [B] = {X P(U) : X A = X B}. Para el caso concreto dado, y haciendo un recorrido por los elementos de P(U) : [ ] = {, {1}, {2}, {1, 2}} (cada elemento de [ ] unión con A es igual a A). [{3}] = {{3}, {1, 3}, {1, 3}, {2, 3}} (cada elemento de [{3}] unión con A es igual a {1, 2, 3}). [{4}] = {{4}, {1, 2}, {1, 4}, {1, 2, 4}} (cada elemento de [{4}] unión con A es igual a {1, 2, 4}). [{3, 4}] = {{3, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, U} (cada elemento de [{3, 4}] unión con A es igual a U). El conjunto cociente es por tanto: P(U)/R A = {[ ], [{3}], [{4}], [{3, 4}]}. 10