Unidad 12 Probabilidad

Transcripción

1 Unidad robabilidad ÁGIN 8 SOLUCIONES. Ninguno de los dos resultados tiene mayor probabilidad de salir, ya que el azar no tiene memoria.. La probabilidad es: 8. El resultado más probable es caras y cruces y se presentara 6 veces de cada 6, por término medio.. Si el juego es justo, las esperanzas deben ser iguales. Llamando x a lo que gana Carlos, se tiene: x, luego, x. 6 6

2 ÁGIN 95 SOLUCIONES. Supongamos que no es irracional, por tanto será racional, con lo que se puede poner en forma de fracción de este modo: a con a, b Z y primos entre sí. b De esta igualdad obtenemos: a b Elevando ambos miembros al cuadrado nos queda: a b De aquí deducimos que a es múltiplo de. Si a es múltiplo de entonces a también lo es. odemos escribir: a m con m Z y sustituyendo en la igualdad a siguiente expresión: m b y queda 9m b siendo también Con lo que b es múltiplo de y, por tanto, b también lo es. m b obtenemos la b. Con esto hemos llegado a que a y b son múltiplo de. Este resultado contradice el hecho de que a y b son primos entre sí. or tanto, hemos llegado a una contradicción o absurdo, por lo que concluimos afirmando que no es un número racional, es decir, es un número irracional.. Tiene que ser no pues si fuera entonces sería Q y como dice no Q no puede ser.

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4 SOLUCIONES. Las soluciones quedan: a El espacio muestral tiene 8 elementos y son: b El espacio muestral está formado por 6 resultados comprendidos entre suma, suma,, suma 8. c El espacio muestral está formado por resultados comprendidos entre suma, suma,, suma. d Llamando B a sacar bola blanca, N bola negra y V bola verde, se obtiene: Tanto si la extracción se efectúa con o sin reemplazamiento. e Con reemplazamiento el espacio muestral consta de resultados posibles. Sin reemplazamiento el espacio muestra consta de resultados.. Los sucesos del enunciado son:

5 5. En cada caso queda: a No es una probabilidad pues > C B. b No es una probabilidad pues. 0 < C c Es una probabilidad pues D C B y todas ellas son positivas y menores que.. Cada apartado queda: a Como sabemos que D C B b Queda: plicando que D C B obtenemos: 6 6 c Sustituyendo las relaciones dadas en la igualdad D C B obtenemos: 6 6 d Sustituyendo las relaciones dadas en la igualdad D C B obtenemos: 8 B 5. Queda: a Como } { a S S, los sucesos S y S no son incompatibles. b S S S S S S S S

6 6. Sabemos que B B B, luego sí es posible siempre y cuando se dé que B 0,. 7. Sabiendo que: B B y utilizando las siguientes igualdades: B B B [ B] B B B Del mismo modo: B B [ B] En el caso de que: B B B Obtenemos: B B B B En este caso B y B 8. Llamando C a salir cara y X a salir cruz, tenemos: C X y C X C y X 9. El espacio muestral consta de 6 elementos. 5 a al menos una cruz todas caras 6 6 b caras y cruces 6 6

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8 SOLUCIONES 0. En cada caso queda: a Los casos posibles son: Los casos favorables son: Un cuatro:,,,,,,,, ; Dos cuatros:,,,,,,,, ; 5 5 Tres cuatros:,,; 9 En total : , por tanto la probabilidad es de 0, 6 b Los casos posibles son: Suma : Suma : Suma : Suma 5: 0 En total: 0 y la probabilidad de obtener suma menor que seis es de 0, 8 6 c Ya que obtenemos: 8

9 . Queda: 8 a gana º suma impar 6 b gana º suma múltiplo 6 c ninguno gana ni suma par ni múltiplo de } 6. bastos o menor de 5 bastos < 5 bastos y 0 6 < Queda: sota, caballo y rey En cada caso: a roja 0, b verde 0, c roja o verde 0, 75 d no roja 0, Las probabilidades son: a 5 0 dos negras 0, 9 b dos rojas 0, 96 9 c ª roja y ª negra 0, 5 8 d una roja y una negra 0,

10 al menos una blanca las tres negras 0, 8 0 En este caso hemos supuesto que no reemplazamos las bolas de la urna En caso de reemplazar las bolas la probabilidad pedida es: 0, La probabilidad queda: igual color BB NN 0, La solución es: a Casos posibles 6.casos favorables en los que los dos últimos son los hombres son luego la probabilidad pedida es b uede decirse: 6 or tanto: 9. Los sucesos y B son independientes si cumplen: B B 5 0 En este caso : B B B

11 0. Queda: Múltiplos de {,6,9,} Múltiplos de {,8,} Múltiplos de y de {} or tanto los sucesos son independientes pues se cumple que. Utilizando la igualdad B B B. Obtenemos: 5 a B Como B 0 los sucesos son compatibles y como ocurre lo 8 8 siguiente B B, entonces los sucesos son independientes. b B 0 Como B 0 los sucesos son incompatibles y como 6 B B, entonces los sucesos son dependientes.

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13 SOLUCIONES. La solución en cada caso es: 5. La probabilidad es: 0, La probabilidad es: respuesta correcta 0, En cada caso es: piensen el mismo numero no piensen el mismo número piensen el mismo numero 0, La probabilidad es: al menos en su caja todos solo uno 0, Casos posibles son V 60 5, Casos favorables son los números que terminen en, en, en 5 y en en total números. La probabilidad pedida es 0, La probabilidad es:

14 9. Suponemos que el porcentaje de alumnos que cursan cada una de las carreras es el mismo. En este supuesto se tiene: 0. En cada caso: a El espacio muestral asociado al experimento de lanzar tres monedas. b En este caso:. Se tiene que: or tanto:

15 Unidad robabilidad condicionada ÁGIN 05 SOLUCIONES. La composición de la bolsa queda con canicas rojas, azules y verdes. or tanto, el color más probable de las que quedan dentro es azul.. La probabilidad es.. En cada caso: a Con reemplazamiento la probabilidad es Sin reemplazamiento la probabilidad es

16 b Con reemplazamiento Sin reemplazamiento Las probabilidades son: a caja segunda y bola blanca 6 caja primera y bola blanca b caja primera y bola blanca 6 bola blanca 7 6 6

17 ÁGIN 5 SOLUCIONES. Siguiendo el método de inducción y sabiendo que la igualdad es cierta para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierta para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente: ara n vemos que la igualdad es cierta pues ara n calculamos Suponemos que es cierta para n p, es decir: 0 p p Hemos de ver que también es cierta para n p, es decir hemos de probar que ocurre lo siguiente: p p. ara ello calculamos esta matriz que es lo que queríamos p p p p demostrar. Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p. or tanto podemos afirmar que es cierta n N.

18 5. Siguiendo el método de inducción y sabiendo que n n es múltiplo de 5 es cierto para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierto para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente. ara n vemos que la igualdad es cierta pues 5 múltiplo de 5 ara n 5 0 múltiplo de 5 Suponemos que es cierta para n p, es decir: 5 p p es múltiplo de 5. Hemos de ver que también es cierta para n p, es decir hemos de probar que se cumple 5 la siguiente expresión: p p ara ello operamos y obtenemos: es múltiplo de p p p 5p 0p 0p 5p p p p 5 p p p p que es una expresión que resulta múltiplo de 5 múltiplo de 5 múltiplo de 5, que es lo que queríamos demostrar. Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p. or tanto podemos afirmar que es cierta n N.. Siguiendo el método de inducción y sabiendo que la igualdad es cierta para valores pequeños de n, damos por supuesto que es cierta para un valor cualquiera y demostramos que también lo es para el siguiente. ara n la igualdad es cierta ara n la igualdad es cierta pues p p Suponemos que es cierta para n p, es decir:... p Hemos de ver que también es cierta para n p, es decir hemos de probar que se da la p p siguiente expresión:... p p ara ello utilizando lo anterior obtenemos: p p p p p p p p que es lo que queríamos demostrar. Con esto hemos demostrado que la igualdad es cierta para p. or tanto podemos afirmar que es cierta n N.

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20 SOLUCIONES. Las probabilidades son: a una persona sin gafas 0, b 60 0 una mujer con gafas 0, Quedan: salga /salió impar par/mayor que. La solución es: a mujer b menos de 0 años 0,5 0, 0,5 0, 0, 5 0,7 c mujer/mas de 0 años 0, 585 0,7 0,6. Queda: a hombre 6 b este enfermo 0, c hombre/esta enfermo 00 0,

21 5. Sean y B, respectivamente, la primera y la segunda de las pruebas. Tenemos: a pase al menos una B 0,6 0,8 0,5 0, 9 b no pase ninguna no pase ninguna 0,9 0, c No son independientes, ya que B 0,5 y B 0,6 0,8 0, 8 son diferentes. d Queda: 6. Las probabilidades son: 8 a La probabilidad es: 0, b nocturna/defectuosa 00 0, La solución en cada caso: 50 a defectuoso y de 0, b defectuoso 0, c C/no defectuoso ,

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23 SOLUCIONES 8. Queda: Fiebre y Tensión alta 0,76 0,58 0,6 0,7 F T F T 0,6 0,8 9. Se dice: 0 figura 0, oro 0, 5 figura de oros 0, l ser figura de oros figura oros, los sucesos son independientes. 0. Queda: B B 0,7 B 0, Como B B no son independientes los sucesos y B. B B B 0, 0,6 0,7 0,. La solución: a 5 C 0, 75 0 b primera decena / rojo 5 / 0 5 primera decena/rojo 0, 5 rojo 0 / 0 0 c Veamos si los sucesos y B son independientes. l ser B B, los sucesos son independientes. Lo mismo ocurre para los sucesos y C. 9

24 . Obsérvese el esquema siguiente: 0 a segunda roja b ambas del mismo color ª roja y ª roja 0 / 7 0 c ª roja/ª roja ª roja / 7. La probabilidad pedida es: N N y pérdidas 0,0 / / pérdidas pérdidas 0,0 / 0,0 / 0,0 5 0, 6. Queda: a daltónica/hombre / daltónica/hombre 0, 667 hombre / b / 5 daltónica/mujer 0, 08 / 5 c daltónica 0, La probabilidad es: cursa francés y es mujer 0, 0,5 cursa francés/es mujer 0, mujer 0,5 0

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26 SOLUCIONES 6. Las soluciones quedan: a defectuoso 0, b C/defectuoso , La probabilidad viene dada por: a 0, 69 Luego el 69% de las familias utiliza coche b resto España/ no coche , En cada caso: pertenezca a / no ha aprobado , pertenezca a B / no ha aprobado , Observa el diagrama resultante: La probabilidad es: pasa blanca y sale blanca / / pasa blanca/sale blanca sale blanca / / / / 6 7

27 La probabilidad es: mismo color 0, Queda: de la ª casa y no funciona de la ª casa/no funciona no funciona 0,6 0,00 0,00 0,857 0,6 0,00 0, 0,05 0,008. Quedan: a ª verde 0, b igual color 0, 9. En cada caso: a 9 negra 0, b 5 6 negra 0, La probabilidad queda: ª urna / roja 0, 7 6

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29 SOLUCIONES 5. En cada caso queda: a La probabilidad pedida es una probabilidad total: Errónea Errónea /ª persona Errónea / ª persona Errónea / ª persona 0, 0,0 0, 5 0,0 0,0 0,5 0,055 b Utilizando el teorema de Bayes, obtenemos: ª persona y correcta ª persona / correcta correcta 0,5 x 0,97 0, 65 0,65 0,6 0,0 x 0,99 0, 5 x 0,97 0,5 x 0,98 0,970 0, 65 0,50 0, Queda: a y B son independientes puesto que /B, es decir B no influye en la probabilidad de. b Como B B B. Si B entonces B, por ser y B independientes: B B B. 7. Decimos: Hombres Mujeres TOTL Sólo mañanas No sólo mañanas TOTL partir de la tabla obtenemos: a La probabilidad de que sea hombre o sólo trabaje en el turno de mañana es la expresada a continuación: b Mujer no solo mañanas 8. Como B / B / y B / 0, ; entonces B / 0,7. 5

30 9. Expresamos la información del enunciado en una tabla de contingencia: Mayores de 5 Menores de 5 años años Totales Directivo 6 8 No directivo 78 9 Totales Observando los valores de la tabla, respondemos a las preguntas: a El porcentaje de los trabajadores que tiene más de 5 años y no desempeña ningún cargo directivo es el %. b El porcentaje de los trabajadores que no es directivo y no es mayor de 5 años es el 78%. c El porcentaje de trabajadores que son directivos y no tienen más de 5 años es el %. El % de 50 trabajadores es. 0. Como y B son independientes entonces B B Como B B B obtenemos: B 7 B. 6 Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones: 7 B 6 B Las soluciones son: Si Si B. B. 6

31 . Construimos una tabla de contingencia con los datos que aparecen en el enunciado. Calculamos los valores de cada una de las casillas en tantos por ciento. Multa No Multa Totales ccidenta 5,5 7,5 No ccidente 5 7,5 6,5 Totales Observando la tabla respondemos a las cuestiones del enunciado: a El porcentaje que no ha tenido nunca un accidente ni les han puesto nunca una multa es el 7,5%. b El porcentaje que no ha tenido nunca un accidente es 6,5%. Este valor de 6,5% se calcula : El 60% de x es 7,5% y se obtiene x 6,5% c Entre las personas que no han tenido nunca una multa 50% del total es decir un 0,50, el porcentaje de las que no han tenido nunca un accidente 7,5% del total, es decir un 0,75, es el 75% de ese valor.. Hacemos una tabla de contingencia con los datos del problema y obtenemos: sisten No sisten Totales prueban 68 5 No prueban 5 87 Totales Las probabilidades pedidas son: a La probabilidad de que no haya asistido a clase y haya aprobado es 5 0,5 00 b Entre los que han aprobado la probabilidad de haya asistido a clase es 68 0, También podíamos haberlo hecho por el teorema de Bayes: 0 0,8 00 0,56 siste / prueba 0, ,7 0,8 0,

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33 SOLUCIONES 5. suma par/ha salido tres. La solución es: a blanca 0, blanca y marcada 75 b blanca/marcada 0, marcada Queda: 6. Queda: obtener caras con moneda de caras moneda de caras / han salido caras obtener caras 8 0,

34 7. En el diagrama de Venn podemos ver los datos del problema: 8. Las posibles configuraciones de la urna pueden verse en el dibujo adjunto. blanca y blanca segunda blanca/primera blanca 0, 5 primera blanca 9. En cada caso: 6 a cara 0, 7 b roja/cara 0, La solución es: 5 70 / detectado defectuoso , Queda: blanca y blanca segunda blanca/primera blanca 0, 67 primera blanca 0 6 0