Ejercicio Demuestra que T R es efectivamente una topología.

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1 88 7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS Tema 3. Topologías finales: cociente Una situación análoga a la del Tema 1 se plantea cuando ciertas operaciones de conjuntos (como el cociente por una relación de equivalencia) tienen asociadas aplicaciones de los conjuntos originales en el nuevo conjunto. Suponiendo ahora que los conjuntos de partida sean espacios topológicos el objetivo es construir una topología en el conjunto resultante que haga las aplicaciones naturales continuas. Obviamente, cuantos menos abiertos tenga el nuevo espacio topológico, más fácil es que las aplicaciones sean continuas. En el caso extremo, si elegimos la topología indiscreta las aplicaciones son automáticamente continuas (Ejercicio 2.6(1)). Por lo tanto se trata de encontrar la topología más grande que haga que tales aplicaciones son continuas, es decir, que cualquier otra que tenga más abiertos hace que alguna de las aplicaciones no sea continua. Construcción (Topología cociente). Consideremos (X, T ) un e.t. y R una relación de equivalencia en X (Definición A.3.4). El conjunto de clases de equivalencia se denota por X/R. Podemos definir π : X X/R la aplicación que envía un elemento x X a su clase de equivalencia [x] en X/R. Para que π : X X/R sea continua, lo que tiene que pasar es que π 1 (U) T X para todo abierto de X/R. Por tanto si definimos T R := {U X/R π 1 (U) T X } y probamos que T X/R es una topología se tiene automáticamente que π : (X, T X ) (X/R, T R ) es continua: no sólo eso, sino que además, si T es otra topología de X/R que tenga más abiertos que T R, es decir, que T R T existe U T \ T R y por tanto π 1 (U) T R (ya que U T R ). Así pues π : (X, T X ) (X/R, T ) no es continua. Por lo tanto hemos construido la topología más grande que hace π continua. A la topología T R se le denomina topología cociente de X por R. Ejercicio Demuestra que T R es efectivamente una topología. Observación Sea X un conjunto y R una relación de equivalencia. Denotemos π : X X/R la aplicación cociente. Un subconjunto A X se dice saturado si es unión de clases de equivalencia, es decir, si A = π 1 (π(a)). Todas las preimagenes por π son subconjuntos saturados. Si X es espacio topológico, la topología cociente en X/R otorga una importancia a los abiertos saturados de X. Ejercicio Demuestra que si V X/R es entorno de y V entonces π 1 (V ) es entorno (saturado) de x X para todo x π 1 (y) (en cambio el recíproco no es cierto como se observa en el Ejercicio 7.21).

2 TEMA 3. TOPOLOGÍAS FINALES: COCIENTE 89 Propiedades Sea (X, T X ) e.t, R relación de equivalencia y X/R el espacio cociente. Entonces se tienen las siguientes propiedades: 1. La aplicación π : (X, T X ) (X/R, T R ) es continua. 2. A X/R es cerrado si y sólo si π 1 (A) X es cerrado (saturado). 3. La aplicación π es abierta (resp. cerrada) si y sólo si π(π 1 (A)) es abierto (resp. cerrado) para todo A X/R abierto (resp. cerrado). 4. Si Y es un e.t. y f : X/R Y una aplicación, entonces f es continua si y sólo si f π : X Y es continua. Ejercicio Sea X = {0, 1, 2, 3} y T X := {, X, {0, 1}, {2, 3}} una topología sobre X. Consideremos la relación de equivalencia de congruencia módulo 3, es decir, xry k Z tal que x y = 3k. Demuestra que: 1. X/R = { 0, 1, 2} es un espacio indiscreto. 2. V := { 0, 1} no es entorno de π 1 (V ) = {0, 1, 3} es entorno de π 1 ( 1) = {1}. Ejercicio Encuentra ejemplos de cocientes para los cuales la proyección π R : X X/R no sea abierta (resp. cerrada). Ejemplo Consideremos la recta real usual (R, T u ) y el subconjunto Z R de los números enteros. La relación de equivalencia x R S y (x y) Z define un conjunto cociente R/R S de clases de equivalencia que será denotado R/Z. Sea π S : R R/Z la proyección y consideremos la topología cociente. Queremos comprender la forma de R/Z. Un modelo razonable del conjunto de clases de equivalencia, es decir, un sistema transversal (Ejemplo A.3.10) es el intervalo [0, 1). Nos planteamos la siguiente pregunta: es la aplicación j : [0, 1) R/Z, j(t) := π S (t) un homeomorfismo? Es claro que es biyectiva y es continua, ya que es la composición de la inclusión [0, 1) R con π S. Sin embargo, vamos a ver que j 1 no es continua; en efecto, consideremos la sucesión ( {x n := π S 1 1 ) ( = π S 1 )} n n n N Es claro que x n converge a π S (0), pero j 1 (x n ) = 1 1 ; es decir, la sucesión imagen n no es convergente. Por la Propiedad 5.4.8(5), j 1 no es continua. Es fácil ver que π S es una aplicación abierta; en efecto, si si U R es abierto, es fácil ver que π 1 S (π S(U)) = n Z U n, donde U n := {x + n x U}. Sea τ n : R R, la aplicación traslación por n; observemos que τ n es homeomorfismo y que U n = τ n (U), por lo que π 1 S (π S(U)) es abierto en R, es decir, π S (U) es abierto en R/Z.

3 90 7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS Ejercicio Como j es biyectiva, podemos describir los abiertos de R/Z como imágenes por j de subconjuntos de U. Da una descripción. Ejercicio La aplicación π S no es cerrada. Ejercicio Sea S 1 := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1}. Consideremos la aplicación f : R S 1, dada por f(t) := (cos(2πt), sen(2πt)). Demuestra que existe una única aplicación g : R/Z S 1 tal que f = g π S y que g es un homeomorfismo. Ejemplo Consideremos en [0, 1], la relación de equivalencia dada por x = y o x y x, y {0, 1}. Todas las clases de equivalencia son unipuntuales salvo {0, 1} que contiene dos elementos. Denotemos el conjunto cociente [0, 1]/{0=1} y la aplicación cociente π {0=1} : [0, 1] [0, 1]/{0=1}. Ejercicio Demuestra que π {0=1} no es abierta. Ejercicio Demuestra que [0, 1]/{0=1} es homeomorfo a S 1. Ejercicio Sea X e.t, R relación de equivalencia y π R : X X/R proyección sobre el espacio topológico cociente X/R. Encuentra ejemplos de cocientes para los cuales: (1) π R (A) π R (A), (2) Int(π R (A)) π R (Int(A)), (3) Fr(π R (A)) π R (Fr(A)), (4) Ext(π R (A)) π R (Ext(A)), (5) Ais(π R (A)) π R (Ais(A)), En cambio, sea D conjunto denso en X, entonces π R (D) es denso en X/R. A continuación estudiaremos qué relación existe entre las propiedades topológicas que posee X y las que posee su cociente X/R. Proposición Si X es separable, entonces X/R es separable. En cambio el recíproco no es cierto en general, ni siquiera aunque π R tenga fibras a lo sumo numerables (es decir, #π 1 R (y) ℵ 0 y X/R) como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo Consideremos R con la topología T generada por la siguiente subbase Σ := {[n, n + 1) R n Z} P([0, 1)). Consideremos R S la relación de

4 equivalencia del Ejemplo 7.3.4: TEMA 3. TOPOLOGÍAS FINALES: COCIENTE 91 x R S y (x y) Z. Entonces R/R S es un espacio indiscreto ya que los únicos abiertos en T saturados son el vacío y el total; por lo tanto es separable. Además π 1 S (y) = {y + n n Z} que es un conjunto numerable. En cambio (R, T ) no es separable, ya que si lo fuera, como [0, 1) T entonces ([0, 1), T [0,1) ) también debería serlo, pero T [0,1) es la topología discreta y #[0, 1) > ℵ 0. Proposición Si X/R es separable, π R es abierta y #π 1 (y) ℵ 0 y X/R, entonces X es separable. El Primer Axioma de Numerabilidad NO se conserva en espacios cociente. Veamos un ejemplo de topología cociente X/R no ian que provenga de un espacio topológico X que sí sea ian. Ejemplo Tomemos X = R y la relación de equivalencia x = y x R y x, y Z. Vamos a demostrar que no existen bases de entornos numerables del punto [0] = Z (la clase del 0 es el conjunto de los números enteros, escribiremos [0] cuando nos refiramos al punto de R/R y Z cuando nos refiramos a [0] como subconjunto de R). Supongamos que B 0 es una base de entornos de [0] de cardinal a lo sumo numerable. En tal caso, podemos ordenar sus elementos B 0 = {V n n N}. Como V n es entorno de [0] entonces Z = π 1 R ([0]) Ṽn = π 1 R (V n). Obsérvese que Ṽ n es entorno de m para todo m Z (Ejercicio 7.20). Así pues, Ṽ n es entorno de n en R, y por tanto existe x n Ṽn tal que 0 < d(n, x n ) < 1. Si tomamos 2 U = R \ {x n } n N T u tenemos que V := π R (U) es abierto, ya que π 1 R (V ) = U y U es abierto. Como x n Ṽn \ U, tenemos que Ṽn U, es decir, V n V, n N. Por tanto B 0 no puede ser base de entornos. En cambio, si π R es abierta, el primer axioma de numerabilidad se conserva. Proposición Si X es ian y π R : X X/R es abierta, entonces X/R es ian. Observación El Ejemplo también prueba que iian no se conserva por cocientes ya que R es iian (Propiedad 5.3.3(4)) y R/R no es ian (Ejemplo 7.3.9) y por tanto no es iian (Ejemplo 5.3.3(2)).

5 92 7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS En cambio, de nuevo si la proyección cociente π R es abierta, el segundo Axioma de numerabilidad sí se conserva por cocientes. Proposición Si X es iian y π R : X X/R es abierta, entonces X/R es iian. En otras palabras, hemos visto que la siguiente tabla es cierta. Separable ian iian X X/R π R abierta π R abierta Ejemplo Por el Ejemplo y los Ejercicios 7.26 y 7.27 sabemos que la condición la proyección cociente es abierta no es condición necesaria (aunque sí suficiente) para que los axiomas de numerabilidad pasen al cociente, ya que S 1 es ian y iian. Ejemplo Las coordenadas polares suponen un ejemplo de uso de topología cociente. En R >0 R, definimos la relación de equivalencia (t 1, ϑ 1 ) (t 2, ϑ 2 ) t 1 = t 2 y ϑ 2 ϑ 1 2πZ. Es fácil ver que R >0 R/ es homeomorfo a R 2 \ {(0, 0)}. Ejercicio Consideremos el espacio (R n+1 ) = R n+1 \ {0} usual y en él definida la siguiente relación de equivalencia: x R P y x = λy para cierto λ R. El espacio cociente (R n+1 ) /R P con la topología cociente se conoce con el nombre de espacio proyectivo real de dimensión n y se denota por RP n ; la aplicación cociente se denota π P. Demuestra que RP 1 es homeomorfo a S 1. Ejemplo Consideremos el espacio R R usual y en él definida la siguiente relación de equivalencia: x x Z (x, y) R T (x, y ). y y Z Denotemos el espacio cociente R 2 /R T por T 1. Por otra parte podemos definir T 2 := S 1 S 1 con la topología producto. Se demuestra fácilmente que T 1 = T2. Este espacio (que podemos ver como cociente de R 2 o como producto de espacios) recibe el nombre de toro y se denota por T. Ejemplo Consideremos el espacio R R usual y en él definida la siguiente relación de equivalencia: (x, y) R M x x Z (x, y ). y = ( 1) x x y

6 TEMA 3. TOPOLOGÍAS FINALES: COCIENTE 93 Denotemos el espacio cociente R 2 /R M por M. Este espacio recibe el nombre de banda de Möbius. Ejemplo Análogamente al ejercicio anterior definamos la siguiente relación de equivalencia: (x, y) R K (x, y x x Z ) y ( 1) x x y Z. Denotemos el espacio cociente R 2 /R K por K. A este espacio se le conoce como la botella de Klein.