TEMA 2: MATRICES Operaciones elementales y matrices elementales Proceso de escalonamiento de una matriz no nula.

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1 TEMA 2: MATRICES 21 Generalidades sobre matrices 211 Definición de matriz Tipos de matrices 212 Operaciones algebraicas con matrices 213 Matriz traspuesta y traspuesta-conjugada 214 Submatrices 22 Proceso de escalonamiento matricial 221 Operaciones elementales y matrices elementales 222 Proceso de escalonamiento de una matriz no nula 23 Determinantes 2221 Matrices en forma escalonada por filas 2222 Proceso de escalonamiento de una matriz Forma normal 231 Definición de determinantes Propiedades 232 Interpretación geométrica 233 Cálculo de determinantes 24 Matrices no-singulares y factorización LDU de una matriz 241 Matriz inversa 2411 Definición Propiedades 2412 Criterios de no singularidad 2413 Cálculo de la inversa de una matriz mediante operaciones elementales 242 Factorización LDU de una matriz n n sobre K 2421 Factorización LU 2422 Factorización LDU 25 Partición de matrices en bloques 251 Matrices en bloques Tipos de matrices en bloques 252 Operaciones con matrices en bloques 253 Aplicaciones: cálculo de inversas, cálculo de determinantes y cálculo de pivotes de una matriz que admite factorización LDU 1

2 21 GENERALIDADES SOBRE MATRICES 211 DEFINICIÓN DE MATRIZ TIPOS DE MATRICES Definición 1 Una colección de mn elementos de K distribuidos de forma ordenada en m filas y en n columnas será llamada matriz m n con entradas en K y se representa de forma extendida a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn y de forma compacta A (a i j m n Cada elemento a i j va provisto de dos subíndices, el primero hace referencia a la fila y el segundo hace referencia a la columna donde reside Este elemento de K es llamado entrada (i, j de A Los elementos a i1, a i2,, a in forman la fila i-ésima de la matriz, 1 i m La matriz 1 n con entradas en K: A i (a i1 a in, recibe el nombre de matriz fila i-ésima de A Los elementos a 1 j, a 2 j,, a m j forman la columna j-ésima de la matriz, 1 j n La matriz m 1 con entradas en K: A j a 1 j a m j Así podemos expresar A (A 1 A n, recibe el nombre de matriz columna j-ésima de A A 1 A m Al conjunto de todas las matrices m n con entradas en K lo denotaremos con M m n (K Definición 2 Dos matrices A (a i j M m n (K y B (b i j M p q (K diremos que son iguales si m p, n q y a i j b i j, i {1,, m} y j {1,, n} Definiciones 3 Tipos de matrices 1 Si A (a i j M m n (K y n m, diremos que A es cuadrada 2 Si A (a i j M m n (K, diremos que A es nula si todas sus entradas son cero Se denota O m n 3 Si A (a i j M n n (K, entonces a diremos que A es triangular superior si a i j 0 siempre que i > j, 1 i, j n b diremos que A es triangular inferior si a i j 0 siempre que i < j, 1 i, j n c diremos que A es diagonal si a i j 0 siempre que i j, 1 i, j n y escribiremos A diag(a 11,, a nn d llamaremos matriz identidad n n a la matriz diag(1, n, 1 y la denotamos E n n e diremos que A es tridiagonal si a i j 0 siempre que i > j + 1 ó i < j 1, 1 i, j n f diremos que A es simétrica si a i j a ji, 1 i, j n 2

3 g diremos que A es antisimétrica si a i j a ji, 1 i, j n h diremos que A es hermítica si a i j a ji, 1 i, j n i diremos que A es antihermítica si a i j a ji, 1 i, j n 212 OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices: A(a i j, B(b i j M m n (K A + B(a i j + b i j M m n (K Propiedades Asociativa: A + (B + C (A + B + C, A, B, C M m n (K Conmutativa: A + B B + A, A, B M m n (K Elemento neutro: O m n tal que A + O m n A O m n + A, A M m n (K Elemento opuesto: A M m n (K existe A M m n (K tal que A + ( A O m n ( A + A Producto por un escalar: A (a i j M m n (K y α K αa (αa i j M m n (K Propiedades La propiedad distributiva respecto la suma de matrices: α(a + B αa + αb, A, B M m n (K, α K La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares: (α + βa αa + βa, A M m n (K, α, β K Asociativa del producto por un escalar: (αβa α(βa, A M m n (K, α, β K 1A A A M m n (K con 1 K A M m n (K, α K y αa O m n A O m n ó α 0 A, B M m n (K, α K {0} y αa αb A B A M m n (K {O m n }, α, β K y αa βa α β Producto de matrices: Si A (a i j M m n (K y B (b i j M n p (K, entonces A B (c i j M m p (K, siendo n c i j a ik b k j k1 Observar que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B 3

4 Propiedades Asociativa: A (B C (A B C, C M p q (K A M m n (K, B M n p (K, Distributiva por la izquierda del producto respecto de la suma: A (B + C A B + A C, A M m n (K, B, C M n p (K Distributiva por la derecha del producto respecto de la suma: (B + C D B D + C D, B, C M n p (K, D M p q (K E n n tal que A E n n A y E m m tal que E m m A A, A M m n (K A O n p O m p, O s m A O s n, A M m n (K En general, no se cumple la ley de cancelación: si A M m n (K, B M n p (K Si A ( ( y B AB O m p A O m n ó B O n p, entonces AB O 2 2, A O 2 2 y B O 2 2 El producto de matrices NO es conmutativo, en general ( ( ( ( Si A y B, entonces AB BA Definición 4 Se dice que dos matrices A y B M n n (K conmutan si AB BA Se dice que dos matrices A y B M n n (K anticonmutan si AB BA Definición 5 Si A M n n (K y m N, llamaremos potencia m-ésima de A y escribiremos A m a la matriz A m A Por convenio A 0 E n n Definiciones 6 1 Si A (a i j M n n (K, diremos que A es idempotente si A 2 A 2 Si A (a i j M n n (K, diremos que A es involutiva si A 2 E n n 3 Si A (a i j M n n (K, diremos que A es nilpotente si existe k N tal que A k O n n Si A k O n n y A k 1 O n n diremos que k es el índice de nilpotencia de A 213 MATRIZ TRASPUESTA MATRIZ TRASPUESTA CONJUGADA Definiciones 7 Sea A (a i j M m n (K Se llama matriz traspuesta de A a la matriz A T (a ji M n m (K Se llama matriz traspuesta conjugada de A a la matriz A (a ji M n m (K 4

5 Propiedades Sean A, B M m n (K, C M n p (K y α K (i (A T T A; (A A (iii (A + B T A T + B T ; (A + B A + B (ii (αa T αa T ; (αa αa (iv (AC T C T A T ; (AC C A Nota 8 Sea A (a i j M n n (K Es útil utilizar las siguientes caracterizaciones: A es simétrica A T A A es hermítica A A A es antisimétrica A T A A es antihermítica A A Toda matriz cuadrada se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica [ simétrica ] [ antisimétrica ] 1 1 A 2 (A + AT + 2 (A AT Toda matriz cuadrada se puede escribir como suma de una matriz hermítica y otra antihermítica [ hermítica ] [ antihermítica ] 1 1 A 2 (A + A + 2 (A A 214 SUBMATRICES Definición 9 Dada una matriz A (a i j M m n (K, se llama submatriz de A que definen los índices de filas i 1 < < i p y los índices de columnas j 1 < < j q a la matriz p q con entradas en K cuya entrada (h, k coincide con la entrada (i h, j k de A a i1 j 1 a i1 j 2 a i1 j q a i2 j 1 a i2 j 2 a i2 j q a ip j 1 a ip j 2 a ip j q Dada una matriz A (a i j M m n (K, llamaremos submatriz principal (lider de orden i a la submatriz que definen los índices de filas 1 < < i y los índices de columnas 1 < < i y la denotaremos mediante A [i] a 11 a 12 a 1i a A [i] 21 a 22 a 2i a i1 a i2 a ii 5

6 22 PROCESO DE ESCALONAMIENTO MATRICIAL 221 OPERACIONES ELEMENTALES Y MATRICES ELEMENTALES Definiciones 10 Sea A M m n (K Una operación elemental sobre las filas de A de tipo 1: permuta la fila i-ésima y la j-ésima tipo 2: multiplica la fila i-ésima por α K {0} tipo 3: suma a la fila i-ésima la j-ésima multiplicada por α K {0} Llamaremos matriz elemental de tipo i (i {1, 2, 3} a la matriz que resulta de aplicar una operación elemental de tipo i sobre E n n Se denotan respectivamente: E(i, j, E(α (i y E((i + α ( j Ejemplos 11 Tipo 1: E(1, 3 Tipo 2: E(3( Tipo 3: E((1 + 3(2 Observa que es una matriz simétrica e involutiva Observa que es una matriz diagonal y simétrica Observa que es una matriz triangular Realizar una operación elemental por filas sobre A M m n (K equivale a PREMULTIPLICAR A por la matriz que resulta de aplicar dicha operación elemental sobre E m m a b Ejemplo 12 Considera A c d y 2F 3, entonces e f a b a b E(2(3 A c d c d e f 2e 2 f Análogamente se definen las operaciones elementales sobre las columnas de una matriz A M m n (K Realizar una operación elemental por columnas sobre A equivale a POSTMULTIPLICAR A por la matriz que resulta de aplicar dicha operación elemental sobre E n n a b Ejemplo 13 Considera A c d y C 1 + 7C 2, entonces e f 6

7 A E((2 + 7(1 a c e b d f ( a + 7b c + 7d e + 7 f b d f 222 PROCESO DE ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ NO NULA 2221 Matrices en forma escalonada por filas Definición 14 Una matriz A M m n (K se dice que está en forma escalonada por filas si verifica: 1 las filas nulas (si existen se encuentran en la parte inferior de la matriz; 2 la primera entrada no nula de la fila i-ésima (i {2,, m} se encuentra a la derecha de la primera entrada no nula de la fila anterior Diremos que A M m n (K está en forma escalonada reducida por filas si además de estar en forma escalonada verifica: 3 la primera entrada no nula de cada fila no nula es 1; 4 la primera entrada no nula de cada fila no nula es la única entrada no nula de su columna 2222 Proceso de escalonamiento de una matriz Forma normal Dada una matriz A M m n (K no nula, mediante operaciones elementales realizadas sobre sus filas y/o columnas (o de forma equivalente, premultiplicando o postmultiplicando por matrices elementales se puede transformar en una matriz que está en forma escalonada por filas o, en una matriz que está en forma escalonada reducida por filas Para conseguir entradas nulas por debajo, por arriba o a la derecha de una entrada no nula, resulta de utilidad emplear las llamadas matrices de tipo M Estas matrices son producto de ciertas matrices elementales de tipo 3: M λ r λ ó M (r 1r β (r+1r β mr ó M δ r(r+1 δ rn

8 Nota 15 Si transformamos una matriz A M n n (K no nula en una matriz de la forma a 11 a 12 a 1n 0 a (2 22 a (2 2n 0 0 a (n nn utilizando únicamente operaciones elementales de tipo 3 por filas, entonces diremos que hemos triangulado la matriz A Los elementos a 11, a (2 22,, a(n nn reciben el nombre de pivotes de A Dada una A M m n (K no nula, mediante operaciones elementales sobre sus filas y/o columnas (o equivalentemente, premultiplicando o postmultiplicando por matrices elementales se puede transformar en una matriz cuyas entradas son unos y ceros, y los unos ocupan las primeras entradas diagonales Teorema 16 Si A M m n (K no nula, entonces existen operaciones elementales que la transforman en ( Er r O N O O La matriz N recibe el nombre de forma normal de A Corolario 17 Si A M m n (K no nula, entonces existen matrices elementales E 1,, E s y F 1,, F t de modo que ( Er r O E s E 1 AF 1 F t N O O Ejemplo 18 Reduce a la forma normal la matriz A A Esto es, F 2 4F / F 3 F 2 C C F 2 N / E ( 12 (2 E((3 (2 E((2 4(1 A E((1 2(2 E (( (3 N C 2 2C 1 8

9 23 DETERMINANTES 231 DEFINICIÓN DE DETERMINANTES PROPIEDADES Definición 19 Sea A (a i j M n n (K Llamaremos determinante de A y escribiremos det(a al elemento de K que obtenemos del siguiente modo Si n 1, det(a a 11 Si n 2, det(a n ( 1 1+ j a 1 j det(a 1 j j1 donde A i j es la submatriz de A de orden n 1 que se obtiene eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima de A Proposición 20 Si A (a i j M n n (K, entonces se verifica 1 det(a n ( 1 i+ j a i j det(a i j j1 (desarrollo por la fila i-ésima 2 det(a det(a T n 3 det(a ( 1 i+ j a i j det(a i j i1 4 det(e n n 1 (desarrollo por la columna j-ésima 5 det(a 1,, A i,, A j,, A n det(a 1,, A j,, A i,, A n 6 det(a 1,, (i O,, A n 0 7 det(a 1,, A i,, A j,, A n 0, si A i A j con i j (i { }} { 8 det(a 1,, αx + βy,, A n α det(a 1,, X, (i, A n + β det(a 1,, Y, (i, A n, i {1, 2,, n} 9 det(a 1,, αa i,, A n α det(a 1,, A i,, A n, i {1, 2,, n} ( j { }} { 10 det(a 1,, A j + αa i,, A n det(a, i {1, 2,, n} Nota 21 (1 Las propiedades 5, 6, 7, 8, 9 y 10 tienen su versión correspondiente por filas (2 Si A M n n (K, como consecuencia de la proposición anterior tenemos det(e(i, j A det(a det(a E(i, j det(e(λ(i A λ det(a det(a E(λ(i det(e(( j + λ(i A det(a det(a E(( j + λ(i 9

10 Particularizando para A E n n, se deduce que det(e(i, j 1, det(e(λ(i λ, det(e(( j + λ(i 1 En consecuencia, afirmamos que det(e A det(e det(a det(a E, siendo E una matriz elemental Proposición 22 Sean A y B M n n (K det(λa λ n det(a, con λ K det(ab det(a det(b a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n Ejemplo 23 Si A 0 0 a nn es triangular superior, entonces det(a a 11 a nn Este resultado se mantiene para matrices triangulares inferiores 232 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA La idea de determinante de una matriz cuadrada proviene del cálculo de hipervolúmenes Veamos el caso más sencillo, n 2 Consideremos la figura: El área del paralelogramo OP 1 PP 2 se obtiene restando al área del rectángulo OP PP la suma de las áreas de cuatro triángulos y de dos rectángulos dibujados en la figura ( x1 y ( 1 x2 y 2 S (x 1 + x 2 (y 1 + y x 2 y 1 x 1 y 2 x 2 y Si notamos P 1 (a 11, a 12 (x 1, y 1 y P 2 (a 21, a 22 (x 2, y 2, obtenemos S a 11 a 22 a 21 a 12 10

11 ( a11 a Por tanto, el área del paralelogramo coincide con el determinante de la matriz A 12 a 21 a CÁLCULO DE DETERMINANTES Si A M n n (K no nula, entonces utilizando operaciones elementales por filas y/o columnas podemos transformarla en una matriz triangular( o paralelamente premultiplicando y/o postmultiplicando por matrices elementales podemos transformarla en una matriz triangular De aqui podemos obtener t 11 t 12 t 1n 0 t 22 t 2n E r E 1 A F 1 F s 0 0 t nn det(a t 11 t nn det(e r det(e 1 det(f 1 det(f s Ejemplo 24 det F 3 2F 2 det F 4 6F 3 det Ejemplo 25 Sean a, b, c R tales que a + b + c 0 det a b c 2a 2a 2b b c a 2b 2c 2c c a b (a + b + c det (a + b + c det F 1 + F 2 F 1 + F 3 det b b c a 2b 2c 2c c a b b (a + b + c 0 2c 0 (a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c 2b b c a 2b 2c 2c c a b C 2 C 1 C 3 C 1 (a + b + c3 1 a+b+c F 1 11

12 24 MATRICES NO SINGULARES Y FACTORIZACIÓN LDU DE UNA MATRIZ 241 MATRIZ INVERSA 2411 Definición Propiedades Definición 26 Sea A (a i j M n n (K Diremos que A es una matriz no singular (o invertible si existe una matriz B M n n (K tal que AB E n n BA Existe una única matriz B que verifica la relación anterior Esta matriz la denotaremos por A 1 y la llamaremos matriz inversa de A En caso contrario, se dice que A es singular (o no invertible Nota Si A y B M n n (K entonces AB E n n BA E n n Proposición 27 Si A M n n (K es no singular, entonces se verifica A 1 es no singular y (A 1 1 A A T es no singular y (A 1 T (A T 1 Proposición 28 Si A M n n (K es no singular, entonces en cada fila y en cada columna de A existe al menos una entrada no nula Como consecuencia, la matriz nula O n n es singular Proposición 29 Si D diag(a 11, a 22,, a nn es una matriz diagonal D es no singular a ii 0, para i 1, 2,, n En este caso, D 1 diag(a 1 11, a 1 22,, a 1 nn Proposición 30 Las matrices elementales son matrices no singulares y además las inversas son también matrices elementales del mismo tipo E(i, j 1 E(i, j, E(λ(i 1 E ( 1 λ (i, E(( j + λ(i 1 E(( j λ(i Proposición 31 Sean A, B M n n (K Entonces, AB es no singular A y B son no singulares, y, en este caso, (AB 1 B 1 A Criterios de no singularidad Teorema 32 Si A M n n (K es no nula y N es la forma normal de A, entonces A es no singular N E n n Corolario 33 Toda matriz no singular se puede escribir como producto de matrices elementales 12

13 Teorema 34 Si A M n n (K no nula, entonces A es no singular det(a 0 Corolario 35 Si A M n n (K es una matriz triangular, entonces A es no singular a ii 0, para i 1, 2,, n En particular, las matrices de tipo M son no singulares Además, se comprueba que la inversa de una matriz triangular no singular es otra matriz triangular del mismo tipo 2413 Cálculo de la matriz inversa de una matriz mediante operaciones elementales Teorema 36 Supongamos que una matriz no singular A M n n (K es reducida a E n n mediante un número finito de operaciones elementales sobre filas Entonces, la aplicación de estas operaciones elementales en el mismo orden sobre las filas de E n n proporcionan A 1 Nota Se pueden obtener resultados análogos trabajando sólo con operaciones elementales sobre columnas o con operaciones elementales sobre filas y columnas Método práctico de cálculo de la inversa Aplicando únicamente operaciones elementales sobre filas: [ A E n n ] operaciones elementales sobre filas [ E n n A 1 ] Aplicando únicamente operaciones elementales sobre columnas: A E n n operaciones elementales sobre columnas E n n A 1 Aplicando operaciones elementales sobre filas y columnas: A E n n E n n O n n operaciones elementales sobre filas y columnas E n n Q P O n n y, en este caso, A 1 Q P Ejemplo 37 Calcula la inversa de la matriz A elementales sobre filas [ A E 3 3 ] F 1 F 3 ( 1F F 3 2F aplicando únicamente operaciones

14 F 3 +F F F 1 F /5 3/5 1/ /5 1/5 2/5 Ejemplo 38 Calcula la inversa de la matriz A elementales sobre columnas 1 1 A E Por tanto, A 1 ( 2/7 1/7 5/7 1/7 C 2 +C /5 2/5 1/5 F 1 2F /5 1/5 2/ /5 1/5 2/ C 2 Ejemplo 39 Calcula la inversa de la matriz A sobre filas y columnas A E 3 3 E 3 3 O F /2 1/2 1/ F 1 F /2 1/ /2 1/2 3/ / C C 2 A 1 ( /7 0 1/ /5 3/5 1/ /5 1/5 2/5 aplicando únicamente operaciones C 3 C 1 5C /7 1/7 5/7 1/7 aplicando operaciones elementales F 3 2F 1 F 2 F /2 1/ / / /2 1/ /2 3/ / / F 3 F 2 14

15 Por tanto, A 1 Q P / / /2 1/2 0 1/2 3/ FACTORIZACIÓN LDU DE UNA MATRIZ n n SOBRE K 2421 Factorización LU /7 1/7 3/7 1/7 3/7 2/7 Si A M n n (K y se puede triangular utilizando únicamente operaciones elementales de tipo 3 por filas, o equivalentemente, se puede factorizar como sigue M n 1 M n 2 M 2 M 1 A A (n siendo M i matrices de tipo M (que en este caso son matrices triangulares inferiores con diagonal de unos y, por tanto, no singulares 1 i n 1, entonces podemos despejar A a 11 a 12 a 13 a 1n a (2 22 a (2 23 a (2 2n A (M 1 1 M 1 n 1 A (n LA (n a (3 33 a (3 3n a (n nn Hemos escrito A como producto de una matriz L triangular inferior con diagonal de unos y una matriz A (n triangular superior Esta factorización es conocida como factorización LU de A 2422 Factorización LDU Después de obtener la factorización LU, la matriz A (n, a su vez se puede factorizar como producto de una matriz D diagonal, donde las entradas diagonales son los pivotes, y una matriz U triangular superior con diagonal de unos a a ( A LA (n LDU a (n nn Esta factorización de la matriz A es conocida como factorización LDU de A Con estas definiciones, para que A M n n (K admita factorización LU y LDU es necesario que a 11, a (2 22,, a(n 1 (n 1(n 1 sean no nulos Teorema 40 Si A M n n (K, entonces, para t 1, 2,, n a 11, a (2 22,, a(t tt son no nulos A [1], A [2], A [t] son no singulares Teorema 41 Si A M n n (K admite factorización LDU, entonces A es no singular todos los pivotes son no nulos 15

16 Teorema 42 Si A M n n (K admite factorización LDU y es no singular, entonces la factorización LDU es única Si además A es simétrica, entonces L U T 25 PARTICIÓN DE MATRICES EN BLOQUES 251 MATRICES EN BLOQUES TIPOS DE MATRICES EN BLOQUES Definiciones 43 Dada una matriz A M m n (K, si trazamos p 1 líneas horizontales entre ciertas filas de A y q 1 líneas verticales entre ciertas columnas de A, se tiene una partición en bloques de A de la forma: A Λ 11 Λ 12 Λ 1q Λ 21 Λ 22 Λ 2q Λ p1 Λ p2 Λ pq donde cada Λ i j es una submatriz de A Por tanto, diremos que A es una matriz en bloques p q Si p q, entonces diremos que A es una matriz en bloques cuadrada Dada una matriz A (Λ i j en bloques cuadrada, diremos que A es diagonal en bloques si Λ i j O, para i j, y escribiremos A Λ 11 Λ 22 Λ pp A es triangular superior en bloques si Λ i j O, para i > j A es triangular inferior en bloques si Λ i j O, para i < j 252 OPERACIONES CON MATRICES EN BLOQUES Suma de matrices en bloques Si A (Λ i j y B (Ω i j son matrices en bloques p q, donde los bloques Λ i j y Ω i j son del mismo tamaño para cada i, j con 1 i p y 1 j q, entonces A + B (Λ i j + Ω i j Ejemplo 44 A ( Λ11 Λ 12 Λ 21 Λ 22 y B ( Ω11 Ω 12 Ω 21 Ω 22 A + B ( Λ11 + Ω 11 Λ 12 + Ω 12 Λ 21 + Ω 21 Λ 22 + Ω

17 Producto de matrices en bloques Si A (Λ i j es una matriz en bloques p q y B (Ω jk es una matriz en bloques q t, donde cada bloque Λ i j es de tamaño m i n j y cada bloque Ω jk es de tamaño n j s k, entonces q A B (Γ ik, siendo Γ ik Λ i j Ω jk Ejemplo 45 A A B ( Λ11 Λ 12 Λ 21 Λ 22 y B 253 APLICACIONES DE LAS MATRICES EN BLOQUES Cálculo de inversas j ( Λ11 Ω 11 + Λ 12 Ω 21 Λ 11 Ω 12 + Λ 12 Ω 22 Λ 21 Ω 11 + Λ 22 Ω 21 Λ 21 Ω 12 + Λ 22 Ω 22 ( Ω11 Ω 12 Ω 21 Ω ( P O Si T es una matriz en bloques diagonal y P y R son no singulares, entonces O R ( P T es no singular y T 1 1 O O R 1 ( P Q Si T es una matriz en bloques triangular superior y P y R son no singulares, O R entonces ( P T es no singular y T 1 1 P 1 QR 1 O R 1 ( P O Análogamente, si T es una matriz en bloques triangular inferior y P y R son no Q R singulares, entonces ( T es no singular y T 1 P 1 O R 1 QP 1 R 1 Ejemplo 46 Calcula la inversa de la matriz A

18 ( P O A O R ( P A 1 1 O O R 1 Observemos que ( ( S Q S P P 1 1 O R O S 1 S 1 QR 1 O Por tanto, A 1 O R 1 O O O R 1 S 1 QR 1 R 1 A 1 1/2 0 3/14 1/7 3/ /8 1/14 5/56 1/ /7 1/7 3/ /7 3/7 2/ /7 1/7 3/ /7 3/7 2/7 Cálculo ( de determinantes Λ11 Λ Si A 12 es una matriz en bloques y Λ O Λ 11 es no singular y Λ 22 es una matriz 22 cuadrada, entonces, det(a det(λ 11 det(λ 22 Cálculo de los pivotes Si A M n n que admite LDU y π 1, π 2,, π n son los pivotes, entonces Tomando submatrices se obtiene que A LDU, siendo D diag(π 1, π 2,, π n A [k] L [k] D [k] U [k], para k 1, 2,, n y considerando determinantes Por tanto, det(a [k] det(l [k] det(d [k] det(u [k] det(d [k] π 1 π 2 π k, 1 k n π 1 det(a [1] a 11 π k det(a[k] det(a [k 1], 18 para k 2,, n

19 PROBLEMAS SESIÓN (PI Sean A y B Calcula 2A 3BT ( ( (PII Sean A, B (3 1 2, C y D 2 Hallar (A B + C D ( 1 0 ( (PIII Dadas las matrices A 0 2, B, C y D Calcula 2A B + 3C y (A + C (3B D (P9(pág 130 Expresa la matriz como suma de una matriz simétrica y de otra antisimétrica ( 1 2 (PIV Descomponer la matriz A como suma de una matriz simétrica y una matriz 3 4 antisimétrica (P10(pág 131 Calcula las potencias de A ( { 0 1 A si n es impar (PV Considera la matriz A Comprueba que A n 1 0 E 2 2 si n es par (PVI Comprobar que A n (PVII Dada la matriz A 1 0 n ( 1 a 0 1 siendo A Calcular A n (P16(pág 131 Prueba que A y B conmutan A T y B T conmutan (PVIII Hallar las matrices 2 2 sobre R que conmutan con la matriz A (P18(pág 131 Prueba que si A es antisimétrica, entonces A 2 es simétrica ( (P33(pág 133 Si A es idempotente, prueba que B E A satisface AB BA O (P37(pág 133 Prueba que las matrices A y B son involutivas (P25(pág 132 Halla todas las matrices complejas n n A tales que A A 0 (P27(pág 132 La traza tr(a de una matriz cuadrada se define como la suma de todas sus entradas diagonales Prueba que tr(a + C tr(a + tr(c y tr(λa λ tr(a 19

20 (P36(pág 133 Prueba que ( y ( anticonmutan y (A + B 2 A 2 + B 2 (P32(pág 133 Halla dos matrices C y D tales que (C + D(C D C 2 D 2 PROBLEMAS SESIÓN 4 (P1(pág148 Señala qué tipo de operaciones elementales sobre filas hay que efectuar sobre E 3 3 para obtener las siguientes matrices elementales (i (ii (iii (iv Repite el ejercicio considerando operaciones elementales sobre columnas (P2(pág148 Dada la matriz A 0 1 5, computa PA y AP siendo P cada una de las matrices elementales del problema anterior (P6(pág149 Sea C Halla matrices elementales E 1,,E 4 tales que E 4 E 3 E 2 E 1 C E (P9(pág150 Prueba que las matrices elementales de orden 4, E(1, 2 y E(3, 4 conmutan y E(1, 2 y E(2, 3 no conmutan (P16(pág 151 Prueba que las matrices elementales de tipo II conmutan (P17(pág 151 Hallar dos matrices elementales de tipo III que no conmuten (P20(pág152 Obtener la forma normal de la matriz A (PI Obtener una forma escalonada reducida de la matriz (P21(pág152 Escribe todas las posibles formas normales de una matriz de tamaño (P22(pág152 Reduce la matriz a su forma normal (P23(pág 152 Reduce la matriz a su forma normal (P16(pág176 Reduciendo a forma triangular, calcula el valor de los determinantes de las siguientes matrices (i (ii (iii

21 (P7(pág 175 Calcula det(a siendo A (P8(pág175 Utilizando operaciones elementales, prueba que b + c b + c b + c a a a (idet c + a c + a c + a 2 det b b b a + b a + b a + b c c c (iidet (iii det (PI Sabiendo que det det b + c c + a a + b a b c x 2y 2z 3/ a 2 bc a 2 b 2 b 2 ac ab c 2 c 2 x y z , det det 0 ac bc ab bc ab ac ab ac bc 5, calcula sin desarrollar, los determinantes : x y z 3x + 3 3y 3z + 2 x + 1 y + 1 z + 1, det x 1 y 1 z PROBLEMAS SESIÓN 5 (P13(pág176 Sea S una matriz n n antisimétrica Si n es impar, prueba que det(s 0 0 x y Qué se puede afirmar de det(a det x 0 z? y z 0 (P12(pág176 Si A A 1 Cuáles son los posibles valores de det(a? (PI Sea A matriz n n sobre K tal que A 3 A Cuáles son los posibles valores de det(a? (PII (i Calcula el determinante de las siguientes matrices sin desarrollarlo Justifica tu respuesta B C (ii Sea A M n n (R tal que 3A 2 2A O n n Calcula los posibles valores del determinante de A (P30(pág 180 Prueba que si A es hermítica, entonces det(a es un número real (P20(pág152 Escribe A como producto de matrices elementales

22 (P4(pág 210 Supongamos que una matriz B n n verifica la ecuación B 7 3B + E O n n Prueba que B es no singular y calcula B 1 (P2(pág 210 Suponiendo que todas las matrices que intervienen son no-singulares, despeja D en cada una las siguientes ecuaciones: (i ADB C; (ii ACDB C; (iii CADB C; (iv (AB 1 AD E; (v A(B + D (B 1 1 (P5(pág211 Supón que una matriz n n A satisface A p O para algún p Demuestra que A es singular (P11(pág212 Prueba que si A es no singular y simétrica, entonces A 1 es simétrica (PIII Utilizando el Método de Gauss, obtener la inversa de (P16(pág213 Calcula la inversa de (PIV Halla una matriz 3 2 tal que X AX + B, donde A y B (PV Calcular la factorización LDU de la matriz A (PVI Calcular la factorización LDU de la matriz A (PVII Averigua si las siguientes matrices admiten factorización LDU y en caso afirmativo calcula dicha factorización: A y B (PVIII Estudia para que valores de α la matriz A 1 α admite factorización LDU y calcula dicha factorización en tales casos Teniendo en cuenta la factorización anterior calcula det(a y calcula, para que valores de α, A es no singular (PI Calcula el determinante de A PROBLEMAS SESIÓN 6 (PRIMERA PARTE

23 ( 1 ( (P18(pág 228 Sabiendo que, calcula la inversa de las siguientes matrices estableciendo los bloques convenientes ; (PII Calcular la inversa de la matriz A (PIII Calcula la inversa de la matriz A ( B C (P6(pág 225 Supongamos que establecemos una partición por bloques de una O O ( B matriz A Prueba que A n n B n 1 C O O (P16(pág 227 Sea la matriz cuadrada A B C Prueba que es nilpotente si, y sólo si, cada bloque lo es 23