Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización

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1 Matemáticas I: Hoja 4 Aplicaciones lineales y diagonalización Ejercicio. Decidir cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales. Cuál es la dimensión del espacio imagen? a f(x, x 2, x 3 = (x 2 + x 3, 2x + x 2, 3x x 2 + x 3 b f(x, x 2, x 3 = (x, x 2 +, x c f(x, x 2, x 3 = (x x 2 + x 3, x 3 a es lineal. La dimensión de la imagen es 3 b no es lineal (f(0 0 c es lineal. La dimensión de la imagen es 2. Ejercicio 2. Demostrar que existe una sóla transformación lineal de R 3 en sí mismo que tranforma los vectores a, a 2, a 3 en b, b 2, b 3. a b a = (2, 3, 5 a 2 = (0,, 2, a 3 = (, 0, 0 b = (,, b 2 = (,,, b 3 = (2,, 2 a = (2, 0, 3 a 2 = (4,, 5, a 3 = (3,, 2 b = (, 2, b 2 = (4, 5, 2, b 3 = (,, En ambos casos {a i } forman una base, y siempre existe una aplicación lineal que lleve los elementos de la base del espacio de salida a elementos arbitrarios del espacio de llegada (defínela como f( i λ ia i = i λ ib i. La unicidad se sigue de la linealidad: si hubiese dos funciones f f lineales con f(a i = b i, existiría v tal que f(v f (v

2 (en caso contrario f = f. Pero v = i λ ia i, luego f(v = i λ i f(a i = i λ i b i = i λ i f (a i = f (v Contradicción. Observación: en a {b i } es asimismo una base. Por lo tanto, la aplicación lineal consiste en un cambio de base. Ejercicio 3. Demostrar que la proyección de R 3 sobre la recta (, 0, 0 paralelamente al plano (0,, 0, (0, 0, es una aplicación lineal. Cuál es el núcleo de dicha aplicación? La aplicación viene dada por Es lineal, ya que f(x, x 2, x 3 = (x, 0, 0 f (λ(x, x 2, x 3 + µ(y, y 2, y 3 = (λx + µy = λf(x, x 2, x 3 + µf(y, y 2, y 3 Su imagen es el eje OX y su núcleo el plano L((0,, 0, (0, 0,. Ejercicio 4. Sea la aplicación lineal f : R 3 R 3 definida por f(x, y, z = (2x + y + 4z, x + y + 2z, x + y + 3z. Determinar el núcleo y la imagen de dicha aplicación.. ker(f = {0}. 2. Im(f = R 3. Ejercicio 5. Sea la aplicación lineal f : R 3 R 3 definida por f(x, y, z = ( 2x + y + z, x y, x z. Determinar unas ecuaciones paramétricas y cartesianas (o implícitas del núcleo y de la imagen de f. Calcular la dimensión y una base de cada uno de los dos subespacios. Estudiar si f es inyectiva y/o sobreyectiva. 2

3 Para Im(f:. Unas ecuaciones paramétricas son x = λ y = µ, λ, µ R z = λ µ 2. Una base está dada por B Im(f = {(, 0,, (0,, }. Deducimos por tanto que dim(im(f = 2. Como Im(f R 3, f no es sobreyectiva. 3. Unas ecuaciones cartesianas de Im(f son {(x, y, z : x + y + z = 0}. Para ker(f:. Unas ecuaciones cartesianas de ker(f son 2. Unas ecuaciones paramétricas son x = λ y = λ, λ R z = λ { (x, y, z : { } x y = 0. y z = 0 3. Una base de ker(f sería B ker(f = {(,, } y, por tanto, dim(ker(f =. Como ker(f {0}, la aplicación f no es inyectiva. Ejercicio 6. Sea la aplicación lineal f : R 3 R 3 definida por f(x, y, z = (x + y, x + z, x + y + z. Estudiar si la aplicación es inyectiva y/o sobreyectiva. Dar una base de la imagen de f. Estudiar si el vector u = (,, 0 está en la imagen de f y en ese caso dar las coordenadas de u con respecto a la base anterior. Se puede ver que ker(f = {(0, 0, 0}. Luego f es inyectiva. Por otro lado, se ve que Im(f = R 3. Por lo tanto f es sobreyectiva (así, f es un isomorfismo. Como Im(f = R 3, es obvio que u Im(f. Más aún, como podemos elegir cualquier base, escogemos la base canónica y por tanto las coordenadas del vector u en esta base son u = (,, 0 Bc. 3

4 Ejercicio 7. Existe una aplicación lineal f : R 3 R 4 tal que su núcleo está generado por los vectores (, 0, 0 y (,, 0 y la imagen está generada por (, 0, 0, 0 y (, 0, 0,? No puede existir una tal aplicación lineal ya que eso supondría que dim(ker(f = 2 y dim(im(f = 2, pero la fórmula de la dimensión para aplicaciones lineales nos dice que en este caso dim(ker(f+dim(im(f = 3. Ejercicio 8. Dar las matrices asociadas a las aplicaciones lineales correspondientes a los ejercicios., 2. y 3. de esta hoja. Dar la dimensión del núcleo y de la imagen de cada una de las aplicaciones..a.c ( a En bases {a i } en el espacio de salida y {b i } en el de llegada, la matriz es la identidad. En base canónica, la matriz es: b En bases {a i } en el espacio de salida y canónica en el de llegada la matriz es De la canónica a la canónica:

5 Ejercicio 9 (*. Demostrar que el giro de ángulo α en el plano es una transformación lineal. Determina su matriz. Pista: utiliza las coordenadas polares (r cos θ, r sin θ para definir la función. A continuación, emplea las relaciones trigonométricas para el seno y el coseno de la suma. Recordemos que un punto en el plano siempre puede escribirse como f((rcosθ, rsinθ donde r es la distancia al 0 y θ es el ángulo que la recta que pasa por el punto y el 0 forma con el lado positivo del eje OX. Así, un giro de ángulo α viene dado por f(rcosθ, rsinθ = (rcos(θ + α, rsin(θ + α Desarrollando: ( rcos(θ + α rsin(θ + α = ( r(cosθcosα sinθsinα r(sinθcosα + cosθsinα cosα sinα = sinα cosα rcosθ rsinθ Luego la aplicación viene dada por multiplicación de los vectores por una matriz. Puesto que esta operación es lineal, se sigue que la aplicación es lineal. Ejercicio 0. Demostrar que la transformación de R 3 en sí mismo indicada abajo es lineal. x f x 2 x 3 = (x, x 2, x 3, (, 2, donde u, v indica el producto escalar de dos vectores. Cuál es la matriz en la base siguiente? B = {(, 0,, (2, 0,, (,, 0} La linealidad de la aplicación f se prueba como en los ejercicios anteriores. 5

6 La matriz de f en la base B viene dada por M B,B (f = Ejercicio. Aclarar si son semejantes entre sí las siguientes matrices: (a A = 3 5, B = (b A = , B = (a No son semejantes puesto que los determinantes son diferentes. (b No son semejantes puesto que las trazas son diferentes. Ejercicio 2. Encontrar el polinomio característico de las siguientes matrices: (a , (b (a t 3 + 6t t + 38 (b t 3 t 2 + 8t 62 (ct 2 6t + 3(t 2 9t + 28 (dt (t 3(t 5(t 6, (c , (d Ejercicio 3. Demostrar, usando las propiedades del determinante, que una matriz tiene el mismo polinomio característico que su traspuesta. P A (λ = det(a λi = det((a λi t = det((a t λi t = det((a t λi = P A t(λ. 6

7 ( 2 2 Ejercicio 4. Sea A = 3 : (a Encontrar todos los autovalores y sus correspondientes autovectores (b Encontrar una matriz no singular P de forma que A = P DP, siendo D una matriz diagonal. (c Encontrar A 6 y A 4 3A 3 6A 2 + 7A + 3I. (a Autovalores: λ =, λ 2 = 4. Autovectores: v = (2,, v 2 = (, ( 2 (b P = ( (c A 6 = ( 2 A 4 3A 3 6A 2 + 7A + 3I = 0 Ejercicio 5. Sea A = ( : (a Encontrar todos los autovalores y sus correspondientes autovectores (b Encontrar una matriz no singular P de forma que A = P DP, siendo D una matriz diagonal. (c Encontrar A 6 y A 4 5A 3 + 7A 2 2A + 5I. (a Autovalores: λ =, λ 2 = 4. Autovectores: v = (,, v 2 = (, 2 ( (b P = 2 ( (c A 6 = ( 9 3 A 4 5A 3 + 7A 2 2A + 5I =

8 Ejercicio 6. Repetir el ejercicio anterior para la siguiente matriz: ( 5 6 A = 2 2 (a Autovalores: λ =, λ 2 = 2. Autovectores: v = (3, 2, v 2 = (2, ( 3 2 (b P = 2 ( (c A 6 = ( 2 6 A 4 5A 3 + 7A 2 2A + 5I = 2 9 Ejercicio 7. Sea A = : (a Encontrar todos los autovalores y una base de autovectores de A sabiendo que los autovalores son enteros positivos. (b Encontrar una matriz no singular P de forma que A = P DP, siendo D una matriz diagonal. (a Autovalores: λ = 3, λ 2 = 3, λ 3 = 5. Autovectores: v = (,, 0, v 2 = (, 0,, v 3 = (, 2,. La base de autovectores es {v, v 2, v 3 }. (b P = Ejercicio 8. Repetir el ejercicio anterior para las siguientes matrices: (a 7 5, (b 3 5 3, (c

9 (a.a Autovalores: λ = 2, λ 2 = 2, λ 3 = 4. Autovectores: v = (,, 0, v 3 = (0,,. La base de autovectores es {v, v 3 }. Notemos que tiene dimensión 2 y por tanto la matriz no diagonalizará. (a.b La matriz no diagonaliza. (b.a Autovalores: λ = 2, λ 2 = 2, λ 3 = 4. Autovectores: v = (,, 0, v 2 = (, 0,, v 3 = (,, 2. La base de autovectores es {v, v 2, v 3 }. (b.b P = (c.a Autovalores: λ = 3, λ 2 = 3, λ 3 =. Autovectores: v = (,, 0, v 2 = (, 0,, v 3 = (2,,. La base de autovectores es {v, v 2, v 3 }. 2 (c.b P = 0 0 Ejercicio 9. Para cada una de las siguientes matrices, encontrar todos los autovalores, autovectores y una matriz no singular P que diagonalice la matriz ( 2 3 (a 2 5 (d 4, (b , (e, (c (a.a Autovalores: λ =, λ 2 = 4. Autovectores: v = (3,, v 2 = (, 2. ( 3 (a.b P = 2 (b.a Autovalores: λ =, λ 2 = 5. Autovectores: v = (2,, v 2 = (2, 3. ( 2 2 (b.b P = 3 9,

10 (c.a Autovalores: λ =, λ 2 =, λ 3 = 2. Autovectores: v = (,, 0, v 2 = (,, 2, v 3 = (,,. (c.b P = 0 2 (d.a Autovalores: λ =, λ 2 =, λ 3 = 22. Autovectores: v = (2,,, v 2 = (2, 3,, v 3 = (, 2, (d.b P = (e.a Autovalores: λ = 5, λ 2 = 5, λ 3 = 6. Autovectores: v = (0,, 2, v 2 = ( 5, 8, 4, v 3 = (4, 2, (e.b P = Ejercicio 20 (*. Hallar la k-ésima potencia de la siguiente matriz (celda de Jordan: α α J = 0 0 α α α Pista: Escribe J como αi +A e investiga cuanto valen las potencias de A. Concluye expandiendo el binomio, teniendo en cuenta que I y A conmutan. Sea A = En primer lugar, notemos que:

11 A 2 = , A 3 = o, lo que es lo mismo A m vale en la superdiagonal m-ésima y 0 en el resto de posiciones de la matriz. Para m > n, A m = 0. Por tanto, tenemos que: J k = (αi + A k = k i=0 ( k α k i I k i A i = i min{k,n } i=0 ( k α k i A i i donde en el penúltimo paso hemos usado que I y A conmutan y en el último que para i > n, A i = 0. Ahora, cada una de las matrices que aparecen en el sumatorio no comparte entradas no nulas con ninguna de las demás y por tanto, tenemos que la superdiagonal j-ésima tendrá entradas iguales al coeficiente que acompaña a A j : J k = ( k 0 α k k α k k 2 α k 2... k k α k k 0 0 ( 0 k 0 α k k α k k 2 α k 2... k k α k k 0 ( 0 0 k 0 α k k α k k 2 α k 2... k k α k k ( k 2 α k 2 ( k α k k 2 α k 2 ( k 0 α k k α k α k ( k 0