Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de enunciado verbal

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1 Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de enunciado verbal SISTEMAS DE ECUACIONES DE ENUNCIADO VERBAL CON 3 INCÓGNITAS. RESUELTOS EN ABIERTO PAU Universidad de Oviedo Junio En una confitería envasan los bombones en cajas de 50 gr, 500 gr y kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (50 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 50 euros: (a) Plantea un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. (b) Resuelve el problema. RESOLUCIÓN apartado (a) x "Número de cajas de 50 gramos" y "Número de cajas de 500 gramos" z "Número de cajas de 000 gramos" x y = 5 Si kilogramo vale 40 euros, suponiendo que son magnitudes directamente proporcionales: Cada caja de 000 gramos costará 40 euros Cada caja de 500 gramos costará 0 euros Cada caja de 50 gramos costará 0 euros 0x + 0y + 40z = 50 RESOLUCIÓN apartado (b) RESOLUCIÓN: x y = 5 x + y + 4z = 5 Resolvemos el sistema por el método de Gauss ( ) 60 ( ) ( ) ( ) Fijamos la ª y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. ( ) 0 ( ) Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 5z = 75 z = 5

2 Abel Martín & Marta Martín Sierra y z = 55 y 5 = 55 y = y = 40 y = 0 x = 60 y z x = x = 5 SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 5 ; y = 0 ; z = 5 SOLV F Ese día se envasaron 5 cajas de 50 gramos, 0 cajas de 500 gramos y 5 cajas de kilogramo Si la altura de Carlitos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlitos sería igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 55 centímetros. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la de Carlitos. Hallar la altura de los tres. x "Estatura de Carlitos, expresada en cm" y "Estatura de Toni, expresada en cm" z "Estatura de Juan, expresada en cm" x + 3(y z) = z x + y + z = 55 8y = 9x x + 3y 3z z = 0 x + y + z = 55 9x + 8y = 0 x + 3y 4z = 0 x + y + z = 55 9x + 8y = 0 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones.

3 Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de enunciado verbal SOLV F Las estaturas de Carlitos, Toni y Juan son respectivamente,.60,.80 y.75 metros Se envasa cierto producto en cajas de 50 gr, 500 gr y kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (50 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 4.04 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 75.5 euros: (a) Plantear un sistema para determinar cuántas cajas se han envasado de cada tipo. (b) Resolver el problema. x "Número de cajas de 50 gramos" y "Número de cajas de 500 gramos" z "Número de cajas de 000 gramos" (pequeño) x y = 5 (mediano) Si kilogramo vale 4.04 euros, suponiendo que son magnitudes directamente proporcionales: Cada caja de 000 gramos costará 4.04 euros Cada caja de 500 gramos costará.0 euros Cada caja de 50 gramos costará 6.0 euros 6.0x +.0y z = 75.5 RESOLUCIÓN: x y = 5 6.0x +.0y z = 75.5 Resolvemos el sistema por el método de Gauss ( ) 60 ( 6. 0) ( ) ( ) Fijamos la ª y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda y la 3ª con las operaciones indicadas a la derecha. ( ) 0 ( ) Fijamos la ª y ª filas y modificamos la 3ª con las operaciones indicadas a la izquierda

4 Abel Martín & Marta Martín Sierra En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: 5.05z = SOLUCIÓN: z = 5 y z = 55 y 5 = 55 y = y = 40 y = 0 x = 60 y z x = x = 5 Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = 5 ; y = 0 ; z = 5 SOLV F Ese día se envasaron 5 cajas de 50 gramos, 0 cajas de 500 gramos y 5 cajas de kilogramo. PAU Universidad de Oviedo Junio Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 0.60 euros, 0.7 euros y 0.90 euros/kg, respectivamente. El importe total de la compra fueron 6.96 euros. El peso total de la misma es de 9 kg y, además compró kg más de naranjas que de manzanas. (a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad comprada de cada producto. (b) Resuelve el problema. x "Número de kilogramos de patatas compradas" y "Número de kilogramos de manzanas compradas" z "Número de kilogramos de naranjas compradas" 0.6x + 0.7y + 0.9z = 6.96 x + y + z = 9 y = z 0.6x + 0.7y + 0.9z = 6.96 x + y + z = 9 y z = RESOLUCIÓN: Resolvemos el sistema por el método de Gauss 4 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones.

5 Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de enunciado verbal ( 0. 6) 9 ( ) Fijamos la primera y tercera filas y modificamos la segunda con las operaciones que se indican a la izquierda 9 ( ) ( 0. ) Fijamos la primera y segunda filas y modificamos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda En estos momentos ya tenemos el sistema de ecuaciones presentado en forma escalonada, por lo que podemos operar cómodamente: z =.68 0.y =.56 0.y = y = 0.36 y = 0.36/0. x + y + z = 9 x = SOLUCIÓN: Si atendemos a las soluciones, el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO x = ; y = 3 ; z = 4 z = 4 y = 3 x = El ama de casa adquirió en el mercado kilogramos de patatas, 3 kilogramos de manzanas y 4 kilogramos de naranjas. PAU Valencia Junio Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron cafés, cortados y un café con leche y debieron pagar 3 euros. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3.5 euros. El tercer día, solo acudieron cuatro de ellos y 5

6 Abel Martín & Marta Martín Sierra tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a.45 euros. Calcula de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche. x "Precio del café" y "Precio del cortado" z "Precio del café con leche" x + y + z = 3 x + y + 3z = 3.5 x + y + z =.45 Los precios del café, del cortado y del café con leche son, respectivamente, 0.55, 0.60 y 0.70 euros. PAU Baleares Junio Joan, Marc y Pere van a una papelería y compran cuadernos pequeños, medianos y grandes según la siguiente tabla: Nº de cuadernos pequeños Nº de cuadernos medianos Nº de cuadernos grandes Joan 3 3 Marc 4 3 Pere 3 4 Si Joan, Marc y Pere han gastado en total en cuadernos 3, 4.75 y 5.5 euros, respectivamente, calcula el precio de un cuaderno pequeño, el de uno mediano y el de uno grande. x "Precio del cuaderno pequeño, en euros" y "Precio del cuaderno mediano, en euros" z "Precio del cuaderno grande, en euros" x + 3y + 3z = 3 x + 4y + 3z = 4.75 x + 3y + 4z = Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones.

7 Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de enunciado verbal Los precios de los cuadernos pequeño, mediano y grande son, respectivamente,,.75 y.5 euros. PAU Andalucía Junio Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 56 euros por 4 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y litros de aceite de oliva. Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones para calcular el precio unitario de cada artículo, sabiendo que un litro de aceite cuesta el triple que un litro de leche y que kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. x "Precio de un litro de leche, en euros". y "Precio de un kg de jamón serrano, en euros". z "Precio de un litro de aceite de oliva, en euros ". 4x + 6y + z = 56 z = 3x y = 4z + 4x 4x + 6y + z = 56 3x + z = 0 4x + y 4z = 0 Los precios unitarios, en euros, de la leche, el jamón y el aceite son, respectivamente,, 6 y 3 euros. PAU Valencia Junio Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 5 euros. Calcula de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 euros, cuántos han pagado el 0% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 0% es el doble del número de viajeros que han pagado el billete entero. x "Número de viajeros que han pagado el importe total del billete" y "Número de viajeros que han pagado el importe 0% del total del billete" z "Número de viajeros que han pagado el importe 50% del total del billete" 7

8 Abel Martín & Marta Martín Sierra x + y + z = 500 9x +.8y + 4.5z = 5 y = x x + y + z = 500 9x +.8y + 4.5z = 5 x + y = 0 Número de viajeros que han pagado el importe total del billete es de 50, han pagado el 0% 300 viajeros y 50 han pagado la mitad. 09. En una competición deportiva celebrada en un IES participaron 49 atletas distribuidos según la edad, en tres categorías: Infantiles, Cadetes y Juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría. x "Número de atletas de categoría infantil" y "Número de atletas de categoría cadete" z "Número de atletas de categoría juvenil" x + y + z = 49 x y = x = 5z x + y + z = 49 x y = x 5z = 0 8 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones.

9 Sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas de enunciado verbal En el contexto del problema no pueden darse simultáneamente los datos del enunciado ya que el número de personas no puede ser un número decimal. SELECTIVIDAD Baleares Junio (a) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede ser indeterminado? (b) Seis amigos acuden a una heladería del centro de Palma. Un día, por un helado gigante, un granizado y cuatro vasos de agua mineral, pagan 0.43 euros. Al día siguiente pagan por cuatro helados gigantes y dos granizados, 6.44 euros. Busca los precios del helado y del granizado en función del precio del agua mineral y también en el caso de que ésta valga 3.0 euros. RESOLUCIÓN apartado (a) Sí, un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas puede ser indeterminado. Veamos un ejemplo ilustrativo en el que el sistema tiene infinitas soluciones: x + y + 4z = x + y + 8z = 4 ) x + y + 4z = x y 8z = 4 ) x + y + 8z = 4 x + y + 8z = 4 0 = 0 Es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas con infinitas soluciones y, por lo tanto, compatible indeterminado RESOLUCIÓN apartado (b) x "Precio en euros del helado gigante" y "Precio en euros del granizado" z "Precio en euros del agua mineral" RESOLUCIÓN: x + y + 4z = x +y = 6.44 Resolvemos el sistema por el método de Gauss ( 4) ( ) Fijamos la ª fila y modificamos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda x y 6z = 55.8 y = z y = z y = z z + 4z =

10 Abel Martín & Marta Martín Sierra x = x = z 4z z 8z z 4. 4 x = Para este caso existen infinitas soluciones; De forma generalizada, en función del precio del agua mineral z, serían las siguientes: 8 z z (,, z ) Así, por ejemplo, para z = 0 (,, 0 ) z = (,, ) z = (,, ) z = 3.0 ( 7., 7.64, 0) NO VÁLIDA ( 3., 9.64, ) NO VÁLIDA (0.79,.64, ) VÁLIDA (,, 3.0 ) (4.83, 3.56, 3.0) VÁLIDA Por ejemplo, en el caso de que el agua mineral valga 3.0 euros, el helado gigante costará 4.83 euros y la granizada 3.56 euros. SOLV F 0 Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones.