RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE PROBLEMAS

Transcripción

1 "" "a" "n" "" DP. - AS Mateáticas ISSN: X RESOLUCIÓN Y DISCUSIÓN DE PROBLEMAS DE ENUNCIADO VERBAL CON PARÁMETROS 6 - PAU - Universidad de Oviedo J Un agente inobiliario puede realizar tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una pria de PTAS. Si la operación es la venta de un piso usado recibe 6 PTAS. Se desconoce la pria cuando la operación es un alquiler. Este es el núero total de operaciones fue 5, la pria total por la venta de pisos fue superior en PTAS a la obtenida por alquileres y la pria total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres. (a) Plantea un sistea de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el núero de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la pria de alquiler). (b) Indica una pria a la que es iposible que se hayan pagado los alquileres. (c) Indica tres prias a las que es posible que se hayan pagado los alquileres. (d) Si la pria de alquileres fue de PTAS, cuántas operaciones de cada tipo se realizaron? RESOLUCIÓN apartado (a) DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS x "Núero de ventas de pisos nuevos" y "Núero de ventas de pisos usados" z "Núero de alquileres" DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS "Valor desconocido de la pria por un alquiler" PLANTEAMIENTO: x + y + z = 5 x + 6y = + z x = z Colocaos térinos seejantes en cada iebro, reducios y obteneos el siguiente sistea para obtener el núero de operaciones realizadas (en función del valor desconocido de la pria de alquiler) RESOLUCIÓN apartado (b) x + y + z = 5 x + 6 y z = 4 x z = Para estudiar la copatibilidad del sistea, lo resolveos por el étodo de Gauss: ( ) () 4 6 ( 4) () Fijaos la ª fila y odificaos la ª y ª con las operaciones indicadas a la izquierda y derecha, respectivaente: ( ) () Fijaos la priera y segunda filas y odificaos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda Siplificaos la º fila: 4

2 Abel Martín + = = = RESOLUCIÓN apartado (b) ( + ) z = z = pero SISTEMA INCOMPATIBLE Es iposible que se hayan pagado los alquileres con una pria de. RESOLUCIÓN apartado (c) Para = SISTEMA INCOMPATIBLE Es sistea es copatible deterinado RESUMEN SOLUCIÓN A SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Para indicar tres prias a las que es posible que se hayan pagado los alquileres, observaos la atriz del sistea resultante: Las prias por alquileres podrían ser = 5, = 55, = 6, es decir, valores distintos de. PTAS, aunque habría que hacer un estudio ucho ás profundo ya que, dependiendo del contexto, los valores de x, y, z tendrían que ser núeros enteros positivos, que por el exceso y laboriosidad de los de cálculos excede los objetivos del tea y lo dejaos para una posible apliación. RESOLUCIÓN apartado (d) 6 Para = 4 z = 4-6 y 8 = y = y = - x + + = 5 Se realizaron venta de pisos nuevos, ventas de pisos usados y de alquileres" 7 - PAU - Universidad de Oviedo J En una faracia se coercializan tipos de chapú de cierta arca: noral, con vitainas y anticaspa. Se sabe que el precio al que se vende el noral es de euros y el de vitainas es de euros. Se desconoce el precio al que vende el anticaspa. Por otro lado, el dinero total obtenido por las ventas de los tipos de chapú el es pasado fue de euros y el dinero obtenido en ventas con el chapú noral fue 56 euros inferior al dinero total obtenido en ventas con el resto. Adeás, el dinero total obtenido en ventas con el chapú de vitainas y el anticaspa fue el iso que el que hubiera obtenido vendiendo 8 unidades del anticaspa y ninguna de las deás. z = y = x = DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS

3 DP. - AS Mateáticas ISSN: X (a) Plantea un sistea de ecuaciones (en función del precio desconocido del chapú anticaspa, que puedes llaar por ejeplo ) donde las incógnitas (x, y, z) sean las unidades vendidas el es pasado de cada tipo de chapú. (b) Qué puedes concluir sobre el precio del chapú anticaspa a partir de un estudio de la copatibilidad del sistea? (c) Si se sabe que el núero de unidades vendidas del anticaspa fue, utiliza el resultado del apartado (b) para calcular las unidades vendidas de los otros. RESOLUCIÓN apartado a DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE IINNCCÓÓGGNNIITTAASS x "Núero de unidades vendidas el es pasado de chapú noral". y "Núero de unidades vendidas el es pasado de chapú con vitainas". z "Núero de unidades vendidas el es pasado de chapú anticaspa". DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE PPAARRÁÁMMEETTRROOSS "Precio desconocido del chapú anticaspa" PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO:: x + y + z = x + 56 = y + z y + z = 8 Reducios y obteneos el siguiente sistea en función del precio desconocido del chapú anticaspa RESOLUCIÓN apartado b x + y + z = x - y - z = - 56 y + z = = 56 = 68 = ( ) () () () 6 6 z = z = Infinitas soluciones Sistea copatible indeterinado para = z = p.ej, = z = - 68 Pero 68 Sistea incopatible RESUMEN SOLUCIÓN = SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO SISTEMA INCOMPATIBLE

4 Abel Martín Por lo que resolveos para = - 6y - z = y = z - 6y = z y = 8 - z x + y + z = x + (8 - z) + z = x z + z = x = 8 x = 4 Se trata de un sistea copatible indeterinado, de solución generalizada: (4, 8 - z, z) RESOLUCIÓN apartado c Para z = : El precio del anticaspa es de. (4, 8 - z, z) (4, 8 -, ) (4, 8, ) Si vendieron unidades de chapú anticaspa, ese iso es habrán vendido 4 unidades de chapú noral y 8 con vitainas. RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA Vaos a coprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "" por diversos valores en el sistea del enunciado: = F Si sustituios en el prier sistea, para =, z = La calculadora gráfica no es capaz de resolver sisteas copatibles indeterinados. F La calculadora gráfica resuelve el problea de anera sencilla. Coo se puede observar, se confiran nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. 8.- En una granja se venden pollos, pavos y perdices; los pollos y los pavos, a razón de y.5 /Kg, respectivaente, aunque de las perdices no se acuerda (supongaos que son "" /kg). En cierta seana los ingresos totales de la granja ascendieron a 57. Adeás se sabe que la cantidad de pollo vendida superó en Kg a la de pavo y que se vendió de perdiz la itad que la de pavo. (a) Plantea un sistea de ecuaciones (en función de "") para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. (b) Estudia la copatibilidad del sistea, en función de "". Puedes dar algún precio al que sea iposible haber vendido las perdices? RESOLUCIÓN apartado a DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE IINNCCÓÓGGNNIITTAASS x "Cantidad de kg de pollo vendidos" y "Cantidad de kg de pavo vendidos" z "Cantidad de kg de perdiz vendidos" DDEETTEERRMMIINNAACCIIÓÓNN DDEE PPAARRÁÁMMEETTRROOSS "Precio del kg de perdiz en " PPLLAANNTTEEAAMMIIEENNTTOO:: RESOLUCIÓN apartado b x +.5y + z = 57 x = y + z = y x +.5y + z = 57 x y = y + z = DISCUSIÓN DE UN SISTEMA CON PARÁMETROS 4

5 DP. - AS Mateáticas ISSN: X Resolveos el sistea por el étodo de Gauss Colocaos las ecuaciones de fora que el paráetro quede lo ás abajo y a la derecha posible: ( ) ().5 57 Fijaos la ª y ª filas y odificaos la ª con las operaciones indicadas a la izquierda: (.5) ().5 55 Fijaos la priera y segunda filas y odificaos la tercera con las operaciones indicadas a la izquierda. 7 + = = - 7 = Procedaos a estudiar la copatibilidad del sistea: (7 + ) z = 55 z = 55 SISTEMA INCOMPATIBLE. Ojo: para = - 7 el precio sería iposible, pero coo el precio no puede ser negativo, se dice que no se puede dar un precio al que sea iposible haber vendido las perdices - 7 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS De lo que se deduce que cualquier precio es posible haber vendido las perdices. RATIFICACIÓN DE RESULTADOS CON CALCULADORA GRÁFICA Vaos a coprobar con la calculadora gráfica, sustituyendo "" por diversos valores en el sistea del enunciado: = - 7 F para = ( ) F para = 4 ( ) F Coo se puede observar, se confiran nuestros resultados obtenidos con LÁPIZ Y PAPEL. 5