PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

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1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8 0 DE ABRIL 7 unidades INDICADORES 1. Emplea los diferentes productos cocientes notables, en la simplificación de epresiones algebraicas.. Soluciona en clase situaciones problema aplicando los productos los cocientes notables.. Resuelve ejercicios aplicando los casos de factorización: factor común factor común por agrupación de términos.. Desarrolla con agrado las actividades propuestas por el docente.. Asume con responsabilidad el desarrollo presentación de las guías. PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con epresiones algebraicas cuo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumple ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. 1. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES (a+b² = (a+b.(a+b (a + b² = a² + ab + b², es decir El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término mas el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. ( 7 ( ((7 7 b CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a - b² = (a - b(a - b (a - b² = a² - ab + b², es decir El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. 8 ( ((8 (8 b. 0, 0,0 ( 0, (0, (0,0 (0,0 ( 9 8 ( 0, 0,0 0,0009. PRODUCTO DE LA SUMA DE DIFERENCIAS POR DOS CANTIDADES (a + b (a - b = a b 1

2 La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. ( ( ( b. ( ( CUBO DE UNA SUMA O UNA DIFERENCIA ( a b a a b ab b El cubo de una suma o resta de dos términos es igual al cubo del primer término más o menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. Procedimiento: Observe que al elevar el binomio al cubo, se obtienen cuatro términos, el primero el ultimo con coeficiente uno eponentes iguales a los de la potencia del binomio, para el segundo termino el coeficiente es tres multiplica al primer termino con eponente uno menos que el termino anterior al segundo con eponente uno; el tercer termino también tiene coincidencialmente coeficiente tres que multiplica al primer termino con eponente uno menos que el anterior al segundo termino con eponente uno mas que el anterior, finalmente el cuarto ultimo termino como se plantea al comienzo con eponente uno mas que el anterior, siendo siempre igual al de la potencia del binomio. ( c b. b (.( (c.(.(c (c 8.( (c.(.(1 c c 8 8 c 9 c c (.( (b.(.(b (b b 1b 8b. BINOMIO A LA CUARTA POTENCIA ( a b a a b a b ab b De aquí en adelante las epresiones, o formulas que abrevian los productos, pueden obtenerse con la auda del triangulo de Pascal o siguiendo el procedimiento planteado en el caso anterior (cubo de un binomio El triangulo de Pascal nos permite obtener los coeficientes de los términos que abrevian un binomio a cualquier potenci

3 Ejemplo: ( a b (.( ( a b.(.( a b.(( a b ( a b 1.(8 ( a b.(.( a b 9 8( a b a b. a b 8a b a b ( a 1 b. BINOMIO A LA QUINTA POTENCIA ( a b a a b 10a b 10a b ab b Ejemplo: ( (.( ( 10.(.( 10.( (.(( (. 10.(81 10.(7.( 10.(9 (8 1. ( Observa como el signo de binomio es negativo, los signos del desarrollo van intercalados empezando con el primer término positivo. Si el signo del binomio es positivo, todos van positivos. 7. BINOMIO A LA SEXTA POTENCIA ( a b a a b 1a b 0a b 1a b ab b Ejemplo: ( p ab p p 1 1 ( p.( p (ab 1.( p.(ab 0.( p (ab 1.( p (ab.( p (ab (ab p ab 1p.(a b 0p (8a b 1p (1a b p (a b a b p ab 0p. a b 10p a b 0p a b 19p a b a b 8. BINOMIO A LA SEPTIMA POTENCIA ( a b a 7a b 1a b a b a b 1a b 7ab b Ejemplo: termina de desarrollar el siguiente binomio ( w w 7

4 9. PRODUCTO DE UN BINOMIO POR UN TRINOMIO El producto de dos factores que tienen la siguiente estructura o forma produce o tiene como resultado una epresión (binomio cuos términos son los cubos de los dos términos del binomio respectivamente; el signo del medio de la solución corresponde al signo del segundo término del binomio factor. Como Luego Y de forma similar se obtiene el otro producto notable Ejemplos a( a 9a ( ( b. ( a ( ( 10 1 ( 1 8 7a COCIENTES NOTABLES Cocientes Notables (CN: son resultados de ciertas divisiones que por sus características especiales se pueden escribir directamente sin efectuar la división. Nota: Se dice que dos epresiones determinadas son divisibles, cuando su división es eacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo por la otra (el divisor, el residuo es cero. Criterio 1: La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: 1.. Criterio : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y la forma general de su solución está dada por: La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :

5 Criterio : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y la forma general de su solución está dada por : La suma de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, no son divisibles por la diferencia de las cantidades. Y la forma general de su solución está dada por: 1. Nota: Cuando los eponentes del divisor son diferentes de 1, en el cociente el eponente de a disminue sucesivamente, en cada término; teniendo en cuenta que el número de términos es igual al resultado de dividir m entre n; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un eponente igual al que tiene en el divisor, aumentará sucesivamente el eponente en los siguientes términos. Hallar, por simple inspección, el cociente de: 1. c c c Sea c = a, = b luego, la epresión anterior queda a b a b c c a b b finalmente volviendo a las variables iniciales, tenemos. O aplicando la nota anterior, / = sería el eponente del primer último término que son la c e Respectivamente, además corresponde al número de términos en la solución. Por lo anterior el término del medio debe tener un eponente proporcional a los eponentes de los etremos.

6 ACTIVIDAD I. Realizar las operaciones indicadas por simple inspección (observación. 1. (m. ( a b. ( 1. ( a b. ( a 8b. ( m n n m 7. ( a b n1 8. ( 9. ( z 10. ( m 11. ( ( 1. ( ( 1. ( p b( p 1. ( m ( m 1. ( a b(a b 1. ( ab( ab 17. ( a 1( a 1 a m a m 18. ( ( 19. ( a b 0. ( 1. ( a. ( h. ( w. (. (. ( w 1 7. (1 a (1 a a 8. ( 1( 1 9. (a b(9a ab b 0. (8 a ( a 9a 1. ( (.. 9m n mn 8. 81a 100b 9a 10b. ( z ( z a a a b a b ab 1 1. a 1b 8 a a b b. m n m n 7 7. a m a m m m a b a b a b a b 0. 1 m m a 9 9 a Se tiene un cuadrado de lado +, del área desarrollada, de dicho cuadrado, podemos afirmar que es: X b. X + + c. X d. X Para un triángulo cua base altura están dadas por las epresiones X + X - respectivamente, No podemos afirmar que su área está dada por la epresión ( X +.( X - / b. ( X - 9 / c. X - 9/ d. X 9. Si se desea dividir un rectángulo cua base es 9X altura es 9X + en regiones de área -. Cuántas regiones en total obtenemos? R/: regiones RECUERDA PODEMOS ENGAÑAR A TODOS ALGÚN TIEMPO, A ALGUNOS TODO EL TIEMPO, PERO NO PODEMOS ENGAÑAR A TODOS TODO EL TIEMPO