Definición Una función f: D >R se dice que es continua en x=a si se verifica que lim x a

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1 Continuidad. Definición. Tipos de discontinuidades Definición Una función f: D >R se dice que es continua en =a si se verifica que lim a f()=f(a). Por lo tanto para comprobar si una función es o no continua en =a tendremos que comprobar si eiste lim a f(), si eiste f(a) y si son iguales. Ejemplo: La función y= 2 es continua en =3.( imagen) (-2)(+) si 2 Ejemplo2: la función y= 2 es disontinua en =3 porque lim f() =4 y 3 2 si =2 f(3)=2 (imagen2) Imagen2 Imagen Una función que no es continua en un punto se llama discontinua. Tipos de discontinuidades. Decimos que f posee en =a una discontinuidad evitable si eiste lim a f()=b pero no coincide con f(a), bien porque f(a) no eiste o porque eistiendo ambos son distintos. EJ: La gráfica de la imagen 2 del partado anterior posee en =2 una discontinuidad evitable. Lo mismo ocurriría si la imagen de = 2 no estuviese definida. 2. Decimos que una función posee en =a una discontinuidad de salto finito o de primera especie si no eiste el lim a f(), pero eisten y son finitos sus dos límites laterales. Ejemplo: La siguiente gráfica posee una discontinuidad de salto finito en =- Imagen3 Pág:

2 3. Decimos que una función posee en =a una discontinuidad de 2ª especie, o de salto finito, o asintótica si: lim f o lim o ambos lo son. a a Ejemplo: la función y=/ posee en =o una discontinuidad asintótica. Ejemplo2; la siguiente función Posee en =2 una discontinuidad asintótica EJERCICIOS. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones indicando de qué tipo son sus 2 si <- discontinuidades: a) y=3 +5; b) y= si -<<0 ; c) y 4 si >0 ; 2 si 0 3 si 0 d)y si 0 2 ;e y 2 si < ;f y 2 si >0 3 si =0 4 si> 0 si 0 ;g y si < 2 si si < h)y= 2 4 si 2 3 ; i) y= k) 3 si =2 si -3 3 j) y= 2 3 y e e 7 8 si si >0 si > Estudiar la continuidad de las siguientes funciones para los ditintos valores de a y b si<- a 2 2 si 0 a) y= a b si - 2 ; b) y= b si 0<<5 ; c) y= si < 2 si 2 si 5 a 2 si 4 si <0 d) y= a b si 0 3 ; e) si 0 ; f) y= a si 2 ; a si >3 a si =0 b si =2 Pág:2

3 Soluciones:.Estudiar la continuidad de las siguientes funciones indicando de qué tipo son sus discontinuidades: 3 5 si <0 a) y=3 +5= La función es continua en los intervalos, 0 y (0,) por 3 5 si 0 estar definida en cada uno de ellos como una función polinómica. El único punto que podría tener problema es =0. ; f(0)=0 Luego f ; es continua en R 2 si <- b) y= si -<<0 ; Las funciones y=+2 e y= 2 son continuas en R y por lo tanto lo son 2 si 0 respectivamente en los intervalos (,-) y (0, ) en los que están definidas. La función y=-/ es continua en R-{0}, y por lo tanto lo es en el intervalo (-,0). Así pues los únicos puntos en los que la función que nos dan puede tener problemas de continuidad es en =- y en =0 Continuidad en =-: Por lo tanto la 2 ; / función presenta en =- una discontinudad de salto finito. Continuidad en =0: Por lo tanto la función 0 0/ ; presenta en =0 una discontinuidad asintótica. f es continua en R-{-,0} c) y 4 si >0 Tanto la función y=4 como y=3- son continuas en R y por lo tanto 3 si 0 lo son respectivamente en los intervalos ( 0, y (-,0) Debemos estudiar la continuidad en =0: : Luego f presenta en =0 una 0 03 ; discontinuidad de salto finito y es continua en R-{0} d) y si 0 2 ; La función y=/ 2 es continua en R-{0}. Estudiamos la continuidad en 3 si =0 =0 de la función dada : / 2 ; f(0)=3 Luego f presenta en =0 una 0 0 discontinuidad asintótica y es continua en R-{0} e y 2 si < Las 2 funciones que componen a f() son continuas en todo R por ser 4 si> polinómicas, por lo tanto lo son respectivamente en los intervalos (, 0 y (0,). As, el único punto problemático que presenta nuestra función es =: 2 3; 4 3; f() discontinua evitable, en R-{} f es continua. Entonces: en = la función es Pág:3

4 f y 2 si >0 0 si 0 la misma razón. Estudiamos la continuidad en =0 : lim 0 ; f(0)=0 f es continua en todo R y=0 es continua en (, 0 por serlo en R; y= 2 es continua en (0, por f lim 00 0; si < g y La función y=/ es continua en (- -{0}. La función y= es 2 si, 2 continua en (, )-{2}. Además en = hay un cambio de función, por lo tanto tenemos que estudiar la función en esos 3 puntos. / f tiene en =0 una discontinuidad asintótica 0 0 f presenta en =2 una discontinuidad asintótica En = f es discontinua de salto finito. f es / ; 2 continua en R-{0,,2} 3 8 h)y= 2 4 si 2 La función y= 3 8 es continua en R-{-2, 2} y por lo tanto f 3 si =2 2 4 también lo es. Continuidad en =-2 lim f lim 3 8 luego en =-2 f es discontinua asintótica Continuidad en =2 lim f lim 3 8 Factorizamos los dos polinomios obteniendo: =(-2)( ); 2-4=(-2)(+2). En consecuencia: lim 3 8 ; f(2)=3. Por lo tanto f es lim lim continua en =2 En resumen f es continua en R-{-2} y es discontinua asintótica en =-2. si <-3 si <-3 si < i) y= si -3 0 si -3 0 si si 0 3 si 0 3 si >3 9 2 si >3 2 si >3 9 9 La función y= es continua en (, 3) por serlo en R-{3}, las funciones y=-, y= e 3 y= 2 son continuas respectivamente en (-3,0) y (0,3) y (3, ) por serlo en R. En 9 consecuencia, los puntos problemáticos de nuestra función son =0, =-3 y =3. Discontinua de salto finito en = /6; Discontinua de salto finito en =0 0 3 ; 0 0 ; 2 continua en = ;f3 La función es continua en R-{-3,0} j) y= Hallamos el dominio de la función 3-7-8=0 luego D=R-{0} Pág:4

5 ;lim 2 y factorizando: ; lim lim 2 8 lim f() no eiste f es Discontinua evitable en = y continua en R-{} e k) y e si 0 El único punto problemático de la función es =0 ya que las 2 si >0 2 funciones y= e e y= 2 son continuas en todo R. e 2 luego f presenta una 0 3 e e 2 ; ; f(0) discontinuidad evitable en =0, siendo continua en R-{0} 2. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones para los ditintos valores de a y b si<- a) y= a b si - 2 ; La función y=/ es continua en (, al serlo en R-{0}; 2 si 2 las funciones y=a+b e y=2 son continuas en los intervalos en los que están definidas al serlo en R. Por tanto los únicos problemas de continuidad de esta función pueden estar en =- y =2. para ; a b a b; f(-)=-a+b a b que f sea continua en =- a b 2a b; 2 2; f(2)=2 2a b 2 para que f sea continua en =2. Entonces, para que f sea continua en R ha de verificarse: a b a 2a b 2 b 0 a 2 2 si 0 b) y= b si 0<<5 ; Las funciones y=a(-2) 2 e y=b+ son continuas en todo R si 5 para cualquier valor de a y b, al ser funciones polinómicas, en consecuencia lo son en el intervalo en el que están definidas. La función y=/ es continua en (5, ) por serlo en R-{0}. Hay que estudiar entonces únicamente la continuidad en =0 y =5 a para a ; 0 0b ; f(0)=4a 4a a /4 este valor de a f es continua en =0 5 5b 5b ; / /5; f(5)=/55b /5 5 5 b 4/25 Para ese valor es continua en =5. Por tanto para a=/4 y b=-4/25 es continua en R c) y= si < Tanto la función y= como la función y=a+2 son continuas en su a 2 si interlo de definición por serlo en R. Continuidad en =: ; a 2 a 2; f()=a+2 a 2 a. Para ese valor de a f es continua en R Pág:5

6 4 si <0 d) y= a b si 0 3 ; Todas las funciones que componen f son polinómicas y por a si >3 tanto continuas en el intervalo en el que están definidas. Veamos la continuidad en =0 y =3: 4 4 ; a b b; f(0)=b b 4 a b 3a b ; a 3 a;f3 3 b 3a b 3 a 3a+4=3+a 2a a /2 e) si 0 ; = Por lo tanto la función a si =0 y= es continua en R-{0} y en consecuencia nuestra función también lo es. Veamos la continuidad en =0: : ; lim Para que f sea continua a=/ lim lim ; f(0)=a f) y= a si 2 a La función y= es continua en R-{2}, por lo tanto también lo b si =2 a es la función que nos ocupa. Veamos la continuidad en =2:: a6 0 ; Si 8a-6 es distinto de cero ese límite sería infinito y la función presentaría en =2 una discontinuidad de asintótica para cualquier valor de b. La única posibilidad de que ese límite eista es que sea del tipo 0/0 y, por lo tanto que 8a-6=0 a 2. 2 Para ese valor de a: 3 6 f(2)=b lim lim ; 2 Luego b=24 y a=2 para que f sea continua Pág:6