Victoria Lizzeth Casco José Clemente Zelaya Villanueva Miguel Tortosa Civera

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1 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA CARRERA DE MATEMÁTICAS Estudio de las graficas de las funciones polinomicas a traves de la variacion de sus coeficientes Victoria Lizzeth Casco José Clemente Zelaya Villanueva Miguel Tortosa Civera MAB-324 Tecnología Aplicada a la Enseñanza de las Ciencias Catedrática : Libni Berenice Castellón Tegucigalpa, julio de 2010

2 OBJETIVO Estudio de las graficas de las funciones polinomicas a traves de la variacion de sus coeficientes Los alumnos, haciendo uso de herramientas de la tecnología, reforzarán su conocimiento de polinomios, y descubrir cuáles son los cambios que ocurren en una gráfica al hacer variaciones en determinados parámetros, que de manera rápida ellos puedan descubrir los cambios que ocurren y la forma que tienen las gráficas de cada tipo. FUNCIONES POLINÓMICAS Son las que tienen la forma f x =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x a 0 n, a n 0 la cual podemos resumirla como f x = a i x i,a i R. i=1 Son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en la que están definidos. Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen. La formula general representa un polinomio de n-ésimo grado, f(x) será un polinomio de grado n. Los números a n,a n 1,..., a 1, a 0 se llaman coeficientes del polinomio, a a 0 se llama termino independiente. Un polinomio, la suma de varios monomios (monomio es un polinomio de un solo termino, el de dos términos es un binomio, el de tres términos es un trinomio, el de cuatro o más es un polinomio), es una expresión algebraica constituida por un numero finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adición, sustracción, y potenciación con exponentes de números naturales. COMO CREAR FUNCIONES CON COEFICIENTES VARIABLES EN GRAPES Pulsamos en Dibujar escribimos nuestro polinomio usando a, b, c, d como los coeficientes. Grapes nos creará una barra de desplazamiento por cada coeficiente definido como variable, en este caso solo definimos el termino independiente y tiene un valor actual de 0 y un incremento de 1, movimiento las fechas de color azul, sumaremos o restaremos el incremento definido a valor que tenga el parámetro en su momento

3 PUNTOS DE INFLEXIÓN La gráfica de una función tiene tantos puntos de inflexión como n-1 Formula n Puntos de inflexión Gráfica f x =a 1 x a f x =a 2 x² a 1 x a f x =a 3 x 3 a 2 x² a 1 x a f x =a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a Traza tu la gráfica - 3 -

4 f x =a 1 x a 0 Formula Positivo a n >0 x Negativo a n <0 x f x =a 2 x² a 1 x a 0 f x =a 3 x 3 a 2 x² a 1 x a 0 f x =a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 Traza tu la gráfica Traza tu la gráfica - 4 -

5 FUNCIÓN CUADRÁTICA La función lineal responde a la formula general f x =a 2 x 2 a 1 x a 0, a 2 0, su gráfica siempre será una parábola Analicemos a 2 4 a 2 4 a 1,a 0 a 2 >0 La parábola estará abierta hacia arriba Al crecer a la amplitud de la parábola se reduce y se aproxima al eje de las ordenadas (y), por el lado positivo, pero sin tocarlo nunca. a 2 <0 La parábola estará abierta hacia Al decrecer a la amplitud de la parábola se reduce y se aproxima a eje de las ordenadas (y), por el lado positivo, pero sin tocarlo nunca. a 2 en este caso sería la formula de una función lineal. Analicemos a 1 La variación de a 1 solo desplaza la parábola manteniendo el punto de corte con y. 4 a 1 4 a 2,a 0 Analicemos a 0-5 -

6 a 0 es el valor del punto del punto de corte con el eje de las ordenadas (y). En este caso la variación de a 0 solo desplaza la parábola a través del eje de las ordenadas (y). 4 a 0 4 a 2,a 1-6 -

7 FUNCIÓN CUBICA La función lineal responde a la formula general f x =a 3 x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0,a 3 0. Analicemos a 3 4 a 3 4 a 2, a 1, a 0 a 3 >0 La gráfica se desplazara del cuadrante III al I. Al crecer a 3 la amplitud de la gráfica se y se aproxima al eje de las ordenadas (y), pero sin tocarlo nunca. a 3 <0 La gráfica se desplazara del cuadrante II al IV. Al decrecer a 3 la amplitud de la gráfica se reduce y se aproxima al eje de las ordenadas (y), pero sin tocarlo nunca. a 3 En este caso sería la formula de una función. Analicemos a 2 4 a 2 4 a 3,a 1, a 0 Aumenta la amplitud de la gráfica y hace más visibles los puntos de inflexión. a 2 >0 Al crecer a 2 el punto de inflexión que está por encima del punto de corte con el eje de las ordenadas (y) aumenta de valor. a 2 <0 Al decrecer a 2 el punto de inflexión que está por debajo del punto de corte con eje de las ordenadas (y) disminuye de valor. a 2 En este caso sería la formula de una función lineal

8 Analicemos a 1 4 a 1 4 a 3,a 2,a 0 La variación de a 1. a 1 >0 Al crecer a 1 el punto de inflexión que está por encima del punto de corte con el eje de las ordenadas (y) aumenta de valor. a 1 <0 Al decrecer a 1 el punto de inflexión que está por debajo del punto de corte con eje de las ordenadas (y) disminuye de valor. a 1 En este caso sería la formula de una función lineal. Analicemos a 0 a 0 es el valor del punto de corte con el eje de las ordenadas (y). En este caso la variación de a 0 solo desplaza la parábola a través del eje de las ordenadas (y). 4 a 0 4 a 3, a 2, a 1-8 -

9 FUNCIÓN DE GRADO 4 Esta función polinómica responde a la formula general f(x)=. Analicemos a 4 a 4, a 3, a 2, a 1, a 0 a 4 >0 a 4 < a 4 Analicemos a 3 a 3, a 4 =, a 2 =, a 1 =, a 0 = a 3 >0 a 3 <0 a 3 = - 9 -

10 Analicemos a 2 a, a =, a =, a =, a = Analicemos a 1 a, a =, a =, a =, a = Analicemos a 0 a, a =, a =, a =, a = a >0 a < a

11 CONCLUSIONES Estudio de las graficas de las funciones polinomicas a traves de la variacion de sus coeficientes El alumno podrá identificar la gráfica de cada función al ver su grado. El alumno debe comprender que en una función constante si se aumenta el valor de la constante, la posición de la gráfica sube y si se disminuye entonces la posición de la gráfica baja en el eje y. Que en una función lineal la variación del parámetro b (termino independiente) provoca que la gráfica se mueva hacia arriba si dicho termino se aumenta o hacia abajo si se disminuye, la variación en el parámetro a (coeficiente del termino principal de la función) si se aumenta provoca que la gráfica tienda a sobreponerse sobre el eje y con pendiente positiva, en cambio si se disminuye la gráfica también tiende a sobreponerse sobre el eje y solo que con pendiente contraria. Que en una una función cuadrática con el cambio del parámetro c la parábolas siempre mantienen su forma y dirección, lo que provoca es que la gráfica suba o baje, y con la variación del parámetro b la parábola mantiene su forma pero cambia la posición de su vértice, variación del parámetro a provoca un cambio en la amplitud de la parábola, como también si es negativo abre hacia abajo o si es positivo abre hacia arriba. Y asi sucesivamente