2 ξ. 2 ξ 2 ξ. =V 2 t 2. t=t 1. representan las derivadas segundas parciales de la magnitud ξ respecto al tiempo y

Transcripción

1 RGCIÓN DE NDS 3.1 ropagación de ondas en una dirección, en medios no dispersivos. Uno de los primeros ejemplos que se suelen proponer para dar una idea o una imagen aproimada de lo que es una onda es el de la ondulación producida en la superficie tranquila del agua de un estanque al lanzar una piedra, o las olas producidas en el mar. Las ondas que se propagan desde el punto del impacto de la piedra en la superficie del agua, o las olas del mar, constituen una muestra de lo que denominamos movimiento ondulatorio. Sin embargo, no debe identificarse el concepto o idea de movimiento ondulatorio con el de onda: El término onda, en un sentido mu amplio no corresponde siempre en sentido estricto a un movimiento de un medio material o de un elemento material. or ejemplo, una onda electromagnética, que estudiaremos más adelante, consiste en una variación de un campo electromagnético que se propaga en un medio material o en el vacío, esta variación no corresponde al movimiento de ningún medio material. No se debe confundir o identificar el movimiento de propagación de la onda con el movimiento de ningún elemento material. Una onda significa, pues, una perturbación física que se propaga en un medio material o en el vacío, obedeciendo a unas lees determinadas. Debe entenderse por perturbación física, la variación de una magnitud física en el tiempo en el espacio, que puede ser de mu diferente naturaleza que obedece a determinadas lees. Como veremos más adelante, si llamamos a dicha magnitud física, sus variaciones temporal espacial deben estar relacionadas entre sí por una ecuación del tipo, 2 ξ 2 ξ = 2 t=t1 2 2 ξ donde los símbolos t 2 ξ representan las derivadas segundas parciales de la magnitud ξ respecto al tiempo 2 2 a la coordenada correspondiente a la dirección de propagación a lo largo de la cual se desplaza dicha perturbación con una velocidad constante. Si la variación o perturbación de una magnitud física que se propaga en el vacío o en un medio material no obedece a dicha epresión, no constitue una onda. or ejemplo, si se produce una variación de temperatura en uno de los etremos de una varilla metálica, aislada térmicamente, la variación de temperatura a lo largo de la misma viene dada por la ecuación, T t t=t 1 = K 2 T 2 que, evidentemente, no es del mismo tipo que la relación anteriormente mencionada, por consiguiente, no representa una onda de temperatura que se propaga a lo largo de la varilla con una velocidad constante. En cambio, son ondas de diferente naturaleza la propagación de: - Las sacudidas o vibraciones armónicas producidas transversal o longitudinalmente en una cuerda tensa. - Las vibraciones armónicas las variaciones de presión producidas en una masa de gas, que ordinariamente es el aire, por un foco sonoro. - Las variaciones armónicas de un campo electromagnético que produce una emisora de radio, televisión o una estación de radar. - La energía luminosa procedente de un foco luminoso, que, en realidad, consiste en la propagación de ondas electromagnéticas. La ecuación diferencial de una onda [3.1] se deducirá más adelante. or lo que respecta a la propagación de una onda, éstas se pueden clasificar en, - ndas tridimensionales, si se propagan a lo largo de las tres direcciones del espacio, como por ejemplo, las ondas sonoras emitidas por un foco sonoro puntual tal como un pequeño timbre o un altavoz de pequeñas dimensiones, las ondas electromagnéticas emitidas por una emisora de radio o de televisión, o las ondas luminosas emitidas por un pequeño foco. - ndas bidimensionales, si se propagan en dos direcciones, es decir en una superficie, como las ondas, del ejemplo a mencionado, que se propagan en la superficie tranquila del agua de un estanque al lanzar una piedra. ξ=ξ1 =1 [3.1-1]

2 3.2 RGCIÓN DE NDS aletos - ndas unidimensionales, si se propagan a lo largo de una dirección, como por ejemplo, las producidas al sacudir una cuerda tensa. En general, una onda de vibración se deforma al propagarse en un medio material porque parte de la energía cinética de vibración de las partículas del medio material alcanzadas por la onda se convierte en calor por deformación, esta disipación de energía hace que la velocidad de propagación de la onda no permanezca constante, la onda se amortigua. Supondremos en todo lo que sigue, que, en los medios materiales en los que se propagan las ondas que vamos a estudiar no se disipa energía. or consiguiente, las ondas no se deforman, en consecuencia, su velocidad de propagación, que recibe el nombre de velocidad de la onda o velocidad de fase, es constante. Cualquier medio material que se comporta de este modo recibe el nombre de medio no dispersivo. Uno de los ejemplos más sencillos más útiles de una onda unidimensional, por la claridad con que quedan epuestos sus aspectos más esenciales, es el de la propagación de vibraciones a lo largo de una cuerda de gran longitud, homogénea, fleible elástica, con una cierta masa µ por unidad de longitud. Supondremos que la cuerda se encuentra en equilibrio en posición horizontal, sostenida en un etremo por nuestra mano que la mantiene tensa ejerciendo sobre él una fuerza F, por el otro, está sujeta a un soporte fijo que se encuentra mu alejado. En estas condiciones, la fuerza total que actúa sobre cada elemento de longitud de la cuerda es nula, por consiguiente, la tensión es la misma en todos los puntos de la cuerda. amos a utilizar, en el estudio que sigue, un sistema fijo de coordenadas plano con origen,, en el etremo izquierdo de la cuerda, como ejes, respectivamente, la dirección de la cuerda la perpendicular vertical trazada por dicho etremo. Si, en un instante dado, sacudimos dicho etremo en la dirección del eje produciendo una deformación en la cuerda como la que indica la figura 3-1, ésta se propagará a lo largo de la misma, hacia la derecha, con una cierta velocidad constante, a que hemos supuesto que la cuerda es un medio no dispersivo. FIG. 3-1 Si comenzamos a contar el tiempo en el instante en que conclue la sacudida que le hemos dado a la cuerda, la deformación producida puede considerarse que es la gráfica de una cierta función en el plano, por tanto, su epresión será de la forma, = f() donde la ordenada representa el desplazamiento, medido a partir de la posición de equilibrio, que eperimenta un punto de la cuerda, de abscisa, al ser alcanzado por la deformación producida. En un instante posterior t >0, la perturbación, es decir, la deformación producida en la cuerda habrá avanzado hacia la derecha una distancia t sin alterar su forma, como indica la figura 3-2. Si tomamos otro eje de ordenadas, móvil, desplazado hacia la derecha una distancia t, llamamos a la abscisa de cualquier punto referida al nuevo sistema de coordenadas, la ecuación de la deformación en el instante t, en función de, será, evidentemente, la misma que la correspondiente al instante en función de, es decir, = f( ) t puesto que, = t, queda, = f( t) FIG. 3-2 Cualquier perturbación que cumpla en cada instante con la relación anterior, corresponde a una onda que se propaga hacia la derecha, es decir, en el sentido positivo del eje, con una velocidad constante. Ha que advertir que el origen de coordenadas no tiene que ser obligatoriamente el punto en el que se origina la perturbación; ni el origen de tiempos, es decir, el instante que tomamos como, el instante en el que se inicia la perturbación. En el ejemplo anterior se han tomado así, por conveniencia, para una maor claridad en la eplicación de la propagación de dicha perturbación.

3 RGCIÓN DE NDS 3.3 or ejemplo, si una vez que hemos sacudido la cuerda, dejamos trascurrir un cierto tiempo para que la perturbación se propague hacia la derecha una cierta distancia, como indica la figura 3-3, podemos tomar como origen de tiempos el instante en el que la deformación se encuentra en esa posición. FIG. 3-3 De manera que la epresión de la función que representa la deformación de la cuerda en el instante,, es, = f() En un instante posterior t >0, la perturbación, es decir, la deformación producida en la cuerda habrá avanzado hacia la derecha una distancia t sin alterar su forma, como indica la figura 3-4. ara estudiar la propagación de esta perturbación debemos imaginar un sistema de ejes móviles '' que se desplazan hacia la derecha, solidariamente con la deformación producida, que en el instante coincidían con los ejes fijos de forma que la situación en un instante t > 0 es la indicada en la figura 3-4. t > 0 t FIG. 3-4 Si llamamos a la abscisa de cualquier punto, referida al sistema móvil de coordenadas, la función que representa la deformación de la cuerda en el instante t, en función de, será, evidentemente, la misma que la correspondiente al instante en función de, es decir, = f( ) puesto que, = t, queda, = f( t) que es la misma epresión que la obtenida anteriormente. Es evidente, pues, que la elección del origen de tiempos no altera la forma de la función que representa la deformación producida en la cuerda. Si la deformación se hubiera producido en un punto alejado, a la derecha de su etremo, la perturbación se hubiera propagado de derecha a izquierda, la forma de deducir la función que representa su propagación se habría obtenido de la siguiente forma: Supongamos que empezamos a contar el tiempo en el instante en que la deformación producida en la cuerda se encuentra en la posición indicada en la figura 3-5. Consideraremos en ese instante,, dos sistemas de coordenadas: t FIG. 3-5 FIG. 3-6 Uno, fijo, que tiene como eje de abscisas la dirección de la cuerda, con su sentido positivo hacia la derecha, como eje de ordenadas la perpendicular trazada por su etremo. otro, móvil, de ejes, que supondremos que se desplaza hacia la izquierda solidariamente con la deformación producida, con su misma velocidad, que coincide en posición con los ejes fijos en el instante. La epresión de la función que representa en el instante, la deformación de la cuerda, es, = f() En un instante posterior t >0, la deformación producida en la cuerda habrá avanzado hacia la izquierda una distancia t sin alterar su forma, como indica la figura 3-6. Si llamamos a la abscisa de cualquier punto referida al sistema móvil de coordenadas, la función que representa la deformación de la cuerda en el instante t, en función de, será, evidentemente, la misma que la correspondiente al instante en función de, es decir, = f( ) puesto que, = + t, queda, = f( +t)

4 3.4 RGCIÓN DE NDS aletos Los puntos tales como el, que inician la perturbación que se propaga, reciben el nombre de frente de onda. La deformación originada por la sacudida producida en el etremo de la cuerda recibe el nombre de pulso. Si producimos un número finito de sacudidas, se originará un número finito de pulsos que se propagarán a lo largo de la cuerda reciben el nombre de tren finito de ondas. si el etremo de la cuerda es sacudido continuamente, se origina un tren continuo de ondas que se propaga a lo largo de la misma. amos a obtener una relación entre las derivadas segundas parciales de respecto al tiempo respecto a la coordenada, de la función de onda, = f( -t) que sirva para todas las relaciones de este tipo, cualquiera que sea la forma particular de la función f en cada una de ellas. ara simplificar los cálculos vamos a efectuar el cambio de variable, t = u, con lo cual queda la función de onda en la forma = f(u) Calculemos la derivada parcial primera de respecto al tiempo t para un cierto valor de = 1. t olviendo a derivar parcialmente respecto al tiempo, 2 =1 = 1 = f u = f '(u)( ) = f '(u) u t df '(u) u = du t = f "(u)( ) = 2 f "(u) Si calculamos ahora la derivada parcial primera de respecto de la coordenada, en un cierto instante t 1, volviendo a derivar respecto a, 2 2 t=t 1 t=t1 = f u = f '(u) 1 = f '(u) u df '(u) u = = f "(u) 1 = f "(u) du Si eliminamos f (u) entre las derivadas parciales segundas respecto a t respecto a, resulta, 2 2 = 2 [3.1-2] =1 2 t=t1 que es la ecuación diferencial de segundo orden que se conoce como ecuación diferencial de ondas. La ecuación obtenida anteriormente tiene como solución general: = f( vt) + g( + t) que representa las dos ondas que pueden propagarse a lo largo de la cuerda, una en el sentido positivo, otra en el sentido negativo del eje. Se puede comprobar fácilmente que esta función es la solución de la ecuación diferencial de segundo orden anteriormente obtenida. ara ello, se calculan sus derivadas parciales de segundo orden respecto de t respecto de, sustituendo en dicha ecuación diferencial se comprueba que se cumple la igualdad. Conviene advertir, por último, que se han eagerado considerablemente las deformaciones de las cuerdas representadas en las figuras anteriores con objeto de lograr una maor claridad en la eplicación del fenómeno descrito. En lo sucesivo, cuando se estudie la propagación de una onda de las características anteriores en una cuerda, supondremos que: I.- Los desplazamientos de los diferentes puntos de la cuerda, a partir de sus posiciones de equilibrio, son mu pequeños. II.- Las inclinaciones de los diferentes elementos de la cuerda, de longitud Δs, respecto del eje son asimismo mu pequeños. Como consecuencia, la pendiente, en valor absoluto, de cualquiera de dichos elementos es mu pequeña, por tanto, también lo es la derivada parcial de respecto de.

5 RGCIÓN DE NDS 3.5 III.- La cuerda, que se ha supuesto que es fleible elástica, eperimenta cambios mu pequeños en su longitud total durante la propagación de la onda, por tanto, dichos cambios pueden considerarse despreciables. I.- Como consecuencia de la constancia de su longitud total, puesto que la cuerda, por ser elástica, obedece a la le de Hook, el módulo de su tensión F no varía durante la propagación de la onda. El caso descrito anteriormente como ejemplo de una onda transversal no es el único que se presenta en el estudio de la propagación de ondas. Concretamente, otro ejemplo de ondas transversales, que será mu útil más adelante, es el de las ondas que se producen en una masa de agua contenida en una cubeta, al ser golpeada ligeramente la superficie horizontal en reposo con un pequeño estilete accionado eléctricamente: Se producen elevaciones depresiones que se propagan en forma de ondas circulares concéntricas, con centro en el punto de impacto del estilete con la superficie del agua, en todas las direcciones de dicha superficie. La vibración de cualquier molécula del agua, alcanzada por la perturbación originada, es perpendicular a la superficie del agua, por tanto, a la dirección radial de propagación contenida en dicha superficie. En este caso se generan ondas transversales bidimensionales. ara concluir esta eposición de las ondas mecánicas, resumiremos diciendo que, en general: Una onda transversal consiste en la propagación de una perturbación de una magnitud física en un medio material, cuas partículas, al ser alcanzadas por la perturbación, eperimentan variaciones de dicha magnitud física en una dirección perpendicular a la de propagación de la onda. Una onda longitudinal consiste en la propagación de una perturbación de una magnitud física en un medio material, cuas partículas, al ser alcanzadas por la perturbación, eperimentan variaciones de dicha magnitud física en la misma dirección de propagación de la onda. Dos ondas transversales, que se propagan en la misma dirección, pueden tener distintos planos de polari - zación, por consiguiente, sus variaciones o vibraciones pueden no ser paralelas. Habrá que tener en cuenta este aspecto a la hora de superponer ondas transversales polarizadas.