Distancias en Km. mercados plantas m1 m2 m3 p p Minimizar i

Transcripción

1 El entorno GAMS GAMS (General Algebraic Modeling System) es un entorno para definir, analizar y resolver problemas de optimización. Los elementos más importantes de GAMS son: 1. Su capacidad para resolver problemas pequeños (docenas de variables y restricciones) y grandes problemas (miles de variables y restricciones) escribiendo básicamente el mismo programa. Dispone de una forma compacta y eficiente para escribir bloques de ecuaciones similares sin más que escribir una de ellas. 2. Se separa la definición del modelo de la técnica de resolución. El usuario de GAMS formula el modelo consistentemente, y una vez expresado en notación GAMS, uno de los programas disponibles se encarga de generar la solución. Como resultado, el usuario se centra en el modelado, sin ser perturbado por los problemas técnicos de los algoritmos de resolución. Esto hace posible un proceso de modelado muy sencillo y agradable. 3. GAMS prácticamente reproduce la descripción del problema de programación matemática. Como resultado, el código GAMS is casi auto-explicativo para los lectores que tengan una mínima formación en optimización. 4. GAMS suministra también mecanismos que permiten resolver colecciones de problemas de optimización estructurados, tales como los de técnicas de descomposición. 273

2 El problema consiste en EL problema del transporte Distancias en Km. mercados plantas m1 m2 m3 p p Minimizar i j c ijx ij sujeta a Los datos son: a i, i b j, j x ij 0, i, j, j x ij i x ij i: Número de plantas (2). j: Número de mercados (3). a i :Lamáxima capacidad de producción de la planta i en toneladas (300 y 500 toneladas), b j : La demanda del mercado j en toneladas (100, 200 y 300 toneladas), y c ij : el coste de transporte de la planta i al mercado j (0.09 dólares por tonelada y km). Las variables de decisión son: x ij : la cantidad de producto a enviar de la planta i al mercado j, en toneladas. 274

3 Problema del transporte Código GAMS $Title The Transportation Problem * Simple transportation example Sets i production plants / p1, p2 / j markets / m1*m3 /; Table d(i,j) distance in km m1 m2 m3 p p ; Scalar f freight (dollars per ton y km) /0.09/; Parameters a(i) capacity of plant i in tons / p1 300 p2 500 / b(j) demand at market j in tons / m1 100 m2 200 m3 300 / c(i,j) transportation cost in dollars per ton; c(i,j) = f * d(i,j); Variables x(i,j) shipment quantities in tons z total transportation costs in dollars; Positive Variable x; Equations cost objective function supply(i) meet supply limit at plant i demand(j) satisfy demand at market j; cost.. z =e= sum((i,j), c(i,j)*x(i,j)); supply(i).. sum(j, x(i,j)) =l= a(i); demand(j).. sum(i, x(i,j)) =g= b(j); Model transport /all/; Solve transport using lp minimizing z; Display x.l; 275

4 Algunos comandos de GAMS Comando Propósito Set(s) Dar nombre a los índices y definir sus posibles valores Scalar(s) Dar nombre a los escalares y asignarles valores Parameter(s) Dar nombre a los vectores y asignarles valores Table(s) Dar nombre a las matrices y asignarles valores Variable(s) Declarar variables, asignarles un tipo (opcional) y darles cotas inferior y superior Equation(s) Definir la función a optimizar y las restricciones Model Dar nombre a los modelos y asignarles la lista de restricciones Solve Indicar a GAMS el programa que debe resolverlo Display Decir a GAMS los elementos a listar en el informe de salida 276

5 Reglas de GAMS 1. GAMS no diferencia entre letras mayúsculas y minúsculas. 2. Todo comando debe terminar en punto y coma. 3. Los comandos pueden definirse en cualquier orden, con la única restricción de que un elemento debe haber sido definido antes de usarlo. 4. GAMS tiene palabras reservadas, que no pueden usarse para otro fin que el suyo propio. 5. Algunos comandos se identifican por sus primeras letras, por lo que puede añadirse una s para facilitar la lectura. 6. Los comandos pueden escribirse en estilo libre (una o varias líneas, uno o varios espacios, etc.) 7. Para definir un bloque de elementos basta usar el comando una vez. 8. Una línea precedida por un asterisco (en la primera columna) es interpretada como un comentario. 9. La mayoría de los comandos (sets, scalar, parameter, table, variables, equations y model) se utilizan para declarar elementos y/o darles valores, lo que los convierte en válidos para GAMS. 10. Los nombres deben comenzar por una letra y seguir con letras o dígitos, hasta un máximo de

6 SETS y SCALARS La palabra reservada Set o Sets identifica el comando SET, que se usa en GAMS para declarar índices, y especificar el conjunto de valores que toman. Por ejemplo Sets i production plants / p1, p2 / j markets / m1*m3 /; que define los dos índices i y j. El texto tras el número de los índices es ignorado por el compilador de GAMS. La asignación de valores se hace entre dos símbolos /. El símbolo ayuda a definir, en forma compacta, conjuntos numéricos, es decir, /m1 m3/ es equivalente a /m1, m2, m3/. Sin embargo, GAMS trata los valores de los índices como cadenas de caracteres. El comando concluye con el punto y coma. Los conjuntos anteriores tienen carácter estático, es decir, no cambian durante la ejecución del programa. En GAMS se pueden definir también conjuntos dinámicos, que son subconjuntos de los conjuntos estáticos, pero que pueden cambiar durante la ejecución del programa. Un comando ligado a la definición de conjuntos es el comando alias. Este comando permite dar variaos nombres equivalentes, al mismo conjunto: Alias(i,k); da un segundo nombre k, al conjunto i. Éstos se usan en sumas, productos, etc., cuando hay dos o más índices implicados y necesitan variar independientemente. Los escalares GAMS son escalares de datos. La palabra reservada Scalar o Scalars identifica el comando: Scalar f freight (dollars per ton y km) /0.09/; Se define el escalar f y se le asigna el valor 0.09 entre dos /. 278

7 PARAMETERS y TABLES I Los comandos PARAMETER y TABLE se usan en GAMS para definir vectores y matrices de datos. Ambos son equivalentes, excepto que para definir vectores es necesario usar el comando PARAMETER. La palabra reservada Parameter, o Parameters, identifica el comando parameter the PARAMETER., que sirve para declarar vectores y matrices. Los vectores de datos se declaran con ayuda de un índice, como en. Parameters a(i) capacity of plant i in tons / p1 300 p2 500 /; que define el parámetro a(i) en función del conjunto (índice) i. Para cada valor del índice (elemento del conjunto) (p1, p2) se da un valor del parámetro (300, 500) entre dos símbolos /. El comando termina con punto y coma. Para asignar valores a vectores deben tenerse en cuenta las reglas siguientes: 1. La lista opcional de posibles índices y sus correspondientes valores deben ir entre símbolos /.../ y separados por comas o pasos de línea. 2. Las parejas índice-valor pueden ir en cualquier orden. 3. El valor por defecto de cualquier parámetro es cero, por lo que sólo aquellos que tomen valores diferentes, deben darse. 4. GAMS comprueba que los índices son válidos. Se pueden definir valores de los parámetros mediante funciones: Parameter c(i,j) transportation cost in dollars per ton; c(i,j) = f * d(i,j); 279

8 PARAMETERS y TABLES II La definición anterior es la forma compacta de la que sigue: Parameter c(i,j) transportation cost in dollars per ton / p1.m p2.m p1.m p2.m p1.m p2.m /; Las matrices de datos se definen en GAMS mediante tablas. La palabra reservada Table o Tables identifica este comando. Las tablas se definen usando dos o más índices. Se pueden introducir comentarios tras el nombre de la tablas, como en: Table d(i,j) distance in km m1 m2 m3 p p ; que define la matriz d(i,j) mediante los índices indices i y j. Para cada pareja cruzada de índices (p1.m1, p1.m2, p1.m3, p2.m1, p2.m2, p2.m3) se especifica un valor (2.0, 1.6, 1.8, 2.5, 1.2, 1.4). Para mostrar la equivalencia entre los comandos PARAMETER y TABLE se define la matriz c(i,j) usando ambos Table c(i,j) transportation cost in dollars per ton m1 m2 m3 p p ; Nótese que ésta no es la forma más compacta de definir c(i,j). 280

9 Expresiones matemáticas Para asignar valores utilizando expresiones matemáticas hay que tener en cuenta las reglas siguientes: 1. El uso de índices en la asignación indica que la asignación se hace para todos sus posibles valores y combinaciones de ellos. 2. Se puede hacer una asignación específica dando los valores de los índices entre comillas: c( p1, m1 )=0.180; 3. Se pueden asignar más de una vez valores a los escalares, parámetros y tablas. Los nuevos valores reemplazan a los antiguos. 4. Las expresiones matemáticas pueden incorporar funciones matemáticas estándar (ver tabla adjunta). 281

10 Funciones matemáticas en GAMS Función Descripción abs(x) Valor absoluto de x arctan(x) Arco tangente (en radianes) ceil(x) Mínimo entero mayor o igual que x cos(x) Función coseno (x en radianes) errorf(x) Función de distribuciónn de la normal N(0, 1) en x exp(x) Función exponencial floor(x) Mayor entero menor o igual que x log(x) Logaritmo natural de x log10(x) Logaritmo en base 10 de x mapval(x) Función proyección max(x 1,x 2,...) Máximo de una lista min(x 1,x 2,...) Mìnimo de una lista mod(x,y) Resto al dividir x por y normal(x,y) Número aleatorio de una variable normal con media x y desviación típica y power(x,y) Función potencial x y (donde y debe ser un entero) x y Función potencial x y (donde x debe ser positiva) round(x) Redondeo de x al entero más cercano round(x,y) Redondea x a y decimales sign(x) Signo de x, 1 si positivo, -1 si negativo, y0sinulo. sin(x) Función seno (en radianes) sqr(x) Cuadrado de x sqrt(x) Raíz cuadrada de x trunc(x) Es igual a sign(x) * floor(abs(x)) uniform(x,y) Número aleatorio uniforme U(x, y) 282

11 Variables Las variables se declaran en GAMS como sigue: Variables x(i,j) z Cantidades enviadas en toneladas coste total del transporte en dólares; La palabra reservada Variable o Variables identifica el comando variable. La declaración de las variables debe incluir las dimensiones de las mismas. Debe utilizarse siempre una variable para representar la función objetivo. También se pueden definir diferentes tipos de variables (ver tabla): Positive Variable x; Binary Variable r; Tipo de variable Rango Rango por defecto binary {0, 1} {0, 1} free (default) (, ) (, ) integer {0, 1,..., n} {0, 1,...,100} negative (, 0) (, 0) positive (0, ) (0, ) Se pueden fijar también cotas para las variables, o fijar sus valores (no cambian durante la ejecución): r.lo = 2.0; r.up = 5.0; y.fx(i) = 3.0; y cambiar los valores de las variables durante la ejecución: s.l(i,j) = 3.0; 283

12 EQUATIONS La palabra reservada Equation o Equations identifica el comando epara definir restricciones en GAMS. Las ecuaciones deben ser declaradas primero y definidas después, usando el símbolo.. para acoplar los nombres con las definiciones de éstas. Equations cost objective function supply(i) meet supply limit at plant i demand(j) satisfy demand at market j; cost.. z =e= sum((i,j), c(i,j)*x(i,j)); supply(i).. sum(j, x(i,j)) =l= a(i); demand(j).. sum(i, x(i,j)) =g= b(j); El sumatorio i x ij se expresa sum(i, x(i,j)), y Π i x ij, se escribe prod(i, x(i,j)). Los símbolos que se utilizan en las ecuaciones son: =e= indica es igual a, =l= indica es menor o igual que, y =g= indica es mayor o igual que. Se pueden definir muchas ecuaciones simultáneamente, usando índices: supply(i).. sum(j, x(i,j)) =l= a(i); es equivalente a: supply1.. sum(j,x( p1,j)) =l= a( p1 ); supply2.. sum(j,x( p2,j)) =l= a( p2 ); 284

13 MODEL AND SOLVE El comando Model se usa para indicar a GAMS las restricciones que debe incluir un determinado modelo. El comando Model que sigue indica que el problema considerado incluye todas las restricciones definidas previamente: Model transport /all/; También puede escribirse como: Model transport /cost,supply,demand/; El comando Solve indica a GAMS que resuelva el problema indicado. El comando Solve que sigue indica a GAMS que resuelva el problema transport usando el programa de programación lineal (lp) y minimizando la variable z. Solve transport using lp minimizing z; La palabra reservada lp se usa para programación lineal. Otras opciones se dan en la tabla. Programa lp nlp dnlp mip rmip minlp rminlp mcp mpec cns Propósito Programación lineal Programación no lineal Programación no lineal con derivadas discontinuas Programación entera mixta Programación entera mixta relajada Programación no lineal entera mixta Programación no lineal entera mixta relajada Problemas complementarios mixtos Problemas matemáticos con restricciones de equilibrio Sistemas no lineales con restricciones 285

14 Información sobre recursos En GAMS pueden usarse subíndices para obtener información valiosa sobre ciertos recursos, una vez que se ha resuelto el problema. Algunos subíndices notables son: modelstat para comprobar el estado del modelo, solvestat para comprobar el estado del programa que lo resuelve y resusd para comprobar el tiempo (en segundos de CPU) empleado para resolverlo. Véanse los posibles valores de modelstat y solvestat en la tabla adjunta. Un ejemplo es: Display transport.resusd; Valor modelstat solvestat 1 optimal normal completion 2 locally optimal iteration interrupt 3 unbounded resource interrupt 4 infeasible terminated by solver 5 locally infeasible evaluation error limit 6 intermediate infeasible unknown 7 intermediate non-optimal - 8 integer solution error: preprocessor error 9 intermediate non-integer error: setup failure 10 integer infeasible error: solver failure 11 - error: internal solver error 12 error unknown error: post-processor error 13 error no solution error: system failure 286

15 Uso del asterisco Se puede usar el asterisco para: Añadir comentarios (primera columna de una línea). Para listar los elementos de un conjunto en forma compacta. Para marcar errores en el fichero de salida (cuatro asteriscos al comienzo de la línea). Para indicar en el fichero de salida que las restricciones no lineales no son factibles en el punto de partida (tres asteriscos al final de la línea). Como operador producto. Para definir conjuntos indirectamente en las estructuras de GAMS (sets, parameters, tables, variables o equations). Por ejemplo: Set A conjunto de artículos /a1,a2/; Table g(a,*) aspectos de los A artículos altura anchura peso * (cm) (cm) (kg) a a ; es euivalente a Sets A set of articles /a1,a2/ B set of features /height,width,weight/; Table g(a,b) features of the A articles altura anchura peso * (cm) (cm) (kg) a a ; 287

16 Comandos condicionales El símbolo $ puede utilizarse para generar subconjuntos convenientes de los conjuntos ordenados originales. La sentencia. demand(j)$(ord(j) gt 1).. sum(i, x(i,j))=g=b(j); es equivalente a demand2.. sum(i, x(i, m2 )) =g= b( m2 ); demand3.. sum(i, x(i, m3 )) =g= b( m3 ); Nótese que $(ord(j) gt 1) indica que sólo los elementos cuyo ordinal sea mayor que 1 deben ser incluídos. Estas condiciones se pueden utilizar también en otros comandos de GAMS como: asignaciones de datos, comando put, etc. En todos estos casos es posible reemplazar el operador $ por los comandos if-then-else. Sin embargo, por compacidad se usa más el $. Otros operadores comunes en otros lenguajes son también válidos en GAMS: not, y, or, xor como operadores lógicos; < (lt), <= (le), = (eq),<> (ne), >= (ge), > (gt) como operadores relacionales. 288

17 Conjuntos dinámicos I Una característica muy potente de GAMS es que permite usar conjuntos dinámicos. Usando éstos se pueden modificar los elementos que pertenecen a un conjunto durante la ejecución de un programa GAMS. Los conjuntos dinámicos se definen siempre como subconjuntos de uno estático previamente definido. Las variables, parámetros, tablas y ecuaciones que dependen de un conjunto dinámico pueden ser modificadas cada vez que se actualiza un conjunto dinámico. La tabla que sigue muestra la equivalencia entre las expresiones matemáticas y las de GAMS. Expresión matemática Expresión GAMS k = {a, b, c} Set k /a,b,c/ s k s(k); s = s(k)=no; s = {c} s(k)=no; s(k)$(ord(k) eq card(k))=yes; s = {b, c} s(k)=no; s(k)$(ord(k) gt 1)=yes; En la primera fila se define el conjunto estático k y luego el subconjunto dinámico s(k) como función de k. Antes de usar un conjunto dinámico hay que definir su estado inicial. Uno de ellos es el conjunto vacío, que se define en la segunda fila. 289

18 Conjuntos dinámicos II La tercera fila muestra cómo asignar el último elemento de k al s(k), mediante los operadores ord(k) y card(k). El operador card devuelve el número de elementos, y el ord, la posición de un elemento. El operador ord sólo es válido para conjuntos estáticos). La última fila indica cómo asignar dos elementos a s(k). Se pueden implementar en GAMS operaciones entre conjuntos usando conjuntos dinámicos. Los ejemplos de la tabla adjunta muestran algunos interesantes: Expresión matemática Expresión GAMS A = {a1,a2,a3,a4,a5} set A static set /a1*a5/; b A, b = {a1,a2,a5} set B(A) subset /a1,a2,a5/; c A, c = {a2,a3,a5} set C(A) subset /a2,a3,a5/; b c = {a1,a2,a3,a5} set UN(A) dynamic subset; UN(A)=B(A)+C(A); b c = {a2,a5} set IN(A) dynamic subset; IN(A)=B(A)*C(A); b = {a3,a4} set COMP(A) dynamic subset; COMP(A)=not B(A); b c = {a1} set DIFF(A) dynamic subset; DIFF(A)=B(A)-C(A); 290

19 Comandos de control El ejemplo siguiente ilustra cómo se usan los comandos de control. loop(s, loop(jj, x0=0.0001; x1=2.0; aux=w0.l(jj)+sum(i,w.l(jj,i)*x(i,s)); error=1000; f0=sum(r$(ord(r)<4),alpha.l(jj,r)*(x0**ord(r))) +alpha.l(jj, 4 )*arctan(x0)-aux; f1=sum(r$(ord(r)<4),alpha.l(jj,r)*(x1**ord(r))) +alpha.l(jj, 4 )*arctan(x1)-aux; put "aux=",aux:12:8, " f0=",f0:12:8," f1=",f1:12:8/; if(f0*f1>0.0, put "POSSIBLE ERROR EN INVERSAS"/; ); while(error gt , error=abs(x0-x1); x2=(x0+x1)*0.5; f2=sum(r$(ord(r)<4),alpha.l(jj,r)*(x2**ord(r))) +alpha.l(jj, 4 )*arctan(x2)-aux; if(f2*f0>0.0, f0=f2; x0=x2; else f1=f2; x1=x2; );); aux=(x0+x1)*0.5; gam(jj,s)=rho*gam(jj,s)+(1.0-rho)*(1.0/abs(aux-y(jj,s))); if(maxerror(j)<abs(aux-y(jj,s)),maxerror(j)=abs(aux-y(jj,s))); meanerror(jj)=meanerror(jj)+abs(aux-y(jj,s)); var(jj)=var(jj)+sqr(abs(aux-y(jj,s))); );); 291

20 Salidas usando ficheros El ejemplo siguiente ilustra cómo grabar resultados en en fichero de salida y los formatos. SOLVE onelayer USING lp MINIMIZING z; put "J=",J.tl:2," z=",z.l:15:9/; loop(jj, put "W(0,",JJ.tl:3,")=",W0.l(JJ):15:7/; loop(i, put "W(",I.tl:4,",",JJ.tl:3,")=",W.l(JJ,I):15:7/; ); ); loop(jj, loop(r, put "ALPHA(",JJ.tl:3,",",R.tl:3,")=",alpha.l(JJ,R):10:6/; ); ); loop(s, loop(i, put " X(",I.tl:4,",",S.tl:3,")=",X(I,S):15:7; ); put " "/; loop(jj, put " Y(",JJ.tl:4,",",S.tl:3,")=",Y(JJ,S):15:7; ); put " "//; ); put "x0=",x0:12:6," x1=",x1:12:6/; 292

21 sujeta a El problema del transporte I Minimizar Z = m i=1 n j=1 c ijx ij. (1) n x ij = u i ; i =1...m, j=1 m x ij = v j ; j =1...n, i=1 x ij 0; i =1...m; j =1...n, donde m = n =3y C = , u = $title THE TRANSPORTATION PROBLEM 2 3 4, y v = (2) SETS I index of shipping origins J index of shipping destinations /I1*I3/ /J1*J3/; PARAMETERS U(I) the amount of good to be shipped from origin I /I1 2 I2 3 I3 4/ V(J) the amount of good to be received in destination J /J1 5 J2 2 J3 2/; 293

22 El problema del transporte II TABLE C(I,J) cost of sending a unit from I to J J1 J2 J3 I I I ; VARIABLES z objective function variable x(i,j) the amount of product to be shipped from I to J; POSITIVE VARIABLE x(i,j); EQUATIONS COST objective function equation SHIP(I) shipping equation RECEIVE(J) receiving equation; COST.. z =E= SUM((I,J), C(I,J)*x(I,J)) ; SHIP(I).. SUM(J, x(i,j)) =E= U(I) ; RECEIVE(J).. SUM(I, x(i,j)) =E= V(J) ; MODEL transport /COST,SHIP,RECEIVE/; SOLVE transport USING lp MINIMIZING z; 294

23 El problema de planificación de la producción I Maximizar Z = n ty t b t x t c t s t ), t=1 (3) sujeta a s t 1 + x t s t = y t, t =1...n, s t,x t,y t 0. (4) donde a t = b t = c t =1, t =1...n; n =4; s 0 =2y y =(2, 3, 6, 1) T. $title PRODUCTION_SCHEDULING PROBLEM SET T The month index /0*4/; PARAMETER Y(T) demand in month T / / A(T) B(T) C(T); A(T)=1; B(T)=1; C(T)=1; 295

24 El problema de planificación de la producción II VARIABLES z objective function variable x(t) number of units produced in month T s(t) number of units in storage in month T; POSITIVE VARIABLES x(t),s(t); s.fx( 0 )=2; EQUATIONS COST objective function INOUT(T) input and output balance; COST.. z =E= SUM(T$(ord(T) gt 1), A(T)*Y(T)-B(T)*x(T)-C(T)*s(T)); INOUT(T)$(ord(T) gt 1)..s(T)=E= s(t-1)+x(t)-y(t); MODEL scheduling /ALL/; SOLVE scheduling USING lp MAXIMIZING z; Por tanto, la solución del problema es: Z =2, x =(0, 3, 6, 1) T, s =(2, 0, 0, 0, 0) T. 296

25 sujeta a donde m =4,n =5y A = El problema de la dieta I Minimizar Z = n n a ijx j b i ; i =1...m j=1 x j $title DIET PROBLEM j=1 c jx j, (5) 0; j =1...n., b = , and c = SET I set of nutrients /DN,DP,Ca,Ph/ J set of foods /Corn,Oats,Milo,Bran,Linseed/; PARAMETERS B(I) the minimum required amount of nutrient I /DN 74.2 DP 14.7 Ca 0.14 Ph 0.55/ C(J) cost of one unit of food J /Corn 1 Oats 0.5 Milo 2 Bran 1.2 Linseed 3/;. 297

26 El problema de la dieta II TABLE A(I,J) amount of nutrient I in one unit of food J Corn Oats Milo Bran Linseed DN DP Ca Ph ; VARIABLES z objective function variable x(j) the amount of food J to be purchased POSITIVE VARIABLE x(j); EQUATIONS COST objective function NUTFOOD(I) nutrients and food relation; COST.. z =E= SUM(J, C(J)*x(J)); NUTFOOD(I).. SUM(J, A(I,J)*x(J)) =G= B(I); MODEL diet /ALL/; SOLVE diet USING lp MINIMIZING z; La solución óptima de este problema es : Z =0.793, x =(0, 1.53, 0, 0.023, 0) T. (6) 298

27 Despacho económico I sujeto a Minimizar Z = n i=1 C i p i, (7) δ k = 0 j Ωi B ij (δ i δ j )+p i = D i ; i =1, 2,...,n. P ij B ij (δ i δ j ) P ij ; j Ω i,i=1, 2,...,n. P i p i P i ; i =1, 2,...,n. (8) donde n =3,k =3, B = p = , p = 0.10, D = 0.6, c = , P = 6, Ω 1 = {2, 3}, Ω 2 = {1, 3}, y Ω 3 = {1, 2}, y la variables son p 1, p 2, δ 1 and δ 2. $title THE ECONOMIC DISPATCH PROBLEM SETS G index of generators /G1*G2/ N index of buses /N1*N3/ MAP(G,N) associates generators with buses /G1.N1,G2.N2/; ALIAS(N,NP);, 299

28 Despacho económico II TABLE GDATA(G,*) generator input data PMIN PMAX COST * (kw) (kw) (E/kWh) G G ; TABLE LDATA(N,N,*) line input data SUS LIMIT * (S) (kw) N1.N N1.N N2.N ; PARAMETER LOAD(N) load at bus N / N / VARIABLES z objective function variable p(g) output power for generator G d(n) angle at bus N; p.lo(g)=gdata(g, PMIN ); p.up(g)=gdata(g, PMAX ); d.fx( N3 )=0; EQUATIONS COST objective function MAXPOW(N,N) maximum line power limit MINPOW(N,N) minimum line power limit LOADBAL(N) load balance equation; COST.. z =e= SUM(G,GDATA(G, COST )*p(g)); MAXPOW(N,NP).. LDATA(N,NP, SUS )*(d(n)-d(np))=l= LDATA(N,NP, LIMIT ); MINPOW(N,NP).. LDATA(N,NP, SUS )*(d(n)-d(np))=g=-ldata(n,np, LIMIT ); LOADBAL(N).. SUM(G$MAP(G,N),p(G))+SUM(NP,LDATA(N,NP, SUS ) *(d(n)-d(np))+ldata(np,n, SUS )*(d(n)-d(np)))=e=load(n); MODEL ed /COST,MAXPOW,MINPOW,LOADBAL/; SOLVE ed USING lp MINIMIZING z; 300

29 Problema de la red de flujo I Minimizar Z = ij c ijx ij sujeta a (x ij x ji ) = f i ; i =1,...,n; j f ij x ij f ij ; i <j. donde n = 4, se supone que f ij =4, i, j, y(f 1,f 2,f 3,f 4 )= (7, 4, 1, 2) y c ij =1; i, j. $title NETWORK FLOW PROBLEM SET I set of nodes in the network /I1*I4/ CONEX(I,I) set of node connections /I1.I2,I1.I3,I1.I4,I2.I4,I3.I4/; ALIAS(I,J) PARAMETERS F(I) the input or output flow at node I /I1 7 I2-4 I3-1 I4-2/ FMAX(I,J) maximum flow capacity of conduction from I to J; FMAX(I,J)=4; VARIABLES z objective function variable x(i,j) the flow going from node I to node J 301

30 Problema de la red de flujo II POSITIVE VARIABLE x(i,j); x.lo(i,j)=-fmax(i,j); x.up(i,j)=fmax(i,j); EQUATIONS COST objective function BALANCE(I) conservation of flow conditions; COST.. z =E= SUM((I,J)$CONEX(I,J),x(I,J)) ; BALANCE(I).. SUM(J$CONEX(I,J),x(I,J)) -SUM(J$CONEX(J,I),x(J,I)) =E= F(I) ; MODEL netflow /ALL/; SOLVE netflow USING lp MINIMIZING z; Una parte del fichero de salida es: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR Z -INF INF. Z objective function variable ---- VAR X the flow going from node I to node J LOWER LEVEL UPPER MARGINAL I1.I I1.I I1.I I2.I EPS I3.I La solución es: Z =5, x 12 =0, x 13 =3, x 14 =4, x 24 = 4, x 34 =2. 302

31 La cartera de valores I Maximizar Z = j d j(b j + x j ) (9) sujeta a b i + x i 0 r( j v j (b j + x j )) v i (b i + x i ) j v j x j = 0 j w j (b j + x j ) (1 + s) j v j b j. (10) Sea el caso particular de tres acciones, 75 de A 1, 100 de A 2 y35dea 3, con valores $20, $20 y $100, respectivamente. Además, se tiene la información: A 1 no dará dividendos con un nuevo valor $18, A 2 pagará $3 por acción y su valor será $23, y A 3 pagará $5 por acción con nuevo valor $102. Si se toma r =0.25 y s =0.03, se tiene x A 75, x B 100, x C 35, 0.25 [20(75 + x A ) + 20(100 + x B ) + 100(35 + x C )] 20(75 + x A ), 0.25 [20(75 + x A ) + 20(100 + x B ) + 100(35 + x C )] 20(100 + x B ), 0.25 [20(75 + x A ) + 20(100 + x B ) + 100(35 + x C )] 100(35 + x C ), 20x A +20x B + 100x C = 0, 18(75 + x A ) + 23(100 + x B ) + 102(35 + x C ) 1.03(20(175)+3500). $title THE PORTFOLIO PROBLEM SET I set of stocks /A1,A2,A3/; ALIAS(I,J); 303

32 La cartera de valores II SCALARS r percentage /0.25/ s percentage /0.03/; TABLE data(i,*) B V D W * ($) ($) ($) A A A VARIABLES z objective function variable x(i) number of shares of stock I; POSITIVE VARIABLE x(i); x.lo(i)=-data(i, B ); EQUATIONS COST NOCHANGE INFLATION BALANCE(I) objective function no change in the current value future value must be 3\% greater than the current value to avoid excessive reliance on a single stock; COST.. z =E= SUM(I,data(I, D )*(x(i)+data(i, B ))) ; NOCHANGE.. SUM(I,data(I, V )*x(i)) =E= 0; INFLATION.. SUM(I,data(I, W )*(x(i)+data(i, B )))=G= (1+s)*SUM(I,data(I, V )*data(i, B )); BALANCE(I).. r*sum(j,data(j, V )*(x(j)+data(j, B )))=L= data(i, V )*(x(i)+data(i, B )); MODEL portfolio /ALL/; SOLVE portfolio USING lp MAXIMIZING z; La solución es: Z = enelpuntox A =12.5, x B =75.0, x C =

33 El andamio I sujeta a Maximizar Z = i x i T E + T F = x 2, T C + T D = T F, T A + T B = x 1 + T C + T D, 10T F =5x 2, 8T D =6T F, 10T B =5x 1 +2T C +10T D. $title SCAFFOLDING PROBLEM (LINEAR) SET B set of beams /B1*B3/ R set of ropes /RA,RB,RC,RD,RE,RF/ L set of loads /L1,L2/ UPP(B,R) / B1.(RA,RB) B2.(RC,RD) B3.(RE,RF)/ DOWN(B,R) / B1.(RC,RD) B2.(RF)/ LOAD(B,L) / B1.L1 B3.L2/; PARAMETER LMAX(R) maximum load for ropes / (RA,RB) 300 (RC,RD) 200 (RE,RF) 100/; 305

34 El andamio II PARAMETER DL(L) coordinates of load L/ L1 7 L2 5/; PARAMETER DR(R) coordinates of rope R / RA 2 RB 12 RC 4 RD 12 RE 0 RF 10/; VARIABLES z objective function variable x(l) the applied load t(r) tension on rope R ; t.up(r) = LMAX(R); EQUATIONS COST objective function FORCES(B) force equilibrium equation MOMENT(B) moment equilibrium equation; COST.. z =E= SUM(L, x(l)) ; FORCES(B)..SUM(R$UPP(B,R),t(R))=E= SUM(L$LOAD(B,L),x(L))+ SUM(R$DOWN(B,R),t(R)); MOMENT(B)..SUM(R$UPP(B,R),DR(R)*t(R))=E=SUM(L$LOAD(B,L), DL(L)*x(L))+SUM(R$DOWN(B,R),DR(R)*t(R)); MODEL scaffold /COST,FORCES,MOMENT/; SOLVE scaffold USING lp MAXIMIZING z; La solución es: Z = 640; x 1 = 440, x 2 = 200; T A = 240, T B = 300, T C =25, T D =75, T E = 100, T F =

35 sujeta a n El armador I Maximizar Z = n j=1 c jx j a jx j j=1 b, x j {0, 1} j =1 n. donde se ha supuesto que a j = c j, b = 700 y a = (100, 155, 50, 112, 70, 80, 60, 118, 110, 55) T. $title 0-1 KNAPSACK PROBLEM. OPTION OPTCR=1e-10; SET J set of containers /c1*c10/; PARAMETERS C(J) benefit of container J /c1 100 c2 155 c3 50 c4 112 c5 70 c6 80 c7 60 c8 118 c9 110 c10 55/ A(J) weight of container J; A(J) = C(J); 307

36 El armador II SCALAR B maximum capacity of the freighter/700/; VARIABLES z objective function variable x(j) binary choice; BINARY VARIABLE x; EQUATIONS COST objective function CAPA is the loading of the freighter; COST.. z=e= SUM(J,C(J)*x(J)); CAPA.. SUM(J,A(J)* x(j)) =L= B; MODEL knapsack /ALL/; SOLVE knapsack USING mip MAXIMIZING z; La solución indica que deben estar los contenedores: c 1,c 3,c 4,c 5,c 6,c 7,c 8,c 9. El valor óptimo es Z = 700 Tn., lo que implica que el barco irá lleno. 308

37 Problema de la distribución de energía I Minimizar Z = K sujeta a J k=1 j=1 [A j v j (k)+b j p j (k)+c j y j (k)+d j z j (k)] P j v j (k) p j (k) P j v j (k); j, k, p j (k +1) p j (k) S j ; j, k =0,,K 1, p j (k) p j (k +1) T j ; j, k =0,,K 1, y j (k) z j (k) = v j (k) v j (k 1); j, k =1,,K, J j=1 p j (k) = D(k); k, J j=1 P j v j (k) D(k)+R(k); k, donde K =4,J =3,y P = A = , P =, B = D = , T =, C = , R = $title THE UNIT COMMITMENT PROBLEM SETS K index of periods of time /1*4/ J index of generators /1*3/, S =, E = ,, (11) (12) 309

38 Problema de la distribución de energía I TABLE GDATA(J,*) generator input data PMIN PMAX T S A B C D * (kw) (kw) (kw/h) (kw/h) (E) (E) (E) (E/kWh) ; TABLE PDATA(K,*) data per period D R * (kw) (kw) ; VARIABLES z objective function variable p(j,k) output power of generator j at period k v(j,k) is 1 if generator j is active in period k y(j,k) is 1 if generator j is started-up at the beginning of period k s(j,k) is 1 if generator j is shut-down in period k; POSITIVE VARIABLES p(j,k); BINARY VARIABLES v(j,k),y(j,k),s(j,k); v.fx(j, 1 )=0; p.fx(j, 1 )=0; EQUATIONS COST objective function PMAXL(J,K) maximum output power equation PMINL(J,K) minimum output power equation LOAD(K) load balance equation 310

39 Problema de la distribución de energía I EQUATIONS RESERVE(K) spinning reserve equation LOGIC(J,K) start-up shut-down and running logic RUP(J,K) maximum up ramp rate limit RDOWN(J,K) maximum down ramp rate limit; COST..z=e= SUM((K,J),GDATA(J, A )*v(j,k)+gdata(j, B ) *y(j,k)+gdata(j, C )*s(j,k)+gdata(j, D )*p(j,k)); PMAXL(J,K)$(ord(K) GT 1)..p(J,K)=l=GDATA(J, PMAX )*v(j,k); PMINL(J,K)$(ord(K) GT 1)..p(J,K)=g=GDATA(J, PMIN )*v(j,k); LOAD(K)$(ord(K) GT 1)..SUM(J,p(J,K))=e=PDATA(K, D ); RESERVE(K)$(ord(K) GT 1)..SUM(J,GDATA(J, PMAX )*v(j,k))=g= PDATA(K, D )+PDATA(K, R ); LOGIC(J,K)$(ord(K) GT 1)..y(J,K)-s(J,K)=e=v(J,K)-v(J,K-1); RUP(J,K)$(ord(K) GT 1)..p(J,K)-p(J,K-1)=l=GDATA(J, S ); RDOWN(J,K)$(ord(K) GT 1)..p(J,K-1)-p(J,K)=l=GDATA(J, T ); MODEL uc /ALL/; SOLVE uc USING mip MINIMIZING z; La solución es: Z = 191, P = y j (k) = , p j (k) =, V =

40 Modelos de localización I sujeta a Maximizar Z = i I c ijx ij f jy j. j J j J x ij = b i, i I j J x ij u j y j, j J i I y j {0, 1}, j J x ij 0, i I, j J. donde se supone que u j =6 j, f j =10 j y b =(1.5, 2.0, 3.0, 4.0, 2.5, 1.0, 2.0). $Title MODEL OF DISCRETE LOCATION OPTION OPTCR=1e-10; SET I index of cities /C1*C7/ J index of locations /L1*L6/; PARAMETERS B(I) demand of a certain good in the city I /C1 1.5 C2 2.0 C3 3.0 C4 4.0 C5 2.5 C6 1.0 C7 2.0/ F(J) amortization cost of an industrial plant at J U(J) maximum production capacity of a plant in J; F(J) = 10; U(J) = 6; 312

41 Modelos de localización II Ciudades Situación C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 L L L TABLE C(J,I) benefits according to different locations C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 L L L L L L ; VARIABLES z objective function variable x(i,j) the amount of good that is made at J and sold at I y(j) location variable. Equal to 1 if the plant is at J, and 0 otherwise. POSITIVE VARIABLE x; BINARY VARIABLE y; EQUATIONS COST objective function SD(I) satisfying demand of city I CAPA(J) capacity of production of the plant I; COST.. z=e= SUM((I,J),C(J,I)*x(I,J))-SUM(J,F(J)*y(J)); SD(I).. SUM(J,x(I,J)) =e= B(I); CAPA(J).. SUM(I,x(I,J)) =l= U(J)*y(J); MODEL loc /all/; SOLVE loc USING mip MAXIMIZING z; DISPLAY x.l; 313

42 EL problema de la Academia I Maximizar y Minimizar Z j = I sujeta a S I i=1 S i=1 S s=1 x ijs, j {1, 2,...,J} s=1 x ijs 1, i {1, 2,...,I}, j {1, 2,...,J} J j=1 x ijs 1, i {1, 2,...,I}, s {1, 2,...,S} p sx ijs = c j, j {1, 2,...,J} s=1 x ijs {0, 1}, i, j, s $title ACADEMY SETS I number of actual members /1*20/ J number of candidates /1*8/ DIN(J) S the number of different scores to be assigned /1*4/; ALIAS(J,J1); PARAMETER P(S) the $s$-th score / /; SCALARS zmin,zmax; PARAMETER C(J) total score obtained by candidate J; C(J)=sum(I,N(I,J)); VARIABLES z function to be optimized ; BINARY VARIABLE x(i,j,s) if member I assigns score P(S) to J is

43 EL problema de la Academia II TABLE N(I,J) score assigned to candidate J by member I ************************************************** ; EQUATIONS OBJ function to be optimized L1(I,J) Can assign at most one score to each candidate L2(I,S) Can asign score S to at most one candidate TOTALSCORE(J) totalscore given; 315

44 EL problema de la Academia III OBJ(J)$DIN(J)..z=e=sum(I,sum(S,x(I,J,S))); L1(I,J)..sum(S,x(I,J,S))=l=1; L2(I,S)..sum(J,x(I,J,S))=l=1; TOTALSCORE(J)..sum(I,sum(S,P(S)*x(I,J,S)))=e=C(J); MODEL Academy /ALL/; file aux /academy.out/; put aux; DIN(J)=NO; loop(j1, DIN(J1)=YES; Solve Academy using mip Minimizing z; zmin=z.l; Solve Academy using mip Maximizing z; zmax=z.l; put "J=",J1.tl:3," zmin= ",zmin:3:0," zmax= ",zmax:3:0/; DIN(J1)=NO; ); y el contenido del fichero de salida es: J=1 zmin= 8 zmax= 20 J=2 zmin= 3 zmax= 14 J=3 zmin= 15 zmax= 20 J=4 zmin= 2 zmax= 13 J=5 zmin= 15 zmax= 20 J=6 zmin= 2 zmax= 18 J=7 zmin= 3 zmax= 20 J=8 zmin= 1 zmax= 8 316

45 EL problema de los horarios I sujeta a Minimizar n c s Ωi c=1 n h n c s Ωi n c n h s Ω c=1 h=1 (c + h) v(s, c, h) h=1 v(s, c, h) = n i, i c=1 v(s, c, h) 1, h, i n c c=1 n h h=1 v(s, c, h) = 1, s s Ω v(s, c, h) 1, c, h n c s b c=1 v(s, c, h) 1, h, b $title CLASS TIMETABLE SETS C classrooms /c1*c3/ H hours /h1*h5/ S subjects /s1*s8/ I instructors /i1,i2/ B blocks /b1,b2/ SI(S,I) maps subjects and instructors /(s1,s2,s8).i1,(s3*s7).i2/ SB(S,B) maps subjects and blocks /(s1*s4).b1,(s5*s8).b2/; VARIABLE z; BINARY VARIABLE v(s,c,h); EQUATIONS cost compact the timetable const1(i) instructors teach all his subjects const2(h,i) instructors teach at most 1 subject per hour const3(s) every subject is taught once const4(c,h) in every classroom-hour pair 1 subject const5(h,b) every hour at most 1 subject of any blockt; 317

46 EL problema de los horarios II EQUATIONS cost.. SUM((S,C,H),(ord(C)+ord(H))*v(S,C,H))=e=z ; const1(i).. SUM((S,C,H)$SI(S,I),v(S,C,H))=e= SUM(S$SI(S,I),card(S))/card(S); const2(h,i)..sum((s,c)$si(s,i),v(s,c,h)) =l= 1; const3(s).. SUM((C,H),v(S,C,H)) =e= 1; const4(c,h)..sum(s,v(s,c,h)) =l= 1; const5(h,b)..sum((s,c)$sb(s,b),v(s,c,h)) =l= 1; model timetable /all/; solve timetable using mip minimizing z; DISPLAY v.l; Parte del fichero de salida es: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR Z -INF INF VARIABLE V.L H1 H2 H3 H4 H5 S1.C S2.C S3.C S4.C S5.C S6.C S7.C S8.C

47 El problema del abastecimiento de agua I Planteamiento no lineal La nueva función objetivo es: Z = ij c ij(x + ij + x ij), que corresponde a Z = ij c ij x ij. $title WATER SUPPLY NETWORK (nonlinear) SET I set of nodes in the network /I1*I4/ CONEX(I,I) set of node connections /I1.I2,I1.I3,I1.I4,I2.I4,I3.I4/; ALIAS(I,J) PARAMETERS F(I) the input or output flow at node I /I1 20 I2-3 I3-10 I4-7/ FMAX(I,J) maximum flow capacity of conduction from I to J; FMAX(I,J)=8; VARIABLES z objective function variable x(i,j) the flow going from node I to node J POSITIVE VARIABLE x(i,j); x.lo(i,j)=-fmax(i,j); x.up(i,j)=fmax(i,j); 319

48 El problema del abastecimiento de agua II Planteamiento no lineal EQUATIONS COST objective function BALANCE(I) conservation of flow conditions; COST.. z=e=sum((i,j)$conex(i,j),abs(x(i,j))); BALANCE(I)..SUM(J$CONEX(I,J),x(I,J)) -SUM(J$CONEX(J,I),x(J,I))=e=F(I); MODEL wsn_dnlp /ALL/; SOLVE wsn_dnlp USING dnlp MINIMIZING z; Una parte del fichero de salida es: LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR Z -INF INF. Z objective function variable ---- VAR X the flow going from node I to node J LOWER LEVEL UPPER MARGINAL I1.I I1.I I1.I I2.I I3.I La solución es: Z =23.000, X =

49 El problema del andamio I sujeta a Maximizzar i x i t s = x i + s Ψ b i Ω b t s,b B, x Θ b dr s t s = xl i x i + s Ψ b i Ω b 0 t s T s,s S, 0 xl i l b,i Ω b, 0 x i. $title SCAFFOLDING (NON-LINEAR) SET B set of beams /B1*B3/ R set of ropes /RA,RB,RC,RD,RE,RF/ L set of loads /L1,L2/ UPP(B,R) /B1.(RA,RB) B2.(RC,RD) B3.(RE,RF)/ DOWN(B,R) /B1.(RC,RD) B2.(RF)/ LOAD(B,L) /B1.L1 B3.L2/; dr s t s,b B, x Θ b 321

50 El problema del andamio II PARAMETER LMAX(R) maximum load for ropes / (RA,RB) 300 (RC,RD) 200 (RE,RF) 100/; PARAMETER dr(r) coordinates of rope R / RA 2 RB 12 RC 4 RD 12 RE 0 RF 10/; VARIABLES z objective function variable x(l) the amount of food J to be purchased T(R) tension on rope R d(l) distance from the left end-points of beams; POSITIVE VARIABLE d; T.UP(R) = LMAX(R); EQUATIONS COST objective function FORCES(B) force equilibrium equation MOMENT(B) moment equilibrium equation; COST.. z =E= SUM(L, x(l)) ; FORCES(B)..SUM(R$UPP(B,R),T(R))=E= SUM(L$LOAD(B,L),x(L))+ SUM(R$DOWN(B,R),T(R)); MOMENT(B)..SUM(R$UPP(B,R),dr(R)*T(R))=E=SUM(L$LOAD(B,L), d(l)*x(l))+sum(r$down(b,r),dr(r)*t(r)); MODEL ropebeam /COST,FORCES,MOMENT/; SOLVE ropebeam USING nlp MAXIMIZING z; La solución es: Z = 700 en x 1 = 500, x 2 = 200, d 1 =6.4, d 2 =5.0, T A = 300, T B = 300, T C =25, T D =75, T E = 100, T F =