Estructuras de Datos. Clase 3 Análisis de algoritmos recursivos

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Rocío Hidalgo Cordero
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real con c>0 y n 0 natural con n 0 >=1 tales que f(n) <= cg(n) para todo n >= n 0 f(n) es O(g(n)) se lee f(n) es

1 Clase 3 Análisis de algoritmos recursivos Bahía Blanca, Argentina Notación asintótica (Big-Oh) Sean f(n) y g(n) : N R f(n) es O(g(n)) ssiexisten c real con c>0 y n 0 natural con n 0 >=1 tales que f(n) <= cg(n) para todo n >= n 0 f(n) es O(g(n)) se lee f(n) es big-oh de g(n) o f(n) es del orden de g(n) Tiempo de ejecución Estructuras de datos - 2 n 0 Tamaño de la entrada f(n) cg(n). Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

2 Cálculo de tiempo de algoritmo recursivo Paso 1: Determinar la entrada Paso 2:Determinar el tamaño de la entrada Paso 3: Definir una recurrencia para T(n) Paso 4:Obtener una definición no recursiva para T(n) Paso 5: Determinar orden de tiempo de ejecución Paso 6:Hacer prueba por inducción para ver que las expresiones para T(n) de (3) y (4) son equivalentes. Estructuras de datos - 3 publicstaticintfact( intn ) { if(n == 0) return 1; else returnn * fact(n-1); Estructuras de datos - 4. Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

3 Paso 1:Entrada es n Paso 2:Tamaño de la entrada es n Paso 3: Definir recurrencia para T(n): Estructuras de datos - 5 Paso 4: Derivar definición no recursiva de T(n): T(n) = c 2 + T(n-1) = c 2 + (c 2 + T((n-1)-1) = 2c 2 + T(n-2) = 2c 2 + (c 2 + T((n-2)-1) = 3c 2 + T(n-3) = 3c 2 + (c 2 + T((n-3)-1) = 4c 2 + T(n-4) = = = ic 2 + T(n-i) (1) Termina cuando n-i = 0, luego n = i (2) Reemplazo (2) en (1) y obtengo: T(n) = nc 2 + T(0) = nc 2 + c 1 Paso 5:Obtener orden de tiempo de ejecución: T(n) es O(n) Estructuras de datos - 6. Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

4 Paso 6:Prueba por inducción T r (n) = T nr (n) Caso base:tr(0) = c 1 = 0c 2 + c 1 = T nr (0) Caso inductivo: T r (n) = c 2 + T r (n-1) = (Def. T(n) recursiva) = c 2 + ((n-1)c 2 + c 1 ) (hipótesis inductiva) = c 2 + (nc 2 -c 2 + c 1 ) (distributividad) = c 2 + nc 2 -c 2 + c 1 (asociatividad) = nc 2 + c 1 =T nr (n) (anulo c 2 positivo y negativo) Estructuras de datos - 7 Búsqueda binaria Problema:Buscar entero x en arreglo de enteros ordenado a de n componentes publicstaticintbsearch( int[] a, intn, intx ) { returnbsearch_aux( a, 0, n-1, x ); privatestaticintbsearch_aux(int[] a, intini, intfin, intx ) { if( ini<= fin ) { intmedio = (ini+ fin) / 2; if( a[medio] == x ) returnmedio; elseif( a[medio] > x ) then return bsearch_aux( a, 0, medio-1, x) else return bsearch_aux( a, medio+1, fin, x) else return-1; // x no está en el arreglo Estructuras de datos - 8. Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

5 Paso 1:Entrada: Arreglo a y x Paso 2: Tamaño de entrada: n = cantidad de componentes de a Paso 3: Definición recursiva de T(n): Estructuras de datos - 9 Paso 4: Obtener definición no recursiva de T(n) T(n) = c 2 + T((n-1)/2) = c 2 + (c 2 + T(((n-1)/2 1)/2))) = 2c 2 + T((n-3)/4) = 2c 2 + (c 2 + T(((n-3)/4 1)/2))) = 3c 2 + T((n-7)/8) = 3c 2 + (c 2 + T(((n-7)/8 1)/2))) = 4c 2 + T((n-15)/16) = 4c 2 + (c 2 + T(((n-15)/16 1)/2))) = 5c 2 + T((n-31)/32) = = ic 2 + T((n-(2 i -1))/2 i ) (1) Termina cuando (n-(2 i -1))/2 i = 0, luego n-(2 i -1) = 0. Entonces, n-2 i +1=0; por lo tanto, n+1 = 2 i y i = log 2 (n+1).(2) Reemplazo (2) en (1): T(n) = log 2 (n+1)c 2 + T(0) = log 2 (n+1)c 2 + c 1. Estructuras de datos Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

6 Paso 5:Dar orden de tiempo de ejecución: T(n) = log 2 (n+1)c 2 + c 1 es O(log 2 (n+1)). Paso 6: Prueba inductiva (por inducción transfinita) Caso base: T(0) = c 1 = log 2 (0+1)c 2 + c 1 = c 1 Caso inductivo:t(n) = c 2 + T((n-1)/2) (def. T(n) rec.) = c 2 + (log 2 ((n-1)/2+1)c 2 + c 1 ) (hipótesis inductiva) = c 2 + (log 2 ((n-1+2)/2))c 2 + c 1 = c 2 + (log 2 (n+1) log 2 (2))c 2 + c 1 (log (a/b) = log(a) log(b)) = c 2 + (log 2 (n+1) 1)c 2 + c 1 = c 2 + log 2 (n+1)c 2 -c 2 + c 1 = log 2 (n+1)c 2 + c 1. Estructuras de datos - 11 Merge sort publicstaticvoidmergesort( int[] a, intn) { msort( a, 0, n-1); privatestaticvoidmsort( int[] a, intini, intfin) { if( ini<fin) { int medio = (ini+fin)/2; msort(a, ini, medio ); msort(a, medio+1,fin); merge( a, ini, medio, fin ); // hace un mergede los arreglos en O(n) Estructuras de datos Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

7 Tamaño de la entrada: n = cantidad de componentes de a Recurrencia para n: Estructuras de datos - 13 T(n) = c 2 n + 2T(n/2) = c 2 n + 2(c 2 (n/2) + 2T(n/2/2)) = 2c 2 n + 4T(n/4) = 2c 2 n + 4(c 2 (n/4) + 2T(n/4/2)) = 3c 2 n + 8T(n/8) = = ic 2 n + 2 i T(n/2 i ) Termina cuando n/2 i = 1, es decir n=2 i. Luego, i = log 2 (n). T(n) = log 2 (n)c 2 n + nt(1) = log 2 (n)c 2 n + nc 1 es O(nlog 2 (n)) Estructuras de datos Notas de Clase. Sergio A. Gómez.. (c)

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