Conceptos Fundamentales del Análisis de Algoritmos II

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1 Conceptos Fundamentales del Análisis de Algoritmos II Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 17 de enero de 2018 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

2 1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes Clases básicas de eficiencia asintótica Tarea 3 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

3 1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes Clases básicas de eficiencia asintótica Tarea 3 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

4 Una forma de comparar funciones que ignora factores constantes y tamaños de entradas pequeños O(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen no más rápido que g(n) n O(n 2 ), 100n + 5 O(n 2 ), 1 2 n(n 1) O(n2 ). Θ(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen a la misma tasa que g(n) an 2 + bn + c Θ(n 2 ), n 2 + sin n Θ(n 2 ), n 2 log n Θ(n 2 ). Ω(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen al menos tan rápido como g(n) n 3 Ω(n 2 ), 1 2 n(n 1) Ω(n2 ), 100n + 5 / Ω(n 2 ). Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

5 , Gran-O t(n) cg(n), para toda n n 0 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

6 , Gran-Omega t(n) cg(n), para toda n n 0 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

7 , Gran-Theta c 2 g(n) t(n) c 1 g(n), para toda n n 0 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

8 , ejercicio 1 Utilice la notación más apropiada entre O, Θ y Ω para indicar la clase de eficiencia temporal del algoritmo de búsqueda secuencial Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

9 , ejercicio 1 Respuestas: Utilice la notación más apropiada entre O, Θ y Ω para indicar la clase de eficiencia temporal del algoritmo de búsqueda secuencial C worst(n) = n, C worst(n) Θ(n) C best (n) = 1, C best (n) Θ(1) C avg(n) = p(n+1) 2 + n(1 p) = (1 p 2 )n + p 2, Cavg(n) Θ(n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

10 , ejercicio 2 De las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderas y cuáles son falsas: 1 n(n + 1)/2 O(n 3 ) 2 n(n + 1)/2 O(n 2 ) 3 n(n + 1)/2 Θ(n 3 ) 4 n(n + 1)/2 Ω(n 3 ) 5 n(n + 1)/2 Ω(n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

11 , ejercicio 2 De las siguientes afirmaciones cuáles son verdaderas y cuáles son falsas: 1 n(n + 1)/2 O(n 3 ) V 2 n(n + 1)/2 O(n 2 ) V 3 n(n + 1)/2 Θ(n 3 ) F 4 n(n + 1)/2 Ω(n 3 ) F 5 n(n + 1)/2 Ω(n) V Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

12 , propiedades f(n) O(f(n)) f(n) O(g(n)) si y sólo si g(n) Ω(f(n)) Si f(n) O(g(n)) y g(n) O(h(n)), entonces f(n) O(h(n)) Si f 1 (n) O(g 1 (n)) y f 2 (n) O(g 2 (n)), entonces f 1 (n) + f 2 (n) O(max{g 1 (n), g 2 (n)}) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

13 1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes Clases básicas de eficiencia asintótica Tarea 3 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

14 T (n) lím n g(n) = Ejemplo: 0 orden de crecimiento de T (n) < orden de crecimiento de g(n) c > 0 orden de crecimiento de T (n) = orden de crecimiento de g(n) orden de crecimiento de T (n) > orden de crecimiento de g(n) Comparar 1 n(n 1) y n2 2 lím n 1 n(n 1) 2 = 1 n 2 2 lím n 2 n = 1 ( n n 2 2 lím 1 1 ) = 1 n n 2 Como el límite es igual a una constante positiva, entonces las funciones tienen igual orden de crecimiento, i.e., 1 2 n(n 1) Θ(n2 ) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

15 Regla de l Hôpital Si lím f(n) = lím g(n) = y las derivadas f, g existen, entonces: n n Ejemplo: Comparar log 2 n y n f(n) lím n g(n) = lím f (n) n g (n) log lím 2 n (log = lím 2 n) n n n ( (log = lím 2 e) 1 n n) n 1 2 n 1 = 2 log 2 e lím = 0 n n Como el límite es igual a cero, entonces la función log 2 n tienen un orden de crecimiento más pequeño que el de n, i.e., log 2 n o( n) o(g(n)): clase de funciones f(n) que crecen estrictamente menos rápido que g(n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

16 Fórmula de Stirling Para valores grandes de n: n! ( n ) n 2πn e Ejemplo: Comparar n! y 2 n ( n! 2πn n ) n lím n 2 = lím e n n = lím 2πn n n 2 n n 2 n e = lím ( n ) n 2πn = n n 2e Por lo tanto, aunque 2 n crece muy rápido, n! crece incluso más rápido, i.e., n! Ω(2 n ) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

17 Ordenes de crecimiento de funciones importantes 1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes Clases básicas de eficiencia asintótica Tarea 3 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

18 Ordenes de crecimiento de funciones importantes Ordenes de crecimiento de funciones importantes Todas las funciones logarítmicas log a n pertenecen a la misma clase Θ(log n) sin importar la base del logaritmo a > 1 Todos los polinomios del mismo grado k pertenecen a la misma clase a k n k + a k 1 n k a 0 Θ(n k ) Las funciones exponenciales a n tienen diferentes ordenes de crecimiento para diferentes valores de a orden log n < orden n α (α > 0) < orden a n < orden n! < orden n n Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

19 Clases básicas de eficiencia asintótica 1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes Clases básicas de eficiencia asintótica Tarea 3 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

20 Clases básicas de eficiencia asintótica Clases básicas de eficiencia asintótica Clase Nombre 1 constante log n logarítmico n lineal n log n n-log-n o linearítmico n 2 n 3 cuadrático cúbico 2 n exponencial n! factorial Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

21 Tarea 3 1 Conceptos fundamentales del análisis de algoritmos II Ordenes de crecimiento de funciones importantes Clases básicas de eficiencia asintótica Tarea 3 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20

22 Tarea 3 Tarea 3 Pruebe, usando límites, que las siguientes funciones están listadas ascendentemente con respecto a sus ordenes de crecimiento correspondientes: log n, n, n log n, n 2, n 3, 2 n, n! Fecha de entrega: 24 de enero antes de las 8 AM Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos Fundamentales del Análisis II 17 de enero de / 20