Decrementa y vencerás II

Transcripción

1 Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO CINVESTAV-Tamaulipas 21 de febrero de 2018 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

2 1 Decrementa y vencerás II Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

4 En esta versión de algoritmos decrementa y vencerás el tamaño de la instancia se reduce con el mismo factor (típicamente 2) Ejemplos: Búsqueda binaria Exponenciación por cuadrados Multiplicación por el método ruso Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

5 Búsqueda binaria Es un algoritmo muy eficiente para búsqueda en arreglos ordenados Funciona comparando el término buscado (llave) K con el elemento en la mitad del arreglo A[m]. Si son iguales, el algoritmo se detiene, sino, se repite la misma operación recursivamente con la primera mitad del arreglo si K < A[m], o con la segunda mitad del arreglo si K > A[m] Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

6 Búsqueda binaria Decrementa y vencerás II Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

7 Búsqueda binaria, Eficiencia temporal Peor caso Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

8 Búsqueda binaria, Eficiencia temporal Peor caso Arreglo no contiene la llave K. Operación básica: comparación entre K y A[m] (3 vías) C worst (n) = C worst ( n/2 ) + 1 para n > 1, C worst (1) = 1 Esta relación de recurrencia ya la habíamos resuelto antes C worst (n) = log 2 n + 1 = log 2 (n + 1) Θ(log n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

9 Búsqueda binaria, Eficiencia temporal Ejemplos: Para encontrar un elemento K en un arreglo ordenado de 1,000 elementos (o confirmar que no está) toma sólo log 2 ( ) = 10 comparaciones de 3 vías Para encontrar un elemento K en un arreglo ordenado de 1 000,000 elementos (o confirmar que no está) toma sólo log 2 ( ) = 20 comparaciones de 3 vías Es un algoritmo óptimo para búsqueda en arreglos ordenados El número de comparaciones en el caso promedio es sólo ligeramente más pequeño que en el peor caso: C avg(n) log 2 n Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

10 Multiplicación por el método ruso Sean n y m dos enteros positivos cuyo producto deseamos encontrar (n representa el tamaño de la instancia). Se hace una tabla con 2 columnas encabezadas por n y m 1 Dividir n entre 2, sucesivamente, ignorando el residuo, hasta llegar a la unidad. Escribir los resultados en la columna n. 2 Multiplicar m por 2 tantas veces como veces se ha dividido n entre 2. Escribir los resultados sucesivos en la columna m. 3 Sumar todos los números de la columna m que estén al lado de un número impar de la columna n. Éste es el resultado. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

11 Multiplicación por el método ruso Se multiplica El resultado se encuentra sumando todos los elementos de la columna m que tienen un valor impar en la columna n Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

12 Multiplicación por el método ruso Este método funciona porque la multiplicación es distributiva, i.e., a (b + c) = a b + a c, así que: = 65 ( ) = 65 ( ) = ( ) = 3250 Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

13 Ejercicio 1 Decrementa y vencerás II 1 Suponga que se le presenta un arreglo con 42 fotografías de personas (ordenadas en 6 filas con 7 columnas) y se le solicita identificar una foto objetivo únicamente haciendo preguntas que pueden ser respondidas con sí y no. Además existe la restricción de hacer el menor número de preguntas posible. Diseñe el algoritmo más eficiente para este problema e indique el número más grande de preguntas que pueden requerirse. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

15 En los algoritmos de tipo decrementa y vencerás con decremento variable la reducción del tamaño de la instancia es diferente en cada una de las iteraciones. Ejemplos: Algoritmo de Euclides Algoritmo basado en partición para el problema de selección Búsqueda por interpolación Algunos algoritmos para búsqueda en árboles binarios Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

16 Algoritmo de Euclides El algoritmo de Euclides se basa en la aplicación iterativa de la siguiente ecuación: Ejemplo: gdc(m, n) = gdc(n, m m«od n) gdc(80, 44) = gdc(44, 36) = gdc(36, 12) = gdc(12, 0) = 12 Es posible probar que el tamaño del problema (medido con el valor de n) decrece al menos en la mitad después de dos iteraciones. Por lo tanto, T(n) O(log n) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

17 Problema de selección Encontrar el k-ésimo elemento más pequeño en una lista de números. Puede realizarse tomando ventaja de la idea de hacer una partición de la lista en torno a un elemento pivote p. Existen dos técnicas algorítmicas para hacer esta partición: el algoritmo de Hoare y el algoritmo de particionamiento de Lomuto. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

18 Problema de selección, algoritmo de Lomuto Utiliza un subarreglo A[l... r] donde 0 l r n 1, con tres partes (posiblemente vacías): Un segmento con elementos conocidos < p Un segmento con elementos conocidos p Un segmento con elementos por comparar Iniciando en i = l + 1, el algoritmo recorre A[l... r] hacia la derecha manteniendo esta estructura hasta obtener una partición En cada iteración, compara el elemento A[i] en el segmento con elementos por comparar con p. Si A[i] p, se incrementa i. Si A[i] < p, se incrementa s, se intercambian A[i] y A[s] y se incrementa i Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

19 Problema de selección, algoritmo de Lomuto Cuando no hay elementos sin procesar, se intercambian el pivote p y A[s] Esto permite encontrar la partición buscada Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

20 Problema de selección, algoritmo de Lomuto Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

21 Problema de selección, algoritmo de Lomuto Cómo puede resolverse el problema de selección (encontrar el k-ésimo elemento más pequeño) aprovechando la partición de una lista? Asumamos que la lista es un arreglo (cero basado) y que s es el índice del pivote p después de aplicar el algoritmo de Lomuto para encontrar la partición. Si s = k 1, entonces el problema fue resuelto porque el pivote p es el k-ésimo elemento más pequeño Si s > k 1, el k-ésimo elemento más pequeño del arreglo puede encontrarse como el k-ésimo elemento más pequeño en la parte izquierda de la partición Si s < k 1, el k-ésimo elemento más pequeño del arreglo puede encontrarse como el (k s)-ésimo elemento más pequeño en la parte derecha de la partición Si no se resuelve el problema, este se reduce y puede resolverse usando el mismo enfoque de manera recursiva. Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

22 Problema de selección, algoritmo quickselect Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22

23 Algoritmo quickselect, complejidad Mejor caso Cuando al hacer la primera partición (usando n 1 comparaciones) se resuelve el problema C best (n) = n 1 Θ(n) Peor caso Cuando se producen particiones no balanceadas (una parte vacía y otra con n 1 elementos) en las n 1 iteraciones Caso promedio C worst (n) = (n 1) + (n 2) = n(n 1) 2 C avg (n) = C(n/2) + (n 1) Θ(n) Θ(n 2 ) Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Decrementa y vencerás II 21 de febrero de / 22