Sistema de Ecuaciones Lineales - Métodos Iterativos -

Transcripción

1 Sistema de Ecuaciones Lineales - Métodos Iterativos -

2 Contenido Métodos Iterativos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Fórmulas Recursivas

3 Métodos Iterativos Los métodos iterativos son aquellos que producen una secuencia de aproximaciones sucesivas las cuales, bajo condiciones específicas, convergen a la solución verdadera. En estos métodos es necesario contar con un valor inicial para que el método empiece a iterar y se requiere además un criterio de convergencia para llegar a la solución. Los métodos representativos a éste tipo son: Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel.

4 Método de Jacobi Un sistema de nn ecuaciones lineales con nn incógnitas puede ser resuelto por el método iterativo de Jacobi cuando se satisface ciertas condiciones. Una condición suficiente pero no necesaria es la condición que garantiza la convergencia:

5 Método de Jacobi Las fórmulas recursivas del método de Jacobi para nn ecuaciones con nn incógnitas son: Si se satisface la condición de convergencia entonces las fórmulas recursivas de Jacobi generarán una secuencia de aproximaciones sucesivas que convergerán en la solución exacta del sistema, iniciando con una aproximación arbitraria (xx 11 00, xx 22 00, xx 33 00,, xx nn 00 ). Ya que la condición de convergencia es no necesaria, puede que esta condición no se satisfaga y el método nunca converge.

6 Método de Jacobi Ejemplo: Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, con un valor de convergencia de 0.1:

7 Método de Jacobi Note que el orden de las ecuaciones ha sido seleccionado de tal forma que los coeficientes de la diagonal principal predominan sobre los coeficiente fuera de la diagonal. Ya que los elementos de la diagonal son diferentes de cero, podemos expresar la variable xx ii en la ii-ésima ecuación en términos de las variables restantes y la constante. El resultado lo podemos expresar en fórmula recursiva como sigue:

8 Método de Jacobi Éste sistema de ecuaciones lo podemos escribir en forma matricial: Las primeras iteraciones de la solución son dadas abajo, iniciando con xx 00 11, xx 00 22, xx 00 33,, xx 00 nn = (00, 00, 00) como solución inicial aproximada:

9 Método de Jacobi Evaluar convergencia

10 Método de Jacobi Evaluar convergencia

11 Método de Jacobi Evaluar convergencia

12 Método de Jacobi Evaluar convergencia Si continuamos de esta forma, la aproximación xx 11 kk+11, xx 22 kk+11, xx 33 kk+11 convergerá a la solución exacta (3, 2, 1)

13 Método de Gauss-Seidel Este método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales es una simple modificación del método de Jacobi. Si las fórmulas recursivas son cambiadas de tal forma que cada vez que el valor xx kk+11 ii es calculado, éste sea usado para los cálculos de xx kk+11 ii+11, xx kk+11 ii+11,, xx kk+11 nn, entonces obtenemos las siguientes fórmulas recursivas para Gauss-Sidel:

14 Método de Gauss-Seidel Una condición suficiente pero no necesaria para que converge el método de Gauss-Seidel es: Note que la condición es la misma que la del método de Jacobi, sin embargo, para una solución inicial aproximada, el método de Gauss-Seidel puede converger para una solución verdadera mientras que el método de Jacobi no, y viceversa. Se ha mostrado que el método de Gauss-Seidel tiene el doble de razón de convergencia que el de Jacobi.

15 Fórmulas Recursivas Método de Jacobi Para este método aplicar operaciones matriciales de multiplicación y suma de matrices. 0) Entrada de datos: nn, número de ecuaciones; kkkk, máximo número de iteraciones; ee, criterio de convergencia; AA, matriz de coeficientes; BB, matriz de constantes. 1) Dividir el renglón ii de las matrices AA y BB entre aa iiii aa iiii 00 aa iiii = aa iiii ; bb aa ii = bb ii ; (ii = 11, nn; jj = 11, nn) iiii aa iiii 2) Inicializar contador de iteración kk = 11. Igualar la matriz XX 11 a cero: xx 11 ii = (ii = 11, nn) 3) Multiplicar la matriz AA por XX 11 y sumarle la matriz BB para obtener XX 22 XX 22 = AA XX 11 + BB

16 Fórmulas Recursivas 4) Evaluar convergencia: a) si cualquiera de xx ii kk+11 xx ii kk > εε, ir al paso 5 b) si todos xx kk+11 ii xx kk ii εε, ir al paso 6 5) Evaluar el contador de iteración: a) si kk < kkkk, incrementar kk a 1 y regresar al paso 3 b) si kk kkkk, ir al paso 7 6) Salida por convergencia. Escribir las soluciones: xx ii = xx kk+11 ii (ii = 11, nn) 7) Salida. Escribir "El programa no pudo converger en kkkk iteraciones".

17 Fórmulas Recursivas Método de Gauss-Seidel 0) Entrada de datos: nn, número de ecuaciones; kkkk, máximo número de iteraciones; ee, criterio de convergencia; matriz aumentada [AA, BB]. 1) Dividir el renglón i de las matrices [AA, BB] entre a ii (a ii 0) aa iiii = aa iiii ; bb aa ii = bb ii ; (ii = 11, nn; jj = 11, nn) iiii aa iiii 2) Inicializar contador de iteración kk = 11. Inicializar los valores de xx 11 ii = (ii = 11, nn) 3) Calcular las iteraciones sucesivas xx kk+11 ii usando la siguiente fórmula computacional: ii 11 xx kk+11 ii = aa ii,nn+11 aa iiii xx kk+11 jj jj=11 nn jj=11+11 aa iiii xx jj kk ; (ii = 11, nn)

18 Fórmulas Recursivas 4) Evaluar convergencia: a) Si cualquiera de xx ii kk+11 xx ii kk > εε, ir al paso 5 b) Si todos xx kk+11 ii xx kk ii εε, ir al paso 6 5) Evaluar el contador de iteración: a) Si kk < kkkk, incrementar kk a 1 y regresar al paso 3 b) Si kk kkkk, ir al paso 7 6) Salida por convergencia. Escribir las soluciones: xx ii = xx kk+11 ii (ii = 11, nn) 7) Salida. Escribir "El programa no pudo converger en kkkk iteraciones".

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27 Problemas 1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales manualmente por cada uno de los siguientes métodos: a) Matriz inversa b) Método de Cramer c) Método de Gauss-Jordan d) Método de Montante 3xx + 5yy + 6zz = 7 2xx + 4yy 3zz = 17 4xx 6yy + 2zz = 4 La solución del sistema de ecuaciones es (2, 1, -3)

28 Problemas 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales manualmente por cada uno de los siguientes métodos, considerando como valores iniciales (0, 0, 0). Se puede hacer uso de una tabla en Excel: a) Método de Jacobi (error de convergencia 0.1) b) Método de Gauss-Seidel (error de convergencia 0.01) 3xx + yy + zz = 13 2xx + 7yy + zz = 21 xx + 4yy 6zz = 5 La solución del sistema de ecuaciones es (3, 2, 1)

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