Dr. Horacio Martínez Alfaro Centro de Sistemas Inteligentes

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1 Material de apoyo al curso Dr. Horacio Martínez Alfaro Centro de Sistemas Inteligentes Tecnológico de Monterrey Campus Monterrey Agosto de

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3 y Álgebra Lineal Material de apoyo al curso Este material fue realizado por: Dr. Horacio Martínez Alfaro Centro de Sistemas Inteligentes Tecnológico de Monterrey Campus Monterrey en L A TEXε y con ayuda del Fondo de Investigación en Didáctica. Agosto de 199 Últimas correcciones: Agosto de 6 iii

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5 Índice 1. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Arreglos y Matrices Definiciones Matrices Cuadradas: Tipos especiales Operaciones con matrices Determinantes Inversa Método de Gauss-Jordan Muestra del Método con un Ejemplo Método de Montante Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Métodos iterativos MétododeJacobi Método de Gauss-Seidel Vectores Vectores en el plano Vectores en el espacio Independencia lineal Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 9.1. Introducción Método de Euler Métodos de Runge Kutta Runge Kutta Segundo Orden Runge Kutta Cuarto Orden Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Espacio de Estado Algoritmo de Runge Kutta para Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Splines Cúbicos v

6 vi

7 Capítulo 1 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 1.1. Arreglos y Matrices Definiciones Una matriz A de n m es un arreglo rectangular de nm elementos distribuidos en un orden de n renglones y m columnas como se muestra a continuación: a 11 a 1 a 1... a 1m a 1 a a... a m A = (1.1).... a n1 a n a n... a nm A un conjunto de elementos horizontal se le conoce como renglón y a uno vertical, columna. Elprimer subíndice designa el número de renglón y el segundo, el número de columna. El elemento a 11 se localiza en la esquina superior izquierda de A. LamatrizA tiene n filas y m columnas, por lo tanto, se dice que es de dimensión (n m). Las matrices con dimensión de uno en filas, n =1,sonvectores renglón yelprimersubíndice se puede eliminar: b = [ ] b 1 b b... b m (1.) y cuando la dimensión de columnas es uno, m = 1, se les llama vectores columna y el segundo subíndice se puede eliminar: c 1 c c = (1.). Al conjunto de elementos a ii (subíndice igual) de una matriz se le conoce como diagonal principal. Las matrices cuadradas (n = m) son particularmente importantes en la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Para tales sistemas, el número de ecuaciones (que corresponde al número de filas) y el número de incógnitas (que corresponde al número de columnas) tienen que ser iguales para que exista una posible solución única. 1 c n

8 Definición 1.1 (Transpuesta) Sea A =[a ij ] una matriz de (n m), entonceslatranspuesta de A, A T, es la matriz de (m n) obtenida intercambiando los renglones por las columnas de A, esdecir,a T =[a ji ]. En otras palabras, si a 11 a 1 a 1m a 1 a a m A =......, (1.) a n1 a n a nm entonces a 11 a 1 a n1 a 1 a a n A T = a 1m a m a nm Por ejemplo, obtener la transpuesta de la siguiente matriz: A = 1 A T = (1.) Algunas propiedades Propiedad 1. (A T ) T Propiedad. (AB) T = A = B T A T Propiedad. (A + B) T = A T + B T Propiedad. Si det (A), entonces (A T ) 1 =(A 1 ) T Matrices Cuadradas: Tipos especiales Una matriz simétrica es aquella en que a ij = a ji para todo i y j, es decir, A T = A. es una matriz simétrica de orden ( ). A = 1 1 (1.6) 8 Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero. A = a 11 a (1.) a Una matriz identidad es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 1 I = 1 1 (1.8) 1

9 Una matriz triangular superior es una donde todos los elementos abajo de la diagonal principal son iguales a cero a 11 a 1 a 1 a 1 U = a a a a a (1.9) a Una matriz triangular inferior es una donde todos los elementos arriba de la diagonal principal son iguales a cero. a 11 L = a 1 a a 1 a a (1.1) a 1 a a a Operaciones con matrices La adición algebraica de matrices se lleva acabo elemento a elemento y es conmutativa: c ij = a ij ± b ij = b ij ± a ij (1.11) y asociativas: a ij +(c ij + b ij )=(a ij + c ij )+b ij (1.1) La multiplicación de una matriz A por un escalar α se obtiene multiplicando cada elemento de A por α. La multiplicación de dos matrices, A y B, solo se puede realizar cuando se cumple la restricción que el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Ladimensión de la matriz resultante es como se muestra (los superíndices indican dimensión): A (n m) B (m p) = C (n p) (1.1) Si las dimensiones de las matrices involucradas son compatibles, la multiplicación de matrices es asociativa (AB)C = A(BC) (1.1) y distributiva A(B + C) =AB + AC (1.1) pero, en general, la multiplicación no es conmutativa AB BA (1.16) El orden de la multiplicación es importante. La multiplicación de dos matrices A (n m) B (m p) = C (n p) queda defina como: m c ij = a ik b kj, i =1,...,n y j =1,...,p (1.1) k=1 Es decir, cada fila de A por cada columna de B se multiplicarán para obtener C. Ejemplo 1.1 Obtenga los productos AB y BA con A = 1 y B =

10 Solución y C = AB 1(9) + () + () 1() + (6) + (9) 1(1) + (1) + (6) = (9) + () + () () + (6) + (9) (1) + (1) + (6) (9) + 1() + 1() () + 1(6) + 1(9) (1) + 1(1) + 1(6) = D = BA 9(1) + () + 1() 9() + () + 1(1) 9() + () + 1(1) = (1) + 6() + 1() () + 6() + 1(1) () + 6() + 1(1) (1) + 9() + 6() () + 9() + 6(1) () + 9() + 6(1) = Las operaciones anteriores realizadas con Maple quedarían como sigue: > A:=Matrix([[1,,],[,,],[,1,1]]): > B:=Matrix([[9,,1],[,6,1],[,9,6]]): > A. B, B. A; Aún cuando la multiplicación es posible, la división de matrices no es una operación definida. Sin embargo, si una matriz A es cuadrada y no singular, existe una matriz A 1, llamada la inversa de A: AA 1 = A 1 A = I (1.18) De aquí que la multiplicacíon de una matriz por la inversa es análoga a la división. Unos de los requisitos para que exista la inversa de una matriz es que sea no singular. Esta característica se basa en la obtención del determinante de una matriz, A ; si A =, la matriz es singular; si A, la matriz es no singular Determinantes 1. Si A =[a] es una matriz de 1 1, entonces det (A) = A = a.. Si [ ] a b A = det (A) = A = ad bc (1.19) c d Para matrices de orden mayor, se utiliza la definición mediante cofactores.. El menor M ij es el determinante de la submatriz de (n 1) (n 1) de una matriz A de (n n) suprimiendo la i-ésima fila y la j-ésima columna. Por ejemplo, el menor M, de la siguiente matriz se obtiene al calcular el determinante de la matriz resultante de eliminar el renglón y la columna =1() () = 8

11 . El cofactor A ij asociado con M ij se define como A ij =( 1) i+j M ij. Del ejemplo anterior, el cofactor A, sería: A, =( 1) + ( 8) = 8. El determinante de una matriz A de (n n), donde n>1, está dadoyaseapor o n det (A) = a ik A ik para cualquier i =1,...,n (1.) k=1 n det (A) = a kj A kj para cualquier j =1,...,n (1.1) k=1 Ejemplo 1. Calcule por cofactores el determinante de la siguiente matriz A = 1 Solución Expandiendo por cofactores en la tercera columna, tenemos: A = =(8+) (6 + ) + (6 ) = 69 La forma general estaría dada por: A = a k A k = a 1 A 1 + a A + a A k=1 Expandiendo por cofactores en el segundo renglón, tenemos: A = = ( ) + (1 + ) (6 + ) = 69 Propiedades Propiedad 1. Si cualquier renglón o columna de A es el vector cero, entonces det (A) =. Propiedad. Si el i-ésimo renglón o la j-ésima columna de A se multiplican por una constante c, entonces det (A) se multiplica por c, es decir: det (B) = a 11 a 1 a 1n a 1 a a n... ca i1 ca i ca in... a n1 a n a nn = c a 11 a 1 a 1n a 1 a a n... a i1 a i a in... a n1 a n a nn = c A (1.)

12 Propiedad. Si A, B y C son idénticas excepto por la j-ésima columna y la j-ésima columna de C es la suma de las j-ésimas columnas de A y B. Entonces, det (C) =det(a)+det(b). Propiedad. Si se hace un intercambio de renglones o columnas de A, entonces el determinante de esa nueva matriz es A. Propiedad. Si A tiene dos renglones o columnas iguales, det (A) =. Propiedad 6. Si un renglón (columna) de A es un múltiplo constante de otro renglón (columna), entonces det (A) =. Propiedad. Si un múltiplo de un renglón (columna) de A se suma a otro renglón (columna) de A, el determinante no cambiará. Teorema 1.1 Sea A (n n),entonces Teorema 1. Sean A, B (n n),entonces det (A) =det(a T ) (1.) det (AB) = det(a)det (B) (1.) Existe una serie de métodos numéricos para la obtención del determinante de una matriz, dentro de los cuales podemos mencionar: Gauss-Jordan Montante Inversa La inversa de una matriz A, denominada A 1, calculada mediante cofactores: A 1 = Adj(A) A (1.) donde Adj(A) = [Cofac(A)] T. Ejemplo 1. Para la matriz del ejemplo anterior, encuentre su inversa. Solución Encontramos primero la matriz de cofactores: A 1,1 = = A 1, = 1 = 19 A 1, = 1 = 1 A,1 = = 16 A, = 1 = 1 A, = 1 = 11 A,1 = = 11 A, = = 1 A, = = 1 es decir, Cofac(A) =

13 para ahora obtener la adjunta, transponemos la matriz de cofactores: Adj(A) = [Cofac(A)] T = Finalmente, la inversa de A es: A 1 = Para comprobar los resultados, podemos realizar la pre o posmultiplicación de A por A 1 : AA 1 = A 1 A = I 1.. Método de Gauss-Jordan El método de Gauss-Jordan se auxilia de operaciones fundamentales en renglones de matrices. Estas operaciones son las siguientes: 1. Multiplicación de una fila (columna) por un escalar ( ).. Intercambio de dos renglones (o columnas).. Reemplazo del renglón i porlasumadelrenglón i más c veces el renglón k, donde c es cualquier escalar y k i. El objetivo general lo podemos representar mediante una matriz aumentada de la siguiente manera: [ ] Transf. Elem. A I = [ I A ] 1 = [ I C ] (1.6) y en el proceso se obtiene tanto la inversa de A (A 1 ), como el determinante de A ( A ). El algoritmo es el siguiente: Realizar lo siguiente para i =1..n donde n es el orden de la matriz. Normalizar el renglón i diviendo el renglón i por el elemento a i,i. Hacer ceros sobre la columna i mediante la tercera operación fundamental en matrices. Para mayor entendimiento del método, se explicará con el siguiente ejemplo Muestra del Método con un Ejemplo Se tiene la siguiente matriz A = (1.) 6 y se desea obtener su inversa. Para lograrlo, se genera la matriz aumentada con A yconi: A u = (1.8) 6 1

14 y deseamos obtener I en el lado izquierdo y A 1 en el lado derecho de la matriz aumentada: (1.9) Definimos las matriz A y la aumentada: > with(linearalgebra): > A:=Matrix([[-,,8],[1,-6,-8],[-,,6]]): > Au:=<A IdentityMatrix()>: Definimos el pivote como el elemento de la diagonal principal de A (a ii, i =1,...) con el cual estamos trabajando. Una vez que se haya guardado el pivote, normalizar el renglón donde se encuentra > d:=1; piv:=au[1,1]; d:=d*piv; Au:=RowOperation(Au,1,1/piv); d =1, piv =, d = A u = (1.) A u = (1.1) Seleccionar el primer elemento, comenzando en el primer renglón, que se encuentre sobre la columna del pivote y que sea distinto de éste; multiplicar el renglón del pivote por ese elemento con signo cambiado y sumárselo al renglón donde se encuentra dicho elemento. Para nuestro ejemplo, el primer elemento en la columna del pivote y distinto de éste es el elemento Au[,1] ylaoperación sería r r r 1 (1): > Au:=RowOperation(Au,[,1],-Au[,1]); A u = (1.) El siguiente elemento en la misma columna del pivote es el elemento Au[,1] cuya operación sería r r r 1 ( ): > Au:=RowOperation(Au,[,1],-Au[,1]); 8

15 A u = (1.) 1 Continuamos con el siguiente elemento sobre la diagonal principal, el elemento Au[,], y se normaliza ese renglón con la operación r r /( ): 1 1 A u = 1 1 (1.) 1 > piv:=au[,]; d:=d*piv; Au:=RowOperation(Au,,1/piv); A u = piv =, d = (1.) Repetir el proceso de selección de elementos en la nueva columna del pivote (columna ). El primer elemento en esa columna es el elemento Au[1,]; elrenglón del pivote se multiplica por este elemento con signo cambiado y se le suma al renglón de ese elemento r 1 r 1 r ( ): > Au:=RowOperation(Au,[1,],-Au[1,]); A u = (1.6) El siguiente elemento en la columna del pivote y distinto de éste es el elemento Au[,] cuya operación sería r r r ( ): > Au:=RowOperation(Au,[,],-Au[,]); 1 A u = (1.) El nuevo pivote es el siguiente elemento de la diagonal principal, el elemento Au[,] y se normaliza ese renglón r r /( ): > piv:=au[,]; d:=d*piv; Au:=RowOperation(Au,,1/piv); 9

16 1 A u = 1 piv =, d = (1.8) Se seleccionan los elementos sobre la columna del pivote (uno a la vez) y se realiza el proceso antes mencionado; la primera operación sería r 1 r 1 r ( ): 1 A u = 1 > Au:=RowOperation(Au,[1,],-Au[1,]); A u = y la segunda operación sería r r r ( ): 1 1 > Au:=RowOperation(Au,[,],-Au[,]); A u = (1.9) (1.) (1.1) La inversa de la matriz A se encuentra en la parte derecha de la matriz aumentada. Como se puede observar, en la parte izquierda de esta misma matriz se encuentra la matriz identidad. > Ainv:=Au[1..,..6]; A 1 = (1.) Ejemplo 1. > A:=Matrix([[-,,6],[,,-],[-9,-,-9]]): > Au:=<A IdentityMatrix()>; A u =

17 Solución > d:=1; piv:=au[1,1]; d:=d*piv; Au:=RowOperation(Au,1,1/piv); d =1, piv =, d =, A u = > Au:=addrow(Au,[,1],-Au[,1]); A u = > Au:=RowOperation(Au,[,1],-Au[,1]); A u = > piv:=au[,]; d:=d*piv; Au:=RowOperation(Au,,1/piv); piv =, d =, A u = > Au:=RowOperation(Au,[1,],-Au[1,]); A u = > Au:=RowOperation(Au,[,],-Au[,]); A u =

18 > piv:=au[,]; d:=d*piv; Au:=RowOperation(Au,,1/piv); piv = 1, d = 8, A u = > Au:=RowOperation(Au,[1,],-Au[1,]); A u = > Au:=RowOperation(Au,[,],-Au[,]); Au[1..,..6]; A u = Método de Montante Ejemplo 1. Dada la matriz A, generar la matriz aumentada: > A:=Matrix([[-,,8],[1,-6,-8],[-,,6]]); > Au:=<A IdentityMatrix()>; A = Au = Solución Iniciar haciendo el pivote anterior igual a 1, piv a =1. Los siguientes pivotes se irán obteniendo sobre la diagonal principal de la matriz aumentada. 1

19 El primer pivote es el elemento piv = Au 1,1 =. Una vez seleccionado el pivote, se desea hacer ceros en la columna del pivote (ceros arriba y abajo de él). El primer elemento donde se desea hacer un cero es A u,1 que se encuentra en el renglón k =. Este elemento lo almacenamos como cero k, cero = Au,1 = 1. El procedimiento para sustituir el renglón k donde se encuentra cero k (el pivote en el renglón i) esel siguiente: r k [(piv r k ) (cero k r i )] /piv a (1.) Para nuestro caso, tenemos: r [(( ) r ) (1 r 1 )] /1 (1.) > pa:=1: Au:=Montante(Au,1,,pA); A u = El procedimiento termina con cero = Au,1 =. > Au:=Montante(Au,1,,pA); 8 1 A u = Con lo anterior se terminan los elementos sobre la columna de piv (la columna 1) donde se desea tener ceros. Ahora el pivote anterior toma el valor del pivote actual, pa = piv, y el pivote actual se mueve al siguiente elemento sobre la diagonal principal: piv = Au, = 6. Ahora se desea hacer ceros arriba (Au 1, )yabajo (Au, )delpiv, es decir en la columna. Comenzamos con el renglón 1: cero 1 = Au 1,. > pa:=au[1,1]: Au:=Montante(Au,,1,pA); A u = Ahora cero = Au, = y realizamos la sustitución de su renglón: 1

20 > Au:=Montante(Au,,,pA); A u = Con lo anterior se terminan los elementos sobre la columna de piv (la columna ) donde se desea tener ceros. Ahora el pivote anterior toma el valor del pivote actual, pa = piv, y el pivote actual se mueve al siguiente elemento sobre la diagonal principal: piv = Au, = 1. Ahora se desea hacer ceros arriba (Au 1, )yabajo (Au, )depiv, es decir en la columna. Comenzamos con el renglón 1: cero 1 = Au 1, : > pa:=au[,]: Au:=Montante(Au,,1,pA); Ahora cero = Au, = 8 y realizamos la sustitución de su renglón: > Au:=Montante(Au,,,piv); Para terminar, actualizamos el pivote anterior: pa = piv = 1 multiplicamos la matriz por su inverso, para así obtener la matriz identidad en donde estaba A, y la inversa, A 1 en donde estaba la identidad. El pivote anterior guarda el valor del determinante de A, enestecasodet(a) =1. > piv:=au[,]; Au:=evalm(1/piv*Au); Ejemplo 1.6 > Au := augment(a,id); A u =

21 Solución > piv:=1; Au:=montrows(Au,1,,piv); Au:=montrows(Au,1,,piv); piv =1, A u = A u = > piv:=au[1,1]; Au:=montrows(Au,,1,piv); Au:=montrows(Au,,,piv); piv =, A u = A u = > piv:=au[,]; Au:=montrows(Au,,1,piv); Au:=montrows(Au,,,piv); piv =, A u = A u = > piv:=au[,]; Au:=evalm(1/piv*Au); piv = 8, A u =

22 1.. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales Para resolver un sistema de ecuaciones de la forma: E 1 : a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 E : a 1 x 1 + a x + + a n x n = b..... E n : a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n para x 1,...,x n dados los a ij para cada i, j =1,...,n y b i para cada i =1,...,n, utilizaremos los métodos de Gauss-Jordan y Montante vistos anteriormente. Para aplicar estos métodos, necesitamos expresar el sistema de ecuaciones lineales como un sistema matricial de dimensión n (n + 1). Primero construimos: a 11 a 1 a 1n a 1 a a n A =......, x = a n1 a n a nn x 1 x. x n y b = b. y así podemos expresar el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial: Ax = b para después combinar las matrices A y b, y formar la matriz aumentada a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b [A b] = a n1 a n a nn b n Una vez generada esta matriz, se aplica el método, Gauss-Jordan o Montante, de igual forma que cuando se desea obtener la inversa. Cuando se termina de aplicar el método, la solución al sistema de ecuaciones estará enlaúltima columna (la n + 1) de la matriz aumentada. Ejemplo 1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x 1 + x + x = 9, x 1 + x x =, x 1 + x x = 9. b 1 b n Solución Obtenemos las matrices: para formar la matriz aumentada A = 1 1 y b = [A b] =

23 Aplicando el método de Montante, obtenemos: y multiplicando la matriz por 1/ A = 1/( ), tenemos: de donde la última columna indica la solución al sistema de ecuaciones x = Métodos iterativos Método de Jacobi Las fórmulas de recursión para el método iterativo de Jacobi se desarrollarán al resolver tres ecuaciones en tres incógnitas. La fórmulas de recursión para resolver n ecuaciones en n incógnitas se obtienen mediante extensión directa. Si el sistema de ecuaciones algebraicas a 11 x 1 + a 1 x + a 1 x = b 1 a 1 x 1 + a x + a x = b (1.) a 1 x 1 + a x + a x = b tiene elementos de la diagonal a ii (i =1,, ) distintos de cero, entonces se puede reescribir de la forma: x 1 = (1/a 11 )[b 1 a 1 x a 1 x ] x = (1/a )[b a 1 x 1 a x ] x 1 = (1/a )[b a 1 x 1 a x ] (1.6) 1

24 esto es, hacer que en la i-ésima ecuación la variable x i quede expresada en términos de las restantes variables y b i. Se puede establecer un procedimiento iterativo para resolver estas ecuaciones de la siguiente forma: 1. Escoger valores arbitrarios x 1, x, x,(x ), y sustituir estos valores para x 1, x, x en el lado derecho de la ecuación 1.6. Los valores que se obtienen después de realizar los cálculos son los nuevos valores de x 1 1, x 1, x 1,(x 1 ).. Estos valores de x 1 se pueden sustituir en lado derecho de la ecuación 1.6 para producir los valores x del lado izquierdo. o en forma matricial: x 1 = (1/a 11 )[b 1 k a 1 x a 1 x k ] x = (1/a )[b k a 1 x 1 a x k ] x 1 = (1/a )[b k a 1 x 1 k a x ] x 1 a 1 a x 11 a 1 11 = a 1 a a x a 1 a a x 1 k k x + k a x k =, 1,... (1.) b 1 a 11 b a b a (1.8) Ejemplo 1.8 Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales x 1 + x +x = 16 x 1 +x + x = 1 x 1 +x +x = 1 Solución El sistema se puede expresar de la siguiente manera: x 1 = 1/ x k 1/ x k + x = 1/ x k 1 1/ x k +1/ x = 1/ x 1 / x + 1 y en forma matricial: x 1 x x = 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ / x 1 k x k x k + 1/ 1/ Las primeras iteraciones se muestran a continuación comenzadon con x = como solución inicial: k = x 1 1 1/ 1/ 1 x = 1/ 1/ + 1/ = 1/ 1 x 1/ / 1/ 1/ k =1 x 1 x = x 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ / 18 1/ + 1/ = 9/ 18/1 1/ 1/ /1

25 k = k = x 1 x = x x 1 x = x 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ / 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ / 9/ 18/1 /1 1/ /9 9/1 + 1/ = 1/ /9 1/ 9/1 + 1/ = 661/18 6/ 1/ 1/ Con Maple se podría hacer de la siguiente forma, si definimos Ap como la matriz modificada de coeficientes y bp el vector modificado de valores independientes: > Ap:=evalf(Matrix([[, -1/, 1/],[-1/,,-1/],[-1/,-/,]])); > bp:=evalf(<<>,<1/>,<1/>>); > x:=<<1.>,<1.>,<1.>>; > x1:=x - x; > X:=Transpose(x1): > nx:=[norm(x1-x,)]: > for i to 1 while Norm(x1-x,) >.1 do > x := x1; > x1 := Ap. x + bp; > nx := [op(nx), Norm(x1-x,)]; > X := <X, Transpose(x1)>; > end do: > i,<nx[..1]>, X[..1,1..]; 9, ,

26 Si la solución iterativa continúa, la aproximación converge a la solución exacta (,,1) y su convergencia se puede observar en la figura Figura 1.1: Convergencia de la solución por Jacobi Una condición suficiente para la convergencia del método de Jacobi para n ecuaciones en n incógnitas es la siguiente: max 1 a ij < 1, i =1,...,n. (1.9) i a ii j i Dado que es una condición suficiente, no necesaria, el método de Jacobi puede converger cuando 1.9 no se satisface Método de Gauss-Seidel Este método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales es una modificación simple al método de Jacobi. El método hace uso inmediato de los valores de x i quesehayancalculadoincluyéndolos en los cálculos de las siguientes x i+1 : x 1 = 1 [ a11 b1 a 1 x k a 1 x k a 1n x ] k n x = 1 [ a b a 1 x 1 a x k a n x ] k n x = 1 [ a b a 1 x 1 a x a n x ] k n (1.) x n. = 1 [ a bn nn a n1 x 1 a n x a n,n 1 x ] n 1 La condición 1.9 aplica también para este médoto. La taza de convergencia de este método es dos veces la del método de Jacobi.