Ejercicios sobre cálculo de complejidad

Transcripción

1 Ejercicios sobre cálculo de complejidad 20 de noviembre de Calcula el número de pasos que realiza cada uno de los siguientes segmentos de código. Después, expresa el coste asintótico de cada uno de ellos. a) j=k-2; i=j*12; printf("%d\n",i); b) for (i=0;i<n;i++) printf("%d\n",i); c) for (i=0;i<10;i++) printf("%d\n",i+j); d) for (i=0;i<100;i++) q=i+j; e) for (i=0;i<n;i++) for (k=0;k<n;k++) { q=i+j*k; printf("%d\n",q); f ) for (i=1;i<=n;i++) { printf("%d\n",i); for (j=n;j>0;j--) for (k=0;k<n-10;k++) q=i+2j*k; 1

2 g) for (i=0;i<n;i++) acum+=a[i][j]; k=0; while (k<n) { acum-=k; k++; h) i=1; while (i*i<n) i++; i) i=n; while (i>0) { printf("%d",i); i/=2; 2. Demuestra las siguientes relaciones: a) 17 O(1) b) n(n 1)/2 O(n 2 ) c) 3n + log n O(n) d) 3n + log n O(log n) e) 3n + log n Ω(n) f ) n + 2n O(n) g) n + 2n O( n) 3. Demuestra las siguientes relaciones encontrando los valores n 0 y c tales que cumplen la definición de O grande. Elige los valores mínimos, en el sentido que n 0 1 y c, o n 0 y d < c no cumplan la relación. a) n 2 es O(0,001n 3 ) b) 25n 4 19n n 2 106n + 77 es O(n 4 ) c) 2 n+10 es O(2 n ) d) n 10 es O(3 n ) 2

3 4. Indica el número de veces que se ejecutan los siguientes bucles, en función de a, b y c: a) for (i=a;i<=b;i++) b) for (i=a;i>=b;i--) c) for (i=a;i<=b;i+=c) d) i=a; while (a<b) {i++; 5. Desarrolla los siguientes sumatorios: a) d) g) i b) i=3 i=1 j=1 1 e) n 2 + n 2 h) i=0 n 2 i c) i=3 n 1 3i f) i=0 j=0 i=0 j=0 m ij i) 2 i=0 1 (n + i) 2 i=1 i + i=1 n(n + 1) 2 6. Dada la siguiente definición de tipos de datos, que implementa el tipo número complejo, vector de números complejos y matriz cuadrada de números complejos : typedef struct { float real,comp; TComplejo; typedef TComplejo VTComp[NVmax]; typedef TComplejo MTComp[NMmax][NMmax]; a) Implementa las siguientes funciones: void sumavc(vtcomp A, VTComp B, int tam); void sumamc(mtcomp A, MTComp B, int tam); void multiplicamc(mtcomp A, MTComp B, MTComp C, int tam); donde tam indica en el primer caso el número de elementos del vector y en el segundo y tercero la dimensión de la matriz cuadrada (tam tam). La función sumavc calcula la suma vectorial de A y B, almacenando el resultado en A. La función sumamc hace lo mismo, pero con matrices. La función multiplicamc calcula el producto matricial de A y B, almacenando el resultado en C. 3

4 b) Calcula la complejidad asintótica de ambas funciones. 7. Según el Principio de encasillamiento (o pigeonhole), si una función f tiene n entradas distintas, pero tiene menos de n salidas distintas, entonces existen dos entradas a y b tal que a b y f(a) = f(b). Escribe un programa para encontrar un par de elementos de entrada a y b tal que func(a) = func(b), donde func es una función que puedes llamar y que recibe como parámetro un número entero entre 1 y N, y devuelve números menores que N. Estudia el coste asintótico para el mejor y el peor de los casos. 8. Implementa una función que, dada una cadena de caracteres, encuentre el número máximo de caracteres que separan dos caracteres iguales (entre dichos caracteres no puede aparecer otro igual). Por ejemplo, dada la siguiente cadena: A B C A B E F G A la función debería devolver 5 ( ojo! la respuesta NO es 8). Calcula la complejidad asintótica para el caso peor. 9. Dada la siguiente función, indica una talla que describa el tamaño del problema, y aporta las cotas asintóticas del coste de la función en los casos peor y mejor. int Factores2(int n) { int i; i=0; while (n%2 == 0) { n=n/2; i++; return i; 10. Calcula el coste computacional del siguiente segmento de código: if (A[1][1]==0) for (i=0;i<n;i++) A[i][j]=0; else 4

5 for (i=0;i<n;i++) A[i][i]=1; 11. Dado el siguiente segmento de código: for (i=0;i<n-1;i++) { small=i; for (j=i+1;j<n;j++) if (A[j]<A[small]) small=j; temp=a[small]; A[small]=A[i]; A[i]=temp; qué hace sobre el vector de enteros A? Calcula el coste computacional del algoritmo. 12. Calcula el coste asintótico de los siguientes algoritmos que imprimen una cadena al revés (Nota: ten en cuenta el coste de strlen): a) N = strlen(word); for (i = 0; i < N; i++) printf("%c", word[n-i-1]); b) for (i = 0; i < strlen(word); i++) printf("%c", word[strlen(word)-i-1]); 13. Dado un vector de N números reales, encuentra el par de elementos que tienen el valor más alejado entre sí. Impleméntalo con un algoritmo de coste lineal. 5

6 14. Dada la siguiente función: func(int n) { int limite, j, k; limite=1; j=1; while (j<=n) { k=1; while (k<=limite) { k++; printf("k incrementado a %d\n",k); j++; limite=limite+limite; printf("j incrementado a %d\n",j); a) Cuántas veces se comprueba la condición del primer while si n vale 1? b) Cuántas veces escribe la función j incrementado a... si n vale 5? c) Cuántas veces se comprueba la condición del primer while, en función de n? d) Cuántas veces escribe la función k incrementado a... para n igual a 2? e) Cuántas veces se comprueba la condición del segundo while si n vale 5? f ) Cuál es el valor máximo que toma la variable k durante la ejecución de func(5);? g) Cuántas veces escribe la función k incrementado a..., en función de n? 6