Modelación n Matemática tica y Computacional Aplicada al Diseño Óptimo de Redes de Monitoreo del Agua Subterránea Graciela Herrera Zamarrón Instituto de Geofísica, UNAM 25 de septiembre de 2009
Créditos George Pinder, University of Vermont Joe Guarnaccia, Ciba Geigy Yingqi Zhang, Lawrence Berkeley National Laboratory Edgar Yuri Mendoza, Instituto Mexicano de tecnología del Agua Jessica Briseño Ruiz Hugo Júnez Ferreira Roel Simuta Champo Estudiantes de doctorado Facultad de Ingeniería, UNAM
Guía a de la presentación Redes de monitoreo del agua subterránea Diseño óptimo de redes de monitoreo Diseño o de redes de monitoreo con modelos estocásticos sticos Caso diseño o de red de calidad del agua para el acuífero Toms River Redes de monitoreo basadas en geoestadística stica Desarrollos en proceso para diseño o de redes de monitoreo basados en modelos estocásticos sticos
Redes de monitoreo Sistemas de prevención n contra la sobreexplotación n y contaminación n del agua subterránea En trabajos de saneamiento de acuíferos sistema para verificar la efectividad de los métodos Monitoreo de los niveles del agua (cantidad del agua) la calidad del agua
Diseño o de redes de monitoreo del agua subterránea Consiste en la elección n de sitios y frecuencia de monitoreo Métodos geohidrológicos gicos Sitios en los que se diseña a una red por primera vez Sitios en los que aún a n no se han presentado problemas de contaminación Métodos geoestadísticos sticos Sitios en los que se espera que las condiciones cambien en forma paulatina Modelos estocásticos sticos de flujo y transporte Sitios en los que se espera que las condiciones cambien en forma paulatina o en los que las condiciones cambiarán abruptamente y es necesaria la predicción
Diseño óptimo de redes de monitoreo Se requiere optimizar algún n criterio para elegir las posiciones de los pozos y/o las frecuencias de monitoreo Minimizar incertidumbre de estimación costo
Pasos en el diseño o de una red de monitoreo óptima Estudio hidrogeológico gico del acuífero Modelo conceptual del acuífero Estudio hidrogeoquímico del acuífero Entendimiento de la problemática de calidad del agua del acuífero Revisión n en campo de los pozos que pueden conformar la red de monitoreo Establecer objetivos de la red de monitoreo Optimización n de la red de monitoreo Traducir objetivos en términos t matemáticos ticos Diseño o de la red de monitoreo Evaluación n de la red de monitoreo Criterios hidrogeológicos gicos Criterios de calidad del agua Validación n estadística stica Seguimiento, evaluación n y modificación n de la red de monitoreo
Método para la optimización de redes de monitoreo de la calidad del agua subterránea (1998) Programa de cómputo GWQ-Monitor Método de Herrera y Pinder Desarrollado en mi tesis doctoral Propósito: Diseño óptimo espacio-temporal de redes de monitoreo de calidad del agua subterránea Métodos: Implementa método propuesto en mi tesis doctoral Diseño óptimo de redes de monitoreo de calidad del agua subterránea Lenguaje Fortran Cuenta con una interfaz gráfica en ArgusONE desde 2001 Modelación Modelo estocástico de flujo y transporte Estimación - Filtro de Kalman Optimización - Método de adiciones sucesivas
Propósito de las redes de monitoreo Estimar el valor de la variable de interés s y su evolución n en los pozos de monitoreo Con base en datos en estos pozos, estimar la variable en puntos y tiempos en dónde d no se ha medido El monitoreo de las variables se requiere por un tiempo largo
Métodos de diseño Estimación Variables de decisión Espacio Tiempo Espacio y tiempo Tesis doctoral (1998)
Método de Herrera y Pinder Tres procedimientos 1) Predice la incertidumbre de la estimación de la variable cuando se muestrea en posiciones dadas 2) Utiliza esta predicción de la incertidumbre como criterio para escoger las posiciones y en su caso los tiempos de muestreo, los cuales definen la red de monitoreo y su programa de muestreo 3) Calcula una estimación de la variable a analizar y la actualiza con datos disponibles
Predicción n de la incertidumbre cuando se muestrea en posiciones dadas (Método de estimación)
Métodos utilizados Modelo estocástico stico de flujo y transporte Análisis geoestadístico stico Filtro de Kalman
Ecuaciones para modelar el flujo Ecuación n en 3D del agua subterránea x K x h x + y K y h y + z K z h z = S s h t R h -carga hidráulica K x -conductividad hidráulica (capacidad del medio para conducir agua) -almacenamiento específico (depende de la elasticidad del medio) Ss R -fuentes o sumideros (extracción n de agua por pozos)
Ecuación n de transporte de solutos con advección n y dispersión x D x c x V x c + y D y c y V y c + z D z c z Vzc = c t V 1 = ( K θ x h x, K y h, K y z h ) z c V x D x θ - concentración n del soluto - velocidad efectiva - dispersión n hidrodinámica (depende características medio poroso) - porosidad
Resolución n de las ecuaciones Solución n analítica para problemas simples Métodos numéricos Diferencias finitas Elemento finito
Modelo estocástico stico de flujo y transporte Parámetros aleatorios Conductividad hidráulica Concentración n de la variable en la fuente del contaminante Resolución n de las ecuaciones Simulación n estocástica stica o Monte Carlo
Simulación n estocástica stica Obtener realizaciones de los parámetros aleatorios Resolver el modelo de flujo y de transporte para cada realización Calcular la distribución n probabilística o los estadígrafos relevantes de las concentraciones
Filtro de Kalman Proporciona una estimación n lineal sin sesgo y de varianza mínima m del estado de un sistema utilizando datos con ruido Establece un método m secuencial para actualizar las estimaciones cuando se proporcionan datos nuevos, sin necesidad de hacer referencia a datos anteriores
Fórmulas del filtro de Kalman Variable a estimar C, datos Ecuación n de muestreo z = H C + n n v n Ecuaciones para la actualización Cˆ ˆ ( z H Cˆ ) n+ 1 = Cn + K n+ 1 n+ 1 n+ 1 z n P k = E ( C Cˆ )( C Cˆ ) { } T R = k { C / z } C ˆ = E,..., k 1 z k E k T { v v } k k k Pn + 1 = Pn K n+ 1H n+ 1 K P n ( T ) H P H R 1 T n+ 1 = Pn H n+ 1 n+ 1 n n+ 1 + n+ 1 Requiere de una estimación inicial para C y la matriz de covarianza del error de esta estimación
Cálculo de la matriz de covarianza inicial En el método m de Herrera y Pinder la matriz se calcula para todas las posiciones y tiempos de estimación n o monitoreo Modelo estocástico stico de flujo y transporte Parámetros aleatorios: conductividad hidráulica y contaminación n en la fuente de contaminante Caracterizados con un análisis geoestadístico stico Resolución n de las ecuaciones Simulación n estocástica stica o Monte Carlo
Puntos de estimación n y de monitoreo T1 T2 T3 X 4 Posibles pozos de monitoreo X 4 Puntos de estimación
Matriz de covarianza espacio-temporal 5X5 Matriz de covarianza espacial 5X5 C1 C1-C2 C1-C3 X 1 σ 1 2 X 2 σ 2 2 C2-C1 C2 C2-C3 X 3 X 4 σ 3 2 σ 4 2 C3-C1 C3-C2 C3 X 5 σ 2 5 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5
Selección n de las posiciones y los tiempos de muestreo
Métodos utilizados Método de estimación n del paso 1 Optimización n con método m de adiciones sucesivas
Función n objetivo Varianza en los puntos de estimación n sumada sobre todas las posiciones y tiempos de estimación Matriz de covarianza del filtro de Kalman X 4 Posibles pozos de monitoreo X 4 Puntos de estimación
Método de optimización de adiciones sucesivas La estrategia de monitoreo se construye secuencialmente Se elige un sitio espacio-temporal de monitoreo a la vez, el sitio seleccionado en cada paso es aquél que minimiza la variancia total La búsqueda se realiza por inspección completa de todos los posibles pozos Hay que definir un criterio para determinar el número total de pozos
Cálculo de la estimación de la variable
Métodos Modelo estocástico stico Filtro de Kalman
Estimación Se toma la media espacio-temporal de la variable calculada con la simulación estocástica stica Se actualiza con datos usando el Filtro de Kalman
Resultados
Protocolo Análisis Geoestadístico 1.- Análisis geoestadístico stico para obtener mediante simulación n secuencial gaussiana realizaciones de conductividad hidráulica Configuración en ARGUS-ONE del modelo determinista Simulación Secuencial Gaussiana SGSIM 2.- En la interfaz gráfica del Princeton Transport Code (PTC), se configura el modelo determinista de flujo y/o transporte Configuración de la red de monitoreo en ARGUSONE 3.- En la interfaz gráfica del GWQMonitor se configura el diseño o de la red de monitoreo,, se corre el modelo estocástico stico con las realizaciones de conductividad, se genera la matriz de covarianza en espacio y tiempo, y se ponderan las posiciones de monitoreo propuestas 3.- + Postprocesamiento y validación 4.- Se realiza el post-procesamiento procesamiento,, se propone el número total de pozos a incluir en la red de monitoreo y se valida la red propuesta Redes de Monitoreo Piezométricas y/o de Calidad del Agua POZOS DE MONITOREO 1.- 2.- 4.- 5.- CONTAMINANTE SUBSUELO 5.- Diseño o de la red óptima de monitoreo AGUA SUBTERRANEA PLUMA
Aplicación n para probar el métodom Sitio del superfondo de la EPA de los EUA Localizado en el estado de Nueva Jersey Contaminante Clorobenceno (CB) Un sistema de saneamiento funciona en el sitio desde 1985 Propósito optimizar la red para un periodo de once meses Seleccionar posiciones y tiempos de monitoreo Minimizar la incertidumbre en dos zonas de riesgo en octubre de 1986
Área de estudio Parque Pine Lake Parque ecuestre N Parque Winding River Parque Industrial Límite de la Propiedad Parque Winding River Comunidades de Retirados Ruta 37 Residencial Manchester Residencial Manchester propiedad de Ciba Residencial/Conservation Residencial/Conservation propiedad de Ciba Residencial R-90 y R-150 Comercios de la Carretera Rural Industrial 1 =2000 ft. Industrial Propiedad de Ciba 0 500 1000 1500 2000 Area Oak Ridge
Modelo conceptual Nueve miembros geológicos gicos Arenas no consolidadas, limos, y arcillas Contaminantes detectados en las primeras cinco unidades geológicas gicas Grosor aproximado [pies] 50 30 30 10 30 10 zona vadosa agua colgada arcilla capas del modelo 1 2 3 4 5 6 7 redirección zona saturada (Acuífero de Arena Superior) fuente de agua de precipitación fuente de agua de la zona vadosa fuente de agua de la zona colgada Cohansey Primario escurrimiento infiltración Transición Cohansey/Kirkwood Cohansey Inferior Kirkwood Superior Kirkwood No. 1 Pozo de bombeo Río Toms
Dominio y malla del modelo
62 pozos Posibles pozos de monitoreo
Red de monitoreo y número n de muestras Red óptima 23 pozos 40 muestras 1 2 Red original 322 muestras de 62 pozos Reducción en costo del 87% 1 1 2 1 1 2 1 3 1 11 7 11 2 1 2 3 3 1 1
Número de muestras por tiempo 7 6 5 Número de muestras 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Tiempo de muestreo
Necesidades Reducir tiempo de cómputoc mputo Método de estimación n de parámetros para el modelo estocástico stico Incluir costo en la función n objetivo
Desarrollos Posteriores
Método geoestadístico stico Tesis maestría a Hugo JúnezJ Adaptación n del método m a problemas sin modelo Matriz Matriz de covarianza de error de la estimación n espacial obtenida por análisis geoestadístico stico Diseño o de redes de monitoreo para varios parámetros Aplicaciones Acuíferos: Irapuato Valle (2004), Querétaro (2004), Pátzcuaro (2006, 2007), Chalco-Amacameca, Zona Metropolitana de la Ciudad de México M y Texcoco (2008), Acuíferos somero y profundo de San Luis Potosí (2006-2009) 2009) Otros autores 5 acuíferos de Chihuahua
Desarrollos actuales método m geoestadístico stico Tesis doctoral Edgar Yuri Mendoza (terminada) Método geoestadístico stico espacio-temporal Tesis doctoral Hugo JúnezJ Diseño óptimo redes de monitoreo espacio temporales
Desarrollos modelación estocástica stica Tesis Yingqi Zhang (dirigida por el Dr. Pinder) Método Latin Hypercube Sampling en 3D (para reducir tiempo de cómputo) c Optimización n algoritmo genético con posibilidades de incluir costo Función n objetivo para estimar las tendencias de concentraciones en algunos pozos
Desarrollos actuales modelación estocástica stica Tesis doctoral Jessica Briseño Modificación n para diseño o de redes de la cantidad del agua Método de estimación n de parámetros para el modelo estocástico stico
Método de estimación n de parámetros para el modelo estocástico stico Filtro de Kalman Aplicado a la matriz de covarianza de la concentración aumentada con la conductividad hidráulica y la carga hidráulica Matriz de covarianza H-lnK-C H H-ln K H-C ln K-H ln K ln K-C C-H C-ln K C
Matriz de covarianza de H-lnK-C Método propuesto para la estimación de parámetros Con datos de K Análisis geoestadístico ln K y su semivariograma ln K, H, C, matriz de covarianza de H-lnK-C como parámetros a priori Datos de ln K, H y C Realizaciones de ln K Modelo estocástico de flujo y transporte Filtro de Kalman Realizaciones de H y C Cálculo de H, ln K, C, y matriz de covarianza de H-lnK-C en espacio y tiempo ln K actualizada
Caso de estudio Estimación de parámetros de un modelo estocástico de flujo y transporte. Este caso de estudio se basa en una representación simplificada del acuífero de Querétaro. Se considera un derrame en la zona centro del Valle de Querétaro. Suponemos que el derrame se tiene una fuente constante de emanación de 1 y se dispersa durante 50 años en los cuales no tenemos datos. Posteriormente, consideramos que el segundo periodo se cuenta con datos de ln K, H, y C en algunos puntos cada 6 meses. Modelo completo 8073 nodos 15860 elementos
Modelo reducido Condiciones de frontera Se establecieron como condiciones de frontera de carga asignada a la media de las 4000 realizaciones de H Matriz de covarianza
Convergencia de las realizaciones de H, ln K y C Modelo completo Datos de convergencia de las matrices de covarianza de H, ln K y C Gráficas de convergencia de las matrices de covarianza de H, C y ln K Modelo reducido Datos de convergencia de las matrices de covarianza de H, ln K y C Gráficas de convergencia de las matrices de covarianza de H, C y ln K
Comparación de los modelos (completo vs reducido) Comparación de la media de H del modelo Completo vs. Reducido Caso EM ECM Min Err Max Err Modelos C vs R 0.00144 0.00015-0.02420 0.02130 Comparación de la estimación de H del modelo completo vs. reducido en las estimaciones con el filtro de Kalman en los casos de estudio. Estimación de H EM ECM Min Err Max Err Caso A 0.11355 0.05459-0.33000 0.49300 Caso B 0.12600 0.02464-0.05900 0.29400 Caso C -0.09742 0.01511-0.20700 0.08900
3 2 2 4 1 6 BAJA CALIFORNIA NTE BAJA CALIFORNIA SUR 1 1 2 1 1 2 SONORA CHIHUA HUA DURANGO NAYARIT COLIMA 1 0 4 ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA SINALOA JA LIS CO 1 0 4 COAHUILA ZA C A TE C A S AGS GTO SLP NUEVO LEÓN QRO HGO MÉX MI C H D.F. MOR PUEBLA GUERRERO 9 6 TAMAULIPAS OA X A CA GOLFO DE MÉXICO 9 6 TABASCO CHIAPAS CAMPECHE 8 8 YUCATAN 8 8 3 2 2 4 QUINTA NA ROO BELIZE 1 6 GUATEMALA HONDURA S EL SALVADOR Avances Estimación de parámetros de un modelo estocástico de flujo. Si ln K y Cov ln K son correctas, empleando el filtro de Kalman, se estimó el ln K, con datos de ln K y H. El campo distribuido de ln K estimado tiene poco error aunque el efecto de los datos de H en la estimación es reducido. LOCALIZACIÓN GENERAL Norte Area de Estudio Qto. Michoacan Norte Guanajuato Queretaro Edo. de México San Luis Potosi Hidalgo Si ln K y Cov ln K no son correctas Se requiere estimar K y Cov K, con las cuales al realizar la estimación n de parámetros se logré menor error, y que hagan que el FK de resultados apropiados.
Desarrollos actuales modelación estocástica stica Tesis doctoral Roel Simuta Método Latin Hypercube Sampling en 3D Optimización n algoritmo genético y comparaciones con método m secuencial Extensión n al muestreo en 3D
Error en la covarianza del ln K (2D) 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 RECM LHS_axy=2500 LHS_axy=672 SGS_axy=2500 SGS_axy=672 Número de realizaciones
Error en la covarianza del ln K (3D) 0.12 0.1 0.08 RECM 0.06 LHS_axyz=2500 LHS_axyz=672 SGS_axyz_2500 SGS_axyz=672 0.04 0.02 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Número de realizaciones
Desarrollos futuros Paralelización n del programa de cómputoc Unificar los métodos m todos geoestadístico stico y de modelación