1. Conteste razonadamente a las siguientes preguntas: a) Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento? b) Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de la energía potencial entre dos puntos? Res. a) No, la fuerza de rozamiento es una fuerza disipativa y la energía potencial sólo se define para fuerzas conservativas. Entendemos por función de energía potencial, aquella que nos permite calcular el trabajo que realizará determinada fuerza (conservativa) con independencia del camino seguido, por ser esta función exclusiva de la posición del cuerpo. Es decir, para poder asociar una energía potencial a una fuerza, ésta ha de ser conservativa, de manera que el trabajo que realice esta sea independiente de la trayectoria seguida y por tanto el trabajo en una trayectoria cerrada tendrían que ser nulo. Esto no ocurre con la fuerza de rozamiento, para la que al actuar a lo largo de una trayectoria cerrada siempre arrojaría un trabajo negativo al actuar en cada instante en oposición al movimiento del cuerpo. b) Realmente la energía potencial, como también ocurra con la cinética, es relativa. Ambas dependen del punto de referencia tomado, de modo que se miden por comparación con la referencia tomada. Así es más coherente hablar de variación de energía potencial entre dos puntos, que hacerlo como algo absoluto. Por ejemplo, cuando calculábamos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria o eléctrica utilizamos una integral, en las que aparecen constantes arbitrarias. Gracias a esta arbitrariedad, podemos definir el nivel de referencia que nos interese. Así, tomábamos como origen de energías potenciales gravitatorias el infinito, aunque también se podía definir una expresión de energía potencial que arrojase un valor cero para la energía potencial gravitatoria sobre la superficie del planeta, por ejemplo. 2. a) Haciendo uso de consideraciones energéticas, determine la velocidad mínima que habría que comunicar a un objeto de masa m, situado en la superficie de un planeta de masa M y radio R, para que saliera de la influencia del campo gravitatorio del planeta. b) Se desea que un satélite se encuentre en una órbita geoestacionaria. Con qué período de revolución y a qué altura debe hacerlo? G = 6,67 10-11 Nm 2 kg -2 ; M T = 5,98 10 24 kg. Res. a) Un objeto de masa m se escapa de la zona de influencia de un campo gravitatorio generado por un planeta de masa M cuando su energía total (energía mecánica) se anula ya que la energía de los objetos que se encuentran bajo la influencia de un campo gravitatorio es negativa.
Como el objeto se encuentra sobre la superficie de un planeta de masa M y radio R, su energía potencial gravitatoria tiene un valor de: E p = - GMm / R De modo que la E c que hay que aportar es exactamente esa, pero con signo contrario para que su suma se anule. E c + E p = 0 => E c = -E p = - (-GMm / R) = GMm / R ½ mv 2 = GMm / R => v e = 2GMm / R b) Un satélite ocupa una órbita geoestacionaria cuando siempre se encuentra en la misma posición sobre la vertical de la Tierra luego su período coinciden con el de la Tierra. T = 24 h = 24 h 3.600 s / 1h = 86.400 s De la tercera ley de Kepler se deduce la relación entre el valor del período con el radio de la órbita. La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centrípeta necesaria para que el satélite describa una órbita circular: F g = F c GM T m / r 2 = mv 2 / r De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital: v = GM T / r, y utilizando la ecuación que relaciona el período con el radio orbital, T = 2π r / v, y operando llegamos a la expresión matemática de la tercera ley de Kepler. v 2 = GM T / r T 2 = 4π 2 r 2 / v 2 => T 2 = 4π 2 r 2 / (GM T / r) = 4π 2 r 3 / GM T Despejando r y sustituyendo datos, tenemos: r = [(GM T / 4π 2 ) T 2 ] 1/3 = [6,67 10-11 Nm 2 kg -2 5,98 10 24 kg (86.400 s) 2 / 4π 2 ] 1/3 = 4,23 10 7 m. A partir de la relación GM T = g 0 R 2 T podemos calcular el radio de la Tierra y a continuación la altura. R T = GM T /g 0 = 6,67 10-11 Nm 2 kg -2 5,98 10 24 kg / 9,81 ms -2 = 6 1 377.000 m Como H = r - R T = 4,23 10 7 m - 6 1 377.000 m = 35 1 923.000 m = 35.923 km.
3. Un bloque de 2 kg se encuentra sobre un plano horizontal, sujeto al extremo de un muelle de constante elástica k = 1.500 N m -1, comprimido 20 cm. Se libera el resorte de manera que el cuerpo desliza sobre el plano, adosado al extremo del resorte hasta que éste alcanza la longitud de equilibrio, luego continua moviéndose por el plano. El coeficiente de rozamiento es 0,2. a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar a lo largo del movimiento del bloque y calcule su velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio del resorte. b) Determine la distancia recorrida por el bloque hasta detenerse. g = 10 ms -2. Res. a) La energía potencial elástica que posee el muelle al estar comprimido se invierte en incrementar la energía cinética del bloque y en realizar trabajo para vencer las fuerzas de rozamiento (fase A). A partir de la posición de equilibrio del resorte (posición cuando no esta deformado), la energía cinética que el cuerpo posee se irá perdiendo, se invertirá en trabajo contra la fuerza de rozamiento hasta que el bloque quede en reposo (segunda fase B): Posición Posición Posición inicial de equilibrio de reposo x = 0 x 0 = 0,2 m x = d v = 0 v 0 = v máx. V f = 0 --------- ------------------------ Primera fase A. De acuerdo con el Principio de Conservación de la Energía. E p elástica = W rozamiento + E c bloque ½ k (Δx) 2 = μmg Δx cosα + ½ mv 2 máx. ½ 1.500 Nm -1 (0,2 m) 2 = 0,2 2 kg 10 ms -2 0,2 m cos 180 0 + ½ 2 kg v 2 máx. 30 = 0,08 + v 2 máx. => v máx =. 30-0,08 = 5,40 ms -1.
Segunda fase B. Teniendo en cuenta que toda la energía potencial elástica quedará finalmente disipada por el rozamiento, según el Principio de Conservación de la Energía, podemos escribir: E p elástica = W rozamiento ½ k (Δx) 2 = μmg d cosα ½ 1.500 Nm -1 (0,2 m) 2 = 0,2 2 kg 10 ms -2 d cos 180 0 30 = 4 d => d = 30 / 4 = 7,5 m. 4. Un satélite artificial de 400 kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie terrestre. A dicha altura el valor de la gravedad es la tercera parte del valor en la superficie de la Tierra. a) Explique si hay que realizar trabajo para mantener el satélite en órbita y calcule su energía mecánica. b) Calcule el período orbital del satélite. g = 9,81 ms -2 ; R T = 6,4 10 6 m. Res. a) - No hay que realizar trabajo. Cuando un satélite artificial se desplaza alrededor de la Tierra a lo largo de una línea equipotencial, como sucede en el caso que nos ocupa: órbita circular, el trabajo realizado sobre el satélite viene determinado por la variación que experimenta la energía potencial entre dos puntos A y B. Si esos dos puntos pertenecen a la misma línea equipotencial, querrá decir E p (A) = E p (B). En consecuencia, el trabajo será nulo. - Otra forma de resolver esta cuestión es calcular la integral curvilínea (que representa el trabajo que se realiza sobre el satélite a través de la linea cerrada de su órbita circular) siguiente: W = F dr. Esta integral va a valer cero porque F (fuerza gravitatoria que es una fuerza central) es perpendicular en cada punto al vector desplazamiento elemental dr. Por tanto, W = F dr = F dr cos 90 0 = 0.
Calculo de su energía mecánica. Antes de calcular la energía mecánica debemos calcular el radio orbital del satélite. Sabemos que g a esa altura vale ⅓ de g 0. Como g = GM T /r 2 y sabiendo que GM T = g 0 R 2 T obtenemos: g = g 0 R 2 T /r 2, sustituyendo el dato de g. ⅓ g 0 = g 0 R 2 T / r 2 => ⅓ = R 2 T / r 2 => r = 3 R T = 1,73205R T La energía mecánica asociada al sistema satélite artificial-tierra viene dada por: E m = - ½ GM T m /r, teniendo en cuenta que GM T = g 0 R 2 T, podemos escribir la expresión de la energía mecánica de la forma: E m = - ½ g 0 R 2 T m / r = - ½ g 0 R 2 T m / 3 R T = - ½ g 0 R T m / 3 = = - ½ 9,81 ms -2 6,4 10 6 m 400 kg / 3 = - 7,25 10 9 J. b) El período viene dado por: T = 2π r / v, debemos calcular en primer lugar la velocidad orbital. La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra origina la fuerza centrípeta necesaria para que el satélite describa una órbita circular: F g = F c GM T m / r 2 = mv 2 / r De donde obtenemos la velocidad lineal u orbital: v = GM T / r = g 0 R 2 T / r = g 0 R 2 T / 1,73205 R T = g 0 R T / 1,73205 = = 9,81 ms -2 6,4 10 6 m / 1,73205 = 6.021 ms -1 Sabiendo la velocidad orbital, calculamos el período del satélite. T = 2π r / v = 2π r / v = 2π R T / v = 2π 3 6,4 10 6 m / 6.021 ms -1 = = 11.568 s = 3,21 h.