ÍÆÁÎ ÊËÁ ÀÁÄ ÍÄÌ Á Æ Á Ë ËÁ Ë Å Ì ÅýÌÁ Ë È ÊÌ Å ÆÌÇ Á Æ Á Ë Ä ÇÅÈÍÌ Á Æ ËÇÄÍ Á Æ ÇÆËÍÄÌ Ë ÇÅÈÄ Â Ë Æ ÍÆ Æ Á Ì ÌÇ ÇÅÈÊÁÅÁ Ç È ÊÇ Á Æ ÁÇ ÅÇÊ Ä Ë ËÌÁÄÄÇ ÇÅÁËÁ Æ ÅÁÆ ÇÊ ÄÁ Á ÁÇÆ Ë ÆÇÌ Ò o µ Ä ÌÊ Ëµ ÁÊÅ ÈÊÇ ËÇÊ Í Ëʺ ÇÆ ÄÇ Æ Î ÊÊÇ ÈÊÇ ËÇÊ Ç¹ Í Ëʺ Ä Í ÁÇ ÍÌÁ ÊÊ ÈÊÇ ËÇÊ ÁÆÌ Ê ÆÌ Ëʺ ÁÇÆÁËÁÇ ÇÆ ýä ÆÇÌ ÁÆ Ä Å Æ Ì ÌÍÄÇ Å ÅÇÊÁ È Ê ÇÈÌ Ê Ä Ì ÌÍÄÇ ÁÆ ÆÁ ÊÇ ÁÎÁÄ Æ ÇÅÈÍÌ Á Æ Ë ÆÌÁ Ç ÀÁÄ ÊÁÄ ¾¼¼
Ê ÙÑ Ò ÙØ ÚÓ ØÙ ÐÑ ÒØ Ð ÒÚ Ø Ò Ò Ð Ö Ò ÔÙÒØ Ö Ù Ö Ð Ô Ó ÕÙ Ù Ò Ø ØÖÙØÙÖ º ØÓ ÓÖ Ò ÐÓ ÙØ Ò ÓÑÔÖ Ñ Ó ÕÙ Ñ Ù Ö Ñ ÒÓ Ô Ó ÕÙ ÙÒ Ò ØÖ ÓÒ Ð ÒÓ Ö ÕÙ Ö Ò ÙÒ ÓÔ Ð Ø ÜØÓ ÔÓÒ Ð ÔÙ ÔÙ Ö ÙÔ Ö Ö Ô ÖØ Ö Ð Ò º ØÓ Ò ÐÓ ÔÖÓÚ Ò ÕÙ Ü Ø Ô ØÖÓÒ º Ø ØÖ Ó Ø ØÙÐÓ ØÙÚÓ ÓÑÓ Ó Ø ÚÓ Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ö ÙÒ ÙØÓ Ò ÓÑÔÖ Ñ Ó Ô Ö ÔÓ Ö Ö Ð Þ Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ò ÑÓ Ö Ð ØÖÙØÙÖ Ð Ò º ÈÓÖ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÒØ Ò Ð ÔÓ Ö Ù Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò Ô ÖÑ Ø Ò Ó k ÖÖÓÖ Ò Ð ÓÙÖÖ Ò Ø º Ä Ø Ò Ð Ù Ð Ô ÖØ ÓÒ Ö Ð Ô ØÖ Ò Ò k+1 Ô ÖØ º ÙÒ Ø Ô ÖØ Ù Ò Ð Ò Ý ÔÙ Ú Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò ÓÖ Ò Ð ÓÑÔÐ ØÓº Ð Ò Ð Ó Ù Ð Ä ¹ Ò Ü Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑÔÖ Ò Ú¹Ä ÑÔ Ðº Ë Ó Ø Ò ÔÓÖÕÙ ÔÓÖ Ù Ó Ô ÖÑ Ø Ö ÙÔ Ö Ö Ð Ø ÜØÓ ÙÒ Ð Ñ Ò Ö Ö Ô º Ë ÖÖÓÐÐ ÖÓÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÒØ Ò Ú Ð ÓÑÔÐ Ù Ò Ó Ö Ù Ö ÐÓ Ø ÑÔÓ ÕÙ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ù ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ò ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ º ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÓÒ Ñ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ó ÔÖÓÔ Ô Ð Ä ¹ Ò Üº Ò ÐÑ ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÓÒ Ñ ÓÖ Ò Ð Ô ÖØ Ò Ð Ô ØÖ Ò Ð Ù Ð Ý Ö Ò ÓÒÓ Ô ÖÓ ÙÐØ Ò ÒÓØ Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ä ¹ Ò Üº ÄÓ Ö ÙÐØ Ó ÓÑÔ Ö ÖÓÒ ÓÒØÖ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ñ ÑÓ Ñ ØÓ Ó Ó Ö ÙÒ ÙØÓ Ò Ñ Ð Ó Ð Å¹ Ò Ü Ó Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÖÖÓÛ ¹Ï Ð Öº ÄÓ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ö Ð Þ ÖÓÒ Ó Ö Ù ØÖÓ ÓÐ ÓÒ Ø ÜØÓ Ø ÒØÓ Ø ÔÓ Ý Ø Ñ Ó º ÄÓ Ö ÙÐØ Ó ÑÙ ØÖ Ò ÕÙ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ð Ä ¹ Ò Ü ÑÔÖ Ñ Ö Ô ÕÙ Ð Ö Ð Þ Ó Ö Ð Å¹ Ò Üº ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÑÔ Ö Ò ÓÒ ÕÙ Ù Ò Ð ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÓÒ Ñ Ð Ö ÓØÖÓ ÕÙ Ñ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ º È Ö Ø ÜØÓ ÑÙÝ Ô ÕÙ Ó ÒÓ Ú Ð Ð Ô Ò Ò Ü Ö ÔÙ Ð ÕÙ Ù Ò Ð ÑÔÖ Ñ Ö Ô º Ò Ð Ö ØÓ ÐÓ Ó Ô Ö ÖÖÓÖ Ø ÙÒ 10 % Ð Ð Ö Ó Ð Ô ØÖ Ò Ù Ö Ð ÕÙ Ò Ü Ñ Ö Ô ÕÙ Ù ÓÒØÖ Ô ÖØ Ó Ö Ø ÜØÓ ÔÐ ÒÓº Ñ ÕÙ ÙÑ ÒØ Ð ÔÓÖ ÒØ ÖÖÓÖ Ð ÑÔ Ó Ú Ø Ö ÓÖ Ò Ó Ø Ð ÔÙÒØÓ ÕÙ Ô Ö ÙÒ 20 % ÖÖÓÖ ÑÔÖ Ö ÙÐØ Ñ Ö Ô Ó Ð ÕÙ Ù Ò Ðº Ð Ö Ò Ó ÖÖÓÖ Ò Ö ÓÖ Ð 20 % Ð ÒØ Ö ÒØ Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ð ÔÐ ÓÒ º
Ò Ò Ö Ð ½º ÁÒØÖÓ Ù Ò ½º½º Ç Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º½º Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º¾º Ô Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÒ ÔØÓ Ó ¾º½º ÕÙ Ò Ø ÜØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½º ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º ØÖÙØÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º½º ÌÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º¾º ÌÖ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º º ýö ÓÐ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º º ÖÖ ÐÓ Ù Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º ÓÑÔÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º½º ÒØÖÓÔ ÑÔ Ö ÙÒ Ø ÜØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º¾º ÓÑÔÖ Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º º ÓÑÔÖ Ò ÓÒ ÓÒ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º º ÓÑÔÖ Ò Ú¹Ä ÑÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÌÖ Ó Ê Ð ÓÒ Ó ½ º½º Ź Ò Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾º ËÙ Ü ÖÖ Ý ÓÑÔÖ Ñ Ó Ë µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º º Ä ¹ Ò Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º½º ØÖÙØÙÖ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾º ÕÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º º ÆÓØ Ó Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
º ÖÖÓÐÐÓ ¾ º½º ÓÒ ÔØÓ Ò Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ØÓÖ Þ Ò Ó Ú Ö ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ÇÔØ Ñ Þ Ò Ð Ô ÖØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ó Ö ÓØÖÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ê ÙÐØ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ¾ º ÓÒÐÙ ÓÒ º½º ÌÖ Ó ÙØÙÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
Ô ØÙÐÓ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ò ÓÒ Ð ÐÐ Ð ÓÑÙÒ ÓÒ Ø Ð Ö Ò Ý ÑÔÖ Ö ÒØ ÚÓÐ Ñ Ò ØÓ ÒÙ ÒØÖ Ò ÔÓÒ Ð Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò Ò ÐÓ Ñ Ú Ö Ó ÓÖÑ ØÓ º ÅÙ Ó ØÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò Ð Ø ÜØÓ ÔÐ ÒÓ Ù Ñ ÓÖ ÓÖÑ ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÑÓ ÓÒ ØÓ Ó Ö ÒÓÑ Ý ÔÖÓØ Ò Ó Ù ÒØ ÔÖÓ Ö Ñ Ý Ð ÓØ Ø Ð ÔÓÖ Ñ Ò ÓÒ Ö Ð ÙÒ º È Ö ÙÒ ÙØ Ð Þ Ò Ð ØÓ Ò Ô Ò Ð Ð Ù Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ý ØÖÙØÙÖ ÒØ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò ÜØÖ Ö Ò ÓÖÑ Ò Ñ ÒØ ÓÒ ÙÐØ Ý ÕÙ º Ò Ø Ñ ØÓ ÕÙ ÖÖÓÐÐ Ð ÕÙ Ò Ø ÜØÓ Ý Ð Ò Ü Òº ÈÓÖ ÕÙ Ò Ø ÜØÓ ÒØ Ò Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÒ Ô ØÖ Ò Ý ÙÒ Ø ÜØÓ ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ð ÔÓ ÓÒ Ò Ð Ø ÜØÓ ÓÒ ÒÙ ÒØÖ Ð Ô ØÖ Òº È Ö Ø Ø Ö Ü Ø Ò Ú Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ º Ò ÐÓ Ñ ÑÔÐ Ö ÓÖÖ Ù Ò ÐÑ ÒØ ØÓ Ó Ð Ø ÜØÓ Ò Ù ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ý Ò ÐÓ Ñ Ð ÓÖ Ó ÐÓ Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ÔÙ Ô Ö Ö ÐØ Ö Ð ÙÒÓ Ö Ø Ö Ð Ø ÜØÓ Ò Ó Ð Ö Ú Ò Ñ Ö Ô º Ò Ü Ø Ò ÓÐ ÓÒ ØÓ Ô Ö Ð Ù Ð Ø ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ ÓÒ Ñ Ó Ð ÒØ Ý Ó Ð Ø Ñ Ó Ð ÓÐ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÙÐØ ÕÙ Ò Ø Ö Ð Þ Òº È Ö Ø ØÙ ÓÒ Ò Ö Ó ÖÖÓÐÐ Ö ÓÐÙ ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö º Ä Ò Ü Ò ÙÖ ÓÑÓ Ö ÔÙ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ Ü Ö ÓÒ Ø Ò Ö Ö ØÖÙØÙÖ Ô Ö Ø ÒØ Ò ÐÓ ØÓ Ü Ø ÒØ º Ø Ò Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÓÒ ÙÐØ Ñ Ö Ô Ó Ò Ð Ò Ø Ò Ö ÕÙ Ö Ú Ö Ð ÓÐ Ò Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ Ø º ÍÒÓ ÐÓ ÑÔÐÓ Ñ ÔÓÔÙÐ Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ö ÙÔ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÓÒØÖ ÑÓ Ò Ð Ò ÒÚ ÖØ Óº Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ò Ó Ô Ö Ô ÖÑ Ø Ö ÕÙ ÑÙÝ ÒØ Ô Ð Ö Ý Ù Ò Ô Ð Ö Ö µ ÓÒ Ð Ú ÒØ ÓÒ Ð ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò ÑÙÝ ÔÓÓ Ô Óº ÍÒ Ù
ÔÐ ÓÒ Ñ ÓÒÓ ÓÑÓ Ò ÐÓ ÑÓØÓÖ ÕÙ Ï º Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ø Ó Ö ÕÙ Ö ÔÓ Ö Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ò Ô Ð Ö Ð Ó ÕÙ ÒÓ ÑÔÖ ÔÓ Ð º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Æ Ý Ð ÔÖÓØ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÓÖ Ò Ö Ø Ö Ò Ô Ö ÓÒ Ý Ò ÙÒ Ú Ò Ð Ö º Ì ÑÔÓÓ ÔÐ Ð ÐÓ Ø ÜØÓ Ò Ð Ò Ù ÓÖ ÒØ Ð ÓÑÓ ÓÒ Ð ÔÓÒ ÒÓ Ý ÓÖ ÒÓ Ý Ò ØÓ Ñ º È Ö ØÓ ÙÖ Ò ÐÓ Ò Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÓÒ ÔÙ Ù Ö ÔÓÖ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ð Ø ÜØÓº Ò Ò Ö Ð ØÓ ÐÓ Ö ÐÑ Ò Ò Ó ØÓ Ó ÐÓ Ù Ó Ð Ø ÜØÓ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÙÒ ÐØÓ Ù Ó Ñ ÑÓÖ º ÑÔÐÓ ØÓ Ò ÓÒ Ð Ö ÓÐ Ù Ó Ý Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó º Ð Ù Ó Ñ ÑÓÖ ØÓ Ò ÐÓ ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÒÙØ Ð Þ Ð ÓÒ ÓÐ ÓÒ Ø ÜØÓ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ò º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÙÒ Ø ÜØÓ ½ ÝØ µ ÔÓ Ö ÓÙÔ Ö Ò ÙÒ ÖÖ ÐÓ Ù Ó Ø ¾¼ Ò ÙÒ Ö ÓÐ Ù Ó º Ð Ú Ö ÕÙ ØÓ Ö Ô Ñ ÒØ Ô Ð Ñ ÑÓÖ ÔÓÒ Ð ÒÐÙ Ó Ò Ø Ñ ØÙ Ð º ØÓ ÙÑ ÕÙ ÒÓ Ü Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ ÓÒ ÒØ Ø ØÖÙØÙÖ Ô Ö Ù Ù Ó Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö Ý ÕÙ Ò Ü Ø Ö Ò Ô Ö Ö Ð ÒØ Ó Ð Ò Ü Ò ÔÙ ØÓ ÕÙ ÐÓ Ó Ó ÓÒ Ö Ò Ñ Ò ØÙ Ñ Ð ÒØÓ ÕÙ ÐÓ Ó Ñ ÑÓÖ º Ø Ò ÓÖ Ò ÐÓ Ò Ù ÒØÓ º Ä Ø ØÖÙØÙÖ ÔÓ Ö Ñ ÒÙ Ö Ð Ô Ó ÙØ Ð Þ Ó Ñ ÒØ Ò Ò Ó Ð Ò ÒØÖÓ Ñ Ö Ò ÔØ Ð º ÓÑÓ ÖÖÓÐÐ Ð ÓÒ ÔØÓ ØÖÙØÙÖ ÓÔÓÖØÙÒ Ø ÕÙ ÕÙ ÐÐ ÙÝÓ Ù Ó Ô Ó Ñ ÒÙÝ Ð ÒØÖ ÓÑÔÖ Ð º Ø Ñ ÒÙ Ò Ó Ø Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ø ÚÓ Ò Ð ÑÔ Ó Ð ÓÒ ÙÐØ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ò ÓÒØ Ò Ó ÓÒ Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Ò Ö Ó Ö Ö Ú Ö Ð Ø ÜØÓ Ò Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ó Ú Ö Ö Ð Ò Ð º ØÓ Ö Ô ÖÙØ Ñ Ò Ö Ò Ø Ú Ò Ð ÑÔ Ó Ò Ð Ð ÓÐÙ Òº ÓÑÓ Ö ÔÙ Ø ØÓ ÖÖÓÐÐ ÖÓÒ ÐÓ ÙØÓ Ò ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò ÕÙ Ñ ÓÒØ Ò Ò Ð Ø ÜØÓ ÕÙ Ò Ü Òº Ø Ñ Ò Ö ÒÓ Ò Ö Ó Ö Ó ÙÒÕÙ Ô Ö ÙÒ ÔÖ Ó Ò Ø ÑÔÓ ÓÑÔÙØ Ò Ý Ô Ó ÙØ Ð Þ Ó ÔÓÖ Ð ØÖÙØÙÖ º ÑÔÐÓ ÙØÓ Ò Ù ÒØÓ ÓÒ Ð Å¹ Ò Ü Ð Ë Ý Ð Ä ¹ Ò Ü ÕÙ Ú Ö Ò Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ó Ò ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ Òº Ó ÐÓ ÒÙ ÚÓ Ð ÒÚ Ø Ò Ò Ð Ö ÕÙ ØÓ Ò ØÙ ÐÑ ÒØ ÐÓ Ô ÖÑ Ø Ò ÕÙ Ò ÑÔÐ º Ø Ø ÔÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÐÓ ÙÒ Ô ÕÙ Ö Ò ÐÓ Ö ÕÙ Ö Ó ØÙ ÐÑ ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ö ÓÑÓ Ð ÓÐÓ
ÓÑÔÙØ ÓÒ Ð ÙØ Ð Þ Ò Ñ ÒØ Ð ÕÙ ÜÔÖ ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ý Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ º Ä ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ø Ò ÔÓ Ö ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò Ò Ð Ø ÜØÓ Ô ÖÑ Ø Ò Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ k Ö Ò ÒØÖ Ð Ô ØÖ Ò Ý Ð ÓÙÖÖ Ò º ÒØ Ö ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ü Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÒ ÕÙ ÙÒ Ö Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ø ØÖ Ø Ò Ó Ö ÓÐÚ Öº Ð ØÖ Ó Ø Ñ ÑÓÖ ÓÒ Ø Ò ØÓÑ Ö Ð Ä ¹ Ò Ü Ý Ö ÖÐ Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ô ØÖÓÒ ÓÒ Ð Ö ØÖ Ò ÕÙ ÒÓ ÑÓ Ö Ð ØÖÙØÙÖ ØÙ Ð Ð Ò Ô Ö ØÓº Ë ØÙ Ð Ò Ø ÒØ ÓÐÙ ÓÒ Ý Ð ÓÑÔ Ø Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÐÙ Ò Ù Ò Ð Ó Ö Ð Ø ÜØÓ Ò Ò Ü Öº ÂÙÒØÓ ÓÒ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ñ ÙÒ ÓÒ Ð Ò ÙÒ ÙÒ Ó ÙØÓ Ò Ù ÒØÓ ÓÑÓ Ñ Ò Ö Ú ÐÙ Ö Ð ÑÔ Ó Ð ØÖÙØÙÖ Ð ÓÒ ÒØÖÓ Ð Ñ ØÓ Ð ÕÙ Ò Ü º ½º½º ½º½º½º Ç Ø ÚÓ Ò Ö Ð Ð Ó Ø ÚÓ Ò Ð Ø ØÖ Ó Ñ ÑÓÖ Ö Ð ÑÓ ÓÒ Ò Ö Ô Ö ÕÙ Ð Ä ¹ Ò Ü ÔÙ ÓÒØ Ø Ö ÓÒ ÙÐØ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ º ½º½º¾º Ô Ó ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñ Ò Ö ÑÔÐ Ó Ö Ð Ò º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ Ó Ö Ð Ò º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ñ Ò Ö ÑÔÐ Ò ÙÒ ÙÒ Ó Ò Ô Ö Ö Ð Þ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÑÔ Ö Ø ÚÓ º ÓÒ Ù Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ Ô Ö Ú ÐÙ Ö Ð Ò Ð ÓÐÙ ÓÒ º
Ô ØÙÐÓ ¾ ÓÒ ÔØÓ Ó ¾º½º ÕÙ Ò Ø ÜØÓ Ò Ö ÑÓ Ð ÕÙ Ò Ø ÜØÓ Ó Ð Ô ØÖÓÒ ÓÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ð ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò P = p 1 p 2...p m Ò Ð Ø ÜØÓ T = t 1 t 2...t n n > m Ñ Ó Ù Ò Ö Ø Ö Ó Ö ÙÒ Ð ØÓ Σº ¾º½º½º ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÈÓÖ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÒØ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒØÖ Ö Ð ÙÒ Ô ØÖ Ò Ò Ð Ø ÜØÓ Ô ÖÑ Ø Ò Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ Ü ÑÓ k Ö Ò ÒØÖ Ð Ô ØÖ Ò Ý Ù ÓÙÖÖ Ò º È Ö ØÓ Ò Ö Ó ÙÒ ÑÓ ÐÓ ÕÙ Ò ÕÙ ÙÒ Ö Ò º Ð ÑÓ ÐÓ Ñ ÔÓÔÙÐ Ö Ð Ø Ò Ò Ó Ø Ò Ä Ú Ò Ø Ò º Ó Ø ÑÓ ÐÓ ÙÒ Ö Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÓÔ Ö Ò Ò ÕÙ ÔÙ Ö Ð Ò Ö Ò ÓÖÖ Ó Ó Ù Ø ØÙ Ò ÙÒ Ö Ø Öº Ö Ð Ø Ò Ò ÒØÖ Ó ØÖ Ò t 1 Ý t 2 ed(t 1, t 2 ) Ð Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ò Ö Ô Ö ÓÒÚ ÖØ Ö t 1 Ò t 2 Ó Ú Ú Ö º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ed( Þ Ö Ð Ö ) = 3 Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð Þ ÔÓÖ Ð Ý Ö Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ø ÜØÓº È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ü Ø Ò Ø ÒØ ÓÐÙ ÓÒ º Ê Ú Ö ÑÓ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ñ ÒØ ÙÓ ÕÙ Ü Ø Ô Ö Ø ÔÖÓÔ ØÓ Ý ÕÙ Ð Ñ Ü Ð Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ý ÙÒÓ ÐÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ ÒØ Ò Ð ÔÖ Ø Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò k + 1 Ô ÖØ
ÈÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ ÈÖ Ú Ó ÒØ Ò Ö Ð ÕÙ Ù Ò Ó Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÑÓ Ö Ú Ö ÑÓ ÓÑÔÙØ Ð Ø Ò Ò ÒØÖ Ó Ò x yº È Ö ØÓ ÐÐ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Þ M 0... x,0... y ÓÒ M i,j Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÓÔ Ö ÓÒ Ò Ô Ö ÐÞ Ö x 1...i ÓÒ y 1...j Ö M i,j = ed(x 1...i, y 1...j )º ØÓ ÓÑÔÙØ Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö M 0,0 = 0 M i,j = mín(m i 1,j 1 + δ(x i, y i ), M i 1,j + 1, M i,j 1 + 1) ÓÒ δ(a, b) = 0 a = b Ý 1 ÒÓº Ä ÜÔÐ Ò Ø ÖÑÙÐ Ð Ù ÒØ M 0,0 Ð Ø Ò Ò ÒØÖ Ó ØÖ Ò Ú Ó º È Ö Ó ØÖ Ò Ð Ö Ó i Ý j ÙÔÓÒ ÑÓ Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ ÕÙ ØÓ Ð Ø Ò ÒØÖ ØÖ Ò Ñ ÓÖØÓ Ò Ó ÐÙÐ Ý ØÖ Ø ÑÓ ÓÒÚ ÖØ Ö x 1...i Ò y 1...j º ÓÒ Ö ÑÓ ÐÓ Ö Ø Ö x i y j º Ë ÓÒ Ù Ð ÒØÓÒ ÒÓ Ò Ö Ò Ò ÙÒ ÓÔ Ö Ò Ý Ð Ó ØÓ Ð Ñ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÒÚ ÖØ Ö x 1...i 1 Ò y 1...j 1 Ö M i 1,j 1 º Ë ÓÒ Ø ÒØÓ ÒØÓÒ ÔÙ Ö ÙÒ ØÖ Ó Ö ÑÔÐ Þ Ö x i ÔÓÖ y j Ý ÓÒÚ ÖØ Ö x 1...i 1 Ò y 1...j 1 ÙÒ Ó ØÓ M i 1,j 1 + 1 ÓÖÖ Ö x i Ý ÓÒÚ ÖØ Ö x 1...i 1 Ò y 1...j ÙÒ Ó ØÓ M i 1,j + 1 Ó Ò ÖØ Ö y j Ð Ò Ð x 1...i Ý ÓÒÚ ÖØ Ö x 1...i Ò y 1...j 1 ÙÒ Ó ØÓ M i,j 1 + 1º Ô ÖØ Ö Ð Ñ ØÖ Þ ÔÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ñ ÒÓ ÔØ ÑÓ Ö ÙÒ Ù Ò Ð Ð Ñ ØÖ Þ Ó ØÓ Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ú M 0,0 M x, y º Ò Ð ÙÖ ¾º½ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÓÑÓ Ú Ö Ð Ñ ØÖ Þ Ø Ò Ò Ô Ö ed(azabar, alabarda)º ÙÖ ¾º½ Å ØÖ Þ Ø Ò Ò Ô Ö ed(azabar, alabarda)º Ä ÕÙ P Ò T Ò ÐÑ ÒØ ÐÓ Ñ ÑÓ ÕÙ ÓÑÔÙØ Ö Ð Ø Ò ½¼
Ò ÓÒ x = P Ý y = T º Ä Ò Ö Ò ÕÙ ÑÓ Ô ÖÑ Ø Ö ÕÙ Ð Ð ÓÑ Ò Ò Ù ÐÕÙ Ö ÔÓ Ò Ð Ø ÜØÓº ØÓ ÐÓ Ö ÔÓÒ Ò Ó M 0,j = 0, j 0...nº ÄÙ Ó Ö ÔÓÖØ ÓÑÓ Ð ØÓ ÔÓ Ò ÒØÖÓ Ð Ø ÜØÓ Ô Ö Ð Ù Ð M m, kº ÈÓ ÑÓ Ú Ö ØÓ Ò Ð ÙÖ ¾º¾º ÙÖ ¾º¾ ÑÔÐÓ Ñ ØÖ Þ ÕÙ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ô Ö k = 2 Ý m = 6º È ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ò k + 1 Ô ÖØ Ð ÙÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö Ñ Ò ÓÒ Ö Ù Ó Ð Ó ÕÙ Ð Ù Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò ÓÒ k ÖÖÓÖ Ø Ú Ò k +1 Ô ÞÓ ÒØÓÒ Ð Ñ ÒÓ ÙÒÓ ÐÐÓ Ô Ö Ö Ò ÖÖÓÖ Ò ÙÒ ÓÙÖÖ Ò º Ä ÒØÓÒ Ù Ö Ø Ô ÖØ ÓÒ Ð Ò Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ü Ø Ý ÐÙ Ó Ö Ú Ö Ð Ú Ò Ø ÓÙÖÖ Ò Ô Ö Ú Ö Ö Ð Ð º À Ý ÕÙ ØÓÑ Ö Ð ÓÒ Ö ÓÒ Ù Ô Ö Ú Ø Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ñ ÙÒ Ú Þ Ð Ñ Ñ ÓÙÖÖ Ò º Ä Ú Ò Ö Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ô Ö Ö Ö ØÓ Ð ÓÙÖÖ Ò º Ä ÓÙÖÖ Ò ÓÒ ÐÓ ÙÑÓ Ð Ö Ó m+kº Ë Ð Ô ÞÓ Ð Ô ØÖ Ò p i1...i 2 ÐÞ Ò Ð Ø ÜØÓ Ò Ð ÔÓ Ò t j...j+(i2 i 1 ) ÒØÓÒ Ð ÓÙÖÖ Ò ÔÙ ÓÑ ÒÞ Ö ÐÓ Ñ i 1 1+k ÔÓ ÓÒ ÒØ t j º ØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ò ÓÒ Ò Ö ÓÒ ØÓ ÔÙ Ò Ù Ö Ð ÓÑ ÒÞÓ Ð ÓÙÖÖ Ò º Ð Ú Þ Ð ÓÙÖÖ Ò ÔÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ Ñ m i 2 + k ÔÓ ÓÒ ÔÙ t j+(i2 i 1 ) ÔÙ Ó Ð Ñ Ñ ÔÖ Ñ ØÓ Ð Ò Ö ÓÒ ÔÙ Ò ØÙ Ö Ð Ò Ð Ð ÓÙÖÖ Ò º ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ò Ö Ó Ö Ú Ö Ö T j (i1 1) k...j+(m i 2 )+k Ð Ö Ó m + 2kº ½½
¾º¾º ¾º¾º½º ØÖÙØÙÖ ÌÖ ÍÒ ØÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ô Ö ÐÑ Ò Ö ØÖ Ò ÓÒ Ý ÙÒ ÒÓ Ó Ô Ö ÔÖ Ó ÓÑ Òº ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð ØÖ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÐÓ ØÖ Ò Ð Ö Ð Ð Ö Ô Ö Ô Ð Ö ÖÐ ÔÙ ÔÖ Ö Ò Ð ÙÖ ¾º º ÙÖ ¾º ÌÖ Ô Ö Ð Ô Ð Ö Ð Ö Ð Ð Ö Ô Ö Ô Ð Ö ÖÐ º È Ö Ù ÓÒ ØÖÙ Ò Ò ÖØ ØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ö Þ ÔÖÓ Ù Ò Ó ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÒÓ Ó Ò ÕÙ ÐÐ Ó ÓÒ ÓÒ Ð Ñ ÒÓ ÒÓ Ü Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÒØ Ö ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ ÔÙ Ú Ö ÙÒ ØÖ Ò Ð Ö Ó m ÒÙ ÒØÖ Ó ÒÓ Ò Ð ØÖ Ò Ø ÑÔÓ O(m)º Ë Ò Ø ØÖÙØÙÖ ÒÓ ÙÒ Ò ÖÚ Ô Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÐÓ Ò Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ñ ÔÓÔÙÐ Ö ¾º¾º¾º ÌÖ Ù Ó ÓÑÓ Ù ÒÓÑ Ö ÐÓ ÙÔÓÒ Ö ÙÒ ØÖ ÓÒ Ò ÖØ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ù Ó Ð Ø ÜØÓ ÕÙ Ò Ü Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ð ÔÓ Ò Ø Ò Ð Ø ÜØÓ ½¾
ÓÖ Ò Ðº ÍÒ ÑÔÐÓ ØÓ ÔÙ ÔÖ Ö Ò Ð ÙÖ ¾º º Ë ÐÓ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ ÙÒ Ô ÖØ Ð Ø ÜØÓ ØÙ Ð ÐÓ ÑÔÐÓ Ô Ö ÔÓ Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÒ Ø Ñ Ó Ù Ó Ô Ö ÔÐ Öº ÙÖ ¾º ÌÖ Ù Ó Ô Ö Ð Ø ÜØÓ Ô Ö Ô Ð Ö ÖÐ º Ë ÓÒ Ø Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ô Ð Ð Ø ÜØÓ Ñ ÒÓÖ Ð Ü Ó Ö Ñ ÒØ ÕÙ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ý ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ð Ð ØÓº Ð ÔÖÓÔ ØÓ ØÓ ÕÙ Ò Ò Ò Ù Ó ÔÖ Ó ÓØÖÓº Ð Ö ÙÐØ Ó ØÓ ÙÒ Ò Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ù Ö ØÓ Ð ÓÙÖÖ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ù ØÖ Ò Ð Ö Ó m Ò Ø ÑÔÓ O(m)º ØÓ ÓØÓÖ Ó ÔÓÖ Ð ØÖ º Ä ÕÙ ÙÒ Ñ ÒØ Ò ÕÙ ØÓ Ó Ù ØÖ Ò ÔÖ Ó Ð Ò Ù Óº ÕÙ Ô Ö Ù Ö ÙÒ ØÖ Ò Ò Ð Ø ÜØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÑ ÒÞ Ð Ö Þ Ý Ú Ò Ó ÔÓÖ Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ð ØÖ ÕÙ Ð Ý Ò Ð Ô ØÖ Òº Ë ÒÓ Ý ÙÒ Ó ÔÓÖ ÓÒ Ö ÒØÓÒ Ô ØÖ Ò ÒÓ Ø ÔÖ ÒØ Ò Ð Ø ÜØÓº Ð ÐÐ Ö Ð ½
ÒÓ Ó ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÐØ Ñ Ð ØÖ Ð Ô ØÖ Ò Ö ÔÓÖØ Ò ØÓ Ð ÔÓ ÓÒ Ð Ù Ö Óк Ë Ò Ð ÕÙ Ò Ø ØÖÙØÙÖ ÙÑ Ñ ÒØ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÔÖ ÒØ ÕÙ Ø Ñ Ó O(n 2 ) ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ö Ô Ñ ÒØ ØÓÖÒ ÒÑ Ò Ð º ¾º¾º º ýö ÓÐ Ù Ó ÍÒ Ö ÓÐ Ù Ó ÙÒ ØÖÙØÙÖ ÑÙÝ Ñ Ð Ö ÙÒ ØÖ Ù Ó º Ä Ö Ò Ö Ò ÕÙ Ò Ø ØÖÙØÙÖ ÐÓ ÒÓ Ó ÓÒ ÐÓ ÙÒ Ó ÓÒ ÙÒ Ó ÓÒ Óº ØÓ ÓÒÓ ÓÑÓ ÓÑÔÖ Ò Ñ ÒÓ ÙÒ Ö Ó º Ò Ð ÙÖ ¾º ÔÓ ÑÓ ÔÖ Ö Ð Ö ÓÐ Ù Ó Ð Ñ ÑÓ ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖº ÙÖ ¾º ýö ÓÐ Ù Ó Ô Ð Ö ÖÐ º Ä ÕÙ Ö Ð Þ Ð Ñ Ñ Ñ Ò Ö ÕÙ Ò ÙÒ ØÖ Ù Ó Ó Ø Ò Ò Ó Ð Ñ Ñ ÓÑÔÐ Ø ÑÔÓÖ Ð Ô ÖÓ ÓÒ Ð Ú ÒØ ÕÙ Ø ØÖÙØÙÖ ÔÙ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Ø ÑÔÓ Ð Ò Ð Ý Ñ ÓÙÔ O(n) Ô Ó Ò Ð Ô ÓÖ Ó ÔÙ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ n Ó ÓÒ ÐÓ ÒÓ Ó Ø Ò Ò Ö Ð Ñ ÒÓ 2º Ò Ð ÓÒ Ø ÒØ Ó Ð Ô Ó ÑÙÝ Ö Ò Ð ÓÖ Ò Ú ÒØ Ú Ð Ø Ñ Ó Ð Ø ÜØÓ ÓÖ Ò Ðº Ñ Ö ÙÐØ Ó ØÓ Ó ÓÒ ØÖÙ Ö Ý Ý Ñ Ò Ö Ò Ñ ÑÓÖ ÙÒ Ö º ÂÙÒØÓ ÓÒ ÕÙ ØÖ Ò Ø ØÖÙØÙÖ ÔÖ Ø Ô Ö ÓØÖ Ø Ö ÓÑÓ ÓÒ ÕÙ Ð ØÖ Ò Ñ Ð Ö Ó Ö Ô Ø Óº ÕÙ Ð Ù ØÖ Ò Ñ Ð Ö Ó ÓÑ Ò Ó Ø ÜØÓ º ÕÙ Ô Ð Ò ÖÓÑ º ½
¾º¾º º ÖÖ ÐÓ Ù Ó ÖÖÓÐÐ Ó Ô ÖØ Ö ÐÓ Ù ÖÞÓ ÔÓÖ Ö Ù Ö Ð Ù Ó Ñ ÑÓÖ Ð ØÖÙØÙÖ ÒØ Ñ Ò ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÖÖ ÐÓ ØÓ Ð ÔÓ ÓÒ Ò Ð ÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò Ò ÓÖ Ò Ð Ü Ó Ö Ó ÓÑÓ Ú Ò Ð ÙÖ ¾º º ÓÑÓ ÓÒ ØÖÙÝ Ö ÙÒ Ö ÓÐ Ù Ó Ô ÖÓ ÐÓ ØÓÑ Ö Ò Ð Ó º Ä ØÖÙØÙÖ ÓÒØ Ò Ò Ó O(n) Ò Ð Ô Ó Ô ÖÓ ÓÖ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÐÖ ÓÖ 4º ÙÖ ¾º ÖÖ ÐÓ Ù Ó Ô Ö Ð Ø ÜØÓ Ô Ð Ö ÖÐ º Ð Ø Ö ÓÖ Ò Ð ÕÙ ØÖ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÒÚ ÖØ Ò Ò ÙÒ ÕÙ Ò Ö ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓº ÄÓ Ù Ö ÓÐ Ð Ö ÓÐ Ù Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ò Ñ ÒØÓ Ð ÖÖ ÐÓ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÓÒ Ò Ö Ó ÕÙ Ô Ö Ò Ö ÐÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÓ ÓÒ Ò Ð Ø ÜØÓ ÓÒ ÒÙ ÒØÖ Ð ØÖ Ò Ù Óº Ø ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ô Ò Ð Þ Ò O(log n) Ò Ø ÑÔÓ Ö Ô ØÓ Ð Ö ÓÐ Ù Ó º Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ö ÓÐ Ù Ó Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÜØÓ ÔÓÒ Ð Ô Ö ÓÑÔ Ö Ö ÓÒØÖ Ð Ô ØÖ Ò Ý Ô Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò ÔÙ ØÓ ÕÙ Ø ØÖÙØÙÖ ÒÓ Ö ÑÔÐ Þ Ò Ð Ø ÜØÓ ÕÙ Ò Ü Òº ¾º º ÓÑÔÖ Ò ÈÓÖ ÓÑÔÖ Ò ÒØ Ò Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ó Ñ ÒØ Ð Ù Ð ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ ÓÒ Ó Ó Ñ Ò Ö ÔÓ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ñ ÒÓ Ô Óº Ü Ø Ò Ó Ø ÔÓ ÓÑÔÖ Ò Ë Ò Ô Ö Ä Ò ÓÖÑ Ò ÐÓ Ó ÔÙ Ò Ó ÑÔÖ Ö ÙÔ Ö Ö ÒØ Ö Ñ ÒØ ÐÓ ØÓ ÓÖ Ò Ð º ÓÒ Ô Ö È ÖØ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÖØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ó Ý ÐÓ Ö Ø ÒØ Ó Ó Ò Ó ÑÔÓ Ð Ð Ö ÙÔ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÓ ØÓ ÓÖ Ò Ð Ò Ù ÓÖÑ Ü Ø ÐÓ ÙÒ ÔÖÓÜ Ñ Ò ÐÐÓ º ÑÔÐÓ ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ô Ö ÓÒ Ð Ó Ò ÅÈ Ù Ó ÓÒ Ö Ù Ò ÕÙ ÓÒ Ò ÓÑÓ Ò Ù Ð ÒÓ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó Ò ÓÖÑ ØÓ ½
Ñ Ò ÓÑÓ ÂÈ ÕÙ ÖØ Ò Ô ØÓ ÔÓÓ Ú Ð Ð Ó Ó ÙÑ ÒÓº Ø Ò ÓÖÑ Ò ÖØ Ð ÑÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ Ñ Ò Ö ÔÓ Ö Ò Ö Ù ÒØ Ò ÓÖÑ Ò ÖØ Ö Ý ÓÒ ØÓ ÕÙ Ö Þ Ò ÓÑÔÖ Ò Ð ÒÞ Öº Ò Ð Ó Ð ÓÑÔÖ Ò Ò Ô Ö ÒÓÒØÖ ÑÓ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÑ ÒØ ØÓ Ó ÐÓ ÓÖÑ ØÓ Ö Ô Ð Ó Ö ÚÓ ÓÑÓ ÓÒ ÁÈ ÁÈ Ý Ê Êº Ø Ñ ØÓ Ó Ð Ù Ó Ô Ö ÓÑÔÖ Ñ Ö ØÓ ÓÑ ÓØ ÜØÓ ÔÙ ØÓ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö Ö ÙÔ Ö Ö Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÓÖ Ò Ðº Ð Ð Ö ÓÑÔÖ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ù ÒØÓ ÔÓ Ð ÓÑÔÖ Ñ Ö ÙÒ ÒØÖ Ñ Ò Ö ÔÓ Ö ÓÑÔ Ö Ö Ý Ö Ù Ò Ù ÒÓ ÙÒ ÓÑÔÖ ÓÖº È Ö Ø ÔÖÓÔ ØÓ ØÙ Ö ÑÓ Ð ÒØÖÓÔ ÙÒ Ø ÜØÓ Ò Ð Ù ÒØ Òº ¾º º½º ÒØÖÓÔ ÑÔ Ö ÙÒ Ø ÜØÓ Ö Ò Ö Ó Ð ÒØÖÓÔ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ñ Ð ÓÖ Ò Ò Ð Ò Ø Ñ º ÔÐ Ó Ø ÓÖ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ö Ö Ù ÒØÓ Þ Ö Ý Ò ÙÒ Ù ÒØ ÓÑÓ ÙÒ Ø ÜØÓ Ó ÙÒ Ö ÚÓ Ò Ö Ó Ó ÐÓ ÕÙ ÐÓ Ñ ÑÓ Ù ÒØ Ò ÓÖÑ Ò Ò Ö Ô Ö ÔÓ Ö Ö Ö ÖÐ º Ë s ÙÒ ØÖ Ò Ð Ö Ó n Ó Ö ÙÒ Ð ØÓ Σ = {α 1,..., α h } Ý n i Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖÖ Ò Ð Ñ ÓÐÓ α i Ò sº Ë Ò Ð ÒØÖÓÔ ÑÔ Ö ÓÖ Ò ¼ ¾ ÙÒ ØÖ Ò H 0 (s) = h i=1 n i n log 2( n i n ) ÓÒ s H 0 (s) Ö ÔÖ ÒØ Ð Ð ÙÒ ÓÑÔÖ ÓÖ Ð ÕÙ Ù log 2 n i n Ø Ô Ö Ó Ö Ð Ñ ÓÐÓ α i º ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ñ Ü Ñ ÓÑÔÖ Ò ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö Ò ÕÙ Ñ Ò Ô Ö Ù Ò Ó ÙÒ Ó Ò ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ó Ð ÓÒ Ò ÙÒ Ó Ó ÙÒÓ ÐÓ Ñ ÓÐÓ Ð Ð ØÓº Ë ÔÙ ÐÓ Ö Ö ÙÒ Ñ ÝÓÖ ÓÑÔÖ Ò Ð Ó Ò Ó Ñ ÓÐÓ Ô Ò ÐÓ k Ñ ÓÐÓ ÕÙ ÐÓ ÔÖ Òº È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ð Ö Ð Ö Ó w Σ k w s Ð ØÖ Ò ÕÙ ÓÒØ Ò ÐÓ Ö Ø Ö ÓÒØ ÒÙ Ò w Ò sº ÒØÓÒ ÐÐ Ñ ÑÓ ÒØÖÓÔ ÑÔ Ö ÓÖ Ò k ¾ Ð ØÖ Ò s Ð Ú ÐÓÖ H k (s) = 1 w s H 0 (w s ) n w Σ k Ë ÐÐ Ñ ÑÓ w ÓÒØ ÜØÓ ÒØÓÒ ÔÓ ÑÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ø ÖÑÙÐ ÓÑÓ Ð Ô Ò Ò ÐÓ Ñ ÓÐÓ Ù ÓÒØ ÜØÓº Ð Ú ÐÓÖ s H k (s) ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÓØ Ò Ö ÓÖ Ð ÓÑÔÖ Ò ÕÙ ÔÙ Ð ÒÞ Ö ÓÒ ÙÒ ÓÑÔÖ ÓÖ ÕÙ ÙØ Ð ÙÒ ½
ÓÒØ ÜØÓ Ø Ñ Ó k Ô Ö Ó Ö ÐÓ Ñ ÓÐÓ sº Ä ÒØÖÓÔ ÖÚ Ô Ö ÔÓ Ö Ø Ò Ö ÙÒ ÒÓ Ò Ù Ò Ù ÒÓ ÙÒ ÕÙ Ñ ÓÑÔÖ Ò Ý Ð Ö ØÖÙØÙÖ Ù ÒØ Ö Ù Ò Ö ÙÒÓ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔØ Ñ ÔÓ Ð º ¾º º¾º ÓÑÔÖ Ò Ø Ø Ì Ñ Ò ÓÒÓ ÓÑÓ Ó Ò ÒØÖÓÔ Ò Ö Ð ÓÒ Ö ÐÓ Ð Ö Ó ÐÓ Ó ÙØ Ð Þ Ö ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ô Ö Ò ÐÓ Ñ ÓÐÓ º Í Ù ÐÑ ÒØ ÐÓ Ó ÓÖ ÒØÖÓÔ ÙØ Ð Þ Ò Ô Ö ÓÑÔÖ Ñ Ö ØÓ Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ñ ÓÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ó Ð Ö Ó Ó ÓÒ Ñ ÓÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ò Ø ÚÓ Ð ÔÖÓ Ð º Ø Ñ Ò Ö ÐÓ Ñ ÓÐÓ Ñ Ö Ù ÒØ ÕÙ Ö Ò ÐÓ Ó Ñ ÓÖØÓ º ÄÓ ÑÔÐÓ Ñ ÓÑÙÒ Ø Ø Ò ÓÒ ÐÓ Ó ÀÙ Ñ Ò Ö Ò ÒÓ Ò Ý Ó Ò Ö ØÑ Ø ½ º ¾º º º ÓÑÔÖ Ò ÓÒ ÓÒ Ö Ó Ä ØÖ Ø Ø Ò ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ ÓÒ Ö Ó ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ñ Ò Ö Ó Ö ÐÓ ØÓ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð ÓÑÔÖ Òº È Ö ÕÙ Ø Ñ ØÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ð Ó ÓÖ Ý Ð Ó ÓÖ ÔÓ Ò Ð Ñ ÑÓ ÓÒ Ö Óº È Ö ØÓ Ü Ø Ò Ó ÓÔ ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ó Ó Ý ÐÓ ÔÓ Ò ÐÓ ÔÖÓ Ö Ñ º Ò Ø Ó Ð ÓÒ Ö Ó ÒÙ ÒØÖ Ò Ó ÒØ Ñ ÒÓ Ý ÒÓ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÒØÖ Ð ÓÑÔÖ ÓÖº ØÓ ÔÙ Ö ÙÐØ Ö Ò ÙÒ Ñ Ð ÓÑÔÖ Ò Ð ÒÓ Ö ÔÖÓÔ Ó Ô Ö ÐÓ ØÓ º Ð ÓÒ Ö Ó Ò Ñ Ó Ý Ö ÐÓ ØÓ º Ò Ø Ó ÓÒ ØÖÙÝ ÙÖ ÒØ Ð ÔÖÓ Ó ÓÑÔÖ Ò Ý ÔØ Ð Ú Ö ÒØÖ Ô ÖÓ Ö Ù Ñ ÒØ Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ô Ö ÒÓ ÓÙÔ Ö Ñ Ó Ô Ó ÔÙ Ò Ó Ò Ö Ö Ø Ò Ø Ú ÓÑÔÖ Òº Ä Ð Ò ÙÒÓ Ù ÓØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ô Ò Ö Ð Ö ØÖ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÓÐÙ ÓÒ Ö Ý ÙÒ Ù Ó Ú ÐÙ Ò Ð Ú ÒØ» Ú ÒØ ÙÒÓº ÑÔÐÓ Ø Ø Ò ÓÒ Ú¹Ä ÑÔ Ð 77 ½¾ Ý 78 ½ Ý ÝØ ¹È Ö ÒÓÒ Ò º ÓÑÓ Ú¹Ä ÑÔ Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð ÖÖÓÐÐÓ Ø Ñ ÑÓÖ ÓÒØ ÒÙ Ò Ö Ú Ö Ò Ñ ÝÓÖ Ø ÐÐ Ø Ð ÓÖ ØÑÓº ½
¾º º º ÓÑÔÖ Ò Ú¹Ä ÑÔ Ð Ð ÕÙ Ñ ÓÑÔÖ Ò Ú¹Ä ÑÔ Ð Ä ½¾ Ä ½ µ ÓÒ Ø Ò Ö ÑÔÐ Þ Ö Ù ØÖ Ò Ð Ø ÜØÓ ÔÓÖ ÙÒ ÔÙÒØ ÖÓ ÙÒ ÓÙÖÖ Ò ÔÖ Ú Ø º Ä ÓÑÔÖ Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ó Ð ÔÙÒØ ÖÓ ÓÙÔ Ñ ÒÓ Ô Ó ÕÙ Ð ØÖ Ò Ö ÑÔÐ Þ Óº Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ä Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ó Ò ÙÒ ÓÒ Ö Ó ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Òº ÒÙ ÚÓ ÐÓÕÙ ÓÖÑ Ù Ò Ó Ð ÔÖ Ó Ñ Ð Ö Ó Ð Ø ÜØÓ Ò Ò ÓÑÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ó Ò ÓÒ Ð Ò ÐÓÕÙ Ð ÓÒ Ö Ó Ý Ö Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö ÕÙ Ò Ó Ð ÒÙ ÚÓ ÐÓÕÙ º Ð ÓÖÑ ØÓ Ð Ð ÓÑÔÖ Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ù Ò ÐÓÕÙ T = B 0,...,B n Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ô Ö µ ÓÒ Ð ÒØ ÓÖ Ð ÐÓÕÙ Ö Ö Ò Ó Ý Ð Ð ØÖ ÓÒØ ÒÙ Ò Ø ÐÓÕÙ º ÍÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ Ø ÕÙ Ñ ÕÙ ÐÓÕÙ Ò Ó Ö ÒÓ Ý Ó ÐÓÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ó Ð Ñ ÑÓ Ù ØÖ Ò º ØÓ ÐÓ Ö Ö Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ø ÜØÓ ÙÒ Ö Ø Ö ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð Ð ØÓ Ý ÕÙ Ñ ÒÓÖ Ð Ü Ó Ö Ñ ÒØ ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ñ Ö Ø Ö º Ò Ð ÙÖ ¾º ÔÙ Ó ÖÚ Ö Ð Ö ÙÐØ Ó ÓÑÔÖ Ñ Ö Ð Ö Ð Ö Ð Ð Ö Ô Ö Ô Ð Ö ÖÐ Ñ ÒØ Ä º (0, a)(0, l)(1, b)(0, )(1, )(2, a)(5, a)(7, b)(4, d)(6, p)(4, a)(8, p)(1, l)(3, r)(4, l)(1, $) ÙÖ ¾º ÑÔÐÓ ÓÑÔÖ Ò Ä º Ø ÕÙ Ñ ÓÑÔÖ Ò ÓÒÚ Ö Ð ÒØÖÓÔ ÓÖ Ò k Ð Ù ÒØ Ô Ö ØÓ Ó k ÙÒÕÙ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ð ÒØ º ½
Ô ØÙÐÓ ÌÖ Ó Ê Ð ÓÒ Ó ÓÒØ ÒÙ Ò Ö Ú Ö ÑÓ ÐÓ ÖÖÓÐÐÓ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÓÖÑ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ØÓ ÐÓ Ò º ÍÒÓ ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ú Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ð Ñ ØÓ Ð Ò Ü Ò ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ Ù ÒØ º Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖÙØÙÖ Ø Ò Ò Ó ÓÑÓ ÔÖ Ò Ô Ð ÓÒ Ö Ò Ð Ù Ó ÔÓÓ Ô Óº ØÓ Ö ÙÐØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð Ñ ØÓ ÐÓ Ò Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓº ÍÒ ÑÔÐÓ ØÓ Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó ÓÑÔÖ Ñ Ó ÖÓ Ý Î ØØ Ö º Ð ÙÒ Ó ÖÖÓÐÐÓ Ò Ö Ó Ô Ö ÐÓ ØÙ Ð Ò Ð ÒÚ Ø Ò Ó Ö ÙØÓ Ò º À Ø ÙÒ Ø ÑÔÓ ÐÓ Ò Ö Ò ØÖÙØÙÖ Ò Ü Ð Ø ÜØÓ Ñ ÑÓº Ø Ñ Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö ÕÙ Ñ Ò Ü Ò ÙØ Ð Þ Ð Ñ ÒÓ Ð Ô Ó Ð Ø ÜØÓ ÔÙ Ø ÒÓ ÔÓ ÖØ Öº È Ö Ö ÔÓÖØ Ö ÐÓ ÐÞ Ó Ó ÙÒ ÓÒØ ÜØÓ Ð Ð Ý Ú ÒÐÙ Ó Ô Ö Ù Ö Ò Ö Ó Ú Ø Ö Ð Ö ÚÓ Ð Ø ÜØÓº Ä ÐÓ ÙØÓ Ò ÕÙ Ð Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÔÙ Ö ÙÔ Ö Ö Ô ÖØ Ö Ð Ò º Ø ÓÖÑ ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö Ö Ù ÓÒ Ò Ð Ô Ó ÙØ Ð Þ Ó ÕÙ ÓØÖ Ñ Ò Ö Ö Ò ÑÔÓ Ð º ÍÒ Ð ÔÖÓÔ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò Ô Ö Ø Ò Ð ÓÔÓÖØÙÒ ÑÓ Ö ÔÖÓÚ Ö ÕÙ ÐÓ ØÓ ÒØÖ ÓÒ ÓÑÔÖ Ð Ô Ö ÔÓ Ö Ö Ù Ö Ð Ô Ó Ù Ó Ò Ù Ö ÙÒ ÑÔ ØÓ Ò Ø ÚÓ Ò Ð Ú ÐÓ Ð ÓÒ ÙÐØ º ÓÒØ ÒÙ Ò Ö Ú Ö ÑÓ ÐÓ ÙØÓ Ò Ñ Ö Ð Ú ÒØ Ð Ð Ø Ö ØÙÖ º ½
º½º Ź Ò Ü Ð Å¹ Ò Ü ¾ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ò ÓÑÔÖ Ñ Ó ÕÙ ÓÑ Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÖÖÓÛ ¹Ï Ð Ö Ï̵ ÓÒ Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó º ÓÒØ ÒÙ Ò Ö Ú Ö ÑÓ Ð ÏÌ Ý ÐÙ Ó Ð ØÖÙØÙÖ Ð Å¹ Ò Üº Ä ÏÌ ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ò Ö Ú Ö Ð Ð Ø ÜØÓº Ä Ö ÓÖ Ò Ö ÐÓ Ö Ø Ö Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ØÖ Ò Ö ÙÐØ ÒØ Ñ Ð ÓÑÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑÔÖ Ò ØÓ ÐÓ ÐÑ ÒØ ÔØ Ø ÚÓ ÓÑÓ ÑÓÚ ¹ØÓ¹ ÖÓÒØ Ó Ò Ý ÙÒ Ó ÓÖ Ø Ø Óº Ë T = t 1 t 2...t n ÙÒ Ø ÜØÓ Ó Ö Ð Ð ØÓ Σº Ä ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÒØÓÒ ÓÒ Ø Ò ÐÓ Ù ÒØ Ô Ó ½º Ö Ö ÙÒ Ö Ø Ö Ô Ð # ÓÖ Ò Ð Ü Ó Ö Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ Ó Ö Ø Ö Ð Ð ØÓº ¾º Ò Ö Ö ÙÒ Ñ ØÖ Þ ÓÒ ÔØÙ Ð M ÓÒ Ð Ð ÓÒ ÖÓØ ÓÒ Ð Ð ØÖ Ò T#º Ä Ñ ØÖ Þ (n + 1) (n + 1)º º ÇÖ Ò Ð Ð Å Ð Ü Ó Ö Ñ ÒØ º º Ç Ø Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ L Ð Ø ÜØÓ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÐØ Ñ ÓÐÙÑÒ Mº ÙÖ º½ ÐÙÐÓ Ð Ï̺ Ð Ö ÙÐØ Ó ÔÙ Ó ÖÚ Ö Ò Ð ÙÖ º½º ÈÓ ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ ÔÓÖ ÓÒ ØÖÙ Ò ØÓ Ð ÓÐÙÑÒ M ÓÒ Ô ÖÑÙØ ÓÒ T# Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ¾¼
L Ý Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÙÑÒ F Ð Ñ ØÖ Þ ÕÙ Ù Ð ÐÓ Ö Ø Ö L Ò ÓÖ Ò Ð Ü Ó Ö Óº Ü Ø ÙÒ Ö Ð Ò ÒØÖ Ð Ñ ØÖ Þ M Ý Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó A Ð Ø ÜØÓ T#º Ð Ö Ö Ð Ö Ø Ö # Ö ÒØ Þ ÑÓ ÕÙ Ò Ò Ò Ù Ó ÙÒ ÔÖ Ó ÓØÖÓ Ù Óº ÒØÓÒ Ð ÓÖ Ò Ö Ð Ð M Ò ÐÑ ÒØ Ø ÑÓ ÓÖ Ò Ò Ó ÐÓ Ù Ó T#º ÕÙ A[i] ÔÙÒØ Ð Ù Ó T# ÕÙ ÙÒ ÔÖ Ó Ð i¹ Ñ Ð Mº ÇØÖ Ð ÔÖÓÔ Ð ÏÌ ÕÙ Ö Ú Ö Ð º È Ö ØÓ Ò ÑÓ ÐÓ Ù ÒØ È Ö c Σ C[c] ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð ÓÙÖÖ Ò Ò T ÐÓ Ö Ø Ö ÓÖ Ò Ð Ü Ó Ö Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ cº È Ö c Σ Occ(c, k) ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖÖ Ò c Ò Ð ÔÖ Ó [1, k]º Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ Å º Ð i¹ Ñ ÓÐÙÑÒ M Ù ÐØ ÑÓ Ö Ø Ö L[i] ÔÖ Ù ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ö F[i] Ò Ð Ø ÜØÓ T º Ö T =...L[i]F[i]...º º Ë LF(i) = C[L(i)] + Occ(L[i], i)º Ð Ö Ø Ö Ò F ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ L[i] Ø Ù Ó Ò Ð ÔÓ Ò LF(i)º LF ÓÖÖ ÔÓÒ Ä Ø¹ØÓ¹ Ö Ø Ñ ÔÔ Ò Ñ Ô Ó ÐØ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÐÙÑÒ µº ÒØÓÒ T[k] ÓÖÖ ÔÓÒ Ð i¹ ÑÓ Ö Ø Ö L T[k 1] = L[LF(i)]º Ø Ñ Ò Ö ÔÙ Ó Ø Ò Ö ØÓ Ó Ð Ø ÜØÓ ØÖ º РŹ Ò Ü ÓÑÔÓÒ ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÑÔÖ Ñ L ÙÒØÓ ÓÒ ØÖÙØÙÖ ÙÜ Ð Ö ÕÙ Ô ÖÑ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ Ø ÒØ O(1) Ð Ú ÐÓÖ Occ(c, k)º ËÓÔÓÖØ Ó ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ ÓÙÒØ Ý ÐÓ Ø º ÓÙÒØ ØÓÑ ÙÒ Ô ØÖ Ò P = p 1..p m Ý Ö ØÓÖÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖÖ Ò P Ò T º È Ö ØÓ ÙØ Ð Þ Ð ÙÒ ÔÖÓÔ ØÖÙØÙÖ Ð M ÌÓ Ó ÐÓ Ù Ó Ð Ø ÜØÓ T ÕÙ Ø Ò Ò ÓÑÓ ÔÖ Ó Ð Ô ØÖ Ò P ÓÙÔ Ò ÙÒ Ö Ò Ó Ð Mº Ø Ö Ò Ó Ð ÑÔ Þ Ò Ð ÔÓ Ò sp Ý Ø ÖÑ Ò Ò ep ÓÒ sp Ð ÔÓ Ò Ð Ü Ó Ö Ð ØÖ Ò P ÒØÖ Ð Ð ÓÖ Ò Mº ¾½
Ä ÔÓ ÓÒ sp Ý ep ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò m Ø Ô Ò Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ò Ð ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò Ð Ø Ô i sp ÔÙÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð M ÔÖ Ó P[i, m] Ý ep ÔÙÒØ Ð ÐØ Ñ Ð ÔÖ Ó P[i, m]º Ð Ò Ð Þ Ö Ð Ø Ô m Ý sp ep ÒØÓÒ (ep sp+1) Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÙÖÖ Ò P Ò T º ØÓ Ñ Ð Ö Ö Ð Þ Ö Ð ÓÒØ Ó Ó Ö Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó º Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÐÓ Ø ØÓÑ ÙÒ Ò i ÙÒ Ð Ð Ñ ØÖ Þ M Ý Ö ØÓÖÒ Ð ÔÓ Ò Ò Ó Ò T Ð Ù Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ M[i] ÕÙ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ pos(i)º Ë ÓÑÔÙØ Ö Ð ÔÓ ÓÒ ØÓ Ð ÓÙÖÖ Ò P Ò T ÒØÓÒ Ø ÐÐ Ñ Ö locate(i) ÓÒ i = sp...ep ÓÒ sp Ý ep ÓÑÔÙØ Ó ÔÓÖ ÓÙÒغ È Ö Ð ÑÔÙØÓ ÐÓ Ø ÐÓ ÕÙ Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÑÙ ØÖ Ó ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓÔ Ó Ð M Ý Ô Ö Ø ÓÒ ÖÚ ÙÒ Ñ Ô Ó ÜÔÐ ØÓ Ù ÔÓ ÓÒ Ò T º Ø ÓÖÑ i ÙÒ Ð Ñ Ô ÒØÓÒ pos(i) Ø Ö Ø Ñ ÒØ ÔÓÒ Ð º ÒÓ Ö Ù Ð Ñ Ô Ó LF Ý Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ØÖÓ Ö Ò Ð Ø ÜØÓ Ý ÒÓÒØÖ Ö Ð Ð i ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ù Ó T[pos(i) 1, n]º Ø ÔÖÓ Ó Ö Ô Ø v Ú Ø ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ð i ÕÙ Ø Ñ Ö º ÒØÓÒ pos(i) = pos(i )+vº Ò Ø Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ó Ó Ø Ò Ò ÐÓ Ö Ø Ö T[pos(i ), pos(i )] ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö Ô Ö Ö ÙÔ Ö Ö Ù ÐÕÙ Ö Ù ØÖ Ò Ð Ø ÜØÓº º¾º ËÙ Ü ÖÖ Ý ÓÑÔÖ Ñ Ó Ë µ Ê Ú Ö ÑÓ Ð Ë Ë Ò ½½ ÕÙ Ò Ð ÖÓ Ý Î ØØ Ö º Ø ÐØ ÑÓ ÓÙÔ ÐÓ O(n) Ø Ô Ö ÙÒ Ø ÜØÓ Ð Ö Ó n Ô ÖÓ Ò Ñ Ö Ó Ö ÕÙ Ö Ð Ø ÜØÓ ÔÓÒ Ð º Ä ØÖÙØÙÖ Ë Ò ÙÒ ÙØÓ Ò º Ò Ð Ë Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó A[1, n] Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ò Ò Ñ ÖÓ ψ(i) Ø Ð ÕÙ A[ψ(i)] = A[i] + 1º Ø ÙÒ Ò ÑÓÒ ØÓÒ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÔÓÖ Ô ÖØ Ö ψ ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ð ÞÓÒ A ÓÒ Ð Ù Ó ÓÑ ÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÑÓ Ö Ø Ö cº ØÓ Ô ÖÑ Ø ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ù ÒØ Ð Ù Ò º Ñ ÒØ Ó ÑÓ Ð Ù Ò Ñ Ò Ö Ö Ò Ð Ö Ó ÑÓ ψ(i) ψ(i 1)º Ë Ý ÙÒ Ö Ô Ø Ò ÒØÖÓ Ð ÖÖ ÐÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ A[j...j +l] = A[i...i+l] + 1 ÒØÓÒ ψ(i...i+l) = j...j + l Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ψ(i) ψ(i 1) = 1 Ò ØÓ Ö º ÍØ Ð Þ ÑÓ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ó Ò ÕÙ ÚÓÖ Þ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ô ÕÙ Ó Ý ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÙÒ Ø ÑÔÓ ÓÒ Ø ÒØ Ó Ð ÙÒ Ò ψº È Ö ÓÒ Ù Ö ÕÙ ÙÒ ÙØÓ Ò ÙØ Ð Þ Ð Ñ ÑÓ ÖÖ ÐÓ C[1...σ] ÕÙ Ú ÑÓ Ò º½º ÓÒ ØÓ ÔÓ Ð ÖØ Ö Ð Ø ÜØÓº Ä ÕÙ Ö Ð Þ ÑÙÐ Ò Ó ÙÒ ÕÙ Ò Ö Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó º ¾¾
ØÓ ÜØÖ Ý Ò Ó Ð ØÖÙØÙÖ ØÖ Ò Ð ÓÖÑ t A[i] t A[i]+1 t A[i]+2... Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö i ÕÙ Ö ÕÙ Ö ÔÓÖ Ð ÕÙ Ò Ö º Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ö t A[i] Ð Ó Ø Ò Ö Ý ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÖ Ò Ó Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó º Ø Ö Ø Ö c Ø Ð ÕÙ C[c] < i C[c + 1] ÕÙ ÔÙ ÒÓÒØÖ Ö Ò Ø ÑÔÓ ÓÒ Ø ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ô ÕÙ ØÖÙØÙÖ ÓÒ Ð º ÍÒ Ú Þ ÕÙ Ø Ò ÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ö ÒÓ ÑÓÚ ÑÓ i = ψ(i) Ý ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÓÒ t A[i ] = t A[i]+1 º È Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ð ÓÙÖÖ Ò ØÓÑ Ò ÑÙ ØÖ Ð Ø ÜØÓ ÓÒ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒÚ Ò ÒØ º ÄÙ Ó ÔÙ Ó Ø Ò Ö ÐÓ Ö Ø Ö ÒÓ ÑÙ ØÖ Ó Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ò ψº º º Ä ¹ Ò Ü Ð Ä ¹ Ò Ü ½¼ ÙÒ Ò Ó Ò ÐÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÑÔÖ Ò Ð Ñ Ð Ú¹Ä ÑÔ Ð Ä µ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ø Ó Ð Ä ½ Ö Ú Ó Ò Ñ ÝÓÖ Ø ÐÐ Ò Ð Ò ¾º º º ÓÒØ ÒÙ Ò Ö Ú Ö ÑÓ Ð ØÖÙØÙÖ Ð Ò Ý Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ Ò Ðº º º½º ØÖÙØÙÖ ØÓ Ð Ò Ò Ñ ÑÓ Ø ÓÑÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ù ØÖÓ ØÖÙØÙÖ ÙÖ º¾ Ð Ä ÌÖ ØÖ ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Ò Ä Ô Ö Ð Ø ÜØÓ Ð Ö Ð Ð Ö Ô Ö Ô Ð Ö ÖÐ º ½º Ä ÌÖ Ð ØÖ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ä º ÈÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ð Ä Ø Ö ÓÐ ÔÓ Ü Ø Ñ ÒØ n + 1 ÒÓ Ó ÙÒÓ ¾
ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ØÖ Ò Ø ÒØÓº Ò Ð ÙÖ º¾ ÔÓ ÑÓ Ú Ö Ð Ä ÌÖ ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Ò ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð ÙÖ ¾º ¾º Ê ÚÌÖ Ð ØÖ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ ØÖ Ò Ö Ú Ö Ó ÐÓ ÓÒØ Ò Ó Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Ò B0 r...br nµº Ö Ò Ð Ä ÌÖ ÔÙ Ø Ò Ö ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓ ÕÙ ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÓÕÙ º º ÆÓ ÙÒ Ñ Ô Ó ÐÓ ÒØ ÓÖ ÐÓÕÙ Ù ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ä ÌÖ º º Ê Ò ÙÒ ØÖÙØÙÖ Ô Ö ÕÙ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Ð Ô Ó [0...n] [0...n]º ÄÓ ÔÙÒØÓ ÐÑ Ò Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ß revrank(bk) r rank(b k+1 )µ k 0...n 1Ð Ò Ó Ö ÚÖ Ò Ð ÔÓ Ò Ð Ü Ó Ö Ò B0 r... Br n Ý rank Ð ÔÓ Ò Ð Ü Ó Ö Ò B 0...B n º È Ö ÙÒÓ ØÓ ÔÙÒØÓ ÐÑ Ò Ð Ú ÐÓÖ kº ÂÙÒØÓ ÓÒ ØÓ Ð Ä ÌÖ Ý Ê ÚÌÖ Ò Ô ÖÑ Ø Ö ÔÐ Ö Ð Ù ÒØ ÓÔ Ö ÓÒ Ò ÒÓ Ó x µ id(x) ÒØÖ Ð ÒØ ÓÖ Ð ÒÓ Ó x ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ k Ø Ð ÕÙ x Ö ÔÖ ÒØ B k º µ leftrank(x) Ý rightrank(x) ÕÙ ÒØÖ Ò Ð Ñ Ò Ñ Ý Ñ Ü Ñ ÔÓ Ò Ð Ü Ó Ö ÐÓ ÐÓÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ ÐÓ ÒÓ Ó Ð Ù Ö ÓÐ Ö Þ x Ñ ÒØÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ B 0...B n º µ parent(x) ÒØÖ Ð ÔÓ Ò Ò Ð ØÖ Ð Ô Ö Ð ÒÓ Ó xº µ child(x, c) ÒØÖ Ð ÔÓ Ò Ò Ð ØÖ Ð Ó Ð ÒÓ Ó x ØÖ Ú Ð Ö Ø Ö c Ó ÒÙÐÐ ÒÓ Ü Ø Ø Ð Óº Ù Ò Ó Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ò ÔÐ Ò Ê ÚÌÖ Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ id r (x) leftrank r (x) rightrank r (x) parent r (x) Ý child r (x, c) Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÂÙÒØÓ ÓÒ ØÓ Ð ØÖ Ô ÖÑ Ø Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÔ Ö Ò rth(r) Ð Ù Ð Ó ÙÒ ÓÖ Ò r Ö ØÓÖÒ Ð Ð ÒÓ Ó ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð r¹ ÑÓ ØÖ Ò Ò B 0...B n Ò ÓÖ Ò Ð Ü Ó Ö Óº Ò Ð ÙÖ º ÔÓ ÑÓ Ú Ö Ð Ä ÌÖ Ý ÑÓ Ö Ð ÓÒ Ò Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ðº ¾
ÙÖ º Ä ÌÖ Ý Ù ÓÔ Ö ÓÒ º º º¾º ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ó ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Ò ÕÙ Ó Ø Ò Ò ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò ÒØÖÓ Ð Ø ÜØÓ ÔÙ ÓÙÖÖ Ö Ñ Ò Ö µ Ì ÔÓ 1 Ä ÓÙÖÖ Ò ÔÖÓ Ù ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÒØÖÓ ÙÒ ÐÓÕÙ º Ó Ð ÔÖÓÔ Ä ÐÓÕÙ B k ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ô ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÙÒ ÐÓÕÙ Ñ ÓÖØÓ B t ÓÒ Ø Ò Ó ÓÒ ÙÒ Ð ØÖ Ò Ðº Ë Ð Ô ØÖ Ò ÒÓ ÓÙÖÖ Ð Ò Ð Ð ÐÓÕÙ B k ÒØÓÒ B t ÓÒØ Ò Ð Ô ØÖ Ò Ø Ñ Òº È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð ÐÓÕÙ Ñ ÓÖØÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð Ö Ö Ò Ð Ô ØÖ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ù ÑÓ Ð Ô ØÖ Ò Ö Ú Ö Ó P r Ò Ê ÚÌÖ º ÄÙ Ó Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ØÓ Ð ÓÙÖÖ Ò ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ Ò Ó ÐÓÕÙ ½º Ë Ù P r Ò Ê ÚÌÖ º Ð ÒÓ Ó x Ð ÕÙ ÐÐ Ø Ð ÕÙ ØÓ Ó ÒÓ Ó Ò Ð Ù Ö ÓÐ Ö Þ x Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÐÓÕÙ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò P º ¾º Ë Ú Ð leftrank r (x) Ý rightrank r (x) Ó Ø Ò Ò Ó Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ü Ó Ö Ó Ò Ê ÚÌÖ ÐÓÕÙ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò Ò P º º È Ö r leftrank r (x)...rightrank r (x) Ó Ø Ò Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ä ÌÖ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ò y = Node(rth r (r))º ÓÒ ¾
ÐÓ ÒÓ Ó ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò Ò P ÒØ Ó Ò Ð ØÖ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÕÙ Ö Ø Ö ÔÓÖØ Ö ÐÓ Ù Ö ÓÐ ØÓ ÒÓ Ó ÔÙ ØÓ ÕÙ ØÓ Ó ÐÐÓ ÓÒØ Ò Ò P º º È Ö ÒÓ Ó y Ö ÓÖÖ Ö ØÓ Ó Ð Ù Ö ÓÐ Ö Þ y Ý Ö ÔÓÖØ Ö ØÓ Ó ÐÓ ÒÓ Ó ÒÓÒØÖ Ó º µ Ì ÔÓ 2 Ä ÓÙÖÖ Ò Ö Ó ÐÓÕÙ º Ò Ø Ó ÐÓ ÕÙ Ú Ö Ð Ô ØÖ Ò Ò Ó Ô ÖØ Ð m 1 ÓÖÑ ÔÓ Ð º È Ö Ô ÖØ Ò Ù Ð ÔÖ Ó Ö Ú Ö Ó Ò Ê ÚÌÖ Ý Ð Ù Ó Ò Ä ÌÖ º Ø Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Ò ØÓ Ó ÐÓ ÐÓÕÙ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒ Ð ÓÑ ÒÞÓ Ð Ô ØÖ Ò Ý ØÓ Ó ÐÓ ÕÙ ÑÔ Þ Ò ÓÒ Ð Ò Ð Ø º Ë Ò Ø ÒÓÒØÖ Ö ÐÓ Ô Ö ÐÓÕÙ k, k+1µ Ø Ð ÕÙ k Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙÔÓ Ý k+1 Ò Ð ÙÒ Óº È Ö ØÓ ÙØ Ð Þ Ð ØÖÙØÙÖ Ê Ò ÒØ Ñ Ò ÓÒ º ÄÓ Ô Ó Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÓÒ ÐÓ Ù ÒØ ½º È Ö i 1...m 1 Ú Ö P Ò pref = P 1...i Ý suff = P i+1...m º ¾º È Ö ÙÒ Ø Ô ÖØ ÓÒ Ù pref r Ò Ê ÚÌÖ Ó Ø Ò Ò Ó Ð ÒÓ Ó aº Ð Ú Þ Ù suff Ò Ð Ä ÌÖ Ó Ø Ò Ò Ó Ð ÒÓ Ó bº º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð ØÖÙØÙÖ Ê Ò Ù Ð Ö Ò Ó [leftrank r (a)...rightrank r (a)] [leftrank(b)... rightrank(b)] º È Ö Ô Ö (k, k + 1) Ö ÔÓÖØ kº µ Ì ÔÓ 3 Ä ÓÙÖÖ Ò Ö ØÖ Ó Ñ ÐÓÕÙ º Ø Ð Ó Ñ ÓÑÔÐ Óº ÄÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÕÙ ÐÓÕÙ ÓÒØ Ò ÙÒ ØÖ Ò Ø ÒØÓº ÒØÓÒ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ù ØÖ Ò P i...j Ð Ô ØÖ Ò Ü Ø ÐÓ ÙÑÓ ÙÒ ÐÓÕÙ ÕÙ Ð ÓÒ Ðº Ä Ô Ö Ù ØÖ Ò P i...j ÒÓÒØÖ Ö Ð ÐÓÕÙ ÓÒ Ø ÐÞ º Ð ÒØ ÓÖ Ð ÐÓÕÙ ÐÑ Ò Ò m ÖÖ ÐÓ A i ÓÒ A i ÓÒØ Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ P i...j Ô Ö ØÓ Ó jº ÄÙ Ó Ù Ò ÓÒ Ø Ò ÓÒ ÐÓÕÙ ÓÒ ÙØ ÚÓ B k B k+1 ÕÙ Ð Ò Ù ØÖ Ò ÓÒØ ÙÓ Ð Ô ØÖ Òº Ò ÐÑ ÒØ Ô Ö ÓÒ Ø Ò Ò Ñ Ü Ñ Ð ÐÓÕÙ P i...j = B k...b t Ö Ú ÕÙ B k 1 Ø ÖÑ Ò ÓÒ P 1...i 1 Ý ÕÙ B t+1 ÓÑ Ò ÓÒ P j+1...m º Ö Ö ÔÓÖØ ÙÒ ÓÙÖÖ Ò º Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ¾
½º È Ö 1 i j m Ù P i...k Ò Ð Ä ÌÖ Ù Ö Ò Ó Ð ÒÓ Ó ÒÓÒØÖ Ó Ò C i,j Ý Ö Ò Ó (id(x), j) Ð ÖÖ ÐÓ A i º Ä ÕÙ Ö Ð Þ ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ó i Ý Ô Ö i ÒÖ Ñ ÒØ jº Ø Ñ Ò Ö ÐÓ Ö Ð Þ ÙÒ ÕÙ Ò Ð ØÖ Ô Ö iº Ë ÒÓ Ü Ø ÙÒ ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ P i...j Ù Ö Ý ÐÑ Ò Ò Ú ÐÓÖ ÒÙÐÓ Ò C i,j Ô Ö j jº Ð Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ i ÓÖ Ò Ð ÖÖ ÐÓ A i ÔÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÐÓÕÙ º Ë Ñ Ö ØÓ Ó C i,j ÓÑÓ ÒÓ Ù Óº ¾º È Ö 1 i j m Ð ÒÖ Ñ ÒØ Ö j ØÖ Ø ÒÖ Ñ ÒØ Ö Ð Ö Ð Ð P i...j º Ë Ò S Ý S 0 Ù Ð id(c i,j ) Ý Ù (S + 1, r) Ò A j+1 º Ë r Ü Ø Ñ Ö C j+1,r ÓÑÓ Ù Ó ÒÖ Ñ ÒØ S Ý Ö Ô Ø Ð ÔÖÓ Ó Ô ÖØ Ö j = rº Ë Ø Ò Ð ÔÖÓ Ó Ù Ò Ó Ð ÓÙÖÖ Ò ÒÓ ÔÙ Ö ÜØ Ò Ö ÒÓ Ü Ø rº º È Ö ÓÙÖÖ Ò Ñ Ü Ñ Ð P i...r ÒÓÒØÖ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò Ð ÐÓÕÙ S Ø Ð ÕÙ r < m Ú Ö Ö Ð ÐÓÕÙ S + 1 ÓÑ ÒÞ ÓÒ P r+1...m ÕÙ ÐÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ú Ö leftrank(node(s + 1)) leftrank(c r+1,m )...rightrank(c r+1,m )º À Ý ÕÙ ÒÓØ Ö ÕÙ leftrank(node(s + 1)) Ð Ö Ò Ü ØÓ Ð ÒÓ Ó S + 1 ÔÙ ØÓ ÕÙ ÒÓ Ó ÒØ ÖÒÓ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÒØÖ ÐÓ ranks Ù Ù Ö Óк Ì Ñ Ò Ý ÕÙ ÒÓØ Ö ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò C r+1,m ÒÙÐÓº Ë r < m Ý Ð ÐÓÕÙ S + 1 ÒÓ ÓÑ ÒÞ ÓÒ Ð ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ô ØÖ Ò ÒØÓÒ Ý ÕÙ Ø Ò Ö Ý ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÒ Ð Ù ÒØ ÓÙÖÖ Ò Ñ Ü Ñ Ðº º Ë i > 1 ÒØÓÒ Ú Ö Ö Ð ÐÓÕÙ S 0 1 Ø ÖÑ Ò ÓÒ P 1...i 1 º È Ö ØÓ ÒÙ ÒØÖ Node(S 0 1) Ý ÙØ Ð Þ Ð ÓÔ Ö Ò Ô Ö ÒØ Ô Ö Ú Ö Ö ÐÓ ÐØ ÑÓ i 1 ÒÓ Ó Ð Ó ØÖ ÓÒ Ù Ð P1...i 1º r Ë i > 1 Ý Ð ÐÓÕÙ S 0 1 ÒÓ Ø ÖÑ Ò ÓÒ P 1...i 1 ÒØÓÒ ÒÓ Ø Ò ÑÓ Ý Ô ÑÓ Ð Ù ÒØ ÓÙÖÖ Ò Ñ Ü Ñ Ðº º Ê ÔÓÖØ Ö Ð ÒÓ Ó S o 1 ÓÑÓ Ð Ò Ó Ð Ð º Ë ÑÓ ÕÙ P 1...i ÒÙ ÒØÖ Ð Ò Ð Ø ÐÓÕÙ º ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÓÙÖÖ Ò ÜÔ Ò ÔÓÖ Ð Ñ ÒÓ ÐÓÕÙ º ÒÓ Ö Ö Þ º ¾
º º º ÆÓØ Ó Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò È Ö Ð ÓÑÔÖ Ò Ò Ð ØÖ Ó ÖÖÓÐÐ Ó Ö ÙÐØ ÑÙ Ó Ñ ÑÔÐ ÓÒ Ö Ö ÕÙ Ð Ò ÔÖÓÚ ÙÒ ÓÒ ÕÙ Ô Ö Ø ÔÓ ÓÙÖÖ Ò º Ø ÙÒ ÓÒ Ö Ð Þ Ò ÐÓ Ô Ó Ý Ñ Ò ÓÒ Ó Ý Ù Ò Ó Ø ÖÑ Ò Ò ÙÒ Ð Ö ØÓÖÒ Ò Ð ÔÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ø º Ø ÔÓ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÒØ ÓÖ Ð ÐÓÕÙ Ý ÙÒ Ó Ø ÒØÖÓ Ø Ö Ù ÒØÓ Ö Ø Ö ÒØ Ð Ò Ð Ð ÐÓÕÙ Ø ÖÑ Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ð º È Ö Ø ØÖ Ó Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ò ÕÙ Ó Ø Ò Ð Ø ÜØÓ Ô ÖØ Ö ÙÒ Ð ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ø ÐÐ Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÒØ ÒÙ Òº ÓÒ Ð ÒØ ÓÖ ÐÓÕÙ ÙÒ Ð b Ú ÑÓ Ð ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø Ò Ð Ä ÌÖ Ñ ÒØ x = Node(b)º Ò ÙÒÓ ÐÓ ÒÓ Ó Ó Ø Ò Ð Ö Ø Ö ÔÓÖ Ð Ù Ð Ù Ð Ô Ö º Ð Ø ÜØÓ Ð ÐÓÕÙ Ó Ø Ò Ò ÒØ Ó ÒÚ Ö Ó Ù Ò Ó ÔÓÖ Ð ØÖ Ø Ð Ö Þ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ô Ö ÒØ Ò ÙÒÓ ÐÓ ÒÓ Ó º Ë ÑÓ ØÖ Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò Ð ÐÓÕÙ k Ø ÓÒ Ö Ð Ä ÌÖ Ù Ò Ó Node(k) Ý ÐÙ Ó Ù Ò Ó Ô Ö ÒØ Ó Ø Ò Ö ÐÓ Ö Ø Ö Ð ÐÓÕÙ Ò ÓÖ Ò Ö Ú Ö Óº Ë Ð ÓÙÖÖ Ò Ö Ñ ÙÒ ÐÓÕÙ ÐÓ Ñ ÑÓ ÓÒ ÐÓ ÐÓÕÙ k + 1 k + 2 Ý Ù Ú Ñ ÒØ Ø ÕÙ ÑÙ ØÖ Ð Ô ØÖ Ò ÓÑÔÐ ØÓº Ë ÔÙ Ö ÐÓ Ñ ÑÓ ÓÒ k 1 k 2 º º º Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÙÒ ÓÒØ ÜØÓ Ñ Ö Ò º ÓÑÓ Ú Ù Ò Ó Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÔÙ Ö ÙÔ Ö Ö ØÓ Ó Ð Ø ÜØÓ Ô Ö k 0...nº ÑÔÓÖØ ÒØ Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ó ÕÙ ÐÓÕÙ Ò Ó ÒÓ Ó Ò Ð Ä ÌÖ Ö ÔÖ ÒØ ÐÓ ÙÒ ÐÓÕÙ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ö Ö ÒÓ Ó Ó ÐÓÕÙ º À Ý ÕÙ Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ù Ò Ó Ð Ð ÒÓ Ó x Ò Ð ÓÒ Ó Ø Ñ Ò Ø Ð Ò Ó Ð ÐÓÕÙ B id(x) º ¾
Ô ØÙÐÓ ÖÖÓÐÐÓ º½º ÓÒ ÔØÓ Ò Ö Ð ÌÖ Ð Ö Ú Ò Ð Ð ØÖÙØÙÖ Ð Ä ¹ Ò Ü Ý Ð Ð ÕÙ ÔÖÓÚ Ò Ö Ó Ò Ð Þ Ö ÕÙ Ñ Ò Ö ÔÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ö Ð Þ Ö ÑÓ ÓÒ Ð ØÖÙØÙÖ º ÓÑÓ ÙØ Ò ¾º½º½ ÙÒÓ ÐÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ô Ö ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ø Ò Ú Ö Ð Ô ØÖ Ò Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ÙÒ Ù Ô ÖØ Ô Ö Þ Ò ÖÖÓÖ Ò Ð Ø ÜØÓº ÄÙ Ó Ò Ö Ó Ú Ö Ö Ð Ð Ô ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ó ÒÓ ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò ÓÑÔÐ ØÓº Ð Ò Ô ÖÑ Ø Ö ÙÔ Ö Ö Ñ Ò Ö Ö Ô ÐÓ Ð Ü ØÓ º Ñ Ð Ö ÙÒ ÙØÓ Ò ÔÓ Ð Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÜØÓ Ð Ð Ý ÙÒ ÓÒØ ÜØÓ ØÓ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ò º ÒÓØ Ö ÕÙ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ä ¹ Ò Ü Ø Ó Ô Ö Ô ÖÑ Ø Ö ÕÙ Ð Ö ÙÔ Ö Ò Ð Ø ÜØÓ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ô º ØÓ Ô Ö Ð ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ý Ð Ä ¹ Ò Ü Ù ÒÓ Ö ÙÐØ Ó º Ë ÓÑ ÒÞ Ö ÓÒ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò º ÄÙ Ó Ù Ö Ñ ÓÖ Ö ÐÓ Ø ÑÔÓ ÕÙ Ó Ø Ò Ö Ò Ô ÖØ Ö ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ñ ÒØ Ð ØÖÙØÙÖ Ý ÙÒ Ñ ÓÖ Ù Ó Ð Ò ÓÖÑ Ò Ó Ø Ò º Ù Ú Þ Ö Ú Ö Ò ÐÓ Ò Ó ÕÙ ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ñ ÒØ Ð ÒØ Ð Ô ØÖ Ò Ù Öº º¾º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ù Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ò Ö Ñ ÑÔÐ ÔÓ Ð Ò Ö ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ Ò Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ¾
Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ñ ÓÖ Ø ÑÔÓ º Ë ÖÚ Ö ÓÑÓ Ô Ó ÓÑÔ Ö Ò ÓÒ Ð Ù ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ º ÓÑÓ Ý ÙØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ù ÙÒ ÕÙ Ý ÙÒ Ú Ö Òº Ø ÐØ Ñ Ö Ð Þ Ö ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ú ØÓ Ò Ð Ò ¾º½º½º Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ó Ò Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò Ð Þ Ö Ð ÓÐÙÑÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ò Ð Ô ØÖ Ò P º ÓÒØ ÒÙ Ò Ð Ô ØÖ Ò P = p 1 p 2...p m Ð Ö Ó m Ú Ò k + 1 Ô ÖØ º Ô ÖØ ÒÓÑ Ò Ö O i Ð Ö Ó o i ÙÒ ÓÒ i = 1,...,k + 1º ÄÓ Ð Ö Ó Ð Ô ÖØ ÓÒ Ù Ð ÒØÖ Ý ÒÓ Ö ÔÓ Ð Ð Ö Ò ÐÓ Ñ ÙÒ Ö Ø Öº Ö Ð Ô ØÖ Ò Ð Ö Ý Ø Ù Ò Ó ÓÒ k = 2 ÖÖÓÖ Ð Ô ÖØ Ö Ò Ð Ö Ý º ÙÒ Ø Ô ÖØ Ú Ð Ô ØÖ Ò P Ò ØÖ ÓÒ Ð P = A i O i D i ÓÒ A i Ý D i ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ô ÖØ ÕÙ Ø Ò ÒØ Ý ÔÙ O i Ò Ð Ô ØÖ Ò Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º È Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÒÓ ÒØ Ö Ð Ð Ö Ó a i Ý d i ÙÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò ÓÑÓ 0 i = 1, a i = i 1 j=1 o j i 1 m i d i = j=1 o j i k + 1, 0 i = k + 1 È Ö Ô ÖØ O i Ù Ò Ù Ð Ø ÔÓ ½ ¾ Ý Ò Ð Ò º Ë Ø Ù Ö ÙÒ ÕÙ ÒÓÖÑ Ð Ð Ô Ó Ù ÒØ Ö Ö ÔÓÖØ Ö ÐÓ Ð º Ò Ø Ó Ò Ñ Ó Ý ÕÙ Ú Ö Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò ÓÖ Ò Ð ÓÒ ÐÓ ÖÖÓÖ Ô ÖÑ Ø Ó º È Ö ØÓ Ò Ö Ó Ð Ö ÙÒ ØÖ Ò Ð Ø ÜØÓ Ø Ñ Ó k + m + kº ØÓ Ó ÕÙ Ð ÓÙÖÖ Ò ÓÒ ÖÖÓÖ ÔÙ ÑÔ Þ Ö ÐÓ Ñ k Ö Ø Ö ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ ÙÑÓ k Ö Ø Ö ÔÙ Ð ØÖ Ò ÓÖ Ò Ðº Ò Ö Ó Ö ÐØ Ö ÕÙ Ð ÔÓ Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò ÑÔÖ ÙÒ Ò Ð ÐÓÕÙ º Ø Ñ Ò Ö Ð Ð ÕÙ ÒØÖÓ Ð ÐÓÕÙ Ð Ú Ö Ð offset Ò Ð Ø Ò ÒØÖ Ø ÔÓ Ò Ý Ð Ò Ð Ð ÐÓÕÙ Ö ÔÓÖØ Óº ÄÙ Ó Ô Ö ÒÓ Ó Ð Ò Ù Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ë Ð ÙÒ ØÖ Ò o i + a i + k + offset Ö Ø Ö ØÖ Ð ÔÓ Ò Ö ÔÓÖØ º Ð Ø ÜØÓ Ð ÐÓÕÙ ØÙ Ð Ó Ø Ò Ù Ò Ó ÔÓÖ Ð Ä ÌÖ Ó Ø Ò Ò Ó Ö Ø Ö ÔÓÖ Ð ÔÙÒØ ÖÓ ÕÙ Óº Ë Ò Ö Ó ¼
Ð Ö Ñ Ö Ø Ö ÐÓ ÓÒØ Ò Ó Ò Ø ÐÓÕÙ Ô Ð ÒÓ Ó ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÐÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ Ý Ö Ô Ø Ð ÓÔ Ö Ò ÒØ Ñ Ò ÓÒ º ØÓ Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ ÐÓÕÙ ÕÙ Ò Ò Ö Ó Ø Ð Ö ØÓ Ó Ð ØÖ Ò º ÓÑÓ Ú Ð Ý Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ø Ö Ù Ò Ó Ð Ó Ð ÒØ Ò Ö Ø Ò Ð ÔÖÓ Óº Ð ØÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ò Ö ÒÚ Ö º Ë ÐÑ Ò Ð Ö Ú Ô Ö ÔÓ Ö ÙØ Ð Þ ÖÐÓ ÓÑÓ ÙÒ ØÖ Ò ÓÑ Ò Ý ÓÖÖ ÒØ º ÆÓ ÚÓÐÚ ÑÓ Ù Ö Ð Ò Ð Ð ÐÓÕÙ ÓÖ Ò Ð Ð Ð º Ë Ð ÒØ Ö Ø Ö Ð Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ 2k + m ÖØ Ò ÐÓ Ö Ø Ö Ó Ö ÒØ Ð ØÖ Ò º ÓØÖ ÓÖÑ Ð Ò d i offset + k Ö Ø Ö Ð ÒØ º Ð Ø Ö Ù Ó Ð Ò Ð ÙÒ ÐÓÕÙ Ú Ð ÒÓ Ó ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÐÓÕÙ Ù ÒØ º ØÓ Ð Ù Ð ÕÙ Ö Ð ÒÓ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ Ô Ó ÐÓÕÙ ÒÓ Ó º ÒØÓÒ Ð Ð Ø ÜØÓ Ð ÐÓÕÙ ÒÚ ÖØ Ò ÓÐÓ ÒÑ Ø Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ø Ò Ò ÓÐÓ ÓÒ Ð ØÖ Ò Ö ÙÐØ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ðº È Ö ÐÓÕÙ Ð Ó ÕÙ Ð Ð Ö Ó Ø ØÖ Ò Ö ÙÐØ ÒØ º Ë Ø Ú ÐÓÖ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð 2k + m Ø Ò Ð ÔÖÓ Ó Ý ÖØ Ò ÐÓ Ö Ø Ö Ö Ø ÒØ º Ë ÒÓ Ö Ô Ø Ð ÔÖÓ Óº Ë ÙØ Ð Þ Ð ØÖ Ò Ó Ø Ò Ó Ô Ö ÙØ Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ô ØÖ Ò P Ý ÓÒ Ö Ò Ó ÐÓ k ÖÖÓÖ º ÄÓ Ð Ó Ø Ò Ó Ô ÖØ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ö ÔÓÖØ Ò Ò Ð ÓÖÑ ØÓ bloque, offsetº Ø Ñ Ñ Ò ÓÖÑ Ò ÐÑ Ò Ò ÙÒ Ø Ð Ô Ö Ú Ø Ö Ö ÔÓÖØ Ö Ð Ö Ô Ø Ó º ÓÑÓ ÑÔÐÓ Ú ÑÓ Ð ÔÖÓ Ó ÕÙ Ð Ô ØÖ Ò Þ Ö ÓÒ k = 2 ÖÖÓÖ º Ð Ô ØÖ Ò Ú Ò 3 Ô ÖØ Ó Ö Ø Ö ÙÒ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Þ µ ÒÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð Ø ÜØÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ Ò Ö Ö Ú Ö Ò Ð ÙÒ º Ä Ô ÖØ Ö ÕÙ Ö Ú Ö Ö ÐÓ ÐÓÕÙ 3 Ý 15 Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð Ô ÖØ Ö ÐÓ ÐÓÕÙ 4 10 12 Ý 16º Ð Ø ÐÐ Ü ØÓ Ð Ø ÜØÓ Ú Ö Ö ÔÙ Ó ÖÚ Ö Ò Ð ÙÖ º½º Ø ÔÖÓÜ Ñ Ò ÔÖ ÒØ Ð ÙÒ Ò Ò º Ë Ú ÑÓ Ð Ø ÒØ Ô ÖØ Ò Ð Ä ÌÖ Ð ÙÖ º¾ ÔÓ Ö ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ØÖ Ò Ö ÓÑ Ò ØÓ Ó ÐÓ ÐÓÕÙ ÕÙ Ý ÕÙ Ö Ú Öº ØÓ Ú Ò ÕÙ ÐÓ ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ù Ö ÓÐ Ð ÒÓ Ó 4 ÕÙ ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ø ÔÓ 1º È Ö ÒÓ Ó Ù Ö ÓÐ ÐÓ ½
ÙÖ º½ ÐÓÕÙ ÕÙ Ò Ú Ö Ö Ý Ù ÓÒØ ÜØÓ º ÕÙ Ø Ò Ó Ö Ð ÐÓÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÜØÓ Ø Ý Ö Ú ÖÐÓ Ö ÓÖÖ Ò Ó Ù ØÖÓ Ú Ô ÖØ Ð ØÖÙØÙÖ Ò ÓÖÑ ÒÒ Ö º ØÓ Ú Ö Ú Ó ÔÓÖ Ð ÐÙÐÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ ÔÙ ØÓ ÕÙ ÒÓ ÐÓ Ð Ò Ö Ô Ø Ú ØÖ Ò ÓÑÙÒ ÒÓ ÕÙ Ñ ØÓ Ð Ú ÚÙ ÐÚ ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÐÙÑÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ Ô Ö ØÓ º Ë Ö ÑÙÝ ÒØ Ö ÒØ ÔÓ Ö Ú Ø Ö Ø Ø ÔÓ ØÙ ÓÒ ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÓÖÖ Ó Ð ØÖÙØÙÖ Ý Ð Ó Ø Ò Ò ÐÓ Ö Ø Ö ÐÓ ÐÓÕÙ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒ Ñ Ö ÓÑÔÙØ Öº º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ØÓÖ Þ Ò Ó Ú Ö ÓÒ ÄÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÔÐ ÒØ Ó ÔÖ ÒØ Ò Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ Ò Ð ÓÙÖÖ Ò Ø ÔÓ 1 ÓÒ Ð ÒÓÒØÖ Ó ÑÔÐ ÙÒ Ù Ö ÓÐ ÕÙ Ö ÔÓÖØ Ö Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö Ú Öº ÈÓÖ Ø ÑÓØ ÚÓ ÒØÖ Ö ÑÓ ÒÙ ØÖ ÓÔØ Ñ Þ ÓÒ Ò Ø Ø ÔÓ Ð º ÆÓ Ö Ö Ö ÑÓ ÙÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÓÑÓ ÕÙ Ð ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ö Þ Ð Ù Ö ÓÐ Ö Ð y Ð ÔÙÒØÓ (a),3 Ð Ò º º¾ Ô Ò ¾ µ Ý ÓÑÓ Ð ÙÒ Ö Ó ØÓ Ó ÐÓ ÒÓ Ó ÒØÖÓ Ø º Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ð Ô ÖØ Ð Ô ØÖ Ò ÐÓ Ú Ò ØÖ ÓÒ Ð Ø Ð ÕÙ P = A i O i D i Ð Ö Ó a i o i Ý d i ÙÒ º Ø Ñ Ñ ÓÒ Ú Ò Ò Ò Ð ØÖ Ò ÕÙ Ð Ô Ö Ú Ö Ö Ò Ð ÓÖÑ A io i D i Ð Ö Ó a i o i Ý d i ÓÑÓ Ú ÑÓ Ò Ð ÙÖ º¾º ¾
ÙÖ º¾ Ë ÓÒ Ð Ð Ô ØÖ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ØÖ Ò ÕÙ Ú Ö ÓÒ k = 2 ÖÖÓÖ º Ø Ú Þ ÒÓ Ú Ö Ö Ó Ø Ò Ò Ó A i Ý D i ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÐÙ Ó Ù Ò Ó A i O i D i Ò A i O id i ÒÓ ÕÙ ÐÙÐ Ö Ò Ø Ò Ò ÒØÖ A i Ý Ù Ó A i Ý ÒØÖ D i Ý ÔÖ Ó D iº ÒÓØ Ö ÕÙ Ö ÔÓÖØ Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò A i O i D i Ò A i O id i Ø ÐÐ ÔÓÖ O i Ý Ø ÖÑ Ò Ò D i [j] Ý ÐÓ mín ed(a i, A j 1 i [j...a i ]) + ed(d i, D i [1...j]) k º½µ ÄÐ Ñ Ö ÑÓ sed(a i, A i) = mín j 1 ed(a i, A i[j...a i]) Ý ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ÒØÖ A i Ý ÐÓ Ù Ó A i ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ Ò Ð ÓÒ Ó Ð ÖÖÓÖ k ÓÒ ÕÙ ÒÓÒØÖ Ø Ô ÖØ º ÓÑ Ò ÑÓ ÓÒ ÖÒ Ó Ð ÐÙÐÓ D i ÓÒØÖ D iº Ç ÖÚ ÑÓ Ð ÙÖ º º Ò Ø ÙÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ð ÒÓ Ó xº Ð ØÖ Ò ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÐÓÕÙ ÓÑÔÖ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ x ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ñ ÒÓ Ø ÒÓ Ó Ø Ð Ö Þº Ð Ö ÙÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÑÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò Ð ÐÓÕÙ Ø ÖÑ Ò ÓÒ O i º ÌÖ Ú Ö Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ò Ø ÒÓ Ó Ý ÕÙ Ö Ú Ö ÐÓ Ð ÙÒ Ö Ó Ð Ù Ö Óк ÈÓ ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð Ö Ð ÒÓ Ó y ØÖ Ú Ð Ö Ø Ö c Ò Ð ÓÒ Ó ÐÓ ÕÙ Ø ÑÓ Ò Ó Ó Ø Ò Ö ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ø Ö D iº Ä Ö Ò ÓÒ ÙÒ ÕÙ ØÖ ÓÒ Ð Ò ÙÒ Ö ÓÐ ÕÙ Ò Ú Þ ÐÓ ÓÒØ ÒÙ Ö Ò Ó Ò ÒÓ Ó Ò Ö Ó Ö ÐÓ ÐÓÕÙ ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò ÓÒØ ÒÙ Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ð ÒÓ Ó y Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÜØÓ ÕÙ ÓÒ Ø ØÙÝ D i ÓÒØ Ò Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ö ÕÙ Ö cº Î ÑÓ ØÓ ÓÒ ÙÒ ÑÔÐÓº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ù ÑÓ ÖÑ ÓÒ k = 1 ÖÖÓÖº ØÓ Ò Ú Ö Ð Ô ØÖ Ò Ò Ó Ô ÖØ Ö Ý Ñ º Ä ÓÙÖÖ Ò Ø ÔÓ 1 Ö ÒÓ ÒØÖ Ö Ò ÓÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ð ÒÓ Ó ÒØ ÓÖ 4 Ò Ð ÙÖ º¾º ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ö Ó Ú Ö Ö Ø ÒÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Òº È Ö ØÓ Ý ÕÙ ÓÑÔ Ö Ö ÐÓ 3 Ö Ø Ö ÕÙ Ø Ò ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ð Ø ÜØÓº ØÓ Ò Ó Ø Ò Ö Ð Ø ÜØÓ ÐÓ ÐÓÕÙ 5 Ý 6º
ÙÖ º Ä ÌÖ Ú Ø Ò Ö º ÍÒ Ú Þ Ö Ð Þ Ó ØÓ Ô ÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ÙÒ Ö Ó ÕÙ Ö Ð ÒÓ Ó ÒØ ÓÖ 12º ÕÙ Ø Ñ Ò Ò Ö Ú Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Òº Ø Ú Þ Ò Ñ Ö Ó ÐÓ Ò Ø ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ó Ö Ø Ö ÓÒØ ÒÙ Ò Ð ÐÓÕÙ ØÙ Ð ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÓ ØÖ ÓÖ Ò Ð Ø Ó ÔÓÖ Ð Ö Ø Ö ØÖ Ú Ð Ù Ð Ò Ð Ù Ö Óк Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ö Ô Ø Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ð ÙÒ Ö Ó Ð Ù Ö ÓÐ Ö Þ 4º ÌÖ ÓÑÔÖ Ò Ö ØÓ Ö ÙÐØ Ò ØÙÖ Ð Ð Ò Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó Ð Ö ÓÐ Ò ÙÒ ÓÖÑ ØÖ Ò ÕÙ Ñ Ø Þ Ó Ò Ð ÙÖ º º Ê ÓÖÖ ÑÓ Ò ÔÖÓ ÙÒ ÓÒ ÖÚ Ò Ó Ð Ø Ó Ð ÓÐÙÑÒ ÐÙÐÓ Ø Ò Ò Ô Ö D i Ý Ð ÔÖÓ ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ò Ð Ù Ö ÓÐ Ð Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÕÙ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ profº Ø ÓÐÙÑÒ ÐÑ Ò Ò ÒÓ Ó ØÙ Ð Þ Ð Ö Ò Ð Ö ÓÐ ÓÒ Ð Ö Ø Ö ØÖ Ú Ð Ù Ð Ý ÖØ Ð Ù Öº Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒ ÔØÙ ÐÑ ÒØ Ö Ð Þ Ö Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Þ Ø Ò Òº Ð Ö Ö Ò ÓÐÙÑÒ Ð Ñ ØÖ Þ Ý Ð Ù Ö Ö ÑÙ Ú Ò Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ÚÓÐÚ Ö Ö Ð ÓÐÙÑÒ ÓÑÔÙØ Ò Ð ÓÐÙÑÒ ÒØ Ö ÓÖº Ø ÓÖÑ Ó Ø Ò Ð ÐÙ Ò ÒÙÒ Ö Ö ÓÖÖ Ó Ð ÓØÖÓ Ñ ÒÓº Ò ÒÓ Ó ÙØ Ð Þ ÙÒ ÓÔ Ð ÓÐÙÑÒ Ø Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÒÓ Ó Ô Ö Ú Ö Ö D i ÓÒØÖ Ð Ø ÜØÓ D i ÐÓ ÐÓÕÙ Ù ÒØ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ô Ö ÔÓ Ö Ò Ö ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò ÒÓ Ø ÐÓ ÓÒ Ð ÖÖÓÖ D i Ú Ö Ù D i ÒÓ Ø Ñ Ò Ð A i ÓÒØÖ A i ÓÑÓ Ø ÐÐ Ò Ð Ù Ò º½º ÍÒ Ñ Ò Ö ÒØÙ Ø Ú ÒØ Ò Ö Ø Ù Ò Ú Ö ÕÙ A i ÐÞ ÓÒ ÙÒ
ÙÖ º ÈÖÓ Ñ ÒØÓ ØÖ Ò Ò Ð Ö Óк Ù Ó A i ÓÒ k ÖÖÓÖ ÒØÓÒ Ô Ö ÕÙ Ü Ø ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ò Ö Ó ÕÙ D i Ð ÓÒ ÙÒ ÔÖ Ó D i ÓÒ ÐÓ ÙÑÓ ÓÒ k k ÖÖÓÖ º Ø Ö ÙÐØ Ó ÔÙ Ò Ö Ð Þ Ö Ý ÕÙ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÑÓÑ ÒØÓ Ð ÖÖÓÖ ÐÙÐ Ó sed(a i, A i ) Ü k ÒØÓÒ ÒÓ ÔÓ Ð ÕÙ Ü Ø ÙÒ ÓÙÖÖ Ò Ð Ô ØÖ Ò Ý ÒØÓÒ Ô Ð Ù ÒØ ÒÓ Óº È Ö ÐÙÐ Ö sed(a i, A i ) Ò Ö Ó Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÕÙ A i ÔÙ ÒÓÒØÖ Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ò Ð ÐÓÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó O i Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ Ð ÒÓ Ó xº Ò Ø Ó A i Ð Ñ ÑÓ Ô Ö ØÓ Ó Ð Ù Ö Óк Ä ØÙ Ò Ñ Ð Ö Ò Ð Ó ÕÙ A i = εº ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÕÙ ÒØ Ò Ð ÒÓ Ó xº Ò Ø Ó A i Ø ÒØÓ Ô Ö ÒÓ Ó Ð Ù Ö Óк È ÖØ A i Ò Ð ÒÓ Ó x Ý Ð Ö ØÓ Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÕÙ ÐÓ ÒØ Òº ÈÓ ÑÓ Ú Ö ÑÔÐ Ó ØÓ Ò Ð ÙÖ º¾º È Ö Ð ÕÙ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ð Ô ÖØ O i ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ø ÜØÓ Ð ÖÓ ÕÙ Ô ÖØ A i Ð Ð ØÖ Ð µ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð Ñ ÑÓ ÐÓÕÙ ÕÙ O i Ò Ñ Ö Ó Ð Ö ØÓ µ Ø Ò Ð ÐÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖº Ë Ð Ô ÖØ O i Ù Ö Ð Ø ÜØÓ Ö ÒØÓÒ Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó A i ÒÓÒØÖ Ö Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ º È Ö ÔÓ Ö Ö ÙØ Ð Þ Ö Ð Ñ Ü ÑÓ Ò ÓÖÑ Ò Ð Ú Ö Ò A i Ö Ð Þ Ò ÒØ Ó ÒÚ Ö Óº Ö Ð ÓÐÙÑÒ Ø Ò Ò ÓÒ ØÖÙÝ Ô Ö Ð ØÖ Ò A r i º Ð Ö Ð Þ Ö Ð Ú Ö Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ÔÓ Ð ÓÖÖ Ö Ð Ò Ð Ö Ð ÐÓÕÙ ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÐÙ Ó ÖÐÓ ÚÙ ÐØ º Ä ÕÙ A i Ø ÒØÓ Ô Ò Ò Ó Ò ÒÙ ÒØÖ A i
Ë ÒÙ ÒØÖ ÓÐÙØ Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ò Ð ÐÓÕÙ ÔÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖÓÖ Ô ÖØ sed(a i, A i )µô Ö ØÓ Ó Ð Ù Ö ÓÐ Ò Ò ÚÓÐÚ Ö Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÐÙÐÓ ÔÓ Ø Ö ÓÖº Ë A i ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ Ú Ö Ò Ô ÖØ ÓÒ ÙÒ ÓÐÙÑÒ Ö Ò Ò Ð Þ º Ë A i Ø Ú Ó Ò A i = A i A i ÓÒ A i ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÐÓÕÙ O i Ý A i Ò ÐÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ ÒØÓÒ Ð ÐÙÐÓ ed(a i, A i ) ÓÑ Ò ØÓ Ó Ð Ù Ö ÓÐ Ý Ð ÕÙ Ò ÐÓ ÐÓÕÙ ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Þ Ò ÓÒ A i Ú Ø Ò Ó Ö ÔÖÓ ÖÐÓ Ú Þº Ò ÐÑ ÒØ Ò Ö Ó ÙÒ ÖÖ ÐÓ H Ô Ö ÓÒ ÖÚ Ö Ð ÐØ Ñ Ð Ð Ñ ØÖ Þ ÓÒ ÔØÙ Ð Ð ÐÙÐÓ ed(d i, D i )º Ð ÑÓØ ÚÓ ØÓ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó Ð ÙÒ Ö Ó Ô ÖØ D i Ý Ö ÓÖÖ Ó Ý Ô Ò Ò Ó sed(a i, A i ) Ò ÒÓ Ó ÔÙ ÕÙ Ü Ø ÙÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ó Ò Ð Ò ÔÖ Ó Ý Ö ÓÖÖ Ó D iº Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÙØ Ð Þ ÙÒ Ø Ô Ö ÐÑ Ò Ö ÐÓ Ø Ó Ð ØÖ Ò º ØÓ ÓÙÔ Ñ ÒÓ Ô Ó ÕÙ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ö ÓÖÖ Ó Ö ÙÖ ÚÓ Ò Ð Ö Óк Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ô Ö Ð Ô ÖØ O i Ð Ù ÒØ Ë Ò Ð Þ Ò Ð ÓÐÙÑÒ ÐÙÐÓ Ø Ò Ò Columna A Ý Columna D Ô Ö A r i Ý D i Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ò Ð Þ Ð ÖÖ ÐÓ H Ý prof Ý Columna D ÐÑ Ò Ò Ð Ø º Ë Ù Ò ÐÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ø ÔÓ 1 O i º È Ö ÒÓ Ó x ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ë Ó Ø Ò Ð ÐÓÕÙ ÕÙ ÐÓ Ö ÔÖ ÒØ º Ü Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ô ÖØ A i A i ÓÒØ Ò Ò Ð ÐÓÕÙ Ý Ð Ô ÖØ A i ÐÓÒ ØÙ ÓÒ a i Ý a i Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ØÙ Ð Þ ÑÓ Ð Columna A ÔÖÓ Ò Ó A r i º Î Ö ÑÓ Ð Ð Ò xº È Ö ØÓ Ë Ò ÓÔ Ò Ð ÓÐÙÑÒ Ø Ò º Ò ÐÓÕÙ ÔÖ Ú Ó º ËÙ Ë Ó Ø Ò Ò a i +k a i Ö Ø Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ A i ÐÓ ÐÓÕÙ x 1 x 2 º º º º Ë Ó Ø Ò Ð ÖÖÓÖ k = sed(a i, A i )º
Ë k k Ó Ø Ò ÑÓ d i +k Ö Ø Ö ÐÓ ÐÓÕÙ x+1 x+2 º º º Ý ÓÑÔÙØ Ò Ð Ø Ò º ÄÓ Ð ÒÓÒØÖ Ó ÓÒ Ö ÔÓÖØ Ó º ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÑ ÒÞ Ð ØÖ Ò º È Ö Ð ÙÒ Ö Ó y Ò Ð Ò ÓÖ prof ÔÖÓ ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ó ÖÑ ÒÓ Ó Ò ØÖÓ Ð ÒÓ Ó ÒØ Ö ÓÖº Ë ÙÒ Ó ÑÔÐ ÕÙ ÑÓ Ò Ð ØÖ º ÒØÓÒ Ë Ó Ø Ò Ð Ö Ø Ö ÔÓÖ Ð Ù Ð ÐРк Ë ÓÔ Columna D Ð Ô Ö Ý ØÙ Ð Þ Ø ÓÐÙÑÒ Ý Ð ÖÖ ÐÓ H Ò Ð ÒÙ ÚÓ Ö Ø Öº Ä ÓÐÙÑÒ ÐÑ Ò Ò Ð Ø º Ë ÙÒ ÖÑ ÒÓ ÕÙ Ö Ö ÕÙ Ù ÑÓ Ò Ð Ñ ÑÓ Ò Ú Ð Ð ÒÓ Ó ÒØ Ö ÓÖº ÓÒØ ÒÙ Ò Ë ÓÖÖ Ð Ø Ð ÓÐÙÑÒ Ð ÖÑ ÒÓ ÔÖ Ú Ó Ý Ö ØÖÓ ÙÒ ÔÓ Ò Ò Hº Ë Ó Ø Ò Ð Ö Ø Ö ÔÓÖ Ð ÕÙ ÐÐ Ø ÖÑ ÒÓº ÓÔ ÑÓ Columna D Ð Ô Ö Ý ØÙ Ð Þ ÑÓ H Ý Columna D Ò Ð Ö Ø Öº Ä ÒÙ Ú ÓÐÙÑÒ ÐÑ Ò Ò Ð Ø º Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ Ò ØÖÓ ÕÙ Ö Ö ÕÙ ÑÓ Ù Ó Ò Ð Ö Óк Ä Ù ÒÓ ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ ÔÖÓ Ö Ú Ö ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ñ ÙÒ Ò Ú Ðº Ò Ó Ë ÓÖÖ Ò Ð Ø ØÓ Ó ÐÓ Ø Ó ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ ÔÖÓ ÙÒ prof Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ð Ð ÒÓ Ó ØÙ Ð Ý Ö ØÖÓ Ò H Ø ÒØÓ Ô Ó ÓÑÓ Ò Ú Ð Ù ÖÓÒº Ë Ó Ø Ò Ð Ö Ø Ö ÔÓÖ Ð Ù Ð ÐÐ Ø ÒÓ Ó Ù Ô Ö º Ë ÓÔ Columna D Ð Ô Ö Ý ØÙ Ð Þ Ø Ý Ð ÖÖ ÐÓ H Ò Ð Ö Ø Ö Ó Ø Ò Óº Ä ÒÙ Ú ÓÐÙÑÒ ÐÑ Ò Ò Ð Ø º ÍÒ Ú Þ Ö Ð Þ Ó ØÓ Ú Ö Ò Ð ÓÙÖÖ Ò Ë Ò ÓÔ Ð ÓÐÙÑÒ Ø Ò º Ë Ó Ø Ò Ò a i + k a i Ö Ø Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ A i ÐÓÕÙ y 1 y 2 º º º º Ë Ó Ø Ò Ð ÖÖÓÖ k º ÐÓ Ë Ö Ú Ò Ð ÖÖ ÐÓ H H[h] + k k Ô Ö Ð Ò hº Ö Ð ÓÙÖÖ Ò ÓÒ Ö ÔÓÖØ Ó º
Ë ØÖ Ð ØÙ Ð Þ Ò ÓÒ Ð Ö Ø Ö ÔÓÖ Ð ÕÙ Ò ÐÓ Ø ÒØÓ Ó Ð ÖÖÓÖ ed(d i, D i [j...prof]) + k kº Ö Ö ÔÓÖØ ÙÒ ÓÙÖÖ Ò º Ò ÐÑ ÒØ k k Ó Ø Ò ÑÓ d i +k prof Ö Ø Ö y+1 y + 2 º º º Ý ÓÑÔÙØ Ò Ð Ø Ò º ÄÓ Ð ÒÓÒØÖ Ó ÓÒ Ö ÔÓÖØ Ó º Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò Ö ÓÖÖ Ó ÐÓ Ù Ö ÓÐ ØÓ Ó ÐÓ Ð Ø ÔÓ 1 O i º ÄÓ Ð Ø ÔÓ 2 Ý 3 Ö Ú Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ø Ò Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ò Ó Ø Ò Ö Ø ÑÔÓ ÕÙ j > k Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ò ÙÒ Ð ÓÖ Ò Ó Ö Ù Ú Ö ÓÒ º Ä Ö Þ Ò Ô Ö ØÓ Ö Ò ÕÙ ÐÓ Ð Ø ÔÓ 2 Ý 3 ÓÒ ØÓ Ó Ö ÒØ º ØÓ ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙ Ð Ð O i ÜØ Ò ØÖ Ú Ó ÐÓÕÙ Ò Ð Ø ÔÓ 2 Ý ØÖ Ó Ñ ÐÓÕÙ Ò Ð Ø ÔÓ 3 ÓÒ ØÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓÕÙ ÓÒ Ö ÒØ Ý Ò Ó Ô Ö Ð º ØÓ Ö ÙÐØ Ò ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ð Ö ÙØ Ð Þ Ö Ò ÓÖÑ Ò ÒØÖ ÐÓ Ð Ø ÔÓº º º ÇÔØ Ñ Þ Ò Ð Ô ÖØ Ò Ò Ð Ò º ÓÒ Ö ÙÒ Ð Ó ÔÓ Ð ÓÔØ Ñ Þ Ò ÕÙ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ Ó Ô ÖÑ Ø º Ò Ø Ò ÙØ Ö ÑÓ ÙÒ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ö Ð ÓÒ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ñ ÑÓº À Ø Ø Ñ ÒÙØÓ Ð Ú Ò Ð Ô ØÖ Ò Ó Ò Ô ÖØ Ù Ð Ò Ð Ñ ÐÓ ÔÓ Ð º Ë Ò ØÓ Ö ÙÐØ Ö ÞÓÒ Ð Ý ÑÔÐ Ð Ô ÖØ Ö ÙÐØ ÒØ Ø Ò Ò ÙÒ Ö Ò ÑÔ ØÓ Ò ÐÓ Ø ÑÔÓ ÕÙ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò ÒÙ ØÖÓ Ø ÜØÓ Ð Ö Ð Ð Ö Ô Ö Ô Ð Ö ÖÐ Ù ÑÓ Ð Ö ÓÒ Ó ÖÖÓÖ Ð Ô ÖØ Ö ÙÐØ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ý º ØÓ Ò Ö ÙÒ ØÓØ Ð 22 Ú Ö ÓÒ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ñ ÑÓ Ô ØÖ Ò Ú Ò Ð Ý Ö ÐÓ Ö ÕÙ Ö 10 Ú Ö ÓÒ º Ð ÖÓ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ú Ö ÓÒ Ö Ð Þ Ö Ô Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ò ÓÑÙÒ ÓÒ Ð Ô ÖØ Ö ÙÐØ ÒØ Ð Ô ÖØ Ò ÒØÖÓ Ð Ø ÜØÓº Ä Ñ ÓÖ Ð Ò Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ Ö ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ñ Ò Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ú Ö ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ð Þ Ö Ò Ð Ò º ØÓ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒ Ð Ù ÒØ Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ M i,j ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ñ Ò ÑÓ ÓÙÖÖ Ò ÕÙ Ò Ú Ö Ö Ð Ú Ö P i,n Ò j Ô ÖØ º Ò ÒÙ ØÖÓ Ó Ù ÑÓ M 1,k+1 º
M i,j = mín i i m (occ(p i...i ) + M i +1,j 1), i = 1...m, j = 1...k + 1 º¾µ M i,1 = occ(p i...m ) º µ Ò Ø ÖÑÙÐ occ(p i...j ) ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ð Ð Ù ØÖ Ò P i...j Ò Ð Ø ÜØÓ Ö occ(p i...j ) = occtipo1(p i...j ) + occtipo2(p i...j ) + occtipo3(p i...j ) Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ ØÓÑ ÐÙÐ Ö Ð Ñ ÓÖ Ô ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÐØ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ò Ò Ó Ø Ò Ò Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ º È Ö Ú Ø Ö Ø ØÙ Ò ÑÓ Ö Ð ÐÙÐÓ Ð ÖÑÙÐ Ô Ö ÔÓ Ö ÖÐÓ ÐÓ Ñ Ö Ô Ó ÔÓ Ð Ò ØÓ ÒÓ Ö ÒØ Þ ÕÙ Ó Ø Ò Ð Ñ ÓÖ Ô ÖØ Òº Ä ÔÖ Ñ Ö ÑÓ ÓÒ Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð ÑÔÙØÓ occº Ë Ò ÐÓ Ð Ø ÔÓ 1 ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ö ØÓ ÐÙÐ Ö occtipo2 Ý occtipo3 Ö ÙÐØ Ò ÑÙ Ó Ñ ÖÓ º È Ö Ô Ð Ö ØÓ ÐÓ occtipo1 Ø Ú Ñ ÒØ ÐÙÐ Ó occtipo2 Ø Ñ Ó Ò ØÓ Ð Ý occtipo3 ÒÓÖ Ý ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÓÓ Ð Ò ÓÑÔ Ö Ò Ð ÓØÖ º Ä Ø Ñ Ò Ô Ö occtipo2 ÑÙÝ ÑÔÐ Ò Ð Ò º º¾ Ô Ö Ù Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ø ÔÓ 2 Ò Ð Ä ¹ Ò Ü Ð Ô ØÖ Ò Ú Ò Ó Ô ÖØ P 1,w Ý P w+1,n ØÓ Ð ÓÖÑ ÔÓ Ð º Ä ÒÓÒØÖ Ö ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò Ò ÙÒ ÐÓÕÙ Ý ÙÝ ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÔ Þ Ò Ð Ù ÒØ º È Ö ÒÙ ØÖ Ø Ñ Ò ÐÙÐ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð ÐÓÕÙ ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒÓ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÓÒ P 1,w ÑÔ ÓÒ P w+1,n ÓÑÓ Ù Ö Ò Ú ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ º Ö ÐÙÐ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ ÐÓ Ú ÒØÓ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ calces primarios de P 1,w n bloques calces primarios de P w+1,m n bloques ØÓ ÓÒÚ ÖØ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÓÐÓ ÔÓÖ n bloques º Ê ÙÐØ Ú ÒØ ÕÙ ÙÖ ÒØ Ð ÐÙÐÓ Ð Ö ÙÖÖ Ò Ö Ò Ö Ó Ó Ø Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ occ(p i...j ) Ô Ö Ð Ñ ÑÓ Ù ØÖ Ò Ñ ÙÒ Ú Þº È Ö ÒÓ Ô Ö Ö Ð ØÖ Ó Ý Ö Ð Þ Ó ÙØ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÖ Þ G m m ÓÒ Ò Ð Ð G[i, j] ÐÑ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ð Ó Ø Ò Ó Ô Ö Ð Ô ÞÓ P i...j º Ë ÔÙ ÒÓØ Ö ÕÙ occ(p i...j ) máx(occ(p i 1...j ), occ(p i...j+1 )) ÔÙ ØÓ ÕÙ Ð Ù ØÖ Ò P i...j Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒØ Ò Ó Ò ÐÓ Ù ØÖ Ò P i 1...j Ý P i...j+1 º
Ø Ó ÖÚ Ò Ô ÖÑ Ø Ð Ö Ö Ð ÐÙÐÓ Ð Ö ÙÖÖ Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó máx(occ(p i 1...j ), occ(p i...j+1 )) ÓÑÓ ÙÒ ÓØ º Ù Ò Ó Ò Ø Ö Ð Ú ÐÓÖ G[i, j] = occ(p i...j ) ÒØ ÐÙÐ ÖÐÓ Ö Ú ÙØ Ð Þ Ò Ó G[i 1, j] Ó G[i, j + 1] Ð Ú ÐÓÖ Ó Ø Ò Ó ÐÓ Ô Ö Ð ØÖ ÑÓ P i...j Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ò ÑÓ ØÙ Ð Ô Ö ØÓ Ó P º Ö ÒÓ Ò Ö Ó Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ Ö Ð ÐÓ Ð ÔÙ ØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò ÒÓ Ð ÔØ Ñ º Ö Ñ ÒÓÖ ÓÑÔÙØ occ(p i...j ) Ô Ö Ð Ð º Ð ÐÙÐÓ Ð Ö ÙÖÖ Ò Ö Ð Þ ÙÑ ÒØ Ò Ó i Ý Ô Ö i ÙÑ ÒØ Ò Ó jº Ò Ô Ó Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÓÙÖÖ Ò ÐÙÐ Ñ ÒÙÝ Ò Ó i Ö ÓÑ ÒÞ ÓÒ m Ø ÐÐ Ö iº Ð ÔÖÓÔ ØÓ Ø Ö ÓÖÖ Ó ÔÓ Ö ÓÒØ Ö ÓÒ ÙÒ ÓØ Ô Ö Ð Ð G[i, j] ÒØ ÐÙÐ ÖÐ Ý Ñ Ú ÒÞ Ö Ð Ð Ñ Ö Ø ÐÙÐ Ö Ñ ÝÓÖ Ð Ö Ó Ñ ÒÓ ÓÙÖÖ Ò µ Ð Ñ Ö º Ä Ñ ØÖ Þ G Ò Ð Þ ÓÒ 0 Ø Ñ Ò Ö ÙÒ Ð ÕÙ ÒÓ Ø ÐÙÐ ÙØ Ð Þ ÓÑÓ ÓØ Ó Ð Ð ÐÙÐÓ Ð Ú ÐÓÖ Ö Ð Ð ÓÙÖÖ Ò º ÓÒ ÐÑ ÒØ Ð ÖÑÙÐ Ð Ö ÙÖÖ Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö M i,j = mín (occ(p i+l i i...i ) + M i m +1,j 1) i = 1...m, j = 1...k + 1 ÓÒ l = m/(k + 1) º Ä ØÖ Ø ÑÓ Ò Ù Ö Ô ÞÓ ÕÙ Ò ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ Ð Ð Ö Ó Ð Ô ÖØ Ò ÕÙ Ô º Ä ÙÖ Ø ØÖ ØÓ ÕÙ Ò Ò Ö Ð Ô ÞÓ ÑÙÝ ÓÖØÓ Ò Ö Ò Ñ Ú Ö ÓÒ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÔÖÓ Ð ÕÙ ÖÚ Ò Ô ÖÓ ÐÙÐ Ö Ù Ð Ó ØÓ Óº ÒØÓÒ Ù ÑÓ ÓØ Ö Ð Ð Ö Ó Ñ Ò ÑÓ Ð Ô ÖØ ÕÙ ÑÓ Ó Ø Ò Öº Ò ÐÑ ÒØ Ò Ð M i,j ÐÑ Ò Ð Ñ Ò ÑÓ Ó Ø Ò Ó Ý Ð Ò i Ô Ö Ð Ù Ð Ø Ó ØÙÚÓº Ë Ò Ø Ò ÒÓ ÙØ Ð Þ Ò Ð ÑÔÙØÓ Ð Ö ÙÖÖ Ò Ò Ö Ó Ð Ö ÙÔ Ö Ö Ð Ô ÖØ Ò ÙØ Ð Þ Öº È Ö ØÓ Ö ÓÖÖ Ð Ñ ØÖ Þ M Ô Ö i = 0 j = k +1 Ý Ù Ð Ñ Ò ÑÓ ÓÙÖÖ Ò º Ð ÒÓÒØÖ Ö Ù Ö i ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ò ÓÒ ÓÖØ Ö Ð Ô ØÖ Òº ÓÒØ ÒÙ Ò Ù Ð Ù ÒØ Ò M i +1,j 1 Ø Ó Ø Ò Ö ØÓ Ð Ô ÖØ j = 0µº Ä ÕÙ Ò Ð Ò Ö Ð Þ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÕÙ ØÓÖ Þ Ú Ö ÓÒ Ú Ø Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ Ð Ô ÖØ Ó Ø Ò Ð ÔÖÓ Ó ÓÔØ Ñ Þ Òº ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ Ô Ò ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØÓ l Ô Ö Ú ÐÙ Ö ÓÑÓ Ò Ù ØÓ Ò Ð Ø ÑÔÓ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ý Ò Ð Ó Ø Ò Ò ÓÖØ Ñ ÓÖ Ó Ô ÓÖ Ð º ÌÖ Ð ÙÒ ÔÖÙ Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ø Ò ÐØÓ ÕÙ ÒÓ Ú Ð Ð Ô Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ò ÓÒ Ðº ¼
º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ó Ö ÓØÖÓ Ò Ä ØÖ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÔÖÓÚ Ö Ð ØÖ Ó ÖÖÓÐÐ Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÑÔ Ö Ò Ò Ø ÚÓº Ë Ò ÒØ Ö ÒØ Ö ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ü ÓÒ Ö Ô ØÓ Ù Ô Ö Ò Ø ÜØÓ ÔÐ ÒÓ Ö ÙÐØ ÑÙÝ ØÖ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò Ö ÑÓ ÑÔ Ø Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ò ÓØÖÓ Ô Ö Ø Ñ Ñ Ð ÓÖº È Ö Ø ÔÖÓÔ ØÓ ØÓÑ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Å¹ Ò Ü ÖÖÓÐÐ Ò ½¼ Ý Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ º Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ó Ð Ä ¹ Ò Ü ÒÓ ÑÓ Ö Ð ØÖÙØÙÖ Ð Ò ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð ÓÐÙ Ò ÙØ Ò Ð Ò º¾ Ý Ð ÓÔØ Ñ Þ Ò Ð Ô ÖØ Ò Ú Ø Ò Ð Ò º º ÆÓ ÒØ ÒØ Ñ Ö Ð ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ ÔÓÖ Ó ÐÙÐÓ Ø Ò ÓÑÓ Ò Ð Ò º Ý ÕÙ Ô Ö Ú Ö Ò Ò Ð Å¹ Ò Ü Ò Ö Ó Ó Ø Ò Ö ØÓ Ó Ð Ø ÜØÓ ÕÙ ÒÙ ÒØÖ ÒØÖ Ó ÔÓ ÓÒ ÑÙ ØÖ Ô Ö ÔÓ Ö ÐÓ Ð Þ Ö Ð Ð º ØÓ ÙÐØ Ð ÔÐ Ò Ð Ø Ò Ö Ø º Ò Ð Ó Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÓÒ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ð Ô ÖØ Ò Ð Ò Ö Ò ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ØÓ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ð Ü ØÓ Ô Ö Ð ÐÙÐÓ Ð Ö ÙÖÖ Ò º ØÓ ÔÖÓÚ Õ٠РŹ Ò Ü Ô ÖØ ÙÐ ÖÑ ÒØ Ö Ô Ó Ô Ö ÓÒØ Ö ÐÓ Ð º È Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÙØ Ð Þ Ð ÕÙ Ñ ÑÔÐ Ô ÖØ ÓÒ Ñ ÒØÓ ÙØ Ó Ò Ð Ò º¾º ÈÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ Ý ÓÑÓ ÙØ Ò Ð Ò º½ ØÖ Ù Ö ÙÒ Ô ÖØ Ð Ô ØÖ Ò Ó Ø Ò ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ð ÖÖ ÐÓ Ù Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ð º È Ö Ú ÐÓÖ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ù Ý ÓÑÔÖ Ñ Ð Ø ÜØÓ Ò Ö Ó Ô Ö Ð Ú Ö Òº Ò Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ Ð Ú Ö Ò Ö Ð Þ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ º ½
Ô ØÙÐÓ Ê ÙÐØ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð È Ö Ú ÐÙ Ö Ð ÓÐÙ ÓÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Þ ÖÓÒ ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ ÓÒ Ù ØÖÓ ÓÐ ÓÒ Ø ÜØÓ Á ¾ ÓÖÖ ÔÓÒ 84 Å ÝØ Å µ Ó Ø Ò Ó Ð Ó Á ¹¾ Ð ÓÐ Ò ÌÊ ¹ º Æ Ö ÚÓ 52 Å ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Æ Ð ÀÓÑÓ Ë Ô Ò Ó Ø Ò Ó Ð ØÓ Ù Ò Ò Ò Ø Ò Ò ½ ÓÒ Ð Ò ÓÖØ 60 Ö Ø Ö º ÈÊÇÌ ÁÆ Ë 71 Å Ð ØÓ Ù Ò Ò ÔÖÓØ Ò ËÛ ¹ ÈÖÓØ ¾ º ÂÊÊÌ Ð Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ð ØÖ ÐÓ Ð ÓÖ ÐÓ Ò ÐÐÓ ÂºÊºÊº ÌÓÐ Òº Ð Ö ÚÓ ÓÙÔ 2,8 Å º Ä ÔÖÙ ÙØ ÖÓÒ Ò ÙÒ ÔÖÓ ÓÖ È ÒØ ÙÑ 4 3,06 ÀÞ ÓÒ 1 ÝØ µ Ê Å Ý 512 à ÐÓ ÝØ Ã µ ÓÖÖ Ò Ó Ä ÒÙÜ ÖÒ Ð 2,6,8º Ð Ó ÓÑÔ Ð ÓÒ ÐÓ ¹Ç¾ ¹ ÓÑ Ø¹ Ö Ñ ¹ÔÓ ÒØ Öº ÄÓ Ô ØÖÓÒ ÙØ Ð Þ Ó Ô Ö Ð ÕÙ Ó ØÙÚ ÖÓÒ Ø ÜØÓº È Ö ØÓ Ð Ý Ð Ð Ö Ó Ö ÕÙ Ö Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ ÔÓ Ò Ð Þ Öº Ò Ð Ó Ð Æ ÓÑ Ø ÖÓÒ Ô ØÖÓÒ ÕÙ ÓÒØÙÚ Ö Ò Ð Ð ØÖ ³Æ³ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ö Ø Ö ÓÒÓ Ó Ý ÒÓ Ù Ð º È Ö Á ¾ ÓÑ Ø ÖÓÒ ÐÓ Ô ØÖÓÒ ÕÙ ÓÒØÙÚ Ö Ò Ø Ó Ö Ø Ö ÒÓ Ú Ð ÓÑÓ ³²³º È Ö Ð Ó Ø Ò Ò ÐÓ Ô ØÖÓÒ ½ ØØÔ»»ÛÛÛºÒ ºÒÐÑºÒ º ÓÚ» Ò Ò» Ò Üº ØÑÐ ¾ ØØÔ»» Ùº ÜÔ ÝºÓÖ» ÔÖÓØ» ¾
ÈÊÇÌ ÁÆ Ë ÓÑ Ø Ð Ð Ò ÕÙ ÒØ ÔÖÓØ Ò ÓÑÔÙ Ø ÔÓÖ Ð ÒÓÑ Ö Ý ÓØÖÓ ØÓ º Ô ØÖ Ò Ù ÓÒ k = 0...i Ø Ð ÕÙ Ð Ò Ú Ð ÖÖÓÖ α = i/m = 20 %º РŹ Ò Ü ÓÖ Ò Ð Ö Ð Þ ÙÒ ÓÑÔÖ Ò ÑÙÝ Þ Ð Ø ÜØÓ ÐÓ ÕÙ ÕÙ ÓÙÔ ÑÙÝ ÔÓÓ Ô Óº ØÓ Ö Ô ÖÙØ Ò Ð Ú ÐÓ Ö ÙÔ Ö Ò Ð Ø ÜØÓ Ò Ó ÑÙÝ Ð ÒØÓ Ô Ö Ø Ø Ö º È Ö ÓÑÔ Ö Ö ÙÒ Ñ Ò Ö Ù Ø Ñ Ó Ò ÙØ Ð Þ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÕÙ ÓÙÔ ÑÙ Ó Ñ Ô Ó Ý ÕÙ ÐÓ Ù ÓÖÑ ÑÙÝ ÒØ º Ë ÓÒ ÙÖ Ø Å¹ Ò Ü Ô Ö Ö Ð Þ Ö ÙÒ ÑÙ ØÖ Ó Ð Ø ÜØÓ Ø Ð ÕÙ Ù Ð Ñ ÑÓ Ô Ó Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ð ÕÙ Ð Ä ¹ Ò Üº Ò Ð Ø Ð º½ ÔÓ ÑÓ Ú Ö Ð Ô Ó ÕÙ Ù Ò ÐÓ Ò Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº Ì ÜØÓ Ì Ñ Ó Ò Ñ ÑÓÖ Å µ ± Ð Ø ÜØÓ Á ¾ ½¾ ½ ¾ ± Æ ½¾½ ± ÈÊÇÌ ÁÆ Ë ½ ¾ ½ ± ÂÊÊÌ ½ ± Ù ÖÓ º½ Ì Ñ Ó Ð Ò Ò Ñ ÑÓÖ ÔÖ Ò Ô Ðº ÈÓÖ ÐØ ÑÓ Ô Ö Ð ÕÙ Ò Ø ÜØÓ ÔÐ ÒÓ ÙØ Ð Þ ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ú Ò Ò k + 1 Ô ÖØ ÕÙ Ð Ñ ØÓ Ó Ñ Ö Ô Ó ÕÙ Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ Ó ÒØ Ö º Ä ÕÙ Ð Ô ÖØ Ö Ð Þ ÓÒ Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ë Ø¹ÀÓÖ ÔÓÓÐ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÜØ Ò Ò Ð Ð ÓÖ ØÑÓ ÀÓÖ ÔÓÓÐ Ô Ö ÓÔÓÖØ Ö ÕÙ ÑÙÐØ Ô ØÖ Ò Ý Ð Ú Ö Ò Ð ÓÙÖÖ Ò ÓÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ò Ñ º Ò Ð Ø Ð º¾ ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ø Ñ Ó Ð Ð ØÓ Ö ÚÓº Ó ÕÙ Ð ÕÙ Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÓÒ Ö Ò ÓÑÓ Ö Ø Ö Ð Ð ØÓ ØÓ Ó ÐÓ Ö Ø Ö Ð Ø ÜØÓº ÈÓÖ Ð ØÓ Ð Ô ØÖ Ò ÒÓ Ö Ö ÑÓ Ð Ø Ñ Ó Ð Ð ØÓ Ð Ù Ð Ð ÖÓÒ ÐÓ Ô ØÖÓÒ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ð Ó Ð Ø ÜØÓ Á ¾ Ð Ö ÑÓÚ Ö Ð Ð Ò ÒØ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð ØÓ Ö Ù Ò 4 Ö Ø Ö º Ì ÜØÓ Σ texto Σ patrones Á ¾ Æ ÈÊÇÌ ÁÆ Ë ¾ ÂÊÊÌ ½½½ ½½½ Ù ÖÓ º¾ Ì Ñ Ó Ð Ð ØÓ Ô Ö Ø ÜØÓº Ë Ò ÂÊÊÌ Ý Á ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø ÜØÓ Ò Ò Ð Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐ Ò Ø Ò ÙÒ Ð ØÓ Ñ ÑÔÐ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ù Ó ÔÓÖ Ô ÖØ ÌÓÐ Ò Ø Ð Ý Ö Ø Ö
tiempo(s) JRRT - Comparacion para un 5% de error 0.05 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m tiempo(s) JRRT - Comparacion para un 10% de error 0.055 0.05 0.045 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion 0.3 JRRT - Comparacion para un 15% de error 2.5 JRRT - Comparacion para un 20% de error 0.25 2 tiempo(s) 0.2 0.15 0.1 tiempo(s) 1.5 1 0.05 0.5 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion ÙÖ º½ Ö Ó Ô Ö ÂÊÊ̺ ÓÒ Ö Øµ ÒØÖ ÓØÖ Ó º ÄÓ Ö ÙÐØ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÙ Ò Ó ÖÚ Ö Ò ÐÓ Ö Ó Ô Ö ÂÊÊÌ ÙÖ º½µ Á ¾ ÙÖ º¾µ Æ ÙÖ º µ Ý ÈÊÇÌ ÁÆ Ë ÙÖ º µº Ò ÐÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ Ø ÑÔÓ ÕÙ Ú Ö Ù Ð Ð Ö Ó Ð Ô ØÖ Ò Ò Ð ÔÓÖ ÒØ ÖÖÓÖ Ô Ö Ø ÜØÓº Ò ÙÒÓ ØÓ Ö Ó ÓÑÔ Ö Ð ÑÔ Ó Ð Ø ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ º È Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÓÔØ Ñ Þ Ò Ð Ô ÖØ Ò ÐÓ ÔÖ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ ÓÒ Ö Ò Ó l = m/(k + 1) ØÓ Ó ÕÙ ÐÓ Ø ÑÔÓ ÓÔØ Ñ Þ Ò Ö ÙÐØ Ò Ñ Ó Ð Ú Ó ÓÑÓ ÓÑ ÒØ Ò Ð Ò º º Ä ÔÖ Ñ Ö Ó ÖÚ Ò ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÕÙ Ò Ò Ö Ð Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ØÓÖ Þ Ò Ó Ú Ö ÓÒ Ñ Ö Ô ÕÙ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ý Ð ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÕÙ ÓÔØ Ñ Þ Ð Ô ÖØ Ò Ñ Ö Ô ÕÙ Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ º ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ô Ö Ó º Ø Ú Ñ ÒØ Ð ØÖ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒØÖ Ò Ñ ÓÖ Ò ÐÓ Ø ÑÔÓ ÕÙ º Ì Ñ Ò ÓÑÓ Ö Ô Ö Ó ÔÙ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ð Ä ¹ Ò Ü Ñ Ö Ô ÕÙ Ø Ñ Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ó Ö Ð Å¹ Ò Üº ÈÓ ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ø ÔÖ Ø Ñ ÒØ ÒØ Ó ÓÒ Ð
tiempo(s) ZIFF2 - Comparacion para un 5% de error 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m tiempo(s) 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 ZIFF2 - Comparacion para un 10% de error 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion tiempo(s) ZIFF2 - Comparacion para un 15% de error 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m tiempo(s) 70 60 50 40 30 20 10 ZIFF2 - Comparacion para un 20% de error 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 m Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion Texto plano - busqueda secuencial LZ index - implementacion basica LZ index - factorizacion de verificaciones FMI - implementacion basica LZ index - optimizacion particion ÙÖ º¾ Ö Ó Ô Ö Á ¾º ÐÚ ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ò ÐÓ Ø ÑÔÓ ÕÙ º Ø Ö Ò Ò Ð ÑÔ Ó Ó Ð Ñ ÐØÓ Ó ØÓ Ð Ó Ø Ò Ò Ð Ø ÜØÓ Ò Ð Å¹ Ò Üº ÄÐ Ñ Ð Ø Ò Ò Ð ÕÙ Ð ÙÖÚ ÒÓ Ò ÑÓÒ ØÓÒ Ñ ÒØ Ö ÒØ ÓÑÓ Ö ÐÓ Ô Ö Óº ØÓ ÔÙ Ó ÖÚ Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ò ÐÓ Ö Ó Ô Ö ÙÒ ÖÖÓÖ Ð 10 % Ó Ö Æ Ý Á ¾º Ä ÜÔÐ Ò Ô Ö ØÓ Ö Ò ÕÙ Ô Ö ÙÒ ÔÓÖ ÒØ ÖÖÓÖ Ó Ý Ô Ò Ò Ó Ð Ð Ö Ó Ð Ô ØÖ Ò Ð Ø Ñ Ó Ð Ô ÖØ Ø ÒØÓº Ò Ð Ó Ð ÙÖ Ñ Ò ÓÒ ÔÓ ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ Ù Ò Ó Ð Ô ØÖ Ò Ð Ö Ó 40 Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ Ö Ù º ÓÖ ÙÒ ÖÖÓÖ Ð 10 % Ò ÙÒ Ô ØÖ Ò Ð Ö Ó 30 ÓÖÖ ÔÓÒ 3 ÖÖÓÖ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ Ú Ö Ð Ô ØÖ Ò Ò 4 Ô ÖØ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ 7 Ö Ø Ö ÙÒ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ô Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò Ð Ö Ó 40 Ð Ñ ÑÓ ÔÓÖ ÒØ ÖÖÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ 4 ÖÖÓÖ º ØÓ Ò Ú Ö Ð Ô ØÖ Ò Ò 5 Ô ÖØ 8 Ö Ø Ö º ÓÑÓ Ý ÙØ Ó ÒØ Ô ÖØ Ñ ÓÖØ Ò Ö Ò ÙÒ Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ú Ö ÓÒ º ØÓ ÚÙ ÐÚ Ö Ð Ö Ð ÑÔÓÖØ Ò ÕÙ Ø Ò Ð Ð Ò Ð Ô ÖØ ÓÑÓ Ú Ó Ò Ð Ò º º