TEMA 5: HARDY WEINBERG

TEMA 5: HARDY WEINBERG alélicas (n) genotípicas (n(n+1)/) PRINCIPIO DE HARDY WEINBERG: En ausencia de factores que modifiquen las frecuencias alélicas (mut., sel., mig., deriva,...), en presencia de poblaciones panmíticas y si el fondo genético no influye, las frecuencias genotípicas no varían con el tiempo y son una función: binomial ( alelos; (a+b) ) ó multinomial (varios alelos; (a+b+...) ) de las frec. alélicas. Características de la población ideal de HW Organismo diploide Reproducción sexual ( nº de = nº de ) Generaciones no solapantes (todos los individuos sexualmente activos) Panmítica = Apareamientos al azar = Frec. de un apareamiento depende de la frecuencia en la población de los individuos implicados: f(axb) = f A*f B+ f B*f A= fafb f(a x A) = f (A) * f (A) Población infinita (grande >500) ausencia de Deriva genética Ausencia de migración Ausencia de mutación Ausencia de selección Ausencia de Epistasis, ligamiento,... no influya el fondo genético DEMOSTRACIÓN DEL PRINCIPIO DE HARDY WEINBERG Supongamos una población panmítica que segrega para dos alelos: A 1 y A en el locus A 1 (p) A (q) A 1 (p) p Obtenemos las frecuencias genotípicas A 1 A 1 pq A 1 A A (q) pq A 1 A q de la siguiente generación: A A p : pq : q p = P + (1/)H las frec. alélicas no cambian p 1 = p +pq = p(p+q) = p q 1 = q +pq = q(p+q) = q Frecuencias genotípicas de la siguiente generación: Homocigóticos: frecuencia alélica al cuadrado p i Heterocigóticos: veces el producto de las frecuencias alélicas de los dos alelos implicados: p i q j 1

DEMOSTRACIÓN DEL PRINCIPIO DE HARDY WEINBERG AA AB BB AA 1 3 AB 4 5 BB 3 5 6 Apareamiento Frec. AA AB BB 1 = AA x AA P P = AA x AB PH PH PH 3 = AA x BB PQ PQ 4 = AB x AB H ¼H ½ H ¼ H 5 = AB x BB HQ HQ HQ 6 = BB x BB Q Q AA = P + PH + ¼H = P + P½H + (½ H) = (P + ½H) = p AB = P½ H + PQ + (½ H) + ½ HQ = (P½ H + (½ H) + ½HQ+ PQ) = = [(P+½ H) (½ H) + Q(P+½ H)] = (P+½ H)+ (Q+½ H) = p q BB= (Q + ½H) = q Podemos concluir: 1. Frecuencias genotípicas de una generación dependen de las alélicas de la generación anterior. Sólo necesito conocer p y q para calcularlas Máxima heterocigosidad cuando p=q. Las frecuencias genotípicas de una generación son independientes de las genotípicas de la generación anterior. Sólo dependen de las alélicas. 3. Independientemente de cuáles sean las frecuencias genotípicas iniciales, tras 1 generación de apareamiento al azar se alcanzan las frecuencias de equilibrio: p : pq : q Es decir, si se modifican las frecuencias genotípicas sin cambiar las alélicas, el equilibrio se restablece tras 1 sóla generación de apareamientos al azar.

Esto nos permite que conocida la frecuencia alélica de un alelo podamos calcular: 1. frec. alélica del otro alelo. frecuencias genotípicas esperada 3. si además conocemos el tamaño muestral, podremos estimar el número esperado de individuos de cada genotipo 4. frecuencias esperadas de apareamientos Ej: f(a 1 ) = 0'35 y N T = 158 1. f(a ) = q = = 1 = 0 65. f(a 1 A 1 ) = P E = = = 0 15 f(a 1 A ) = H E = = x x = 0 4550 Suma = f(a A ) = Q E = = 0 65 =0 45 3) cuántos individuos esperaríamos de cada clase fenotípica? (A 1 A 1 ) 0 15 x = 19 355 (A 1 A ) 0 455 x = 71 89 Suma = (A A ) 0 45 x = 66 755 Frec. apaream. Nº apareamientos 4) A 1 A 1 x A 1 A 1 = P x P (= p 4 ) = 0 15 = 0 0150 1 19 A 1 A 1 x A 1 A = xpxh (= 4p 3 q) = x0 15x0 455 = 0 1115 A 1 A 1 x A A = xpxq (= p q ) = x0 15x0 45 = 0 1035 A 1 A x A 1 A = H x H (= 4p q ) = 0 455 = 0 070 A 1 A x A A = xhxq(= 4pq 3 ) = x0 455x0 45 = 0 3845 30 37 A A x A A = Q x Q (= q 4 ) = 0 45 = 0 1785 14 10 Suma 1 79 Cómo podemos saber si una población está en equilibrio de H W? Mediante la prueba de Muestra nos da: Observados y frecuencias alélicas Tendremos que calcular el número de individuos esperado en cada clase. Tabla: clases Observados N T Valor de = [(O E) /E] Esperados N T Grados de libertad: Clases genotípicas (n(n+1)/) menos nº de alelos (n) = n(n 1)/ Probabilidad = significación: n.s. equilibrio p< 0 05 * p< 0 01 ** No está en equilibrio p< 0 001 *** Corrección: Nº de casillas esperadas = E 0% del nº de casillas esperadas = 0,*E Si C > 0,*E corrección Nº de casillas esperadas con valores < 5 = C Grados de libertad C<0,*E C>0,*E 1 normal Yates > 1 normal Test exacto de Fisher* Valor de Y = [( O E 0 5) /E] *NOTA: En el exámen, se harán los dos cálculos de (normal y Yates) y se elegirá el menor valor de los dos 3

TABLA DE Probabilidad (p) g.l. 0,05 0,01 0,001 1 0,33 3,84 6,64 7,71 10,83 51,91 5,99 9,1 13,8 3 7,8 11,35 16,7 4 9,49 13,8 18,47 5 11,07 15,09 0,5 6 1,59 16,81,46 7 14,07 18,48 4,3 8 15,51 0,09 6,13 9 16,9 1,67 7,88 10 18,31 3,1 9,59 n.s. p<0,05 p<0,01 p<0,001 n.s. se acepta la hipótesis p<0,05; p<0,01 y p<0,001 se rechaza la hipótesis Buscas la probabilidad de tu valor de en función de los G.L. En una población se han encontrado 847 individuos del grupo sanguíneo M, 1354 del MN y 533 del N, Está en equilibrio de HW? MM MN NN Total Observados 847 1354 533 734 Esperados 849,44 734 1º) Cálculo de las frecuencias alélicas: p = f(m) = (*847 + 1354)/(734*) = 0,5574 q = (* + )/5468 = 0,446 p+q = 0,5574+0,4456 = 1 º Cálculo de los esperados: P E = p * N T = 0,5574 * 734 = 849,44 H E = pq*n T = 1348,98 Q E = = 849,44 + 1348,98 + = 734 3º) Cálculo del valor de : suma de (Obs Esp) / Esp = 0,0381 grados de libertad = g.l. = clases alelos = 3 = 1 probabilidad = n.s. 4º) Conclusión: Está en equilibrio de Hardy Weinberg 4

En una población se han encontrado, para una determinada enzima, 3 individuos del tipo A, 134 del AD y 3 del D Está en equilibrio de HW? AA AD DD Total Observados 3 134 3 140 Esperados 35,00 70,00 35,00 140 1º) Cálculo de las frecuencias alélicas: p = f(a) = 0,5 q = 0,5 p+q = 0,5+0,5 = 1 º Cálculo de los esperados: P E = p * N T = 0,5 * 140 = 35,00 H E = pq*n T = 70,00 Q E = 35,00 35+70+35 = 140 3º) Cálculo del valor de : suma de (Obs Esp) / Esp = 117,03 grados de libertad = g.l. = clases alelos = 3 = 1 probabilidad <0,001 4º) Conclusión: No está en equilibrio de Hardy Weinberg, hay más heterocigóticos de lo esperado. Cómo podemos saber si dos población son homogéneas? Mediante la prueba de de contingencia Se comparan los observados de una muestra con los observados de la otra Grados de libertad: (filas 1) * (columnas 1) Observados A 1 A 1 A 1 A A A Total Pob I 18 48 68 Pob II 37 35 8 80 Total 39 53 56 148 Observados A 1 A 1 A 1 A A A Total Pob I 17,9 4,35 5,73 68 Pob II 1,08 8,65 30,7 80 Alelos A 1 A Total Pob I 114 136 Pob II 109 51 160 Total 131 165 96 39*68 /148 = 17,9 Esp >5 sin corrección genotipos = 64 89 (g.l. = *1 = ) p < 0 001 no son homogéneas alelos = 80 4 (g.l. = 1x1 = 1) p < 0 001 no son homogéneas 5

º caso: serie alélica Alelos: A 1 A A 3... A i... A n Frecuencias: p 1 p p 3... p i... p n p i = 1 A 1 A A 3... A i... A n p 1 p p 3... p i... p n A 1 p 1 p 1 p 1 p p 1 p 3... p 1 p i... p 1 p n A p p 1 p p p p 3... p p i... p p n A 3 p 3 p 1 p 3 p p 3 p 3... p 3 p i... p 3 p n........................... A i p i p 1 p i p p i p 3 p i... p i... p i p n........................... A n p n p 1 p n p p n p 3 p n... p i p n... p n Homocigóticos F(A i A i ) = p i Heterocigóticos F(A i A j ) = p i p j Het. esp. = p i p j = 1 p i (i va desde 1 hasta n; j va desde i+1 hasta n) Las frecuencias alélicas se mantienen constantes de generación en generación: p 1(t+1) = p 1t + p 1 t p t + p 1 t p 3 t +... + p 1 t p i t +... + p 1 t p nt = p 1 t ( p 1 t +p t +p 3 t +...+p i t +...+p nt )= p 1(t) 3 er caso: Dominancia clases fenotípicas para calcular las alélicas asumimos equilibrio Necesitamos dos muestras para testar el equilibrio de HW f(homoc. recesivos) = Q en HW, Q = q q = raíz (Q) = raíz (N aa /N T ) Test para comprobar el equilibrio de HW: 1ª muestra: la usamos para estimar las frecuencias alélicas Utilizamos estas estimas de las frecuencias alélicas y los valores fenotípicos observados en la ª muestra para testar HW (g.l. = 1) Ej: En dos muestras de una población se observaron: Dom Rec Total Pob I 510 490 1000 Pob II 590 460 1050 Q I = 490/1000 = 0,49 q = raíz 0,49 = 0,7 Q II E = q * 1050= 514,5 (P+H) II E = (p +pq) * 1050 = 535,5 D R Total Observ. 590 460 1050 Esper. 535,5 514,5 1050 PORTADORES Fibrosis cística 1/1667 Albinismo 1/10000 Cuántos individuos son sanos y portadores de la enfermedad? Cuántos individuos sanos son portadores de la enfermedad? Cuántos individuos son portadores del alelo para la enfermedad? = 11,3 gl = 1 P<0,001 No está en eq., exceso de D 6

4º caso: serie alélica y dominancia Al haber dominancia completa, necesitamos muestras: una para estimar las alélicas y otra para comprobar el equilibrio de HW. Alelos A 1 > A > A 3 >... > A i >... > A n subíndice mayor implica recesividad Frecuencias p 1 p p 3... p i... p n 1 subíndice: alelo que se manifiesta Frec. fenot. F 1 F F 3... F i... F n Nº ind. cada fen. N 1 N N 3... N i... N n subíndices: alelos presentes en el Genotipos N 1n N n N 3n... N in... N nn genoma N 1n 1 N n 1 N 3n 1... N in 1................... N i i N 13 N 3 N 33 N 1 N N 11 N 1j N j N 3j N ij N nj j va de i a n F 1 = F 11 + F 1 + F 13 +. + F 1i + + F 1n = p 1 + p 1 p + p 1 p 3 + + p 1 p i + + p 1 p n = F n = F nn = p n Método para calcular las F n 1 = F n 1,n 1 + F n 1,n = p n 1 + p n 1 p n F n 1 + F n = p n 1 + p n 1 p n + p n = (p n 1 + p n ) frecuencias alélicas: empezar por la del alelo p i = raíz ( F j ) raiz( F j+1 ) completamente recesivo Ejemplo: p n = raiz (F n + F n 1 + F n ) raiz(f n + F n 1 ) (recesivo hasta el alelo) Ej: Fen A B C D 19 45 35 1 3 48 31 4º caso: serie alélica y dominancia La relación de dominancia entre los alelos es A>B>C>D. Está la población en equilibrio de HW? 1ª muestra (machos): estimamos las frecuencias alélicas Alelos A > B > C > D Alelos A 1 > A > A 3 > A n p i = raíz ( F j ) raiz( F j+1 ) Frecuencias p A p B p C p D p Frec. fenot. F 1 F F 3 F D = raíz (F D ) = raíz (1/100) = 0,1 4 p Frec. fenot. F A F B F C F C = raíz (F D + F C ) raíz(f D ) = D = raiz (36/100) 0,1 = 0,6 0,1 = 0,5 Nº ind. cada fen. N 1 N N 3 N 4 p Nº ind. cada fen. N A N B N C N B = raíz (F D + F C + F B ) raíz(f C + F D ) = D = raiz (81/100) (0,36) = 0,9 0,6 = 0,4 Genotipos N 11 N N 33 N 44 p N 1 N 3 N A = 0,1 34 N 13 N 4 N 14 Genotipos N AA N BB N CC N DD N AB N BC N CD N AC N AD N BD 7

Ej: Fen A B C D 19 45 35 1 3 48 31 4º caso: serie alélica y dominancia ª muestra (hembras): testamos el equilibrio de HW Alelos A > B > C > D Alelos A 1 > A > A 3 > A n Frecuencias p A p B p C p D Frec. fenot. F 1 F F 3 F 4 Frec. fenot. F A F B F C F D Nº ind. cada fen. N 1 N N 3 N 4 Nº ind. cada fen. N A N B N C N D Genotipos N 11 N N 33 N 44 N 1 N 3 N 34 N 13 N 4 N 14 Genotipos N AA N BB N CC N DD N AB N BC N CD N AC N AD N BD La relación de dominancia entre los alelos es A>B>C>D. Está la población en equilibrio de HW? p D = 0,1 p C = 0,5 p B = 0,4 p A = 0,1 Nº de individuos esperados: N D, E = p D * N T = 0,1 *10 = 1,0 N C, E = (p C +p C p D ) * N T = 35,70 N B, E = (p B +p B p C +p B p D ) * N T = 45,90 N A, E = 0,19*10 = 19,38 Fen A B C D Obs. 3 48 31 0 Esp. 19,38 45,90 35,70 1,0 1< (0,*4 =1,3 ) sin corrección =,41 g.l. = 1 n.s. está en equilibrio Grupo sanguíneo A = B > 0 5º caso: serie alélica y dominancia indominancia Fenotipos A B AB 0 Frec. observadas F A = (N A /N T ) F B = (N B /N T ) F AB = (N AB /N T ) F 0 = (N 0 /N T ) Genotipos AA + A0 BB + B0 AB 00 Frec. esp. en el equilibrio p + pr q + qr pq r 1ª estima: p i = 1 raíz (F B + F 0 ) = 1 raíz(q + qr + r ) = 1 (q + r) q i = 1 raíz (F A + F 0 ) = 1 raíz(p + pr + r ) = 1 (p + r) r i = raiz (F 0 ) = raiz(r ) Alelo A B O Frecuencia p q r Método iterativo: a) Normalizar dividiendo por la suma p 0 = p i / (p i +q i +r i ) b) Estimar las frecuencias genotípicas usando sus proporciones relativas Ejemplo: N A = N AA + N A0 = (p + pr)*n T N AA = N A (p /( p + pr)) N A0 = N A (pr/( p + pr)) 8

Fenotipos A A B B AB 0 genotipos N AA N A0 N BB N B0 N AB N 00 c) Usamos estas frecuencias genotípicas observadas para calcular de nuevo las alélicas: p 1 = [N AA + (N AB + N AO )]/(N T ) d) Comparación de dos estimas consecutivas de frecuencias alélicas: son iguales esas son las alélicas de la población son distintas repetir, yendo de nuevo al paso b) Corrección de Bernstein: a) Se calcula d = 1 (p 0 +q 0 +r 0 ) p = p 0 (1 +(½)d) q = q 0 (1 +(½)d) r = (r 0 +(½)d) (1 +(½)d) Una vez estimadas las frecuencias alélicas, testaremos si la pob. está en eq. de HW TEST de : g.l. = clases alelos = 4 3 = 1 observadas : N A N B N AB N 0 esperadas: (p + pr)n T (q + qr)n T pqn T r N T Genes ligados al sexo Haplo diploidía Homogamético Heterogamético Ligado al sexo Ho ó He Hemicig. Haplo-diploidía Diploide Haploide Recuerden: en aves, machos homogaméticos y hembras heterogaméticas ½ ½ \ p (A 1 ) q (A ) Y p(a 1 ) p (A 1 A 1 ) pq (A 1 A ) p (A 1 ) q(a ) pq (A 1 A ) q (A A ) q (A ) machos: P = p ; Q = q hembras: P E = p ; H E = pq ; Q E = q Las frec. alélicas permaneces constantes y el equilibrio se alcanza tras 1 generación de panmixia. Por extensión pueden usarse tratamientos semejantes a los usados en autosómicos, para multialélicos y dominantes. 9

Diferentes frecuencias alélicas entre los sexos Genes autosómicos: hembras machos nº = nº A 1 p f p m A q f q m p = (p m + p f )/ \ p m (A 1 ) q m (A ) p f p m p f (A 1 A 1 ) q m p f (A 1 A ) q f p m q f (A 1 A ) q m q f (A A En la primera generación se igualan las frecuencias genotípicas, y alélicas, de y P 1 = p f.p m H 1 = p f.q m + q f.p m Q 1 = q f.q m Al ser p f p m detectamos un exceso de heterocigóticos respecto a HW en la F 1 Frecuencias alélicas: p 1 = P 1 + ½ H 1 = p f.p m + ½ (p f.q m + q f.p m ) = ½ (p f.p m + p f.q m + q f.p m ) = = ½ (p f.p m + p f.q m + q f.p m + p f.p m ) = ½ (p f.(p m + q m ) + p m (q f + p f )) = ½ (p f + p m ) Cuándo y dónde se alcanza el equilibrio de HW? 1ª generación: se igualan las frecuencias genotípicas y las alélicas ª generación: se alcanza el equilibrio con frecuencias p : pq : q Genes ligados al sexo (haplodiploides): Los homogaméticos ( ) tendrán 3 genotipos con frecuencias relativas: P f, H f y Q f Los heterogaméticos ( ) tendrán genotipos con frecuencias relativas: P m y Q m Son posibles 6 tipos de apareamientos: Apareamientos Frecuencia ½ Hembras ½ Machos A 1 A 1 A 1 A A A A 1 A A 1 A 1 A 1 P f P m P f P m P f P m A 1 A 1 A P f Q m P f Q m P f Q m A 1 A A 1 H f P m ½ H f P m ½ H f P m ½ H f P m ½ H f P m A 1 A A H f Q m ½ H f Q m ½ H f Q m ½ H f Q m ½ H f Q m A A A 1 Q f P m Q f P m Q f P m A A A Q f Q m Q f Q m Q f Q m Suma 1 p f. p m p f.q m + q f.p m q f. q m p f q f : p m 1 = p f 0 : q f 1 = Q f 1 + ½ H f 1 = q f.q m + ½ (p f.q m + q f.p m ) = ½ (q f.q m + p f.q m + q f.p m + q f.q m ) = ½(q f + q m ) la q de la población no cambia: q 0 = (/3) q f0 + (1/3) q m0 = 1/3 (q f 0 + q m0 ) q 1 = (/3) q f1 + (1/3) q m1 = (/3. 1/) (q f0 + q m0 ) + (1/3) q f0 = (1/3) (q f 0 + q m0 ) = q 0 10

Genes ligados al sexo (haplodiploides): Cómo cambian las frecuencias cada generación con respecto a la media? d 0 = q f0 q q = (q f + q m )/3 q m = 3q q f q f1 = ½ (q f0 + q m0 ) = ½ (q f0 + 3q q f 0 ) = ½ (3q q f0 ) d 1 = q f1 q = ½ (3q q f0 ) q = ½ (3q q f0 q) = ½ (q q f0 ) = ½ (q f0 q) = ½ d 0 d t = ( ½) t d 0 equilibrio: t q f = q m = q g=5 d<0'05 en los machos, las alélicas: p y q g=7 d<0'01 en las hembras: p : pq : q Mientras las frecuencias sean diferentes, las genotípicas se desviarán del equilibrio: Habrá exceso de heteros excepto: (p f < p m y 4p f > p m ) (4p f = p m ) Para testar el equilibrio: 1º comprobar alélicas de = alélicas de º comprobrar genotípicas de están en equilibrio de HW RESUMEN Frecuencias iguales en que en p f = p m Alelicas permanecen constantes El equilibrio se alcanza en la 1ª generación Autosómicos y (en ligados al sexo) (en ligados al sexo) Homogaméticos Heterogaméticos Bialélico: p : pq : q p : q Multialélico: p i : p i p j p i Frecuencias distintas en que en p f p m Autosómicos: 1ª generación: p f = p m = p y P f = P m ; H f = H m ; Q f = Q m ª generación: equilibrio p i : p i p j Ligados al sexo: El equilibrio se alcanza tras generaciones. Las frecuencias alelicas (p f y p m ) oscilan alrededor de la media, reduciendo sus diferencias, respecto a ésta, a la mitad cada generación. 11

RESUMEN Haplo diploides : Haploides (Heterogaméticos) Diploides (Homogaméticos) p h (t+1) = p d(t) alélicas p = constante p d(t+1) = ½ (p d(t) + p h(t) ) d (t) = p d p = ( ½ ) t d 0 Genotípicas distintas a las de equilibrio EQUILIBRIO: alelicas: p d = p h = p genotípicas : Haploide = p : q (p i ) Diploide = p : pq : q (p i : p i p j ) 1