OPERACIONES UNITARIAS UNIDAD I: MECÁNICA DE FLUIDOS INTRODUCCIÓN (CLASE TEÓRICA) DOCENTE: ING. PABLO GANDARILLA CLAURE pgandarilla@hotmail.com p.gandarilla@gmail.com Santa Cruz, noviembre de 2009
SUMARIO Ecuación de continuidad Conservación de la energía. Ecuación de Bernoulli. Limitaciones de la ecuación de Bernoulli. Teorema de Torricelli. Vaciado de tanques que contienen líquidos.
OBJETIVOS Definir la ecuación de continuidad y utilizarla para relacionar la masa, el área y la velocidad de flujo entre dos puntos de un sistema de flujo de fluido. Establecer el principio de conservación de energía de la forma en que se aplica a los sistemas de flujo de fluidos. Definir energía cinética, energía potencial y energía de flujo y la forma en que se relacionan con un sistema de flujo de fluidos. Aplicar el principio de la conservación de la energía para desarrollar la ecuación de Bernoulli. Definir el teorema de Torricelli. Calcular la rapidez de flujo de un fluido bajo una cabeza en caída.
BIBLIOGRAFÍA Mott, Robert L. 1996. Mecánica de fluidos aplicada. 4ta. Ed. Prentice Hall. Méjico. Streeter, Victor L. 1972. Mecánica de los fluidos. 4ta. Ed. McGraw Hill. Méjico.
RECORDEMOS Las unidades de rapidez de flujo de volumen, rapidez de flujo de masa y rapidez de flujo de peso. Principio de continuidad.
La ecuación de continuidad. Dirección de flujo A 2 x 2 A 1 x 1 Mediante la ley de la conservación de la materia: Sabemos que. Entonces: Mediante observación del diagrama tenemos que: Por lo tanto: La velocidad se define como: 6
Finalmente se concluye que: Ec. de continuidad Si el fluido es incompresible (densidad constante): Esta simplificación permite relacionar los caudales de la siguiente manera: ó: Nótese que es válido escribir la ecuación de continuidad de la siguiente manera: O también: REDEFINIENDO: Fluidos incompresibles (densidad o peso específico constante): Sólo en sustancias líquidas Fluidos compresibles (densidad o peso específico variable): Sólo en sustancias gaseosas 7
Conservación de la energía, la ecuación de Bernoulli. Dirección de flujo A2 A1 La ley de la conservación de la energía dice que: Energía que entra al sistema = Energía que sale del sistema Es decir: 8
La energía total de la materia está formada por tres tipos de energía (esto es válido solo para flujo isotérmico): ENERGIA POTENCIAL: ENERGIA CINETICA: ENERGIA DE PRESION O FLUJO: La Energía total del sistema es: Reemplazando por sus equivalencias: 9
Es decir: y Igualando estas dos expresiones tenemos: Eliminando w y reordenando: Ecuación de Cargas de Bernoulli 10
Limitaciones de la Ecuación de BERNOULLI: Válida solo para fluidos incompresibles (líquidos) No existe dispositivos mecánicos (que puedan intercambiar energía mecánica) entre los dos puntos de estudio. No existe pérdida de energía (por fricción) entre los dos puntos de estudio. No existe intercambio de energía calorífica y el sistema se considera isotérmico. 11
Teorema de Torricelli Deducción Matemática: 1 z = z 1 h = (z 1- z 2 ) 2 z = z 2 De la ecuación de Bernoulli se sabe que: 12
Simplificando términos: Despejando la velocidad a la salida: Sin embargo la diferencia (z 1 -z 2 ) = h ; entonces : Teorema de Evangelista Torricelli (1645): Si el orificio de salida es circular, el caudal de salida será: 13
Vaciado de tanques que contienen líquidos. Es un proceso transitorio o dinámico (que depende del tiempo) Se debe realizar los Balances de Energía (BE) y Materia necesarios (BM) BE = Ecuación de Bernoulli BM 14
1 Volumen de control vc h 2 Algebraicamente el Balance de Materia (BM) queda: 15
Sin embargo no hay un flujo de materia de entrada: El flujo de líquido a la salida es: Es decir: Por otro lado en el recipiente el contenido de líquido en cualquier momento debe ser: Al ser un proceso dinámico de vaciado esta masa cambiará con el tiempo: El volumen de líquido en el tanque es: Entonces la derivada queda como: 16
Reemplazando estas expresiones en el Balance de Materia (BM) queda: Simplificando la densidad y haciendo queda: Resolviendo la ecuación diferencial: Es decir: Despejando el tiempo tenemos: Es decir: Tiempo de vaciado de un tanque 17
RECOMENDACIONES Leer la primera parte del capítulo 6 y revisar los ejercicios resueltos del libro Mecánica de fluidos aplicada (Mott).