PRÁCTICA 6 MEDIDA DE LA CONSTANTE DE RESTITUCIÓN DE UN RESORTE A PARTIR DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) SERGIO ARAGÓN SANTOS Código 141002802 CONSUELO GÓMEZ ORTIZ Código 141002807 LICENCIADA SANDRA LILIANA RAMOS DURÁN UNIVERSIDAD DE LOS LLANOS FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y DE LA EDUCACIÓN LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA MECÁNICA I VILLAVICENCIO 2012
MEDIDA DE LA CONSTANTE DE RESTITUCIÓN DE UN RESORTE A PARTIR DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Objetivo general Obtener el valor de la constante de elasticidad de varios resortes utilizando un método gráfico amparado en la ley de Hooke. Objetivos específicos Desarrollar habilidades para hacer mediciones de tiempo, longitudes y en la determinación de valores medios de estas magnitudes. Comprobar experimentalmente el valor de la constante de elasticidad de dos resortes conectados en paralelo. Desarrollar habilidades en el tratamiento gráfico de resultados experimentales. Desarrollar habilidades en la comparación de resultados obtenidos experimentalmente. Desarrollar habilidades en la utilización de la teoría de errores. FUERZAS ELÁSTICAS O DE RESTITUCIÓN El primero en estudiar las fuerzas elásticas o de restitución fue Robert Hooke (1635-1703), quien llegó a establecer que estas fuerzas siempre son proporcionales a la deformación que sufre el cuerpo y a una constante que depende del material. Cuando sobre un cuerpo se ejerce una fuerza, esta acción se transmite a la sustancia de que está compuesto, modificando la posición de los átomos, a su vez, la estructura responde con otra fuerza igual y contraria, lo cual podría interpretarse como el cumplimiento de la tercera ley de Newton (acción y reacción). La relación entre la respuesta de una sustancia oponiéndose a su propia deformación se conoce como la Ley de Hooke, la cual se expresa matemáticamente como: F = - kx (1) El signo menos indica que la fuerza de restitución siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Como todo cuerpo es en parte elástico y en parte plástico, cuando la fuerza externa que se aplica es muy grande, también lo serán las deformaciones y por lo tanto la ley de Hooke deja de cumplirse, porque se sobrepasan los límites de flexibilidad de la sustancia, lo cual impone que para utilizar esta ley confiablemente, las deformaciones que se produzcan en los cuerpos elásticos deben ser pequeñas. La ley de Hooke puede ser comprobada experimentalmente de muchas maneras, dos de las más conocidas son: Directamente: Midiendo la deformación que experimenta un resorte bajo la acción de una fuerza; se coloca verticalmente fijándose a un extremo y al otro lado se le
acopla un dinamómetro, se aplican diferentes fuerzas y se miden los valores correspondientes de alargamiento Δx. Los resultados se representan en un plano cartesiano F vs x, y se ajustan los valores a una recta. La pendiente de la recta trazada de esta manera será numéricamente igual a la constante de restitución del resorte. El mismo resultado puede obtenerse si en vez de utilizar un dinamómetro, se cuelgan diferentes masas tomando el peso de las mimas como la fuerza. Este será el primer método utilizado en este trabajo experimental. Indirectamente: Midiendo el período para oscilaciones pequeñas del sistema masa-resorte vertical, y a partir de esta magnitud, obtener la constante de restitución del resorte, utilizando la expresión matemática: T = 2π m/k (2) Este método será el utilizado en esta práctica de laboratorio. Para desarrollar la actividad experimental es importante conocer el origen de las expresiones matemáticas que se van a utilizar. En este caso se utilizarán algunos conocimientos básicos: 1. Un cuerpo suspendido de un resorte, al separarse una pequeña distancia de su posición de equilibrio y soltarse, realiza un movimiento armónico simple, al menos durante las primeras 6 ó 7 oscilaciones. Aquí una distancia pequeña es aquella que nunca exceda más de 3 veces la separación entre las espiras del resorte. 2. La ecuación del movimiento de un sistema que oscila con movimiento armónico simple (MAS) puede ser expresada matemáticamente como: X = Acos(ωt + φ o ) (3) donde A es la máxima separación hacia arriba o hacia abajo, de la masa oscilante, medida desde la posición en que se encontraba detenida al inicio del experimento; ω es la frecuencia angular, definida en el movimiento circunferencial uniforme como ω = 2π/T; T es el período y se obtiene midiendo el tiempo que demora la masa en realizar una oscilación completa; y φ o es el ángulo o la fase a partir del cual comenzó a observarse el movimiento. 3. La velocidad del cuerpo oscilante en cada punto de la trayectoria se expresa como: V = - ωasen(ωt + φ o ) (4) 4. Y la aceleración de la partícula animada de movimiento armónico simple, se expresa matemáticamente como: a = - ω 2 Acos(ωt + φ o ) (5) 5. Teniendo en cuenta la segunda Ley de Newton, y considerando que en este caso la fuerza cumple con la Ley de Hooke, se puede escribir: F = ma = - kx (6) de donde se puede plantear: a = - kx/m (7) Si en esta ecuación se sustituyen los valores de aceleración y posición para el movimiento armónico simple, se obtiene: - ω 2 Acos(ωt + φ o ) = - KAcos(ωt + φ o ) / m (8) De cuya igualdad, se obtiene que: ω = k/m (9)
MATERIALES Estuche con accesorios y juego de masas de 50 gr. Un resorte Riel de aire Cronómetro Dinamómetro Una gramera PROCEDIMIENTO Figura 1. Materiales necesarios para la práctica 1. Realizamos el montaje de la figura 2, medimos la longitud del resorte es 8.5cm. Figura 2. Montaje de la práctica 2. Colocamos el resorte de manera horizontal, midiendo la fuerza necesaria para estirarlo, por medio del dinamómetro: medimos el desplazamiento y la fuerza aplicada. Medimos la masa del móvil del riel es de 100 g. y fijamos el resorte. Estiramiento resorte Fuerza aplicada 0.15 m. 0.1 N 0.20 m. 0.2 N 0.25 m. 0.3 N 0.3 m. 0.4 N Tabla 1. Desplazamientos según la fuerza aplicada. F(N) 0,6 0,4 0,2 0 Gráfica de fuerza en función del desplazamiento 0,05 0,1 0,15 0,2 X(m) Gráfica 1. Fuerza en función del desplazamiento.
Después pusimos a oscilar el sistema midiendo previamente la amplitud con la regla, que posee el riel de aire, teniendo en cuenta que dicha amplitud no sea superior a tres veces la medida del resorte. Construimos un gráfico de F vs Δx, trace la mejor recta con los puntos experimentales. El valor de la pendiente de dicha recta será aproximadamente el de la constante de restitución del resorte. 3. Repetimos todo el proceso colocando masas de diferentes magnitudes sobre la superficie que se desliza sobre el riel de aire, como se muestra en la figura 3, para continuamente hallar la constante, cada masa redonda pesa 50g. Consignamos los datos de los valores de masa periodo y constante de restitución en la tabla 1. Figura 3. Peso de las masas y segundo montaje de la práctica con las masas Masa 0.05Kg 0.10Kg 0.15Kg 0.20Kg Periodo 1.831 1.989 2.050 2.137 Constante de restitución 3.43Kg/s.s 3.25Kg/s.s 3.13Kg/s.s 3.30Kg/s.s Tabla 2. Datos de masa con valores de periodo y constante de restitución calculado Obtuvimos el período de oscilación midiendo el tiempo en que realiza 8 oscilaciones. Teniendo el valor promedio del período y la masa oscilante calculamos el valor de la constante de restitución. (Método indirecto) Masa (Kg) Tiempo en hacer 8 oscilaciones (s) Tiempo Promedio (s) Periodo (T) 0.05 18.34 18.20 18.30 18.39 18.36 18.31 1.831 0.10 19.80 19.90 19.96 19.88 19.91 19.89 1.989 0.15 20.12 20.18 20.12 21.09 21.03 20.50 2.050 0.20 21.32 21.36 21.33 21.42 21.45 21.37 2.137 Tabla 3. Datos de masa, tiempo medido y periodo calculado Gráfica de masa en función del periodo m(kg) 2.200 2.100 2.000 1.900 1.800 1.700 1.600 0.05 0.10 0.15 0.20 Gráfica 2. Masa en función del periodo T
2relación directamente proporcional entre las dos variables. 4. Establecimos una relación gráfica de la constante de restitución contra el período utilizando la relación de trabajo. K(Kg/s 2 ) 2,2 2,1 2 1,9 1,8 1,7 1,6 Gráfica de k en función del periodo 3,43 3,25 3,13 3,3 T Gráfica 1. Fuerza en función del desplazamiento. 5. Estimamos los errores cometidos, calculando el error absoluto y el error relativo en la medición de la constante de restitución k. Masas Tiempo Error relativo Error absoluto Masas Tiempo Error relativo Error absoluto 50 g. 18.34 s 0.163 0.03 100 g. 19.80s -0.452-0.09 18.20s 0.006-0.11 19.90s 0.050 0.01 18.30s 0.054 0.01 19.96s 0.351 0.07 18.39s 0.436 0.08 19.88s -0.050-0.01 18.36s 0.272 0.05 19.91s 0.100 0.02 150 g. 20.12s -1.853-0.38 200 g. 21.32s -0.002-0.05 20.18s -1.560-0.32 21.36s -0.046-0.01 20.12s -1.853-0.38 21.33s -0.187-0.04 21.09s 2.878 0.59 21.42s 0.233 0.05 21.03s 2.585 0.53 21.45s 0.374 0.08 Tabla 4. Errores para la medición de tiempos ANÁLISIS Podemos observar y medir la elongación del resorte al colocarle las respectivas masas y más aún al aplicarle la fuerza, entre más fuerza se le aplica más deformación se presenta en este como lo muestra la gráfica 2. Al graficar los datos
vemos que estos tienden a describir una recta, por lo que podemos decir que son directamente proporcionales y que responden a una constante de restitución. Midiendo el período para oscilaciones pequeñas del sistema masa-resorte vertical, y a partir de esta magnitud, obtuvimos la constante de restitución del resorte utilizando la ecuación (2), en la cual se despeja la constante donde el promedio de los valores nos dio 3.277Kg/s.s, como vemos el proceso de toma de datos, fue bueno ya que la constante de restitución hallada fue pequeña. CONCLUSIONES Se logró determinar la constante de restitución del resorte. Por el método directo el resultado arrojado fue de 3.11 Kg/s.s, y por el método indirecto el resultado promedio fue de 3.277Kg/s.s. Lo que indica que la constante de restitución del resorte es de: 3.11Kg/s.s± 0.13 Las variables a considerar para analizar el sistema masa-resorte vertical, son la masa, el tiempo, la fuerza aplicada y el desplazamiento. A partir de la gráfica 1, de fuerza en función del desplazamiento, en donde la curva se aproxima a una recta, se obtiene la constante de restitución, que para nuestro sistema masa resorte vertical se obtuvo una constante de 0,042 ± 0,05 En el desarrollo de habilidades encontramos que para poder verificar los valores y confiar en ellos, es necesario tomarlos varias veces promediarlos y compararlos para disminuir los errores en la toma de datos. BIBLIOGRAFÍA 1. Resnick Halliday Física para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Tomo I. Edición 1998. 2. Fidel Rodríguez Puerta. Física Interactiva I. Edición Universidad de los Llanos 2008. 3. www. http://usuarios.lycos.es/pefeco/pendulo.htm. Portal interactivo. 4. Física II, Oscilaciones, Ondas, Electromagnetismo y Física Moderna. Edición 1995.