Capitulo 11. Estructura estelar. 11.1 Condiciones de equilibrio interno. * Equilibrio hidrostatico. * Distribucion de la masa. * Produccion de energia. * Gradiente de temperatura. 11.2 Fuentes de energia de las estrellas. * La cadena proton-proton. * El ciclo del carbono. 11.3 Modelos estelares.
11.1 Condiciones de equilibrio interno. Las estrellas se forman de nubes moleculares, compuestas de gas y polvo, que colapsan bajo la accion de la fuerza de gravedad. Si la fuerza de la gravedad no fuera contrarestada por alguna otra fuerza en el interior de las estrellas, entonces estan colapsarian hasta convertirse en objetos puntuales. El colapso es detenido por la presion interna (presion del gas) en los nucleos de las estrellas. Durante la contraccion la energia potencial se conierte en energia cinetica de los atomos, calentando los nucleos estelares. Como la temperatura crece, la presion del gas crece deteniendo la contraccion. La energia gravitacional de la contraccion es suficiente para que una estrellas libere energia alrededor de unos 15 millones de años. Ya que las estrellas viven durante varios miles de millones de años, la energia de las estrellas debe provenir de otra fuente de energia que no sea la liberacion de energia por contraccion gravitacional. Energia producida por procesos de fusion nuclear en los nucleos de las estrellas. La presion de la radiacion tambien contribuye a contrarestar la contraccion gravitacional. Por otra parte, la estrella esta pediendo constantemente energia debido a su liberacion en las capas exteriores. La estrella debe contrarestar esta disminucion de la presion del gas produciendo mas energia en sus interiores. Matematicamente las condiciones de equilibrio interno de una estrellas se pueden expresar a traves de cuatro ecuaciones diferenciales que gobiernan la distribucion de la masa, la presion del gas y la produccion y transporte de la energia en las estrellas.
Equilibrio hidrostático La mayoria de las estrellas al igual que el Sol, no se expanden ni se contraen, lo que significan que estan en un estado de estabilidad en cuanto a sus dimenciones. La estrella se encuentra en una condicion de equilibrio hidrostatico. Condicion de equilibrio hidrostatico: A cualquier distancia del centro de la estrellas, el peso de las capas superiores debe estar balanceado por la presion de un gas caliente que se genera en las capas proximas al nucleo de la estrella. Existe un equilibrio entre la fuerza de la gravedad y la presion del gas en cada capa de la estructura interna de la estrella.
Consideremos un elemento cilindrico de volumen a una distancia r del centro de la estrella. dv dm da dr da dr Donde (r) es la densidad del gas a un radio r. Si la masa dentro de un radio r es Mr, la fuerza gravitacional sobre el elemento de volumen es: Si la presion en la superficie inferior del elemento de volumen es P, mientras que en la superficie superior es P+dP, la fuerza neta de la presion que actua sobre el elemento de volumen es: La condicion de equilibrio es que la fuerza total que actua sobre el elemento de volumen es igual a cero.
Distribución de la masa La segunda ecuacion expresa la masa contenida dentro de un radio determinado. Consideremos un cascaron esferico de ancho dr a una distancia r del centro de la estrella. Su masa esta dada por la expresion: De donde se obtiene la ecuacion de continuidad de la masa:
Producción de energía La tercera condicion de equilibrio expresa la conservacion de la energia, teniendo en cuenta que toda la energia que se produce en el interior de las estrellas debe ser transportada hasta la superficie y liberada. Consideremos nuevamente un cascaron esferico de ancho dr y masa Mr a una distancia r del centro de la estrella. Supongamos que Lr es la cantidad de energia que pasa a traves de la superficie de radio r por unidad de tiempo. Si es el coeficiente de produccion de energia; es decir la cantidad de energia liberada en la estrellas por unidad de tiempo y por unidad de masa, entonces: La ecuacion de conservacion de la energia es:
Gradiente de temperatura La cuarta condicion de equilibrio expresa las variaciones de temperatura en funcion del radio; es decir el gradiente de temperatura dt/dr. La forma de la ecuacion va a depender de la forma en que es transportada la energia: por conduccion, por conveccion o por radiacion. La conduccion solo es importante en las estrellas compactas: enanas blancas y estrellas de meutrones, donde el camino libre de los electrones es grande. En las estrellas normales la conduccion se puede despreciar ya que el camino libre de los electrones es muy corto, ya que no pueden recorrer distancias muy grandes sin que colisionen con otras particulas del plasma estelar. Si el transporte de energia es radiativo, los fotones emitidos en las regiones calientes de las estrellas son absorbidos por las regiones mas frias que se calientan. Se dice que la estrella esta en equilibrio radiativo si toda la energia que es producida en el interior de las estrellas es transportada por radiacion. El gradiente de temperatura radiativo se expresa por la formula: donde a es la constante de radiacion, c es la velocidad de la luz y la densidad. es el coeficiente de absorcion masica y expresa la cantidad de absorcion por unidad de masa.
El valor de dt/dr es negativo ya que la temperatura se incrementa hacia el nucleo de la estrella. Si la transferencia radiativa se hace ineficiente, el valor absoluto del gradiente de temperatura se hace muy grande. En estos casos comienza a jugar su papel el movimiento del gas que puede transportar la energia hacia el exterior de una estrella de una manera mas efectiva que la radiacion. La expresion para el gradiente de temperatura convectivo es: donde P es la presion del gas y el exponente adiabatico se conoce como el gradiente adiabatico de temperatura. = Cp/Cv. La ecuacion anterior El movimiento convectivo se activa en el interior de una estrella cuando el valor absoluto del gradiente radiativo de la temperatura es mayor que el gradiente adiabatico. El gradiente radiativo se puede hacer muy grande cuando el coeficiente de absorcion masico o la densidad de flujo se hacen muy grande. El gradiente convectivo puede ser pequeño si el exponente adiabatico tiende a 1. En la practica, para calcular la estructura interna de una estrella se utiliza el gradiente de temperatura (radiativo o adiabatico) que produzca un gradiente de temperatura menor.
Estructura interna de una estrella La estructura interna de una estrella esta determinada por cinco relaciones o conceptos fisicos: 1. Equilibrio hidrostatico. 2. Equilibrio termico. La cantidad de energia generada en el interior de las estrellas es igual a la cantidad de energia liberada en la superficie de la estrella. Si la cantidad de energia producida aumenta, aumenta la presion de la radiacion en la superficie de la estrella, la estrella se expande y aumenta el area donde esta siendo liberada la energia. 3. Opacidad. La velocidad con que la energia es radiada esta determinada por la resistencia del material al flujo de fotones. Si la estrella tiene una opacidad baja, la estrellas puede liberar energia mas rapidamente y la temperatura y la presion disminuyen. El radio de la estrella disminuye. 4. Transporte de energia. Radiacion o conveccion. 5. Produccion de energia. Procesos de fusion nuclear en los nucleos de las estrellas.
Transporte de energía La manera en que es transportada la energia del inteior de las estrellas hasta la superficie determina la temperatura de las estrallas. Cuando la temperatura es alta, la opacidad es baja y predomina el transporte radiativo en las estrellas. Cuando la temperatura es baja, como en las capas exteriores de las estrellas, los electrones se recombinan, aumentando la opacidad. El movimiento convectivo comienza a ser el responsable del transporte de la energia. Cuando el gradiente de temperatura es alto se utiliza la conveccion, cuando el gradiente de temperatura es bajo se utiliza la radiacion para transportar la energia producida en los nucleos de las estrellas. La estructura interna de las estrellas de la SP va a depender de su posicion en la SP.
Modelo interno del Sol Estructura interna del Sol
Estado fisico del gas Dado el estado ionizado del gas en las estrellas, podemos considerarlo como un gas ideal: P V = n k T
Estado fisico del gas Dado el estado ionizado del gas en las estrellas, podemos considerarlo como un gas ideal: Donde μ es peso molecular promedio. Por ejemplo, un nucleo atomico de numero Z contribuye con Z+1 particulas (Z electrones y el nucleo). Asi, el He proporciona 3 particulas, y los elementos mas pesados contribuyen con mas particulas, pero su abundancia es pequeña. La composición química de las estrellas es: X + Y + Z = 1 donde X = H, Y = He y Z «metales»
Explicitamente
Asi, el peso molecular promedio seria: En el interior de las estrellas, por la temperatura existente, se debe incluir la presion ejercida por la radiación. Consideremos una caja de lados Δx, Δy, Δz al chocar la aprticula con una de ellas, digamos la X, el cambio de momento es: La particula se tardara en regresar a su posicion oroginal Por lo que la presion ejercida por las particulas es:
Donde la cantidad en paréntesis es el valor promedio de la presión Considerando que y recordemos que Para nuestro caso en que son fotones Si suponemos que las velocidades son isotropicas
Si cada molecula tiene una energia la energia total seria: Presion del gas Si tenemos radiacion, la energia de los fotones es: Presion de radiacion
De la teoria del cuerpo negro, tenemos que la densidad de energia es: Si Es la constante de radiacion Asi, la presion total que se ejerce sobre el material de la estrella es:
Sin embargo, la ley de gases ideales ya no es valida cuando se alcanzan grandes densidades, en esos casos, necesitamos considerar el Principio de exclusion de Pauli. A densidades mayores a 10 7 gt/cm3, el espacio ocupado por los electrones es del orden de h 3. En terminos de la densidad, tenemos Considerando la composicion de las estrellas podemos obtener la expresion
En el caso de la abundancia solar, tenemos Y la expresion para la presion en este caso es: Como se puede notar, en el caso del gas degenerado, la presion deja de depender de la temperatura, solo depende de la masa y del numero de las particulas presentes
A densidades aun mayores (10 9 gr/cm 3 ) la velocidad de los electrones es tan alta que aparecen efectos relativistas, por lo que la presion es: En este caso, la dependencia es a la potencia 4/3 en lugar de los 5/3
11.2. Fuentes de energía Conociendo la luminosidad de una estrella, se puede calcular para cuanto tiempo alcanzarian distintas fuentes de energias. Los procesos quimmicos normales producirian energia solo para algunos miles de años. La energia liberada por contraccion gravitacional de las estrellas funcionaria por mas tiempo como mecanismo productor de energia, pero alcanzaria solo para varios millones de años. Evidencias biologicas y geologicas en la Tierra muetran que la luminosidad solar ha permanecido mas o menos constante durante los ultimos varios miles de millones de años. Como la edad de la Tierra es de unos 5000 millones de años, entonces el Sol debe tener al menos esta edad. A partir del modelo de la estructura interna del Sol, sabemos que la temperatura en el nucleo del Sol es de alrededor de 10 millones de K.. Este valor es suficientemente alto como para que tengan lugar reaciones de fusion termonuclear. En las reacciones de fusion elementos ligeros se transforman en elementos mas pesados. La masa del producto final de la reaccion es menor que la suma de las masas de los nucleos inicialmente implicados en la reaccion. Esta diferencia de masa es convertida en energia de acuerdo a la ley de Einstein. E mc 2
El ciclo protón-protón Alrededor de 1930 fue aceptado el hecho de que la energia de las estrellas provenia de reacciones de fusion nuclear. En 1938 Hans Bethe y Carl Friedrich von Weizsacker por primera vez describieron el ciclo carbono-oxigeno-nitrogeno (CNO) para la produccion de energia en las estrellas. El ciclo proton-proton y la reaccion triple-alfa no fueron propuestos hasta los años 50s. Para estrellas cuya masa es similar o menor que la masa del Sol, la energia es producida por el ciclo p- p. Para cada reaccion (3), las reacciones (1) y (2) deben ocurrir dos veces. La reaccion (1) es de muy baja probabilidad. Para los valores de T y en el nucleo del Sol, el tiempo esperado en que se produce la colision entre dos protones es de 10 10 años. El neutrino producido en la reaccion (1) escapa libremente de la estrella llevandose parte de la energia liberada. La reaccion (2), donde se forma el isotopo 3 He es mucho mas rapida que la reaccion (1). Por esta razon, la abundancia de deuterio en el interior de las estrellas es muy baja. El ultimo paso en la cadena p-p puede tener diferentes variantes. En el Sol, el 91% de la energia es producido por la cadena p-pi
La cadena p-p tiene varios procesos, el mas frecuente es el I La frecuencia de la reaccion 1 es del orden de 10 10 años
Reacciones alfa A unos 20 x 10 6 k, la velocidad de los núcleos de He es suficientemente grande como para empezar a combinarse, dando lugar a las reacciones alfa
El ciclo del carbono A temperaturas menores que los 20 millones de K, el ciclo p-p es el mecanismo fundamental para producir energia en las estrellas. A temperaturas superiores, que corresponden a 1.5 masas solares (cerca de la clase espectral F0) el ciclo CNO se vuelve predominante, ya que es mas dependiente de la temperatura que el ciclo p-p. El carbon, el oxigeno y el nitrogeno actuan como catalizadores. La reaccion (4) es muy lenta, determinando la tasa del ciclo CNO. A una T de 20 millones de K, la probabilidad de la reaccion es de 4 millones de años.
El proceso de fision nuclear solo es eficiente hasta la sintesis del Fe, esto tiene consecuencias serias en la evolucion estelar
Los elementos quimicos mas pesados se sintetizan mediante los procesos de captura de neutrones llamados s y r
Las estrellas de la parte superior de la SP son lo suficientemente calientes como para producir energia mediante el ciclo CNO. En la parte baja de la secuencia principal la energia es producida por el ciclo p-p. Los ciclos p-p y CNO tiene la misma eficiencia a una temperatura de 18 millones de K, que corresponde a una estrella de 1.5 masas solares. La energia producida en el ciclo CNO esta altamente concentrada en el nucleo. El flujo de energia hacia afuera es muy alto y no puede ser mantenido por transporte radiativo. Como consecuencia, las estrellas con M > 1.5 Msol tiene un nucleo convectivo, mientras que la envolvente esta en equilibrio raadiativo (estrella c de la grafica superior). En el ciclo p-p, la tasa de produccion de energia no es tan sensible a la T como en el ciclo CNO. La produccion de energia esta distribuida en regiones mayores. Como consecuencia el nucleo es radiativo y la envolvente es convectiva (b). Las estrellas de la parte inferior de la secuencia principal ( M < 0.26 Msol) son completamente convectivas (a).
11.3 Modelos estelares Un modelo estelar se obtiene al resolver las ecuaciones diferenciales que rigen la estructura interna de las estrellas. Cada modelo es definido univocamente a partir de la composicion quimica y la masa de las estrellas. Cuando se calculan los modelos para estrellas homogeneas (misma composicion quimica) y se grafica su posicion en el diagrama H-R, las estrellas se ubican a lo largo de una secuencia que se conoce como la Secuencia Principal de Edad Cero (ZAMS). La posicion de la ZAMS depende de la composicion quimica de las estrellas. Para estrellas con abundancias solares, la ZAMS calculada coincide bastante bien con las observaciones. Las propiedades calculadas de las estrellas de la ZAMS de diferentes masas se muestra en la tabala a continuacion. La composicion quimica asumida es X=0.71, Y=0.27 y Z=0.02, excepto para estrellas de 30 masas solares, para las cuales X=0.70 y Y=0.28. Los modelos muestran que la temperatura central en las estrellas mas pequeñas (0.08 Msol) es de 4 millones de K, la temperatura minima requerida para comenzar las reacciones de fusion nuclear.
Despues de resolver las ecuaciones de estructura estelar, se obtienen las llamadas caracteristicas de los modelos estelares
Condiciones fisicas en el interior de una estrella calculadas en base a las ecuaciones de estructura estelar
Condiciones fisicas en el interior de una estrella calculadas en base a las ecuaciones de estructura estelar
Ejemplos ilustrativos Cual es la aceleracion superficial del Sol?
Ejemplos ilustrativos Recordemos que la aceleracion superficial es: Y ademas sabemos que M = 2 x 1030 Kg y R = 6.96 x 108 m. Se obtiene que:
Cual es la densidad promedio del Sol?
Cual es la densidad promedio del Sol? Con los datos del problema anterior, y suponiendo que el Sol es una esfera
Cual es la presión a la mitad del radio del Sol?
Cual es la presión a la mitad del radio del Sol? Por simplicidad, supondremos que la densidad promedio del Sol es constante, con el valor encontrado. La presión a la mitad del Sol la podemos estimar de la condición de equilibrio hidrostático Para calcular la presión, podemos integrar esta ecuación de la mitad del Sol a la superficie, donde la presión se anula
Claramente esta es una estimación menor al valor real, pues la densidad aumenta con la profundidad
Compare el peso molecular promedio del Sol en su etapa actual y cuando haya consumido el H en su núcleo
Compare el peso molecular promedio del Sol en su etapa actual y cuando haya consumido el H en su nucleo La composicion quimica del Sol actual es: X = 0.71 Y = 0.27 y Z = 0.02 Por lo que el peso molecular promedio es: Cuando se agote el H en el núcleo, la composición seria X = 0, Y =.98 y Z = 0.02 por lo que:
Con los resultados anteriores, estime la temperatura a la mitad del radio del Sol Podemos estimar la temperatura a la mitad del Sol mediante la ecuación de estado de gas ideal, y los parámetros calculados en los ejemplos anteriores Lo que indica que la zona de generación de energía en el Sol es menos a la mitad de su volumen, pues no se logran las condiciones necesarias para la cadena p - p
Compare el resultado de la presion del gas con la presion de radiacion a r = R/2 en el Sol
Compare el resultado de la presion del gas con la presion de radiacion a r = R/2 en el Sol En el ejemplo anterior, se estimo la temperatura en esta región Por lo que, la presión de radiación se puede estimar Unos 3 ordenes mas pequeña que la presión del gas