GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA G4 - Cálculo Diferencial Doble Grado en Física y Matemáticas Básica. Curso Grado en Matemáticas Básica. Curso Curso Académico 206-207
. DATOS IDENTIFICATIVOS Título/s Centro Módulo / materia Doble Grado en Física y Matemáticas Grado en Matemáticas ASIGNATURAS DE PRIMER CURSO CURSO DT-FISIMATE MATERIA MATEMÁTICAS BÁSICAS MÓDULO BÁSICO Tipología y Curso Código y denominación G4 - Cálculo Diferencial Créditos ECTS 6 Cuatrimestre Cuatrimestral () Básica. Curso Básica. Curso Web Idioma de impartición Español English friendly No Forma de Presencial Departamento Profesor responsable E-mail Número despacho Otros profesores DPTO. MATEMATICAS, ESTADISTICA Y COMPUTACION MARIA CRISTINA PEREZ GARCIA mariacristina.perez@unican.es. Planta: + 0. DESPACHO PROFESORES (006) JOSE MANUEL BAYOD BAYOD BEATRIZ PORRAS POMARES JUAN GONZALEZ CRIADO DEL REY 2. CONOCIMIENTOS PREVIOS La asignatura parte de los conocimientos correspondientes a la formación pre-universitaria en matemáticas. Tenemos en cuenta que el nivel de estos conocimientos depende tanto del tipo de estudios previos realizados por el alumno (tipo de bachillerato o formación profesional), como de la forma en que dichos conocimientos han sido explicados al mismo. 2
3. COMPETENCIAS GENÉRICAS Y ESPECÍFICAS DEL PLAN DE ESTUDIOS TRABAJADAS Competencias Genéricas (Conocer) Demostrar poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a partir de la base de la educación secundaria general, a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia del estudio de las Matemáticas. (Aplicar) Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro del área de las Matemáticas. (Aprender) Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en Matemáticas con un alto grado de autonomía. (Comunicar) Poder transmitir información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático a un público tanto especializado como no especializado. (Autonomía) Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas. (Buscar información) Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos y de Internet. Competencias Específicas Nivel (Comprender) Comprender y utilizar el lenguaje matemático. (Asimilar) Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos. (Modelizar) Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan. (Resolver) Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos. Nivel 3. RESULTADOS DE APRENDIZAJE - Utilizar números reales para la resolución de ecuaciones y desigualdades con valores absolutos. - Utilizar el lenguaje matemático involucrado en: los conceptos, y criterios de convergencia, de sucesión y de serie de una y varias variables reales, en particular de las series de potencias, y por lo tanto de las series de Taylor, en su región de convergencia; los conceptos de límite, y criterios sobre su existencia, para funciones de una y varias variables reales; los conceptos de continuidad y derivabilidad y criterios al respecto para este tipo de funciones. - Calcular derivadas parciales, gradientes, jacobianos y hessianos para aplicar en problemas de cambio de variable y de las funciones implícitas, en contextos concretos. - Utilizar los desarrollos de Taylor para estudiar y aproximar las funciones de una o varias variables reales. - Resolver problemas sencillos de máximos y mínimos relativos y absolutos, y de extremos condicionados. - Asimilar la definición de los anteriores conceptos y la relación entre ellos para ser consciente de, por ejemplo: - Aunque el concepto de serie convergente es un caso particular del de convergencia de una sucesión, no se puede confundir la convergencia de la sucesión del término general de una serie con la convergencia de la serie. 2- El concepto de límite de una función en un punto se formula en términos de límites de sucesiones. 3- El concepto de derivabilidad de una función en un punto está formulado en términos del límite en dicho punto de una función construida a partir de la original. 4- La regla de L'Hopital permite calcular límites mediante el uso de derivadas. 5- Para funciones de varias variables la existencia de derivadas parciales no es suficiente para asegurar su diferenciabilidad. 6- La diferente naturaleza de los problemas de extremos de funciones de varias variables. 3
4. OBJETIVOS Conocer, comprender y manejar varios conceptos y resultados básicos relativos a una variable real (algunos de ellos parcialmente estudiados en la enseñanza secundaria): - Sucesiones y series en R; estudio de su convergencia. - Funciones reales de variable real; límites, continuidad, y derivabilidad. Aplicaciones: separación de raíces, aproximación. Este objetivo se llevará a cabo mediante las resoluciones de ejercicios prácticos y de cuestiones teóricas sencillas. Ello permitirá al alumno iniciarse muy modestamente en la realización de razonamientos en los que intervienen los conceptos y resultados estudiados. Puesto que es una asignatura de Cálculo, no se pretende realizar las demostraciones de dichos resultados. Conocer, comprender y manejar, las versiones para varias variables reales de los temas previamente citados. Dichas versiones no son usualmente estudiadas en la enseñanza secundaria. Este objetivo se llevará a cabo siguiendo la misma filosofía que la expuesta en el apartado anterior. De esta forma se consigue que, como alumnos del Grado en Física, dispongan de las herramientas básicas relativas a funciones de varias variables que utilizarán posteriormente tanto en asignaturas de Física como de Matemáticas. Por otra parte, por ser también alumnos del Grado en Matemáticas, volverán a estudiar varias variables en la asignatura Ampliación de Cálculo Diferencial (segundo curso). En ella se dará prioridad, no al trabajo básicamente calculístico realizado en la presente asignatura "Cálculo Diferencial, sino al fundamento matemático. Una parte esencial del mismo es entender las demostraciones de los resultados estudiados y ser capaz de reproducirlas personalmente. 5. MODALIDADES ORGANIZATIVAS Y MÉTODOS DOCENTES ACTIVIDADES ACTIVIDADES PRESENCIALES HORAS DE LA ASIGNATURA HORAS DE CLASE (A) - Teoría (TE) - Prácticas en Aula (PA) - Prácticas de Laboratorio (PL) - Horas Clínicas (CL) Subtotal horas de clase ACTIVIDADES DE SEGUIMIENTO (B) - Tutorías (TU) - Evaluación (EV) Subtotal actividades de seguimiento Total actividades presenciales (A+B) Trabajo en grupo (TG) Trabajo autónomo (TA) Tutorías No Presenciales (TU-NP) ACTIVIDADES NO PRESENCIALES 3 30 6 2 8 0 7 79 Evaluación No Presencial (EV-NP) Total actividades no presenciales HORAS TOTALES 79 50 4
6. ORGANIZACIÓN DOCENTE CONTENIDOS TE PA PL CL TU EV TG TA NÚMEROS REALES: MANEJO DE SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES.. Números reales, valores absolutos y desigualdades. 2. Sucesiones en R y límites (finitos e infinitos) de tales sucesiones. 3. Criterios más habituales para el estudio de la convergencia de una sucesión en R y para el cálculo de su límite en caso de que éste exista: regla del sandwich, sucesiones monótonas (el número e), criterio de Stolz, equivalencias (fórmula de Stirling). 4. Series en R y convergencia de tales series. Ejemplos: series geométricas y series armónicas. 5. Series de términos positivos y de términos cualesquiera. Criterios más habituales para el estudio de su convergencia: de Gauss, del cociente, de Leibniz, convergencia absoluta. 6. Series de potencias. 8,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 0.00 0.00,2,3,4 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL.. Breve introducción a las funciones reales de variable real. 2. Límite en un punto de una función real de variable real. Límites en el infinito. Infinitésimos e infinitos. 3. Continuidad de una función real de variable real. 4. Métodos más habituales para el estudio de la existencia del límite en un punto de una función real de variable real y para el cálculo de dicho límite en caso de que éste exista: límites laterales, regla del sandwich, equivalencias. 5. Teorema de Bolzano. Aplicación para la localización de raíces. 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 0.00 0.00 5,6 3 DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL.. Definición de derivabilidad. Relación entre continuidad y derivabilidad de una función real de variable real. 2. Regla de L'Hopital. Aplicación para el cálculo de límites. 3. Regla de la cadena. Función inversa. 4. Teorema de Rolle. Aplicación para la separación de raíces. 5. Aproximación de funciones. Fórmula de Taylor. Acotación del resto. 4,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,00 0.00 0.00 7,8 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES.. Introducción a las funciones de varias variables reales con valores en R^n. 2. Extensión a este tipo de funciones de los conceptos de límite y continuidad y de su manejo y propiedades. 3. Límites direccionales e iterados. Límites en coordenadas polares. 6,00 6,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 0.00 9,0, 5 DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES.. Funciones diferenciables de varias variables reales. Derivada parcial. Gradiente. Matriz Jacobiana. 2. Propiedades de las funciones diferenciables. Regla de la cadena. Cambio de variable. 3. Derivadas parciales de orden superior. Matriz Hessiana. 4. Fórmula de Taylor para funciones reales de varias variables reales. 5. Extremos de funciones reales de varias variables reales. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange. 6. Derivación de funciones implícitas. 9,00 8,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4,00 0.00 0.00 2,3,4, TU- NP EV- NP Semana 5
6 En este apartado se incluyen algunas horas de la asignatura no contempladas en los apartados anteriores. - Las 2 horas de TU corresponden al seguimiento por parte del profesor del desarrollo de las actividades de evaluación del apartado 7. Dichas horas de tutoría tendrán lugar en el despacho del profesor. - Las 8 horas de EV corresponden a la suma de las duraciones de las actividades de evaluación del apartado 7. - Las 3 horas de TA corresponden a la preparación y realización de dichas actividades de evaluación, las cuales completan el estudio continuado de la asignatura ya contemplado en las horas TA de los 4 bloques de la misma. 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 8,00 0,00 3,00 0.00 0.00 sin fijar TOTAL DE HORAS 3,00 30,00 0,00 0,00 2,00 8,00 0,00 79,00 Esta organización tiene carácter orientativo. 0.00 0.00 TE PA PL CL TU EV TG TA TU-NP EV-NP Horas de teoría Horas de prácticas en aula Horas de prácticas de laboratorio Horas Clínicas Horas de tutoría Horas de evaluación Horas de trabajo en grupo Horas de trabajo autónomo Tutorías No Presenciales Evaluación No Presencial 6
7. MÉTODOS DE LA EVALUACIÓN Descripción Tipología Eval. Final Recuper. Resoluciones de ejercicios Trabajo No No 0,00 % Calif. mínima Duración Fecha realización Condiciones recuperación 0,00 2,5 horas Sin fijar Realización de problemas y ejercicios teóricos y prácticos de forma autónoma por los alumnos, que serán corregidos y calificados. Estos problemas se entregarán por escrito dentro de los plazos indicados por el profesor en función del desarrollo del curso, El profesor podrá exigir la defensa oral de alguno de las ejercicios presentados, si lo considera necesario para la evaluación. Primer examen de cuestiones teóricas Examen escrito No Sí 20,00 Calif. mínima Duración Fecha realización Condiciones recuperación 0,00 hora A mitad de cuatrimestre El día de la evaluación final de Febrero En este examen el alumno tendrá que responder a algunas cuestiones teóricas relativas a la materia estudiada hasta el momento del examen, que se calcula será la de los bloques y 2. Segundo examen de cuestiones teóricas Examen escrito Sí Sí 20,00 Calif. mínima Duración Fecha realización Condiciones recuperación 0,00 hora A fijar por el centro Se recuperará en Septiembre, mediante un examen escrito de la misma estructura. En este examen el alumno tendrá que responder a algunas cuestiones teóricas relativas a la materia no incluida en el primer examen de cuestiones. Examen de ejercicios prácticos Examen escrito Sí Sí 50,00 Calif. mínima Duración Fecha realización Condiciones recuperación 4,00 3 horas El mismo día que el segundo examen de cuestiones teóricas Se recuperará en Septiembre, mediante un examen escrito de la misma estructura. En este examen el alumno tendrá que resolver ejercicios prácticos relativos a lo estudiado en toda la asignatura. TOTAL - La recuperación del primer examen de cuestiones tendrá lugar el mismo día en que se realizan las dos pruebas de evaluación final de Febrero (segundo examen de cuestiones y examen de ejercicios prácticos). A dicha recuperación podrán presentarse los alumnos que no han superado ese primer examen o que desean mejorar la calificación en él obtenida. Se considerará la máxima calificación de las obtenidas a mitad de cuatrimestre y en la recuperación en Febrero. - Para superar la asignatura en la convocatoria de Febrero es imprescindible que la calificación del examen de ejercicios prácticos sea mayor o igual que 4. En caso de que esto no ocurra la calificación final numérica en la convocatoria de Febrero será la obtenida en dicho examen de ejercicios prácticos. - Para la calificación en la convocatoria de Septiembre se seguirá el criterio expuesto anteriormente, sin más de sustituir 'Febrero' por 'Septiembre'. para alumnos a tiempo parcial 00,00 7
El alumno matriculado a tiempo parcial seguirá el método de evaluación descrito anteriormente en esta guía docente, en el que se le brinda la siguiente posibilidad adicional en el apartado 'Resoluciones de ejercicios': No será necesario que entregue las resoluciones escritas de los ejercicios de cada bloque en los plazos establecidos por el profesor. Bastará con que los entregue antes del examen final de Febrero. 8. BIBLIOGRAFÍA Y MATERIALES DIDÁCTICOS BÁSICA D. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press, 2006. J.E. Marsden, A.J. Tromba. Cálculo Vectorial. Quinta edición. Pearson, Addison-Wesley, 2004. Complementaria A. Garcia, F. García, A. López, G. Rodríguez, A. de la Villa. Cálculo I: Teoría y Problemas de AnálisisMatemático en una Variable. Tercera edición. Editorial Glagsa, 2007. A. Garcia, A. López, G. Rodríguez, S. Romero, A. de la Villa. Cálculo II: Teoría y Problemas de Funciones de Varias Variables. Segunda edición. Editorial Clagsa, 2006. J. de Burgos Román: Análisis Matemático I (de una variable real). 00 problemas resueltos. García Morato Editores, 2006. J. de Burgos Román: 203 test. Cálculo de una variable real. Edición estudiante. García Morato Editores, 200. J. de Burgos Román: 55 test. Cálculo de varias variables. Edición estudiante. García Morato Editores, 200. 9. SOFTWARE PROGRAMA / APLICACIÓN CENTRO PLANTA SALA HORARIO 0. COMPETENCIAS LINGÜÍSTICAS Comprensión escrita Comprensión oral Expresión escrita Expresión oral Asignatura íntegramente desarrollada en inglés 8