Denominación: PROBABILIDAD I Semestre(s): Clave: 62558

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE POSGRADO PROGRAMA DE MTRÍA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL. Programa de actividad académica Denominación: PROBABILIDAD I Semestre(s): Clave: Campo de Conocimiento: Probabilidad No. Créditos: 9 1,2,3,4 por Carácter: Obligatoria de elección al Semestre semana Tipo: Teórica Teoría: 4.5 Práctica: Modalidad: Curso Básico Duración del programa: Semestral Seriación: Sin Seriación ( X ) Obligatoria ( ) Indicativa ( ) Actividad académica antecedente: Actividad académica subsecuente: Objetivo general: Presentar los fundamentos matemáticos de la Teoría de la Probabilidad. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los elementos de la teoría de la medida y su aplicación al estudio de la probabilidad. Presentar aplicaciones describiendo su importancia en otras ramas de las matemáticas así como en otras áreas de la ciencia. Índice Temático Tema Teóricas Prácticas 1 I II III Total de horas: 72 0 Suma total de horas: 72 Contenido Temático I. Tema y Subtemas 1 Espacio de probabilidad, variables aleatorias y distribuciones 1.1 Definiciones básicas y ejemplos. 1.2 Lemas de clases monótonas. 1.3 Espacios de medida y de probabilidad Definiciones básicas y ejemplos Distribuciones o leyes de probabilidad Funciones de distribución Construcción del espacio de probabilidad asociado a una función de distribución. (Opcional). 1.4 Espacios y medidas producto. Independencia Lema de Borel Cantelli. II. 2 Esperanza y momentos de variables aleatorias, probabilidad y esperanza condicional 2.1 Integral de Lebesgue, esperanzas de funciones de variables aleatorias. 2.2 Función característica, definición, propiedades. Aplicación a sumas de variables aleatorias independientes. 2.3 Probabilidad y Esperanza Condicional Esperanza Condicional y sus propiedades elementales Esperanza Condicional con respecto a una v.a., con respecto a una sigma-álgebra, etc Probabilidad Condicional Distribuciones Condicionales.

2 III. 3 Leyes de los grandes números y el Teorema central del límite 3.1 Tipos de convergencia Convergencia casi segura, en probabilidad, en L p Convergencia débil, o en distribución Convergencia débil usando funciones características. Teorema de continuidad de Lévy (sin demostración) Relaciones entre los modos de convergencia. 3.2 Leyes de los grandes números Ley débil de los grandes números Ley fuerte de los grandes números. 3.3 El Teorema central del límite. Bibliografía Básica: - ASH, R.B., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE, JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, BREIMAN, L, PROBABILITY, JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, CLARKE, L.E., RANDOM VARIABLES, LONGMAN, LONDON, FELLER, W, AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND APPLICATIONS, (2 VOLS), JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, 1968/ HOFFMAN-JORGENSEN, PROBABILITY WITH A VIEW TO WARD STATISTICS, VOL 1, CHAPMAN AND HALL, LONDON, BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE, J. WILEY AND SONS, NEW YORK, BREIMAN, L, PROBABILITY, WILEY, NEW YORK, NEW YORK. - CLARKE, L.E., RANDOM VARIABLES, , LONDON, CHOW, Y.S. y H. TEICHER, PROBABILITY THEORY, JOHN WILEY AND SONS, CHCHESTER, CHOW, Y.S y TEICHER, H, PROBABILITY, WILEY CHICHESTER, , LAHA, R.G. y ROHATGI, V.K, PROBABILITY THEORY, WILEY, NEW YORK, JACOD, J y PROTTER, P, PROBABILITY ESSENTIALS, SPRINGER-VERLAG, , Bibliografía Complementaría: - ASH, R.B., REAL ANAYLISIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, BORKAR, V.S., PROBABILITY THEORY AN ADVANCED COURSE.UNIVERSITEXT, SPRINGER,, NEW YORK, DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, , DURRET, R., PROBABILITY: THEORY AND EXAMPLES, WADSWORTH&BROOKS/COLE, PACIFIC GROVE, , FELLER, W, AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS APPLICATIONS, VOL. I AND II, WILEY, NEW YORK, WILLIAMS, D, PROBABILITY WITH MARTINGALES, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, , FRISTEDT, B y GRAY, L, A MODERN APPROACH TO PROBABILITY THEORY, BIRKHÄUSER, , Sugerencias didácticas: Exposición oral Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase Ejercicios fuera del aula Seminarios Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros: Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales Examen final escrito Trabajos y tareas fuera del aula Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras: Línea de investigación: Perfil profesiográfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas.

3 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE POSGRADO PROGRAMA DE MTRÍA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL. Programa de actividad académica Denominación: PROBABILIDAD II Semestre(s): Clave: Campo de Conocimiento: Probabilidad No. Créditos: 9 1,2,3,4 por Carácter: Obligatoria de elección al Semestre semana Tipo: Teórica Teoría: 4.5 Práctica: Modalidad: Curso Básico Duración del programa: Semestral Seriación: Sin Seriación ( X ) Obligatoria ( ) Indicativa ( ) Actividad académica antecedente: Actividad académica subsecuente: Objetivo general: Presentar los fundamentos matemáticos de la Teoría de la Probabilidad. Objetivos específicos: Familiarizar al alumno con los elementos de la teoría de la medida y su aplicación al estudio de la probabilidad. Presentar aplicaciones describiendo su importancia en otras ramas de las matemáticas así como en otras áreas de la ciencia. Índice Temático Tema Teóricas Prácticas 1 I II III IV V Total de horas: 72 0 Suma total de horas: 72 Contenido Temático I. Tema y Subtemas 1 Funciones características 1.1 Definiciones y ejemplos. 1.2 Unicidad de la función característica. 1.3 Teorema de inversión de Fourier. 1.4 Teorema central de límite multivariado. 1.5 Arreglos triangulares y teorema de Lindeberg. II. 2 Suma de variables aleatorias independientes 2.1 Teorema de equivalencia de Levy. 2.2 Teorema de las tres series. 3 4 III. Teorema de continuidad de Levy y leyes infinitamente divisibles 3.1 Teorema de continuidad de Levy. 3.2 Leyes infinitamente divisibles. 3.3 Fórmula de Levy-Khinchin. 3.4 Leyes estables. IV. El espacio C estables e

4 4.1 Caracterizaciones de convergencia débil. 4.2 Convergencia débil y tensión de medidas en el espacio C. 4.3 Teorema de Donsker. V. 5 El espacio D 5.1 Topología de Skorohod. 5.2 Completez del espacio D. 5.3 Convergencia débil y tensión en el espacio D. 5.4 Funciones de distribución empíricas. 5.5 Extensiones del teorema de Donsker. Bibliografía Básica: - ASH, R.B., REALANALYSIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE, JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK, DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, WADSWORTH AND BROOKS/COLE, BELMONT, BILLINGSLEY, P, PROBABILITY AND MEASURE. J. WILEY AND SONS, NEW YORK, BREIMAN, L, PROBABILITY, WILEY, NEW YORK, CLARKE, L.E., RANDOM VARIABLES, , LONDON, CHOW, Y.S y TEICHER, H, PROBABILITY, WILEY CHICHESTER, , LAHA, R.G. y ROHATGI, V.K, PROBABILITY THEORY. WILEY, NEW YORK, JACOD, J y PROTTER, P, PROBABILITY ESSENTIALS, SPRINGER-VERLAG, , Bibliografía Complementaría: - ASH, R.B., REAL ANAYLISIS AND PROBABILITY, ACADEMIC PRESS,, NEW YORK, BORKAR, V.S., PROBABILITY THEORY AN ADVANCED COURSE. UNIVERSITEXT, SPRINGER,, NEW YORK, DUDLEY, R.M., REAL ANALYSIS AND PROBABILITY, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, , DURRET, R., PROBABILITY: THEORY AND EXAMPLES. WADSWORTH&BROOKS/COLE, PACIFIC GROVE, , FELLER, W, AN INTRODUCTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS APPLICATIONS, VOL. I AND II, WILEY, NEW YORK, WILLIAMS, D, PROBABILITY WITH MARTINGALES. CAMBRIDGE UNIVERSITYPRESS, , FRISTEDT, B y GRAY, L, A MODERN APPROACH TO PROBABILITY THEORY, BIRKHÄUSER, , Sugerencias didácticas: Exposición oral Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase Ejercicios fuera del aula Seminarios Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros: Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales Examen final escrito Trabajos y tareas fuera del aula Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras: Línea de investigación: Perfil profesiográfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas.

5 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO PROGRAMA DE POSGRADO PROGRAMA DE MTRÍA. Y DOC. EN CIENCIAS MATEMÁTICAS Y DE LA ESP. EN EST. APL. Programa de actividad académica Denominación: PROCESOS ESTOCÁSTICOS Semestre(s): Clave: Campo de Conocimiento: Probabilidad No. Créditos: 9 1,2,3,4 por Carácter: Obligatoria de elección al Semestre semana Tipo: Teórica Teoría: 4.5 Práctica: Modalidad: Curso Básico Duración del programa: Semestral Seriación: Sin Seriación ( X ) Obligatoria ( ) Indicativa ( ) Actividad académica antecedente: Actividad académica subsecuente: Objetivo general: Introducir los elementos básicos para el estudio de los Procesos Estocásticos tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto y sus aplicaciones en diversas áreas del conocimiento. Objetivos específicos: El estudio de modelos de procesos estocásticos, sus propiedades probabilísticas y caracterizaciones, así como su aplicación a la Modelación de fenómenos en la naturaleza. Índice Temático Tema Teóricas Prácticas 1 I II III IV Total de horas: 72 0 Suma total de horas: 72 Contenido Temático I. Tema y Subtemas 1 Martingalas a tiempo discreto 1.1 Martingalas, submartingalas y supermartingalas, niciones propiedades y ejemplos. 1.2 Tiempos de paro, teorema de muestreo opcional de Doob, aplicaciones. 1.3 Desigualdades fundamentales. 1.4 Teorema de saltos de Doob y convergencia. 1.5 Integrabilidad Uniforme (*) El carácter(*)) significa que el tema es opcional y por ende no se considera material del examen general. II. 2 Cadenas de Markov a tiempo continuo y con espacio de estados discreto 2.1 Repaso de Cadenas de Markov a tiempo discreto. 2.2 Cadenas de Markov a tiempo continuo, definiciones y ejemplos. 2.3 Probabilidades de transición. 2.4 Generador infinitesimal. 2.5 Tiempos de paro y propiedad fuerte de Markov. 2.7 Clasificación de estados y distribuciones estacionarias. 2.8 Ecuaciones de Kolmogorov (Backward y Forward).

6 III. 3 Procesos de Poisson 3.1 Procesos de conteo, definición y propiedades. 3.2 Procesos de Poisson Proceso de Poisson compuesto Proceso de Poisson no-homogéneo Propiedad de Markov del proceso de Poisson Martingalas asociadas a los procesos de Poisson y Poisson compuesto. 3.3 Procesos de renovación, definición y propiedades Ecuación de renovación Proceso de renovación como un proceso de conteo Proceso de Poisson como un proceso de renovación. IV Definiciones y ejemplos. 4.2 Propiedades de la distribución Normal multivariada. 4.3 Procesos en L 2 y funciones de covarianza. 4.4 Continuidad y diferenciabilidad de trayectorias. 4.5 Ejemplos. 4.6 Movimiento Browniano. Bibliografía Básica: - WILLIAMS, D., PROBABILITY WITH MARTINGALES, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, , LAWLER,G., INTRODUCTION TOSTOCHASTICPROCESSES, CHAPMAN ANDHALL/CRC, , BREMAUD, P, MARKOV CHAINS, SPRINGER VERLAG, , RESNICK, S.I, ADVENTURES IN STOCHASTIC PROCESSES, BIRKHUSER BOSTON, , NORRIS, J.R., MARKOV CHAINS, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, , ABRAHAMSEN, P, A REVIEW OF GAUSSIAN RANDOM fiELDS AND CORRELATION FUNCTIONS, TECHNICAL REPORT 917, NORWEGIAN COMPUTING CENTER, OSLO, ASH, R.B, PROBABILITY AND MEASURE THEORY, ACADEMIC PRESS, , HERNÁNDEZ-CASTAÑOS D.B., CAMINATAS ALEATORIAS Y MOVIMIENTO BROWNIANO, MONOGRAFÍAS DEL INSTITUTO DE MATEMÁTICAS, N 9, UNAM, , LAHA, R.G. y ROHATGI, V.K, PROBABILITY THEORY, WILEY, , KARLIN, S. y TAYLOR, H., A FIRST COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, , KARLIN, S. y TAYLOR, H, A SECOND COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, , KARLIN, S. y TAYLOR, H, A FIRST COURSE IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, , HIDA, T. y HITSUDA, M, GAUSSIAN PROCESSES, AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, , Bibliografía Complementaría: - BOGACHEV, V, GAUSSIAN MEASURES, MATHEMATICAL SURVEYS AND MONOGRAPHS, N 62, AMS, , LAMPERTI, J.W., STOCHASTIC PROCESSES: A SURVEY OF THE MATHEMATICAL THEORY, SPRINGER-VERLAG, , ROSS, S.M., INTRODUCTION TO PROBABILITY MODELS, NINTH EDITION, ACADEMIC PRESS, , ASH, R.B. y GARDNER, M.F, TOPICS IN STOCHASTIC PROCESSES, ACADEMIC PRESS, , Sugerencias didácticas: Exposición oral Exposición audiovisual ( ) Ejercicios dentro de clase Ejercicios fuera del aula Seminarios Lecturas obligatorias ( ) Trabajo de Investigación ( ) Prácticas de taller o laboratorio ( ) Prácticas de campo ( ) Otros: Mecanismos de evaluación de aprendizaje de los alumnos: Exámenes Parciales Examen final escrito Trabajos y tareas fuera del aula Exposición de seminarios por los alumnos ( ) Participación en clase Asistencia ( ) Seminario ( ) Otras: Línea de investigación:

7 Perfil profesiográfico: Maestro o Doctor en Ciencias Matemáticas