MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

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1 C U R S O: FÍSICA Mención MATERIAL: FM-1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES La Fíica tiene por objetivo decribir la naturaleza y lo fenómeno que en ella ocurren, a travé de magnitude y relacione entre magnitude. La fíica hizo u mayore progreo en el iglo VI cuando decubrió que era poible analizar por medio de la matemática. La experimentación y el uo de la matemática condujeron al enorme éxito de la ciencia. Lo experimento permiten verificar nuetra leye y la matemática no permiten exprear nuetro reultado in ambigüedade. Sitema Internacional (SI) En 196, un comité internacional etableció un conjunto de patrone para eta magnitude fundamentale. El itema que e ingreó e una adaptación del itema métrico, y recibe el nombre de Sitema Internacional (SI) de unidade. Magnitude Fundamentale Nombre Símbolo Longitud metro m Maa kilogramo kg Tiempo egundo Intenidad de corriente eléctrica ampere A Temperatura kelvin K Cantidad de utancia mol mol Intenidad luminoa candela cd También exiten Magnitude Derivada que e obtienen a partir de la fundamentale por medio de ecuacione matemática. Como por ejemplo, el área que e derivada de longitud. Nota: en cualquier fenómeno fíico que e analiza, e deben tener en cuenta la unidade de medida con la cuale e trabaja, ya que deben er compatible, de lo contrario e procede a la converión de unidade. Ejemplo: 1. La unidad fundamental de la iguiente unidade e: A) volt B) coulomb C) ohm D) ampere E) watt

2 Ecalare Son magnitude fíica fácile de reconocer, ya que para identificarla ólo neceitamo aber u magnitud, en alguno cao e neceario acompañarlo de la unidad de medida como lo que e mencionan a continuación. Ejemplo: rapidez, maa, tiempo, ditancia, área, perímetro, denidad, volumen, temperatura, etc. Vectore Un vector e identifica por 3 caracterítica fundamentale: magnitud (módulo o largo), entido (indicado por la flecha) y dirección (indicado por la línea recta que paa obre el vector). DIRECCIÓN MAGNITUD SENTIDO punto u origen de aplicación Fig.1 Una magnitud vectorial e imboliza con una letra que lleva una flecha en u parte uperior A. Si queremo referirno a la magnitud del vector A e denota por A. Alguno ejemplo de magnitude vectoriale on: deplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momentum lineal, torque, etc. Ejemplo:. De la iguiente afirmacione obre el vector PQ I) El punto P e el origen de PQ. II) El vector PQ e puede abreviar QP. III) El punto Q e el término de PQ. De eta afirmacione e (on) verdadera () A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II, y III

3 Repreentación de un vector Sea C un vector tridimenional (tre dimenione, Y, Z) Donde: C C, C, C C e la componente del vector en la dirección de. C Y e la componente del vector en la dirección de Y. C e la componente del vector en la dirección de Z. Z La otra forma de ecribir un vector e en función de vectore unitario, e decir que tienen magnitud uno, aociado a cada eje. - Al eje aociamo el vector unitario i Z - Al eje Y aociamo el vector unitario j - Al eje Z aociamo el vector unitario k k j i j k 1 Y i Fig. Y Z El vector C queda repreentado de la iguiente forma: C C i C Y j C k Z La magnitud de C e: C C C C Y Z Proyección de un vector Proyectar un vector e trazar la perpendicular a lo eje carteiano por ejemplo en do dimenione la figura 3 muetra al vector A y la do componente que e obtienen en eta proyección A y A Y donde: A Y = A en A = A co Y A A Fig.3 A Y 3

4 Ejemplo: 3. De acuerdo a la figura 4, la componente del vector en la dirección del eje e A) A en B) A tg C) A co D) A ec E) A cc Fig. 4 Y A Álgebra de vectore i. Adición (método del triángulo) Al umar do vectore A y B, primero e dibuja A y a continuación e dibuja B, procurando mantener la proporcione, luego el origen de A e une con el final de B (punta de la flecha). A B A B A B Nota 1: Encontrar el opueto de un vector equivale a hallar otro, que poea igual magnitud y dirección, pero con entido opueto. Matemáticamente el opueto de A e A. A A Nota : Do vectore paralelo de entido opueto e llaman antiparalelo. ii. Sutracción Se procede como en la uma, e decir, para obtener A B, e procede a efectuar la operación A B obteniéndoe aí una uma de do vectore. B A A A B B 4

5 Ejemplo: 4. La figura 5 muetra do vectore perpendiculare (U y V ). Si U 8 y V 15, entonce la magnitud del vector reultante de la reta entre ello e A) 7 B) 8 C) 15 D) 17 E) 3 U V Fig. 5 iii. Producto Punto (ecalar) Sean A A, A, A Y Z y B B, B, B Y Z El producto punto entre ello e calcula de la iguiente forma: A B A B A Y B Y A Nota: el reultado del producto punto e un ecalar. Propiedade: - el producto punto e conmutativo A B B A. - el producto punto entre do vectore perpendiculare e cero. iv. Producto Cruz (vectorial) Utilizando lo vectore anteriore, el producto cruz e calcula de la iguiente forma: A B i j k A B A B Y Y A B Z Z Z B A B A B i A B A B ja B A B k Y Z Z Y Z Z Z y y Nota: el reultado del producto cruz e un vector perpendicular al vector A y B. Propiedade: - el producto cruz no e conmutativo - el producto cruz entre do vectore paralelo e cero. Ejemplo: 5. Sean A,k y B 4,4, k e una contante El valor de k para que lo vectore ean perpendiculare entre í debe er: A) -1 B) 1 C) D) - E) 5

6 Tranformación de Unidade En mucha ituacione en Fíica, tenemo que realizar operacione con magnitude que vienen expreada en unidade que no on homogénea. Para que lo cálculo que realicemo ean correcto, debemo tranformar la unidade de forma que e cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo i tenemo una rapidez v que eta expreada en km/h y la queremo exprear en m/ deberemo dividir v por 3,6 y aí quedara v en m/ eto e debe a lo iguiente: 1 km = 1 m; para paar de kilómetro a metro debemo multiplicar por 1 1 h = 36 ; para paar de hora a egundo debemo multiplicar por 36 De lo anterior i tenemo v = 7 km/h para llevarlo a m/ debemo hacer lo iguiente: 7km 1m 1 m 1 m m v h ,6 1 e decir 7 km/h e equivalente a m/ Prefijo La unidade del itema métrico utilizan lo mimo prefijo para toda la cantidade. Un miléimo de gramo e un milígramo, y mil gramo on un kilógramo. Para uar eficientemente la unidade del SI, e importante conocer el ignificado de lo prefijo de la tabla. Factor Prefijo Símbolo mega kilo hecto deca deci centi mili micro M k h da d c m µ Ejemplo: 6. 9 m/ e puede exprear como A) 5 Km/h B) 15 Km/h C) 9 Km/h D) 36 Km/h E) 34 Km/h 6

7 PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. De la iguiente magnitude, la fundamental e A) Área B) Volumen C) Tiempo D) Rapidez E) Aceleración. La multiplicación de 1 kilómetro y un micrómetro e, en metro, equivalente a: A) 1 3 B) 1-6 C) D) E) Un volumen de 3 1m, equivale a: A) B) C) D) E) cm cm 5 1 cm 7 1 cm 8 1 cm Sea poición con dimenión L y t tiempo con dimenión T, la dimenión de k 1, en la iguiente ecuación e k k t 1 1 k t A) T B) LT -1 C) L D) LT - E) LT 5. Se abe que una fuerza e da en Kg m, i la dimenione de longitud, maa y tiempo on repectivamente L, M, T. Cuál e la dimenión de fuerza? A) M B) MLT C) ML D) MLT - E) MLT 7

8 6. Dado lo vectore A y B, de igual módulo (figura 6), entonce el vector A B e aproximadamente A) B) C) A B D) Fig. 6 E) 7. La magnitud máxima de la utracción de do vectore, cuya magnitude on 6 y 8 repectivamente e A) B) 8 C) 1 D) 14 E) Dado lo vectore: A de magnitud 8 en la dirección poitiva del eje x. B de magnitud 3 en la dirección negativa del eje x. C de magnitud 15 en la dirección poitiva del eje y. D de magnitud 3 en la dirección negativa del eje y. La magnitud de la uma de lo vectore (vector reultante) e A) 5 B) 1 C) 13 D) 5 E) 1 9. En la figura 7, E e el vector reultante de A) G D B) F C D C) G D D) F C D E) A B C D A B F Fig. 7 C D G E 8

9 1. En la figura 7, A e el vector reultante de A) E D C B B) F D C) A B C D D) G D E) E F G 11. Si do vectore a y b, tienen igual módulo, entonce iempre e cumple que I) a b a b II) a b III) a b a De la afirmacione, e (on) verdadera() A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Toda E) Ninguna 1.En la figura 8, N e el punto medio del vector TR. Entonce SN e igual a r A) T r B) r N r C) r D) S E) r Fig De la iguiente afirmacione: I) Do vectore iguale on paralelo. II) Do vectore paralelo pueden er diferente entre í. III) Do vectore paralelo de entido opueto no on iguale. R E (on) verdadera() A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 9

10 14.En la figura 9, on reultante de una adición de vectore I) AB II) CD III) EF B A E A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III C D F Fig En el cuadrilátero de la figura 1, e pueden etablecer varia relacione, excepto que A) RQ = SQ SR B) SQ = SR + RT - QT C) RT = ST SR D) ST = QT + SQ Q T E) SR = SQ + RQ S Fig. 1 R 16.Con repecto a lo vectore repreentado en la figura 11 e correcto afirmar que A) A B C D B) A D B C C) A B D C D) A + B = -D - C E) A B C D Fig La relación vectorial correcta exitente entre lo vectore repreentado en la figura 1 e A) Z U V B) V U Z C) Z V U D) V U Z E) Z U V D A Z C V U Fig. 1 B 1

11 18. Si A y B on paralelo entre i I) el producto punto entre ello e cero. II) el producto cruz entre ello e cero. III) on iguale. E (on) iempre verdadera () A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III En la pregunta 19 y ecriba cada vector en término de a y/o b de acuerdo a la figura 13 y 14 repectivamente 19. A) BA = B) AC = C) DB = D) AD = D A a B a Fig. 13 b C. A) Z = b Y B) YW = C) Y = D) Z = W a Fig. 14 Z b 11

12 Solución ejemplo 1 La alternativa correcta e D Para reponder eta pregunta ver la tabla de la pagina 1 Solución ejemplo La alternativa correcta e D La afirmación II e fala, ya que el vector QP e el opueto (entido contrario) de PQ Solución ejemplo 3 La alternativa correcta e C En la figura 4 exite un triangulo rectángulo, entonce por trigonometría A co A A co A Solución ejemplo 4 La alternativa correcta e D Bata con aplicar el Teorema de Pitágora U V Solución ejemplo 5 La alternativa correcta e D A B 8 4K K Solución ejemplo 6 La alternativa correcta e E Para convertir de m / a Km /h e debe multiplicar por 3,6 Para convertir de Km /h a m / e debe dividir por 3,6 9 3,6 34 Km h DOFM-1 Puede complementar lo contenido de eta guía viitando nuetra web 1

13 C U R S O: FÍSICA MENCIÓN MATERIAL: FM- CINEMÁTICA I La Cinemática etudia el movimiento de lo cuerpo, in preocupare de la caua que lo generan. Por ejemplo, al analizar el deplazamiento de un automóvil, diremo que e mueve en línea recta, que u rapidez e de 6 km/h y que luego aumenta a 1 km/h, etc., pero no trata de explicar la caua de cada uno de eto hecho. En eta unidad un cuerpo o móvil erá tratado como una partícula, o ea, no interean u dimenione, forma, maa, etc. Cómo e el movimiento? El movimiento de un cuerpo vito por un obervador, depende del punto de referencia en el cuál e halla ituado. Suponga que un avión que vuela horizontalmente deja caer una bomba. Si e obervara la caída de la bomba dede el interior, obervaría que cae en línea recta, verticalmente. Por otra parte, i e etuviera de pie obre la uperficie de la tierra obervando la caída de la bomba, e advertiría que decribe una curva llamada parábola. Como concluión, el movimiento e relativo. En la vida cotidiana, e encuentran vario ejemplo de eta dependencia del movimiento en relación con el punto de referencia. Analicemo el cao de un obervador (A) entado en una locomotora en movimiento hacia el ete y otro (B) de pie en tierra, lo cuale obervan una lámpara fijada en el techo de la cabina. Para el obervador B la lámpara e encuentra en movimiento. Por otra parte, para el obervador A entado en la locomotora, la lámpara eta en repoo y B e deplaza en entido contrario al movimiento del vehículo. En otra palabra, A e deplaza hacia la derecha con repecto al obervador B, y B lo hace hacia la izquierda en relación con el obervador A. El problema urge en la elección de eje coordenado que etén en repoo aboluto, a lo cuale referir todo lo movimiento. Eto, en realidad, e impoible, ya que no diponemo de ningún punto de referencia que ea inmóvil. En nuetro etudio que veremo a continuación, conideraremo eje coordenado ligado a tierra, porque, generalmente etamo acotumbrado a coniderar el movimiento de lo cuerpo uponiendo la Tierra en repoo (por convención). Ejemplo 1 Un bote con dirección al norte cruza un río con una velocidad de 8 km/h con repecto al agua. El río corre a una velocidad de 6 km/h hacia el ete, con repecto a la tierra. Determine la magnitud de la velocidad con repecto a un obervador etacionado a la orilla del río. A) 14 km/h B) 1 km/h C) 8 km/h D) 6 km/h E) km/h

14 Concepto i) Trayectoria: e la línea que une la ditinta poicione por la cuale paa un móvil. Se puede claificar en rectilínea y curvilínea. ii) Ditancia y deplazamiento: en el lenguaje cotidiano, eto concepto uelen er uado como inónimo, lo cual e errado. La ditancia e la longitud de u trayectoria y e trata de una magnitud ecalar. El deplazamiento e la unión de la poición inicial (A) y final (B) de la trayectoria, y e una magnitud vectorial. Trayectoria B Deplazamiento(D) A Fig. 1 Nota: Si la trayectoria e rectilínea, el deplazamiento puede er negativo o poitivo, egún el entido de movimiento de la partícula. La ditancia recorrida iempre erá mayor o igual que la magnitud del deplazamiento (valen lo mimo cuando el movimiento entre do poicione e rectilíneo y iempre que no exita regreo al punto de partida). iii) Rapidez y velocidad: on do magnitude que uelen confundire con frecuencia. La rapidez e una magnitud ecalar que relaciona la ditancia recorrida con el tiempo. La velocidad e una magnitud vectorial que relaciona el cambio de poición (o deplazamiento) con el tiempo. Qué ignifica una velocidad negativa? El igno de la velocidad eta relacionado con el entido de movimiento en general e toma como lo muetra la figura, pero no tiene que er neceariamente aí, perfectamente válido ería tomarlo poitivo hacia la izquierda. V V Fig. (m) Por lo tanto, cuidado con decir que una velocidad de 1 km e menor que una h velocidad de 6 km, ya que, el igno ólo eta motrando un entido de movimiento h contrario.

15 iv) Rapidez media ( V M ): e la relación entre la ditancia total recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla. V M d t d t final final d t inicial inicial o también Recuerde que la dimenión de rapidez e la relación entre longitud con un intervalo de tiempo. V M d t total total v) Velocidad media ( V M ): relaciona el deplazamiento total y el tiempo que tarda en hacerlo. d d D final d inicial o también total V V M M t t t t total final inicial vi) Velocidad intantánea ( V (t) ): un cuerpo no iempre puede viajar con velocidad contante, por eta razón e útil hablar de ete concepto, el cual correponde a la velocidad que poee el móvil en un determinado intante de u recorrido. En ete capítulo no ocuparemo del movimiento en trayectoria rectilínea, o ea, que la magnitud de la rapidez y velocidad on la mima en cada intante. Sin embargo, e un buen hábito reervar el término velocidad para la decripción ma completa del movimiento. Una forma matemática de calcular eta velocidad, e motrará má adelante cuando e analicen lo tipo de movimiento. vii) Aceleración ( a ): el concepto de aceleración iempre e relaciona con un cambio de velocidad en un intervalo de tiempo. V a t V t final final V t inicial inicial Ejemplo La rapidez media de un automóvil que viaja en línea recta, en la primera mitad del viaje e de km/h y en la egunda mitad e de 3 km/h. Cuál e la rapidez media para todo el viaje? A) 8 km/h B) 6 km/h C) 5 km/h D) 4 km/h E) Faltan dato. 3

16 Tipo de movimiento i) Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): cuando un cuerpo e deplaza con rapidez contante a lo largo de una trayectoria rectilínea, e dice que decribe un MRU. Como ejemplo upongamo que un automóvil e deplaza por una carretera recta y plana, y u velocímetro iempre indica una rapidez de 6 km, lo cual ignifica que: en 1 h el auto h recorrerá 6 km, en h recorrerá 1 km, en 3 h recorrerá 18 km. Si eto dato lo llevamo a un gráfico de poición v/ tiempo, u comportamiento ería el iguiente: x(m) pendiente x t velocidad (v) x Fig.3 t() La ecuación de la recta no permitirá encontrar la información de cada poición de la partícula en el tiempo. Eta ecuación e denomina ecuación de itinerario. Nota: la velocidad e contante, ya que la pendiente e única. El igno de la velocidad e debe repetar para el cálculo de deplazamiento. x t x v t x = poición inicial Si x = (m), tenemo xt v t, conocida como la expreión d v t A continuación e motrarán lo comportamiento gráfico de la velocidad y aceleración en el tiempo: v (m/) pendiente v t aceleración (a) Fig. 4 t () 4

17 Como la velocidad e contante, implica que la aceleración en un MRU iempre e cero a m a m Fig. 5 t () ii) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: el movimiento con aceleración má encillo, e el rectilíneo, en el cual la velocidad cambia a razón contante, lo que implica una aceleración contante en el tiempo. Nota: Cuando el vector velocidad y aceleración tienen ditinto entido e igual dirección, el móvil diminuye u rapidez en el tiempo e dice que e un movimiento retardado. Imaginemo un móvil etacionado en una poición x a la derecha del origen (poición (m)), él comienza a movere en línea recta, alejándoe del origen aumentando u velocidad proporcional con el tiempo, lo cual implica que u aceleración e contante. La ituación anterior repreenta un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, lo cual erá analizado gráficamente: x(m) x Fig. 6 t() La ecuación de itinerario generalizada eta repreentada por: x t x v t at 1 5

18 El comportamiento de la velocidad y aceleración en función del tiempo e el iguiente: v (m/) a m Fig. 7 t () Fig. 8 t () De acuerdo a la figura 7, podemo determinar la velocidad intantánea que poee el móvil, encontrando la ecuación de la recta: v t a t El gráfico de la figura 8 muetra la aceleración que e obtiene del gráfico de la figura 7. En la expreión generalizada para la velocidad intantánea hay que tener en cuenta la velocidad inicial v : v t v a t La ecuacione anteriore irven para movimiento uniformemente acelerado, ólo hay que poner cuidado con el igno de velocidade y aceleracione. Qué indica el área bajo la curva en un gráfico? Fig.9 Analizando dimenionalmente, el área (gráfico v/ t) genera una multiplicación de poición y tiempo, lo cual en cinemática no implica ningún concepto fíico. 6

19 V 1 El calculo del área (grafico V v/ t) genera una multiplicación de velocidad y tiempo, con lo cuál podemo obtener la ditancia recorrida en un intervalo de tiempo determinado, para el cuál hay que tomar el valor aboluto del área a calcular. También e puede obtener deplazamiento total teniendo en cuenta el igno. Con el grafico de la figura 1, podemo demotrar la ecuación de itinerario de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, para la cual tomaremo como poición inicial el origen ( x m ). Calculando el área (trapecio) en intervalo de tiempo t tenemo: Area Area rectan gulo Area triangulo Area trapecio en la cual e obtiene lo iguiente: 1 Area Vt V 1V t Utilizando un recuro matemático, multiplicaremo por el neutro multiplicativo la expreión del área del triangulo: Area a V m Area V t 1 1 t V t t t 1 V V t Fig.1 V 1 t V t t t 1 t V t a t 1 Fig.11 El cálculo del área genera una multiplicación entre aceleración y tiempo, con lo cual e puede obtener la variación de velocidad (repetando lo igno). 7

20 Como analizar la velocidad intantánea en un gráfico x v/ t? xm t 1 Fig.1 t t La pendiente de la recta tangente en t 1 y t, e un indicador de la velocidad intantánea en lo repectivo intante de tiempo. Con eto logramo verificar que la rapidez de la partícula va aumentando en el entido poitivo. Con eta técnica podemo analizar un problema dede el punto de vita cualitativo. Ejemplo 3 Do móvile moviéndoe en trayectoria rectilínea perpendiculare con rapidece contante, uno a 36 km/h y el otro a 7 km/h, e cruzan prácticamente en el mimo punto in chocar. Depué de 1 de habere cruzado, la ditancia que lo epara e de Ejemplo 4 A) 18 m B) m C) 3 m D) 1 3 m E) 1 5 m De acuerdo al gráfico de la figura 13, para ete movimiento rectilíneo e afirma que: I) entre C y D el movimiento e má rápido que entre A y B. II) a lo 8 el móvil e encuentra detenido. III) entre E y F la rapidez e la mima que entre G y H. E (on) correcta () x(m) 4 D E A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III A B C F G H t() Fig. 13 8

21 A continuación veremo lo ditinto tipo de proporcionalidad que e dan en la ecuacione que e ven en la ciencia fíica, e de mucha ayuda para la comprenión de lo concepto entender cómo e relacionan la variable. Proporcionalidad Directa Si do variable, x e y, cumplen que que y k donde k e una contante, entonce e dice x x e y on directamente proporcionale y al graficar lo ditinto valore que toman eta variable e obtiene el iguiente gráfico: Y E decir una línea recta que paa por el origen. Se oberva que a medida que crece la variable x también aumenta la variable y en la mima medida. Un ejemplo de eto en fíica e: Cuando e aplican ditinta fuerza obre una mima maa la relación entre eta variable e: F m a i m e contante la fuerza y la aceleración on directamente proporcionale, por ejemplo i e duplica la fuerza entonce también e duplica la aceleración. Proporcionalidad Invera En ete cao la variable cumplen que y x k, con k contante y e dice que x e y on inveramente proporcionale, al graficar lo ditinto valore que toman eta variable e tiene el iguiente gráfico: y Se oberva que i una variable aumenta la otra diminuye o vicevera, la curva correponde a una hipérbola. x Un ejemplo de eto en fíica e: Un móvil que debe recorrer una mima ditancia (d) con rapidece ditinta (v) uamo la relación d v t, donde d e contante y la rapidez e inveramente proporcional al tiempo. Como la ditancia e contante cuando el móvil recorra con una velocidad mayor entonce la otra variable que e el tiempo diminuirá. 9

22 Proporcionalidad al Cuadrado Aquí una de la variable eta elevada al cuadrado y la relación entre eta variable puede er de la forma y = ax donde, a e contante, en ete cao decimo que y e proporcional al cuadrado de x otra forma de decirlo e que y e directamente proporcional al cuadrado de x. Cuando etamo en eta ituación la figura que e obtiene al graficar lo valore que toman la variable x e y e: y Un ejemplo de eto en fíica e: x La curva correponde a una parábola, cuando una de la variable e duplica (x) la otra e cuadruplica (y) La relación entre la energía cinética (E c ) y la velocidad (v) e una proporcionalidad de ete tipo iendo la ecuación que la relaciona la iguiente: EC 1 mv donde 1/m e contante. En eta expreión i la velocidad e duplica entonce la energía cinética e cuadruplica, o i v diminuye a la mitad entonce E c diminuye a la cuarta parte, etc. Proporcionalidad Invera al Cuadrado k Eta ituación e da cuando la relación entre la variable e de la forma y donde k x e contante, e dice que y e inveramente proporcional al cuadrado de x. Si e tienen ditinto valore de x e y al graficarlo obtendremo lo iguiente: y x Un ejemplo de eto en fíica e: Aquí también como en el cao de la proporcionalidad invera i una de la variable crece la otra diminuye pero como una de la variable eta elevada al cuadrado, la variable x, i eta crece al doble por ejemplo la variable y diminuye a la cuarta parte. La famoa Ley de la Gravitación Univeral donde e muetra la forma en que e atraen do maa. Por ejemplo la atracción entre la Tierra (m 1 ) y el Sol (m ), la relación e la iguiente: F m1 m G d donde el producto Gm m 1 e contante. Si la ditancia entre ambo cuerpo celete fuee la mitad de la actual entonce la fuerza de atracción entre ambo ería 4 vece mayor de lo que e ahora. 1

23 PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. Si un móvil viaja con rapidez contante de 36 Km/h durante 1,5 minuto, entonce en ete lapo recorre A) 36 m B) 45 m C) 54 m D) 9 m E) 9 m. El módulo del vector deplazamiento coincide con la ditancia recorrida de un punto P a un punto Q cuando la trayectoria e igual A) a una emicircunferencia de diámetro PQ. B) al egmento rectilíneo PQ. C) a cualquier curva que tenga por extremo P y Q. D) Toda la anteriore. E) Ninguna de la anteriore. 3. En la figura 14, el vector deplazamiento entre A y B e A) igual al vector deplazamiento entre B y A. B) de mayor módulo que el deplazamiento entre B y A. C) de menor módulo que el deplazamiento entre B y A. D) igual a AC + CB E) igual a BC + CA D C 1 A Fig B 4. El perímetro de una circunferencia etá dado por la relación p r, luego el gráfico de perímetro p veru el radio r que mejor repreenta eta relación e p p p p p r r r r r Fig. 15 A) B) C) D) E) 11

24 5. Si un auto gata B litro de bencina en recorrer K kilómetro entonce lo litro de bencina que neceita para recorrer L kilómetro e A) BK / L B) BL / K C) BKL D) KL/B E) L/BK 6. Un tren de paajero parte dede una etación en el mimo intante en que por una vía lateral paa un tren de carga moviéndoe con rapidez contante y en un entido opueto. El gráfico de la figura 16 muetra la rapidez en función del tiempo para ambo trene. Cuánto demora el tren de paajero en alcanzar la rapidez con que e mueve el tren de carga? V(m/) 5 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) Do automóvile A y B deben recorrer una mima ditancia D con movimiento uniformemente acelerado, partiendo ambo del repoo. Si A demora la mitad del tiempo que demora B, la razón entre la aceleracione repectiva entre A y B e A) 4 : 1 B) : 1 C) 1 : D) 1 : 4 E) : Fig.16 t ( ) 8. De acuerdo al gráfico de la figura 17; a qué ditancia del origen e encuentra el móvil en el intante t = 5? (m) A) 5 m B) 1 m C) 5 m D) 35 m E) 45 m -3 6 t () Fig. 17 1

25 9. Un automovilita hace un determinado viaje en hora, llevando una rapidez media de 6 Km/h. Si hiciee el mimo trayecto con una rapidez media de 9 km/h. Cuánto tiempo ahorraría? A) 15 min B) min C) 8 min D) 4 min E) 1 min 1.Do móvile A y B parten del mimo punto y e mueven en el mimo entido a lo largo de la mima recta. De acuerdo con eta información, e puede aegurar que en el intante t C A) A y B tienen la mima aceleración. B) la aceleración de B e mayor que la de A. C) A y B tienen la mima rapidez. D) la rapidez de A e mayor que la de B. E) la rapidez de B e mayor que la de A. B A t C Fig.18 t 11.La figura 19, repreenta la poición en función del tiempo para un ciclita. La rapidez media con que el ciclita recorrió lo primero 16 m fue aproximadamente de (m) 16 A), m/ B) 8 m/ C) 1,7 m/ D) 8,8 m/ E) 8 m/ t ( ) Fig.19 1.La figura, muetra lo itinerario del movimiento rectilíneo de lo móvile I, II y III. Baándoe en el gráfico cuál (e) tiene (n) rapidez cero en t= h? (km) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III I II III Fig. D) Sólo I y II E) I, II y III t ( h ) 13

26 13.Con repecto al gráfico de la figura 1, e afirma que I) a lo 3,5 la rapidez e de 1 m/. II) entre E y F la rapidez diminuye. III) la rapidez media para todo el movimiento e 3 m/. De eta afirmacione e (on) fala() A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna 4 (m) D E 1 8 B C F G 4 A H t() Fig En el gráfico de la figura, de la afirmacione: I) La ditancia recorrida con M.U.R e 3 m. II) Entre lo y lo 3, el móvil viene de regreo. III) Entre t = 1 y t = la rapidez media del móvil fue de 65 m/. E (on) fala () A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III A V (m/) B C D E F t() G H Fig. 14

27 15.Una partícula parte del repoo acelerando a razón de 4 m/ durante 8, luego continúa moviéndoe con rapidez contante durante 6 y finalmente, comienza a frenar, hata detenere al cabo de 5. Dede que parte hata que e detiene qué ditancia recorrió la partícula? A) 4 m B) 5 m C) 8 m D) 1 m E) 4 m 16.El iguiente gráfico V v/ t correponde al de una partícula que e mueve en línea recta. Cuál erá la velocidad inicial V del movimiento, i al cabo de 5, la partícula e encuentra a 75m del punto de partida ( m )? Vm A) 5 m/ B) 1 m/ C) m/ D) 5 m/ E) Ninguna de la anteriore. V o 1 Fig. 3 t 17.Si un móvil e deplaza en línea recta, con aceleración contante de m/, alcanzando una rapidez de 18 km/h al cabo de 5, entonce la velocidad que tenía ete móvil en t = era igual a A) m B) 5 m C) 1 m D) m E) Ninguna de la anteriore 18.Un vehículo que viajaba con una rapidez inicial v, comienza a frenar de tal modo que la deaceleración fue contante. Si dede que comienza a frenar hata que e detiene, el vehículo empleó un tiempo t, cuál de la iguiente aeveracione e correcta para el intervalo de tiempo t? A) la rapidez media fue vt. B) la rapidez media fue (vt). C) la aceleración fue v/. D) la ditancia recorrida fue (vt)/. E) la ditancia recorrida fue (vt )/. 15

28 19.De acuerdo a la figura 4, el cual repreenta la V v/ t de un movimiento rectilíneo, e afirma que: I) La aceleración entre F y G e poitiva. II) El móvil etuvo en repoo durante 4. III) La aceleración entre lo 1 y e de,5 m/. De eta afirmacione e (on) verdadera () A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III V (m/) 75 5 B C D 5 G H A E F Fig. 4 t().de la obervación del iguiente gráfico e pueden extraer varia concluione. Una de ella e que, i lo móvile P y Q parten del mimo lugar V Q P Fig. 5 t 1 t t 3 t A) hata t 3 ambo recorrieron la mima ditancia. B) en t 1 ambo e encuentran. C) en t ambo etán detenido. D) en t 1 ambo tienen la mima rapidez pero P va adelante. E) entre t y t 3 Q e devuelve. 1.Una partícula dearrolla un movimiento variado, egún el gráfico V veru t de la figura 6. La partícula dede t = hata t = 4 ha recorrido una ditancia de A) 6 m B) 8 m C) 14 m D) m E) 3 m V m 1,5 5 Fig. 6 t 16

29 . Cuál e la velocidad del móvil del gráfico V v/ t, en el intante t = 6? A) 1 m B) 1,5 m C) m D),5 m E) 3 m V m -1 Fig. 7 1 t 3.La velocidad media de un móvil que recorre 1 m en línea recta, e 35 m/. Si u aceleración e contante e igual a,7 m/, entonce la velocidad de partida e igual a A) 3 B) 33 C) 34 D) 36 E) 37 m m m m m 4.Un automóvil e mueve a 48 km/h en línea recta. Repentinamente e aplican lo freno y e detiene luego de recorrer m. Si e hubiera etado moviendo a 96 km/h y e aplicaran lo freno como en el cao anterior, de manera que, e obtuviee la mima deaceleración, cuál ería la ditancia que recorrería dede el momento que e aplican lo freno hata que e detiene? A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 1 m E) 1 m 5.El gráfico aceleración v/ tiempo, correponde al de una partícula que e mueve a lo largo de una línea recta, tal que en t =, u velocidad e v = 1 m/. Qué rapidez tendrá la partícula en el intante t = 6? A) 1 m a m B) 18 m 6 C) 36 m D) 46 m E) Ninguna de la anteriore. 17 Fig. 8 3 t ()

30 Solución ejemplo 1 V br = velocidad del bote repecto al río. V rt = velocidad del río repecto de la tierra. V bt = velocidad del bote repecto de la tierra (incógnita) Para la olución del problema bata manejar la uma vectorial, ya que la velocidad del bote con repecto a tierra e la uma de V br + V rt. Como tenemo do vectore perpendiculare entre í, bata aplicar Pitágora para encontrar la magnitud de la reultante. La alternativa correcta e B V V V bt br rt 1 Km h Solución ejemplo d t1 t d d Analizando lo tiempo en cada tramo t y t 1. Si penamo la rapidez media 3 de todo el viaje etará dada por el cuociente entre la ditancia total (d) y el tiempo total ( t 1 t ). d d d d t total Finalmente d 1 V Km M 4 d d 1 h Nota: cuidado en ete tipo de problema con acar el promedio, no e lo mimo, ya que on rapidece media ditinta en el viaje. La alternativa correcta e D 18

31 Solución ejemplo 3 36 Km 1 m h t A B 7 Km m h Trancurrido 1 lo deplazamiento de A y B on lo iguiente d A 1m d B m en la vertical en la horizontal Como lo deplazamiento on perpendiculare, para encontrar la ditancia que lo epara debemo aplicar el teorema de Pitágora La alternativa correcta e E d 1 1 5m Solución ejemplo 4 La afirmación I e verdadera. Para analizar la velocidade bata calcular la pendiente de la recta repectiva V CD 1 m y V AB 3 m La afirmación II e verdadera. Entre 6 y 9 el móvil e mantuvo detenido en la poición 4 m. La afirmación III e fala. La pendiente (en magnitud, ya que on rapidece) repectiva on 14 V m 1 EF y V m 3 GH 3 La alternativa correcta e B DOFM- Puede complementar lo contenido de eta guía viitando nuetra web 19

32 C U R S O: FÍSICA MENCIÓN MATERIAL: FM-3 CINEMÁTICA II CAIDA LIBRE En cinemática, la caída libre e un movimiento dónde olamente influye la gravedad. En ete movimiento e deprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, e decir, e etudia en el vacío. El movimiento de la caída libre e un movimiento uniformemente acelerado. Según Galileo Galilei ( ), la aceleración intantánea e independiente de la maa del cuerpo, e decir, i oltamo un coche y una pulga, ambo cuerpo tendrán la mima aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad ( g ). Eto último implica que, i dejamo caer (en t ) cuerpo de diferente maa dede la mima altura, llegarán al uelo con la mima velocidad y en el mimo intante de tiempo. Ante de analizar la ecuacione, e conveniente hacer alguno comentario generale. En problema que tratan con cuerpo en caída libre y lanzamiento verticale, e demaiado importante elegir un entido poitivo y eguir ete criterio en forma conitente al utituir lo valore conocido. El igno de la repueta e neceario para determinar deplazamiento y velocidad en tiempo epecífico, no aí cuando e deea determinar ditancia recorrida y rapidez, ya que en ee cao tomamo el módulo (magnitud) del reultado. Si el entido acendente e elige como poitivo, un valor poitivo para (t) indica un deplazamiento por arriba del punto de partida; i (t) e negativo, repreenta un deplazamiento por debajo el punto de partida. En forma imilar lo igno de V (velocidad inicial) y la velocidade intantánea V (t). La figura 1 muetra el comportamiento de un cuerpo en caída libre. g t V Por implicidad en lo cálculo, e tomará m V 1 V V V 1 V a t t t 1 g t g t g cte Nota: En ete cao la dirección acendente fue tomada como poitiva Fig.1 V 3 V

33 LANZAMIENTOS VERTICALES El lanzamiento vertical hacia abajo e imilar a la caída libre (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado), con la diferencia que la velocidad inicial e diferente de cero ( V ). El lanzamiento vertical hacia arriba, e un movimiento rectilíneo uniformemente retardado. Si tomamo poitivo hacia arriba, la ecuacione que rigen a eto movimiento on la iguiente: Nota: recuerda V (hacia arriba); V (hacia abajo), todo eto para el cálculo de t t t deplazamiento y velocidad intantánea. En el cao que e requiera ditancia recorrida o rapidez intantánea, debe tomar la magnitud del reultado. Para la mayoría de lo ejercicio e uará g 1m. Análii del movimiento de ida y vuelta: V a V V g cte 1 t g t g t g V max h max Al obervar la figura, exite una imetría en el movimiento, lo que implica que el tiempo de ida y vuelta on lo mimo; la ditancia total recorrida, equivale al doble de la altura máxima alcanzada por el cuerpo. Importante detacar que la aceleración iempre etá actuando, y en la altura máxima ólo e anula la velocidad intantánea. La expreione que e dan a continuación no permiten calcular el tiempo de ubida y la altura máxima alcanzada por el cuerpo. V V g t ubida h max V g Fig. V En la expreione anteriore e muetra que, en eto movimiento, la maa del cuerpo e indiferente. El tiempo de ubida e proporcional con la velocidad inicial, y la altura máxima e proporcional con la velocidad inicial al cuadrado.

34 La ecuacione motrada anteriormente, e pueden demotrar utilizando la ecuacione del lanzamiento vertical hacia arriba. Sabemo que la velocidad intantánea en la altura máxima e cero, con lo cual podemo obtener el tiempo de ubida: depejando tenemo lo iguiente V t V g t ubida V g t ubida Reemplazando el tiempo de ubida en la ecuación de poición, obtenemo la altura máxima ubida t V t gt ubida ubida 1 ubida h max V g 1 V g retando, tenemo h max V g Análii gráfico del movimiento de ida y vuelta (m) h MA t SUBIDA t SUBIDA t () IDA VUELTA V (m/) V t () - V Fig. 3 3

35 La aceleración e contante y iempre eta dirigida hacia abajo a m g Fig.4 Análii cualitativo del lanzamiento de proyectile El cao má general e preenta cuando el proyectil e lanza con cierto ángulo con repecto a la horizontal. Ete movimiento e caracteriza por er compueto, ya que cuando el proyectil va de ubida poee un movimiento retardado en la vertical y un MRU en la horizontal; y cuando el proyectil va de bajada, poee un movimiento acelerado en la vertical y un MRU en la horizontal. Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, la componente de la velocidad en la vertical e anula, quedando ólo la componente en la horizontal (en ee punto el vector velocidad y aceleración on perpendiculare). g V V h max Fig. 5 4

36 Ejemplo: Para lo ejemplo y ejercicio, ue g 1m En lo problema deprecie fuerza externa, alvo que e diga lo contrario. 1. Un cuerpo e deja caer libremente dede una altura de 8 m. Qué tiempo emplea en llegar al pio? A) 4 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16. El cuerpo del problema anterior, con qué rapidez llega al pio? A) m/ B) 4 m/ C) 6 m/ D) 8 m/ E) 16 m/ 3. Si e lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de m/ podemo afirmar correctamente que I) 4 depué del lanzamiento la pelota alcanza u altura máxima. II) la altura máxima que alcanza la pelota depende de la maa. III) la rapidez de la pelota diminuye contantemente dede que e lanzado hacia arriba y alcanza u altura máxima. A) Solo I B) Solo I y III C) Solo III D) I, II, III E) Ninguna de la anteriore. 4. En general la trayectoria de un proyectil en un campo gravitacional uniforme que e lanza con un cierto ángulo con repecto a la horizontal ( < < 9 ) e: A) Rectilínea B) Circular C) Parabólica D) Hiperbólica E) Elíptica 5

37 PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. En el movimiento de caída libre A) la rapidez e contante. B) la aceleración e contante. C) la aceleración aumenta paulatinamente. D) la rapidez final e de 1 m/. E) la ditancia recorrida e proporcional al tiempo.. En lo lanzamiento verticale, i la rapidez con que un cuerpo e lanzado hacia arriba e duplica y depreciamo el roce, debe eperare que la altura que alcance dicho cuerpo e A) duplique. B) triplique. C) cuadruplique. D) eptuplique. E) conerve. 3. Si e lanza un cuerpo hacia abajo con una rapidez de 5 m/, entonce al cabo de 1 habrá recorrido A) 5 m B) 1 m C) 15 m D) m E) 5 m 4. Si un objeto e lanzado hacia arriba, entonce, mientra etá en el aire, la aceleración A) etá iempre dirigida hacia arriba. B) e opone iempre a la velocidad. C) tiene iempre entido del movimiento. D) e nula en el punto má alto de la trayectoria. E) etá iempre dirigida hacia abajo. 5. Si e deja caer una piedra in velocidad inicial, entonce al cabo de 1 la rapidez de la piedra e igual a A) 1 m/ B) 5 m/ C) 4 m/ D) m/ E) 1 m/ 6

38 1 6. Do cuerpo A y B de maa m A mb, on lanzado verticalmente hacia arriba imultáneamente, con igual velocidad inicial a partir del uelo en una región donde la aceleración de gravedad e contante. Depreciando la reitencia del aire, podemo afirmar que A) A alcanza una menor altura que B y llega al uelo ante que B. B) A alcanza una menor altura que B y llega al uelo al mimo tiempo que B. C) A alcanza igual altura que B y llega al uelo ante que B. D) A alcanza una altura igual que B y llega al uelo al mimo tiempo que B. E) A alcanza un altura igual que B y llega al uelo depué que B. 7. La figura 6 muetra la trayectoria de una pelota. Si P e el vértice de la parábola (altura máxima), entonce en dicho punto A) la velocidad e cero, pero la aceleración no e cero. B) la velocidad no e cero, pero la aceleración e cero. C) la rapidez e menor que en Q, pero la aceleración e mayor que en Q. D) la velocidad y la aceleración on perpendiculare entre í. E) Ninguna de la afirmacione anteriore e correcta. P Q Fig.6 8. De un edificio e dejado caer un cuerpo dede el repoo. Si en el último egundo, ante de llegar al uelo recorre 5m, e puede concluir que fue abandonado dede una altura igual a A) m B) 5 m C) 45 m D) 5 m E) 9 m 7

39 9. Dede tierra e lanza hacia arriba un proyectil, el cuál en t egundo alcanza una altura máxima de h metro regreando luego al lugar de lanzamiento. En el intervalo de tiempo t egundo, la velocidad media del proyectil e igual a A) B) h t C) h t D) t h E) 4h t 1.La figura 7, muetra la iguiente ituación: Dede A y B e lanzan en el mimo intante objeto iguale, verticalmente hacia arriba con velocidade iniciale v y v. Si el objeto que e lanzó dede el punto A, llega ólo hata B, cuál e la ditancia que epara a lo objeto cuando el cuerpo que e lanzó de B comienza a decender? A) h B) 3h C) 4h D) 5h E) 6h v B h v A Fig.7 11.Se lanza una piedra hacia abajo, con rapidez inicial de 1 m/. Entre 1 y 3, la ditancia recorrida e A) 45 m B) 48 m C) 1 m D) 6 m E) 4 m 8

40 1.Si una pelota e lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 3 m/, qué tiempo emplea en alcanzar la máxima altura? A) 1,5 B) C),5 D) 3 E) 6 13.Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de maa m con una rapidez inicial v, alcanzando una altura H. Si e lanza verticalmente hacia arriba una pelota de maa m con una rapidez inicial v, éta deberá alcanzar una altura igual a H A) B) H C) H D) 4 H E) H 14.Una pelota de teni e oltada dede el repoo exactamente en el mimo intante y la mima altura, que una bala diparada de manera horizontal. De acuerdo a eta información e puede afirmar que A) la bala golpea primero el uelo. B) la pelota golpea primero el uelo. C) amba golpean al mimo tiempo el uelo. D) golpea primero el uelo la que tenga mayor maa. E) Nada e puede afirmar por falta de información. 15.Un atronauta en la Luna, arrojó un objeto verticalmente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8m/. Si el objeto tardó 5 para alcanzar el punto má alto de u trayectoria, entonce el valor de la aceleración de la gravedad lunar e A) 9,8 m/ B) 1,6 m/ C) 3, m/ D) 1,8 m/ E) m/ 16.Un objeto que e deja caer dede el repoo, recorre durante el primer egundo una ditancia D 1. Si en el iguiente egundo recorre una ditancia adicional D, D1 entonce D A) 1 : 1 B) 1 : C) 1 : 3 D) 1 : 4 E) 1 : 5 9

41 17.Una pelota e lanzada verticalmente hacia arriba y u velocidad en función del tiempo e repreenta en el gráfico de la figura 8. La ditancia recorrida dede t= hata t=4 e de A) m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 1 m Vm 6 t -4 Fig.8 18.Un jugador de fútbol golpea una pelota la cuál e eleva y luego cae en un determinado punto de la cancha. Cuál de la iguiente afirmacione e correcta con repecto a la aceleración de la pelota durante el vuelo? A) E la mima durante todo el trayecto. B) Depende de i la pelota va hacia arriba o hacia abajo. C) E máxima en la cúpide de u trayectoria. D) Dependerá de cómo e golpeo la pelota. E) Ninguna de la anteriore. 19.Un mimo cuerpo e deja caer dede una altura de 1m en do planeta diferente. Si en el primer planeta la velocidad de llegada a la uperficie e de 1 m/ y en el egundo planeta la aceleración de gravedad e el doble que en el primero, con qué velocidad llega el cuerpo al pio en el egundo planeta? A) 1 m/ B) m/ C) 4 m/ D) 1 m/ E) m/.dede una torre, e deja caer una piedra en t =, y otra en t = 1. En el intante t =3 la ditancia que epara la piedra e A) m B) 4 m C) 1 m D) 9 m E) 5 m 1

42 Solución ejemplo 1 Como el cuerpo e deja caer dede 8m, el deplazamiento fue -8m (hacia abajo). Entonce uando la ecuación de poición de caída libre de donde e obtiene t caida 4 85t La alternativa correcta e A Solución ejemplo Utilizando la ecuación de velocidad intantánea, al momento de tocar el uelo (t =4) V41 44 m el reultado e 4 m ya que e la rapidez (magnitud de la velocidad) La alternativa correcta e B Solución ejemplo 3 La afirmación I e fala. Debemo analizar el tiempo de ubida de la pelota el cual depende de la velocidad inicial y la aceleración de gravedad t ubida 1 La afirmación II e fala. No apelamo a la maa del objeto para decidir que la altura máxima e alcanzada depué de u lanzamiento. La afirmación III e verdadera. La rapidez diminuye contantemente en el tiempo, ya que e un movimiento con aceleración contante. La alternativa correcta e C 11

43 Solución ejemplo 4 El problema e de repueta encilla, pero daremo una demotración formal La poición varia en do dimenione e Y, al igual que u velocidad inicial V La poición éta dada por: Y t V x t V t g t y t 1 V x, V y eta expreión de Y e de la forma Y bx ax (parábola), la cual e obtiene depejando el tiempo de la primera ecuación y reemplazándola en la egunda e V y g obtiene: Y = x x V x V x La alternativa correcta e C DOFM-3 Puede complementar lo contenido de eta guía viitando nuetra web 1

44 VECTORES. Actividade. 4º ESO (Op. B ) 1. Dado lo vectore de la figura, decide cuále de la iguiente afirmacione on verdadera y cuále fala: 1) a m ) m k 3) bh 4) b e 5) f g 6) g d 7) b n 8) c p 9) n p. Dado lo vectore de la figura anterior, dibuja lo vectore: u a b vc 3d w e f 3g yk p 4g a b z m a 3c t 3b e h xh m n 3. Dado el rombo de vértice ABCD, completa la iguiente igualdade: AB BC AB BO OC CD CD AB OB OD CD DA AB 4. A partir de lo elemento que e indican en la iguiente compoición geométrica: a) Localiza todo lo vectore que ean equipolente al vector AS b) Exprea lo vectore SQ, SO, RP, y PR en forma de combinacione lineale de lo vectore. SP y SR c) Señala todo lo vectore que tengan el mimo módulo que AP. d) Indica toda la terna de punto que e encuentren alineado. 5. Calcula el reultado de la operacione efectuada con lo vectore libre de eta ilutración: a) a e g b) e g c c) i h c b d) c f e e) b c h f) a b c h 6. Repreenta en ete hexágono lo iguiente vectore: D a) AB AF b) AC AF c) AB CD d) AO AF e) AO BC I.E.S. Jaime Ferrán Mª CruzGonzález Página 1 de 4

45 7. a) Cuále on la componente de lo vectore u y v? b) Dibuja el vector u v y di cuále on u coordenada. 8. Calcula lo valore de m y n, abiendo que el vector de origen, A(, m - ), y el del extremo, B(3n, 5), tienen de componente (-5, 6). 9. Coniderando lo punto A(3, -) y B(-4, 5) y el vector u = (1, 6), halla la coordenada de lo iguiente punto y vectore: a) El punto C i el vector AC e equipolente con u. b) El punto D i AB AD u. c) El punto E, que e punto medio del egmento AB. d) El vector v AB e) El vector AF, que e equipolente con u f) El vector w u AB. g) El origen, F, de u i u extremo e B. h) El extremo, G, de u i u origen e A. 1. Dibuja en tu cuaderno un cuadrilátero cuyo vértice ean A(1, ), B(-1, ), C(-1, -3) y D(, -3) y eñala lo punto medio de lo lado. Calcula la coordenada de dicho punto y demuetra que on lo vértice de un paralelogramo.( Ayuda: comprueba que lo punto medio de lo lado del cuadrilátero determinan do pare de vectore equipolente). 11. Calcula la coordenada de lo vértice A y E del iguiente paralelogramo: 1. Calcula m para que el vector u =(m + 1, m): a) Sea unitario. b) Tenga de módulo. 13. Dibuja en el plano carteiano lo punto A(-, 5) y B(1, -3) y otro tre punto, P, Q y R, de modo que e cumpla que AP AB, AQ 3 AB y AR 4 AB. Calcula la coordenada de P, Q y R. 14. La componente de AB on (-, 3), y el punto A(3, 4). Qué coordenada tiene el punto B? 15. En la ilutración e ha dibujado un triángulo, ABC, y do paralelogramo, AECD y AEFB, que tienen un vértice en el punto medio, E, del lado BC. Se abe que A(3, 4), B(5, -1) y E(7, 3). a) Etablece la coordenada de C, D y F. b) Calcula la componente de lo vectore AB, AD, AC, AF, EB, EF, EA, ED y EC 16. Dado lo vectore de la figura, calcula el valor de la iguiente operacione: a) u v u w b) u ( v w) w ( u v) c) u (v 3w) w (3u v) I.E.S. Jaime Ferrán Mª CruzGonzález Página de 4

46 17. Calcula el módulo de lo iguiente vectore: a) u = (3, 4) b) v = (-6, 8) c) w = (-4, -3) 18. Conideramo lo vectore u = (, -) y v i j. Dibújalo y calcula el ángulo que forman. 19. Calcula un vector unitario v que tenga la mima dirección que el vector u = (16, -3).. Calcula un vector unitario v que ea ortogonal al vector u = (15, -8). 1. a) Determina la coordenada de lo punto M, N y P que on lo punto medio de lo lado del triángulo ABC. b) Halla la coordenada de lo vectore MN, MP y PN y comprueba que MN AC, MP BC, PN AB, A(-4,-). Averigua el valor de k para que e cumpla: 6 /5, k 3,5 3. Dado lo vectore u = (3, ), v = (x, 5) y w = (8, y), calcula x e y para que e verifique: u v w 4. Comprueba, en cada cao, i lo punto dado etán alineado: a) A(-1, 3), B(-, ), C(-4, -) b) A(1, ), B(-3, -), C(5, ) 5. Calcula m para que lo punto R(5,-), S(-1, 1) y T(, m) etén alineado. 6. Halla, en cada cao, el punto imétrico de A(-3, -5) repecto de: a) P(-, ) b) Q(, -3) 7. El punto medio de un egmento e M(, -3) y uno de u extremo e (7, ). Cuál e el otro extremo? 8. a) Cuále on la componente de lo vectore u, v, w? b) Calcula m y n de modo que e cumpla: w mu n v 9. Halla la componente de un vector w que verifique la iguiente igualdad: 5 w 3u v con u (,1), v (4, ) 3. Lo punto A(-3, 1), B(1, -3) y C(4, 3) on tre vértice de un paralelogramo. Halla: a) El vértice D opueto a B. b) Comprueba que la diagonale e cortan en el punto medio de amba. 31. Calcula el valor de x para que el vector libre u ( x, x1) ea unitario. 3. Calcula el valor de x para que lo vectore a ( x 3, 4) y b (, x ) tengan igual módulo. 33. Calcula mediante operacione vectoriale un punto D que forme un rectángulo con lo punto A(-3, -), B(3, -), C(3, 6). Calcula la longitud de lo lado del rectángulo y la longitud de u diagonale. I.E.S. Jaime Ferrán Mª CruzGonzález Página 3 de 4

47 SOLUCIONES 1. Son verdadera: 3, 4, 5 y AC, AO, OD, OO, OO, CB a) SD, PO, OR, BQ, QC b) SQ SP SR, SO SP SR, RP SP SR, PRSP SR c) PA, PB, BP, SO, OS, OQ, QO, DR, RD, RC, CR d) A,P,B ; S, O, Q; D, R, C; A, S, D; P, O, R; B, Q, C 5. a) d b) f c) a d) g e) e f) i 6. a) AO b) AD c) AO d) AE e) AD 7. a) u ( 7, 3), v (, 3) b) u v ( 7, 6) 8. m 1, n1 9. a) C (4,4) b) D ( 11, 3) c) E (1/,3/ ) d) v (14,14) e) 1. AF ( 1, 6) f) w ( 8, 1) g) F ( 5, 1) h) G(4,4) M (,), N( 1, 1/ ), P(1/, 3), Q(3/, 1/ ) MN QP ( 1, 5/ ) 11. E( 1,3), A( 4, 1/ ) 1. a) m, m / 5 b) m1, m 9/ P( 4, 11), Q(7, 19), R(1, 7) 14. B(1,7) 15. a) C( 9,7), D(5,8), E(9, ) b) AB (, 5), AD (,4), AC (6,3), AF (6, 6) EB (, 4), EF (, 5), EA (4, 1), ED (, 5), EC (,4) 16. a) 6 b) 3 c) a) 5 b) 1 c) º 19. v ( 8/17, 15/17). v (8/17,15/17) 1. a) M ( 5/,1/ ), N(1,), P( 1/, 5/ ) b) MN ( 7 /, 1/ ), MP (, 3), PN (3/,5/ ). k / 5 3. x, y1 4. a)no. AB y BC no on paralelo b) Si.. AB y BC on paralelo 5. m1/ 6. a) A' ( 1,5) b) A' (7, 1) 7. B ( 7, 8) 8. a) u (,4), v (, ), w ( 4,) b) m, n4 9. w(,1) 3. a) D (,7) b) M (1/,) 31. x o x1 3. x17 / a) AB DC D (3,6) b) AB 6, BC 8 c) AC BD 1 I.E.S. Jaime Ferrán Mª CruzGonzález Página 4 de 4

48 PROBLEMAS DE CINEMÁTICA 4º ESO MRU (hacer, ademá, la gráfica poición-tiempo de lo problema, 3 y 5, para lo do móvile) 1. Un coche inicia un viaje de 495 Km. a la ocho y media de la mañana con una velocidad media de 9 Km/h A qué hora llegará a u detino? (Sol.: a la do de la tarde).. Do automóvile que marchan en el mimo entido, e encuentran a una ditancia de 16 Km. Si el má lento va a 4 Km/h, calcular la velocidad del má rápido, abiendo que le alcanza en ei hora. (Solución: 63 km/h) 3. Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a km/h. Un ciclita que lo ve, ale detrá del mimo tre minuto má tarde a Km/h. Al cabo de cuánto tiempo lo alcanzará? (Solución: 3 minuto). 4. Calcular la longitud de un tren cuya velocidad e de 7 Km/h y que ha paado por un puente de 7 m de largo, i dede que penetró la máquina hata que alió el último vagón han paado ¾ de minuto. (Solución: 18 metro) 5. Do coche alen a u encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la ditancia entre amba capitale e de 443 Km. y que u velocidade repectiva on 78 Km/h y 6 Km/h y que el coche de Bilbao alió hora y media má tarde, calcular : a) Tiempo que tardan en encontrare b) A qué ditancia de Bilbao lo hacen? (Solución: tardan en encontrare,5 hora; a 195 km de Bilbao). MRUA (hacer, ademá, la gráfica x-t y v-t de lo problema 1, 13 y 16) 6. Una locomotora neceita 1. para alcanzar u velocidad normal que e 6 Km/h. Suponiendo que u movimiento e uniformemente acelerado Qué aceleración e le ha comunicado y qué epacio ha recorrido ante de alcanzar la velocidad regular? (Sol.: 1,66 m/ ; 83 m) 7. Un cuerpo poee una velocidad inicial de 1 m/ y una aceleración de m/ Cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de 144 Km/h? (Sol.: 14 ) 8. Un móvil lleva una velocidad de 8 cm/ y recorre una trayectoria rectilínea con movimiento acelerado cuya aceleración e igual a cm/. Calcular el tiempo que ha tardado en recorrer,1 m. (Sol.: 11 ) 9. Un motorita va a 7 Km/h y apretando el acelerador conigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 9 Km/h. Calcular a) u aceleración media. b) Epacio recorrido en ee tiempo. (Sol.:,5 m/ ; 45 m) 1. En ocho egundo, un automóvil que marcha con movimiento acelerado ha coneguido una velocidad de 7 m/h. Qué epacio deberá recorrer para alcanzar una velocidad de 9 m/h? (Sol.: 45 m) 11. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleración del móvil e de 4 m/ ; calcular a) Tiempo que tarda el móvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el recorrido inclinado. (Sol.: 3 ; 1 m/) 1. Un avión depega de la pita de un aeropuerto, depué de recorrer 1 m de la mima, con una velocidad de 1 Km/h. Calcular a) la aceleración durante ee trayecto. b) El tiempo que ha tardado en depegar i partió del repoo c) La ditancia recorrida en tierra en el último egundo. (Sol.: 5/9 m/ ; 6; 33,1 m) 13. Do cuerpo A y B ituado a Km de ditancia alen imultáneamente uno en perecución del otro con movimiento acelerado ambo, iendo la aceleración del má lento, el B, de 3 cm/. Deben encontrare a 3,5 Km. de ditancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrare, b) aceleración de A. c) Su velocidade en el momento del encuentro. (Sol.: 1375 ; 7,8 m/;,53 cm/ ; 4,4 m/)

49 14. Un tren que va a 5 Km/h debe reducir u velocidad a 5 Km/h. al paar por un puente. Si realiza la operación en 4 egundo, Qué camino ha recorrido en ee tiempo? (Sol.: 41,63 m) 15. Qué velocidad llevaba un coche en el momento de frenar i ha circulado 1 m. hata parare (a = 3 cm/ ). Cuánto tiempo ha neceitado para parar? (Sol.:,68 m/ ; 8,93 ) 16. La velocidad de un vehículo e de 18 Km/h y en 5 egundo reduce la velocidad a 7 Km/h. Calcular el tiempo que tardó en parare. (Sol.: 15 ) 17. Un avión recorre 1. m. a lo largo de la pita ante de detenere cuando aterriza. Suponiendo que u deceleración e contante y que en el momento de tocar tierra u velocidad era de 1 Km/h. Calcular a) tiempo que tardó en parare. b) Ditancia que recorrió en lo diez primero egundo. (Sol.: 86,8 ; 61,7 m) CAÍDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICAL 18. Se uelta un cuerpo in velocidad inicial. Al cabo de cuánto tiempo u velocidad erá de 45 Km/h? 19. Dede la azotea de un racacielo de 1 m. de altura e lanza una piedra con velocidad de 5 m/, hacia abajo. Calcular: a) Tiempo que tarda en llegar al uelo, b) velocidad con que choca contra el uelo.. Si queremo que un cuerpo uba 5 m. verticalmente. Con qué velocidad e deberá lanzar? Cuánto tiempo tardará en caer de nuevo a tierra? 1. Se dipara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 1. Hallar la velocidad con que e diparó y la altura alcanzada.. Lanzamo verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 9 Km/h. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar 1 Km. de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima 3. Do proyectile e lanzan verticalmente hacia arriba con do egundo de intervalo; el 1º con una velocidad inicial de 5 m/ y el º con una velocidad inicial de 8 m/. Calcular a) Tiempo que paa hata que lo do e encuentren a la mima altura. b) A qué altura ucederá el encuentro. c) Velocidad de cada proyectil en ee momento. MCU 4. Calcular la velocidad angular del planeta Tierra en u rotación. (Sol.: 7,6 1-5 rad/) 5. Una maa de 4 g. e mueve iguiendo una circunferencia de 6 cm de radio. Si gira a 3. rpm, calcular u velocidad angular en rad/, y u velocidad lineal. (Sol.: 314 rad/ ; 188,4 m/) 6. Un punto material decribe una trayectoria circular de un metro de radio 3 vece por minuto. Calcular u velocidad lineal. (Sol.: 3,14 m/) 7. Un punto recorre un círculo de 1 m de diámetro a razón de 45 vuelta cada ¼ de hora. Calcular: a) la velocidad angular en rpm; b) u velocidad lineal. (Sol.: 3,14 rad/ ; 15,7 m/) 8. Una pelota de do metro de diámetro gira con una velocidad de 9,45 m/. Cuánta vuelta da por minuto? (Sol.: 9 rpm) 9. Una rueda de 1 cm de radio gira a razón de 1 rpm. Calcular la velocidad lineal de un punto de u periferia. (Sol.: 1,5 m/)