Tesis de Licenciatura en Astronomía EVOLUCIÓN DE ENANAS BLANCAS PROVENIENTES DE PROGENITORES DE BAJA METALICIDAD

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1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas Tesis de Licenciatura en Astronomía EVOLUCIÓN DE ENANAS BLANCAS PROVENIENTES DE PROGENITORES DE BAJA METALICIDAD María Eugenia Camisassa Director: Dr. Leandro G. Althaus Codirector: Dr. Alejandro H. Córsico La Plata, Argentina - Marzo de 214 -

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3 Índice general 1. Introducción Importancia de las enanas blancas Ubicación en el Diagrama Hertzsprung Russell Motivaciones del trabajo Ecuaciones de evolución y código numérico Ecuaciones de la evolución estelar Evolución de la composición química en una enana blanca Tratamiento numérico Tratamiento numérico de las reacciones nucleares Tratamiento numérico de los procesos de difusión Física constitutiva de LPCODE Resultados de las simulaciones Resultados globales Evoución de la masa de H residual Abundancias de los elementos químicos en las capas internas de la enana blanca Conclusiones Trabajo a futuro iii

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5 Índice de figuras 1.1. Diagrama HR Observacional Evolución de una estrella de 1 M en el Diagrama HR Degeneración en el centro de la estrella Diagrama HR Informativo Fracción de la luminosidad debida a reacciones nucleares para todas las masas Impacto de la quema nuclear sobre los tiempos de enfriamiento Fracción de la luminosidad debida a reacciones nucleares para distintas masas comparando casos que incluyen y no procesos de difusión Características globales Evolución de la masa de H de una enana blanca de.51976m Evolución de la masa de H de una enana blanca de.53513m Evolución de la masa de H de una enana blanca de.56145m Evolución de la masa de H de una enana blanca de.66588m Abundancias en una enana blanca de.51976m con procesos de difusión Abundancias en una enana blanca de.51976m sin procesos de difusión Contribución de la quema vía protón protón y CNO detallada para una enana blanca de.51976m v

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7 Índice de tablas 3.1. Masas de las estrellas Energía total liberada a lo largo de la secuencia de enfriamiento por quema protón-protón y CNO vii

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9 Capítulo 1 Introducción 1.1. Importancia de las enanas blancas Las estrellas enanas blancas constituyen el destino común de la mayoría de las estrellas. Más del 97 % de las estrellas, incluido nuestro sol, terminarán su vida como enanas blancas. Es por esto que la población de enanas blancas presente en nuestra galaxia contiene información valiosa sobre la historia y evolución de las estrellas, así como también sobre la tasa de formación estelar de nuestra galaxia. La evolución de dichas estrellas puede ser descripta de manera simple como un proceso de enfriamiento que dura un período muy largo de tiempo. En los últimos años, la mejora en la calidad de observaciones de las enanas blancas ha permitido determinar observacionalmente su función de luminosidad 1 en algunas poblaciones estelares. Por otro lado, el conocimiento detallado de la tasa de enfriamiento de las enanas blancas permite obtener una función de luminosidad teórica. Contrastando las observaciones con los modelos teóricos, es posible usar la secuencia de enfriamiento de las enanas blancas como indicadores de edad y de distancia para poblaciones estelares. Esto puede ser aplicado por ejemplo al estudio de cúmulos abiertos y globulares (Winget et al. 1987; García-Berro et al. 1988a,b; Hernanz et al. 1994; Torres et al. 22; Richer et al. 1997; Von Hippel and Gilmore 2; Hansen et al. 22,27; Von Hippel et al. 26; Winget et al. 29; García-Berro et al. 21). Otra aplicación del estudio de las enanas blancas es el de obtener información de la evolución química de la galaxia. Los progenitores de las enanas blancas pierden sus capas externas (ricas en carbono, oxígeno y nitrógeno) en los pulsos térmicos que se dan cuando las estrellas se encuentran en el extremo de la rama asintótica de las gigantes. Esta masa es liberada y enriquece el medio interestelar, modificando la composición química de la galaxia. La cantidad de masa liberada se puede estimar comparando la masa del progenitor con la masa de la enana blanca determinada observacionalmente a partir de relaciones masa radio. En otro contexto, los modelos de enanas blancas se pueden aplicar al estudio de las supernovas de tipo Ia. Se cree que estas supernovas se originan en sistemas binarios en los que una de las componentes es una enana blanca que, por algún mecanismo, excede el límite de Chandrasekhar. Esto puede deberse a la transferencia de masa proveniente de la estrella compañera, o como consecuencia de la fusión de dos enanas blancas en un sistema doblemente degenerado. Si estas estrellas se encuentran lo suficientemente próximas, pierden momento angular por emisión de radiación gravitacional, y llegan a fusionarse produciendo una supernova. 1 La función de luminosidad de una determinada población estelar indica la cantidad de estrellas por parsec cúbico y unidad de magnitud bolométrica (o luminosidad) en función de la magnitud bolométrica (o luminosidad). 1

10 1. Introducción Por otra parte, las enanas blancas son consideradas "laboratorios cósmicos" propicios para estudiar procesos físicos que no podrían ser estudiados en laboratorios terrestres. Dichas estrellas son objetos extremadamente densos, del tamaño de un planeta y de una masa de aproximadamente.6 M. Como consecuencia, los electrones están altamente degenerados, y por ende la mecánica cuántica domina su ecuación de estado. Dado que los electrones son fermiones, cumplen el principio de exclusión de Pauli, y la presión debida a estos electrones domina por sobre las presiones debidas a las otras componenetes de la materia. Este fenómeno conduce a la existencia de una masa límite (Chandrasekhar, 1939) a partir de la cual las enanas blancas no puedan existir. De esta manera, la estructura interna de dichas estrellas puede ser usada para entender el comportamiento de la materia a densidades y presiones extremas. En ese sentido, las enanas blancas han sido usadas para restringir las propiedades de ciertas partículas elementales como los axiones (ver Isern et al. (28) y Córsico et al. (212a,b)) y neutrinos (Winget et al. 24), o en teorías alternativas de la gravitación (García-Berro et al. 1995; García-Berro et al. 211; Córsico et al. 213) Estas propiedades y muchas más convierten a las enanas blancas en objetos muy importantes para estudiar. Desde el punto de vista teórico, estas importantes aplicaciones requieren de una nueva generación de modelos evolutivos de enanas blancas que contemplen los avances más recientes en la microfísica y un tratamiento completo de las etapas evolutivas previas que conducen a su formación. En los siguientes capítulos trataremos la elaboración de estos modelos Ubicación en el Diagrama Hertzsprung Russell El diagrama de Hertzsprung Russell (DHR) es una herramienta esencial para el entendimiento de la evolución estelar. Es por esto que repasaremos brevemente lo que es, ya que a lo largo del presente trabajo recaeremos sobre él. Toda estrella observada puede ubicarse en algún lugar del diagrama HR observacional. Se ubican según su Tipo Espectral (o lo que es equivalente, según su temperatura efectiva), y según su magnitud absoluta M V (o su luminosidad). Ubicando distintas estrellas en el DHR podemos distinguir claramente distintas regiones donde tienden a encontrarse (ver fig. 1.1). Vemos que la mayoría de las estrellas se encuentran en una "diagonal". Estas estrellas son las que se encuentran en la secuencia principal, que corresponde al momento de la vida de una estrella en el que quema de forma estable el hidrógeno (H) del núcleo. Las estrellas más brillantes y más azules se ubican en la esquina superior izquierda y las menos brillantes y más frías hacia la esquina inferior derecha. Además, en la zona superior del diagrama HR, se ubican las estrellas supergigantes, que son estrellas sumamente luminosas, entre las cuales podemos distinguir las supergigantes azules y las rojas, que se diferencian por su temperatura efectiva. Hacia luminosidades menores que las supergigantes se ubicarán las llamadas estrellas gigantes. Éstas son estrellas altamente luminosas, pero no llegan a ser tan luminosas como las supergigantes. Varias de esas estrellas son variables. Por último podemos ver a las estrellas enanas blancas, que se ubican hacia la izquierda y debajo de la secuencia principal en el Diagrama HR; son estrellas intrínsecamente débiles, pero a su vez con temperaturas superficiales muy altas. Éstas serán el destino final de las estrellas de masa baja e intermedia. Para entender mejor la ubicación de las estrellas en el diagrama HR observacional, veamos rápidamente la evolución en un diagrama HR teórico de una estrella de 1 M, desde que comienza su vida en la secuencia principal de edad cero (ZAMS, por su sigla en inglés) 2

11 1.2. Ubicación en el Diagrama Hertzsprung Russell Figura 1.1. Diagrama de Hertzsprung Russell. Se pueden apreciar las enanas blancas debajo de la secuencia principal (R. Hollow CSIRO) hasta que termina sus días como enana blanca (Figura 1.2). Mostraremos cómo una hipotética estrella de 1 M irá cambiando su posición en el diagrama HR a medida que evoluciona. Se ve que la estrella comienza su vida en la ZAMS (1), conforme va quemando el H del núcleo se aleja de la ZAMS, hasta agotar el H en el núcleo (2). Cuando termina de quemar el H del núcleo, la estrella empieza a quemar H en capa; además, se expande y sube por la rama de las gigantes rojas (RGB) (3), hasta que se produce el flash de helio (He) (4), que es una quema de He en forma inestable debido al estado de degeneración del núcleo 2. Después pasa a la rama horizontal (5), quemando He de forma estable en el núcleo. Después de quemar todo el He del núcleo, la quema en el núcleo no volverá a encenderse y la estrella sube por la rama asintótica de las gigantes (AGB) (6) donde se producen los pulsos térmicos en las capas externas. En estos pulsos es donde la estrella pierde gran parte de su masa. Mientras tanto la estrella sigue quemando H y He en capas. Después pasa por la etapa de nebulosa planetaria (7) y por último entra en la etapa de enana blanca (8), que es en la que este trabajo se va a centrar. En el gráfico se ve que en esta etapa, la estrella se está enfriando, y por ende va disminuyendo su luminosidad y su temperatura efectiva lentamente. Toda esta evolución puede ser calculada a través de modelos que detallaremos más adelante; y después volcada en un diagrama HR teórico. La evolución de una estrella está directamente relacionada con la masa de la misma. Por 2 La degeneración del núcleo antes de comenzar la quema de He en el núcleo se da para estrellas de baja masa como la que estamos considerando; caso contrario, el núcleo no se degenerará en esta etapa y por ende no habrá flash de He 3

12 1. Introducción Nebulosa Planetaria AGB 6 Flash de Helio 4 RGB 2 Rama Horizontal 5 3 log L star /L sun 1 8 Enana Blanca 2 1 ZAMS Log T eff Figura 1.2. Diagrama HR obtenido a través de modelos para una estrella de 1 M, desde la ZAMS hasta la etapa de enana blanca. Fue calculada por miembros de Grupo de Inevestigación de Evolución Estelar y Pulsaciones de La Plata 4

13 1.3. Motivaciones del trabajo eso se clasifican las estrellas según su masa 3 en: Estrellas de baja masa: Tienen masa menor a unas M, se caracterizan porque al terminar la quema de H en el núcleo, éste se degenera, dando lugar a que la quema de He se inicie en forma de flash. Estas estrellas terminarán su vida como enanas blancas con núcleos de 12 C y 16 O. Estrellas de masa intermedia: Tienen masa mayor a M, pero menor a 9-1 M. El núcleo no llega a degenerarse antes de la quema de He por ende la quema central de He no se iniciará en forma de flash. Pero después de la quema de He desarrollan un núcleo de Carbono-Oxígeno degenerado. Las más masivas de ellas, logran quemar ese 12 C en forma de flash y terminan su vida como enanas blancas masivas con núcleos compuestos por 16 O y 2 Ne. Las menos masivas, terminarán como enanas blancas con núcleos de 12 C y 16 O. Estrellas de gran masa: Tienen masa mayor a 9-1 M, no terminan su vida como enanas blancas, sino que siguen quemando elementos cada vez más pesados y terminan explotando como supernovas tipo II. Para lograr un mejor entendimiento, veáse figura 1.3, en ella se muestra la evolución de cuatro estrellas de distinta masa en un gráfico logt c vs. logρ c, la temperatura y densidad en el centro, respectivamente. La línea punteada marca una división entre las estrellas cuyo núcleo está altamente degenerado y las que no. En realidad la transición hacia la degeneración no es una línea, si no un traspaso gradual. Podemos observar que las estrellas de baja masa se diferencian de las de masa intermedia en el hecho de cruzar la brecha de la degeneración antes de la quema central de He. A su vez, se observa a las estrellas de masa intermedia más masivas, las llamadas estrellas de super AGB, que encienden el 12 C en un núcleo ya degenerado. También se observa que las estrellas de gran masa, llegan a encender el carbono con su núcleo en un estado no degenerado. En este trabajo vamos a concentrarnos en las estrellas de masa baja e intermedia, ya que queremos analizar la etapa de enana blanca Motivaciones del trabajo Como enunciábamos en la sección 1.1, las enanas blancas son herramientas muy útiles para conocer nuestra galaxia y las leyes que la gobiernan. En ese sentido, vimos que las secuencias evolutivas de enanas blancas tienen una gran variedad de aplicaciones, que van desde la determinación de distancias y edades de poblaciones estelares, hasta el testeo de nuevas teorías de la gravitación. Estas aplicaciones requieren de modelos evolutivos precisos y completos, que tengan en cuenta todas las fuentes y sumideros de energía (Renedo et al. 21; Salaris et al. 21; Althaus et al. 21c). En la amplia mayoría de los calculos evolutivos existentes en la literatura, las reacciones nucleares no son tenidas en cuenta durante el régimen de enana blanca. Esta omisión suele justificarse debido a que, convencionalmente, la luminosidad producida por reacciones nucleares no es una fuente importante de energía cuando la luminosidad de la estrella es menor que 1 L. De todas formas las reacciones nucleares nunca se apagan por completo; y, como se ha mostrado en el trabajo de Iben y MacDonald (1985, 1986), y en cálculos más recientes (Renedo et al. 21), la quema nuclear 3 Cabe aclarar que entendemos por masa la masa de la estrella al entrar en la ZAMS, ya que a lo largo de su evolución la estrella va perdiendo masa por distintos mecanismos. 5

14 1. Introducción Figura 1.3. Se muestra la evolución de distintas estrellas según su masa en el gráfico logt c vs. logρ c (temperatura y densidad central). La línea punteada es una línea divisoria, ya que las estrellas que se ubican hacia su derecha tienen un alto grado de degeneración en su centro. Esta línea es esquemática, puesto que, en realidad, el paso hacia la degeneración es gradual. (Kippenhahn & Weigert, 199) 6

15 1.3. Motivaciones del trabajo en capa puede no ser despreciable a bajas luminosidades. A fin de conocer cómo afecta la quema nuclear residual a la evolución de una estrella, mencionaremos algunas características que deben ser tenidas en cuenta. Para empezar, la masa de la estrella, la masa total de H resultante de las etapas previas, y la estructura termomecánica de la enana blanca determinarán la importancia de las reacciones nucleares. En ese sentido, para obtener una estimación precisa de la importancia de la quema nuclear residual de H, es necesario conocer estos factores determinantes con el mínimo error posible. Eso supone calcular secuencias de enanas blancas que sean consistentes con las etapas evolutivas previas de sus progenitores (Renedo et al. 21). De esa manera, los resultados obtenidos no son afectados por inconsistencias debidas a los procedimientos usados para generar configuraciones iniciales artificiales. Por otro lado, resulta relevante citar los trabajos pioneros de Iben y MacDonald (1985, 1986). Estos autores fueron quienes calcularon por primera vez la importancia de la quema nuclear residual en la energética de la enana blanca. En particular, ellos encontraron que esta quema, bajo ciertas condiciones, no es despreciable a bajas luminosidades. También mostraron que los procesos de difusión dentro de la enana blanca, en particular difusión debida a la gravedad y a los gradientes de composición química, juegan un rol preponderante en determinar la importancia de la quema nuclear. Cabe mencionar que estos procesos modifican las abundancias de los elementos en regiones internas. Esto trae aparejado consecuencias en la quema nuclear residual, pudiendo ésta llegar a contribuir a la luminosidad superficial en una cantidad comparable a la enegía liberada por el enfriamiento de los iones. Esta última energía es convencionalmente considerada la fuente principal de energía en una enana blanca. El efecto de los gradientes de composición química es llevar el H hacia regiones internas, promoviendo la quema nuclear. Mientras que el efecto de la gravedad es llevarlo hacia la superficie (por ser más liviano). La forma del perfil de H resultará de la competencia de estos dos procesos. Por otra parte, es importante remarcar que las secuencias de enfriamiento de enanas blancas existentes en la literatura, consistentes con etapas evolutivas previas, sólo existen para progenitores con metalicidad Z.1. En particular, resulta importante mencionar el trabajo de Renedo et al. (21) ya que en él se computan secuencias evolutivas completas para distintas masas de los progenitores, para dos metalicidades distintas, Z=.1 (representativa de la vecindad solar) y Z=.1 (característica de poblaciones antiguas, como los cúmulos globulares). Estos cálculos mostraron que la quema estable de H es fuertemente dependiente de la metalicidad del progenitor, llegando a contribuir hasta en un 3 % a la luminosidad superficial, para luminosidades desde 1 L hasta 1 L, para enanas blancas de progenitores con Z=.1. Estos autores han encontrado que, cuanto menor es la metalicidad del progenitor, más gruesa es la envoltura residual de H y más intensa resulta la quema nuclear. Recientemente, Miller Bertolami et al. (213) en un trabajo exploratorio estudiaron el efecto de la quema nuclear residual en enanas blancas provenientes de progenitores de Z.1. Calcularon las secuencias evolutivas de estas estrellas desde la secuencia principal hasta la etapa de enana blanca, pasando por la quema central de He, los pulsos térmicos en la AGB y la etapa de nebulosa planetaria. En este trabajo se incluyeron los procesos de difusión en la enana blanca y mostraron por primera vez que la quema estable de H se vuelve la fuente de energía dominante a bajas luminosidades para enanas blancas provenientes de progenitores de muy baja metalicidad (Z.1). Estos autores encontraron que esta quema estable de H retardaría significativamente los tiempos de enfriamiento de dichas estrellas. Cabe remarcar que esta metalicidad (Z.1) es característica de algunas poblaciones estelares viejas, tales como el halo galáctico o algunos cúmulos globulares antiguos. Los cálculos realizados por 7

16 1. Introducción Miller Bertolami et al. (213) arrojan como resultado un retraso significativo en los tiempos de enfriamiento para las enanas blancas con M <.6M. Este estudio ha mostrado que el uso de secuencias evolutivas de enanas blancas que desprecian la energía liberada por reacciones nucleares no es realista para modelar poblaciones de muy baja metalicidad. En particular, la determinación de edades de dichas poblaciones utilizando la técnica de ajuste de la función de luminosidad de las enanas blancas observadas requiere modelos teóricos que incluyan reacciones nucleares en las capas externas. En el presente trabajo se pretende indagar de manera más profunda sobre estos últimos resultados obtenidos por Miller Bertolami et al. (213), con el objetivo de conocer en detalle el impacto de la quema nuclear en los tiempos evolutivos. Por otro lado, los cálculos realizados por Miller Bertolami et al. (213) incluyen procesos de difusión térmica, difusión química y sedimentación. Dado que efectos tales como campos magnéticos muy intensos podrían afectar la eficiencia de los procesos de difusión, resulta relevante indagar el impacto de estos procesos sobre la energía nuclear residual. En nuestro trabajo también se suprimirán los procesos de difusión a fin de estimar si, aún suprimiéndolos, la quema nuclar residual resulta relevante a la hora de retardar los tiempos de enfriamiento. Puesto que el trabajo de Miller Bertolami et al. (213) arroja resultados relevantes tanto para la teoría de evolución de enanas blancas como para sus aplicaciones a poblaciones estelares, consideramos necesario estudiar en detalle estos resultados, haciendo hincapié en la importancia de los procesos de difusión. 8

17 Capítulo 2 Ecuaciones de evolución y código numérico En esta sección presentaremos el tratamiento numérico de las ecuaciones de evolución estelar, centrándonos en la evolución de la composición química de la estrella. Además, explicaremos brevemente en qué consisten los tres tipos de procesos de difusión considerados Ecuaciones de la evolución estelar Para comenzar con el trabajo introducimos las ecuaciones básicas de la evolución estelar. Son las ecuaciones que se usan para resolver la estructura estelar y requieren ser resueltas numéricamente. Se considera a la estrella como un gas con simetría esférica, no rotante y en ausencia de campos magnéticos. También se considera que, instante a instante, la estrella está en equilibrio hidrostático. Esta hipótesis implica que todas las fuerzas que actúan sobre un elemento de masa se compensan entre sí. Pese a que la hipótesis de simetría esférica limita el estudio de una gran variedad de fenómenos interesantes, ha demostrado ser una muy buena aproximación en la gran mayoría de los casos. Las ecuaciones de evolución estelar en la descripción de Lagrange (en variables m, masa interna, y t, tiempo) quedan (Kippenhahn and Weigert 199): r m = 1 4πr 2 ρ (2.1) P m = Gm 4πr 4 (2.2) l m = ǫ T n ǫ ν c p t + δ P ρ t (2.3) T m = GmT 4πr 4 P (2.4) X i t = F(X j, T, P, r, l) (2.5) Donde r(m, t) es la distancia al centro de la estrella, m es la masa interior a una esfera de radio r, ρ(m, t) es la densidad, P(m, t) es la presión, l(m, t) la luminosidad en un determinado 9

18 2. Ecuaciones de evolución y código numérico punto. ǫ n es la energía liberada por reacciones nucleares por unidad de tiempo y unidad de masa, ǫ ν la energía liberada por neutrinos por unidad de tiempo y de masa, c p el calor específico a presión constante, T (m, t) la temperatura, δ = ( ln ρ ln T ) P, = ( ln T ln P ) es el gradiente de temperatura y X i es la fracción de masa de la especie i. Cada una de estas ecuaciones tiene un significado físico muy preciso. La ecuación (2.1) representa la continuidad de masa y la (2.2) representa la condición de equilibrio hidrostático. La (2.3) da cuenta de la conservación de la energía, y expresa que, la variación en la energía de un elemento de masa debe darse, o bien por reacciones nucleares, o por pérdida de energía por neutrinos, o porque el elemento de masa puede variar su energía interna e intercambiar trabajo. La ecuación (2.4) representa la ecuación de transporte dentro de la estrella, y dependerá del tipo de transporte que se dé en cada capa de la estrella. En el caso en que el transporte es conductivo y/o radiativo éste es descripto por la aproximación de difusión: rad/cond = 3 κ rad/cond lp 16πacG mt 4 (2.6) En cambio si el transporte fuera convectivo o mediante algún otro tipo de proceso que involucre movimiento de materia, estará dado por la teoría de convección utilizada. Por último, la ecuación 2.5 representa los cambios de las abundancias químicas de los distintos elementos, la explicaremos más detalladamente en las siguientes secciones ya que es central para el tema del que trata nuestro trabajo Evolución de la composición química en una enana blanca La composición química de una estrella es de suma importancia, ya que influye directamente sobre propiedades básicas como son la absorción de la radiación o la generación de energía por reacciones nucleares. Estos dos procesos, a su vez, modifican directamente la composición química. Además, el conocimiento de la composición química en un determinado momento de la vida de una estrella puede servir para brindar información sobre la historia pasada de las reacciones nucleares. La composición química básicamente puede variar por dos tipos distintos de procesos: por reacciones nucleares o por fenómenos de mezcla. Estos procesos de mezcla pueden ser tanto convección o procesos de difusión, y además producen un acoplamiento entre los cambios químicos de las diferentes capas. En una enana blanca, la convección sólo afecta la química superficial de la estrella, por lo que no resulta de suma importancia para el presente trabajo. Cabe aclarar que en el interior de una enana blanca, las condiciones de temperatura y presión son tales, que la materia está completamente ionizada por presión. Veamos de manera esquemática la variación en la composición química. Sea n i el número de partículas por unidad de volumen de la especie i, el cambio en la composición química en un elemento de masa dado puede escribirse como: ( ) n i t = ni + t nuc ( ) ni t mezcla (2.7) con i = 1,..., I las distintas especies de átomos. El primer término representa la variación en la composición química debido a las reacciones nucleares, y el segundo debido a los procesos 1

19 2.3. Tratamiento numérico de mezcla. Por cada especie i hay una ecuación (2.7), y todas están relacionadas entre sí, por lo que en realidad se tiene un sistema de I ecuaciones dependientes. Por ahora consideremos solamente el término debido a las reacciones nucleares. Cada especie i puede ser creada o destruida a través de numerosas reacciones nucleares con las otras especies. Llamemos υσ ij a la tasa de reacciones nucleares por par de párticulas entre las especies i y j. Y llamemos υσ kl a la tasa de reacciones nucleares que produce, a partir de un par de partículas k y l, una partícula i. Entonces: ( ) ni = t υσ ijn i n j + υσ nuc j k,l kln k n l (2.8) El primer término representa a las reacciones que destruyen elementos de la especie i, mientras que el segundo a las que los crean. Ahora pasemos a concentrarnos sólo en el segundo término de la ecuación (2.7) que, como habíamos dicho, representa una amplia variedad de procesos de mezcla. Estos procesos resultan ser más difíciles de modelar que las reacciones nucleares, pero de todas formas pueden ser modelados como procesos de difusión de la composición química, cuyos coeficientes de difusión serán los apropiados para cada proceso. Entonces podemos describirlos como: ( ) ni = 1 ( ) t mezcla r 2 r 2 n i D mezcla r r (2.9) Donde D mezcla es el coeficiente de difusión del proceso de mezcla considerado. La ecuación (2.9) es una ecuación lineal en D mezcla ; por ende, teniendo varios procesos de difusión, cada uno con su coeficiente de difusión D m, podemos escribir un D mezcla = m D m. De esta manera, la ecuación (2.7) puede ser escrita como: n i t = υσ ijn i n j + υσ j k,l kln k n l + 1 ( ) r 2 r 2 n i D mezcla r r (2.1) Esta ecuación, es una forma explícita de la ecuación (2.5), que, junto con las ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4) determinan la estructura y evolución estelar Tratamiento numérico Para este trabajo se usó el código numérico LPCODE para resolver las ecuaciones, el cual ha sido desarrollado íntegramente en la Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas de La Plata. LPCODE es el código usado rutinariamente por el Grupo de Investigación en Evolución Estelar y Pulsaciones de La Plata, y con él se han publicado numerosos trabajos para estrellas de baja masa. Ha sido empleado por Althaus et al. (23, 25) para calcular secuencias detalladas de enanas blancas y para el estudio de propiedades pulsacionales de estas estrellas (Córsico y Althaus 25, 26). También se ha utilizado para la realización de varias tesis doctorales (Serenelli 23, Miller Bertolami 29, Romero 212). En esta sección explicaremos brevemente cómo trabaja dicho código, para más detalles ver Althaus et al. (25) y las tesis doctorales de Serenelli (23) y Miller Bertolami (29). El método usado por LPCODE para resolver las ecuaciones de estructura ( ) está basado en un esquema tipo Henyey centrado totalmente implícito. En algunas etapas evolutivas, como por ejemplo los pulsos térmicos o los flashes de helio, el esquema centrado 11

20 2. Ecuaciones de evolución y código numérico puede no ser estable (Sugimoto 197), y en esos casos resulta necesario usar otros esquemas de discretización. Volviendo a las ecuaciones de estructura, éstas tienen a la masa interna m como variable independiente. En particular LPCODE toma como variable independiente a m r = m/m, donde M es la masa de la estrella. Para cada tiempo t, la estructura de un modelo estelar está determinado por las siguientes funciones T (m), P(m), r(m) y l(m), y las cuatro ecuaciones de estructura estelar resultan ser funciones de estas cantidades. Ahora bien, teniendo definidas las abundancias químicas X i, entonces las ecuaciones ( ) representan un sistema de ecuaciones bien determinado. Los cambios en la composición química X i no son tratados en simultáneo con las ecuaciones de estructura. Sino que, para cada paso temporal, se resuelve primero la composición química, y para esa composición química obtenida, se procede a resolver la estructura. Al paso de tiempo siguiente, se resuelve la composición química para la última estructura calculada, y así sucesivamente. Se hace de esta manera porque resolver estructura y composición química simultáneamente suponen un costo computacional muy grande. Esta separación de las ecuaciones hace necesario que el paso temporal sea lo suficientemente pequeño de forma tal que ni las variables de estructura ni la composición química varíen demasiado de un paso al siguiente. Esto se implementa pidiendo que las variaciones en T, P, r y l de un modelo a otro sean menores a un 4 %. El LPCODE utiliza unas variables que mejoran la estabilidad numérica. Las nuevas variables son: ξ = ln(1 m/m ) (2.11) ( ) T θ = ln (2.12) T p = ln(p/p ) (2.13) x = ln(r/r ) (2.14) λ = l/λl (2.15) Con T = 1 6 K, P = 1 15 din cm, r = 1 1 cm y L = 1 33 erg seg. De esta manera, la nueva variable independiente será ξ y las variables dependientes son θ, p, x y λ. Y Λ es un factor de escala que se ajusta automáticamente de forma que se mantenga el valor absoluto de λ por debajo de 1. Resulta interesante destacar que el valor de λ puede ser negativo, pues puede haber gradientes de temperatura negativos, dando un flujo neto de energía hacia el interior de la estrella. O bien puede pasar donde la estrella sea enfriada por emisión de neutrinos. Estas variables ofrecen una ventaja muy importante desde el punto de vista numérico Tratamiento numérico de las reacciones nucleares En esta sección veremos cómo tratar la evolución química debida a las racciones nucleares, siempre suponiendo que ésta pueda ser tratada separadamente de las ecuaciones de estructura. Como vimos en la sección 2.2, la evolución química de una enana blanca viene dada por las reacciones nucleares más los procesos de mezcla (ver ecuacion (2.1)). Por un primer momento supongamos que en la estrella no ocurren procesos de mezcla, de esta manera, la 12

21 2.5. Tratamiento numérico de los procesos de difusión variación en la composición será debida puramente a reacciones nucleares, y su expresión será: ( ) ni = t υσ ijn i n j + υσ j k,l kln k n l (2.16) Vamos a modelar numéricamente esta ecuación, para ello seguiremos el tratamiento propuesto por Arnett y Truran (1969). De esta manera, definiendo una cierta cantidad Y i = n i N A ρ = X i A i, donde N A es el número de Avogadro, la ecuación anterior se transforma en la siguiente: ( ) Yi = t λ ijy i Y j + λ j k,l kly k Y l (2.17) Donde hemos introducido λ ij = N A ρ υσ ij Conociendo las cantidades ρ y T en un determinado tiempo t (n), debemos integrar el sistema de ecuaciones (2.17) en un paso temporal hasta un tiempo t (n+1) = t (n) + t. A fin de lograr un método estable sin necesidad de pedir un paso de tiempo t demasiado corto, escribimos Y (n+1) i Y (n+1) i Y (n+1) j = Y (n) i = Y (n+1) i Y (n) j + Y ; y, haciendo el producto + Y (n) i Y (n+1) j Y (n) i Y (n) j + O( Y 2 ) Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas: Y i t = Y (n+1) i Y (n) i t (n+1) t (n) = j + ( λ kl k k,l λ ij ( Y (n+1) Y (n+1) i Y (n) j Y (n) l + Y (n) k Y (n+1) l + Y (n) i Y (n+1) j Y (n) k Y (n) i Y (n) ) j + Y (n) ) l + O( Y 2 ) (2.18) Esta expresión corresponde a una ecuación por cada especie i = 1,..., N. Siguiendo este lineamiento, sólo hace falta pedir un paso de tiempo lo suficientemente corto como para que los incrementos Y 2 sean despreciables. Resulta conveniente multiplicar por un factor pequeño el paso de tiempo utilizado para resolver las ecuaciones de estructura. De esta manera se obtendrá un paso de tiempo de forma tal que los incrementos cuadráticos sean despreciables Tratamiento numérico de los procesos de difusión La composición química en una estrella también puede variar debido a ciertos efectos microscópicos. Ante la presencia de gradientes en las abundacias de elementos químicos, se da un proceso de difusión química que tiende a suavizar estos gradientes. Aún en capas estelares químicamente homogéneas, tiene lugar el proceso de difusión térmica, donde los átomos más pesados pueden migrar hacia las regiones más calientes. Además, existe el proceso de difusión por presión, o también llamado gravitacional settling o sedimentación, que tiende a llevar los elementos más pesados hacia las regiones de mayor presión. La sedimentación se da aún en capas isotermas, debido a los gradientes de presión (para más información ver 13

22 2. Ecuaciones de evolución y código numérico Kippenhahn, Weigert y Weiss 212). También existe un efecto adicional que no será tenido en cuenta, llamado levitación radiativa, que es el acoplamiento del campo de radiación con los átomos parcialmente ionizados, que resulta en una fuerza neta dirigida hacia las regiones más externas, contrarrestando así el efecto producido por la sedimentación. El código que se usó durante nuestro trabajo, como ya dijimos, fue el LPCODE, éste código contiene un tratamiento numérico de las ecuaciones de difusión. El código sigue los lineamientos usados en Iben & MacDonald (1985). El código incluye procesos de difusión química, sedimentación y difusión térmica. Cabe aclarar que ésta última no es tenida en cuenta por Iben & MacDonald (1985). Para tratar la difusión se tienen en cuenta las siguientes suposiciones comúnmente aceptadas en la literatura: Las fuerzas radiativas pueden ser despreciadas. Todas las partículas tienen una distribución de velocidades maxwelliana para la misma temperatura. Las velocidades medias maxwellianas son mucho mayores que las velocidades de difusión. Los campos magnéticos y la rotación estelar son despreciables. Para el régimen de enana blanca, la levitación radiativa sólo afecta las capas superficiales a muy alta temperatura efectiva, y tampoco será importante en regiones donde haya quema nuclear, por eso puede ser despreciada para los análisis que realizaremos. Considerando estas suposiciones y; bajo la influencia de la gravedad, presiones parciales, gradientes térmicos y campos eléctricos, las velocidades de difusión en un gas de varias componentes i, satisfacen el siguiente conjunto de N-1 ecuaciones: (Burguers, 1969) dp i dr ρ i dp ρ dr n iz i ee = N N K ij (w j w i ) + j i j i K ij z ij m j r i m i r j m i + m j (2.19) donde p i, ρ i, n i, m i, Z i y w i son, la presión parcial, la densidad, la densidad numérica, la masa, la carga eléctrica media y la velocidad de difusión respecto al centro de masa para la especie i. Cada especie i representa los distintos átomos más los electrones; de esta manera, N es el número de elementos distintos más los electrones. Los r i representan los flujos residuales de calor, K ij y z ij son los coeficientes de resistencia y E es el campo eléctrico. Además, también satisfacen las siguientes N ecuaciones del flujo de calor: 5 2 n ik B T = 5 2 N j i N m j K ij z ij (w j w i ) 2 m j i i + m j 5 K iiz ii r i K ij (m i + m j ) 2 (3m2 i + m 2 jz ij +.8m i m j z ij)r i (2.2) + N j i K ij m i m j (m i + m j ) 2 (3 + z ij.8z ij )r j donde k B es la constante de Boltzmann, y z ij y z ij son los coeficientes de resistencia, que fueron tomados de Paquette et al. (1986a). Las cargas eléctricas medias Z i fueron tratadas según el modelo de ionización por presión de Paquette et al. (1986,b). 14

23 2.5. Tratamiento numérico de los procesos de difusión Los coeficientes de resistencia K ij están relacionados con los coeficientes de difusión D ij a través de la relación: D ij = k B T n in j n i + n j K ij (2.21) Las variables desconocidas que se pretende determinar son: el campo eléctrico E, las velocidades de difusión w i y los flujos residuales de calor r i para todos los iones y electrones. Éstas componen un conjunto de 2N + 1 incógnitas. Para completar el conjunto de ecuaciones usamos dos ecuaciones más, la condición de flujo de masa nulo respecto al centro de masa: A i n i w i = (2.22) y la condición de corriente eléctrica nula: i Z i n i w i = (2.23) i Podemos transformar la ecuación (2.19) para que quede en términos del gradiente de la densidad numérica. Usando la ecuación de estado de un gas ideal, queda: 1 N N m i r j m j r i K ij (w j w i ) + K ij z ij Z i ee = α i k B T d(ln n i) n i m j i j i i + m j dr α i = A i m H g k B T d(ln T ) dr (2.24) (2.25) con A i la masa atómica, m H la masa de H, y g la aceleración de la gravedad. En la ecuación (2.24), nos referimos al término α i del lado derecho de la igualdad como una componente debido a la sedimentación, mientras que el segundo término será una componente debido a la difusión química. Para continuar, separamos estas componentes escribiendo a las incógnitas w i, r i y E en términos de los gradientes de composición química (con expresiones similares para r i y E): w i = w gt i iones j σ ij d(ln n i ) dr (2.26) donde w gt i es la componente de la velocidad de difusión debida a la difusión térmica y a la sedimentación. La suma se extiende sólo sobre los iones, excluyendo los electrones. Los valores de w gt i y σ ij son hallados usando las ecuaciones (2.21), (2.22),(2.23) y (2.24) mediante inversiones matriciales. El LPCODE las resuelve usando descomposición LU (Press et al.,1986). La ecuación que gobierna el cambio en la densidad numérica de la especie i debido a procesos de difusión es: n i t = 1 r 2 r (r2 n i w i ) (2.27) y reemplazando con la ecuación (2.26) obtenemos: n i t = 1 r 2 w gt r 2 i r n i n i n j σ ij n iones j j r (2.28) 15

24 2. Ecuaciones de evolución y código numérico Estas ecuaciones se resolverán numéricamente para las abundancias de los isótopos 1 H, 3 He, 4 He, 12 C, 14 N y 16 O. Para eso, escribimos esta última ecuación en diferencias finitas: n i,k n i,k = t { V k [ + j r 2 k+1/2 S ij,k+1/2 (r 2 k+1/2 wgt, i,k+1/2 n i,k+1/2 r 2 k/2 wgt, i,k/2 n i,k/2) (n j,k+1 n j,k ) r k+1/2 r 2 k/2 S ij,k/2 ]} (n j,k n j,k ) r k/2 (2.29) donde: V k = r3 k+1/2 r3 k/2 3 rk+1/2 3 = r3 k + r3 k+1 2 n i,k+1/2 = n i,k + n i,k+1 2 (2.3) (2.31) (2.32) Sij,k+1/2 = n i,k+1/2 n σij,k+1/2 (2.33) j,k+1/2 Las cantidades con supraíndice están evaluadas al principio del paso temporal y las que no tienen supraíndice están evaluadas al final de paso temporal. El índice k denota la capa en la que se está resolviendo, y el radio en el centro de la capa k (r k ) no cambia durante el paso temporal. Las cantidades w gt, i,k+1/2 y σ ij,k+1/2 están evaluadas en los puntos medios entre las capas k y k + 1. El conjunto de ecuaciones (2.29) puede ser escrito como: A k n k+1 + B k n k C k n k = D k (2.34) donde las A k, B k y C k son matrices y los n k y D k son vectores. De esta manera, cada capa está relacionada con sus dos capas adyacentes. Las condiciones de contorno son: en el centro de la estrella n i r = y en la superficie n i =. Aunque esta última será reemplazada por el requerimiento de que la fracción de masa de cada especie i sea uniforme a lo largo de la envoltura. El sistema de ecuaciones lineales (2.34), cuyas K incógnitas son las n k, será resuelto usando un procedimiento sencillo. Definimos las matrices E k y los vectores F k de la siguiente manera: n k = E k n k+1 + F k, k K 1 (2.35) Por otro lado, la condición de borde en el centro de la estrella nos lleva a: Y esta ecuación nos lleva a A n 1 + B n = D k (2.36) E = B A, F = B D (2.37) 16

25 2.6. Física constitutiva de LPCODE Usamos la ecuación (2.34) para obtener ecuaciones de recurrencia; las cuales, siendo conocidas las cantidades: A k, B k C k y D k, y teniendo E k y F k nos dan las cantidades E k y F k. Las relaciones de recurrencia serán: E k = G k A k, F k = G k (D k + C k F k ) (2.38) con G k = B k C k E k Una vez que obtuvimos E y F de la ecuación (2.37), usando las ecuaciones de recurrencia podemos obtener todas las E k y F k. La condición de contorno en el borde interno de la envoltura de la estrella, nos lleva a que E K = y F k = n K. De esta manera obtenemos n K ; y, usando la ecuación (2.35) calculamos todos los n k desde el K-1 hasta el 1. Resulta relevante mencionar que, en cada paso temporal en la resolución de las ecuaciones de estructura, el programa resuelve las ecuaciones de difusión y calcula las nuevas abundancias químicas; acto seguido, calcula las variaciones en las abundancias químicas debido a reacciones nucleares (ver sección 2.4) y convección, ésta última en caso de que la hubiere. Además, las variaciones en las abundancias químicas debido a los procesos de difusión modifican la metalicidad Z de la estrella. Los cambios en la metalicidad conllevan variaciones en los coeficientes de opacidad y estas variaciones deben ser contempladas por el código LPCODE. Es por eso que, en dicho código están incluidas las tablas de opacidades radiativas de OPAL (Iglesias & Rogers, 1996) para distintas metalicidades, de forma que las opacidades puedan interpolarse para una metalicidad cualquiera. En los cálculos Z se ha tomado como el doble de la suma de las abundancias de los isótopos 12 C, 14 N y 16 O Física constitutiva de LPCODE Para poder resolver las ecuaciones de estructura ( ) junto con las ecuaciones de evolución química (2.7) es necesario conocer en detalle ciertas funciones que describen el material estelar: ρ = ρ(p, T, X i ) ad = ad (P, T, X i ) δ = δ(p, T, X i ) c p = c p (P, T, X i ) ǫ nuc = ǫ nuc (P, T, X i ) ǫ ν = ǫ ν (P, T, X i ) κ = κ(p, T, X i ) υσ ij = υσ ij (T.ρ) Algunas de ellas se relacionan mediante una ecuación de estado. En LPCODE se incluyen varias ecuaciones de estado diferentes según la etapa evolutiva. Para las etapas previas a la enana blanca, se utilizó la ecuación de estado del proyecto OPAL para composiciones ricas en H y He para la metalicidad considerada. Ésta tiene en cuenta, a bajas temperaturas y densidades, el fenómeno de ionización parcial en un gas ideal y la presión de radiación. Además, para el régimen de altas densidades contempla los fenómenos de degeneración de los electrones, presión de radiación, interacciones coulombianas y contribuciones iónicas. Para la etapa de enana blanca, el código utiliza dos ecuaciones de estado distintas. Para la envoltura de la enana blanca, se utiliza la ecuación de estado de Magni y Mazitelli (1979), que tiene en cuenta efectos de ionización parcial sujeta a diversos procesos de interacciones. A altas densidades, utiliza la ecuación de estado de Segretain et al. (1994), apropiada para plasmas completamente ionizados (ver Althaus et al. 27). Durante la etapa de enana blanca el código tiene en cuenta los efectos de la difusión química y térmica, y de la sedimentación, como ya hemos descripto en secciones anteriores. Para temperaturas por debajo de los 1, K las condiciones de contorno provienen de los modelos de atmósfera no gris provistos por Rohrman et al. (212). También tiene en cuenta 17

26 2. Ecuaciones de evolución y código numérico las fuentes de energía durante el proceso de cristalización en el núcleo de la enana blanca, tanto el calor latente como la energía liberada por la separación de fase del carbono y oxígeno (Isern et al. 2, 1997). Éstos han sido incluidos siguiendo el diagrama de fase de Horowitz et al. (21). En cuanto a las opacidades radiativas necesarias para el modelado del transporte, el código utiliza las tablas de OPAL (Iglesias y Rogers 1996) para un amplio rango de metalicidades y temperaturas. A su vez, resulta importante destacar que, para los regímenes de bajas temperaturas, también se consideran las opacidades moleculares para las distintas proporciones de carbono y oxígeno. En ese sentido, se utilizaron las opacidades para bajas temperaturas calculadas por Ferguson et al. (25) y Weiss y Ferguson (29), teniendo en cuenta las abundancias de metales, y también la proporción de carbono-oxígeno. En algunos régimenes de alta degeneración electrónica, el transporte conductivo se vuelve muy eficiente, y se utilizan las opacidades conductivas de Cassisi et al. (27), las cuales abarcan un rango muy amplio de densidades. Por otro lado, el código contempla la energía liberada por emisión de neutrinos. Se tendrán en cuenta las tasas de emisión de neutrinos producidas por reacciones nucleares así como también por otros procesos. En particular, para la etapa de enana blanca, los procesos importantes serán dos: la emisión de neutrinos plasma, y los neutrinos producidos por bremsstrahlung. La primera se da cuando un plasmón decae en un par neutrino antineutrino, y la segunda cuando un electrón es desacelerado en el campo coulombiano producido por el núcleo, y como consecuencia emite un par neutrino antineutrino en lugar de un fotón. Las tasas de emisión de neutrinos son extraidas de varios trabajos publicados por Itoh y colaboradores. El código LPCODE considera 34 reacciones nucleares distintas para la quema de H (a través de la cadena protón-protón y del ciclo CNO), la quema de He y el encendido del C. Estas reacciones serán suficientes para el desarrollo del presente trabajo, ya que calcularemos secuencias para estrellas de baja masa. Dichas reacciones nucleares son: Para la quema de H: p + p 2 D + e + + ν, 2 D + p 3 He + γ, 3 He + 4 He 7 Be + γ, 7 Be + e 7 Li + ν, 7 Be + p 2α, 13 C + p 14 N + γ, 15 N + p 12 C + α, 16 O + p 17 O + e + + ν, 17 O + p 14 N + α, 18 O + p 19 F + γ, p + p + e 2 D + ν 3 He + 3 He α + 2p 3 He + p 4 He + γ 7 Li + p 2α 12 C + p 13 N + γ 13 C + e + + ν 14 N + p 15 N + e + + ν 15 N + p 16 O + γ 17 O + p 18 O + e + + ν 18 O + p 15 N + α 19 F + p 16 O + α 19 F + p 2 Ne + γ 18

27 2.6. Física constitutiva de LPCODE Para la quema de He: 3α 12 C + γ, 13 C + α 16 O + n, 15 N + α 19 F + γ, 17 O + α 2 Ne + n, 2 Ne + α 24 Mg + γ, 12 C + α 16 O + γ 14 N + α 18 O + e + + ν 16 O + α 2 Ne + γ 18 O + α 22 Ne + γ 22 Ne + α 25 Mg + n 22 Ne + α 26 Mg + γ Y para la quema de C: 12 C + 12 C 2 Ne + α, 12 C + 12 C 24 Mg + γ En su gran mayoría, las tasas de reacción son tomadas de Caughlan & Fowler (1988), con la excepción de las tasas 12 C+p 13 N+γ 13 C+e + + ν, 13 C(p, γ) 14 N, 15 N(p, γ) 16 O, 15 N (p, α) 12 C, 18 O(p, α) 15 N, 18 O(p, γ) 19 F, 12 C(α, γ) 16 O, 16 O(α, γ) 2 Ne, 13 C(α, n) 16 O, 18 O(α, γ) 22 Ne, 22 Ne(α, n) 25 Mg y 22 Ne(α, γ) 26 Mg, las cuales son extraídas de Angulo et al. (1999). Las especies nucleares consideradas son H, 4 He, D, 3 He, 7 Li, 7 Be, 12 C, 13 C, 14 N, 15 N, 16 O, 17 O, 18 O, 19 F, 2 Ne y 22 Ne. 19

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29 Capítulo 3 Resultados de las simulaciones En este capítulo presentaremos los resultados de las simulaciones realizadas en el presente trabajo, y también el análisis de cálculos numéricos realizados anteriormente por otros miembros del Grupo de Investigación de Evolución Estelar y Pulsaciones de La Plata. De esta manera, se analizaron las secuencias de enfriamiento de enanas blancas a partir de secuencias completas calculadas por otros miembros del grupo. Estas secuencias fueron calculadas para nueve masas distintas, todas con metalicidad inicial Z =.1 y abundancia inicial X H =.7547 del progenitor. Las secuencias recorren todas las etapas desde la ZAMS hasta la etapa de enana blanca, incluyendo la quema central de H, de He, los pulsos térmicos en la AGB y la etapa de nebulosa planetaria. En la tabla 3.1 se muestran las masas utilizadas para los progenitores, las masas de las enanas blancas resultantes y la masa total de H residual que queda en la estrella al entrar en la secuencia de enfriamiento de la enana blanca. Resulta importante mencionar que la masa residual de H disminuye conforme la masa del progenitor aumenta. En el capítulo 1, hemos recalcado que la quema nuclear residual resulta muy ligada a la historia del progenitor, es por eso que las secuencias fueron calculadas desde la ZAMS, para así liberar los resultados de las inconsistencias resultantes de modelos iniciales artificiales. En la etapa de enana blanca, dichos cálculos incluyeron los procesos de difusión anteriormente mencionados en la sección 2.5, así como también las tasas de las reacciones nucleares descriptas en la sección 2.6. Por otra parte, en el presente trabajo, fueron calculadas las secuencias de enfriamiento de las enanas blancas de M,.53512M,.56145M y.66588m ; pero sin incluir Masa en la ZAMS Masa de la enana blanca M H /1 M.8M.51976M M.53512M M.54839M M.56145M M.56765M M.6194M M.66588M M.73821M M.82623M.225 Tabla 3.1. Se muestra las distintas masas consideradas para progenitores y enanas blancas, así como también la masa total de H al entrar en la etapa de enana blanca. 21