Serie 1 Fundamentos de Espectroscopia

Transcripción

1 Serie 1 Fundamentos de Espectroscopia 1) Un resorte se estira 3 cm cuando se le cuelga una masa de 10 kg. A continuación se hace oscilar la masa con una amplitud de 5 cm. Determinar: (a) la constante de rigidez del resorte; (b) la energía de la masa oscilando; (c) la posición de la masa cuando pasa por el punto de equilibrio y (d) la frecuencia natural del oscilador. ) Una ciruela de masa m = 00 g que se mueve en un medio viscoso atado al etremo de una fibra elàstica con una constante de fuerza de 30 N/m, tiene un desplazamiento inicial de 30 cm. La fuerza viscosa de amortiguamiento dada por F = -bv (donde b es una constante de amortiguamiento y v la velocidad de la ciruela) actúa sobre la ciruela, de modo que la amplitud de su movimiento decrece 10 cm en 5 seg. Calcule la magnitud de la constante de amortiguamiento. 3) Una liana se estira 9.81 cm cuando un animal estando en reposo, se cuelga de ella. El animal, al darse un impulso, efectúa oscilaciones libres siguiendo la epresión y = sen(ω. (a) cuál es la constante de rigidez de la liana? (b) cuál es la frecuencia de oscilación si la masa del animal es de un kg? (c) cuál es la velocidad máima que alcanza el animal en su movimiento oscilatorio? (d) cuál es la aceleración máima? (e) cuál es la energía cinética máima? 4) Un cuerpo de masa M = 4 kg etiende un resorte 16 cm cuando se cuelga de él. Si se agrega una masa adicional m = 0.5 kg y se suelta, cuál es el periodo de oscilación? 5) (a) Demuestre que la ecuación diferencial: d d m F0 cos( (1) dt dt resulta de considerar la parte real de la ecuación diferencial: d z m dt dz dt i t z F0 e () donde z iy (sustituya el valor de z y separe la parte real y la parte imaginaria). Todas las demás constantes que figuran en las ecuaciones diferenciales anteriores tienen valores que son números reales. i t (b) Demuestre que z Ae, es solución de la ecuación diferencial (), donde el valor de A (número complejo) está dado por: F0 A m i (c) Demuestre que la solución de la ecuación (1) está dada por la parte real de z i t Ae.

2 6) Una partícula de masa m se encuentra bajo la acción de un potencial V() = V o cosh(/a) donde a y V o son constantes. (a) Encuentre la posición del punto de equilibrio (estable). (b) Mediante un desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio, demuestre que se puede llegar a la siguiente epresión cuadrática para oscilaciones suficientemente pequeñas de m en torno al punto de equilibrio: 1 V V ( ) V o o a (c) Considerando que la epresión cuadrática es tipo oscilador armónico (i.e. V() = ½ β( - o ) donde o es el punto de equilibrio y β la constante de rigidez del resorte asociado al oscilador armónico), encuentre una epresión para la rigidez del resorte y muestre que para oscilaciones pequeñas, la frecuencia natural de oscilación está dada por: o 1 a Vo m 7) Para las siguientes ecuaciones diferenciales, separe primero, aquellas que podrían corresponder a un oscilador armónico con movimiento amortiguado. Para las ecuaciones seleccionadas cuáles se podrían asignar la movimiento del oscilador dentro de un líquido: (i) poco viscoso, (ii) muy viscoso? Considere su respuesta en términos de la solución de la ecuación diferencial (si hay términos oscilatorios, o si sólo se tienen términos que son funciones eponenciales con eponentes reales). Justifique sus respuestas. (a) (b) (c) (d) (e) ) Una liga se estira mm cuando se le cuelga una masa de 4 g. A continuación se hace oscilar a la masa con una amplitud de 3 mm. Determinar: (a) la constante de rigidez de la liga; (b) la energía de la masa oscilando y (c) la posición de la masa cuando pasa por la posición de equilibrio. 9) De las constantes de fuerza (constantes de rigidez) para los enlaces C H (460 N/m), C C (440 N/m), y C=O (1300 N/m), calcular las correspondientes frecuencias armónicas y periodos (en femtosegundos) usando el modelo del oscilador armónico. 10) Si f 1 (, y f (, son soluciones de la ecuación de onda en una dimensión: f 1 v f t donde v es una constante igual a la velocidad de propagación de la perturbación, muestre que la función f(, = α f 1 (, + β f (, también es solución (α y β son constantes reales).

3 11) Cuáles de las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda? (a) f (, 3cos( 6 (b) f (, 5cos(3 4 (c) f (, sen(5 3t ) (d) f (, 4sen( 3 / ) 1) Una onda está descrita por la epresión y = A sen(4 t + /). Cuando t = 0 y = 0 el valor de la perturbación es y = 10 m. Calcular: (a) la velocidad y sentido de la propagación, (b) la frecuencia y periodo de vibración, (c) la longitud de onda y número de onda, y (d) la amplitud y la constante de fase. 13) Una onda de presión está descrita por la epresión p = p 0 cos( + ωt + /). Cuando t = 0 y = 0 dp 1 dp se tiene que 1MPa m, Pa / seg. Calcular: (a) la velocidad y sentido de la d dt propagación, (b) la frecuencia y periodo de vibración, (c) la longitud de onda y número de onda, y (d) la amplitud y la constante de fase. 14) La pata de una cucaracha puede considerarse como una fibra elástica de aproimadamente 0.1 mm de diámetro. Esta pata se estira un 3% de su longitud inicial cuando se aplica una fuerza de 1 gramo fuerza. Con esta información, calcúlese el módulo de Young de la fibra elástica. 15) La velocidad del sonido en el agua dulce, en función de la temperatura (para presiones que oscilan entre 0 y 00 atm; y temperaturas entre 0 y 100 C), está dada por: 3 15,900 8T 0.4T v T 0.048T T p 10,000 Donde : T = temperatura en C 0 T 100 C p = presión en atmósferas 0 p 00 atm. (1 atm = 760 mmhg = Pa = MPa) La epresión anterior da buenos resultados y es eacta dentro de un 0.05% para los intervalos mencionados. (a) Calcule el valor de la velocidad del sonido en el agua dulce para T = 0 C y la presión igual a 1 atm. Si la densidad del agua dulce a 0 C es de 1 g/cm 3, calcule el módulo volumétrico adiabático del agua a esa temperatura (el módulo volumétrico adiabático B se relaciona con la B velocidad del sonido v mediante la epresión: v =, donde ρ es la densidad del agua). (b) Grafique la velocidad del sonido del agua dulce vs. T, dentro del intervalo 0 T 100 C, con p = 1 atm. (c) Grafique la velocidad del sonido del agua dulce vs. p, dentro del intervalo 0 p 00 atm., con T = 0 C.

4 16) Calcule la velocidad del sonido en el aire (donde: γ = c p /c v 1.401, ρ Kg/m 3, p 0 = 1 atm). 17) La corteza terrestre puede considerarse como compuesta principalmente por silicatos y metales, con una densidad aproimada de 4 g/cm 3. Los dos tipos principales de ondas sísmicas que se propagan por la corteza terrestre tienen velocidades dadas por: v p (onda P) v s (onda S) Donde λ y μ son los parámetros de Lamé y ρ es la densidad. Para la corteza terrestre, λ = 45 GPa y μ = 36 GPa. (a) cuáles son las velocidades de las ondas P y S? cuál onda llega primero? (b) Si se produce un temblor y llega a una región que se encuentra a 00 km del epicentro, cuál es la diferencia de tiempo en que llegan la onda P y la S? 18) En los años 30, Charles F. Richter desarrolló una escala de magnitud para terremotos, a fin de representar adecuadamente las diferencias entre los terremotos pequeños y medianos que él observó en el sur de California, y los terremotos grandes que registró alrededor del mundo. El decidió cuál sería la pequeña cantidad de energía a la que se le asignaría la magnitud cero, y escribió una ecuación semejante a la siguiente: M W log( M 0 ) 3 16 Donde se utiliza el logaritmo en base diez de la energía M 0 (en dinas-cm) estimada para el terremoto con escala Richter M W (sin unidades). (a) cuál es la energía correspondiente a una escala Richter de cero? (b) Si la magnitud Richter correspondiente al terremoto de Double Spring Flat fue de M W = 6.1, cuál es la energía M 0 determinada en dinas-cm? (c) Calcular las energías anteriores en joules. 19) En un sismómetro Wood-Anderson, se puede medir la amplitud A de una onda sísmica (en mm) directamente del registro en papel, y el tiempo transcurrido entre la llegada de la onda P y la onda S (en segundos), como se muestra en la siguiente gráfica:

5 La magnitud Richter M W (sin unidades) se calcula mediante la epresión: M W log( A) 3log(8.9 Donde A es la amplitud (en mm) y Δt es el tiempo transcurrido entre la llegada de la onda P y la onda S (en segundos). El 19 de febrero del 007 se registró un terremoto de 5.5 en la escala Richter en la estación IU.DAV en Davao, Filipinas, ubicada a 190 km del epicentro, en Mindanao, Filipinas. Si se pueden considerar los valores de 3 y 5.4 km/seg para la velocidad de la ondas S y P respectivamente, cuál hubiera sido la amplitud A (en mm) registrada por un sismómetro Wood- Anderson? 0) La velocidad de propagación de un tsunami, depende principalmente de la profundidad del mar por donde se propaga. La fórmula está dada aproimadamente por: v gh donde v es la velocidad de propagación, g es la aceleración de la gravedad, y H es la profundidad del mar. Calcule las profundidades para que la velocidad sea: (a) la de un avión de pasajeros (800 km/h); (b) la de un tren de alta velocidad (350 km/h); (c) la de un automóvil en carretera (110 km/h). 1) La velocidad de las olas del mar, se puede representar por medio de la fórmula: g v tanh( H ) donde g es la aceleración de la gravedad, λ la longitud de onda de las olas, y H la profundidad del mar. La epresión tanh( ) es la tangente hiperbólica de la epresión encerrada entre paréntesis. Calcule la velocidad para olas que se propagan por la superficie de mar con una profundidad de 3 m, y una longitud de onda de 5 m. ) Una flauta se debe considerar como un tubo con los dos etremos abiertos (antinodos). Si la frecuencia fundamental es la nota C4 (61.63 Hz) cuando todos los agujeros de la flauta están tapados, cuál debe ser la longitud del tubo? (considerar la velocidad del sonido en el aire dentro de la flauta como v = 335 m/seg debido a una mayor temperatura proporcionada porque el aire sale de la boca del flautista). Cuáles son las frecuencias posibles para los armónicos? 3) Una cuerda de nylon para guitarra tiene 65 cm de longitud. Cada metro de esta cuerda tiene una masa de 0.83 g. Al colocarse en la guitarra, la cuerda se tensa con una fuerza de 56 N, cuál es la frecuencia del armónico fundamental? 4) La trompa de un elefante es un tubo de aproimadamente L = 1.5 m. Si se transmiten ondas acústicas dentro de la trompa, calcule la frecuencia del armónico fundamental, así como de los dos siguientes armónicos. Cuál es la epresión general para todas las frecuencias posibles?

6 5) Un clarinete se debe considerar como un tubo con un etremo cerrado y otro abierto (donde se tiene un nodo y un antinodo respectivamente). Si la frecuencia fundamental es la nota E3 ( Hz) cuando todos los agujeros del clarinete están tapados, cuál debe ser la longitud del tubo? (considerar la velocidad del sonido en el aire dentro del clarinete como v = 350 m/seg debido a una mayor temperatura proporcionada porque el aire sale de la boca del clarinetista). Cuáles son las frecuencias posibles para los armónicos? 6) Un tubo largo, vertical, abierto; está parcialmente sumergido en una palangana con agua (la porción de tubo no sumergida en el agua es L). Si se hace sonar un diapasón y se acerca al etremo del tubo (que no está sumergido), y luego se mueve el tubo hasta que la intensidad el sonido del diapasón se refuerza notablemente (efecto de resonancia) cuál es el valor más pequeño de L para el cual ocurrirá la resonancia si la frecuencia de las ondas acústicas emitidas por el diapasón es 440 Hz? La velocidad del sonido dentro del tubo (con aire), es de 335 m/seg (ver figura). diapasón L 7) Considere que el oído eterno de un ser humano, es un canal (tubo) cilíndrico de 3 cm de largo, cerrado en un etremo por la membrana timpánica. Calcule la frecuencia fundamental de resonancia para este tubito (ver figura).

7 8) Calcular las tres primeras frecuencias de resonancia para un tubo de 11 cm de largo (la longitud aproimada para el tracto vocal de un niño). El tubo se puede considerar abierto por un lado (donde se ubican los labios de la boca) y cerrado por el otro (la glotis). Compare estos valores con las frecuencias resonantes importantes (llamadas formantes) del aparato vocal (ver la tabla siguiente). 9) Una onda esta descrita por la formula: y ( t ) cos( 5 t ) 4 cos( 75 t ) cos( 15 t ) cos( 175 t ) 3 cos( 00 t ) a) Cuáles son las frecuencias de los armónicos y sus respectivas amplitudes? b) Cuál es la frecuencia del armónico fundamental? c) Si la onda se propaga en el aire (donde la velocidad del sonido es de 334 m/seg) Cuál es la longitud de onda correspondiente al armónico fundamental? 30) Obtener la serie de Fourier de la función periódica dada por f( 8 6 t 31) Obtener la serie de Fourier de la función periódica dada por f( 8 6 t