UNIDAD 2. VIBRACIONES Y ONDAS II: MOVIMIENTO ONDULATORIO

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1 UNIDAD 2. VIBRACIONES Y ONDAS II: MOVIMIENTO ONDULATORIO P.II- 1. Una cuerda de 4 m de longitud emite una onda que se propaga a una velocidad de 30 m/s, siendo su masa de 200 g. Cuál es la tensión de la cuerda? Solución: 45 N. P.II- 2. Hallar la velocidad del sonido en el aire bajo las condiciones de T = 300 K. Solución: 348 m/s (la velocidad es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura). P.II- 3. La velocidad del sonido en el agua es de 1450 m/s. Calcular el módulo de compresibilidad del agua. Solución: N/m 2. P.II- 4. Hallar la velocidad del sonido en el cobre. El módulo de Young del cobre es N/m 2 y su densidad es 8.8 g/cm 3. Solución: m/s. P.II- 5. Un pulso de onda que se desplaza a lo largo del eje X se representa por la siguiente función de onda (x e y se miden en centímetros, y t, en segundos): y x, t 2 4 x 4t 2. Determinar: a) La amplitud del pulso. b) Velocidad y sentido del desplazamiento. c) Trazar la forma de la onda en t = 0s, t = 1s y t = 2s, y comprobar el sentido del desplazamiento. II-1

2 Solución: a) 2 cm; b) 4 cm/s y hacia la derecha (sentido positivo de las X); c) se va desplazando 4 cm hacia la derecha. P.II- 6. Hallar la ecuación del movimiento ondulatorio producido por una fuente de 1000 Hz, sabiendo que la propagación se realiza con una velocidad de 340 m/s y admitiendo que lo hace por ondas planas de amplitud igual a 0.2 mm. Solución: y = 0.2 cos 2000 (t x/340). P.II- 7. La ecuación de propagación de un movimiento ondulatorio es y = 5.23 cos (0.628t 2.09x), en el que el tiempo t viene dado en segundos y x e y en metros. Determinar: a) La amplitud de la onda. b) La velocidad de propagación. c) La frecuencia. d) La longitud de onda. e) La velocidad de un punto situado a 2 m del foco en el instante 10 s. f) El sentido de propagación de la onda. Solución: a) 5.23 m; b) 0.3 m/s; c) 0.1 Hz; d) 3 m; e) m/s; f) de izquierda a derecha. P.II- 8. Representar gráficamente en papel milimetrado las siguientes funciones armónicas que representan diferentes ondas. Indicar el sentido de propagación de cada una de ellas: y y 1 3 x t Asen2 T x t Acos2 T y y 2 4 x 6 Asen2 T x t Acos2 T II-2

3 t x P.II- 9. Una onda está representada por la ecuación y 2cos donde x e y vienen dadas en centímetros y t en segundos. Determinar: a) El carácter de la onda. b) La velocidad de propagación. c) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 segundos. d) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 120 cm en la dirección de avance de la onda. Solución: a) Se trata de una onda monodimensional armónica que se propaga en la dirección del eje x de derecha a izquierda; b) 0.4 m/s; c) radianes; d) 3/2 radianes. P.II- 10. Una onda monodimensional se propaga de derecha a izquierda con una velocidad de 8 m/s, frecuencia de 2 s 1 y amplitud de 30 cm. Calcular: a) La longitud de onda. b) La ecuación de propagación. c) La velocidad de una partícula en la posición x = 2 m, en el instante t = 1 s. Solución: a) 4 m; b) y = 0.3 sen 2 (t/0.5 + x/4) ; c) v = dy/dt = 3.77 m/s. m/s. P.II- 11. Una onda de frecuencia 500 c.p.s. tiene una velocidad de fase de 300 a) Cuál es la separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 60º? b) Cuál es la diferencia de fase entre dos elongaciones en un mismo punto que estén separados por un intervalo de tiempo de 10 3 s? c) Escribir la ecuación de esta onda. Solución: a) 0.1 m; b) rad; c) y = A sen 2 (x/0.6 t/0.002) II-3

4 P.II- 12. Se produce una explosión en el aire que libera una energía de 5000 J en una centésima de segundo. Si la onda sonora originada tiene una longitud de onda de 50 cm y la velocidad de propagación es de 300 m/s, calcular, prescindiendo de la absorción: a) La frecuencia de la onda sonora. b) La intensidad de la onda a 50 m de la explosión. c) La intensidad de la onda a 100 m de la explosión. Solución: a) 600 Hz; b) W/m 2 ; c) 3.97 W/m 2. P.II- 13. Un foco sonoro de 2 vatios emite ondas esféricas en un medio que se considera isótropo (sus propiedades no dependen de la dirección) y de absorción despreciable. Hallar: a) La intensidad a 1 m de distancia. b) Cuánto disminuye la intensidad al duplicarse la distancia? c) La relación entre las amplitudes del movimiento ondulatorio en ambos puntos. Solución: a) W/m 2 ; b) W/m 2 ; c) A 1 = 2 A 2. P.II- 14. Una onda armónica esférica tiene una intensidad de I = W/cm 2 a 20 m del foco emisor. Si se admite que no hay absorción, calcular: a) La energía emitida por el foco en un minuto. b) La amplitud de las oscilaciones a los 40 m, si a los 20 m es de 4 mm. Solución: a) 181 J; b) 2 mm. P.II- 15. Un movimiento ondulatorio que se propaga a través de un medio absorbente reduce su intensidad inicial a la mitad tras atravesar una capa de 6.93 mm. Qué grosor deberíamos poner para conseguir reducir la intensidad hasta el 10% del valor inicial? Solución: x = 23,09 mm. II-4

5 P.II- 16. Determinar el coeficiente de absorción de una sustancia para el sonido sabiendo que una lámina de 1 cm de espesor reduce la intensidad a una décima parte de su valor. Calcular el espesor de semiabsorción. Solución: 203 m 1 ; m. P.II- 17. Sabiendo que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s y que en el agua es de 1450 m/s, determinar el ángulo con que saldrá una onda sonora que llega a la superficie desde el interior del agua formando con ésta un ángulo de 80º. Solución: 2.33º. P.II- 18. Se denomina prisma óptico al sistema formado por dos láminas planas unidas que forman un ángulo diedro A, tal como se muestra en la figura. Calcular el valor de la desviación angular, indicada en la figura, correspondiente a un rayo que incide perpendicularmente a la primera capa. Supóngase que se trata de un prisma de 30º e índice de refracción 1.5. Solución: 18.6º. 90º 30º 60º N 30º 2 P.II- 19. En ocasiones decimos que el rayo refractado se acerca o se aleja de la normal. Señala en qué condiciones se acerca el rayo refractado a la normal y qué condiciones se aleja. Solución: si n > n, se aleja; si n < n, se acerca. II-5

6 P.II- 20. Cuando el rayo refractado se aleja de la normal aparece el fenómeno conocido como reflexión total, que se produce a partir de un cierto ángulo (ángulo límite). Calcula el ángulo límite para un rayo de luz que pase del vidrio (n = 1.5) al aire (n = 1). Analiza qué sucede con ángulos mayores o menores que el ángulo límite. Conoces alguna aplicación de este fenómeno? P.II- 21. La sección de un prisma de vidrio tiene la forma de un triángulo equilátero. El rayo cae sobre una de sus caras perpendicularmente a ella. Encontrar el ángulo B entre los rayos incidente y refractado del prisma. El índice de refracción del vidrio es 1.5. Solución: 120º. n 1 60º n 2 60º 2 60º 30º 60º 2 3 B n 3 P.II- 22. Una red de difracción de líneas tiene una longitud total de 4 cm. Suponiendo que las longitudes de onda de los extremos del espectro de la luz visible sean 390 nm (violeta) y 770 nm (rojo), determinar el ángulo abarcado por todo el espectro visible para la figura de difracción. Solución: 11.24º (violeta) y 22.64º (rojo). P.II- 23. Dos ondas armónicas responden a las ecuaciones: y 1 = 0.5 sen (4x 500t) m; y 2 = 0.5 sen (4x 500t 0.3). a) Cuál es la amplitud de la onda resultante de la interferencia? Cómo es la interferencia que se produce? b) Cuál es la frecuencia de dicha onda resultante? Escribir su ecuación. II-6

7 P.II- 24. Una horquilla colocada verticalmente está dotada de un movimiento vibratorio perpendicular a la superficie de un líquido, de frecuencia 100 Hz y amplitud 2 mm. Las perturbaciones producidas en dos puntos O 1 y O 2 se propagan por la superficie del líquido a la velocidad de 1 m/s. Calcular la ecuación de vibración del punto P situado a 8 cm de O 1 y 9 cm de O 2. Calcular también el tipo de interferencia producido. Se podría haber deducido el tipo de interferencia sin necesidad de calcular la ecuación de movimiento? Solución: 0.04 sen 100 (0.17 2t); interferencia constructiva; sí (atendiendo al desfase). P.II- 25. Los puntos O 1 y O 2 representan dos focos sonoros que emiten ondas de la misma frecuencia (100 ciclos/s) y amplitudes iguales a 4 cm. Las distancias x 1 y x 2 de cada punto a un tercero, P, son 75 m y 87.5 m, respectivamente. La velocidad de propagación del sonido en el aire es de 340 m/s. Determinar la forma de vibración del punto P. Solución: sen (200t 47.78) m. P.II- 26. La ecuación de una onda estacionaria viene dada por y 7 cos xcos20 t, donde x e y vienen expresadas en cm, y t en s. Se pide: 6 a) La amplitud y velocidades de las ondas componentes. b) La distancia que existe entre dos nodos. c) La velocidad de una partícula situada en el punto x = 3 en cualquier tiempo. Solución: a) A= 3.5 cm, v = 120 cm/s; b) 6 cm; c) velocidad nula. P.II- 27. Calcular los nodos de la onda estacionaria que se produce cuando dos ondas de igual amplitud y longitud de onda 20 cm se propagan por una cuerda tensa de longitud 40 cm con los extremos fijos. Solución: 5, incluyendo los extremos. II-7

8 P.II- 28. Una cuerda de piano de 40 cm de longitud y 0.4 mm 2 de sección y densidad 7.8 g/cm 3 emite un sonido con una frecuencia de 218 Hz. Cuál es la tensión de la cuerda? Solución: 94.9 N. P.II- 29. Un observador situado en una estación oye con una frecuencia de 250 Hz el silbato de un tren que se acerca y cuándo éste pasa a velocidad constante, la nueva frecuencia percibida es de 200 Hz. Cuál es la velocidad del tren y la frecuencia del silbato? Dato: velocidad del sonido en el aire: 340 m/s. Solución: Hz. P.II- 30. Un automovilista, ante un semáforo en rojo, intenta acelerar lo suficiente para que, en virtud del efecto Doppler, vea luz verde y justificar así su infracción. Es posible lograrlo? Solución: No, se requeriría una velocidad de km/s (además, el agente de tráfico, en reposo, seguiría viendo el disco de color rojo). P.II- 31. Un tren se mueve a la velocidad de 30 m/s. La frecuencia emitida por el silbato de una locomotora es de 50 ciclos/s. Cuál es la longitud de onda de las ondas percibidas por un observador fijo: a) delante y b) detrás de la locomotora? Qué frecuencia percibiría un viajero de otro tren que lleva una velocidad de 15 m/s: a) si se aproxima y b) si se aleja del primero? Solución: a) 6.2 m; b) 7.4 m. ; a) 57,25 Hz, b) 43,9 Hz II-8

9 P.II- 32. En la tabla siguiente se da la posición promedio correspondiente a las líneas del espectro que los astrónomos llaman Ca(II)K y Ca(II)H observadas en diversos cúmulos de galaxias 1. La longitud de onda en un laboratorio terrestre de estas líneas es de 3952 Å. Teniendo en cuenta que cuando una fuente de radiación como una estrella se acerca, hay un corrimiento del color hacia el extremo azul del espectro electromagnético, mientras que una fuente de radiación que se aleja produce un observada corrimiento hacia el rojo, determinar si el Universo se está expandiendo. observada Cúmulo de galaxias (Å) v (m s -1 ) Virgo Osa Mayor Corona Boreal Boyero Hidra Solución: Sí, se está expandiendo. P.II- 33. Cuántos fotones de longitud de onda igual a 555 nm (el color verde, para el cual la sensibilidad del ojo humano es máxima) golpearían el ojo por segundo si la intensidad de la radiación es de W cm -2 ( 1W 1J s 1 ) y asumiendo que el radio de la pupila es de 2 mm? Y cuántos fotones por segundo golpearían el ojo si la luz incidente fuera la luz de un láser de 1mW de potencia de la misma longitud de onda? Qué se deduce de ambos resultados? Solución: fotones; fotones; la luz láser es mucho más intensa. 1 El doblete Ca(II)K,H aparece a 3934 y 3969 Å. Los datos de λ que se dan son realistas pero aproximados, pues han sido obtenidos de una tabla de velocidades con pocas cifras significativas dadas en millas/segundo. Al obtenerlas no se ha tenido en cuenta la velocidad debida a la rotación del Sol con la Vía Láctea que es de 220 km s 1. II-9

10 P.II- 34. La energía transportada por una onda depende de: a) su velocidad de propagación; b) su masa; c) el cuadrado de su amplitud; d) la fase; e) su longitud de onda. Solución: c. P.II- 35. Una onda de presión se propaga en todas direcciones en un fluido perfecto, no absorbente, homogéneo e isótropo. Su amplitud en un punto dado: a) es la misma que en cualquier otro punto; b) es inversamente proporcional a su distancia a la fuente de la onda; c) es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la fuente de la onda; d) disminuye exponencialmente con la distancia a la fuente; e) es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su distancia a la fuente. Solución: b. P.II- 36. Un rayo de luz fijo incide sobre un espejo plano formando 32º con su normal. Se gira el espejo 20º. Cuántos grados gira el rayo reflejado respecto a su dirección anterior? Solución: 40º. P.II- 37. Las direcciones de polarización de un par de láminas polarizantes son paralelas entre sí de manera que para una determinada luz polarizada se obtiene intensidad máxima. Cuál debe ser el valor absoluto del coseno del ángulo que debe girar una respecto a la otra para que la intensidad se reduzca a la cuarta parte?: Solución: 1/2. P.II- 38. Un rayo de luz se está reflejando en un espejo plano. Si el espejo gira un cierto ángulo en torno a un eje perpendicular al plano de incidencia, el rayo reflejado girará un ángulo que será: a) el mismo que el que ha girado el espejo; b) la mitad que el que ha girado el espejo; c) el doble que el que ha girado el espejo; d) mayor que el que ha girado el espejo, pero menor que el doble del mismo; e) menor que el que ha girado el espejo, pero mayor que la mitad del mismo. Solución: c. II-10

11 P.II- 39. Una onda sonora de 440 Hz tiene una longitud de onda de 77 cm. Cuál será la longitud de onda de una onda sonora de 200 Hz que se propaga en el mismo medio? Solución: cm. P.II- 40. Considera una onda armónica descrita por la ecuación y 0.3 cos x t en unidades del Sistema Internacional. En un punto fijo del 6 3 espacio, cuánto tiempo hemos de esperar para que se repita el mismo estado de perturbación? Solución: 6 segundos. P.II- 41. Una onda armónica de frecuencia 550 Hz se propaga a una velocidad de 300 m/s. Cuál es la distancia mínima entre dos puntos que en todo momento se encuentran en el mismo estado de vibración? Solución: 0.54 m. P.II- 42. Dos ranuras separadas entre sí 0.5 mm se iluminan con un haz paralelo de luz monocromática de = 6328 Å, procedente de un láser de He-Ne. A 5 m de las ranuras se encuentra una pantalla en la que se produce un conjunto de franjas de interferencias. Cuál es la separación entre las mismas? Solución: 6.3 mm. P.II- 43. A qué ángulo por encima de la horizontal debe estar el Sol para que la luz reflejada por la superficie de un lago tranquilo (índice de refracción de 1.33) esté completamente polarizada? Solución: = arctg (n/n ) = 53.06º. II-11