PROPAGACION DE ONDAS: FRENTE DE ONDA Y RAYOS.

Transcripción

1 PROPAGACION DE ONDAS: FRENTE DE ONDA Y RAYOS. Para describir el movimiento de ondas que se propagan en dos o tres dimensiones son útiles los conceptos de frente de onda y de rayo. Se define el frente de onda como el conjunto de puntos del medio alcanzados por el movimiento ondulatorio en el mismo instante; o dicho con mayor precisión, el lugar geométrico de todos los puntos del medio con igual fase de vibración. Tratándose de ondas bi o tridimensionales la fase se escribirá k r. ± wt y el frente de onda estará determinado por la relación: k r. ± wt = constante La forma geométrica del frente de onda depende de la forma de la fuente de ondas y del medio en el cual se propaga. Si el foco es puntual y el medio es isótropo (posee propiedades idénticas en todas las direcciones), los sucesivos frentes de onda son esferas concéntricas, cuyo centro común es la fuente; si el medio es bidimensional, resultan circunferencias concéntricas. Si el foco emisor posee forma lineal se obtiene una onda cilíndrica, que se propaga a lo largo de los radios a partir del eje del cilindro. Si examinamos la onda en puntos muy alejados de la fuente productora, las esferas frentes de onda tendrán radios muy grandes y podrán considerarse planos. Para representar las ondas, se dibujan los frentes separados una longitud de onda. Atendiendo a la forma del frente de onda, las ondas se denominan esféricas, cilíndricas, planas, etc. Las ondas planas pueden considerarse monodimensionales, ya que la propagación es según una dirección particular. Las líneas perpendiculares a los sucesivos frentes de onda se denominan rayos y corresponden a líneas de propagación de la onda. Los puntos de diferentes superficies de onda unidos por un rayo dado, se llaman puntos correspondientes. Es evidente que el tiempo requerido para que la onda avance entre dos frentes de onda es el mismo cualquiera que sea el rayo según el cual se mida. Por tanto, las distancias entre puntos correspondientes deben depender de la velocidad del movimiento ondulatorio en cada punto, y en un medio homogéneo e isótropo, donde la velocidad es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones, la separación entre dos superficies de onda debe ser la misma en todos los puntos correspondientes. Otro hecho importante es que en un medio homogéneo e isótropo los rayos son líneas rectas, pues no hay razón para que éstos se desvíen hacia un lado u otro. Si la onda se propaga a través de una sucesión de medios de estas características, la dirección de propagación puede cambiar al pasar de un medio a otro.

2 PRINCIPIO DE HUYGENS: APLICACIONES En el estudio de la propagación de una onda aparecen una serie de fenómenos como la reflexión, la refracción y la difracción, que pueden explicarse fácilmente analizando el paso de un frente de onda al siguiente. Cuando el frente de onda avanza en el medio, el movimiento ondulatorio se propaga alcanzando nuevos puntos de ese medio. Christian Hüygens (69-695) apoyándose en esta sencilla idea visualizó una construcción geométrica para pasar de una superficie de onda a otra, que constituye el Principio de Hüygens. Cuando el movimiento ondulatorio alcanza los puntos de un frente de onda, cada partícula del mismo, se convierte en una fuente de ondas secundarias que alcanzan a las sucesivas partículas del medio. El siguiente frente de onda será la superficie envolvente de todas las ondas secundarias. La repetición del proceso da como resultado la propagación de la onda a través del medio. El Principio de Hüygens puede enunciarse: Todo punto de un frente de ondas se convierte en punto de partida de una serie de ondas secundarias (ondas elementales) en todos los sentidos. En este principio se considera que la amplitud de las ondas secundarias no es uniforme en todas las direcciones, sino que varía continuamente desde un máximo en la dirección y sentido de propagación de la onda hasta un mínimo en sentido opuesto. A) REFLEXION Y REFRACCION Cuando la onda llega a la superficie de separación de dos medios distintos (distintas velocidades de propagación), se producen dos fenómenos muy importantes, ya que parte de la energía que lleva la onda pasa al segundo medio y parte de la energía permanece en el mismo medio. Estos fenómenos vienen acompañados de unos cambios en la dirección de propagación conocidos como reflexión (la onda no cambia de medio) y refracción (la onda cambia de medio) Consideremos, por sencillez, el caso de ondas planas (el frente de onda es un plano), aunque las leyes que enunciamos seguidamente siguen siendo válidas cuando el frente de onda no es un plano, y la superficie de separación entre los medios tampoco.

3 Las leyes experimentales que cumplen la reflexión y la refracción son: ª.- El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en un mismo plano, que es normal a la superficie de separación y, por lo tanto, contiene la normal a la superficie. ª.- El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión iˆ = rˆ 3ª.- El cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es constante. Esto se denomina ley de Snell y se expresa seniˆ = n senrˆ donde n se denomina índice de refracción relativo del medio respecto al medio y depende de la naturaleza de la onda y de las propiedades de los medios. Las tres leyes anteriores pueden verificarse experimentalmente sin gran dificultad. Se pueden probar teóricamente usando los conceptos básicos de la propagación de ondas (principio de Hüygens) La primera ley se puede justificar indicando simplemente que no hay ninguna razón para que las ondas reflejadas y refractadas se separen del plano formado por la dirección de incidencia y la normal. La segunda ley puede demostrarse teniendo en cuenta la figura adjunta. En ella se representa la porción de un frente de onda plana, limitado por dos rayos A y B, que se propaga por el medio. Al llegar a la superficie de separación con el medio, el frente de onda vuelve propagándose por el medio. De acuerdo con el principio de Hüygens, el punto es un foco emisor de ondas secundarias; mientras el punto B' pasa a ocupar la posición, las ondas secundarias de habrán avanzado una distancia ', de modo que, considerando el mismo proceso para todos los puntos del frente de onda, una vez que todos ellos hayan alcanzado la superficie de separación, el nuevo frente de onda reflejado será ' De lo anterior, podremos escribir que ' = v t y también B'= v t ya que la onda se propaga siempre en el mismo medio. En el triángulo B' de la figura anterior se A A B B cumple: senˆ r = y en el triángulo B': senˆ i = A B A B Dividiendo las dos expresiones anteriores resulta: ˆ seni B B vt = = =, o bien, seniˆ = senrˆ, que es la ley de la reflexión. senrˆ A A v t

4 Para probar la ley de Snell, utilizaremos la construcción de la figura adjunta, donde AB es un frente de onda plana que se propaga por el medio, que llega a la superficie de separación con el medio, y continúa propagándose por el medio. Consideramos que la velocidad de propagación en el medio, v, es mayor que la del medio, v. Cuando A llega a la superficie de separación, el punto, por el principio de Hüygens, se convierte en foco emisor de ondas secundarias, de modo que, mientras el punto B' pasa a ocupar la posición, el punto ocupará '. La distancia B' será: B' = v t y la ' será: ' = v t En el triángulo B' de la figura se cumple: ˆ B' sen i = y en el triángulo ': ' seniˆ B' vt v sen rˆ' =. Dividiendo ambas expresiones obtenemos: = = = senrˆ' ' v t v Como v y v son constantes, podremos escribir: v = n con n el índice de refracción v relativo del medio respecto al medio. Por tanto: sen iˆ = n expresión de la ley de Snell. senrˆ' Considerando ondas electromagnéticas, se define el índice de refracción de un medio como n = c/v, donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio y c es la velocidad de propagación en el vacío. De acuerdo con esta definición, para dos medios cualesquiera podemos escribir: n c v v n = = = y la ley de Snell puede escribirse: n ˆ ˆ seni = n senr ' n v c v B) DIFRACCION Con el nombre de difracción se conoce un fenómeno característico del movimiento ondulatorio. El término difracción viene del latín diffractus que significa quebrado. La etimología alude al fenómeno por el que una onda puede contornear un obstáculo en su propagación, alejándose del comportamiento de rayos rectilíneos. La difracción se observa cuando una onda en su propagación se encuentra con un obstáculo cuyas dimensiones son comparables a su longitud de onda. El obstáculo puede ser una pantalla con una abertura pequeña, un pequeño objeto o un borde de un objeto. Consideremos un tren de ondas que llega a una pared en la que hay un orificio; según el tamaño del mismo, la propagación de las ondas deja de ser rectilínea una vez pasado aquel. Así, las ondas luminosas que atraviesan la rendija AB (de tamaño comparable a la longitud de onda) alcanzan puntos como el P, pero si aquel es mayor (rendija CD) las ondas siguen la propagación rectilínea y sólo se observa luz dentro del cono CFD.

5 Debido a la difracción, las ondas se extienden alrededor de los obstáculos interpuestos en su camino; por ejemplo, las ondas sonoras pueden oírse al volver una esquina y los sonidos graves, al tener una longitud de onda comparable al tamaño de las ventanas y puertas, son los que mejor oímos cuando nos colocamos no alineados con el foco sonoro. El término difracción se aplica a los fenómenos relacionados con el efecto resultante producido por una porción limitada de un frente de onda. El proceso por el cual se producen los efectos de difracción tiene lugar continuamente en la propagación de cada frente de onda, pero sólo se observa si, mediante un obstáculo 7, se suprime una parte de este frente de onda, siendo el fenómeno más notable a medida que el obstáculo tiene dimensiones más próximas a la longitud de onda de las ondas. Los hechos principales observados en los fenómenos de difracción pueden predecirse con ayuda del principio de Huygens, de acuerdo con el cual cabe considerar cada punto de un frente de onda como origen de una onda secundaria. Sin embargo, en lugar de hallar el nuevo frente de onda por el simple proceso de construir la envolvente de todas las ondas secundarias, hemos de componer estas ondas secundarias de acuerdo con los principios de interferencia. Aunque los fenómenos de difracción se producen con cualquier tipo de ondas, es con las ondas luminosas con las que revisten mayor interés. Por ejemplo, si una onda plana luminosa llega a un obstáculo con una rendija estrecha, cuyo plano suponemos paralelo al frente de onda, se obtendrá en otra pantalla, paralela al plano de la rendija y a gran distancia de ella, un diagrama de difracción (distribución de intensidades en máximos y mínimos) Esto se explica considerando que los puntos de la rendija se convierten en focos secundarios emisores de ondas en todas las direcciones; los demás puntos del frente de onda serán detenidos por el obstáculo, con lo que se romperá el frente de onda que ya no será plano. Las ondas elementales producidas por los puntos de la rendija interferirán entre sí, dando lugar a una distribución de intensidades en máximos y mínimos según cuál sea la diferencia de fase entre las ondas que interfieren. En el experimento de Young consideramos la interferencia producida por dos fuentes puntuales coherentes y en el caso que nos ocupa el número de fuentes forma un continuo y al fenómeno lo llamamos difracción. No obstante, ambos son efectos de superposición, que a menudo ocurren simultáneamente. La difracción tiene una gran importancia dentro de la Física; así: el diagrama de difracción observado cuando los rayos X se hicieron incidir en un cuerpo cristalino dio lugar al descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de dichos rayos y la existencia de redes cristalinas; la difracción se utiliza en Óptica para medir longitudes de onda, en Astrofísica para el conocimiento de la constitución de las estrellas, etc.