AnAnálisis de redes de transporte Tr. Muchas veces se utiliza en aplicaciones que nada tienen que ver con el transporte

Transcripción

1 AnAnálisis de redes de transporte Tr Muchas veces se utiliza en aplicaciones que nada tienen que ver con el transporte

2 Resumen Antecedentes y definiciones El camino más corto Árbol de expansión mínima Introducción a los problemas del viajante de comercio y del cartero chino

3 Recordatorio continuo del capítulo 3 Añadimos calles discontinuas, como máximo 1/3 de la longitud de un bloque en distancia media de desplazamiento Y si se cambia a una red dirigida, esto es, alternando calles de un solo sentido? Con las redes de transporte, se discretiza la geografía

4 Red ilustrativa A B C D E

5 Red con terminología A B Nodos B y D C D E Arco dirigido Arco no dirigido

6 Ejemplos de nodos y arcos Nodos Intersecciones de calles Poblaciones Ciudades Arcos Segmentos de calles Carreteras secundarias Tiempo de desplazamiento en aviones Empalmes eléctricos Componentes de Fases principales del proyecto circuito Tareas del proyecto

7 Los arcos pueden tener longitudes 4 A B C D E Longitudes de arco

8 Los nodos pueden tener peso 100 A B C D 100 E 50 Pesos del nodo

9 Ejemplos de pesos de nodo? Número de habitantes % de cierta población por zona % de uso de electricidad por zona

10 Podemos viajar por CAMINOS A B Camino: A C D E C D E

11 Un camino especial es un CICLO A B C D E Ciclo : C D E C

12 Algunos ejemplos de redes

13 Metro de Boston

14 Red de autopistas principales de Seattle

15 Red del ferry de Seattle

16 Redes de telecomunicación

17 Terminología de redes N = conj. de nodos A = conj. de arcos G(N,A) Arco incidente Nodos adyacentes Arcos adyacentes Camino Grados de un nodo Grado de salida Grado de entrada Ciclo o circuito Nodos conectados Grafo no dirigido conectado Grafo dirigido fuertemente conectado Subgrafo

18 Terminología de redes (cont.) El árbol de una red no dirigida es un subgrafo conectado sin ciclos Un árbol con t nodos contiene (t-1) aristas El árbol de expansión de G(N,A) contiene todos los n nodos de N Longitud de un camino S (i, j ) S L(S) = l(i, j) d(x,y), d(i,j)

19 Ahora pasemos a algunos problemas de decisión de redes Diseño o despliegue de una red

20 Problemas de ruta El problema del camino más corto El problema del viajante de comercio El problema del cartero chino

21 El problema del camino más corto Halle el camino más corto entre dos nodos, comenzando en el nodo O y terminando en el D. O: Origen (nodo) D: Destino (nodo)

22 Algoritmo de etiquetado de nodos: Dijkstra Camino más corto entre nodos k=1, comienzo en el nodo de origen Al final de la iteración k, el conjunto de k NODOS CERRADOS consiste en los k nodos más cercanos al origen. Cada NODO ABIERTO adyacente a uno o más nodos cerrados tiene nuestra mejor solución en curso de la distancia mínima a dicho nodo.

23 Algoritmo de Dijkstra (cont.) Cada mejor solución representa un camino factible, quizá optimo Siguiente paso: cierre el más cercano de las MEJORES SOLUCIONES. Ejecute un bucle para actualizar las mejores soluciones. Repita reemplazando k con k+1.

24 O (1,0) D (k,d)=(iteración k, min. distancia a nodo O)

25 Red de complejidad computacional con n nodos Cada iteración: hasta n comprobaciones Hasta n iteraciones Implica complejidad O(n 2 ) Para todo el grafo: complejidad O(n 3 )

26 El problema del árbol de expansión mínima (MST) Considere un grafo no dirigido Por qué es un problema importante? Problema: encontrar un árbol de expansión de distancia mínima de G(N, A). Si N =n, entonces cada árbol de expansión contiene (n-1) enlaces. Es posible que el MST no sea único

27 MST Algoritmo: comience en un nodo arbitrario Siga conectando al subárbol creciente el nodo libre más cercano.

28 Prueba por contradicción T 1

29 Prueba por contradicción T 1 T 2 MST = T 1 + T 2 + (un enlace de conexión)

30 Prueba por contradicción T 2 T 1 MST = T 1 + T 2 + (un enlace de conexión)

31 Corolario En una red no dirigida G, el enlace de distancia más corta que salga de cualquier nodo es parte del MST.

32 Otro algoritmo MST Clasifique los arcos por longitud y súmelos a la solución incumbente del árbol (un grupo de subárboles), asegurándose de no crear ciclos. Se trata de un buen algoritmo manual pero resulta más difícil de automatizar en la computadora.

33 Complejidad computacional del MST Tomemos una G completamente conectada Iteración nº1: (n-1) comparaciones para hallar el mínimo. Etiquete cada nodo con la distancia al nodo inicial.

34 Complejidad computacional Iteración nº2: del MST Hallar las distancias a partir de los nodos recién añadidos a cada nodo que no está en el árbol y cambiar las etiquetas si procede. Requiere (n-2) comparaciones. Hallar el mínimo de etiquetas. Requiere (n-2) comparaciones adicionales.

35 Complejidad computacional Iteración nºj: del MST Hallar las distancias a partir de los nodos recién añadidos a cada nodo que no está en el árbol y cambiar las etiquetas si procede. Requiere (n-j) comparaciones. Hallar el mínimo de etiquetas. Requiere (n-j) comparaciones adicionales.

36 nº cálculos = ( n 1) + 2 ( n j) = n j = 2 2(n 1) + 2(n 2) (n 1) = n(n 1) 2 (n 1) 2 O(n 2 )

37 Problema del viajante de comercio Hallar el ciclo más corto empezando y terminando en el nodo O y visitando cada nodo especificado A, B, C, etc. al menos una vez.

38 4 A B C D E F G H I J Ejemplo del viajante de comercio: Haga el mejor ciclo uniendo los nodos azules

39 El problema del cartero chino Hallar el ciclo o el camino de distancia mínima que pasa por cada enlace al menos una vez.

40 Un problema famoso Los siete puentes de Konigsberg N = Orilla norte Isla A Isla B S = Orilla sur

41 Reducido a una red Los siete puentes de Konigsberg como una red N A B S

42 El cartero chino: fácil Un problema del cartero chino sencillo

43 El cartero chino: emparejamiento D C 5 5 E A 8 B

44 D Emparejamiento nº 2 8 E C 5 5 A 8 B

45 D Emparejamiento nº 3 8 E C 5 5 A 8 B

46 Cada uno de estos problemas se ha refinado y ampliado a lo largo de los años Cada uno se puede implementar vía ordenador en entornos operativos complejos Correos, FEDX, caminoneros, incluso mensajeros en bici utilizan estas técnicas