Movimiento con oscilaciones

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Salvador Rivero Mendoza
hace 7 años
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Pontificia Universidad Católica de Chile Instituto de Física FIZ011 Laboratorio de Mecánica Clásica Movimiento con oscilaciones Objetivo Estudiar el movimiento de objetos que experimentan movimiento

1 Pontificia Universidad Católica de Chile Instituto de Física FIZ011 Laboratorio de Mecánica Clásica Movimiento con oscilaciones Objetivo Estudiar el movimiento de objetos que experimentan movimiento oscilatorio armónico. Introducción Al hacer oscilar una masa verticalmente, esta sigue un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. En este punto se iguala la fuerza restauradora del resorte y la fuerza peso. Esto se puede modelar con la siguiente ecuación: my = mg ky (1) donde y es la distancia medida desde el largo natural del resorte l o hasta la posición de la masa, m es la masa del cuerpo oscilante y k es la constante elástica del resorte. En esta ecuación 1 se está utilizando la Ley de de Hooke, la cual relaciona el estiramiento de un material con la fuerza de restauración que este ejerce: F = ky () Notar que la fuerza de restauración se opone a los desplazamientos del cuerpo en cuestión. La solución a la ecuación (1) de movimiento es: y t = Asen ω o t (3) donde A es la amplitud de oscilación y ω 0 es la frecuencia de oscilación definida por: Figura 1: Esquema de oscilación vertical. ω o = k m (4) La energía mecánica del sistema está dada por la suma de energía cinética y energía potencial, y es la siguiente: E = 1 mv + 1 ky mgy (5) que corresponden a la energía cinética, elástica y gravitacional, respectivamente. 1

2 Ahora, si consideramos oscilaciones horizontales, de acuerdo con el esquema de la Figura, las ecuaciones que describen el movimiento de las dos masas a lo largo de la horizontal son: mx = mg x l + k y x 6 my = mg y l k y x (7) donde x e y están medidos respecto de la posición de equilibrio de cada masa respectivamente. Sea: ω o = g l (8) Figura : Esquema de oscilaciones horizontales. la frecuencia natural de oscilación de cada péndulo aislado, el sistema de ecuaciones puede escribirse como: x + ω o x = k m y x 9 y + ω o y = k m y x (10) Para encontrar la solución al sistema de ecuaciones, se introducen variables auxiliares: (X = x + y) e (Y = y - x). Así, sumando y restando las ecuaciones originales e introduciendo las nuevas variables se obtienen las siguientes ecuaciones independientes: X + ω o X = 0 (11) Y + (ω o + k )Y = 0 (1) m Las soluciones de estas ecuaciones en términos de las nuevas coordenadas implican que el sistema físico tenga dos frecuencias de oscilación: ω o = ω 1 = g l (13) ω = ω o + k = g + k m l m (14) Cuando las oscilaciones ocurren en fase (x = y) la dinámica está determinada por la ecuación (11) y la frecuencia de oscilación de ambas masas es ω 1. Si las oscilaciones ocurren en contrafase (x = -y), la dinámica está descrita por la ecuación (1) y la frecuencia es ω. Cuando la oscilación ocurre en una combinación de ambos modos de oscilación, las expresiones que describen la dinámica del sistema son: X t = x t + y t = X o sen ω 1 t + α 1 (15) Y t = x t y t = Y o sen ω t + α (16)

3 Donde α 1 y α son las condiciones iniciales del sistema de ecuaciones. A partir de las ecuaciones anteriores, las oscilaciones individuales de cada masa son: x t = 1 X osen ω 1 t + α 1 + Y o sen ω t + α (17) y t = 1 X osen ω 1 t + α 1 Y o sen ω t + α (18) Para el caso particular en que X 0 =Y 0 =A,α 1 = α = 0, se obtiene: x t = Acos ω 1 ω t sen ω 1+ω t (19) y t = Acos ω 1+ω t sen ω 1 ω t = Acos ω 1 ω t + π sen ω 1+ω t + π (0) Suponiendo que la oscilación del sistema es solamente horizontal (pequeñas oscilaciones), la energía mecánica está definida de la siguiente forma: E = 1 k(l o (y x)) + 1 mv mv (18) donde l 0 es la longitud del resorte en equilibrio y v1 y v son las velocidades de las masas. Materiales Disponibles Montaje Experimental y Procedimiento 1. Cámara VideoCom. Trípode 3. Computador con programa VideoCom Movimiento 4. Péndulo 5. Resorte 6. Masas 7. Balanza 8. Soporte universal 9. Hilo Figura 3: Montaje propuesto para estudio de oscilaciones horizontales. 1. Antes de comenzar las mediciones de las oscilaciones es necesario determinar la constante elástica del resorte a utilizar. Para esto estudie el estiramiento del resorte al utilizar diferentes masas colgadas a este. 3. Luego, construya el montaje que permita estudiar oscilaciones unidimensionales (verticales) equivalentes a la Figura 1.

4 3. Monte la cámara VideoCom de modo que el arreglo CCD quede paralelo al recorrido de la masa a estudiar). Ajuste la posición, foco y apertura de la cámara de manera que ésta registre el movimiento de la masa en el mayor rango posible. Recuerde que la cámara registrará los movimientos de cualquier objeto dentro de su campo de visión que refleje luz sobre cierta intensidad. Debe lograr que la cámara sólo registre los movimientos de dos franjas reflectantes adheridas horizontalmente a algún cuerpo que muestre el mismo comportamiento que la masa a estudiar. 4. Para lograr el punto anterior, deberá configurar en el programa VideoCom Movimientos el tiempo de muestreo y la intensidad de los leds. Ingrese los valores que sean necesarios para cumplir su objetivo. También deberá ingresar el valor de la distancia entre las franjas reflectantes. Esto último con el fin de que el programa VideoCom Movimientos transforme los desplazamientos observados de pixeles a metros. 5. Realice pruebas previas para asegurarse que la cámara registra correctamente los movimientos. 6. Comience el registro del movimiento con distintas condiciones. Pruebe con todas las configuraciones que considere necesarias. (Guarde sus datos en una planilla Excel frecuentemente). 7. Realice el mismo procedimiento anterior, ahora replicando la situación de la Figura (se puede guiar por la Figura 3) (oscilaciones horizontales). Recuerde evitar movimientos verticales. (Debe alinear el arreglo CCD de la cámara de acuerdo a la nueva trayectoria a estudiar). 8. Estudie inicialmente el sistema en que ambas masas se encuentren en fase y luego en antifase con las mismas amplitudes iniciales. Luego estudie sistemas más complejos. Análisis y discusión Se espera que describa el comportamiento de los cuerpos bajo las condiciones de esta experiencia. Para esto debe comparar un análisis teórico del sistema con los resultados obtenidos en laboratorio. Guíese por la teoría explicada en la sección Introducción para realizar su análisis y si usted realiza algún desarrollo adicional, debe expresarlo en su informe. En particular, compruebe si frecuencias y/o energías predichas por la teoría se observan durante la experiencia. Incluya los conceptos de desviación estándar, error, error relativo y diferencia relativa en su análisis. 4

5 Se espera que presente un análisis teórico de ambas oscilaciones que sea comprobable o refutable cualitativa y cuantitativamente por sus datos experimentales. Asimismo, compare las dos situaciones desarrolladas entre sí, para comprobar en qué se asemejan y en qué difieren. Analice como afectan las condiciones iniciales al comportamiento de su sistema. Obtenga experimentalmente las variables, en principio, desconocidas. Observaciones generales Recuerde tomar nota de todas las posibles fuentes de error, intente cuantificar ese error y considere sólo las fuentes relevantes (que más influyan en el resultado) para su resultado final argumentando sus decisiones. Edición: 11/11/015 (Alvaro Adrian) 5

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