Problemas y cuestiones de los Tema 1-2

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1 Mecánica Orbital y Vehículos Espaciales Problemas y cuestiones de los Tema - (problemas marcados con *: para ampliar). Conocida la inclinación de la eclíptica " = 3 o 6, hallar la latitud de los trópicos y de los círculos polares.. El sistema geocéntrico eclíptico se suele considerar inercial; no obstante, el centro del sistema de referencia (la Tierra) se desplaza respecto al Sol. Encontrar la aceleración de arrastre que se desprecia. Qué sucede con el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial? 3. (*) Formular el cambio de base entre el sistema de referencia heliocéntrico y el geocéntrico eclíptico, entre el geocéntrico eclíptico y el geocéntrico ecuatorial, y entre el geocéntrico ecuatorial y el heliocéntrico. 4. (*) En un instante dado, un satélite en una órbita circular de altitud 8 km se observa con una ascensión recta de 85 o y una declinación de 35 o. Calcular sus coordenadas cartesianas en el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial. 5. A partir de la duración del día sidéreo y considerando año=365.5 días, demostrar aproximadamente que un día solar medio tiene (con precisión de centésimas de segundo) 4 h. 6. A partir del fenómeno de la precesión de los equinoccios (desplazamiento de retraso del primer punto de Aries con un periodo de 578 años), y sabiendo que un año sidéreo dura aproximadamente 365 días, 6 horas, 9 minutos y segundos, demostrar que aproximadamente (con precisión de segundos) un año tropical tiene 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos. 7. Julio César instauró el calendario juliano (con años bisiestos, uno cada cuatro años) en el año 46 antes de Cristo. Cuál es la duración del año juliano? En 58, cuánto error (retraso o adelanto) había acumulado el calendario con respecto al año tropical? 8. El calendario gregoriano considera que los años bisiestos son los múltiplos de 4, excepto que lo sean también de (con la excepción de los múltiplos de 4, que si se cuentan como bisiestos, salvo que lo sean también de 4). Cuál es la duración del año gregoriano? Qué error acumularía este calendario con respecto al año tropical tras. años? Comparar con el calendario juliano. 9. Los nombres de las constelaciones que el Sol (o más propiamente hablando, la línea imaginaria que une al Sol con la Tierra) cruza en su camino son (ordenadas en el sentido recorrido): Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, Leo, Virgo, Libra, Escorpio, Sagitario, Capricornio, Acuario, y Piscis. Se suponen espaciadas uniformemente. Cuando inicialmente fue definido, el primer punto de Aries ( ) se encontraba efectivamente en la constelación de Aries. No obstante, debido a la precesión de los equinoccios (desplazamiento de retraso del primer punto de Aries con un periodo de 578 años) el primer punto de Aries abandonó la constelación de Aries en el año 7 antes de Cristo. En qué constelación se encontraba en los tiempos de Kepler (s. XVII)? y en nuestro año actual? Cuándo cambiará de nuevo de constelación? Deducir a qué se debe el nombre de los trópicos.. Considerando la órbita de la Luna alrededor de la Tierra circular, de periodo 7.3 días, y la órbita de la Tierra alrededor del Sol también circular, cuánto dura el mes lunar? Si el plano orbital lunar fuera el de la eclíptica, cada cuánto tiempo habría eclipses lunares? Estimar (en el caso coplanario) la duración de un eclipse lunar.. (*) Desde un radiotelescopio en Sevilla ( = 37,4 o, = 5,58 o W ) se observa un satélite cuyas coordenadas (topocéntricas) son Azimut= o, Elevación=65 o, Distancia= km. Calcular las coordenadas cartesianas del satélite respecto a Sevilla.. Qué día juliano (JD) es el 6 de Octubre de 8, a las : UT? y a las :3 hora local de Sevilla (horario de invierno)? 3. (*) Sabiendo que el de Enero de, a las : UT (JD ) se tiene que GST=8,46 o Cuánto vale GST el 6 de Octubre de 8? Cuál es el tiempo sidéreo local en Sevilla ( =5,58 o W ) ese mismo día a las :3? Cuáles son las coordenadas cartesianas de Sevilla, a dicha hora, en el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial? 4. (*) Desde un radiotelescopio en Sevilla ( = 37,4 o, =5,58 o W ) se observa a las :3 hora local el 6 de Octubre de 8, un satélite cuyas coordenadas (topocéntricas) son Azimut= o, Elevación=65 o, Distancia= km.calcular las coordenadas del satélite respecto al sistema de referencia geocéntrico ecuatorial (cartesianas y esféricas). 5. Si realizáramos una conexión telefónica vía satélite, qué retardo tendría la señal de voz (despreciando el debido al proceso de señal) si el satélite se encontrara en órbita baja (h km)? Y en órbita geostacionaria (h 36 km)? Qué retardo tendría una comunicación telefónica con la Luna?

2 6. Un cierto día a las : UT las coordenadas del Sol son = 3,8 o y AR = o. Sabiendo que dicho día GST = 8,5 o, calcular la hora local (sin contar el posible cambio horario de verano), la hora solar media y la hora solar (aparente) en dicho instante, en: a) Sevilla ( = 37,4 o N, =5,58 o W, UT+). b) Roma ( = 4 o 54 N, = o 7 E,UT+). c) Moscú( = 55 o 45 N, = 37 o 36 E,UT+3). d) Buenos Aires ( = 34 o 35 S, = 58 o W,UT-3). 7. Escribir las coordenadas esféricas del Sol en la esfera celeste terrestre (declinación y ascensión recta) y en el sistema de referencia geocéntrico eclíptico (longitud eclíptica y latitud eclíptica) en los siguientes instantes de tiempo: a) Equinoccio de Primavera. b) Solsticio de Verano. c) Equinoccio de Otoño. d) Solsticio de Invierno. Escribir también las coordenadas esféricas de la Tierra en el sistema de referencia heliocéntrico eclíptico (longitud heliocéntrica y latitud heliocéntrica) en los instantes de tiempo antes señalados.

3 Mecánica Orbital y Vehículos Espaciales Problemas y cuestiones de los Temas 3-4 (problemas marcados con *: para ampliar, con :problema teórico complementario a teoría). Unidades canónicas: Para evitar el problema de trabajar con números muy grandes (y de difícil interpretación) se definen unidades canónicas para adimensionalizar las variables. En problemas geocéntricos (respectivamente, planetocéntricos), se utiliza el radio de la Tierra R (respectivamente, del planeta R Planeta ) como unidad de distancia (UD). Como unidad de velocidad (UV) se usa la velocidad circular en la superficie de la Tierra, UV = p µ /R (resp. UV = p µ Planeta /R Planeta ). Finalmente, definimos la unidad de tiempo (UT) como UT = UD/UV. De esa forma se tiene que µ (resp. µ Planeta ) expresado en unidades canónicas vale. En problemas heliocéntricos se usa UD = AU y la velocidad media de la Tierra como UV. Determinar las unidades canónicas para problemas geocéntricos, heliocéntricos, y centrados en Júpiter.. Cuál es la velocidad de un satélite en una órbita circular a altitud 5 km? Cuál es su periodo? 3. ( ) Cuando se definen órbitas, en ocasiones se utiliza la notación h p h a para denotar una órbita con altitud de perigeo h p y altitud de apogeo h a. Encontrar el semieje mayor y la excentricidad de una órbita h p h a. 4. Un satélite ha sido observado a km de altitud con una velocidad de km/s y un ángulo de trayectoria igual a 3,74 o. Determinar el tipo de órbita, su excentricidad y el valor, si procede, de a. Repetir el problema para una velocidad de km/s. 5. Dado un objeto en órbita elíptica alrededor de la Tierra, con radios de apogeo y perigeo respectivamente r p = 66 km y r a = 55 km, encontrar la anomalía verdadera de su posición al entrar en la anomalía del Atlántico Sur en el cinturón de Van Allen a altitud h = 5 km. 6. (*) Dados dos puntos en un plano por sus coordenadas polares r, y r,, determinar la cónica que pasa por ambos puntos y tiene como foco al origen de coordenadas. Bajo qué condiciones se puede encontrar una solución a este problema? Es dicha solución única? 7. (*) Aplicar la solución a encontrar una órbita de transferencia entre la Tierra y Plutón (\), suponiendo que la elipse de transferencia tiene la línea de ápsides a una longitud (respecto de ) de 5 o, y las longitudes de la Tierra al inicio y Plutón al final (supuestos ambos en órbitas circulares coplanarias) son 4 o y 95 o respectivamente. Cuánto tiempo se tardaría en realizar dicha transferencia? Dato: L \ = 39,48 AU. 8. Calcular la velocidad de escape de la Tierra, la Luna (µ$ = 49,9 km 3 /s, R$ = 737,4 km), Júpiter (µ X = 67995,4km 3 /s, R X = 749 km) y Marte (µ = 488,3 km 3 /s, R = 3397 km). 9. El primer satélite de Júpiter (Io) tiene un periodo de aproximadamente día, 8 horas, 7 minutos y 33.5 segundos, y una distancia media al centro de Júpiter de 47 km. Estimar la masa de Júpiter en términos de la masa de la Tierra.. ( ) Demostrar que el ángulo de trayectoria verifica tan = e sen +e cos. Demostrar que esta fórmula implica que si es negativo, es negativa. Usar la fórmula para demostrar que en el caso de una parábola, = /, y explicar el significado geométrico de dicho resultado.. A partir de los elementos orbitales de la ISS y del METEOSAT 7 en el formato de líneas, tal como se dan en teoría, encontrar: sus elementos orbitales keplerianos, y su posición y velocidad en la época.. La órbita de cartografía de la sonda Magallanes alrededor de Venus (µ = 34858,8 km 3 /s, R = 65,8 km) tiene como valores a = 44, kmy e =, La misión cartográfica comenzó en el punto que tiene una anomalía verdadera = 8 o. Calcular el ángulo de trayectoria, velocidad y tiempo desde periapsis en dicho punto. 3. Aproximar a primer( ) y segundo(*) orden de e la ley horaria de una órbita elíptica de excentricidad pequeña e. 4. Un cuerpo es lanzado desde la superficie de la Tierra justo con la velocidad de escape. Suponiendo el perigeo de la trayectoria en la superficie de la Tierra, cuánto tiempo tarda en escapar? Suponer que el radio de escape es /5 r = L µ /µ. 5. Dada una órbita elíptica con e =,85 y altitud del perigeo h p = 6 km, calcular el tiempo que transcurre entre dos posiciones A y B tales que A = o y B = 3 o. 6. ( ) Para una órbita elíptica de excentricidad e y semieje mayor a, sabemos que su velocidad angular (orbital) media es n = p µ a. Su velocidad angular instantánea no será en general constante y dependerá de la anomalía verdadera 3. Encontrar el valor de como función de, e y n. Para qué valores de coincidirán y n? Para qué valores de tendrá la máxima discrepancia de n? Aproximar los resultados para un pequeño valor de excentricidad.

4 7. ( ) Demostrar (para una órbita no circular) la fórmula = tan, donde es la anomalía verdadera y el ángulo de trayectoria. En base a la fórmula, en qué partes de la órbita será la aceleración angular negativa, y en cuáles positiva? Cuándo se hará cero? 8. ( ) Demostrar, para una órbita elíptica con e >, que el vector excentricidad ~e apunta siempre en dirección a periapsis. 9. El 4 de Agosto de 989 el Voyager tuvo un encuentro con Neptuno (µ [ = 68737,8 km 3 /s, R [ = 4764 km), siguiendo una órbita hiperbólica de parámetros a = 9985 km y e =, En su alejamiento, la sonda pasó cerca de Tritón, a 3546 km de Neptuno. Cuánto tiempo ( t) transcurrió desde periapsis hasta el encuentro con Tritón?. Un vehículo espacial se acerca a Venus con una velocidad de exceso v = km/s y un ángulo = 4 o. Encontrar el radio de periapsis. Cuál es el ángulo de giro de la velocidad respecto a la velocidad de llegada cuando vuelve a escapar de Venus? Cuánto tarda en escapar? Volver a responder a la última pregunta suponiendo que el /5 radio de llegada y de salida, en vez de infinito, es r = L µ /µ, donde L =,7337 AU.. Se realizaron dos observaciones de un satélite en órbita geocéntrica; la altitud de la primera observación fue h A = 98 km y de la segunda h B = 6476 km. El ángulo entre las dos observaciones fue = B A = 9 o. Se sabe que el semieje mayor de la órbita es a = km. Encontrar el tiempo de vuelo t v, e, A, B, h p y t A.. (*) Encontrar el error que se comete en la anomalía verdadera y en el radio, r, a partir de un error en la anomalía excéntrica E. 3. Un satélite geocéntrico en órbita elíptica tiene un semieje mayor a =4R y un perigeo r p =,5R. Encontrar la anomalía verdadera 4 horas después del paso por el perigeo. Repetir el problema si a = 4R (órbita muy excéntrica). Cuál es el error aproximado, en ángulo y en distancia, que se ha cometido resolviendo la ecuación de Kepler en ambos casos? 4. Repetir el problema anterior para una órbita parabólica con perigeo r p =,5R 5. (*) Desde la Tierra se determina la posición y velocidad de un satélite respecto al sistema de referencia Geocéntrico Ecuatorial como ~r = (,8~i +,6~j +,5 ~ k) UD, ~v = (,4~i,8~j +,6 ~ k) UV. Determinar los elementos orbitales (a, e, i,,!, t) del satélite. Si la medida está tomada a las 5: UT el 3 de Julio de 6 Cúando fue el último paso por el perigeo? Y por el apogeo? 6. Se sabe que en una cierta época, un cuerpo orbitando la Tierra tiene como posición y velocidad las siguientes, expresadas en unidades canónicas en el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial inercial: 3 3 ~r = 4 5 UD, ~v = 4 5 UV. Se pide encontrar los elementos orbitales del cuerpo, en dicha época, expresados también en unidades canónicas. Repetir el problema para los siguientes otros dos casos: ~r = UD, ~v = UV; ~r 3 = UD, ~v 3 = UV. 7. Se ha descubierto un asteroide errante con elementos orbitales (relevantes para el problema): a = 797,45 km, e =,8, = 49,7 o. Es un peligro para la Tierra? En tal caso, cuánto tiempo queda para su impacto? 8. ( ) Explicar la paradoja del satélite: Una vez dentro de la atmósfera, si la órbita es aproximadamente circular, v = p µ /r. Puesto que el efecto de la resistencia atmosférica es disminuir r, se concluye que la resistencia incrementa la velocidad! 9. (*) Comprobar que las soluciones dadas para el potencial de la Tierra verifican, en efecto, la ecuación de Laplace. 3. (*) Repetir el cálculo realizado para los efectos del J con el J 3. Existen variaciones seculares? 3. Calcular la magnitud (grados/día) del avance del perigeo y regresión de los nodos para un satélite en órbita baja circular, a una altitud de km y con una inclinación de 3 o. Es un efecto apreciable? 3. (*) Puesto que una vela solar siempre recibe su fuerza propulsiva en la dirección opuesta al Sol, Podría utilizarse para viajar hacia los planetas inferiores?

5 Problemas y cuestiones del Tema 5 (problemas o partes de problema marcados con *: para ampliar, con :problema teórico complementario a teoría). (*) Demostrar las fórmulas de la trigonometría esférica.. ( ) Emplear la trigonometría esférica para encontrar la distancia más corta (línea ortodrómica) entre dos puntos de la superficie de la Tierra (tomada como una esfera) dados por sus coordenadas, y,. Obtener también el rumbo (es decir, el azimut de la trayectoria) inicial. 3. ( ) Demostrar, para el triángulo esférico de la figura, la siguiente fórmula: tan u = cos i tan u, donde u =! +. Az!+µ Az Á i u Figura : Figura del problema Se pretende lanzar un vehículo desde el Kennedy Space Center (KSC, o Cabo Cañaveral) a las 6:53 hora local (UT-5), con un azimut de 8 o. Si el GST ese día es o, determinar el plano que tendría la órbita (i, ). Si la tolerancia en la ascensión recta del nodo ascendente es = ±5 o, cuál es la ventana de lanzamiento? 5. Cuáles son las inclinaciones máxima y mínima alcanzables desde Cabo Cañaveral? Y desde Vanderberg, Kourou o Tyuratam (Baikonur)? 6. Se observa un satélite sobre un punto de la Tierra con coordenadas,5 o N 45,8 o O. Si se sabe que la órbita tiene h p = km, h a = 5 km, con el perigeo justo en el Ecuador (en ) e inclinación i = 3 o, encontrar las coordenadas terrestres sobre las que se encuentra el satélite 5 minutos después. 7. ( ) Qué condición debe cumplirse para que la traza de un satélite se repita cada k revoluciones del satélite y m días? Calcular la condición primero en ausencia de perturbaciones. Para ampliar: Repetir considerando las perturbaciones seculares provocadas por el J (regresión de los nodos, avance del perigeo, Ṁ), realizando una aproximación de primer orden para calcular la desviación respecto al caso no perturbado. 8. ( ) Dado un satélite de elementos (a,e,i,,!,m ) tal que su traza se repite diariamente cada k revoluciones, diseñar los elementos de otros n satélites, denotados por (a j,e j,i j, j,! j,m j ) para j =,...,n de forma que los n satélites tengan la misma traza y la recorran separados uniformemente en el tiempo. Aplicar el resultado a diseñar una constelación Molniya de 3 satélites. 9. (*) Calcular el ancho de huella instrumental w de un satélite en la configuración de la figura, con un angulo de visión, pero con el cono de visión desplazado un ángulo oblicuo.. (*) Dado un satélite de coordenadas geográficas (,,h ) para un cierto instante dado, obtener los valores de longitud dentro de la cobertura para una latitud fija. Igualmente, fijada la longitud, obtener los valores de latitud dentro de la cobertura.. Calcular la función de visibilidad, para una estación de coordenadas (, ), de una estrella (considerada inmóvil, y en el infinito, en el sistema de referencia geocéntrico ecuatorial) con ascensión recta AR y declinación. Cuál es la función de visibilidad de la estrella polar?. La función de visibilidad del Sol permite calcular el atardecer y el amanecer en una determinada localización geográfica. Calcular para un día dado, en un punto cualquiera de la Tierra (, ), la función de visibilidad del Sol (suponiendo que no se mueve a lo largo del día y está en el infinito), y a partir de ella el amanecer y el atardecer (que se define a efectos civiles para " = 6 o ya que el Sol no es un punto sino un arco en el horizonte). 3. Cuánto tiempo, aproximadamente, dura la noche eterna en los polos? Y en una latitud de 8 o? Suponer la órbita de la Tierra circular para simplificar los cálculos.

6 S w  Figura : Figura del problema ( ) Demuestre, usando trigonometría esférica, que la traza de un satélite sobre la superficie terrestre alcanza una latitud máxima igual a la inclinación de su órbita. 5. ( ) Demuestre, usando trigonometría esférica, la fórmula que relaciona la inclinación de una órbita, el azimut de lanzamiento y la latitud de la base de lanzamiento. Por qué la mayor parte de las bases están situadas de forma que los lanzamientos se puedan realizar en dirección Este? 6. Se tiene un satélite en una órbita circular, a altitud h = km e inclinación i = 6 o. Dibujar la traza de la órbita de la forma más precisa posible con la información proporcionada. (*) Si la inclinación fuera próxima a cero, aproximar a segundo orden la forma de la traza. 7. Para la época del 5 de Enero de 9 a las : UT se tiene que GST = 5 o. Calcular en dicha época y con la mayor exactitud posible los elementos orbitales de la órbita cuya traza (una revolución) se muestra en la figura, sabiendo que: La órbita es circular y directa. La órbita no está afectada por perturbaciones. Se sabe que se alcanzó el punto de mínima latitud de la traza dibujada en la figura el 5 de Enero de 9 a las : UT, en la longitud 83,7 o O 8. Se tiene un satélite, en una órbita circular, con el resto de elementos orbitales (en la época del de Noviembre de 8 a las :) h = 8 km, i = 5 o, = 3 o, u = o, y se sabe que en la época GST = 4 h 4 m 35,3 s. Estudiar la cobertura el de Noviembre de 8 a las 5:. Qué latitudes máxima y mínima están cubiertas, y a qué longitud? Cuál es la superficie de cobertura y el ancho de huella? Cómo se modifican estos resultados si estudiamos la cobertura de un instrumento con = o? Estudiar en ambos casos si la cobertura incluye Sevilla ( = 37,3 o N, =5,58 o O). Repetir el problema con Honolulu, Hawai ( = o 8 5 N, = 57 o 5 3 O). 9. Estudiar la elevación (y su evolución en el tiempo, si fuera necesario), para un observador situado en Sevilla ( = 37,3 o N, =5,58 o O), de: Un satélite GEO sobre la latitud = o. Un satélite GEO sobre la latitud = 8 o O. Un satélite de elementos e =, i = O, h = km, que en el instante de tiempo t =se encuentre sobre el meridiano de Greenwich.. (*) Dado un satélite con e =y altitud dada h cuya órbita se repite, plantear el problema de hallar la máxima elevación que alcanza visto desde una base de coordenadas dadas. Si la órbita del satélite no se repite, cuál será la máxima elevación posible?. Escribir los elementos orbitales (en la época del de Noviembre de 8 a las :, en la que se sabe que GST = 4 h 4 m 35,3s) y dibujar aproximadamente la traza de un satélite polar y circular en órbita semisíncrona (la mitad del periodo de la Tierra) que pase por Sevilla ( = 37,3 o N, =5,58 o O) el de Noviembre a las : hora local (UT+).. ( ) Estudiar las condiciones bajo las cuales la cobertura instrumental (dado un instrumento con dado) y la cobertura total coinciden.

7 Figura 3: Figura del problema La estrella Sirio tiene ascensión recta 6 horas y 45 minutos, y declinación -6 grados y 43 minutos. Sabiendo que un cierto día GST = o, determinar la elevación y azimut de la estrella observada desde Sevilla ( = 37,3 o N, =5,58 o O) a las de la noche (UT). Otro cierto día, en el que GST = 9 o, se realiza una observación de Sirio a las :3 de la noche (UT) obteniéndose h = 5,85 o y Az = 4,6 o. Deducir la localización geográfica del observador. 4. ( ) Calcular la forma de la traza de un satélite geoestacionario tal que su excentricidad e es pequeña, pero distinta de cero, y el resto de sus elementos orbitales tiene valores nominales para que el satélite se encuentre en la longitud. 5. Sabiendo que el equinoccio de Primavera fue el de Marzo a las : UT, calcular la posición del Sol en la esfera celeste (, AR ) el de Noviembre a las : UT de ese mismo año (suponer para simplificar el cálculo que la órbita de la Tierra es circular). Dado un satélite cuyos elementos orbitales (en la época del de Marzo a las : UT) son h p = 6 km, h a = 8 km, i = 5 o,! = 6 o, = 45 o, = 3 o, encontrar su posición en la esfera celeste el de Noviembre a las : UT y determinar si está eclipsado o no. (Ampliación: Repetir el cálculo para la auténtica excentricidad de la órbita de la Tierra). 3

8 Launch Sites lecture9.ppt 7 R.S. Nerem 4 Figura 4: Tabla de bases de lanzamiento. Noncoplanar Transfers 4

9 Problemas y cuestiones de los Temas 6 y 7 (problemas o partes de problema marcados con *: para ampliar, con :problema teórico complementario a teoría). Demostrar que la Tierra, vista desde GEO, presenta la forma de un disco que ocupa aproximadamente 7 o en el horizonte.. Demostrar que el eclipse máximo de un satélite geoestacionario se produce en los equinoccios. Demostrar también que dicho eclipse dura aproximadamente 7 minutos, y que la temporada de eclipses comienza aproximadamente días antes del equinoccio y finaliza días después. Cuánto duraría un eclipse que sucediera justo días después de un equinoccio? Suponer, para simplificar, que la órbita de la Tierra es circular. 3. Diseñar la órbita de un satélite heliosíncrono, circular, de km de altitud, que pase por Sevilla ( = 37,3 o N, =5,58 o O) a las 7: hora local (UT+) el 5 de Noviembre de 8. Dar los elementos del satélite en la época del de Noviembre de 8 a las :, sabiendo que en ese instante, GST = 4 h 4 m 35,3s. Emplear en primer lugar el propagador de los dos cuerpos (sin perturbaciones) y luego utilizar el propagador J medio. 4. ( ) Cuántos satélites geoestacionarios son necesarios para cubrir la superficie de la Tierra? (excluyendo los polos) En qué configuración? 5. ( ) Escribir las fórmulas para la maniobra de cambio de perigeo desde un perigeo inicial r pi a uno final r pf, para una órbita de apogeo r a. 6. Calcular y V/V i para el cambio de la línea de ápsides de una órbita de excentricidad e =,5, cuando el cambio del argumento del perigeo es! = 3 o, 45 o, 9 o, 8 o. 7. Se decide desorbitar (arrojar a la atmósfera para que se volatilice en la reentrada) un satélite en una órbita circular a km de altitud. Para ello se disminuye el perigeo a una altitud de km donde los efectos atmosféricos finalizarán el trabajo. Si la masa del satélite sin combustible es de 5 kg, cuánto combustible con I SP = s es necesario haber almacenado para completar la maniobra? 8. A una órbita inicial (a i = UD,e i =,,! i = ) se aplica un V =, UV con ángulo = 45 o en = 9 o. Describir la órbita alcanzada. 9. Desde la órbita inicial del anterior problema se quiere alcanzar una órbita final (a f =,5 UD,e i =,,! i = o ). Diseñar una maniobra de un impulso para realizar el cambio. Repetir con a f =,9 UD.. Dada una órbita circular de radio UD: a) Para transferir a un radio 5 UD comparar ( V TRANS,T TRANS ) para la transferencia de Hohmann y una transferencia rápida (tangencial sólo en el radio inicial) tal que a t =a HOHMANN. b) Para una transferencia a una órbita de radio 5 UD comparar ( V TRANS,T TRANS ) para la transferencia de Hohmann, una transferencia biparabólica y una bielíptica con radio exterior 5 UD.. ( ) Obtener razonadamente la expresión para V y la latitud para la maniobra genérica de cambio de plano orbital ( e i) de una órbita circular, manteniendo constantes el resto de elementos orbitales.. (*) Demostrar la optimalidad (mínimo V ) de la transferencia de Hohmann, dentro del conjunto de maniobras de dos impulsos entre órbitas circulares. 3. Se lanza un satélite (que se pretende situar en órbita ecuatorial) desde Cabo Kennedy situándose en una órbita de aparcamiento en LEO a 96 km de altitud. Elegir razonadamente un azimut de lanzamiento. Se desea alcanzar una órbita ecuatorial a una altitud de 74 km. Describir la maniobra necesaria, realizando una transferencia de Hohmann con cambio de plano en el segundo impulso. 4. Comparar, para una órbita circular de altitud h = km, una maniobra de cambio de inclinación i de un impulso con la maniobra restringida (óptima) de tres impulsos, para i = 5 o, 3 o, 45 o, 6 o, 8 o. 5. Un satélite terrestre tiene una órbita inicial definida por a = 5 UD y e =,7, y se pretende llevar a una órbita definida por a = UD y e =,3, sin que importe el cambio de la línea de ápsides. Considerar inicialmente que el impulso se realiza en el apogeo, y calcular el combustible consumido si I SP = s y m = kg. Para ampliar: Si el punto de aplicación del impulso es arbitrario, qué posibles maniobras de un impulso se pueden realizar para llevar a cabo el cambio de órbita? Plantear el problema de optimización. 6. Estudiar la puesta en órbita de un satélite geoestacionario desde Cabo Kennedy, supuesta una órbita de aparcamiento de altitud 3 km, y realizando el cambio de plano en el segundo impulso de Hohmann. Estudiar igualmente la puesta en órbita de un satélite Molniya desde Baikonur, con una órbita de aparcamiento de la misma altitud.

10 7. Estudiar una transferencia tipo Hohmann entre dos órbitas coplanarias elípticas definidas por (a i,e i ) y (a f,e f ) con la línea de ápsides coincidente (en dirección y orientación), y comprobar la regla de optimalidad (elegir siempre el mayor apogeo) usando dos casos particulares: primero para (,.) y (4,.5), y luego para (4,.7), (6,.). Si las órbitas cortan en un punto (que no sea ni perigeo ni apogeo), comparar la maniobra de un impulso para cambiar la órbita con la tipo Hohmann. 8. (*) Plantear el problema de optimización para la maniobra de Hohmann con cambio de plano i repartido entre los dos impulsos. 9. Diseñar los elementos orbitales de una constelación tipo Walker 5/3/ de inclinación 65 grados, altitud h = km, de forma que el primer satélite tenga =u = o.. Se tiene un satélite en una órbita geoestacionaria a una longitud geográfica de 5 o W. Describir la maniobra necesaria para ubicar dicho satélite en una longitud de o E. Si el combustible no permite realizar un V superior a, km/s, es posible realizar la maniobra? En caso afirmativo, describirla.. Un satélite heliosíncrono en una órbita circular de 5 kilómetros de altitud pasa por el Ecuador, cuando viaja de Sur a Norte, a las 7: hora solar media. A qué hora solar media pasa por la latitud 3 o cuando viaja de Norte a Sur? Realizar las simplificaciones que se crean necesarias, detallándolas y justificándolas.. ( ) Calcular la altitud de un satélite geoestacionario teniendo en cuenta la perturbación secular debida al J. 3. ( ) Demostrar la fórmula que aproxima la excentricidad para una frozen orbit de altitud constante. 4. ( ) Dada una órbita no ecuatorial, buscar los elementos orbitales que permiten, con la menor excentricidad posible, que un satélite en dicha órbita se encuentre una fracción f de su periodo (superior a la mitad) en el hemisferio Norte. Qué elementos orbitales habrá que fijar y a qué valores? 5. ( ) Comparar la maniobra de cambio de argumento del perigeo! de un impulso con la misma maniobra realizada con dos impulsos. Cuándo serámás costosa una que otra?

11 Problemas y cuestiones del Tema 8 (problemas o partes de problema marcados con *: para ampliar, con :problema teórico complementario a teoría). (*) Demostrar la fórmula de la esfera de influencia.. ( ) Dada la fórmula de V para una maniobra asistida por gravedad, demostrar el valor del máximo V teórico, así como la excentricidad de la hipérbola que corresponde a dicha maniobra máxima. Calcular dicho máximo para los planetas del Sistema Solar. 3. Cuáles son los elementos a y e de una órbita selenocéntrica si el punto de llegada de la órbita geocéntrica a la esfera de influencia lunar tiene v =,333 km/s, = o, = 3 o? Se trata de una órbita de impacto/alunizaje? 4. Estudiar una misión lunar para h = km, = 3 o y V i = V + V =,93 km/s. Cuál es el ángulo de fase y el tiempo de vuelo? Es una misión de impacto/alunizaje o de sobrevuelo? En el segundo caso, calcular el V necesario para obtener una órbita lunar circular en el mínimo radio de sobrevuelo. Repetir para = 6 o. 5. Repetir el problema anterior para unos valores iniciales de r i = 67 km, V i =,88 km/s, = 6 o. 6. ( ) Plantear el problema del cálculo del tiempo de escape de la esfera de influencia lunar, para una misión de sobrevuelo. Aplicar al problema Demostrar, para el caso = o, h = km, e inyección tangencial, que si la órbita geocéntrica es elíptica, la órbita selenocéntrica es siempre hiperbólica. 8. El Voyager tardó años en visitar Neptuno gracias a sus múltiples maniobras asistidas por gravedad. Cuánto tiempo habría tardado de no poder realizar dichas maniobras? (usar una transferencia tipo Hohmann) 9. Se pretende realizar una misión a Venus que consta de las siguientes fases: una primera fase con escape directo desde una órbita de aparcamiento de km de altitud. Una segunda fase que consiste en una transferencia de Hohmann heliocéntrica. Una tercera fase que consiste en adquirir una órbita venusiana con una altura de periapsis de 5 km y un periodo de h (se supone que la órbita de llegada tiene ya una periapsis con la altitud adecuada, gracias a correcciones realizadas durante el vuelo). Encontrar el coste energético total de la misión (km/s), y el tiempo de transferencia.. Se desea realizar una misión interplanetaria a Mercurio mediante una transferencia tipo Hohmann. Cuál es el tiempo de vuelo? Cuál es el ángulo de fase inicial que debe tener Mercurio? Si se perdiera una oportunidad de lanzamiento, cuánto tiempo tardaría en repetirse? Considerar las órbitas de la Tierra y Mercurio coplanarias en el plano de la eclíptica y circulares.. Se planea una misión Tierra-Saturno con cuatro fases: una primera fase con escape desde una órbita de aparcamiento de 8 km de altitud. Una segunda que consiste en una transferencia de Hohmann heliocéntrica hasta Júpiter. Una tercera en la que se realiza la maniobra asistida por gravedad, con una aproximación de radios jovianos. Finalmente una nueva órbita heliocéntrica hasta Saturno. Se pide: encontrar la órbita joviana, y describir la maniobra asistida por gravedad. Llega la nave a Saturno? (suponiendo éste adecuadamente ubicado en su órbita). En caso afirmativo, calcular la órbita de llegada, suponiendo una altitud de periapsis de km, y calcular V para circularizar la órbita.. El de Diciembre de 8 el ángulo de fase entre la Tierra y Urano es de o. Si se quisiera realizar una misión interplanetaria directa a Urano, mediante una transferencia de Hohmann, aproximadamente en qué fecha habría que realizar el lanzamiento? Si no se pudiera en dicha fecha, cuándo sería la siguiente oportunidad? Calcular el C 3 necesario, y el V para la inyección desde una órbita de aparcamiento a km. 3. Un cometa viaja en una órbita que se puede suponer parabólica, en el plano de la eclíptica, con el elemento orbital p =9AU. El cometa, antes de llegar a su perihelio, tiene un encuentro con Júpiter (µ X = 67995,4km 3 /s, L X =5, AU, R X = 749 km), pasando a una distancia de radios jovianos, que lo propulsa al interior del sistema solar. Hallar la órbita tras el encuentro (se puede modelar como una maniobra asistida por gravedad que deflecta la órbita en dirección al interior del sistema solar) y calcular si el cometa podría llegar hasta la órbita de la Tierra. 4. Como parte de una misión a Urano (Z) una sonda realiza una maniobra asistida por gravedad en Saturno (Y) a una distancia igual a seis veces el radio de Saturno. Suponiendo las órbitas de los planetas coplanarias en el plano de la eclíptica y circulares (de radio igual a su radio medio), se pide estudiar la maniobra sabiendo que la órbita heliocéntrica de la sonda, antes de su encuentro con Saturno (que sucede justo antes del afelio de la sonda), tiene como elementos a =5,8 AUy e =,7. Encontrar los elementos de la órbita heliocéntrica tras el encuentro y determinar si se alcanza o no la órbita de Urano. En caso afirmativo, cuánto se tardaría en alcanzar Urano desde Saturno?

12 5. La NASA decide diseñar una misión interplanetaria para visitar Júpiter (X). Para ello se pide comparar tres posibles escenarios: a) Viaje directo a Júpiter mediante una trayectoria elíptica con perihelio en la Tierra y e =,7, de forma que la llegada a la órbita de Júpiter sucede después del perihelio y antes del afelio. b) Viaje a Júpiter mediante una trayectoria parabólica (estando situado el perihelio de la parábola en la órbita de la Tierra). c) Viaje a Venus ( ) mediante una trayectoria parabólica (estando situado el perihelio de la parábola en la órbita de Venus), se realiza una maniobra asistida por gravedad (a una altitud de veces el radio de Venus) y se continúa hacia Júpiter. (Observación: La salida de la Tierra no es tangente). Suponiendo que se parte de una órbita geocéntrica de aparcamiento a 5 kilómetros de altitud, calcular para los tres casos si el escenario es viable (es decir si se puede llegar a Júpiter por dicho procedimiento), el V empleado a partir de la órbita de aparcamiento geocéntrica, el tiempo total de vuelo y el ángulo de fase que debe tener Júpiter el día del lanzamiento. Rellenar con los resultados la siguiente tabla: Escenario Viable o no viable? V (km/s) T vuelo (días) ( o ) a b c Si el día que se dé dicho ángulo la misión no se puede llevar a cabo, cuánto tiempo habría que esperar para que se repitiera el ángulo de fase? Elegir el escenario más favorable en términos de tiempo que no supere un V de 9km/s desde la órbita de aparcamiento, y para dicho escenario calcular el V adicional que sería necesario para dejar la sonda interplanetaria en una órbita circular en torno a Júpiter con un radio igual a veces el radio del planeta. 6. Resolver las maniobras de los problemas 3,4, y 5c utilizando fasores. Planeta Símbolo µ (km 3 /s ) Radio planetario (km) Distancia media al Sol (AU) Mercurio ' Venus Marte Júpiter X Saturno Y Urano Z Neptuno [ Plutón \ Valores de constantes físicas para planetas del Sistema Solar