Duración (intervalo) Número de servicios [0, 10) 8 [10, 20) 17 [20, 30) 14 [30, 40) 10 [40, 60) 11 Total 60

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1 Estadística I Ejercicios del Tema 2 Curso 2017/18 Problemas 1. En la siguiente tabla se recoge la distribución de frecuencias absolutas de la duración (en minutos) de 60 servicios de taxi con origen en cierto aeropuerto: Duración (intervalo) Número de servicios [0, 10) 8 [10, 20) 17 [20, 30) 14 [30, 40) 10 [40, 60) 11 Total 60 (a) Dibuja un histograma, teniendo en cuenta que no todas las clases tienen la misma amplitud. Calcula la altura de cada barra para que el área de cada rectángulo sea igual a la frecuencia relativa de su clase (Histograma de área total 1) (b) A partir del histograma, describe la forma de la distribución. Indica los intervalos modal y mediano. (c) A partir de la tabla de frecuencias, calcula (aproximadamente) la media y la varianza de la duración empleando las marcas de clase. 2. En la hoja datos_condenados_2016_ine del libro de Excel Datos_hoja2.xls se recoge información proporcionada por el INE 1 sobre la edad y el número de penas de los mayores de edad condenados por sentencia firme en (a) Representa las distribuciones de frecuencias relativas y acumuladas de la variable edad mediante un gráfico de barras. Qué información obtienes sobre la edad de los condenados? (Nota: si lo haces en Excel puedes representar simultáneamente ambas distribuciones a través de un gráfico combinado. Selecciona las frecuencias acumuladas como eje secundario ). 1 En la Estadística de condenados: Adultos, que se elabora a partir de la información procedente del Registro Central de Penados del Ministerio de Justicia. 1

2 (b) Representa la distribución de frecuencias relativas de la variable número de penas mediante un diagrama de sectores. Tienen sentido para esta variable los cuartiles y los percentiles? Si la respuesta es afirmativa obtén el percentil 80 e interprétalo. 3. A continuación se muestra un gráfico aparecido en el informe La Universidad Española en Cifras 2015/ Se pide: (a) Cuál es la variable de interés?, de qué tipo es? cuáles son la población y la muestra? (b) A partir del gráfico, obtén el máximo, el mínimo, la mediana, el primer y el tercer cuartil, el rango y el rango intercuartílico de la variable. Qué universidades ocupan cada una de estas posiciones? Interpreta los valores obtenidos. (c) Haz el gráfico que te parezca más apropiado para representar los datos y comenta lo que observas sobre su forma y sobre la posible presencia de datos atípicos. (d) Si se observan datos atípicos, calcula la media y la desviación típica de los datos con y sin los datos atípicos. Obtén también la mediana y el rango intercuartílico de los datos sin atípicos. Comenta los resultados obtenidos. (e) Teniendo el cuenta el dato que aparece al final del gráfico, indicando que el porcentaje total de alumnos de movilidad en las universidades públicas españolas es del 6, 18 %, cuál crees que ha sido el criterio empleado para seleccionar las 20 universidades mostradas en el gráfico? 4. El siguiente diagrama de barras representa la distribución de frecuencias acumuladas de cierta variable: 2 Editado por la Conferencia de Rectores de las Universidades Españolas (CRUE) con la colaboración de Santander Universidades. 2

3 (a) De qué tipo es la variable? (b) Deduce y representa la tabla de frecuencias absolutas (sin acumular) correspondiente. (c) Comenta la forma de la distribución. (d) Calcula la media y la desviación estándar de este conjunto de datos. (e) Calcula la moda, la mediana y los percentiles 20 y En la siguiente tabla se recoge el número de titulados universitarios del curso según la Comunidad Autónoma (CA) de la Universidad en la que obtuvieron su título (datos del INE, Encuesta de inserción laboral de titulados universitarios 2014). CA Núm. titulados Univ. Andalucía Aragón 4989 Asturias, Principado de 3947 Balears, Illes 1905 Canarias 4615 Cantabria 1751 Castilla y León Castilla - La Mancha 4924 Cataluña Comunitat Valenciana Extremadura 3767 Galicia Madrid, Comunidad de Murcia, Región de 6771 Navarra, Comunidad Foral de 3162 País Vasco 9744 Rioja, La 1005 Si la variable de interés es la CA de la Universidad en que los egresados obtuvieron su título: (a) De qué tipo es la variable y cuál es la población? (b) Qué distribución de frecuencias muestra la tabla anterior? (c) Qué medidas estadísticas podrías obtener para dicha variable? Haz un gráfico de Pareto para contrastar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, referidas a los titulados universitarios del curso : 3

4 (a) Menos de un 25 % de las Universidades concentran a más del 60 % de los titulados universitarios (b) La mediana de la distribución es Cataluña (c) Un 20 % de las CCAA concentra las Universidades de las que proceden más del 50 % de los titulados universitarios. (d) De las Universidades de un 35 % de las Comunidades Autónomas proceden menos del 10 % de los titulados universitarios. 6. A continuación se muestran dos gráficos publicados en El Mundo 3 sobre datos de difusión de la prensa española (OJD, Oficina de Justificación de la Difusión). (a) Te parecen adecuados?, por qué? (b) Representa adecuadamente los datos recogidos en dichos gráficos y compara los gráficos obtenidos con los que aparecieron publicados. 7. A continuación se muestran datos de la Encuesta de Condiciones de Vida (INE) correspondientes a los años 2014 y 2006 sobre el porcentaje de hogares con mucha dificultad para llegar a fin de mes por comunidades autónomas de septiembre de Fuente: blog Malaprensa 4

5 Comunidad Andalucía 24,3 16,8 Aragón 9,8 5,7 Asturias, Principado de 4,6 3,1 Balears, Illes 14,7 9,7 Canarias 19,5 18,4 Cantabria 15,2 9,3 Castilla y León 12,1 8,5 Castilla - La Mancha 15,9 10,7 Cataluña 12,2 11,3 Comunitat Valenciana 18,0 12,3 Extremadura 19,6 8,7 Galicia 20,8 11,9 Madrid, Comunidad de 12,4 8,8 Murcia, Región de 22,7 14,1 Navarra, Comunidad Foral de 4,2 6,6 País Vasco 11,5 5,2 Rioja, La 12,9 6,6 Ceuta 32,9 25,7 Melilla 12,9 15,9 En las siguientes tablas se recoge información sobre la variable porcentaje de hogares que tienen dificultades para llegar a fin de mes en cada uno de los periodos observados: Media 15,5895 Media 11,0158 Error típico 1,5677 Error típico 1,2385 Mediana 14,7 Mediana 9,7 Moda 12,9 Moda 6,6 Desviación estándar 6,8333 Desviación estándar 5,3986 Varianza de la muestra 46,6943 Varianza de la muestra 29,1447 Curtosis 1,1493 Curtosis 1,7247 Coeficiente de asimetría 0,6357 Coeficiente de asimetría 1,1245 Rango 28,7 Rango 22,6 Mínimo 4,2 Mínimo 3,1 Máximo 32,9 Máximo 25,7 Suma 296,2 Suma 209,3 Cuenta 19 Cuenta 19 (a) Representa los datos de 2006 y de 2014 a partir de sendos histogramas y compara sus distribuciones. Qué diferencias aprecias? (b) Para analizar la evolución del porcentaje de hogares con dificultades para llegar a fin de mes en el periodo , obtén los percentiles 20, 40, 60 y 80 de cada año. Escribe en forma de tabla estos datos para cada uno de los años, junto con los valores mínimo y máximo. Qué conclusiones puedes obtener? También puedes representar los datos de la tabla de forma simultánea en un gráfico. (c) Qué medida de centralización es más adecuada utilizar en cada caso y por qué? (d) En que año presentan mayor variabilidad los datos? (e) En cuál de los dos periodos, 2014 o 2006, la Comunidad de Madrid y la Comunitat Valenciana tienen peores resultados en relación con la situación de esos años? 5

6 Ejercicios con Excel 8. Empleando la base de datos SIMPSONS_data.xls, en la que se recogen algunas estadísticas sobre los 568 primeros episodios de los Simpson, contesta a las siguientes cuestiones: (a) Cómo se distribuye la importancia 4 de Homer y de Marge? Haz los gráficos y calcula las medidas que consideres oportunos para analizar la distribución de la importancia de ambos personajes considerando los siguientes aspectos: Forma de la distribución: simetría y curtosis Posibles datos atípicos. Tendencia central y variabilidad (b) Para comparar la importancia de los cuatro personajes protagonistas (Homer, Marge, Lisa y Bart): Representa conjuntamente los diagramas de cajas correspondientes. Qué puedes concluir? Compara la importancia media de cada uno de los protagonistas y su variabilidad. (c) Extiende el análisis anterior para comparar la importancia media de todos los personajes y haz un Gráfico de rectángulos en Excel para visualizar dicha comparación. Prueba con otro tipo de gráfico ( Gráfico radial ). Para ello, calcula todas las medias, selecciona las celdas en las que se encuentran e inserta el gráfico que quieras representar. (d) Se quiere analizar la evolución de los cuatro personajes principales a lo largo de las 26 temporadas. Concretamente, se quiere analizar qué personaje ha perdido más relevancia comparando su situación relativa en la primera temporada con la que ocupa en la última temporada. Para ello, selecciona los datos correspondientes a dichas temporadas y representa conjuntamente en un mismo gráfico los 8 box-plot. 9. Para obtener las puntuaciones promedio de cada país que miden el grado de cumplimiento en cada uno de los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible de la ONU se ha seleccionado previamente una serie de indicadores que tratan de dar información acerca del grado de cumplimiento en cada una de las metas definidas para cada objetivo. No obstante, recabar la información necesaria es en muchas ocasiones (para muchos países) inviable. No es el caso de otros países, que ya cuentan con mecanismos adecuados para la recogida de datos. Este el caso de los países miembros de la OCDE, y es por ello que hay indicadores extendidos que solo se recogen para este grupo de países. El fichero sdgi2017-data-web-final-ocde.xls contiene la misma información que el original sdgi2017-data-web-final.xls, pero solo para los países de la OCDE. Empleando el fichero de la OCDE, contesta a las siguientes cuestiones. (a) Utiliza los datos sobre uno de los indicadores del ODS 5 (Igualdad de Género) que está recogido en la columna BA, [OCDE-only] Women in national parliaments ( %), y que representa el porcentaje de mujeres parlamentarias. Haz los gráficos y calcula las medidas que consideres oportunas para analizar la distribución de dicho indicador en los países de la OCDE: Forma de la distribución: simetría y curtosis Posibles datos atípicos. Tendencia central y variabilidad (b) Volviendo sobre los datos de todos los países, analiza la distribución de las puntuaciones medias en el ODS 12 (Producción y consumo responsables), que aparece en la columna HV. Representa los datos a través de un histograma y calcula las medidas que consideres oportunos para analizar la distribución. (c) Empleando la información de la variable Income group in 2016, en la columna K, obtén el valor medio, la mediana, la desviación estándar y el coeficiente de variación para cada uno de los grupos y compáralos. Qué concluyes acerca del grado de cumplimiento del ODS 12 de los países atendiendo a su nivel de ingresos? Haz los gráficos y tablas que consideres oportunos para ilustrar tu conclusión. 4 medida como el número de palabras que dice el personaje en un episodio. 6

7 Ejercicios de Exámenes de cursos pasados 10. (Examen mayo 2015) Se quiere determinar el impacto económico de los negocios de una gran compañía en las ventas totales de pequeñas empresas. Para ello se obtiene una muestra de 15 de esas peque nas empresas y se toman los porcentajes del total de ventas anual de las 15 pequeñas empresas como resultado de las ventas a la gran compañía: ,9 1,2 0,1 1 0,1 5,3 7, ,2 3 7 (a) Es la media muestral de los 15 porcentajes mayor que la mediana muestral? En caso afirmativo, qué sugiere este resultado? Justifica tus respuestas. (b) Calcular los tres cuartiles muestrales. Interpretarlos en términos de los porcentajes. (c) Calcular la cuasi-varianza y el coeficiente de variación de la muestra de 15 porcentajes. (d) Dibujar un diagrama de caja de los datos e identificar los atípicos (si hubiere). Justifica tu respuesta. 11. (Examen junio 2015) En las siguientes tablas se recoge información acerca del PIB y de la tasa de paro de las Comunidades Autónomas españolas: Responder a las siguientes cuestiones, justificando cada una de ellas: (a) Completar los datos que faltan en la Tabla 2. (b) Cuál de las dos variables tiene mayor variación? (c) Determinar el grupo de Comunidades Autónomas formado por el 15 % de las que tienen mayor PIB. (d) Dibujar el diagrama de caja (box-plot) para la tasa de paro. Qué forma presenta la distribución? (e) A partir del box-plot anterior, determinar si hay atípicos y/o atípicos extremos. Identificar de qué comunidades se trata. 12. (Examen mayo 2016) En las siguientes tablas se recoge información acerca de 10 empresas del IBEX 35. En concreto, se tienen tres variables X 1 = retribución media del consejo de dirección, X 2 = retribución media de la alta dirección y X 3 = gasto medio por empleado (expresadas en millones de euros). Fuente: El País, 8 de Mayo de

8 Tabla 1 / Table 1 Empresa / Company X1 X2 X3 Figura 1 / Figure 1 BBVA 0,985 1,144 0,455 ACS 0,667 0,540 0,401 FCC 0,720 0,650 0,323 Inditex 1,270 1,730 0,231 A Acciona 0,463 0,590 0,390 Santander 1,484 2,580 0,586 IAG 1,220 2,440 0,809 Iberdrola 0,920 1,979 0,894 Ferrovial 1,330 1,800 0,391 Telefónica 1,240 1,869 0,491 B Tabla 2 / Table 2 X1 X2 X3 Media / Mean 1,030 0,497 Mediana / Median 1,765 0,428 Desv. típica / Standard dev. 0,333 0,756 0,210 Varianza / Variance 0,572 0,044 Q1 0,770 0,774 0,390 Q3 1,263 1,952 Responder a las siguientes cuestiones: (a) Completar los datos que faltan en la Tabla 2. (b) Respecto de la variable X 2, determinar la forma de su distribución. Justificar la respuesta. (c) Cuál de las tres variables tiene mayor dispersión? Justificar la respuesta. (d) Determinar si la variable X 3 tiene algún dato atípico. Justificar la respuesta. (e) Indicar a qué variables (X 1, X 2, X 3 ) corresponden los diagramas de caja (box-plot) A y B de la Figura 1. Justificar la respuesta. (f) Se sabe que la correlación entre X 1 y X 3 es 0,175 y, por otro lado, que la covarianza entre X 2 y X 3 es de 0,093. Es cierto que la relación lineal entre X 3 y X 1 es más fuerte que entre X 3 y X 2? Justificar la respuesta. (Nota: esta pregunta corresponde al Tema 3) 13. (Examen Junio 2016) Se dispone de la siguiente información acerca de 10 empresas del Dow Jones: X 1 = sueldo de ejecutivo mejor pagado (en millones de dólares) y X 2 = precio de la acción (en dólares). Fuente: El País, 8 de Mayo de Tabla 1 / Table 1 Figura 1 / Figure 1 X1 X2 44,91 106,11 27,29 87,81 24,2 53,95 23,79 113,69 23,37 29,97 22,58 158,31 22,03 100,31 21,98 64,21 A 20,01 110,68 19,82 147,6 B C a) Para la variable X 2, dibujar el diagrama de caja (box-plot) e identificar los atípicos (si los hubiere). Justificar la respuesta. 8

9 b) Determinar si X 1 y X 2 presentan el mismo tipo de asimetría. Justificar la respuesta. c) Determinar cuál de los diagramas de caja (A, B, C) corresponde a la variable X 1. Justificar la respuesta. d) Sabiendo que 1 euro = 1,14 dólares, obtener el sueldo medio de estos ejecutivos (en millones de euros) y la varianza. 14. (Examen Mayo 2017) La siguiente tabla muestra los valores del Indice de Desarrollo Humano (IDH) para diferentes países de África, América y Europa en el año África 0,348 0,411 0,413 0,416 0,419 0,646 0,666 0,684 0,69 0,698 0,721 0,724 0,736 0,772 0,777 América 0,483 0,666 0,679 0,714 0,715 0,772 0,78 0,783 0,785 0,79 0,793 0,827 0,847 0,919 0,923 Europa 0,693 0,751 0,754 0,761 0,771 0,899 0,907 0,907 0,908 0,916 0,916 0,922 0,923 0,93 0,944 Responda a las siguientes cuestiones: (a) Halle los tres cuartiles para cada uno de los tres continentes. Verifique para cada uno de los continentes la existencia o no de datos atípicos. (b) Represente el diagrama de cajas correspondiente al continente americano en el hueco que le corresponde en el gráfico que aparece a continuación. Determine la forma de cada distribución y compárelas. Qué medidas de centro y variabilidad resultan más adecuadas en cada caso? (No es necesario calcularlas) (c) Discuta la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones basándose en el valor de los cuartiles obtenidos: 1) El 50 % de los países de África que aparecen en la tabla tiene un IDH que está por debajo del nivel alcanzado por cualquiera de los países de Europa que aparecen en la tabla. 2) El 75 % de los países de América que aparecen en la tabla tiene un IDH que está por encima del valor alcanzado por los países de África que aparecen en la tabla. (d) El IDH se puede clasificar de la siguiente manera: Muy Alto [0, 8; 1); Alto [0, 7; 0, 8); Medio [0, 55; 0, 7) y Bajo [0; 0, 55). A continuación se representa la tabla de contingencia para la variable continente (X) y la variable IDH categorizada (Y ): X / Y Bajo, (0; 0, 55) Medio, [0, 55; 0, 7) Alto, [0, 7; 0, 8) Muy alto, [0, 8; 1) África América Europa Qué porcentaje de los países que tienen un IDH Alto o Muy alto pertenecen a Europa? De los países con un IDH inferiores a 0, 55, qué porcentaje pertenece al continente Africano? (Nota: esta pregunta es sobre contenido del Tema 3) 9