ESTRUCTURAS DISCRETAS

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1 ESTRUCTURAS DISCRETAS Grado en Ingeniero en Computadores Universidad de Alcalá Curso Académico 2014/2015

2 Primer Curso Segundo Cuatrimestre GUÍA DOCENTE Nombre de la asignatura: Código: Titulación en la que se imparte: Departamento y Área de Conocimiento: Carácter: Créditos ECTS: 6 Estructuras discretas Ingeniería en Informática Ciencias de la Computación Curso y cuatrimestre: Primero / Segundo Profesorado: Horario de Tutoría: Idioma en el que se imparte: Español 1. PRESENTACIÓN La asignatura de Estructuras Discretas es una asignatura de formación básica que pertenece a la materia de Algoritmia y Complejidad. Objetivos: 1. Conocer las técnicas avanzadas de recuentos y de la teoría de grafos, y los conceptos básicos de la probabilidad discreta y de la lógica de proposiciones 2. Adquirir herramientas y destrezas para realizar los problemas de forma adecuada. 3. Usar el lenguaje matemático de forma correcta. 4. Relacionar los conceptos matemáticos con los informáticos. 5. Conocer y aplicar los algoritmos propios del contenido de la asignatura. 6. Valorar positivamente la utilización de aplicaciones informáticas para agilizar los cálculos de la resolución de problemas 7. Valorar la modelización y la resolución de problemas concretos mediante la aplicación de los contenidos de la asignatura. 2

3 Recomendaciones Poseer los conocimientos básicos de combinatoria y de teoría de conjuntos. Se recomienda haber superado la asignatura de Fundamentos Matemáticos, que se imparte en el primer cuatrimestre. 2. COMPETENCIAS Esta asignatura, y de forma más amplia la materia de la que forma parte, desarrolla en el alumno las siguientes competencias: Competencias de la materia: 1. Explicar con ejemplos la terminología básica de funciones, relaciones y conjuntos. Operar con conjuntos, funciones y relaciones, relacionar ejemplos prácticos con los conjuntos, funciones o relaciones apropiados. 2. Demostrar principios básicos de conteo, incluyendo el uso de la diagonalización y el principio del palomar. 3. Aplicar los métodos formales de la lógica proposicional. Describir cómo las herramientas de la lógica son usadas para modelizar algoritmos y situaciones de la vida real. Describir la importancia y las limitaciones del cálculo de predicados. 4. Esbozar la estructura básica y dar ejemplos de las distintas técnicas de pruebas formales. Discutir qué tipo de prueba es la más apropiada para cada problema. Relacionar la idea de inducción matemática con la de recursión y definir estructuras recursivas. 5. Calcular permutaciones y combinaciones de un conjunto e interpretar su significado en aplicaciones concretas. 6. Resolver ciertas ecuaciones recursivas. Analizar un problema creando ecuaciones recursivas identificando cuestiones importantes de conteo. 7. Ilustrar, mediante ejemplos, la terminología básica de teoría de grafos y algunas de las propiedades y casos especiales. Comprender y manejar distintos métodos de recorridos en árboles y grafos. Modelizar problemas informáticos usando grafos y árboles y relacionar éstos con estructuras de datos, algoritmos y problemas de conteo. 8. Calcular probabilidades de eventos y esperanzas de variables aleatorias para problemas elementales. Diferenciar entre eventos dependientes e independientes. Aplicar el teorema binomial a eventos independientes y el de Bayes a dependientes. 9. Aplicar las herramientas de la probabilidad para resolver problemas como métodos Montecarlo, análisis en media de algoritmos y hashing. 10. Discutir la representación y el uso de tipos de datos primitivos. 11. Conocer, implementar en un lenguaje de alto nivel, discutir el uso de memoria y comparar distintas implementaciones de las estructuras de datos fundamentales (pilas, listas, colas, grafos, árboles,...); así como aplicaciones comunes de las mismas y escoger las más apropiadas para modelizar problemas concretos. 12. Comparar y contrastar los costes y beneficios de las implementaciones estáticas y dinámicas de las distintas estructuras de datos. 3

4 13. Describir el concepto de recursión y dar ejemplos de su uso. Identificar el caso base y el caso general de un problema definido recursivamente y comparar soluciones iterativas y recursivas a problemas elementales. Implementar, probar y depurar funciones recursivas e indicar cómo puede implementarse recursión empleando pilas. 14. Describir las técnicas de "divide y vencerás" y "backtracking" discutiendo cuándo son apropiadas para la resolución de un problema. 15. Explicar el uso de las notaciones usuales para describir la cantidad de recursos empleados por un algoritmo. Determinar la complejidad en tiempo y espacio de algoritmos sencillos y deducir relaciones recursivas que describan la complejidad en tiempo de algoritmos definidos recursivamente. 16. Describir e identificar problemas en los que se apliquen las estrategias algorítmicas siguientes: fuerza bruta, algoritmos voraces, divide y vencerás, backtracking, corta y poda, algoritmos heurísticos y pattern match. 17. Comprender e implementar los algoritmos usuales de ordenación y búsqueda. Implementar y diseñar funciones de hash apropiadas a cada aplicación así como algoritmo de resolución de colisiones. Resolver problemas empleando los algoritmos fundamentales sobre grafos. 18. Comprender el concepto de máquina de Turing y relacionar dicho concepto con el de algoritmo. Discutir la existencia de problemas no resolubles e indicar algunos ejemplos. Comprender las distintas nociones de complejidad y definir las principales clases (P, NP, BPP,...). Discutir la importancia de la NPcompletitud y saber probar que un problema es NP-completo mediante reducciones. 19. Ser capaz de llevar a cabo análisis amortizados. Explicar por qué el análisis competitivo es una buena medida para algoritmos online. Explicar el uso de la randomización para problemas en los que fracasan algoritmos deterministas. Diseñar e implementar estrategias de programación dinámica para la solución de problemas. 20. Describir y analizar distintos algoritmos para el cálculo de la envolvente convexa. Justificar la cota inferior Omega(N log N) para el cálculo de dicha envolvente. Describir algún algoritmo eficiente en Geometría Computacional. Competencias genéricas: 1. Capacidad de análisis y síntesis. 2. Capacidad de planificación y programación. 3. Comunicación oral y escrita. 4. Capacidad de gestión de la información. 5. Resolución de problemas. 6. Toma de decisiones. 7. Trabajo en equipo. 8. Razonamiento crítico. 9. Aprendizaje autónomo. 10. Adaptación a nuevas situaciones y creatividad. 11. Motivación por la calidad y la mejora continua. 12. Capacidad de aplicar los conocimientos a la práctica. Competencias específicas: 4

5 Cognitivas (saber) 1. En esta asignatura el alumno aprenderá conceptos básicos de lógica proposicional y de probabilidad discreta, conceptos avanzados de combinatoria y teoría de grafos, y aprenderá las principales técnicas recursivas. 2. Deberá ser capaz de explicar adecuadamente los conceptos teóricos y las propiedades relacionadas con éstos 3. Deberá adquirir habilidad y destreza para resolver problemas relacionados con el contenido de la asignatura 4. Deberá obtener capacidad para entender y manejar el lenguaje matemático para expresar sus ideas 5. Dotará al alumno de unas capacidades mínimas de cálculo, abstracción, concreción, concisión, imaginación, intuición, razonamiento, crítica, objetividad, síntesis y precisión. Procedimentales (saber hacer) 6. Gestión de la información. 7. Toma de decisiones. 8. Técnicas de resolución de problemas. 9. Planificación, organización y estrategias. Actitudinales (ser) 10. Mostrar actitud crítica y responsable. 11. Mostrar interés en la adquisición de conocimientos. 12. Valorar el aprendizaje autónomo. 13. Valorar la importancia del trabajo en equipo. 14. Respetar las decisiones y opiniones ajenas. 3. CONTENIDOS Bloque 1. Lógica. Tema 1. Lógica. 1.1 Proposiciones y conectivos. 1.2 Implicación, equivalencia y tautologías. 1.3 Predicados y cuantificadores. 1.4 Métodos de demostración. Bloque 2. Combinatoria. Tema 2. Técnicas básicas de recuento 5

6 2.1 Cardinal de un conjunto. 2.2 Principios básicos de recuento. 2.3 Variaciones, permutaciones y combinaciones. 2.4 Principio de inclusión y exclusión. Aplicaciones Tema 3. Técnicas avanzadas de recuento. 3.1 Funciones generadoras. 3.2 Particiones de un entero Particiones y funciones generadoras Cálculo de las particiones de un número entero. Tema 4. Relaciones de recurrencia. 4.1 Conceptos básicos. 4.2 Métodos de resolución Resolución de relaciones de recurrencia lineales homogéneas Resolución de relaciones de recurrencia lineales no homogéneas. Bloque 3. Teoría de Grafos. Tema 5. Introducción a la teoría de grafos 5.1 Terminología básica y tipos de grafos. 5.2 Representación de grafos e isomorfismo de grafos. 5.3 Caminos y ciclos. Conexión. 5.4 Caminos mínimos: Algoritmo de Dijkstra. 5.5 Árboles: definiciones, propiedades y ejemplos. 5.6 Árbol generador de un grafo Tema 6. Grafos y redes. 6.1 Grafos planos. 6.2 Coloración de grafos. 6.3 Emparejamientos en grafos bipartidos Condición de Hall para emparejamientos completos Emparejamientos máximos. 6.4 Redes de transporte Teorema del flujo máximo y del corte mínimo Algoritmo de etiquetaje del flujo máximo Algoritmo para obtener emparejamientos máximos. Bloque 4. Probabilidades Tema 7. Introducción a la Probabilidad. 7.1 Probabilidad discreta. 7.2 Variables aleatorias discretas. 7.3 Distribuciones discretas. 7.4 Algoritmos Monte Carlo. 6

7 Programación de los contenidos Unidades temáticas Temas Total horas, clases, créditos o tiempo de dedicación (*) Lógica Lógica 8 horas Combinatoria Técnicas de recuento 14 horas Recursividad Recursividad 8 horas Teoría de Grafos Grafos y redes 20 horas Probabilidades Introducción a la Probabilidad 6 horas 4. METODOLOGÍAS DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE.-ACTIVIDADES FORMATIVAS 4.1. Distribución de créditos (especificar en horas) Número de horas presenciales: Número de horas del trabajo propio del estudiante: Total horas Clases teóricas y prácticas 56 horas Pruebas de Evaluación: 4 horas 90 horas 150 horas 4.2. Estrategias metodológicas, materiales y recursos didácticos 7

8 En el proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos anteriormente reseñados se emplearán algunas de las siguientes actividades formativas: Clases Teóricas. Clases Prácticas: resolución de problemas. Clases Prácticas: laboratorio. Tutorías: individuales o grupales. Además se podrán utilizar, entre otras, las siguientes actividades formativas: Trabajos individuales o en grupo: realización, exposición y debate científico. Asistencia a conferencias, reuniones o discusiones científicas relacionadas con la materia. Se podrán emplear las Tecnologías de la Información y la Comunicación como apoyo a las actividades formativas (uso de Internet, foros y correo electrónico, materiales disponibles en las plataformas de tele-formación, etc.). Estrategias metodológicas Clases presenciales Sesiones teóricas: presentación de conceptos y fórmulas en el aula. Sesiones prácticas de problemas: aplicación conceptos y fórmulas aprendidos a la resolución de problemas. Sesiones prácticas de laboratorio: utilización de aplicaciones informáticas en la resolución de problemas. Actividades y presentaciones orales: presentación por parte de los alumnos a sus compañeros y al profesor de trabajos realizado individualmente o en grupo. Pruebas parciales: durante el curso el profesor propondrá diversas pruebas parciales para revisar la adquisición de conocimientos y la aplicación de los mismos. 8

9 Trabajo autónomo del alumno Realización de actividades: ejercicios, trabajos, resúmenes, esquemas,. Preparación de trabajos, individualmente o en grupo. Consulta de fuentes y recursos bibliográficos o electrónicos. Estudio independiente. Materiales y recursos Software matemático Bibliografía de referencia, libros electrónicos, enlaces de sitios web. 5. EVALUACIÓN: Procedimientos, criterios de evaluación y de calificación 1 El sistema de calificación se ajustará al RD 1125/2003 por el cual se regula el sistema de créditos ECTS. Los estudiantes se acogerán a los procedimientos de evaluación según lo articulado en el titulo 2 (art. 9 y 10) de la Normativa de Evaluación de los Aprendizajes de la UAH. 1 Siguiendo la Normativa reguladora de los procesos de evaluación de los aprendizajes, aprobada en Consejo de Gobierno de 24 de Marzo de 2011, es importante señalar los procedimientos de evaluación: por ejemplo evaluación continua, final, autoevaluación, co-evaluación. Instrumentos y evidencias: trabajos, actividades. Criterios o indicadores que se van a valorar en relación a las competencias: dominio de conocimientos conceptuales, aplicación, transferencia conocimientos. Para el sistema de calificación hay que recordar la Normativa del Consejo de Gobierno del 16 de Julio de

10 Criterios de evaluación Formular y estudiar la validez de los razonamientos lógicos Dominio de los métodos de recuento. Resolución de problemas de recuento y de probabilidad discreta Conocimiento de los conceptos fundamentales de grafos y redes. Aplicación de los algoritmos más relevantes Instrumentos de evaluación Pruebas escritas de carácter teórico-práctico Pruebas escritas de carácter teórico-práctico Pruebas escritas de carácter teórico-práctico 14% 58% 28% Porcentaje El sistema de evaluación continua que se propone consta de varios exámenes escritos de carácter teórico/práctico (PEC) y de la realización de prácticas/problemas en las clases de Laboratorio. Las fechas de los distintos tipos de pruebas serán indicadas por los profesores de la asignatura. Los alumnos que no sigan la evaluación continua deberán solicitar el correspondiente permiso, al Director de la ETSII, durante los primeros quince días de clase. Además, deberán ponerse en contacto con el profesor para conocer las características del correspondiente examen final. La fecha de este examen se publicará en el calendario oficial de exámenes de la ETSII. Además, se realizará un examen extraordinario en el mes de junio para los que no hayan superado la evaluación continua o el examen final. El examen contendrá tanto cuestiones teóricas como prácticas, ajustándose siempre a los contenidos y objetivos de la materia. La fecha de este examen también se incluye en el calendario de exámenes de la Escuela. Se considerará no presentado aquel alumno que no realice el total de las pruebas que constituyen la evaluación continua o cualquiera de sus sistemas de evaluación equivalentes. 6. BIBLIOGRAFÍA Bibliografía Básica: Rosen, K.: Matemática Discreta y sus Aplicaciones. Ed. McGraw-Hill García Merayo, F. y otros: Matemática Discreta. Ed. Thomson Paraninfo

11 García Merayo, F. y otros: Problemas resueltos de Matemática Discreta. Ed. Thomson Paraninfo Biggs, N.L.: Matemática Discreta. Vicens Vives Bibliografía Complementaria: Johnsonbaugh R.: Matemáticas discretas. Ed. Prentice-Hall, 2005 Grimaldi, R.P.: Matemática Discreta y combinatoria. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Ebooks de la materia de la Biblioteca de la Universidad Cursos masivos online abiertos, MOOC Software online, (e.g., Wolfram/Alpha). 11