ÌÊÁ ÇÆÇÅ ÌÊ ÇÅ ÌÊ Æ Ä ÌÁ Ù Ð Ô Ö ¼ Ð ÓÒ ÙØÓÖ ÂÓ Ò ÝÖÓÒ Ò º Ý Ð Ò ÖÓ Ù Ø Ñ ÒØ Åº Ò Ð Ö Âº Ç Ö ÁÚ Ò Ö Ð Ó º ÂÓ Å ÒÙ Ð Â Ñ Ò Þ Íº Ð Ò ÙÖÓÖ Ä Ò Áº Ò Ä Ô Þ

Transcripción

1

2 ÌÊÁ ÇÆÇÅ ÌÊ ÇÅ ÌÊ Æ Ä ÌÁ Ù Ð Ô Ö ¼ Ð ÓÒ ÙØÓÖ ÂÓ Ò ÝÖÓÒ Ò º Ý Ð Ò ÖÓ Ù Ø Ñ ÒØ Åº Ò Ð Ö Âº Ç Ö ÁÚ Ò Ö Ð Ó º ÂÓ Å ÒÙ Ð Â Ñ Ò Þ Íº Ð Ò ÙÖÓÖ Ä Ò Áº Ò Ä Ô Þ Êº Å ÙÖ Ó Ò Ö Ç ÓÖ Ó Äº ÖÐÓ Ù Ù ØÓ Î Ð Þ Äº ØÖ Þ Î ÐÐ Ë Í Ä Å Ì ÅýÌÁ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁ Æ ÁÇÆ Ä ÇÄÇÅ Á Ë Å ÄÄ Æ

3 Ì Ð ÓÒØ Ò Ó Ä Ò È Ò ½ ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ Á ½ Ê Ø Ö ÝÓ Ý ÔÐ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÖÙÒ Ö Ò Ý ÖÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ýò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ ÁÁ ýò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ý ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ø Ñ Ü Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ù Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º ýò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º º º º º º º º º º ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ ÁÁÁ ÁÒØ Ö Ò Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ý Ô Ö Ð Ð ÑÓº º º º º º º º º º º º ýò ÙÐÓ Ý Ö Ø Ô Ö Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÌÖ Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ ÁÎ ½ ÌÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÌÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ Î ½ Ð Ò ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ù Ð Ó º º º ½ Ê Ø Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÐØÙÖ Ñ Ò Ý ØÖ Þ º º º º º º º º º º º º ½ ÌÖ Ò ÙÐÓ Ð Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Á ¾½ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ Ê ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Ê Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÁ ¾ Ê Ð ÓÒ ÓÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÔÖÓÜ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Å ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Óº º º º º º º º º º º ¾ Å Ò ÙÐÓ Ø Ñ ÖÙÐ Ö ½ Å Ò ÙÐÓ Ò Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ó Ü Ñ Ð ¹ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ

4 È Ò Ê Ð ÓÒ Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ½½ Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ô Ð Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ 45 º º º º º º º º º º Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ 60 Ý 30 º º º º º º ½¾ ËÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Á Ì Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Í Ó ÐÙÐ ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ö Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º Ê ÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ËÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÁÁ ½ ÓÖÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Á ýò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ý ÔÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÁÁ ½ Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÒ ÓÒ Á Ò Ò ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÙÒ ÙÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½ ÙÒ ÓÒ ÁÁ Ä ÙÒ Ò f(x) = 1 x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä ÙÒ Ò g(x) = 1 x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÒ ÓÒ ÁÁÁ ÌÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ Ð ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ýò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò Á ýò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ¾½ ýò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò ÁÁ ýò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ýò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Á ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÁÁ Ú

5 Ë ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÁÁÁ ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÁÎ ½¼ ýò ÙÐÓ Ö Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Î ½¼ Ê Ù Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ È Ö Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÎÁ ½½½ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º ½½½ ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÎÁÁ ½½ ÙÒ ÓÒ ( θ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÙÒ ÓÒ Ô Ö ÑÔ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Á ½½ ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼ ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ z = sent Ý z = cost º º º º º º º º º º º º ½¾½ ¼ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÁ ½¾ ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÁÁº ½ ½ ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÎ ½ ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÒØ ÓØ Ò ÒØ Ý Ó ÒØ º º º º ½ È Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Î ½ ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÎÁ ½ ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÒØ Ý Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ð ÙÒ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ý ÔÐ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð Á ½ ½ Ð Ø Ò Ý ÓÑÔÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ Ê Ü Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê Ü Ò Ö Ô ØÓ Ð Ú ÖØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ý ÔÐ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð ÁÁ ½ È Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ asenbx Ý acosbx º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú

6 ÌÖ Ð ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÒ ÓÒ y = asen(bx+c) Ý y = acos(bx+c) Ý Ù Ö º º º º º º º º ½ ÌÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asen(bx+c)+d Ý y = acos(bx+c)+d ½ ÌÖ Ð ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÙÒ ÓÒ y = asen(bx+c) Ý y = acos(bx+c) Ý Ù Ö º º º º º º º º ½ ÌÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁ ½ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁÁ ¾ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÎ ½ ½ ½ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Î ½ ÖÑÙÐ Ò Ý Ù ØÖ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Á ÒØ Ó ÙÒ Ò ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ Á ÒØ Ó ÙÒ Ò ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÎÁ ½ ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÖÑ Asenx+Bcosx º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÎÁÁ ½ Á ÒØ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Á ÒØ Ð ÙÑ Ð ÔÖÓ ÙØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÎÁÁÁ ¾¼½ Á ÒØ Ò ÙÐÓ Ó Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ Á ÒØ ÔÖÓ ÙØÓ ¹ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¾ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Á ¾¼ ÖÑÙÐ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¾¼ Ä Ý Ó ÒÓ Á ¾½ Ê ÓÐÙ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ Ä Ý Ó ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¼ Ä Ý Ó ÒÓ ÁÁ ¾½ ½ Ä Ý ÒÓ Á ¾¾½ Ä Ý ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾½ ¾ Ä Ý ÒÓ ÁÁ ¾¾ Ú

7 Ä Ý ÒÓ ÁÁÁ ¾¾ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Á Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁÁ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÎ Ä Ò Ö Ø Á Ä Ò Ö Ø ÁÁ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ Ä Ò Ö Ø ÁÁÁ ¾ ½ Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ ½ Ä Ò Ö Ø ÁÎ ¾ Ê Ø Ô Ö Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ä Ò Ö Ø Î ÑÔÐÓ ÓÒ Ð ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ö Ø ÎÁ ¾ Ê Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ö Ø ÎÁÁ ¾ ÑÔÐÓ ÓÒ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ýò ÙÐÓ ÒØÖ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ò Ö Ø ÎÁÁÁ ÑÔÐÓ ÓÒ Ð ¾ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½ Ä ÖÙÒ Ö Ò Á ¾ Ò Ò Ý Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò (0,0) Ý Ö Ó r > 0 º º º º º º º º ¾ Ä ÖÙÒ Ö Ò ÁÁ ¾ Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (h,k) Ý Ö Ó r º º º º º º º ¾ Ä ÖÙÒ Ö Ò ÁÁÁ ÌÖ Ð Ò ¾ ¾ ¼ È Ö ÓÐ Á ¼ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ù Ò Ð È Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½ È Ö ÓÐ ÁÁ ¼ Ú

8 ¾ È Ö ÓÐ ÁÁÁ ½ È Ö ÓÐ ÁÎ ½ È Ö ÓÐ ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó º º º º º º º º º º º º ½ È Ö ÓÐ Î ¾½ Ä Ð Ô Á ¾ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ù Ò ÙÒ Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ä Ð Ô ÁÁ ¾ Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ØÖ Ó ÙÒ Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ö Ð Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ò ( c,0) Ý (c,0)º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ä Ð Ô ÁÁÁ Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ò (0,c) Ý (0, c)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ä Ð Ô ÁÎ Ð Ô ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (h,k) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ô Ö ÓÐ Á ½ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ À Ô Ö ÓÐ ÁÁ Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ ¹ ¼µ Ý ¼µ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ À Ô Ö ÓÐ ÁÁÁ Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ ¼ ¹µ Ý ¼ µ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾ À Ô Ö ÓÐ ÁÎ À Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ó Ö Ó Ý Ö Ñ Ò ÒØ º ÔÐ ÓÒ Ð Ò Á ½ ÔÐ ÓÒ Ð Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÔÐ ÓÒ Ð Ò ÁÁ ÔÐ ÓÒ Ð Ô Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÐ ÓÒ Ð Ô Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î ØÓÖ Ð Ö Ó ËÙÑ Ý ÔÖÓ ÙØÓ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ò ØÙ Ý Ö Ò Ú

9 Ù Ò Ú ØÓÖ Ð Ð Ö Ø Ù Ò Ò ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ð Ö Ø ÈÖÓ ÙØÓ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù Ò Ð Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ÔÐ ÓÒ Ð ½ Ê ÔÙ Ø Ö Ó Ð ÓÒ Ó Ð Ó Ö ¾½ Ü

10

11 ÈÖ ÐÓ Ó ÍÒÓ ÐÓ Ó Ø ÚÓ Ð ËÓ ÓÐÓÑ Ò Å Ø Ñ Ø Ë Åµ Ð Ñ ÓÖ Ñ ÒØÓ Ð Ò ÒÞ Ý Ð Ù Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ò ÒÙ ØÖÓ Ñ Óº Ì Ò Ò Ó ÔÖ ÒØ Ø Ó Ø ÚÓ Ð Ó ÖÒ Ò ÒØ ÓÕÙ ÒÚ Ø Ð Ë Å Ö ÙÒ ÔÐ Ò ØÖ Ó Ô Ö Ñ ÓÖ Ö Ð Ò ÒÞ Ð Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÕÙ º Ä Ö ÞÓÒ Ø ÒÚ Ø Ò Ú Ò Ö Ò ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ò Ð Ö Å Ø Ñ Ø Ð ÔÖÙ Ë Ê Ñ ÝÓ ¾¼½¾µ Ý ÐÓ Ü Ñ Ò Ñ Ò Ð ÍÒ Ú Ö ÒØ ÓÕÙ Ñ ÝÓ ¾¼½¾µ Ý Ò ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ð ÈÖÙ Å Ø Ñ Ø Ò¹ Ø ÓÕÙ ÇÐ ÑÔ Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ó ¾¼½¾µ Ð ÒÓØ ÔÖÓÑ Ó Ò Å Ø Ñ Ø ÓÒ Ö Ò Ó ØÓ ØÖ Ü Ñ Ò Ù ½º Ó Ö º ÓÒ Ð Ò Ò Ö ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ó Ò Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÓ ØÙ ÒØ ÐÓ ÐØ ÑÓ Ö Ó Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ò Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÕÙ Ð Ë Å Ð ÈÐ Ò Ñ ÓÖ Ñ ÒØÓ Ð Ò ÒÞ Ý ÔÖÓÔ Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ò Ø ØÙ ÓÒ Ù Ø Ú ÒØ ÓÕÙ º Ø Ø ÜØÓ ÕÙ ÐÐ ÓÝ Ù Ñ ÒÓ ÙÒÓ ÐÓ ÑÙ Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÕÙ Ð ÈÐ Ò ÕÙ Ö ÒØÖ ÖÐ ÒØ ÓÕÙ Ý Ô ÖØ ÙÒ ÓÐ Ò ÒÓ Ø ÜØÓ Ó Ð Ù Ð Ô Ö ¼ Ð ÓÒ Ò Ð Ö ÈÖ ÐÙÐÓ ýð Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø ÓÑ ØÖ ÙÐ Ò Ý Ö ØÑ Ø º ÄÓ Ø ÜØÓ Ð ÓÐ Ò Ù ÖÓÒ Ö ØÓ Ô Ö ÝÙ ÖÐ ÐÓ Ñ ØÖÓ Ò Ð ÔÖ Ô Ö Ò Ù Ð º Ä Å Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÑÓ ÙÒ Óº È Ö ÕÙ Ð Ó Ó Ø Ò ÖÑ Ñ ÒØ Ò Ö Ó ÕÙ Ø Ò Ù Ò º ÄÓ ÓÒ ÔØÓ Ð Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ö Ó Ò Ò ÐÓ Ø ÜØÓ Ø ÓÐ Ò ÓÒ Ð ÕÙ Ö ÓÒ ØÖÙ Ó ÓÒ ÝÙ Ù Ñ ØÖÓ ÙÒ ÐÙÑÒÓ ÙÒ Ö ÕÙ Ô Ö ÒØÖ Ö Ð ÍÒ Ú Ö º Ë Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ò ÐÐÓ ØÖ Ø Ó Ö Ö Ò Ø ÐÐ ÐÓ Ô Ó Ù Ö Ò Ø Ñ Ö Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÙ ØÓº È Ò ÑÓ Ó Ò ÒÙ ØÖ ÔÖÓÔ ÜÔ Ö Ò ÕÙ Ø ÙÒ Ù Ò Ñ Ò Ö Ø Ö ÙÒ Ð Å Ø Ñ Ø º ÎÓÐÚ Ò Ó Ð Ò ÐÓ Ò Ð ÓÑÓ ÙÒ ÑÙÖÓ Ð Ó ÓÒ ØÖÙÝ ÔÓÓ ÔÓÓ ÓÐÓ Ò Ó ÙÒÓ ÐÓ Ð Ö ÐÐÓ ÕÙ ÐÓ ÓÑÔÓÒ Ò Ð ÓÐÙ Ò ÙÒ Ö Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÙÒ Ù Ò ÓÖ Ò Ô Ó Ð Ó Ý Ó Ö ÒØ º Ë Ò Ð ÓÒ ØÖÙ Ò Ð ÑÙÖÓ ÐØ Ò Ð Ö ÐÐÓ Ó Ý Ð Ö ÐÐÓ Ñ Ð ÓÐÓ Ó ÑÙÝ ÔÓ Ð ÕÙ Ð ÑÙÖÓ ÖÖÙÑ º Ë Ò Ð ÓÐÙ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ü

12 Ñ Ø Ñ Ø Ó ÐÓ Ô Ó Ø Ò Ñ Ð ÓÒ Ø Ò Ó Ó ÐØ Ò Ô Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð ÓÐÙ Ò ÒÓÖÖ Ø º ÓÑÓ ÙÒ ÔÓÖØ Ø Ö ÑÙ ÓÖ Ö Ù ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ Ô Ö ÔÓ Ö Ó Ö ÓÒ ØÖ ÙÒ Ö ÕÙ Ö ÑÓ Ñ ÓÖ Ö ÒÙ ØÖ ÓÑÔÖ Ò Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ò ¹ Ö Ó Ö Ô Ö ÐÓ Ñ ÑÓ ÑÙ Ú ÙÒÕÙ Ô Ö Þ ÑÓÒ ØÓÒÓ Ý Ö Ô Ø Ø ÚÓ Ø ÓÖÑ ÔÓ Ö ÑÓ Ò Ö ÒØ Ö ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÐÙ Þ Ð ÓÒ ØÖÙ Ò Ð Ó Ð Å Ø Ñ Ø ¹ º Ò ÐÑ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ö ÕÙ ØÓ Ø ÜØÓ ÒÓ ÔÖ Ø Ò Ò Ö ÙÒ ØÖ Ø Ó È ¹ Ó º Å Ò ÓÒ Ø ØÙÝ Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÖØ ÙÐ Ó ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÕÙ ÙÒ Ó ÒØ ÙÒ Ö ÔÙ Ò Ö Ñ Ò Ö Ø Ú ÓÒ Ð Ù Ó ÐÓ Ö Ô Ó ÕÙ Ö Ó Ò Ù ÓÖÑ Ò Ñ º Ê ÔÓÒ Ò ÒØÓÒ ØÓ Ø ÜØÓ ÒÙ ØÖ ÓÒÚ Ò ÕÙ ÕÙ Ö Ò Ö Ò Ð Ó ÒÓ ÓÒ Ù ÒØ Ò Ð ØÖ Ø Ô ÙØ Ð Þ Ò Ð Ù Ó Ð ÒÙ Ú Ø ÒÓÐÓ Ò ÓÖÑ Ø Ò Ô Ò Ð Ø Ò Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ð Ó Ð Ñ Ø Ö ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ Ò Öº ÖÐÓ ÅÓÒØ Ò ÖÓ ÈÖ ÒØ ËÓ ÓÐÓÑ Ò Å Ø Ñ Ø Ü

13 ÈÖ Ó Å ÓÖ Ö Ð Ò ÒÞ Ð Å Ø Ñ Ø ÑÔÖ ÙÒ Ö ØÓº ÄÓ ÓÒ ÔØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó Ø Ò Ò ÖØÓ Ö Ó ÓÑÔÐ Ý Ò ÓÒ Ù Ò ÖÙ Ð ÕÙ ÐÓ Ø ÜØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÕÙ Ö Ò Ô Ö ÔÓÝ Ö Ð ÔÖÓ Ó Ù Ò ÒÞ Ý ÔÖ Ò Þ Ù Ò ÙÒ Ð Ò Ù Ð ÖÓ ÕÙ ÓÒ ÒØÖ Ù Ø Ò Ò Ò ÐÓ Ô ØÓ Ö ÐÑ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÓÒ ÔØÓ Ý Ð Ø Ù ÓÑÔÖ Ò Òº Ð ÔÖ ÒØ Ø ÜØÓ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ù Ð Ò ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Ô Ö ÐÓ Ñ ØÖÓ Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÕÙ ÒØÖÓ Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÒØ ÓÕÙ Ð Ñ Ù Ð Ö Ó ÔÓÖ Ð Ó ÖÒ ÓÖ Ë Ö Ó Ö Ó Î Ð ÖÖ Ñ º ÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ Ø Ù ÓÒ Ø ØÙÝ Ò ÙÒ ÒØ Ð Ñ Ø Ö Ð ÕÙ Ò Ô Ò Ð ÔÖ ÒØ Ö Ò Ð ÙÐ Ð ÔÓÖ Ô ÖØ Ð Ñ ØÖÓº ÐÐ ÕÙ Ð ÜÔÓ Ò Ò ÐÐ Ð ÒÓ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ö Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ ØÓ Ó ÐÐ Ö ÒØ Ù Ò Ö Ó Ð ÙÒ Ú Ö ÐÓ Ñ Ð Ö ÔÓ Ð º È Ö Ð ÒÞ Ö Ø Ó Ø ÚÓ ÑÓ Ö Ù Ó Ð Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö Ý ÑÓ ÔÖ Ò Ó Ø Ñ ÓÖ Ó ÕÙ ÓÒ Ö ÑÓ ÒÓ ÓÒ Ò Ð Ô Ö Ð ÓÖÑ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ ØÙ ÒØ Ý ÕÙ ÔÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Ó ÔÙ Ò Ô ÖØ Ö Ò ÐÐÓ ÙÒ Ö ÞÓ Ð ØÙ Ó Ð Å Ø Ñ Ø º ÁÒ Ø ÑÓ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÔÖ Ò Ô Ð Ø Ñ Ø Ö Ð ÙÒ Ô ÖØ ÝÙ ÖÐ Ð Ó ÒØ Ò Ù Ø Ö ÓØ Ò ÔÖ Ô Ö Ò Ð Ý ÓØÖ Ö Ò ÖÐ Ð ØÙ ÒØ ÙÒ Ö ÙÑ Ò ÐÓ ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ø Ò Ö Ó Ö Ð Ñ Ø Ö º ÔÓÖ ÐÐÓ ÕÙ Ò ÐÙ Ö Ð Ö Ð ÖÓ Ó Ø ÜØÓ ÑÓ ÔÖ Ö Ó Ù Ö Ð Ô Ð Ö Ù Ô Ö Ö Ö ÖÒÓ Ø Ñ Ø Ö Ðº Ò Ð Ð Ó Ö ÐÓ Ð ØÓÖ ÒÓÒØÖ Ö Ò Ð ÖÓ Ý Ø ÜØÓ ÕÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒÓ Ñ ÒØÓ Ó ÕÙ Ð Ö Ò Ò Ø Ù º Ò ÐÑ ÒØ Ø Ò ÑÓ Ð Ô Ö ÒÞ ÕÙ Ð Ù Ð ÕÙ ÓÝ ÔÓÒ ÑÓ ÓÒ Ö Ò ÐÓ Ð ØÓÖ Ñ ÓÖ Ò Ù Ô Ö Ô Ò Ð ÑÔÓÖØ Ò Ð Å Ø Ñ Ø Ý Ù ÒÑ Ò Ó ÔÓ Ö Ò Ð ÓÐÙ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒÖ ØÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ò ØÙÖ Ð ÓÑÓ Ð Ú ÓØ Ò º ÓÑ Ø ØÓÖ Ð Ü

14

15 Ä Ò ½ ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ Á Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÓ Ð ÓÒ Ø ÙÖ Ó ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÐÓ Ú Ö Ó Ô ØÓ Ð ÓÑ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÖÖÓÐÐÓ ÐÓ Ø Ñ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÐÓ ØÙ ÒØ Ò Ø Ò Ó Ð ÓÔÓÖØÙÒ ÓÒÓ Ö Ò ÙÒ ÙÖ Ó ÔÖ Ú Ó ÓÑ ØÖ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÕÙ ÕÙ ÔÖ ÒØ Òº Ø ÔÖ Ñ Ö Ð ÓÒ Ø Ò ÓÖ Ò¹ Ø ÔÖ ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ö Ú Ð Ò ÓÒ ÓÒ ÔØÓ Ý Ö ÙÐØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ØÓ ÙÒ Ö Ð ÒÓØ Ò Ý Ø Ö ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÖ Ò Ô Ð º ÁÒ Ö ÑÓ ÒÙ ØÖÓ ØÙ Ó ÓÒ ÐÓ ÓÒ ÔØÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ý ÔÐ ÒÓº ÄÙ Ó Ö Ò ØÖ Ø Ó Ð ÖÙÐÓ Ý Ù Ð Ñ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ý ÔÓÖ ÐØ ÑÓ ØÙ Ö ÑÓ Ð ÓÒ ÔØÓ Ò ÙÐÓ Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø Ð ÓÑ ØÖ º Ê Ø Ö ÝÓ Ý ÔÐ ÒÓ Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ü Ø Ò Ù Ð Ñ ÒØÓ Ó Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø ÐÓ ÔÐ ÒÓ Ý Ð Ö Ð ÓÒ ÒØÖ ÐÐÓ Ð Ù Ð Ø Ð Ò Ù ÔÖÓÔ º ÈÖÓÔ Ð Ð Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ Ü Ø Ò ÙÒ ÓÒ ÖÙ Ò Ý Ô Ö Ð Ð ÑÓ ÒØÖ ÓØÖ º A L ÈÐ ÒÓ P C ÈÙÒØÓ Ä Ò Ê Ø A B ÙÖ ½º½ Ë ÕÙ ØÖ ÔÙÒØÓ ÓÒ ÓÐ Ò Ð Ø Ò Ó Ö ÙÒ Ð Ò Ö Ø º ÄÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø Ý ÔÐ ÒÓ Ò Ø Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ ÈÖÓÔ ½ ÈÓÖ Ó ÔÙÒØÓ Ø ÒØÓ Ô ÙÒ Ý ÐÓ ÙÒ Ö Ø º ÈÖÓÔ ¾ ÈÓÖ ØÖ ÔÙÒØÓ ÒÓ ÓÐ Ò Ð Ô ÙÒÓ Ý ÐÓ ÙÒ ÔÐ ÒÓº ½

16 Ë Ó ÔÙÒØÓ A Ý B Ø Ò ØÙ Ó Ó Ö ÙÒ Ö Ø L ÒÓØ Ö ÑÓ Ø Ö Ø ÔÓÖ ABº Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø AB Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø AB ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ð ØÖ ÑÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ A Ý Bº A B L Ê Ø AB A B Ë Ñ ÒØÓ AB ÙÖ ½º¾ A B R Ê ÝÓ AB Ó Ö ÝÓ R ÙÒ Ö Ø L Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ A Ó Ö Ø Ö Ø Ð ÔÙÒØÓ A Ú Ð Ö Ø Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ Ñ ÖÖ Ø Ó Ö ÝÓ ÓÒ ÓÖ Ò Aº È Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ B Ó Ö Ø Ö Ø ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ Ö ÝÓ AB Ð Ñ ÖÖ Ø ÓÒ ÓÖ Ò A ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ Bº Ò Ð ÙÒ Ó ÓÒ Ð Ñ ÖÖ Ø AB Ø Ñ Ò Ð ÒÓÑ Ò Ö ÝÓ Rº ÄÓ Ñ ÒØÓ Ö Ø Ñ Ò Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ º Ø ÙÒ Ô ÖØ Ò Ò ÙÒ Ø Ñ Ñ º Ò Ö ÐÑ ÒØ Ù Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÐÓÒ ØÙ Ð Ë Ø Ñ Å ØÖ Ó Ñ Ðº Ô Ò Ò Ó Ð Ó ØÓ ÕÙ Ú Ñ Ö ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ ÓÑÓ ÙÒ Ð Ñ Ð Ñ ØÖÓ Ð ÒØ Ñ ØÖÓ Ð Ñ ØÖÓ Ý Ð Ð Ñ ØÖÓ ÒØÖ ÓØÖÓ Ö Ú Ó Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ ÑÑ Ñ Ñ Ý Ñº Ë Ó Ñ ÒØÓ Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÐÓÒ ØÙ Ö ÑÓ ÕÙ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÖÙÒ Ö Ò Ý ÖÙÐÓ Ñ ØÖÓ ÒØÖÓ ÖÙÐÓ Ê Ó ÖÙÒ Ö Ò r d Ç d = r r ÙÖ ½º Ä ÖÙÒ Ö Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÕÙ Ø Ò Ó Ø Ò Ð Ñ Ñ Ø Ò ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ Ó Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÐÐ Ñ Ó ÒØÖÓ º Ø Ø Ò Ð ÐÐ Ñ ÑÓ Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò Ý Ð ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ rº ¾

17 Ð ÖÙÐÓ ÙÒ ÙÖ ÔÐ Ò Ð Ñ Ø ÔÓÖ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò º ÄÐ Ñ ÑÓ Ñ ØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÓ Ó Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ý Ô ÔÓÖ Ð ÒØÖÓº Ë d Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ØÖÓ d = rº Î Ð ÙÖ ½º º Ù Ò Ó Ú Ð ÐÓÒ ØÙ C ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÔÓÖ d Ð Ö ÙÐØ Ó Ð ÓÒ Ø ÒØ π C d = C r = π. Ä ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò C = πrº Ð Ö ÙÒ ÖÙÐÓ Ö Ó r A = πr º Ð Ò Ñ ÖÓ π ÙÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ñ Ø Ñ Ø º ËÙ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÒ Ó Ö Ñ Ð 3,14 Ý ÓÒ Ù ØÖÓ Ö Ñ Ð 3,1416º ÇÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ö ÑÓ π 3.14 π º ÑÔÐÓ ÍÒ ÖÙÒ Ö Ò Ø Ò ÙÒ Ö Ó 5 Ѻ Ä ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò C = πr = 10π Ѻ Ð Ö Ð ÖÙÐÓ A = πr = π(5) Ñ = 5π Ñ º ÍÒ ÖÙÒ Ö Ò Ø Ò ÙÒ Ñ ØÖÓ ¾ Ñ ØÖÓ º Ð Ö Ó 1 Ñ ØÖÓº Ä ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò C = πr = π(1) Ñ = π Ѻ Ð Ö Ð ÖÙÐÓ A = πr = π(1) Ñ = π Ñ º ýò ÙÐÓ ÍÒ ýò ÙÐÓ Ð ÖØÙÖ ÓÖÑ ÔÓÖ Ó Ö ÝÓ ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ ÓÖ Ò ÓÑ Ò ÐÐ Ñ Ó Ú ÖØ Ð Ò ÙÐÓº ÙÒÓ ÐÓ Ö ÝÓ R 1 Ý R ÒÓÑ Ò Ð Ó Ð Ò ÙÐÓº Ë ÙØ Ð Þ Ò Ú Ö ÒÓØ ÓÒ Ô Ö ÒÓØ Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ º Ä Ñ ÓÑÙÒ ÓÒ AOB Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ñ ÖÖ Ø OA Ý OBº Ì Ñ Ò ÔÙ Ù Ö BOAº Ç ÖÚ ÕÙ Ò Ø ÒÓØ Ò Ð Ð ØÖ O ÕÙ Ò Ð Ú ÖØ Ú Ò Ð ÒØÖÓº Ò Ó ÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒÓØ Ö Ò ÔÓÖ ÙÒ Ð ØÖ Ñ Ò ÙÐ a b c...º Ì Ñ Ò ÑÙÝ Ù Ù Ð Ù Ö Ð ØÖ Ö ÓÑÓ α Ð µ β Ø µ γ ÑÑ µ δ ÐØ µ ϕ µ λ Ð Ñ µ... Ì Ñ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ð Ð ØÖ O ÕÙ ÒÓØ Ð Ú ÖØ Ð Ò ÙÐÓº B O α R A ÙÖ ½º R 1

18 Ö Ó ½º Ð Ö Ó ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò rº ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ ØÖÓ Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò C Ý Ð Ö Ð ÖÙÐÓ A Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ó rº µ r = 5 Ñ µ r = Ñ µ r = 1.5 Ѻ ¾º Ð Ñ ØÖÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò dº ÒÙ ÒØÖ Ð Ö Ó Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò C Ý Ð Ö Ð ÖÙÐÓ A Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ó dº µ d = 4 Ñ µ d = 5 Ñ µ d = 14 Ѻ º Ë Ð Ö Ó ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÙÔÐ º µ ú Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ñ Ð Ñ ØÖÓ µ ú Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ñ Ð ÐÓÒ ØÙ C Ð ÖÙÒ Ö Ò µ ú Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ñ Ð Ö A Ð ÖÙÐÓ º Ë Ð Ñ ØÖÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ö Ù Ð Ñ Ø º µ ú Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ñ Ð Ö Ó µ ú Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ñ Ð ÐÓÒ ØÙ C Ð ÖÙÒ Ö Ò µ ú Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ñ Ð Ö A Ð ÖÙÐÓ

19 Ä Ò ¾ ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ ÁÁ Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ ÐÓ ÓÒ ÔØÓ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ý ÖÓ ÖÙÒ Ö Ò Ý Ð Ñ Ò ÙÐÓ Ò Ö Ó Ü Ñ Ð º Ò Ø ÙÖ Ó ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ Ó Ø Ñ Ô Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ Ð Ø Ñ Ü Ñ Ð ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ó Ü Ñ Ð Ý Ð Ø Ñ ÖÙÐ Ö ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ò º Ø ÐØ ÑÓ Ö ØÙ Ó Ñ Ð ÒØ Ò Ð Ð Ò º ýò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ý ÖÓ Ò Ò ¾º½ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó r Ý ÒØÖÓ O ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ú ÖØ Ò O ÙÝÓ Ð Ó ÓÒ Ö ÝÓ Ó Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÓÖØ Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò º Ò Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ¾º½ ÑÙ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð α Ý ÐÓ Ö ÝÓ R 1 Ý R ÓÒ ÓÖ Ò Ò Oº Ó Ó ÔÙÒØÓ A Ý B Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÖÓ ÖÙÒ Ö Ò AB Ð ÔÓÖ Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÑÔÖ Ò ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A Ý Bº Î Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ¾º½º ÄÓ Ñ ÒØÓ OA Ý OB Ø ÖÑ Ò Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð αº Ë ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ α Ù Ø Ò Ð ÖÓ ABº Ì Ñ Ò ÓÑ Ò Ö ÕÙ Ð ÖÓ AB Ù Ø Ò Ð Ò ÙÐÓ αº R B O α R 1 O α A ÙÖ ¾º½

20 Å Ò ÙÐÓ Å Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÑÔ Ö ÖÐÓ ÓÒ ÓØÖÓ ÕÙ ØÓÑ ÓÑÓ ÙÒ º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ Ó ÙÒ Ñ Ð Ö Ó Ü Ñ Ð Ý Ð Ö Òº Ë Ø Ñ Ü Ñ Ð Ú ÑÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ò 360 ÖÓ Ù Ð Ñ º ÙÒÓ ØÓ ÖÓ Ù Ø Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð ÙÝ Ñ ÙÒ Ö Ó Ü Ñ Ð Ö ØÓ 1 º Ù Ö Ó ÓÒ Ø Ò Ò Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ù Ø Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ñ 360 º ÑÔÐÓ ¾º½ Ð Ò ÙÐÓ Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ù ÖØÓ ÖÙÒ Ö Ò Ñ 90 º È Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ ÙØ Ð Þ Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ ÓÖº Ò Ð ØÖ Ò ÔÓÖØ ÓÖ ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ¾º¾ ÔÖ Ò Ð 180 Ú ÓÒ ÙÒ Ñ ÖÙÒ Ö Ò º ÑÔÐÓ ¾º¾ Ò Ð ÙÖ ¾º¾ Ð Ò ÙÐÓ α ÕÙ ÓÖÑ Ò ÐÓ Ö ÝÓ R 1 Ý R ÙÒ Ò ÙÐÓ 55 º R O α R 1 ÙÖ ¾º¾ ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ØÓ ÑÔÐ Ö Ð Ö ØÙÖ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð Ñ Ñ ÒÓØ Ò Ô Ö Ö ÔÖ ¹ ÒØ Ö Ø ÒØÓ Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÓ Ù Ñ º Ð Ø ÜØÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÒÓ Ú Ô ÖÑ Ø Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ò ÕÙ ÒØ Ó ÙØ Ð Þ Ò ÐÓ Ñ ÓÐÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ö ÑÓ a = b Ô Ö Ò Ö ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓa Ù Ð Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓbº Ì Ñ Ò ÔÓ Ö ÑÓ Ö Ö α+β = 180 Ô Ö Ò Ö ÕÙ Ð ÙÑ Ð Ñ Ò Ö Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý β 180 º Ð Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ù Ñ ýò ÙÐÓ ÒÙÐÓ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 0 º ýò ÙÐÓ Ù Ó Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ñ 0 Ý Ñ ÒÓ 90 º

21 ýò ÙÐÓ Ö ØÓ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ü Ø Ñ ÒØ 90 º ýò ÙÐÓ Ó ØÙ Ó Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ñ 90 Ý Ñ ÒÓ 180 º ýò ÙÐÓ ÐÐ ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 180 º ýò ÙÐÓ ÆÙÐÓ ýò ÙÐÓ Ù Ó ýò ÙÐÓ Ö ØÓ ýò ÙÐÓ Ó ØÙ Ó ýò ÙÐÓ ÐÐ ÒÓ ÙÖ ¾º ýò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ýò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÑÓ ÕÙ Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ Ñ º Ë ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý β ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ö ÑÓ α = βº ýò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð ÙÑ Ù Ñ 90 º ýò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð ÙÑ Ù Ñ 180 º ÑÔÐÓ ¾º Ò Ð ÙÖ ¾º Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ a Ý b ÐÓ Ù Ð ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÄÓ Ò ÙÐÓ c Ý d ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý ÐÓ Ò ÙÐÓ e Ý f ÓÒ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º b 30 a d 55 c f e ýò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ýò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ÙÖ ¾º ýò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ë Ó Ò ÙÐÓ α Ý β ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ÑÓ ÕÙ α Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó βº Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ Ó Ò ÙÐÓ α Ý β ÓÒ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ÑÓ ÕÙ α Ð Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó βº ÑÔÐÓ ¾º Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð Ò ÙÐÓ a ÙÝ Ñ 60 Ð Ò ÙÐÓ b ÙÝ Ñ 30 ÔÙ ØÓ ÕÙ = 30 º

22 ÆÓØ ¾º½ ÈÓÖ ÓÑÓ Ý Ù Ò Ó ÒÓ Ý ÐÙ Ö ÓÒ Ù Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ Óѹ ÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º ÑÔÐÓ ¾º Ð Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ÔÙ ØÓ ÕÙ = 10 º Ö Ó Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó ÍÒ Ö Ó ÔÙ Ö Ú Ó Ò Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ ÙÒ ÓÖ Ú Ò Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó º ÍÒ Ö Ó Ú Ò 60 Ô ÖØ Ù Ð ÐÐ Ñ Ñ ÒÙØÓ ( ) Ý Ñ ÒÙØÓ Ú Ò 60 ÙÒ Ó ( )º ÑÔÐÓ ¾º Ë ÙÒ Ò ÙÐÓ a Ñ 50 Ö Ó 15 Ñ ÒÙØÓ Ý 10 ÙÒ Ó Ö ÑÓ Ö Ó a = ½º Ð ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ ÓÑÓ ÒÙÐÓ Ù Ó Ö ØÓ Ó ØÙ Ó Ó ÐÐ ÒÓ ÜÔÐ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ ÒÓ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ µ α = 35 µ β = 110 µ γ = 180 µ ν = 0 µ η = 190 º ¾º Ó ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó µ 30 µ 45 µ 55 º º Ó ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó µ 30 µ 45 µ 75, µ 10 µ 135, µ 180.

23 Ä Ò ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ ÁÁÁ ØÙ Ö ÑÓ Ð ÒÓ ÓÒ Ô Ö Ð Ð ÑÓ Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ò Ö Ø Ò Ð ÔÐ ÒÓº Ò ÓÑ ØÖ ØÙ Ò Ú Ö Ó Ö ÙÐØ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð Ø ÚÓ Ð Ù Ð ÖØÓ Ô Ö Ò ÙÐÓ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ Ý ÐÓ Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÜØ ÖÒÓ Ø Ö Ð Ø Ñ Ø Ð Òº Ì Ñ Ò ØÙ Ö ÑÓ ÔÖÓÔ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð Ø Ú Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý Ð ÒÓ ÓÒ Ó Ö Ñ ÒÞ ØÖ Ò ÙÐÓ º ËÓ Ö Ø ÐØ ÑÓ Ø Ô Ó ØÙ Ö ÑÓ ÙÒÓ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø Ð ÓÑ ØÖ Ý ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð ÖÖÓÐÐÓ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì Ð Ó Ö Ñ ÒÞ ØÖ Ò ÙÐÓ º ÁÒØ Ö Ò Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ý Ô Ö Ð Ð ÑÓº Ë ÕÙ Ó Ö Ø L 1 Ý L ØÙ Ò ÙÒ Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÒØ Ö ÔØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ O Ð ÔÐ ÒÓ Ð Ó Ö Ø Ø Ò Ò O ÓÑÓ Ù Ò Ó ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Òº Ò Ð ÙÖ º½ Ð Ö Ø L Ý H ÒØ Ö ÔØ Ò Ò Oº Ë Ó Ö Ø L 1 Ý L Ø Ò ØÙ Ò ÙÒ Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ Ý ÒÓ ÒØ Ö ÔØ Ò Ò Ò Ò Ò ÔÙÒØÓ ÕÙ ÓÒ Ô Ö Ð Ð Ý Ö Ö ÑÓ L 1 L º Ë Ó Ö Ø L Ý H ÒØ Ö ÔØ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ò ÙÐÓ Ö ØÓ ÕÙ ÓÒ Ô ÖÔ Ò ¹ ÙÐ Ö Ý Ö Ö ÑÓ L Hº L 1 L L O H Ê Ø Ô Ö Ð Ð Ê Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÖ º½ Ù Ò Ó Ó Ö Ø M Ý N ÒØ Ö ÔØ Ò ÓÖÑ Ò Ù ØÖÓ Ò ÙÐÓ x y z Ý w ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ º¾º ÄÓ Ò ÙÐÓ x Ý w ÒÓÑ Ò Ò ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ º Á Ù ÐÑ ÒØ ÓÒ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ ÐÓ Ò ÙÐÓ y Ý zº

24 Ì ÓÖ Ñ º½ ÄÓ Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º z w x y Å Æ g h e f c d a b L 4 L 3 ýò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ È Ö Ò ÙÐÓ ÑÔÐÓ º½ ÙÖ º¾ Ò Ð ÙÖ º¾ x = w Ý z = y ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ º ÑÔÐÓ º¾ Ë Ð ÙÖ º¾ Ð Ò ÙÐÓ x Ñ 75 ÐÙÐ Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ y,w Ý zº ÄÓ Ò ÙÐÓ x Ý w ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ö ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ ÔÓÖ ÐÓ Ù Ð w Ñ 75 º ÓÑÓ x Ý z ÓÒ Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ÒØÓÒ z = (180 75) = 105 º ÓÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ z Ý y ÓÒ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ Ø Ò ÑÓ ÕÙ y = 105 º Ç ÖÚ ÕÙ Ù Ò Ó Ð Ð ØÖ x,y,z,w ÒÓØ Ò Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö ÑÓ Ð Ñ ÓÐÓ = º ýò ÙÐÓ Ý Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ò Ò º½ Ù Ò Ó Ó Ö Ø Ô Ö Ð Ð L 3 Ý L 4 ÓÖØ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ö Ø ØÖ Ò Ú Ö Ð ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ º¾ ÓÖÑ Ò Ò ÙÐÓ º Ù ØÖÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ó Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ý Ù ØÖÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÜØ Ö ÓÖ ÐÐ º Ð ÙÒÓ Ô Ö ØÓ Ò ÙÐÓ Ô Ö Ò ÓÒ ÑÙ Ö Ù Ò Ò Ð ÓÑ ØÖ Ý ÙÑÔÐ Ò ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ò Ð Ì ÓÖ Ñ º¾º ËÓÒ Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ô Ö a Ý e; b Ý f; c Ý g; d Ý h. ËÓÒ Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ ÐÓ Ô Ö c Ý f; d Ý e. ½¼

25 ËÓÒ Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÜØ ÖÒÓ ÐÓ Ô Ö Ì ÓÖ Ñ º¾ a Ý h; b Ý g. Ë Ð Ö Ø L 3 Ý L 4 Ð Ò Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ Ô Ö Ð Ð ÒØÓÒ ÐÓ Ó Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò ÙÒÓ ÐÓ Ô Ö Ò Ð Ò Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÑÔÐÓ º Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ º¾ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ a = e ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º b = c ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÔÓÖ Ð Ú ÖØ º c = f ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ º ÌÖ Ò ÙÐÓ Ó ØÖ ÔÙÒØÓ ÒÓ ÓÐ Ò Ð A B Ý C ÐÐ Ñ ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ý ÒÓØ ÔÓÖ ABC Ð Ö Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ð Ñ Ø ÔÓÖ ÐÓ Ñ ÒØÓ Ö Ø AB BC Ý AC. ÄÓ ÔÙÒØÓ A B Ý C ÒÓÑ Ò Ò Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ÐÓ Ñ ÒØÓ AB BC Ý AC ÒÓÑ Ò Ò ÐÓ Ð Ó Ð ØÖ Ò ÙÐÓº C b γ a α β A c ÙÖ º B ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓØ Ó Ò Ð ÙÖ º ÔÓÖ α β Ý γº Ù Ò Ó ÙØ Ð Þ Ò Ð ØÖ Ñ Ý ÙÐ Ô Ö ÒÓØ Ö ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ù ÐÑ ÒØ ÐÓ Ð Ó ÓÔÙ ØÓ ØÓ Ú ÖØ ÒÓØ Ò ÓÒ Ð Ð ØÖ Ñ Ò ÙÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÑÓ ÔÖ Ò Ð ÙÖ º º ÓÒ Ö Ù Ò ÙØ Ð Þ Ò Ø Ð ØÖ Ô Ö ÒÓØ Ö Ø ÒØÓ Ð Ð Ó ÓÑÓ Ù ÐÓÒ ØÙ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ö a = 5 Ñ Ò ÕÙ Ð Ð Ó a Ø Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ Ù Ð 5 Ѻ ÑÔÐÓ º Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ p ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÑ Ð ÐÓÒ ØÙ Ù ØÖ Ð Ó p = a+b+c. ½½

26 Ë ÐÓ Ð Ó a b Ý c Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º Ñ Ò Ý ÒØ Ñ ØÖÓ Ö Ô Ø Ú ¹ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ p Ù Ð Ì ÓÖ Ñ º p = a+b+c = = 13 Ñ. Ä ÙÑ Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ 180 º x C γ y L α+β +γ = 180. A α β B ÙÖ º ÈÖÙ Í Ö ÑÓ Ð ÒÓØ Ò Ð ÙÖ º º ÈÓÖ Ð ÔÙÒØÓ C ØÖ Þ ÑÓ ÙÒ Ö Ø L Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ABº ÒÓÑ Ò ÑÓ x Ý y ÐÓ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð Ö Ø L Ý ÐÓ Ñ ÒØÓ Ö Ø AC Ý BC Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ò ÙÐÓ x γ Ý y ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÐÐ ÒÓº ÒØÓÒ Ø Ò ÑÓ x+γ +y = 180. ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ñ º¾ x = α Ý y = β ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ º Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ø Ò ÑÓ ÑÔÐÓ º α+β +γ = 180. Ë Ò Ð ÙÖ º α = 55 Ý β = 65 ÐÙÐ γº Ö Ó α+β +γ = 180, ÒØÓÒ γ = 180 α β = ( ) = 60. ½º Ë Ò Ð ÙÖ º¾ Ð Ò ÙÐÓ z Ñ 100 ÐÙÐ Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ x,y Ý wº ¾º Ë Ò Ð ÙÖ º¾ d = 77 0 µ Ø ÖÑ Ò Ù Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÒ d ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º µ ÐÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ b Ý Ø ÖÑ Ò Ù Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÒ b ÔÓÖ Ö ÐØ ÖÒÓ ÜØ ÖÒÓ º º Ë Ò Ð ÙÖ º¾ b = 98 ÐÙÐ Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ a,c,d,e,f,g Ý hº º Ë Ò Ð ÙÖ º α = 50 Ý γ = 75 ÐÙÐ βº º Ë Ò Ð ÙÖ º α = β = 50 ÐÙÐ γº ½¾

27 Ä Ò ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ ÁÎ Ò Ø Ð Ò ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ð Ñ ÒÞ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý Ú Ö ÑÓ ÙÒÓ ÐÓ Ø ÓÖ Ñ Ñ Ù Ó Ò Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ð Ø ÚÓ Ø Ø Ñ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì Ð º ÌÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ò Ò º½ Ë ÕÙ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ý A B C Ò Ð ÙÖ º½ ÓÒ Ñ ÒØ α = α,β = β Ý γ = γ º½µ Ý Ú Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖ Ò ÒØÖ Ù Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ a a = b b = c c. º¾µ A b α C γ a β c B b C a α β A B c γ ÙÖ º½ Ë Ó ØÙÑ Ö Ö Ö ABC A B C Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ñ ÒÞ ÒØÖ ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ º Ð ÓÖ Ò Ò Ð Ö ØÙÖ ÐÓ Ú ÖØ ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ Ò Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÄÓ Ô Ö Ò ÙÐÓ ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð Ù Ò º½µ ÒÓÑ Ò Ò Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Ò ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ ABC Ý A B C ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ó ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ ÓÔÓÒ Ò Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÐÓ Ð Ó AB Ý A B ÓÒ Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Á Ù ÐÑ ÒØ ÐÓ Ô Ö Ð Ó BC Ý B C Ý AC Ý A C ÓÒ Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Ó ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ Ò Ö Ô Ö ÕÙ ÙÒ Ô Ö ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ñ ÒØ ÓÒ ÑÙÝ Ü ÒØ ÔÙ ØÓ ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÓÒ ÖÙ Ò Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ Ý Ð ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð Ò ÐÓ Ð Ó Ò º½ µ Ý º¾µ ÑÔÓÖØ ÒØ ÒÓÒØÖ Ö Ô Ø Ñ Ò Ñ ÕÙ Ö ÒØ Ò ½

28 ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒ º½µ Ý º¾µ ÙÑÔÐ Òº ÍÒÓ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ Ì Ð ÌÓ Ö Ø Ô Ö Ð Ð ÙÒ Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ý ÕÙ ÒØ Ö ÔØ ÐÓ ÓØÖÓ Ó Ð Ó Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÙÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ ÖÓº Ë Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ØÖ Þ ÑÓ Ð Ö Ø DE Ô Ö Ð Ð BC ÒØÓÒ ABC ADEº Î Ð ÙÖ º¾º E C A D B ÙÖ º¾ ÌÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò Ò º¾ ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ Ö ØÓº Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÐÐ Ñ ÔÓØ ÒÙ Ð Ð Ó ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÐÓ Ö ØÓº ÄÓ Ø ØÓ ÓÒ ÐÓ Ð Ó ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ Ö ØÓº B a C β 90 b c α A Ø ØÓ a Ý bº À ÔÓØ ÒÙ cº ÙÖ º Ë ÒÓØ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º ÔÓÖ ACB Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ú ÖØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ö ØÓ Ú Ò Ð ÒØÖÓº Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ ÒÑ ØÓ Ô ÖØ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ º ÔÙ ØÓ ÕÙ 90 + α + β = 180 º Ì ÓÖ Ñ º½ ÄÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º ÑÔÐÓ º½ Ë Ò Ð ÙÖ º α = 50 Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ βº ½

29 Ë ÑÓ ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ º½ ÕÙ ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý β Ò Ð ÙÖ º ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º α+β = 90. Ô Ò Ó β Ø Ò ÑÓ ÕÙ β = 90 α = (90 50) = 40. Ä ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÓÒ Ð ØÙ Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÒØÖ ÐÓ Ð Ó Ý ÐÓ Ò ÙÐÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓº ÍÒ Ð Ö Ð ÓÒ Ò ÓÒÓ Ò Ð ÓÑ ØÖ Ð ÕÙ Ü Ø ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ ÐÓ Ø ØÓ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ º Ê ÓÖ ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ Ö Ö Ð Òº Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ º Ò ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð Ù Ö Ó Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ Ù Ð Ð ÙÑ ÐÓ Ù Ö Ó Ð ÐÓÒ ØÙ ÐÓ Ø ØÓ º A c b B a a +b = c 90 C ÙÖ º ÑÔÐÓ º¾ ½º Ë Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º Ð Ø ØÓ a Ñ Ñ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ ½ Ñ ÒÙ ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ bº ËÓÐÙ Ò ÓÒ Ð ÒÓØ Ò Ò Ò Ð ÙÖ º ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ø Ò ÑÓ 13 = 5 +b, 169 = 5+b, b = = 144, b = ±1. ÓÑÓ b ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ÖØ ÑÓ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ø Ú º b = 1 Ѻ ¾º ÂÙ Ò Ö ÓÖÖ Ð Ù ÒØ ØÖ Ý ØÓÖ ÙÒ ÔÙÒØÓ O Ñ Ò 8 Ñ Ð ÒÓÖØ 3 Ñ Ð Ó Ø 7 Ñ Ð ÒÓÖØ Ý ÔÓÖ ÐØ ÑÓ 11 Ñ Ð Ø º ú ÕÙ Ø Ò Ø Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ËÓÐÙ Ò Ò Ð ÙÖ º Ö ÑÓ Ð ØÖ Ý ØÓÖ ÕÙ Ù ÂÙ Òº ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ d Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø OQ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ODQ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ù ÔÓØ ÒÙ d Ð ÐÓÒ ØÙ ÙÒÓ Ù Ø ØÓ m+n Ý Ð Ð ÓØÖÓ bº ½

30 C a n D 90 b Q ÔÙÒØÓ ÐÐ B A d m ÔÙÒØÓ Ô ÖØ O ÙÖ º m+n = 15 b = 8. Ö Ó ÈÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ d = = 64+5 = 89, d = ± 89 = ±17; ÓÑÓ d ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ÖØ ÑÓ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ø Ú º ʺ ÂÙ Ò ÒÙ ÒØÖ ½ Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ º ½º ÓÒ Ð ÒÓØ Ò Ð ÙÖ º½ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ý A B C ÓÒ Ñ ÒØ ÒÙ ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ò µ a = 1 b = a = 3 b =?º µ b = 10, c = 15 b = 1 c =?º µ a = b =? a = 9 b = 11º µ a = b =? a = b = 9º ¾º ÔÓ Ð ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ø Ò Ò Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ º ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ x Ý y Ò ÙÒÓ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º (a) (b) 4 y x 10 A 8 y 8 4 x 3 ÙÖ º ½

31 Ä Ò ÓÒ ÔØÓ Ó Ð ÓÑ ØÖ Î Ø Ð Ò Ø Ð ÖÖÓÐÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ º Ð Ò ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ù Ð Ó ÌÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ËÙ ØÖ Ð Ó ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÌÖ Ò ÙÐÓ Ð º ÕÙ Ð ÕÙ Ø Ò Ó Ð Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÌÖ Ò ÙÐÓ Ð ÒÓº Ä ÐÓÒ ØÙ Ù ØÖ Ð Ó ÓÒ Ö ÒØ º C C C b a b a b a A c B a b,a c,b c A c a = b B A c a = b = c B ÌÖ Ò ÙÐÓ Ð ÒÓ ÌÖ Ò ÙÐÓ Ð ÌÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÙÖ º½ Ì ÓÖ Ñ º½ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÔÓÒ Ò Ð Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ê Ø Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÐØÙÖ Ñ Ò Ý ØÖ Þ ÍÒ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù ÐÕÙ Ö Ù Ð Ó º ÍÒ ÐØÙÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ØÖ Þ Ó ÙÒ Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ô ÖÔ Ò ÙÐ ÖÑ ÒØ Ð Ð Ó ÓÔÙ ØÓ Ó Ù ÔÖÓÐÓÒ Òº Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ØÖ ÐØÙÖ ÙÒ Ú ÖØ º ½

32 ÍÒ Ñ Ò Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ØÖ Þ Ó ÙÒ Ú ÖØ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ÓÔÙ ØÓº Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ØÖ Ñ Ò ÙÒ Ó Ö Ð Óº ÍÒ ØÖ Þ ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ú ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ØÖ ØÖ ÙÒ Ô Ö Ò ÙÐÓº Ò Ð ÙÖ º¾ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÐØÙÖ CD Ó Ö Ð Ð Ó AB Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ð Ñ Ò GH Ð Ð Ó EF Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EFG Ý Ð ØÖ Þ JK Ð Ò ÙÐÓ IJH Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ IJHº C G I K A D B E H F J H ÐØÙÖ CD Å Ò GH ÙÖ º¾ ØÖ Þ JK ÌÖ Ò ÙÐÓ Ð Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ ÄÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ø Ò Ò Ö Ø Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ º È Ö Ø Ð ÖÐ Ú ÑÓ Ö ÙÒ Ô Ö Ò ÓÒ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ð Ò ÙÐÓ Ú ÖØ Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ ÐÓ Ó Ð Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ë ÐÐ Ñ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ð Ð Ó ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÐÓ Ú ÖØ º Ì ÓÖ Ñ º¾ Ë Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ð ÒØÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ò Ð ÙÖ º β = γº ½

33 A α α 1 α β γ B D ÙÖ º C ÓÑÓ ÓÒ Ù Ò ÐÓ Ø ÓÖ Ñ º¾ Ý º½ Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Þ ÓÒ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ º Ì ÓÖ Ñ º ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ý ÐÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ì ÓÖ Ñ º ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ý ÐÓ Ù ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º Ì ÓÖ Ñ º Ä ØÖ Þ Ð Ò ÙÐÓ Ú ÖØ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ø Ñ Ò ÐØÙÖ Ý Ñ Ò Ð º Ò Ð ÙÖ º ÑÙ ØÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ABC Ò Ð Ù Ð AB = ACº Ä Ð Ð Ó BC Ý ÓÑÓ ÓÒ Ù Ò Ð Ø ÓÖ Ñ º Ð Ö Ø AD Ð Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ ÐØÙÖ Ó Ö Ð ØÖ Þ Ð Ò ÙÐÓ BAC Ý Ñ Ò Ð º ÐÓ Ò ÙÐÓ ADB Ý ADC ÓÒ Ö ØÓ ÐÓ Ñ ÒØÓ BD Ý DC ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ý Ñ ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ α 1 Ý α ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÑÔÐÓ º½ Ë Ð Ò ÙÐÓ α Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º Ñ 80 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ β Ý γº ÓÑÓ Ð ÙÑ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ 180 Ý β Ý γ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ø Ñ Ù ÓÒ 80 +β +γ = 180 y β = γ. Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð ÙÒ Ù Ð Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ô Ò Ó β Ø Ò ÑÓ β = = 100, β = 50 = γ. ½

34 ÑÔÐÓ º¾ Ë Ð Ò ÙÐÓ β Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º Ñ 60 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý γº ÓÑÓ β Ý γ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ý Ð ÙÑ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ 180 Ø Ò ÑÓ ÕÙ γ = 60 Ý α = 180, α = = 60. Ò ÓÒ Ù Ò Ò Ø Ó Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº Ì ÓÖ Ñ º Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ð ØÖ Þ ÙÒÓ Ù Ò ÙÐÓ Ø Ñ Ò ÐØÙÖ Ý Ñ Ò Ð Ð Ó ÓÔÙ ØÓº Ö Ó ½º Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ð Ó Ý Ò ÙÐÓ Ò ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð Ö µ µ µ Ý µ Ð ÙÖ º º µ B µ B c = Ñ a c a = 3 Ñ A b C A b = 3 Ñ 90 C µ C µ C A b 60 a = 3 Ñ 60 c B A b a Ä ÐØÙÖ Ó Ö Ð AB Ñ Ñº 60 c B ÙÖ º ¾º Ë Ð Ò ÙÐÓ β Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º Ñ 55 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý γº º Ë Ð Ò ÙÐÓ α Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º Ñ 85 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ β Ý γº ¾¼

35 Ä Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Á Ò Ø Ð Ò Ò ÑÓ Ð ØÙ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ð Ò Ò Ù ÔÖ Ò Ô Ð Ù ÓÒ ÙÒØÓ º Î Ö ÑÓ Ñ Ð Ö ØÙÖ Ñ Ð ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ý Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÑÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ö Ø Ö Ðº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ð Ð ØÓÖ ÓÒÓ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ó Ð Ø ÓÖ ÓÒ ÙÒØÓ Ý Ð Ð Ö º ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó ÄÓ Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ½º Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ô Ö ÓÒØ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð º ÄÓ ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ N Ý Ø Ó ÔÓÖ N = {1,,3,4,...}. ¾º Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÒÓØ Ó ÔÓÖ Z Ð ÓÒ ÙÒØÓ Z = {..., 3,, 1,0,1,,3,...}; Z ÓÒØ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð Ù ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ý Ð ÖÓº º Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ó Ö ÓÒ Ö Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ Q Ø ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ Ó ÒØ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ º Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð Ú Ò ÔÓÖ 0 ÔÓÖ ØÓ Ò ÑÓ Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÖ { a } Q = b a,b Z,b 0. Ð Ò Ñ ÖÓ a ÓÒÓ ÓÑÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ b ÓÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÖº Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ø ÓÒØ Ò Ó Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ó ÕÙ a ÙÒ ÒØ ÖÓ a = a Ý Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ðº 1 º Ü Ø Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ò Ö Ö ÓÑÓ Ð Ó ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ º ØÓ Ò Ñ ÖÓ ÒÓÑ Ò Ò Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð ÒÓØ ÔÓÖ Iº Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð ÓÒ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ = = Ý π = º ¾½

36 º Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓØ Ó ÔÓÖ R Ð ÙÒ Ò ÐÓ ÓÒ ÙÒØÓ Q I Ö R = Q I. Ê ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÌÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ò Ò ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ð Ù Ð Ø Ò Ó Ò Ð ÓÖÑ r = b.a 1 a a 3...a n Ó Ð ÓÖÑ r = b.a 1 a a 3... Ð Ò Ñ ÖÓ b ÙÒ ÒØ ÖÓ Ý ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ô Ö Ò ÔÙ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ð ÒÓ¹ Ø Ó ÔÓÖ a i ÐÐ Ñ Ó ØÓ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ø Ð ÕÙ 0 a i 9º Ä Ù Ò ØÓ a 1 a a 3... a 1 a...a n ÒÓÑ Ò Ô ÖØ Ñ Ð rº È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð a Ú ÑÓ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ b a ÔÓÖ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ bº Ù Ò Ó Ú ÑÓ a ÔÓÖ b Ø Ò ÑÓ Ó ÔÓ Ð ½º Ä Ô ÖØ Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ r 1 = 3 = 0.75º Ò 4 Ø Ó b = 0 Ý Ð Ô ÖØ Ñ Ð 75 ÓÐ Ñ ÒØ Ø Ò Ó ØÓ º ¾º Ä Ô ÖØ Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø Ó ØÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r = 4 3 Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð r = º b = 1Ý ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ù Ô Ò ÚÓ Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ô ÖØ Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø Ó ØÓ º Ð ØÓ 3 Ö Ô Ø Ò Ò Ñ ÒØ º Ö ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ò ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ô Ö Ô ÖØ Ö ÙÒÓ Ù ØÓ Ð Ô ÖØ Ñ Ð ÓÔØ Ð ÓÖÑ ppppp... ÓÒ p ÙÒ ÓÐ Ò ØÓ º Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ô Ö Ø Ò ÙÒ Ô Ö Ó Ó pº ÒÓ¹ Ø Ö ÑÓ Ð Ô ÖØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÕÙ Ö Ô Ø ÓÒ Ô Ö Ó Ó p ÓÒ ÙÒ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ô ÖØ ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ô Ö Ó Óº Ö pppppp... pº ØÓ ÐÓ ÐÙ ØÖ ÑÓ Ò ÐÓ ÑÔÐÓ º½ º¾ Ý º º ÑÔÐÓ º½ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r = 4 = Ø Ò ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ô Ö ÙÝÓ 3 Ô Ö Ó Ó 3º Ö Ö ÑÓ Ø Ñ Ò r = 1.3º ÑÔÐÓ º¾ Ð Ò Ñ ÖÓ r 3 = 7 Ø Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð r 3 = Ù Ô Ö Ó Ó Ý ÔÓ ÑÓ Ö Ö r 3 = ÑÔÐÓ º Ð Ò Ñ ÖÓ r 4 = Ø Ñ Ò ÔÙ Ö Ö ÓÑÓ r 4 = Ý Ø Ò Ô Ö Ó Ó p = 456º Ò ÙÖ Ó Ñ Ú ÒÞ Ó Ñ Ø Ñ Ø ÔÙ ÔÖÓ Ö Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º ¾¾

37 Ì ÓÖ Ñ º½ Ë Ð Ò Ñ ÖÓ r ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ Ó Ô Ö º Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð r Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ Ó Ô Ö Ð Ò Ñ ÖÓ r ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ðº Ð Ø ÓÖ Ñ º½ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ô ÖØ ÕÙ ÐÐÓ ÕÙ Ý Ô Ö ÑÓ Ô ÖØ Ö ÐÓ ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ Ó Ô Ö º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ÑÙ Ó Ñ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ó x Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ ØÓ Ý ÒÓ Ô Ö Ý ÐÓ Ð Ò Ñ ÖÓ x ÙÒ ÖÖ ÓÒ Ðº Ð Ø ÓÖ Ñ ÒÓ ÙÒ ÓÖÑ Ô Ö ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ ÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð º ÑÔÐÓ º Ä Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð = ÒÓ Ô Ö Ý ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ù Ô Ò ÚÓ Ò ÑÓ ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø Ó ØÓ º ÆÓØ º½ ÄÓ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð ÓÒ Ò Ô Ò Ð Ò Ð ÙÖ Ó ÕÙ Ò ÑÓ Ý ÐÓ Ù Ö ÑÓ Ö ¹ Ù ÒØ Ñ ÒØ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð ÐÙÐÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÕÙ ØÙ Ò ÙÖ Ó Ñ Ú ÒÞ Ó Ñ Ø Ñ Ø º ÆÓØ º¾ Ò Ð ÔÖ Ø ÔÖÓÜ Ñ Ö ÑÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÙÝ Ô ÖØ Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò ÐÙ Ö ØÙ Ö ÐÙÐÓ ÓÒ π = ØÖ Ö ÑÓ ÓÒ π 3.14º Ø Ö Ð Ø Ñ Ð ÔÖ Ü Ñ Ð º ÑÔÐÓ º Î ÑÓ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ð Ñ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ö Ó Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó Ö Ó Ñ Ð Ý Ú Ú Ö º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a Ø ÓÑÓ a = G m s ÒØÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓÑ ÑÓ Ð Ñ Ò Ö Ó ÓÑÓ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð a Ý ÐÙ Ó ÓÒÚ ÖØ ÑÓ ÐÓ Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó Ö ÓÒ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ ÙÒ Ö Ó Ø Ò 60 Ñ ÒÙØÓ Ý 3600 ÙÒ Ó º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ô Ö ÓÒÚ ÖØ Ö Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a = Ö Ó Ñ Ð ÔÖÓ¹ ÑÓ ÓÑÓ Ù ( a = ) = ( ) = Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ó Ñ Ð Ò Ö Ó Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ð Ñ Ð Ð Ñ Ò Ö Ó º ÄÙ Ó ÓÒÚ ÖØ ÑÓ ¾

38 Ð Ô ÖØ Ñ Ð Ñ ÒÙØÓ Ó Ø Ò Ò Ó Ñ ÒÙØÓ Ñ Ð Ý ÐÙ Ó ÓÒÚ ÖØ ÑÓ Ð Ô ÖØ Ñ Ð ØÓ ÙÒ Ó Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ñ Ð ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÐÓ ÙÒ Ó Ô Ö ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ö Ñ Ð º ÑÔÐÓ º ÜÔÖ α = 5.03 Ò Ö Ó Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó α = (60) = = (60) = Ê Ø Ö Ð Ü Ø ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÚÓ ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ý ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö ÙÒ Ö Ø º Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ò Ó ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ö Ø Ý Ö ÔÖÓ Ñ ÒØ ÓÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ö Ø Ó ÑÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Óº O Q P(x) π 4 x 3 3 ÙÖ º½ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ð Ù ÒØ ÓÖÑ ØÓÑ ÑÓ ÔÓÖ ÓÒÚ Ò Ò ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ËÓ Ö Ø Ö Ø Ñ Ö ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó O ÒÓÑ Ò Ó ÓÖ Ò ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð 0º Ë Ð ÓÒ ÑÓ ÙÒ ÙÒ ÐÓÒ ØÙ Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ Q Ð Ö O ÙÒ Ø Ò ÙÒ ÙÒ Oº Ð ÔÙÒØÓ Q Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð 1º ÄÙ Ó Ó ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ ØÙ Ó Ð Ö O ÙÒ Ø Ò ¾ ÙÒ ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ¾º Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ ØÙ ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ 3 Ý ÐÓ Ñ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ º Ð ÔÙÒØÓ ØÙ Ó Ò Ð Ñ Ø Ð Ø Ò ÒØÖ O Ý Q Ð Ò Ð Ò Ñ ÖÓ 1 º Ð ÔÙÒØÓ ØÙ Ó ÙÒ Ø Ö Ó Ø Ò ÒØÖ O Ý Q Ð Ò Ð Ò Ñ ÖÓ 1 3 º Ë Ñ Ð Ö¹ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓØÖÓ Ö ÓÒ Ð º ÄÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ÓÒ Ð ÙÒ ÐÓÒ ØÙ º ÍÒ Ò Ñ ÖÓ Ý Ù ÒÚ Ö Ó Ø ÚÓ Ø Ò Ñ ØÖ Ñ ÒØ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ Òº ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÞÕÙ Ö O Ø Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ,...º Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ó Ó ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ P ÐÐ Ñ ÓÓÖ Ò P Ó Ð P Ý Ð Ö Ø ÙÝÓ ÔÙÒØÓ Ò Ò Ó ÓÓÖ Ò Ð ÐÐ Ñ Ö Ø Ö Ð º ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø Ö Ð Ø Ò Ó Ó ØÖ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ö O Ð ¾

39 Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÖÓ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÓÖ Ò O ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ø ÚÓ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÞÕÙ Ö Oº ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó a Ý b ÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð Ø Ò ÒØÖ a Ý b, ÒÓØ ÔÓÖ d(a,b), Ð Ñ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÓ ÙÒ Ò Ð Ö Ø Ö Ðº d(a,b) 0 d(a,b) = 0 Ù Ò Ó a = bº d(a,b) = d(b,a). Ð Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ a ÒÓØ Ó ÔÓÖ a Ð Ø Ò a Ø 0 Ö a = d(a,0). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a = { a a 0 a a < 0 Ò Ò Ö Ð a Ý b ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð d(a,b) = a b. Ö Ó ½º Ó ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð s = t = 0 u = 3 v = 1 4 w =.5 x = 3.14 Ý z = Ø ÖÑ Ò Ù Ð ÐÐÓ Ô ÖØ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ µ Æ Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð µ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ µ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð º ¾º Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð x = 1 4 y = 8 5 z = 1 3 Ý z = 3 7 º º Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÙÒÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð Ò Ð ÓÖÑ b.a 1,a a 3... Ý Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ b a 1 a Ý a 3 Ý Ù Ô Ö Ó Óº µ z = 7 3 µ w = 1 7 º º ÓÒÚ ÖØ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a = Ö Ó Ñ Ð º º ÜÔÖ α = 3.5 Ò Ö Ó Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó º º ÜÔÖ α = Ò Ö Ó Ñ ÒÙØÓ Ý ÙÒ Ó º º ÍÒ ØÐ Ø A ÓÖÖ ÙÒ Ñ Ö Ø Ò Ò ÓÖ 43 Ñ ÒÙØÓ Ý 15 ÙÒ Ó º ÍÒ ØÐ Ø B ÓÖÖ Ð Ñ Ñ Ñ Ö Ø Ò Ò.74 ÓÖ º ú Ù Ð ÐÓ Ó ØÐ Ø Ñ Ö Ô Ó ¾

40 ¾

41 Ä Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÁ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÓÒ Ð ØÙ Ó Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓÔ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÆÓ Ø Ò Ö ÑÓ Ò Ð ØÙ Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÓÖ Ò Ý ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ì Ñ Ò Ú Ö ÑÓ Ð ÔÖÓÜ Ñ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ó Ö Ñ Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Óº Ê Ð ÓÒ ÓÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð a Ý b ÑÓ ÕÙ a Ñ ÝÓÖ ÕÙ b Ý Ö ÑÓ a > b a b ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓº Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ÑÓ ÕÙ b Ñ ÒÓÖ ÕÙ a Ý Ö ÑÓ b < aº ÑÓ ÕÙ a Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ b Ý Ö ÑÓ a b a > b a = b Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ÑÓ ÕÙ b Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ a Ý Ö ÑÓ b aº Ë a > x Ý x > c Ö ÑÓ a > x > cº Á Ù ÐÑ ÒØ a x c Ò ÕÙ a x Ý x cº ÄÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ Ò Ò Ô ÖØ Ö Ú Ö Ö Ð ÓÒ ÓÖ Òº ÓÒØ ÒÙ ÓÒ Ö ÑÓ ØÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ý Ù Ö Ô Ö Ò Ò Ð ÙÖ º½ Ý º¾º Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a,b) Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ a < x < bº Ð ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [a,b] Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ a x bº ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÖØÓ (a,b] Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ a < x b, [a,b) Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ a x < b. a b ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a,b) ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [a,b] a b ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (a,b] a b ÁÒØ ÖÚ ÐÓ [a,b) ÙÖ º½ ¾

42 ÁÒØ ÖÚ ÐÓ Ò Ò ØÓ (,b] Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ x b, (,b) Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ x < b, [a, ) Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ x a, (a, ) Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ x > a, (, ) Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð. ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (,b] b ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (,b) a ÁÒØ ÖÚ ÐÓ [a, ) a ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (a, ) ÙÖ º¾ ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (, ) ÔÖÓÜ Ñ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ö ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ó Ö Ñ Ð º Å ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ØÓ Ð Ø Ö Ó ÑÔÐ Ö ÐÓ ÐÙÐÓ ÓÒ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ð ÙÒ Ó ÓÒ ÕÙ Ö ÑÓ Ñ ÒÙ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓ Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÔÙ Ö ÙÐØ Ö Ñ ÑÓ Ó Ö Ð Þ Ö ÐÙÐÓ ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ r = 1.1 Ò ÐÙ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ x = º Ë ÕÙ Ö ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ r ÕÙ Ø Ò n Ö Ñ Ð Ö ÕÙ Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ x Ø Ò Ð Ñ ÒÓ n+1 Ö Ñ Ð ÓÒÓ º Ö x Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ x = b.a 1 a...a n a n+1...º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÒÓ Ó ÓÑÓ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó Ô Ö ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ x ÔÓÖ Ñ Ó rº ÆÓØ º½ Ò ÑÓ r Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ b Ý ØÓ Ó ÐÓ ØÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÓÖ Ò Ð Ð Ò Ñ ÖÓ x Ø Ð ØÓ ÕÙ ÓÙÔ Ð ÔÓ Ò n 1º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ØÓ r ÕÙ ÓÙÔ Ð ÔÓ Ò n Ó ÖÚ ÑÓ Ð ØÓ ÕÙ ÓÙÔ Ð ÐÙ Ö n + 1 Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð x Ö Ð ØÓ a n+1 0 a n+1 < 5 Ð ØÓ ÕÙ ÓÙÔ Ð ÔÓ Ò n r Ó Ò ÓÒ Ð ØÓ ÕÙ ÓÙÔ Ø ÔÓ Ò Ò x Ö a n º Ë a n+1 5 Ð ÐØ ÑÓ ØÓ r Ù Ð a n + 1º Ö ÒÖ Ñ ÒØ ÑÓ Ð ØÓ a n Ò ÙÒ ÙÒ º Ù Ò Ó Ò Ø ÐØ ÑÓ Ó Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ a n Ù Ð 9 Ð ÒÖ Ñ ÒØ Ö Ð ØÓ a n Ò ÙÒ ÙÒ Ó Ø Ò ½¼ Ð ØÓ a n ÓÒÚ ÖØ Ò 0 Ý Ð ØÓ ÒØ Ö ÓÖ a n 1 ÒÖ Ñ ÒØ Ö Ò ÙÒ ÙÒ º ¾

43 ÓÒ ÐÓ Ù ÒØ ÑÔÐÓ ÐÙ ØÖ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓº ÑÔÐÓ º½ ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ x = 3.45 ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r ÓÒ Ó Ö Ñ Ð º Ò ÑÓ r Ð Ô ÖØ ÒØ Ö x Ý Ù ÔÖ Ñ Ö ØÓ Ñ Ð b = 3 Ý a 1 = 4º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÒ Ö Ñ Ð r Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ö Ö Ö Ñ Ð x a 3 = º ÓÑÓ a 3 < 5 ÒØÓÒ Ð ÙÒ Ö Ñ Ð r Ó Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ö Ñ Ð xº r = 3.45º Ò Ø Ó Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ Ö ÕÙ r ÔÖÓÜ Ñ x Ð ÒØ Ñ Ñ Ö Ò º ÑÔÐÓ º¾ ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ x = 3.45 ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r ÓÒ ÙÒ Ö Ñ Ðº Ò ÑÓ r Ð Ô ÖØ ÒØ Ö x ÓÑÓ Ð ÙÒ Ö Ñ Ð x a = 5 ÒØÓÒ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ñ Ð r Ù Ð a 1 +1 = 4+1 = 5º r = 3.5º ÑÓ ÕÙ r ÔÖÓÜ Ñ x Ð Ñ Ñ Ö Ò º ÑÔÐÓ º Î ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð π = ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r ÓÒ Ó Ö Ñ Ð º È Ö ÐÙÐ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ r ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÓÒ ÑÓ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ý Ð ÔÖ Ñ Ö ØÓ b = 3 Ý a 1 = 1º ÄÙ Ó Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ö Ö ØÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ñ Ð π a 3 = 1º ÓÑÓ a 3 < 5 Ð ÙÒ Ó ØÓ Ð ÔÖÓÜ Ñ Ò r Ó Ò Ö ÓÒ Ð ÙÒ Ó ØÓ πº Ç Ø Ò ÑÓ ÕÙ r = 3.14º Ö ÑÓ π 3.14 Ô Ö Ò Ö ÕÙ π ÒÓ Ù Ð 3.14 ÒÓ ÕÙ Ø Ù Ò Ó Ð Ö ÓÒ Ð r = 3.14 Ô Ö ÔÖÓÜ Ñ ÖÐÓº ÑÔÐÓ º Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ÙÒ Ñ ÔÖ Ü Ñ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ α = 41 ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò ÙÐÓ β = 40,5 Ð Ö Ó Ñ Ö ÒÓº ÆÓØ º¾ ÍÒ Ö ÙÐØ Ó Ò Ð Ó Ø Ò Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ Ó Ñ ÓÔ Ö ÓÒ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÖÓÜ ¹ Ñ Ó ÒÓ Ø Ò Ö Ñ Ö Ñ Ð ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ñ ÒÓ Ö Ñ Ð ÙØ Ð Þ Ó Ò Ð ÐÙÐÓº Ö Ó ½º Ø ÖÑ Ò a > b a = b a < b Ò ÐÓ Ù ÒØ Ô Ö Ò Ñ ÖÓ µ a = b = 1.5 µ a = b = 1.1º ¾º ÓÑÔÐ Ø ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö ÕÙ Ð ÜÔÖ Ò Ú Ö Ö µ < µ >= µ º º ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ý Ö ÔÖ ÒØ ÐÓ Ö ¹ Ñ ÒØ ¾

44 µ A = (,3) µ B = ( 1,+ ) µ C = ( 5,8] µ D = (,9) µ E = (, ) µ F = (, )º º Ø ÖÑ Ò Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ô ÖØ Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (,3] µ s = 1 µ t = 0 µ u = µ v = 3 µ w = 5 µ x = 3º º Ø ÖÑ Ò Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ô ÖØ Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ(, 3) : µ s = 1 µ t = 0 µ u = µ v = 3º º ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ ÔÓÖ Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ó Ö Ñ Ð µ v = 1.54 µ v = µ v = µ v = 1.999º º ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ñ Ö Ò º µ v = 1.54 µ v = µ v = 1.939º º ÔÖÓÜ Ñ w = ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ 1 Ö Ñ Ðº º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð = ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ó Ö Ñ Ð º ½¼º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ ÓÒ Ð 3 = ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ ÙÒ Ö Ñ Ðº ½½º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ Ð Ö Ó Ñ ÔÖ Ü ÑÓ µ α = 1.5 µ β = 45,05 µ γ = 15.1 º ½¾º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ π = ÓÒ Ù ØÖÓ Ö Ñ Ð º ½ º Ø ÖÑ Ò Ù Ð Ð Ù ÒØ ÖÑ ÓÒ ÓÖÖ Ø º Ù Ò Ó ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó Ô Ö ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r ÓÒ Ó Ö Ñ Ð µ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r µ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð r µ ÒÓ ÑÔÖ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð rº ¼

45 Ä Ò Å Ò ÙÐÓ Ø Ñ ÖÙÐ Ö Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð Ø Ñ ÖÙÐ Ö Ô Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ Ý Ú Ö ÑÓ Ð ÓÖÑ Ö Ð ÓÒ Ö Ð Ñ Ò Ö Ó Ý Ö Ò ÙÒ Ò ÙÐÓº Å Ò ÙÐÓ Ò Ö Ò È Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ Ò Ð Ø Ñ ÖÙÐ Ö ÙØ Ð Þ ÓÑÓ ÙÒ Ñ Ð Ö Ò ÒÓØ Ó Ö º ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ O Ý Ö Ó r ÙÒ Ö Ò Ð Ñ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ò O Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ ÖÓ ÙÝ ÐÓÒ ØÙ Ù Ð Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò º Î Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º½ O r 1rad r ÖÓ r O r α r s ÙÖ º½ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó r Ù ÑÓ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖ Ò Ô Ö ÐÙÐ Ö Ò Ð Ö Ó Ð ÐÓÒ ØÙ s Ð ÖÓ Ó Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ α Ò Ö Ò Ù Ò Ó ÓÒÓ ÑÓ Ð Ñ Ó ØÓ Ð Ñ ÒØÓ s r = α 1. Ä ÙÒ ÐÓÒ ØÙ s Ý r Ò Ö Ù Ð º Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ Ð Ò ÙÐÓ α Ó Ò Ö Ò s = r α. ÒØÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÓ º½µ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð α Ó Ò Ö Ò Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ Ð ÖÓ s α = s r. º¾µ ½

46 ÑÔÐÓ º½ ÐÙÐ Ð ÖÓ Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð ÙÝ Ñ Ö Ò Ò ÙÒ Ö¹ ÙÒ Ö Ò ÙÝÓ Ö Ó Ñ 6 ÒØ Ñ ØÖÓ º ÈÓÖ Ð Ù Ò º½µ s = rα = (6)() Ñ = 1Ñ. ÑÔÐÓ º¾ Î ÑÓ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ α ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÖÓØ Ò ÓÑÔÐ Ø ÐÖ ÓÖ Ð ÒØÖÓ Ò ÙÒ ÖÙÐÓ Ö Ó r Ñ π Ö Ò º Ò ØÓ Ö ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò C = πrº ÈÓÖ Ð Ù Ò º¾µ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ñ α Ò Ö Ò α = C r = πr = π. r Ð Ò ÙÐÓ α Ñ π Ö º ÑÔÐÓ º ÈÓÖ Ð ÑÔÐÓ º¾ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Ù Ø Ò ÙÒ Ñ ÖÙÒ Ö Ò π Ö Ò Ý Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ù ÖØÓ ÖÙÒ Ö Ò π Ö Ò º B B π rad 0 A π rad 0 A ÙÖ º¾ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ó Ü Ñ Ð ¹ Ö Ò ÈÙ ØÓ ÕÙ 180 ÓÖÖ ÔÓÒ Ò π Ö Ò Ù Ö ÑÓ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖ Ò Ô Ö ÓÒ¹ Ú ÖØ Ö Ö Ó Ü Ñ Ð Ö Ò Ó Ö Ò Ö Ó Ü Ñ Ð α g 180 = α r π rad, ÓÒ α g Ð Ñ Ò Ö Ó Ð Ò ÙÐÓ α Ý α r Ù Ñ Ò Ö Ò º º µ ÑÔÐÓ º Ë α r = 1 Ö Ò Ð Ñ Ò Ö Ó α g ÔÙ ÐÙÐ Ö ÔÓÖ α g = Ö π Ö = 180 π. ¾

47 ÑÔÐÓ º 1 Ö = 180, π Ú ÐÓÖ Ü ØÓ ÙÒ Ö Ò, 1 rad 57.3, Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÙÒ Ö Òº Ë α g = 1 ÒØÓÒ α r ÔÙ ÐÙÐ Ö ÔÓÖ ÒØÓÒ ÑÔÐÓ º α r = π Ö = π 180 Ö. 1 = π 180 Ö. ½º Ë Ð Ò ÙÐÓ α Ñ 30 º Ä Ñ α Ò Ö Ò ÐÙÐ 30 = 30 π 180 Ö = π 6 Ö. ¾º Ð Ò ÙÐÓ c Ñ ¾ Ö Ò º ÒÙ ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ Ð Ñ c Ò Ö Ó Ý Ù Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÒ Ó Ö Ñ Ð º Ê ÔÖ ÒØ Ø Ò ÙÐÓ ÓÑ ØÖ ¹ Ñ ÒØ º Ö = 180 = 360 π π c = 360 π c º ÙÖ º c ýò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð Ñ Ò Ö Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ 90 Ý 180 ÓÒ Ù Ð π Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ý π Ö Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð ÙÑ Ù Ñ Ò Ö Ò π Ö. Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð ÙÑ Ù Ñ Ò Ö Ò π Ö º

48 ÑÔÐÓ º Ë α = π 4 Ö ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý Ù Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Óº ÈÙ ØÓ ÕÙ π π 4 = π 4 Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó π 4 Ö π 4 Ö º Ð Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó π 4 Ö 3π 4 Ö Ó ½º Ð Ò ÙÐÓ b Ñ π 5 Ö Ý ÕÙ π π 4 = 4π π 4 = 3π 4 º Ö Ò º ÒÙ ÒØÖ Ù Ñ Ò Ö Ó ¾º ÜÔÖ ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ø Ñ ÖÙÐ Ö µ 30 µ 45 µ 60 µ 90 µ 10 µ 150 µ 180 º º Ó ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó µ π 5 Ö µ π 3 Ö. º Ó ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó π (a) Ö (b) π Ö (c) π Ö. 4 6 º ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ ÖÓ 13 ÒØ Ñ ØÖÓ Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ Ö Ó 10 ÒØ Ñ ØÖÓ º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ ÖÓ 3 ÒØ Ñ ØÖÓ Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÐÓÒ ØÙ 6 ÒØ Ñ ØÖÓ º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ Ò Ö Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ ÖÓ 3 ÒØ Ñ ØÖÓ Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÐÓÒ ØÙ 4 ÒØ Ñ ØÖÓ º º Ä Ñ ÙÒ Ò ÙÐÓ α 30 ú ÑÓ Ú Ö Ù Ñ Ò Ö Ò Ð Ñ α Ò Ö Ó Ü Ñ Ð ØÖ ÔÐ º Ë Ð Ñ Ò Ö Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ α ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ ú ÑÓ Ú Ö Ð Ñ α Ò Ö Ó ½¼º Ð Ö Ó ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ñ 1 Ѻ Ë Ð Ö Ó Ú ÔÓÖ 3 ú ÑÓ Ú Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÓ Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ π Ö Ò Ç ÖÚ 4 ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ Ô ÖÑ Ò ÓÒ Ø ÒØ º ½½º Ð Ö Ó ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ñ R Ѻ Ë Ð Ö Ó ØÖ ÔÐ ú ÑÓ Ú Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÓ Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ α Ö Ò ½¾º Ë Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ù Ñ ÒÙØ Ö ÙÒ Ö ÐÓ ½¼ ÒØ Ñ ØÖÓ º ú Ù Ð Ð Ø Ò Ö ÓÖÖ ÔÓÖ Ð ÔÙÒØ Ð Ù Ò ½ Ñ ÒÙØÓ ½ º Ë ÐÓ Ö Ó Ð ÖÙ ÙÒ Ð Ø Ñ Ò ¾¼ ÒØ Ñ ØÖÓ ÕÙ Ø Ò Ö ÓÖÖ Ð Ð Ø Ù Ò Ó Ð ÖÙ Ò ØÙ Ó ½¼¼ Ö ÚÓÐÙ ÓÒ ½ º ÄÓ Ö Ó Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö Ý ØÖ Ö ÙÒ Ð Ø Ñ Ò Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ½¾º Ý ¾ ÒØ Ñ ØÖÓ º µ Ë Ð ÖÙ ØÖ Ö ÓÑÔÐ Ø 100 Ö ÚÓÐÙ ÓÒ úù ÒØ Ö ÚÓÐÙ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö µú Ù Ð Ð Ñ Ò Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÖÓØ Ò Ð ÖÙ ØÖ Ö Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö ÖÓØ ¾¼ Ö Ò

49 Ä Ò Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò ÓÑÓ Ö ÞÓÒ ÒØÖ Ù Ð Ó º ØÙ Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ Ö ÔÖÓ Ý Ð Ó ÙÒ ÓÒ º ÓÒØ ÒÙ Ò Ú ÑÓ Ò Ö Ð Ö Ð ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ø Ò ÒØ ÓØ Ò ÒØ ÒØ Ý Ó ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÓÑÓ Ö ÞÓÒ ÒØÖ Ð Ñ Ù Ð Ó ÔÓÖ ÑÔÐ ÒÓØ Ö ÑÓ Ø Ö Ð ÓÒ ÔÓÖ sen cos tan cot sec Ý csc Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º È Ö Ð Ò ÓÒ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ô Ð ÐÓ Ø ØÓ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ù Ù Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ò ÙÐÓº B a C 90 b c A a Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÐÓ A b Ð Ø ØÓ Ý ÒØ Ð Ò ÙÐÓ A c Ð ÔÓØ ÒÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓº ÙÖ º½ Ä Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÓÖ Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ sena = = a ÔÓØ ÒÙ c, Ø ØÓ Ý ÒØ cosa = = b ÔÓØ ÒÙ c, Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ tana = Ø ØÓ Ý ÒØ = a b, Ø ØÓ Ý ÒØ cota = Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ = b a, ÔÓØ ÒÙ seca = Ø ØÓ Ý ÒØ = c b, csca = ÔÓØ ÒÙ Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ = c a. Ä Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ñ Ò ÒÓÑ Ò Ò Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º

50 ÑÔÐÓ º½ Ë Ò Ð ÙÖ º½ a = 3 b = 4 Ý c = 5 ÐÙÐ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Aº sena = a c = 3 5, cosa= b c = 4 5, tana = a b = 3 4, cota= b a = 4 3, seca = c b = 5 4, csca= c a = 5 3. Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ò Ò Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý Ô Ö Ö ÞÓÒ ÕÙ ÓÒ Ö ÔÖÓ º ØÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Þ Ò Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ð ÙÒ a c b c a b Ð Ö ÔÖÓ Ð Ö ÔÖÓ Ð Ö ÔÖÓ c a, c b, b a. Ì Ò ÑÓ ÒØÓÒ Ð Ù ÒØ Ù Ð ÕÙ Ö Ò Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð ÓÒ Ö ¹ ÔÖÓ ÑÔÐÓ º¾ sena = 1 csca, cosa = 1 seca, tana = 1 cota. Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð Ñ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÐÓ A Ñ Ý Ð Ù Ø ØÓ Ý ÒØ Ñº ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ò ÙÐÓº ËÓÐÙ Ò Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ ÐÓ ØÓ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º¾º B 6 c C 90 8 A ÙÖ º¾

51 È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÓ ÓÒÓ Ö Ñ Ð ÐÓÒ ØÙ Ù Ø ØÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ù ÔÓØ ÒÙ º ÈÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ø Ò ÑÓ ÕÙ ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ c = 6 +8 = = 100, c = 10 Ñ. sena = 6 10 = 3 5, cosa = 8 10 = 4 5, tana = 6 8 = 3 4. Í ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ Ö ÔÖÓ Ý Ó Ø Ò ÑÓ csca = 1 sena = 5 3, seca = 1 cosa = 5 4, cota = 1 tana = 4 3. Ê Ð ÓÒ Ó ÒØ Ð Ò ÓÒ Ð Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓ ÑÓ Ñ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ tana = sena cosa Ý cosa cota = sena. º½µ Ò ØÓ sena cosa = a c b c = a b = tana, cosa sena = b c a c = b a = cota. ÑÔÐÓ º Ë ÓÒÓ ÕÙ senα = º½µ Ö Ó 3 Ý cosα = 1 tanα = senα cosα = ÒØÓÒ Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ù Ð Ò 3 1 = 3. ½º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ BAC Ð Ò ÙÐÓ A Ö ØÓº ÐÙÐ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ B Ý C b = Ñ Ý c = 4 Ѻ

52 ¾º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ BAC Ð Ò ÙÐÓ A Ö ØÓº ÐÙÐ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ B Ý C a = 1 Ñ Ý c = 4 Ѻ º ÐÙÐ cota sena = cosa =. º ÐÙÐ csca sena = 1. º ÐÙÐ seca cosa = 1º º ú ÔÓ Ð ÕÙ senc = 3 Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ABC ÓÒ B = 90 º ú ÔÓ Ð ÕÙ tanc = 3 Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ABC ÓÒ B = 90 º Ò Ð Ù ÒØ Ø Ð Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ sena Ô Ö Ö ÒØ Ò ÙÐÓ A ÓÑÔÐ Ø ÐÓ ØÓ ÐØ ÒØ Ô Ö cscaº A sena csca

53 Ä Ò ½¼ Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ACB Ð ÙÖ ½¼º½ ÔÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó A Ý B Ý ÓÑÔ Ö ÖÐ B a c sena = a c, cosa = b c, tana = a b, cota = b a, C 90 b A seca = c b, csca = c a º ÙÖ ½¼º½ senb = b c, cosb = a c, tanb = b a, cotb = a b, secb = c a, cscb = c b. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ senb = cosa Ý cosb = sena tanb = cota Ý cotb = tana secb = csca Ý cscb = secaº ÓÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ A Ý B ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ ÖÑ ÓÒ Ð ÒÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù Ð Ð Ó ÒÓ Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Óº Ä Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù Ð Ð ÓØ Ò ÒØ Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö Óº Ä ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù Ð Ð Ó ÒØ Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ö Óº

54 ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ò Ò Ð ÐÐ Ñ ÒØ ÔÓÖ Ó ÙÒ Òº È Ö Ò ÙÐÓ Ù Ó A ÙÑÔÐ ÕÙ sena = cos(90 A), cosa = sen(90 A), tana = cot(90 A), cota = tan(90 A), seca = csc(90 A), csca = sec(90 A). ½¼º½µ ÑÔÐÓ ½¼º½ ÄÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÓÒ α Ý βº Ë senα = 1 ÒÙ ÒØÖ cosα tanα senβ cosβ Ý tanβº ËÓÐÙ Ò Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð Ò Ò Ð Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ñ Ò Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ù Ð ÙÒ Ø ØÓ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ Ø Ò Ò ÐÓÒ ØÙ Ù Ð ½ ÙÒ Ý ¾ ÙÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ñ Ù Ð Ô Ö Ð Ó Ñ Ò ÓÒ µº È Ö ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð Ó ÒÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ bº Î Ð ÙÖ ½¼º¾ C 90 a = 1 β B ÙÖ ½¼º¾ b α c = A ÈÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ÈÓÖ ÐÓ Ù Ð ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ = 1+b. b = 4 1; Ý ÒØÓÒ b = 3. cosα = 3 Ý tanα = 1 3 = ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÕÙ Ü Ø Ò ÒØÖ Ð Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ý Ù Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ø Ò ÑÓ 3 3. senβ = 3 y cosβ = 1. ¼

55 ÈÓÖ ÐØ ÑÓ ÑÔÐÓ ½¼º¾ tanβ = senβ cosβ = 3 1 = 3. Ë Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ A 35 Ý ÕÙ sena 0.57 Ý cosa 0.8 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ 55 º ËÓÐÙ Ò Ò Ö ÐÑ ÒØ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÔÓÖ ÐÐÓ ØÓÑ ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ ÓÒ ØÓÑ Ò Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ Ö Ñ Ð º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÒÓ Ô Ö Ð ÒØ Ü Ø Ý Ô Ö Ð ÒØ ÔÖÓÜ Ñ º Î Ö ÕÙ Ö Ð ÒÓØ º½ Ò Ð Ô Ò ¾ º ÓÑÓ 55 = ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÒØ ÔÓÖ Ó ÙÒ Ò sen55 = cos35 0.8, cos55 = sen Ë ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÔÙ ÐÐ Ö Ö Ð Þ Ò Ó Ð Ú Ò Ð ÒÓ ÔÓÖ Ð Ó ÒÓ Ó Ò ÙÐÓº Ì Ò ÑÓ ÒØÓÒ ÑÔÐÓ ½¼º tan Ë sen Ý sen ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ¹ ØÖ ÐÓ Ó Ò ÙÐÓ º ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ = 90 ÐÓ Ó Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º ÒØÓÒ ÐÐ ÑÓ Ð Ö Ð ¹ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ 7 Ý ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 63 cos7 = sen(90 7 ) = sen , tan , csc , sec , cot ÓÖ ÐÐ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ 63 cos63 = sen7 0.45, tan63 = cot7 1.96, cot63 = tan7 0.51, sec63 = csc7., csc63 = sec ½

56 Ö Ó Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ α Ý β ÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ ÒÙÑ Ö Ð ÓÒ ØÖÙÝ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ý ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÐØ ÒØ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒØ ÒÙ Ò senα cosα tanα senβ,cosβ Ý tanβº ½º cosα = 1, ¾º cosα = 3, º tanβ = º secβ = 1.5º ¾

57 Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ô Ð Ä Ò ½½ Ò Ø Ð Ò Ú Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ 45,60 Ý 30 ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ º Ì Ñ Ò Ö ÑÓ Ð ÙÒÓ Ö Ó ÔÐ Òº Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ 45 º ÌÓÑ ÑÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð ACB Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð ÙÖ ½½º½ Ù Ó Ø ØÓ Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÐÓÒ ØÙ a Ð Ò ÙÐÓ Ò C Ö ØÓ Ý Ù Ó Ò ÙÐÓ Ù Ó Ñ Ò 45 Ý ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º Î Ð Ð Ò Ò Ð Ù Ð ØÙ ÑÓ Ð ÔÖÓÔ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð º È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ú ÑÓ ÜÔÖ Ö Ð ÔÓØ ÒÙ Ò Ø ÖÑ ÒÓ a B c = a 45 A a a C c = a +a = a, c = a, c = a. ÙÖ ½½º½ ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÑÓ sen45 = a a = 1 =, tan45 = a a = 1. ÍØ Ð Þ ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý Ð Ö Ð ÓÒ Ö ÔÖÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ø ÒØ cos45 = sen45 =, cot45 = tan45 = 1,

58 sec45 = 1 cos45 = Ý csc45 = sec45 =. Ê Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ 60 Ý 30 Ò Ð ÙÖ ½½º¾ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ABCº ËÙ ØÖ Ò ÙÐÓ CAB ABC Ý BCA ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ý Ù Ñ 60 º ËÙ Ð Ó ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ý Ø Ò Ò ÐÓÒ ØÙ lº ÈÓÖ ÔÖÓÔ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ Ð ÐØÙÖ CD Ó Ö Ð Ð Ó AB ØÖ Þ Ð Ò ÙÐÓ BCA Ý Ú Ð Ð Ó AB Ò Ó Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð Ñ Ñ Ñ l Ú Ð Ø ÓÖ Ñ º Ò Ð Ð Ò µº C 30 l h A D B ÙÖ ½½º¾ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ADC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò D Ð ÐÓÒ ØÙ Ù ÔÓØ ÒÙ l ÙÒÓ Ù Ø ØÓ Ñ l Ý Ð ÓØÖÓ hº Í ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ô Ö ÐÙÐ Ö h Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ð Ó l l = h + ( ) l = h + l 4, h = l l 4 = 4l l 4 3l 3 h = 4 = l. = 3l 4, ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ø Ò ÑÓ

59 A l 60 l C B 3 l sen60 = tan60 = sec60 = l l 3 l l 3 l l ÙÖ ½½º 3, cos60 = l l = 1, = = l 3 cot60 3 = 3 l = 3 =, csc60 = l 3 l = 3 3. ÄÓ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ò 30 Ý 60 ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó sen30 = cos60 = 1 3, cos30 = sen60 =, 3 tan30 = cot60 = 3, cot30 = tan60 = 3 sec30 = csc60 = 3 3, csc30 = sec60 = ÑÔÐÓ ½½º½ ÒÙ ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ x = sen45 (csc45 sen30 )º ËÓÐÙ Ò Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ø Ò ÑÓ x = sen45 (csc45 sen30 ) = ( ) x = 1 = 4 1. ( 1 ), ÑÔÐÓ ½½º¾ ÒÙ ÒØÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ ½½º M n = 3 Ñ π 4 90 l ÙÖ ½½º L m N

60 ËÓÐÙ Ò Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ù Ò Ó ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ñ 45 Ø ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÐÓ Ó Ø ØÓ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ º ÒØÓÒ Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ø Ñ Ù ÓÒ m = l, m +l = 9. Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ø Ò ÑÓ 9 m = 9, m =. Ë ÑÔÐ Ò Ó Ø Ò ÕÙ m = 3 = 3. Ë Ò ÑÓ ÔÓÖ P Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò ÑÓ ÕÙ P = 3+m+l = 3+m+m = 3+m ( 3 ) = 3+ = 3+3 = 3(1+ ) Ñ. Ö Ó ½º À ÐÐ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ ÓÒ π 6 Ý π 3 º ¾º ÍÒ ÜØÖ ÑÓ ÙÒ Ð Ñ Ö ÓÔÓÖØ Ö ÓÐÓ Ó Ò Ð ÜØÖ ÑÓ ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ ÔÓ Ø Ø Ð Ò Ó Ñ ØÖÓ ÐØÙÖ Ý Ð ÓØÖÓ Ö Ò Ð Ù ÐÓ ÓÖÑ Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ 45 ÓÒ Ð Ù ÐÓº ú Ù Ð Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ñ Ö º ÒÙ ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ x = 3sen (45 ) 5sen30 º º ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ò Ú Ð Ð Ù ÐÓ Ý ÙÒ Ø Ò º Ñ ØÖÓ Ð ÙÒ Ø Ò Ö Ú Ù ÔÙÒØ º Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð Ù ÐÓ Ý Ð Ð Ò ÕÙ Ú Ó ÔÙÒØÓ Ø Ð ÔÙÒØ Ð Ø 30 º ÐÙÐ Ð ÐØÙÖ Ð Ø º

61 Ä Ò ½¾ ËÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Á Ò Ø Ð Ò Ú Ö ÑÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ý ÐÓ Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò¹ ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ÈÖ ÒØ ÑÓ Ð ÙÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Òº Ù Ò Ó Ö ÕÙ Ö ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó Ó Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó Ö Ù Ó ÙÒ Ø Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ÙÒ ÐÙÐ ÓÖ º Ò Ð ÑÔÐÓ ½¾º½ ÔÖ Ò Ö ÑÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ø Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ Ô Ö Ò Ð Ô Ò ¾¾º ÄÙ Ó ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ù Ö Ð ÐÙÐ ÓÖ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ì Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ä Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½º½ ÕÙ Ô Ö Ò Ð Ô Ò ¾¾ ÓÒ Ø ÙÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÙÑÒ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ö Ó ÒØÖ 0 Ý 45 ÙÒ ÓÐÙÑÒ Ô Ö ÙÒ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ö Ô Ø ÚÓ Ò ÙÐÓ Ý Ò ÐÑ ÒØ ÙÒ ÓÐÙÑÒ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØÖ 45 Ý 90 Ö ØÓ Ò ÓÖ Ò ÒÚ Ö Óº Ç ÖÚ ÕÙ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ð Ò Ø Ø Ð Ð ÙÑ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð ÐØ Ñ ÓÐÙÑÒ 90 Ö ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó º Ç ÖÚ ÑÓ Ø Ñ Ò ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð ÐØ Ñ Ð Ò Ð Ø Ð ÓÒØ Ò Ò ÐÓ ÒÓÑ Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ë Ò Ñ Ö Ó Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò ÓÐÙÑÒ Ô Ö Ð ÒÓÑ Ö ÙÒ Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý Ò Ñ Ñ ÓÐÙÑÒ Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ò Ô Ö Ù Ö Ô Ø Ú Ó ÙÒ Òº È Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ ÝÓÖ 45 Ù ÑÓ Ð ÒÓÑ Ö Ð Ö Ð Ò Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ò Ð Ø Ð º ÑÔÐÓ ½¾º½ ÐÙÐ ÑÓ sen8 º Ò Ð Ø Ð ½º½ Ð Ô Ò ¾¾ Ù ÑÓ Ð Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ 8 Ý ÐÙ Ó ÐÓ Ð Þ ÑÓ Ð ÓÐÙÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓº ÌÓÑ ÑÓ Ð ØÓ ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ Ð ÓÐÙÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ò Ý Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ sen

62 ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó 8 6 Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ù Ó ÒÓ ÐÓ Ð Þ ÑÓ Ð ÓÐÙÑÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ó ÒÓ Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ò Ð Ø Ð Ý ÒÓÒØÖ ÑÓ ÕÙ cos Í Ó ÐÙÐ ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ö Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÈÓÖ ÐÓ Ò Ö Ð Ð ÐÙÐ ÓÖ ØÖ Ò Ø Ð Ó ÓØÓÒ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ Ó¹ ÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ Óº Ò Ð ÙÒ ÔÓ Ð ÐÙÐ Ö Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ö Ð ÓÒ Ó ÒØ ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ º Ù Ò Ó Ð ÐÙÐ ÓÖ ÒÓ ØÖ Ø ÐØ Ñ Ö Ð ÓÒ Ô Ö Ó Ø Ò ÖÐ Ò Ù Ö Ð Ö Ð ÓÒ Ö ÔÖÓ º Ò Ð ÙÒ ÐÐ ÔÙ ÐÙÐ Ö ÓÒ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ö Ó Ó Ö Ò º Ò Ø Ó Ú Ö Ö ÕÙ Ð ÐÙÐ ÓÖ Ø Ò Ð Ø Ñ Ñ Ù Óº Ä ÐÙÐ ÓÖ Ö ØÓÖÒ Ò Ú ÐÓÖ ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ó Ö Ñ Ð Ð Ù Ð Ô Ò ÑÙÝ Ú Ö Ó ØÓÖ º Ò Ó ÔÙ Ò Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ Ð ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÓÒÚ Ò Ò º ÑÔÐÓ ½¾º¾ ÔÖÓÜ Ñ Ð Ú ÐÓÖ sen3 ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ñ Ð º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÒÓ ÙÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÐÙÐ ÓÖ Ø Ò Ð ÑÓ Ó Ö Ó º Ä ÐÙÐ ÓÖ Ö ØÓÖÒ Ð Ò Ñ ÖÓ º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ Ö Ñ Ð Ó Ø Ò ÑÓ Ø Ñ ØÓ Ó Ù ÜÔÐ Ó Ò Ð Ð Ò º ÑÔÐÓ ½¾º sen ÔÖÓÜ Ñ Ð Ú ÐÓÖ sec3 ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ Ö Ñ Ð º ËÓÐÙ Ò ÍØ Ð Þ ÑÓ Ð Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ sec3 1 = cos3 º Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ Ó Ö Ñ Ð ÑÓ ÓÒÓ Ö ÔÓÖ ÐÓ Ñ ÒÓ ØÖ Ù Ö Ñ Ð º ÁÒØÖÓ Ù ÑÓ Ò Ð ÐÙÐ ÓÖ cos3 Ð ÐÙÐ ÓÖ ÚÙ ÐÚ Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ sec3 sec3 1 = cos Ä ÐÙÐ ÓÖ ÚÙ ÐÚ Ð Ú ÐÓÖ Ý ÒÙ ØÖ Ö ÔÙ Ø ÓÒ Ù ØÖÓ Ö ¹ Ñ Ð sec Ì Ñ Ò ÔÙ Ó Ø Ò Ö Ø Ö ÙÐØ Ó Ò Ð Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ô Ò ¾¾º

63 È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ò ÙÐÓ α Ø Ð ÕÙ 0 α 90 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ ÓÒÓ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð Ø Ð sen 1,cos 1 Ý tan 1 Ð ÐÙÐ ÓÖ Ó ÕÙ ÐÐ Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ÒÙ Ð Ù ÐÙÐ ÓÖ Ð Ò ÕÙ Ô Ö Ø ÔÖÓÔ ØÓº ÑÔÐÓ ½¾º Ë senα = 0.75 ÒÙ ÒØÖ Ð Ò ÙÐÓ α Ò Ö Ó ÔÖÓÜ Ñ Ó ÓÒ ÙÒ Ö ¹ Ñ Ðº ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ Ú Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÐÙÐ ÓÖ Ø ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ø Ñ Ü Ñ Ð ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð Ø Ð sen 1 ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ 0.75 Ò Ð ÓÖ Ò Ò Ó Ò Ð Ñ ÒÙ Ð Ð ÐÙÐ ÓÖ º Ø ÒÓ ÚÙ ÐÚ Ð Ò Ñ ÖÓ º Ä Ö ÔÙ Ø α Ê ÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ê ÓÐÚ Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ø Ò ÐÐ Ö Ð Ñ Ù Ð Ó Ý Ù Ò ÙÐÓ º È Ö Ö ÓÐÚ Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÑÓ Ø Ò Ö Ò ÓÖÑ Ò Ò Ó Ù Ð Ó Ó ÙÒ Ð Ó Ý ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù Óº Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ ½¾º½º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ Ò ØÙ ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ò ÐÙÐ Ö Ò ÓÖÑ Ü Ø ÔÓÖ Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÙÒ Ö Ñ Ðº ËÓÐÙ Ò B c = 10 cm β a A α 90 b ÙÖ ½¾º½ C ÈÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ a ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ò Ò Ð ÙÒ Ò ÒÓº Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ sen Ø Ò ÑÓ sen35 = a 10. a = 10 (sen35 ) 10 (0.5736) Ñ. ÓÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý β ÓÒ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó α+β = 90. ÈÓÖ ÐÓ Ù Ð β = 90 α = = 55.

64 Ð Ú ÐÓÖ b ÔÙ ÐÙÐ Ö Ö ÒØ ÓÖÑ Ù Ò Ó Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ó Ð Ò ÓÒ ÒÓ Ó Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓº Ð ÑÓ Ð ÐØ Ñ ÓÔ Ò Ó ÕÙ tan , Ó Ø Ò ÑÓ tan55 = b a b 5.736, b 5.7 (tan55 ) (1.481) Ê ÔÙ Ø α = 35,β = 55,c = 10 Ñ a 5.7 Ñ Ý b 8. Ѻ Ö Ó ½º ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ Ù ÒØ Ú ÐÓÖ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÒ Ð ÓÒ ¾ Ö Ñ Ð a)sen31, (b)tan55, (c)cos75, (d)cot5. ¾º ÔÖÓÜ Ñ Ö Ó ÒØ ÖÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ù ÒØ Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ a)senα = 0.43, (b)tanβ = 1.3, (c)cosγ = 0.76, (d)cotθ = º ÜÔÐ ÕÙ ÑÓ Ó Ø Ò Ö ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ò Ó Ò Ð ÒÙÑ Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ Ù Ò Ó Ò ¹ Ñ ÒØ Ð Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½º½ ÕÙ Ô Ö Ò Ð Ô Ò ¾¾º º Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ð ÙÖ ½¾º¾º ÔÖÓÜ Ñ ØÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ Ñ Ö Ò º B a 90 c = 964Ñ C b 36 A ÙÖ ½¾º¾ ¼

65 Ä Ò ½ ËÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÁÁ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓ Ò Ó Ö Ó Ö Ð ÓÒ Ó ÓÒ Ð ÓÐÙ Ò ØÖ Ò Ù¹ ÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ º Ì Ñ Ò ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ Ð ÓÖÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ÑÔÐÓ ½ º½ Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ACB Ø Ð ÕÙ C = 90 Ù ÔÓØ ÒÙ Ñ ½ Ñ Ý ÙÒÓ Ù Ø ØÓ Ñ Ñº ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ó ÒØ ÖÓ º ËÓÐÙ Ò À ÑÓ ÙÒ ÕÙ Ñ ÕÙ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ò Ó ÐÓ ØÓ ÓÒÓ¹ Ó ÒØ Ò Ó ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ÑÓ ÒÓÒØÖ Öº Î Ð ÙÖ ½ º½º A b = 8 Ñ 90 C c = 17 Ñ B a ÙÖ ½ º½ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ñ Ð Ð Ó a Ý Ð ÐÓ Ò ÙÐÓ A Ý Bº ÔÐ ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ (17) = 64+a, 89 = 64+a, a = = 5, a = 5 = 15 Ñ. ÈÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÐÓ Ó Ò ÙÐÓ Ù Ó Ô ÖØ Ö Ð Ò Ò Ù ÐÕÙ Ö Ð Ö ÞÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º sena = , A 6. ½

66 Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ B Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØÓ Ð Ò ÙÐÓ A ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÔÐÓ ½ º¾ B = 90 A 90 6, B 8. Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ACB Ð ÙÖ ½ º¾ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý CD Ð ÐØÙÖ Ó Ö Ð ABº ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ Ù Ð Ó Ý Ù Ò ÙÐÓ º ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ Ö Ó Ý ÐÓ Ð Ó Ñ ÒØ Ñ ØÖÓº C b α A 90 D 90 c β B ÙÖ ½ º¾ ËÓÐÙ Ò ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ α Ý β Ð ÐÓÒ ØÙ b Ý Ð Ñ Ð Ð Ó AB Ð Ù Ð ÒÓØ Ö ÑÓ ÔÓÖ cº Ô ÖØ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ CDB Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ò ÙÐÓ β senβ = ÈÓÖ ÐÓ Ù Ð Ý β.6 α = 90 β Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ACB ÐÙÐ ÑÓ Ð Ñ Ò ÓÒ ÕÙ ÐØ Ò b Ý cº À ÐÐ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ β Ý ÒÓÒØÖ ÑÓ ÕÙ tanβ Ý secβ 1.083, tanβ = b 13, b 13 (0.416) 5.4 Ñ, secβ = c 13, c 13 (1.083) 14.1 Ñ. ¾

67 ÓÖÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÍØ Þ ÑÓ Ð ÒÓØ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ð ÙÖ ½ º º Ë ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ýö = 1 bh. ½ º½µ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ BDC Ø Ò ÑÓ ÕÙ senc = h a. Ô ÑÓ h h = asenc. ËÙ Ø ØÙÝ Ò Ó Ð ÜÔÖ Ò Ô Ö h Ò ½ º½µ Ó Ø Ò ÑÓ ýö = 1 absenc. ½ º¾µ B a h c C 90 D b ÙÖ ½ º A ÑÔÐÓ ½ º Ë Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ð ÙÖ ½ º a = 3 Ñ b = 10 Ñ Ý Ð Ò ÙÐÓ C = 45 Ù Ö Ø Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ ýö = 1 (3)(10)sen45 = 15 = 15 Ñ. Ö Ó ½º ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ó ÖÚ ÙÒ Ö ÓÐ ÙÝ ÐØÙÖ Ô º Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ô Ó Ý Ð Ð Ò ÕÙ Ú P Ð Ô ÖØ ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ö ÓÐ Ñ 60 º ÐÙÐ Ð Ø Ò P Ð Ð Ö Óк ¾º Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ð ÙÖ ½ º ÓÒ Ö Ò Ó ÕÙ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò Bº ÒÙ ÒØÖ Ù Ö

68 B a 90 c C 58 b = 110 Ñ A ÙÖ ½ º º Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ACB Ð Ò ÙÐÓ Ò A Ñ 5 Ý Ð Ø ØÓ b Ý ÒØ Ø Ø Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ º Ѻ ÐÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ Ù Ó B Ð Ø ØÓ a Ý Ð ÔÓØ ÒÙ cº ÔÖÓÜ Ñ Ù Ö ÔÙ Ø ÙÒ Ö Ñ Ðº º ÒÙ ÒØÖ Ð ÐØÙÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ð Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ñ 68 Ý Ù Ø Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ½ Ѻ ÔÖÓÜ Ñ Ù Ö ÔÙ Ø Ð ÒØ Ñ ØÖÓ Ñ Ö ÒÓº º ÒÙ ÒØÖ Ð Ð Ó ÙÒ Ü ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ò Ö ØÓ Ò ÙÒ ÖÙÐÓ ÓÒ Ö Ó 10 Ò¹ Ø Ñ ØÖÓ º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ð Ó ÙÒ ÔÓÐ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ð Ó Ò Ö ØÓ Ò ÙÒ ÖÙÐÓ ÓÒ Ö Ó 4 ÒØ Ñ ØÖÓ º º Ò Ð ÙÖ ½ º h = 5 Ñ Ý Ð Ñ ÒØÓ CD Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ABº ÒÙ ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó ABº ÔÖÓÜ Ñ Ù Ö ÔÙ Ø Ð ÒØ Ñ ØÖÓ Ñ Ö ÒÓº C A h D ÙÖ ½ º B

69 Ä Ò ½ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Á ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÓÒ Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ ÔÐ Ò Ò ÐÓ Ù Ð Ò ÐÓ ÐÙÐÓ Ð Ø Ò Ñ Ò Ö Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ù Ó Ð Ò ÓÒ Ý ÔÖÓÔ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ð ÒØ Ò ÙØ Ð Þ Ó Ð Ö Ð ÓÒ ÒØÖ ÐÓ Ð Ó Ý Ò ÙÐÓ ÙÒ ØÖ Ò¹ ÙÐÓº ÍÒ Ð ÔÖ Ñ Ö ÔÐ ÓÒ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ò ØÖÓÒÓÑ Ô Ö ÔÖ Ö Ð ØÖ Ý ØÓÖ Ý Ð ÔÓ ÓÒ ÐÓ Ù ÖÔÓ Ð Ø Ý Ò Ò Ö Ð Ô Ö Ñ Ö Ø Ò ÕÙ ÒÓ ÔÓ Ò ÐÙÐ Ö Ò ÓÖÑ Ö Ø º Ë ÖÑ ÕÙ ÐÓ ÐÓÒ Ó Ý ÐÓ Ô Ó Ù ÖÓÒ ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö ØÙ Ö Ñ ÓÒ Ò Ö ÙÐØÙÖ Ò Ð Ò Ú Ò Ý Ò Ð ÐÙÐÓ Ð Ø ÑÔÓº ÑÔÐÓ ½ º½ ÍÒ Ò Ó Ø Ð Ú Ò Ó ÙÒ ÓÑ Ø Ý Ø Ò Ù Ñ ÒÓ ÙÒ ÐØÙÖ ½ Ñ ØÖÓ ÔÓÖ Ò Ñ Ð Ù ÐÓº Ë Ð ÓÑ Ø ÐÐ Ñ ØÖÓ Ý Ð Ù Ö Ð ÓÑ Ø ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ 60 ÓÒ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð úù ÒØÓ Ñ ØÖÓ Ù Ö Ø ÙØ Ð Þ Ò Ó ËÓÐÙ Ò Ò Ð Ö Ð ÙÖ ½ º½ ÐÙ ØÖ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ð ÔÙÒØÓ P Ö ÔÖ ÒØ Ð ÐÓ ¹ Ð Þ Ò Ð Ñ ÒÓ Ð Ò Ó Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ RS Ð ÐØÙÖ Ð ÓÑ Ø º ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ xº ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ y Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ QR Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ PQRº x 60 P O R 65 Q S y = 65 1 = 64. Í ÑÓ Ð Ò Ò ÒÓ sen60 = y x = 64 x x = x = 18 3 = Ѻ ÙÖ ½ º½

70 ÑÔÐÓ ½ º¾ ÍÒ ÓÒ ØÖÙØÓÖ Ö ÙÒ Ö ÑÔ º Ñ ØÖÓ Ð Ö Ó ÕÙ Ð Ú ÒØ ½º Ñ ØÖÓ Ó Ö Ð Ò Ú Ð Ð Ù ÐÓº ÐÙÐ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ö ÑÔ ÓÖÑ ÓÒ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÜÔÖ Ù Ö ÔÙ Ø Ò Ñ Ö Ó ËÓÐÙ Ò Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ö Ð ÙÖ ½ º¾ B 90 A b c = 1.5 Ñ a = 7.5 Ñ γ ÙÖ ½ º¾ C ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ γ º sen γ = c a = = 0., γ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ö ÑÔ ÓÖÑ ÓÒ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ñ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ 11.5 º ÑÔÐÓ ½ º ØÖÓÒÓÑ Ë ÓÒÓ ÕÙ Ð Ø Ò Ð Ì ÖÖ Ð ËÓÐ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð ½ º Ñ ÐÐÓÒ Ð Ñ ØÖÓ Ý ÕÙ Ð Ñ Ü ÑÓ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ð Ò ÕÙ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ËÓÐ Ý Ð Ð Ò ÕÙ Ú Ð Ì ÖÖ Î ÒÙ 46 Ý ÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ì ÖÖ Ý Î ÒÙ Ö Ò Ö Ø ÖÙÐ Ö ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ úù Ð Ð Ø Ò Î ÒÙ Ð ËÓÐ ÔÖÓÜ Ñ Ñ Ò ¾ ¼ Ó ÒØ Ö ØÓ Ö Ø ÖÓ ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ý ØÖ ÒÓÑÓ Ö Ó Ù Ö ÕÙ Ð Ì ÖÖ Ö ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ Ý ÐÙÐ Ð Ø Ò ÔÖÓÜ Ñ ÒØÖ Ð ËÓÐ Ý Ð Ì ÖÖ º ÅÙ Ó Ó ÔÙ ÓÒÓ ÕÙ Ð Ö Ø Ö Ø ÔÓÖ Ð Ì ÖÖ ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ Ð ÔØ º ËÓÐÙ Ò Ä Ì ÖÖ Ý Î ÒÙ Ö Ò Ö Ø ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ º ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ α Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ð Ò Ö Ø ÕÙ Ú Ð Ì ÖÖ Î ÒÙ Ý Ð Ð Ò Ö Ø ÕÙ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ËÓÐ ÓÒ Ú ÖØ Ò Ð ÙÔ Ö Ð Ø ÖÖ º Î Ð ÙÖ ½ º º Ì ÖÖ Ñ ÐÐÓÒ Ð Ñ ØÖÓ Î ÒÙ 90 x ËÓÐ ÙÖ ½ º

71 Ù Ò Ó Ð Ñ α Ð Ñ Ü Ñ ÔÓ Ð Ð Ð Ò ÕÙ Ú Ð Ì ÖÖ Î ÒÙ Ö Ø Ò ÒØ Ð Ö Ø Î ÒÙ º ÒØÓÒ ÔÓÖ ÔÖÓÔ Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ø Ý Ð Ð Ò Ö Ø ÕÙ Ú Ð ËÓÐ Î ÒÙ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ö ØÓº Ä Ø Ò ÕÙ Ø ÑÓ Ù Ò Ó xº ÍØ Ð Þ Ò Ó ÕÙ sen46 0,7193 Ø Ò ÑÓ ÕÙ sen46 = x x 149.6sen Ñ ÐÐÓÒ Ð Ñ ØÖÓ ýò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ý ÔÖ Ò Ò Ò ½ º½ Ò ÑÙ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ò Ô Ö Ñ Ö Ø Ò Ó ÐÙÐ Ö ÐÓÒ ØÙ Ñ Ò Ö Ò Ö Ø ÙØ Ð Þ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ ÐÐ Ñ Ó Ð Ú Ò Ó ÔÖ Òº Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ð Ð Ò Ú Ù Ð ÓÒ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ð ÒÓÑ Ö Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð Ó ØÓ Ø ÖÖ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ó Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò Ð Ó ØÓ Ø Ó Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ä Ð Ò Ú Ù Ð Ð Ð Ò Ñ Ò Ö Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ð Ó Ó Ý Ð Ó ØÓ ÕÙ Ó ÖÚ ÑÓ ºÎ ÑÓ Ð Ö Ò Ð ÙÖ ½ º º ÇÂÇ Ä Ò Ú Ù Ð Ç Â ÌÇ ýò ÙÐÓ Ð Ú Ò ÇÂÇ ýò ÙÐÓ ÔÖ Ò Ä Ò Ú Ù Ð Ç Â ÌÇ ÙÖ ½ º ÑÔÐÓ ½ º ÍÒ Ð ÓÖ Ó ÖÚ ÙÒ Ö ÓÐ ÙÝ ÐØÙÖ Ô ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò 60 º ÐÙÐ Ð Ø Ò Ð ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ð Ð ÓÖ Ð Ô Ð Ö ÓÐ Ù ÔÙÒØÓ Ú Ò Ø ÙÒ ÐØÙÖ Ô º ËÓÐÙ Ò Ò Ð ÙÖ ½ º ÓÒ Ö ÕÙ Ð Ð ÓÖ Ø Ô Ò Ð ÔÙÒØÓ O Ù ÔÙÒØÓ Ú Ò Ó ÔÙÒØÓ Ò Ð Ù Ð Ø Ù Ó Ó Óµ Ø Ò P º Ä ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ SR Ý º Î ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ xº Ç ÖÚ ÑÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ PQR Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò QR ÙÝ ÐÓÒ ØÙ = Ð Ø ØÓ Ý ÒØ PQ ÙÝ ÐÓÒ ØÙ Ù Ð xº ÓÑÓ ÓÒÓ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÐÓ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ð Ó Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÒØ Ó ÓØ Ò ÒØ º Î ÑÓ Ö ÓÐÚ ÖÐÓ Ù Ò Ó Ð ÓØ Ò¹ ÒØ

72 P 60 R Q cot60 x = , 3 3 = x , x = , 3 x = 44.5 Ô. O x S ÙÖ ½ º Ö Ó ½º ÍÒ Ð Ö Ñ ØÖÓ ÐÓÒ ØÙ Ø ÔÓÝ Ò ÙÒ ÑÙÖÓ ÙÒ Óº Ë Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð ÑÙÖÓ Ý Ð Ð Ö 3 úù Ð Ð Ø Ò Ð Ô Ð Ð Ö Ð Ð Ó ÔÖÓÜ Ñ Ù Ö ÔÙ Ø Ð Ñ Ñ Ö Ò º ¾º Ð ÔÙÒØ ÙÒ ÖÓ º Ñ ØÖÓ Ó Ö Ð Ò Ú Ð Ð Ñ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò Ò Ö Ò ÙÒ ÖÓ 9.5 º ú ÕÙ Ø Ò Ð Ð ÖÓ Ø Ð ÖÓ ÔÖÓÜ Ñ Ù Ö ÔÙ Ø Ð ÙÒ Ñ Ö Ò º º ÍÒ ÐÓ Ó Ö Ð ÒØ Ñ ÒØ Ò ÙÒ ÐØ ØÙ ÓÒ Ø ÒØ ¼¼ Ñ ØÖÓ Ý Ô Ö Ø Ñ Ò ÔÓÖ Ò Ñ ÙÒ Ó ÖÚ ÓÖº ÔÙ Þ Ñ ÒÙØÓ Ð Ó ÖÚ ÓÖ Ú Ð ÐÓ Ó ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò 50 º Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÓ Ð ÐÓ Ó Ö ÓÒ Ò Ó Ð Ð Ñ ØÖÓ Ñ Ö ÒÓº º Ä Ð Ö ÙÒ ÖÖÓ ÓÑ ÖÓ Ø Ò ÙÒ ÐÓÒ ØÙ 13 Ñ ØÖÓ Ý Ø ÔÓÝ ÓÒØÖ ÙÒ Ô Ö º Ë ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ð Ô Ó ú ÕÙ ÐØÙÖ Ð Ó Ø Ð ÜØÖ ÑÓ Ð Ð Ö º ÍÒ Ó Ø Ô Ö Ó Ð Ò Ú Ð Ð Ñ Ö Ý Ù ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ø ÒØ 75 º ú ÕÙ ÐØÙÖ Ý Ð Ó Ø Ù Ò Ó ÔÐ Þ Ó ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ Ð Ñ ØÖÓ º ÐÓ ÐØÓ ÙÒ Ó ÓÒ Ú Ø Ð Ñ Ö ÙÒ Ó ÖÚ ÓÖ Ú ÙÒ Ð Ò ÕÙ Ú Ò Ö Ò Ð Óº Ë Ð Ó ÖÚ ÓÖ Ø 30 Ñ Ó Ö Ð Ò Ú Ð Ð Ñ Ö Ý Ð Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò Ñ ÙÖ ÒØ Ð Ô Ö Ó Ó Ó ÖÚ Ò ÐÙÐ Ð Ø Ò ÕÙ Ö ÓÖÖ Ð Ð Ò º

73 Ä Ò ½ ÈÖÓ Ð Ñ ÔÐ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÁÁ Ò Ø Ð Ò ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÒÙ ÚÓ ÑÔÐÓ Ó Ö Ð ÙØ Ð Þ Ò Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ý ÔÖ Òº ÑÔÐÓ ½ º½ ÍÒ Ð ÔØ ÖÓ Ø ÚÓÐ Ò Ó Ö Ø Ñ ÒØ Ó Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Aº Ð Ô ÐÓØÓ Ó ÖÚ ÙÒ ÔÙÒØÓ B ¼¼ Ñ ØÖÓ Ð Ø Ð ÔÙÒØÓ A ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò 7 º ú Ù Ð Ð ÐØ ØÙ Ð Ð ÔØ ÖÓ º ÜÔÖ Ù Ö ÔÙ Ø Ò Ñ ØÖÓ ÒØ ÖÓ º ËÓÐÙ Ò Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð ÙÖ ½ º½ C α = 7 h A 90 c = 800 Ñ β B ÙÖ ½ º½ Ð Ð ÔØ ÖÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ Cº ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ hº ÄÓ Ò ÙÐÓ α Ý β Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ Ñ Ý ÕÙ ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ β = 7 Ý tan tan7 = h c = h 800, h 800, h 800(0.5095) 408. ʺ Ð Ð ÔØ ÖÓ ÒÙ ÒØÖ ÙÒ ÐØ ØÙ ÔÖÓÜ Ñ ¼ Ñ ØÖÓ º

74 ÑÔÐÓ ½ º¾ ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð ÓÐ 3 º Ë Å ÖØ Ñ ½º Ñ ØÖÓ ÐÙÐ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÓÑ Ö ÕÙ ÔÖÓÝ Ø º ËÓÐÙ Ò Ò Ð ÙÖ ½ º¾ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò º Å ÖØ Ø Ù Ò Ð ÔÙÒØÓ B Ù Ø ØÙÖ h Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ù ÓÑ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ AB Ø ÐØ Ñ Ð Ò Ò Ø ÕÙ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ xº Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò DEF Ý Ñ 3 ÓÑÓ Ø ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÒ EAB ÔÓÖ Ö Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÒØÓÒ EAB = 3 º ÈÙ ØÓ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ý Ð Ñ h Ð Ø ØÓ EB ÐÓ Ñ Ò Ó ÔÐ Ö Ð Ö Ð Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÒØ º ÓÑÓ tan Ó Ø Ò ÑÓ E F 3 h A ÓÑ Ö B C D ËÇÄ tan3 = h x, x = 1.7 tan3, x ÙÖ ½ º¾ ʺ Ä ÐÓÒ ØÙ Ð ÓÑ Ö ÕÙ Å ÖØ ÔÖÓÝ Ø ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð Ñ ØÖÓ º Ç ÖÚ Ò ½ º½ Ò Ð Ð Ò ½ Ò ÖÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ý ÔÖ Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ð Ò Ú Ù Ð Ð Ú ÖØ Ð Ò ÙÐÓ Ø Ò Ú Ð Ð Ó Ó Ð Ó ÖÚ ÓÖº Ë Ò Ñ Ö Ó Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò ÔÙ Ø Ò Ö ÓÑÓ Ú ÖØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ö Ö Ò P Ö ÒØ Ó Ö Ð Ð Ò Ú Ù Ðº Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð Ó ØÓ Ø ÖÖ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý ÔÖ Ò Ð Ó ØÓ Ø Ó Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÑÔÐÓ ½ º Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð ÓÐ ÙÒ Ø Ò Ö ÕÙ Ñ ½ º Ñ ØÖÓ ÔÖÓÝ Ø ÙÒ ÓÑ Ö ½ º¾ Ñ ØÖÓ º ÜÔÖ Ù Ö ÔÙ Ø Ò Ö Ó ÒØ ÖÓ º ËÓÐÙ Ò A AB Ö ÔÖ ÒØ Ð Ø º c = 14.8 Ñ B γ a = 19. Ñ C BC Ö ÔÖ ÒØ Ð ÓÑ Ö Ð Ø º γ Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Òº ÙÖ ½ º ¼

75 Ò Ð ÙÖ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ñ Ù Ó Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò ÙØ Ð Þ Ö Ð Ö Ð Ò Ø Ò ÒØ tanγ = c a, tanγ = , γ 38. ʺ Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð ÓÐ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð 38 º ÑÔÐÓ ½ º ÂÙ Ò Ó ÖÚ Ð ÓÔ ÙÒ Ö ÓÐ ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò 0 º Ë Ö ½ Ñ ØÖÓ Ð Ö ÓÐ Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò 60 º Ë Ð Ð Ò Ú Ò ÂÙ Ò ÐÐ ½º Ñ ØÖÓ Ð Ò Ú Ð Ð Ù ÐÓ úù Ð Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ ËÓÐÙ Ò Ò Ð ÙÖ ½ º Ð ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ ÒÓØ ÔÓÖ h Ð ÐÓÒ ØÙ Ñ ÒØÓ ED h = z +y B 15 x y z ÙÖ ½ º D ÓÒÓ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ z ÔÓÖÕÙ Ù Ð Ð ÐØÙÖ Ð Ð Ò Ú Ò ÂÙ Ò h = 1.7+y, ½ º½µ ÓÒ y Ð ÐÓÒ ØÙ ÙÒ Ø ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ACE Ý BCEº ÔÐ ÑÓ Ð Ò Ò Ð Ø Ò ÒØ Ó ÕÙ Ø Ò ÑÓ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÐÓ ÓØÖÓ Ó Ø ØÓ tan60 = y x, y = (tan60 ) x. ½ º¾µ È Ö ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ xùø Ð Þ ÑÓ Ð Ò Ò Ð Ø Ò ÒØ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ACE tan0 = y 15+x, y = (15+x)tan0. ½ º µ ½

76 Á Ù Ð Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ y Ò ½ º¾µ Ý ½ º µ Ó Ø Ò ÑÓ tan60 x = (15+x) tan0. Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ó Ð Ö Ð ÓÒ tan Ý tan Ý Ö ÓÐÚ ÑÓ Ð Ù Ò 1.731x 15 (0.3640) x, 1.731x x 15 (0.3640), ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ½ º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ x 5.46, x y (3.9909) 6.9. Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ y Ò ½ º½µ Ô Ö Ó Ø Ò Ö h = 1.7+y = = 8.6. ʺ Ä ÐØÙÖ Ð Ö ÓÐ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ º Ѻ Ö Ó ½º Ð ÞÓØ ÙÒ Ó Ô ÕÙ Ó Ú Ð Ô ÖØ Ñ ÐØ ÓØÖÓ Ó ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò 46 Ý Ð Ô ÖØ Ò Ö ÓÖ ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò 14 º Ë Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ø Ò ÙÒ ÐØÙÖ ¾ Ñ ØÖÓ Ý ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ó ÐÓ Ó Ó Ø Ð Ñ ÑÓ Ò Ú Ð úù Ð Ð ÐØÙÖ Ð ÓØÖÓ Ó ¾º ÍÒ Ó Ø ÑÙÐØ Ô Ó Ð ÒÞ Ó Ú ÖØ ÐÑ ÒØ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ù Ú ÐÓ Ù¹ Ö ÒØ ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ¼ ÙÒ Ó ¼¼ Ð Ñ ØÖÓ ÔÓÖ ÓÖ ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ð Ù Ð ÔÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ º ÍÒ ÓØ Ö ÒÙ ÒØÖ ½¼¼¼ Ñ ØÖÓ Ð Ø Ó Ð ÒÞ Ñ ÒØÓº ú ÕÙ Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò ÐÐ Ö Ö Ù Ñ Ö Ñ Ò Ö ÕÙ ÔÙ ÓØÓ Ö Ö Ð Ô Ö Ò º ÍÒ ÙØÓÑÓÚ Ð Ø Ú ÔÓÖ ÙÒ ÖÖ Ø Ö ÙÒ Ú ÐÓ ¼ Ñ» Ý Ö ÙÒ ÑÓÒØ º Ç ÖÚ ÕÙ ÒØÖ Ð ½ ¼¼ Ý Ð ½ ½¼ ԺѺ Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð ÑÓÒØ Ñ º ú Ù Ð Ð ÐØÙÖ Ð ÑÓÒØ º ÍÒ Ô ÐÓØÓ Ô Ò Ú Ð Ð Ñ Ö ÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ 17 Ý Ú ÙÒ Ú ÐÓ ÓÒ Ø ÒØ 150 Ð Ñ ØÖÓ ÔÓÖ ÓÖ º ú Ù ÒØÓ Ø ÑÔÓ Ð ØÓÑ Ö Ð Ú Ò Ð ÒÞ Ö ÙÒ ÐØÙÖ 1500 Ñ ØÖÓ º Ù Ò Ó Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ð ÓÐ 9 Ò È Ö Ð ØÓÖÖ Ð ÓÖÑ ÙÒ ÓÑ Ö ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ñ ØÖÓ º úéù ÐØÙÖ Ø Ò Ð ØÓÖÖ Ê ÓÒ Ù Ö ÔÙ Ø Ð Ñ ØÖÓ Ñ Ö ÒÓº ¾

77 Ä Ò ½ Ë Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ó Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö º Ê ÔÖ ÒØ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ ÔÐ ÒÓ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ¹ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÒ Ö ÑÓ Ó Ö Ø ÕÙ ÒØ Ö ÔØ Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ ÖÑ ÒØ Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÔÓÖ ÓÑÓ¹ ØÖ Þ ÙÒ ÐÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ð ÓØÖ Ú ÖØ Ðº ÄÐ Ñ ÑÓ x Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð y Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð Ý Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò ÓÖ Ò Oº Ò ÑÓ ÓÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ø Ö Ø ÓÑÓ Ö Ò Ð ÓÒ ØÖÙ Ò Ð Ö Ø Ö Ðº Î Ð Ð Ò Ô Ò ¾ º È Ö Ð Ú ÖØ Ð ÐÓ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò ÔÓÖ Ò Ñ Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ò ÓÓÖ Ò ÔÓ Ø Ú º Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó Ö ØÓ ÒÓÑ Ò Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ó ÖØ ¹ ÒÓº Ð ÓÖ Ò O Ø Ò Ð Ú ÐÓÖ ÖÓ Ò Ñ Ó º Ð ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ð x Ý Ð y ÐÐ Ñ ÔÐ ÒÓ xy Ý ÐÓ x Ý y ÒÓÑ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ó º ÄÓ Ó¹ ÓÖ Ò Ó Ú Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy Ò Ù ØÖÓ Ö ÓÒ ÐÐ Ñ Ù Ö ÒØ ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ½ º½º y y 3 y 1 P (0,y) P(x,y) P (x,0) x x Ù Ö ÒØ ÁÁ x < 0,y > 0 3 Ù Ö ÒØ ÁÁÁ x < 0,y < Ù Ö ÒØ Á x > 0,y > 0 x Ù Ö ÒØ ÁÎ x > 0,y < 0 ÙÖ ½ º½ Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy Ð ÔÖÓÝ Ò P Ó Ö Ð x Ð ÔÙÒØÓ P ØÙ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð x Ý Ð Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ð y ØÖ Þ ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P Ý Ð

78 ÔÖÓÝ Ò P Ó Ö Ð y Ð ÔÙÒØÓ P ØÙ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð y Ý Ð Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ð x ØÖ Þ ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P º Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy ÔÙ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ô Ö ÓÖ Ò Ó (x,y) Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ó Ö xº Ë Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ð Ö Ð y ÒØÓÒ x > 0 Ý Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ö Ò Ø ÚÓ Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ð ÞÕÙ Ö Ð y x ÒÓÑ Ò P Ó ÓÓÖ Ò x P º Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð y Ð ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ð y º y > 0 Ð ÔÙÒØÓ P Ø ÖÖ Ð x Ý Ö Ò Ø ÚÓ Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ó Ð x y ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò P Ó ÓÓÖ Ò y P º Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð x Ø Ò ÓÓÖ Ò Ð ÓÖÑ (x,0) Ý Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð y Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÖ Ð Ô Ö (0,y)º ÑÔÐÓ ½ º½ Ò Ð ÙÖ ½ º¾ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ P 1 (3, 3 ) P (,) P 3 ( 3, 5 ) Ý P 4(3, )º Ç ÖÚ ÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÔÙÒØÓ P 3 ÔÙ ØÓ ÕÙ Ù Ý ÓÖ Ò ÓÒ Ò Ø Ú Ø ÔÙÒØÓ Ø ØÙ Ó Ò Ð Ù Ö ÒØ ÁÁÁ Ó Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º P (,) 3 P 3 ( 3, 5 ) y 0 3 x 1 1 P 1 (3, 3) P 4 (3, ) ÙÖ ½ º¾ ÑÔÐÓ ½ º¾ Ò Ð ÑÓ ÐÓ ÒÓ Ð Ý ÓÖ Ò Ò Ð Ù Ö ÒØ ÁÎ Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ µº ÌÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ø Ù Ö ÒØ Ø Ò Ð Ö Ð y Ý Ó Ð xº ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð Ó ÓÓÖ Ò xµ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ý Ð ÓÖ Ò Ó ÓÓÖ Ò yµ ÓÒ Ò Ø Ú º Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ A Ý B Ð ÔÐ ÒÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÐÓ ÙÒ º Ä Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ A ÓÓÖ Ò (x 1,y 1 ) Ý B ÓÓÖ Ò (x,y ) Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÔÙ Ö Ø ÖÑ Ò Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö º Ë ØÙ ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ A(x 1,y 1 ),B(x,y ) Ý C(x,y 1 ) Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ð ÙÖ ½ º

79 ÙÖ ½ º Ù Ö Ó ÓÒ ÐÓ ÕÙ ÑÓ Ö ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ A Ý C Ø Ò Ù Ó Ð Ñ Ñ ÐØÙÖ ÑÓ Ò Ð Ñ Ñ ÐÐ µ ÒØÓÒ Ù Ø Ò Ö ÕÙ ÐÐ Ó Ö Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý ÓÖÖ ÔÓ x x 1 Ù ÐÑ ÒØ ÐÓ ÔÙÒØÓ C Ý B Ø Ò Ó Ö Ó Ö Ð Ñ Ñ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÑÓ Ð Ñ Ñ ÖÖ Ö µ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù Ø Ò y y 1 º ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ó Ø Ò ÕÙ Ä Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ A = (x 1,y 1 ) Ý B = (x,y ) Ú Ò ÔÓÖ d(a,b) = x x 1 + y y 1 = (x x 1 ) +(y y 1 ) ÑÔÐÓ ½ º ÄÓ Ð ÐÓ ÔÙÒØÓ P 1 (,4) Ý P (3, ) Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ý ÒÙ ÒØÖ Ð Ø Ò ÒØÖ ØÓ ÔÙÒØÓ º

80 y P 1 (,4) 0 d(p 1,P ) x P (3, ) d(p 1,P ) = (x x 1 ) +(y y 1 ), d(p 1,P ) = (3 ( )) +( 4), d(p 1,P ) = (5) +( 6) = 5+36, d(p 1,P ) = 61º ÙÖ ½ º ÑÔÐÓ ½ º Ë Ø ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ ÓÓÖ Ò ( 1,0) ( 1, 3 ) ( 1, 5 ) Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò º Ö ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÔÐ ÒÓ xy ÓÒ 1º y P ( 1, 3 µ P 1 ( 1,0) (0,0) x ÌÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ Ù Ð 1 ¹ Ø Ò Ó Ö ÙÒ Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ð y ØÙ ÙÒ Ø Ò ÙÒ ÙÒ Ø P 3 ( 1, 5 µ d(( 1,0),(0,0)) = (0 ( 1)) +0 = 1 = 1. ÙÖ ½ º ÈÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ Ì Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð ÖÑÙÐ Ð Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ Ú Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò (x,y) Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó M Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÙÒÓ Ó ÔÙÒØÓ A ÓÓÖ Ò (x 1,y 1 ) Ý B ÓÓÖ Ò (x,y ) Ò Ð ÔÐ ÒÓº È Ö ØÓ Ó ÖÚ Ò Ó Ð Ù ÒØ ÙÖ Ø ÒÓØ Ö ÕÙ M Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ A Ý B ÒØÓÒ Ð ÓÓÖ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð M Ö xµ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ Ð ÓÓÖ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð A Ý B Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ö x 1 Ý x µº Ñ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒÐÙÝ ÕÙ Ð ÓÓÖ Ò Ú ÖØ Ð M ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð ÓÓÖ Ò Ú ÖØ Ð A Ý Bº

81 ÙÖ ½ º ÒØÓÒ x x 1 = x x Ý y y 1 = y y, ÓÒ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ x = x 1 +x, y = y 1 +y, Ä ÓÓÖ Ò (x,y) Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó M ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö ÓÑÓ ( x1 +x (x,y) =, y ) 1 +y Ö Ó ½º Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ð Ø Ö Ð Ò Ð ÓÓÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ A Ù ÕÙ ÐÓ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÐÙ Ó ØÓÑ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÐÐ Ñ Ø ÔÙÒØÓ Bº ÌÓÑ Ð ÔÙÒØÓ C ØÖ ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ó ÙÒ Ó Bº ÈÓÖ ÐØ ÑÓ ØÓÑ ÙÒ ÔÙÒØÓ D ØÖ ÙÒ Ð Ö Ý Ù ØÖÓ ÙÒ Ó Cº Ò ÓÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ B C Ý D ÐÙÐ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÐÓ Ù Ö Ð Ø ÖÓ ABCDº µ A(1,) µ A(, 1)º ¾º È Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ ÓÓÖ Ò ( 1,) ( 3,) (0,) (π,) Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ö ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÔÐ ÒÓ xy ÓÒ ÓÖ Ò Ù Ð º

82 º È Ö ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ø Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ÙÝ ÓÓÖ Ò Ò Ý Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò ÕÙ Ö Ø Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ µ A = {( 1, 1),( 3, 3 ),(0,0),(,),(, )}, µ B = {(0,0),(1,),(,4),(3,6),( 3, 6),( 1, )}. º È Ö Ð Ù ÒØ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ C = {(0,0),(1,1), (,4),(3,9),( 1,1),(,4),( 3,9)} Ö ÙÒ Ô ØÖ Ò ÕÙ Ö Ø Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ º

83 Ä Ò ½ ÙÒ ÓÒ Á Ò Ò ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ò Ò ½ º½ Ë Ò A Ý B Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÙÒ ÙÒ Ò f A Ò B ÙÒ Ö Ð ÕÙ Ò Ð Ñ ÒØÓ x A Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ y Bº ÄÓ Ð Ñ ÒØÓ xýy ÒÓÑ Ò Ò Ú Ö Ð º Ä Ú Ö Ð x Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ý Ð Ú Ö Ð y Ð Ú Ö Ð Ô Ò ÒØ º Ó x A Ð Ð Ñ ÒØÓ y B ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ x ÒÓØ ÔÓÖ f(x) Ý ÑÓ ÕÙ f(x) Ð Ú ÐÓÖ f Ò x Ó Ð Ñ Ò x Ó fº Ò Ð ÙÒ Ó ÓÒ Ö Ö ÑÓ y = f(x) Ô Ö x A Ô Ö Ñ ÓÐ Þ Ö Ð ÙÒ Ò f Ò Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ Aº ÑÔÐÓ ½ º½ Ä Ö Ð ÕÙ Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ð Ú ÐÓÖ x + Ø Ò ÒØ Ó Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ö ÑÓ y = f(x) = x+ Ô Ö x Rº Ð Ð Ñ ÒØÓ x = ÓÖÖ ÔÓÒ y = f() = + = 4º Ð Ð Ñ ÒØÓ x = ÓÖÖ ÔÓÒ y = f( ) = + = 0º Ð Ñ ÒØÓ x Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ ÙÒØÓ Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ y Ò Ð ÙÒ Ó ÓÒ ÙÒØÓº Ä Ú Ö Ð x Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ý y Ð Ú Ö Ð Ô Ò ÒØ º Ð Ú ÐÓÖ f() = 4 Ð Ñ Ò x = Ó f Ó Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ Ö ÕÙ f() = 4 Ð Ú ÐÓÖ f Ò x = º ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò ÙÒ ÙÒ Ò f A Ò B Ð ÓÒ ÙÒØÓ A ÒÓÑ Ò ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò f Ý ÒÓØ ÔÓÖ D f º Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÒ ÙÒØÓ B ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ò Ð Ñ ÒØÓ Ð ÓÑ Ò Ó ÒÓÑ Ò Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ý ÒÓØ ÔÓÖ R f º Ò ÑÙ Ó ÓÒ ÐÓ ÓÒÓ ÑÓ Ð Ö Ð ÔÓÖ ÙÒ ÜÔÖ Ò Ð Ö ÕÙ Ò Ð ÙÒ Òº Ò Ó Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ð Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ð ÜÔÖ Ò Ð Ö Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº

84 ÑÔÐÓ ½ º¾ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò y = g(x) = x Ô Ö x Rº Ë ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð g(x) = x Ø Ò ÒØ Ó Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ý Ñ Ó x Ð Ú ÐÓÖ g(x) Ø Ø ÖÑ Ò Ó Ò ÓÖÑ Ò º ÒØÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó g Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Rº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ÑÓ ÕÙ ÑÔÖ ÕÙ Ð Ú ÑÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ù Ö Ó Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÖÓ Ý Ñ ÕÙ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ y Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ ÖÓ ÑÔÖ Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ø Ð ÕÙ y = x º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò g Ø Ò Ó ÔÓÖ R g = {y R/y 0}. Ö ÙÒ ÙÒ Ò Ò Ò ½ º¾ Ä Ö Ð ÙÒ Òy = f(x) ÓÒ ÓÑ Ò ÓD f Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó {(x,f(x))/x D f }. Ø ÓÐ Ò Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò xyº y (4,6) (,4) ( 3, 1) (x,f(x)) (0,) x ÙÖ ½ º½ Ò Ð ÙÖ ½ º½ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò f Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ä ÙÒ Ò f Ø Ò ÔÓÖ Ð Ö Ð f(x) = x+º Ë Ò ØÓÑ Ó Ú Ö Ó ÔÙÒØÓ Ð ÓÑ Ò Ó A Ý Ò Ú ÐÙ Ó Ù Ö Ô Ø Ú Ñ Ò º ÄÙ Ó Ù Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ (x,f(x)) Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ù Ò Ó ÐÙÐ Ò Ù ÒØ Ô Ö ÓÖ Ò Ó Ý ÙÒ Ò Ó Ø Ò ÑÓ Ð ÙÖÚ ÕÙ ÓÒ Ø ØÙÝ Ð Ö Ð ÙÒ Ò fº ÐÙÐ ÑÓ ÔÙÒØÓ Ð Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ x = 3,x = 0,x = Ý x = 4º Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 3,f( 3)) = ( 3, 1) (0,f(0)) = (0,) (,f()) = (,4) Ý (4,f(4)) = (4,6) Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö xyº ¼

85 ÑÔÐÓ ½ º Ò Ð ÙÖ ½ º¾ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò g Ò ÔÓÖ Ð Ö Ð g(x) = x º ÌÓÑ ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð ÓÐÙÑÒ ÞÕÙ Ö Ð Ø Ð ÕÙ Ô Ö Ò Ð ÙÖ ½ º¾ Ý ÐÙÐ ÑÓ Ù Ñ Ò ÔÓÖ gº ÓÖÑ ÑÓ ÐÓ Ô Ö ÓÖ Ò Ó ( 3,g( 3)),( 1,g( 1)),... Ý ÐÓ ÔÓÒ ÑÓ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ò Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð ÙÖ ½ º¾ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÙÒ Ø Ð Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ Ò gº x g(x) = x y y = g(x) = x ¹ ¹½ ½ ( 3, 9) 9 (3,9) ¼ ½ ¼ ½ ( 1, 1) 1 (1, 1) ÙÖ ½ º¾ 1 (0, 0) 1 3 x ÄÓ Ú ÐÓÖ Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÙÖÚ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ò Ú Ù Ð Þ Ö Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Òº Ò Ø ÑÔÐÓ Ð Ö Ò Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÖÓº ÍÒ Ù Ò Ö ÒÓ ÝÙ Ø Ñ Ò ÓÑÔÖ Ò Ö Ð Ñ Ò Ö ÑÓ Ú Ö Ò Ð Ñ Ò Ð Ú Ö Ö Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ xº Ç ÖÚ ÕÙ ÕÙ ÔÓÖ ÓÑÓ ÑÓ Ó Ó Ð Ö ÒØ Ó Ö ÙÒÓ ÐÓ x Ý yº ÆÓØ ½ º½ ÓÒ Ö Ù Ò Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó Ò ÓÒ Ö Ö ÙÒ ÓÒ ÕÙ ÔÖÓÚ Ò Ò Ø ÒØ Ù ÒØ ÔÐ ÓÒ Ð ÔÐ ÓÒ Ð ÓÑ ØÖ ÒØÖ ÓØÖ º ÙÒ Ð ÔÐ Ò ÙØ Ð Þ Ø ÒØ ÒÓÑ ÒÐ ØÙÖ Ô Ö Ù ÙÒ ÓÒ º ÑÓ Ó ØÙѹ Ö ÖÒÓ Ó ÖÚ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ð Ù Ð Ò Ò Ð Ú Ö Ð Ý Ð ÔÐ ÒÓ ÓÓÖ Ò Ò ÕÙ Ù Ò Ð Ö º ÑÔÐÓ ½ º ÉÙ Ö ÑÓ ØÙ Ö Ð Ú Ö Ò Ð Ø Ò Ö ÓÖÖ ÔÓÖ ÙÒ Ó ØÓ Ò Ð Ö Ô ÖØ Ö ÙÒ ÔÓ Ò Ò Ð x 0 = 100 Ñ ØÖÓ ÓÑÓ ÙÒ Ò Ð Ø ÑÔÓº ÓÒ Ö ÑÓ ½

86 Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ x = h(t) = x 0 1 g t Ô Ö t 0 ÓÒ g Ð Ö Ú g = 9.81 Ñ º Ð Ò Ú Ð Ð Ô Ó Ø Ò x = 0º ÙÒÕÙ Ð Ö Ð Ô ÖØ Ö Ð Ù Ð Ò Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ó Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ñ Ò Ô Ö Ú ÐÓÖ t < 0 Ð Ù Ò ÕÙ ÒÓ Ó Ø Ò Ð Ö ØÖ Ò t 0 ÐÓ Ù Ð Ò ÕÙ Ð Ø ÑÔÓ ÑÔ Þ ÓÒØ Ö t = 0º Ì Ò ÑÓ Ð ÙÒ Ò h Ò ÔÓÖ x = h(t) = t, Ô Ö t 0º Ð ÓÑ Ò Ó D h Ý Ð Ö Ò Ó R h h Ò Ò ÔÓÖ D h = {t R/t 0}, R h = {x R/x 100}. Ä Ö Ð ÙÒ Ò h Ð ÙÖÚ ÕÙ Ô Ö Ò Ð ÙÖ ½ º Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò txº x ÙÖ ½ º x = h(t) = t t Ö Ó ½º È Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ö Ò Ó ÐÙ ØÖ Ð ÓÑÔÓÖ¹ Ø Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ò ÔÓÖ Ñ Ó Ù Ö º µ y = f(x) = x µ z = g(t) = 3t 1 µ z = j(t) = t µ y = h(x) = º ¾º ÓÒ Ö Ð ÙÒ Ò g (x) = x Ý Ö Ð Ñ Ð ØÙ Ý Ö Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ò g(x) = x º º Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ð Ø Ö Ð ÓÒ Ö Ð Ø Ð Ú ÐÓÖ ÙÑ Ò ØÖ Ý Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ö Ð y = f(x) ÕÙ Ò Ú ÐÓÖ x Ò Ð ÓÐÙÑÒ ÞÕÙ Ö Ð Ú ÐÓÖ y Ò Ð ÓÐÙÑÒ Ö º µ x y = f(x) = µ x y = f(x) = ¼ ¾ ½ ¾¼ ½ ¾ ½¼ ¾ ¾

87 Ä Ò ½ ÙÒ ÓÒ ÁÁ Ä ÙÒ Ò f(x) = 1 x ÑÔÐÓ ½ º½ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò f Ò ÔÓÖ y = f(x) = 1º Ë ÑÓ ÕÙ Ð Ö ÓÒ x Ø Ò Ò Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ü Ô Ò ÕÙ ÐÐÓ ÕÙ Ò Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ ÖÓº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ D f = {x R/x 0}. ÑÔÐÓ ½ º¾ Ò Ð ÑÔÐÓ ½ º½ ÒÓ ÓÙÔ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö Ù Ð Ú ÐÓÖ x Ð Ö Ð ÔÓÖ y = f(x) = 1 Ø Ò ÒØ Óº ÓÖ ÕÙ Ö ÑÓ Ö ÕÙ Ø ÔÓ Ñ Ò ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö x Ù Ò Ó x ØÓÑ ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ð Ð ÓÑ Ò Óº Ö ÕÙ Ö ÑÓ ÒÚ Ø Ö Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò R f º ÍÒ Ô ØÓ ÕÙ ÒÓ ÒØ Ö Ñ Ö Ö Ò ÕÙ ÓÖÑ Ú Ö Ò ÐÓ ÒÓ Ð Ñ Ò Ô Ö ÐÓ Ö ÒØ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ º ÓÑÓ Ð ÒÓ 1 Ô Ò x ÓÐ Ñ ÒØ Ð ÒÓ x ÔÙ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ x > 0 Ù Ñ Ò Ø Ñ Ò ÐÓ x < 0 f(x) < 0º Ö Ð Ö Ò Ó Ú ÓÒØ Ò Ö Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ò Ø ÚÓ º Ð Ò Ð ÐÓ ÔÓ Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ ÔÙ Ò ØÓÑ Ö Ð Ö ÓÒ x 1 ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ù Ò Ó x ØÓÑ ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÓÑ Ò Ó ÔÓ Ð Ó Ø Ò Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ü Ô Ò Ð Ò Ñ ÖÓ y = 0 Ý ÕÙ ÙÒ Ó ÒØ ÓÐ Ñ ÒØ ØÓÑ Ð Ú ÐÓÖ 0 Ù Ò Ó Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ 0º R f = {y R/y 0}. Î Ð ÙÖ ½ º½ Ò Ð Ù Ð ÔÖ ÒØ ÙÒ Ö Ð ÙÒ Ò f Ý ÙÒ Ø Ð Ú ÐÓÖ ÐÐ º

88 x f(x) = 1 x y ¹ 1 4 y = f(x) = 1 x ¹ 1 3 ¹¾ 1 4 ¹½ ¹½ ¹¾ ¹ ¾ x ½ ½ ¾ ÙÖ ½ º½ ÍÒ Ô ØÓ ÑÙÝ ÒÓØÓÖ Ó Ø Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ò Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ö ÒÓ ÖÓº Ë ØÓÑ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ x = 1,x = 1,x = 1,... Ú ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ù Ñ Ò Ú Ò ÙÔÐ Ò Ó Ú Þ Ý Ò ÙÒ ØÖ ÑÓ 4 ÑÙÝ Ô ÕÙ Ó Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ð Ñ Ø º Ç ÖÚ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ø Ð ½ º½º ØÓ Ó ÖÚ Ò Ò Ð Ö ½ º½ Ò Ð Ù Ð ÔÖ Ð Ø Ò Ò Ö Ö Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ ØÓÑ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ú Þ Ñ Ö ÒÓ ÖÓº Î ÐÓÖ Ð ÙÒ Ò f(x) = 1 x Ô Ö 0 < x 1 x ½ f(x) = 1 x ½ ¾ ½ ¾ ½¾ ¾ Ì Ð ½ º½ Ø Ò Ñ ÒÓ ÕÙ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÑÙ ÙÒ ÓÒ ÙØ Ð Þ Ô Ö Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÑÔÓÖØ Ò º ÈÓÖ Ó Ò Ö Ó ÓØ ÖÒÓ ÙÒ ÖÖ Ñ ÒØ Ô Ö Ö Ø Ö Þ ÖÐÓº Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò f(x) Ö Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ó x Ø Ò ÖÓ Ó Ö 0µ ØÖ Ú Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ º Ò Ñ ÓÐÓ f(x) + x 0 +

89 ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÕÙ ÒÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓº ÑÓ ÕÙ Ð Ñ Ò x = 0 ÒÓ Ø Ò º ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ + ÐÓ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ö Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø Óº Ç ÖÚ ÕÙ ÒÓ Ø ÑÓ Ù Ò Ó Ð Ñ ÓÐÓ Ù Ð ÒÓ Ð Ñ ÓÐÓ ÕÙ Ò Ø Ò Ò º Ä Ö Ð ÙÒ Ò Ö Ú Þ Ñ Ð y Ñ ÕÙ x Ö ÖÓ Ô ÖÓ Ø Ö ÒÙÒ ØÓ Ð yº ÍÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÔÖÓÔ ÐÐ Ñ ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ð ÙÒ Ò f(x) = 1 x º Î Ð Ð Ô Ò Ø Ñ Ò Ò Ð Þ Ö Ð ÙÒ Ò f(x) = 1 Ô Ö Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ Ð Ú Ö Ð x Ò Ô Ò ÒØ Ý Ú Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ù Ñ Ò º ÁÒ ÑÓ ØÓÑ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ x = 1 Ý ØÓÑ ÑÓ x = 1 x = 1,...º ËÙ Ñ Ò Ö Ò Ò Ð Ñ Ø º ÓÑÓ 4 ÔÙ ÔÖ Ö Ò Ð Ö ½ º½º ÈÓ ÑÓ Ö Ö f(x) x 0 Ø ÒÓÑ ÒÐ ØÙÖ Ò Ð ÖÓ Ð Ó ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ö Ò Ð Ñ Ø x ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ú Þ Ñ Ö ÒÓ ÖÓ Ô ÖÓ Ò Ø ÚÓ º Ä ÙÒ Ò g(x) = 1 x ÑÔÐÓ ½ º x g(x) = 1 x ¹ ¹ ¹¾ ¹½ ½ 16 y y = g(x) = 1 x ¹ ½ ½ 4 ½ ¾ ½ x ÙÖ ½ º¾

90 Î ÑÓ ÓÖ ØÙ Ö Ð ÙÒ Òg Ò ÔÓÖg(x) = 1 º ÓÒ Ö Ò Ó Ð ÔÖÓÔ x Ð Ö ÓÒ Ý Ð Ö Ø ÙÒ Ò Ò Ð ÙÖ ½ º¾ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ù ÓÑ Ò Ó Ý Ù Ö Ò Ó Ø Ò Ó ÔÓÖ È Ö Ð ÙÒ Ò g Ð ÖÓ ÕÙ Ý D g = {x R / x 0}, R g = {y R / y > 0}. g(x) + x 0 + g(x) + x 0. Ð y ÙÒ ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ð ÙÒ Ò g(x) = 1 x. Ö Ó ½º È Ö ÙÒ Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ö Ò Ó ÐÙ ØÖ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ò ÔÓÖ Ñ Ó Ù Ö º µ y = f 1 (x) = 1 x, µ y = f (x) = 1 x +1, µ y = f 3 (x) = 1 x 3 µ y = f 4 (x) = 1 x µ y = f 5 (x) = 1 x 1. ¾º È Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö Ð ½ Ø ÖÑ Ò Ù Ð Ð Ù ÒØ Ö¹ Ñ ÓÒ ÓÒ ÓÖÖ Ø º Ë Ð ÙÒ ÐÐ Ð Ö Ð ÖÑ Ò Ú Ö Ö º (a) f 1 (x) (d) f 4 (x) x 0 + x 0 + (b) f (x) + x 0 (e) f 5 (x) + x 0 + (c) f 3 (x) + x 0

91 Ä Ò ½ ÙÒ ÓÒ ÁÁÁ ÌÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð Ö ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò y = f(x) Ð Ù Ð ÓÒÓ ÑÓ Ù ÓÑ Ò Ó A Ý Ù Ö Ò Ó R f º Ö R f = {y R/y = f(x), Ô Ö Ð Ò x A}. Ë c ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ý ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ð Ò ÒØÖ Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) Ý Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = f(x)+c Ý y = f(x) cº Ë c ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) + c Ø ÔÐ Þ c ÙÒ ÖÖ ÓÒ Ö Ð Ò Ð Ö y = f(x) Ò Ð Ñ ÑÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ c ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) c Ø ÔÐ Þ c ÙÒ Ó ÓÒ Ö Ð Ò Ð Ö y = f(x) Ò Ð Ñ ÑÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ y = f(x) y = f(x)+c Ý y = f(x) c Ð Ñ ÑÓ Ñ ÒØÖ ÕÙ Ò Ð ÙÒÓ Ó Ð Ö Ò Ó Ø ØÖ ÙÒ ÓÒ ÔÙ Ö Ö ÒØ º ÑÔÐÓ ½ º½ Ä ÙÒ Ò y = x Ù ÓÒ Ö Ò Ð ÑÔÐÓ ½ º¾ Ð Ð Ò ½ Ý Ù Ö Ô Ö Ò Ð ÙÖ ½ º¾º Ò Ð ÙÖ ½ º½ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ y = x + Ý y = x 3 ÙÒØÓ ÓÒ Ð ÙÒ Ò y = x º Ð ÓÑ Ò Ó Ð ØÖ ÙÒ ÓÒ Ð Ñ ÑÓ Ý Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð Ö Ò Ó Ð ØÖ ÙÒ ÓÒ Ö ÒØ º ÒÓØ ÑÓ Ð ØÖ ÙÒ ÓÒ ÔÓÖ g 1 (x) = x 4 g (x) = x Ý g 3 (x) = x + º ØÓÒ Ò¹ D g1 = D g = D g3 = R, R g1 = {y R / y 4}, R g = {y R / y 0}, R g3 = {y R / y }.

92 y y = g 3 (x) = x + y = g (x) = x y = g 1 (x) = x 4 x ÙÖ ½ º½ ÌÖ Ð ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÙÒ Òy = f(x) Ð Ù Ð ÓÒÓ ÑÓ Ù ÓÑ Ò ÓA Ý Ù Ö Ò ÓR f R f = {y R/y = f(x),x A}. ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ c ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x+c) Ø ÔÐ Þ c ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö ÓÒ Ö Ð Ò Ð Ö y = f(x) Ò Ð Ñ ÑÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x c) Ø ÔÐ Þ c ÙÒ Ð Ö Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð Ö y = f(x) Ò Ð Ñ ÑÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ y = f(x c) Ý y = f(x+c) ÔÙ Ñ Ö ÓÒ Ö Ð Ò Ð ÓÑ Ò Ó y = f(x) ÔÙ ØÓ ÕÙ ÐÓ Ñ Ó Ø Ò Ò Ó Ò Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò Ò¹ Ø º ÑÔÐÓ ½ º¾ Ä ÙÒ Ò y = 1 x Ò Ð ÙÖ ½ º½º Ù ÓÒ Ö Ò ÐÓ ÑÔÐÓ ½ º½ Ý ½ º¾ Ý Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ù Ö Ò Ð ÙÖ ½ º¾ ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = f(x) = 1 1 Ýy = h(x) = º x x+3 Ç ÖÚ ÕÙ h(x) = f(x+3). Ö Ø Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ x Ò f ÔÓÖ x+3º Ð Ö Ò Ó Ð Ó ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ñ Ô ÖÓ Ò Ñ Ó Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ñ ÓÒ Ð ØÖ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ç ÖÚ ÕÙ Ð ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÕÙ Ø Ò Ð ÙÒ Ò f Ò x = 0 Ð Ø Ò Ð ÙÒ Ò h Ò x = 3º D f = {x R / x 0}, D h = {x R / x 3}, R f = R h = {y R / y 0}.

93 y y = f(x) = 1 x y = h(x) = x 1 (x+3) ÙÖ ½ º¾ Ö Ó ½º ÌÖ Ð Ö Ð ÙÒ Ò g(x) = x Ý Ô ÖØ Ö ÐÐ Ù ÙÒ Ð Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ Ý ÒÙ ÒØÖ Ù ÓÑ Ò Ó Ý Ù Ö Ò Ó µ g 1 (x) = x µ g (x) = (x+3) µ g 3 (x) = (x 3) µ g 4 (x) = (x+) 3, µ g 5 (x) = (x+3) +3º ¾º È Ö ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ð ½ ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ð ØÖ Ð Ò ÔÖ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ò Ô ÖØ Ò Ó Ð ÙÒ Ò y = g(x) = x ØÙ Ò Ð ÑÔÐÓ ½ º¾º Ñ ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ö Ð Ò Ó ÖÚ ÒØÖ Ð ÓÑ Ò Ó Ð Ö Ò Ó Ý Ð Ö Ø ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð ÓÑ Ò Ó Ö Ò Ó Ý Ö Ð ÙÒ Ò gº º ÓÒ Ö Ð ÙÒ ÓÒ z = f 1 (t) = t Ý z = f (t) = t 3 Ý ÙÒ ÓÑ ÒØ Ö Ó Ö Ð Ö Ð Ò ÒØÖ Ð Ö Ø Ó ÙÒ ÓÒ º º ÌÖ Ð Ö Ð ÙÒ Ò f(x) = 1 x Ý Ô ÖØ Ö ÐÐ Ù ÙÒ Ð Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ Ý ÒÙ ÒØÖ Ù ÓÑ Ò Ó Ý Ù Ö Ò Ó µ f 1 (x) = 1 (x ) µ f (x) = 1 (x 3) µ f 3 (x) = 1 x 1º

94 ¼

95 Ä Ò ¾¼ ýò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò Á Ò Ø Ð Ò Ú Ö ÑÓ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ò ÓÕÙ Ð Ò Ò Ý Ö Ô Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÓÒ ÔØÓ ØÙ Ó Ò Ð ÓÑ ØÖ Ý ÕÙ ÒÓ ÐÐ Ú Ð Ò Ö Ð Þ Ò Ð Ò ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ñ ÑÔÐ Ó Ò ÙÐÓ º ÓÑÓ Ú ÑÓ Ò Ð Ð Ò ½ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù ÖÓÒ Ù Ò ÔÐ ÓÒ ÓÑÓ Ð ØÖÓÒÓÑ Ð Ñ Ò Ø ÖÖ Ý Ð ÖÕÙ Ø ØÙÖ ÒØÖ ÓØÖ º ÈÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ Ô ÖØ Ö ØÖ Ó Ö Ð Þ Ó ÔÓÖ Ö ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó ÖÚ ÕÙ Ð Ò ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ý ÐÓ Ð Ó Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÔÓ Ò ÜØ Ò Ö Ô Ö ÐÓ Ö Ö Ò ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÑÔÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ØÓ ÐÐ Ú Ð Ò Ò Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ñ ÝÓÖ 360 Ö Ó Ý Ð Ò Ò Ò ÙÐÓ ÙÝ ÓÖ ÒØ Ò ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ø Ú Ý Ñ Ø Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖ ÐÓ Ö ÝÓ ÕÙ ÐÓ ÓÖÑ Òº Ð ØÙ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ó ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ Ò Ù Ñ º Ò Ö Ð¹ Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ò Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ 180 Ý ÒÓ Ø Ð Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ð Ó ÕÙ ÐÓ ÓÖÑ Ò Ý ÔÓÖ ØÓ ÒÓ ÙØ Ð Þ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ô Ó Ô Ö ÙÒÓ ÐÐÓ º Ù Ò Ó ÐÓ Ð Ó Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ ÐÓ Ö ÝÓ OA Ý OB ÔÓ ÑÓ Ñ ÓÐ Þ Ö Ð Ò ÙÐÓ Ù ÐÕÙ Ö Ð Ù ÒØ ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ AOB BOA Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Oº ÈÖ Ñ ÖÓ ØÙ Ö ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ò Ö Ð Ý ÐÙ Ó ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÙÒ Ð Ô Ð Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò º ýò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ò ¾¼º½ ÍÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ö Ô ÖØ Ö Ó Ö ÝÓ Ó Ò ÒØ ÓÒ ÓÖ Ò ÓÑ Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù Ð Ô ÖÑ Ò Ó Ý Ð ÓØÖÓ ÖÓØ Ò ØÓÖÒÓ Ð ÓÖ Ò Ø ÙÒ ÔÓ Ò Ò Ðº Ð ÓÖ Ò ÐÓ Ö ÝÓ Ð Ú ÖØ Ð Ö ÝÓ ÕÙ Ô ÖÑ Ò Ó Ö Ð ÒÓÑ Ö Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ Ý Ð Ð Ó ÕÙ ÖÓØ ÙÒ Ú Þ ÕÙ ÓÔØ Ù ÔÓ Ò Ò Ð ÒÓÑ Ò Ð Ó Ò Ð Ó Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ðº Ð Ö ÝÓ ÕÙ ÖÓØ Ø Ò Ð ÖØ Ò Ð ÒØ Ó Ð ÖÓØ Ò Ý ÒÓ Ø Ò Ð Ñ Ø Ò Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÐÖ ÓÖ Ð Ú ÖØ º Ð Ö ÝÓ ÕÙ Ö ÔÙ ÖÐÓ Ò Ð ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ó Ò Ð Ñ ÑÓ ÒØ Ó Ò Ð ÕÙ ÐÓ Ò Ð Ñ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ Ý Ø Ñ Ò ÔÙ ÐÐ Ö Ù ÐÙ Ö Ô ÖØ Ö ÙÒ ÚÙ ÐØ µ Ý ÔÙ ÓÒØ ÒÙ Ö Ù Ö ÓÖÖ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø Ö n ÚÙ ÐØ º ½

96 Ò Ò ¾¼º¾ Ë Ð Ö ÝÓ ÕÙ Ö ÐÓ Ò ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ð Ñ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ Ð Ò ÙÐÓ Ø ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ý ÒÓÑ Ò Ò ÙÐÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÐÓ Ò Ð Ñ ÑÓ ÒØ Ó Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ý Ö Ð ÒÓÑ Ö Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓº Ë Ð Ð Ó Ò Ð Ö Ó Ò Ú Ý ÓÒØ Ò Ù ÖÓØ Ò Ô ÖÓ ÒÓ Ð ÒÞ Ö ÙÒ ÒÙ ÚÓ ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÚÙ ÐØ Ó Ò ÖÓ º ÒÓÒØÖ ÑÓ ÒØÓÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó ÙÝ Ñ ÓÒ Ñ ÝÓÖ ½ ¼ Ö Ó ¹ ÔÙ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÐÐ ÒÓ Ý Ñ ÝÓÖ ¼ Ö Ó Ð Ö Ð Þ Ö Ñ ÙÒ ÖÓº Ù Ò Ó Ú ÑÓ ÒÓØ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ö ÑÓ Ò Ñ ÒØ Ù Ñ Ø ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ô ÖÓ Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÑÓ ÒØ ÔÓÒ Ö Ù Ñ Ð ÒÓ Ñ ÒÓ ¹µº ÑÔÐÓ ¾¼º½ Ò Ð ÙÖ ¾¼º½ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ α = 60 Ý β = 90 Ô ÖØ Ö ÙÒ Ð Ó Ò Ð Óº Ä Ó Ò Ð α Ä Ó ÁÒ Ð β Ä Ó Ò Ð Ä Ó Ò Ð α = 60 ÙÖ ¾¼º½ β ¾ ¼ ÑÔÐÓ ¾¼º¾ Ê ÔÖ ÒØ ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ δ = 5 Ý γ = 390 Ô ÖØ Ö ÙÒ Ð Ó Ò Ð Ó Ò Ð ÙÖ ¾¼º¾ Ð Ó Ò Ð δ Ð Ó Ò Ð γ Ð Ó Ò Ð Ð Ó Ò Ð δ = 5 γ = 390 ÙÖ ¾¼º¾ ÑÔÐÓ ¾¼º ½º Ë α = 45 α ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 45 Ý Ø ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ º ¾º Ë β = 5 β ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 5 ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º ¾

97 º Ë φ = 770 φ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 770 Ó ÚÙ ÐØ Ý ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú ¹ Ñ ÒØ º È Ö ÓÒÓ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÓ ÕÙ Ó Ð Ð Ó Ò Ð Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ù ÒØ Ú Ö ØÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ñ 360 º Ú ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ 770 ÔÓÖ 360 Ý Ó Ø Ò ÑÓ Ù Ð 770 = (360 ) φ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ ¾ ÚÙ ÐØ º º Ë θ = 540 θ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 540 ÙÒ ÚÙ ÐØ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ò Ø Ó Ø Ò ÑÓ Ó ÓÔ ÓÒ µ Ó ÕÙ Ð Ñ ÒÓ ÑÙÝ Ö Ò ÔÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ Ñ Ñ 360 Ô ÖÓ Ñ ÒÓ 70 Ð Ð Ó Ò Ð ÒÓ Ö Ñ ÙÒ Ú Þ ÓÑÓ Ò Ø ÚÓ Ð Ð Ó Ò Ð Ó Ù ÖÓØ Ò Ò ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ñ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ º µ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ 540 = ( 360 ) 180. ÄÓ Ù Ð Ò ÕÙ Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ Ö Ð Þ Ó ÙÒ Ò Ó ÖÓ Ý Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º À Ø Ø ÑÓÑ ÒØÓ ÐÓ ÑÔÐÓ Ò Ó Ó ÓÒ Ò ÙÐÓ Ñ Ó Ò Ö Ó Ü ¹ Ñ Ð º Ù Ò Ó ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð Ø Ñ ÖÙÐ Ö ÓÒ Ö Ù Ò ÓÑ Ø Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ö Òº ÑÔÐÓ ¾¼º ½º α = π 5 α ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ π 5 ¾º Ë θ = 3π θ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 3π Ö Ò Ý Ø ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ º Ý Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º º Ù Ò Ó Ö ÑÓ β = 6 ÒÓ Ø ÑÓ Ö Ö Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ö Ò Ý Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º º Ë φ = 6.5 ÒØÓÒ φ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ ÕÙ Ñ 6.5 Ö Ò º ÈÙ ØÓ ÕÙ π < 6.5 < 4π ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ó Ò Ð Ó ÙÒ ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÒÓ Ð ÒÞ Ö ÙÒ ÙÒ ÚÙ ÐØ Ý ÕÙ º Ñ ÒÓÖ ÕÙ 4πº ÑÔÐÓ ¾¼º Ø ÖÑ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÚÙ ÐØ Ð Ò ÙÐÓ ϕ = 30º ËÓÐÙ Ò ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ù ÒØ Ú Ð Ð Ó Ò Ð Ö Ð Þ Ó ÙÒ ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓº Ä Ú Ò 30 ÔÓÖ π Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ô ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ ØÓ 4(π) 30 5(π)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ϕ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù ØÖÓ ÚÙ ÐØ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º ÆÓØ Ð Ö Ò ÕÙ Ü Ø ÒØÖ ¼ Ý 30 º Ö Ó ½º ÑÔÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ Ó ÚÙ ÐØ º ¾º Ê ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ 630 ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º º Ö Ð Ò ÙÐÓ α = 14º Ê ÔÖ ÒØ ÐÓ Ö Ñ ÒØ º

98 º Ö Ð Ò ÙÐÓ β = 14 º Ê ÔÖ ÒØ ÐÓ Ö Ñ ÒØ º º ú Ù ÒØ ÚÙ ÐØ θ = 10π º ú Ù ÒØ ÚÙ ÐØ θ = 1π º ú Ù ÒØ ÚÙ ÐØ θ = 5 º ú Ù ÒØ ÚÙ ÐØ θ = 545 º Ê ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÐÙÑÒ Ð Ø Ð Ð ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ¾¼º Ð Ñ Ò Ö Ó Ü Ñ Ð ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ñ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ Ù Ò Ó ÓÒ Ð 1 : 00 ԺѺ Ð 1 : 00 ԺѺ Ð : 00 ԺѺ... Ø Ð 11 : 00 ԺѺ ÓÒ Ö ÓÑÓ Ð Ó Ò Ð ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð Ö Ø ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ Ò ÐÐ ÐÓ Ñ ÒÙØÓ Ý Ð Ð Ó Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ Ò ÐÐ ÓÖ Ö º ÓÒ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º ½¼º Ê ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÒ ÓÐÙÑÒ Ð Ø Ð Ð Ö Ð ÙÖ ¾¼º Ð Ñ Ò Ö Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ñ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ Ù Ò Ó ÓÒ Ð 1 : 30 ԺѺ Ð 1 : 30 ԺѺ Ð : 30 ԺѺ... Ø Ð 11 : 30 ԺѺ ÓÒ Ö ÓÑÓ Ð Ó Ò Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ Ò ÐÐ Ð ÓÖ Ý ÓÑÓ Ð Ó Ò Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ Ò ÐÐ ÐÓ Ñ ÒÙØÓ º ÓÒ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÑÔÐ Ø Ð Ø Ð º ÀÓÖ ýò ÙÐÓ A Ò Ö Ó ÀÓÖ ýò ÙÐÓ A Ò Ö Ò 1 : 00 ԺѺ 0 1 : 00 ԺѺ 30 : 00 ԺѺ ½½ ¼¼ ÔÑ 330 ÙÖ ¾¼º 1 : 30 ԺѺ 11π 1 1 : 30 ԺѺ 3π : 30 ԺѺ 13π 1 ½½º ÄÓ Ö Ó Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö Ý ØÖ Ö ÙÒ Ð Ø Ñ Ò Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ½ Ý ¼ ÒØ Ñ ØÖÓ º µ Ë Ð ÖÙ ØÖ Ö ÓÑÔÐ Ø 500 Ö ÚÓÐÙ ÓÒ úù ÒØ Ö ÚÓÐÙ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö µ úéù Ò ÙÐÓ Ò Ö Ò ÖÓØ Ð ÖÙ ØÖ Ö Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö ÖÓØ ¼ Ö Ò

99 Ä Ò ¾½ ýò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò ÁÁ Ò Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ù Ò Ó Ò ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó ÒÓ Ö ØÖ Ò ÑÓ Ð Ù ¹ Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓº ÉÙ Ö ÑÓ ÓÖ Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð Ú ÖØ Ó Ò ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ý Ð Ð Ó Ò Ð Ó Ò ÓÒ Ð Ñ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ø Ñ ÓÓÖ Ò ¹ º ØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ØÓ Ò Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓº ØÓ ÐØ ÑÓ ÐÓ Ö ÑÓ Ò Ð Ð Ò ¾¾º ýò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò Ò Ò ¾½º½ ÍÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö ÐÐ Ñ Ó Ø Ñ Ò Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ó Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ù Ó Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ ¹ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÙÝÓ Ú ÖØ Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ó Ò ÓÒ Ð Ñ ÔÓ Ø ÚÓ Ð Ó Ø Ñ ÓÓÖ Ò Óº Ë Ð Ð Ó Ò Ð Ø Ò ÙÒÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó Ð Ò ÙÐÓ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð Ó Ù Ö ÒØ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó Ð ÒÓÑ Ò Ò Ð Ò ÙÐÓ Ô Ò Ð Ù Ö ÒØ Ò Ð ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ù Ð Ó Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÒ Ó Ø Ö Ö Ó Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º y y Ð Ó Ò Ð β x φ x Ð Ó Ò Ð β ÙÒ Ò ÙÐÓ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ φ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÙÖ ¾½º½

100 ÑÔÐÓ ¾½º½ ÄÓ Ò ÙÐÓ β,φ, Ý δ Ò Ð ÙÖ ¾½º½ Ý ¾½º¾ ÓÒ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ñ ÒØÖ ÕÙ α ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò º Ð Ó Ò Ð y y δ x α x δ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ð Ó Ò Ð α ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ ÙÖ ¾½º¾ ÑÔÐÓ ¾½º¾ Ð Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò ÒÓÖÑ Ð Ò ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ð ÔÙÒØÓ È ÓÒ ÓÓÖ Ò ( 1, 3) ÙÒ Ò ÙÐÓ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º ÑÔÐÓ ¾½º Ò Ð ÙÖ ¾½º Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ð Ú ÖØ Ðº y y y y π x 3π x π x 3π x ÙÖ ¾½º ÑÔÐÓ ¾½º Ò Ð ÙÖ ¾½º Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð ÓÒ Ù Ð Ó Ò Ð Ó Ö Ð ÓÖ ¹ ÞÓÒØ Ðº y y y y π x π x π x π x ÙÖ ¾½º

101 ýò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð Ò Ð ÙÒÓ Ó Ð Ð Ó Ò Ð Ó Ò ÙÐÓ Ö ÒØ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ó Ò Òº ØÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÒ Ø Ò Ò Ð Ñ ÑÓ Ð Ó Ò Ð Ð Ñ ÔÓ Ø ÚÓ Ð Ý Ð Ñ ÑÓ Ð Ó Ò Ðº Ó Ò ÙÐÓ Ö Ò Ð ÒÓÑ Ö Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð º Ò Ò ¾½º¾ Ó Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ò ÙÒ Ñ ÑÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð Ù Ð Ó Ò Ð Ó Ò Òº ÑÔÐÓ ¾½º ÄÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò ÙÒ Ð Ö Ð ÙÖ ¾½º ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð º Ç ÖÚ ÕÙ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð Ù ÖØ Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ø Ò Ò ÓÖ ÒØ ÓÒ ÓÔÙ Ø º Å ÒØÖ ÕÙ Ò Ð ÓØÖ Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ ÒØ Ò Ý ÓÒ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö ÒØ ÚÙ ÐØ º y y Ä Ó Ò Ð y Ä Ó Ò Ð y β α x φ γ x δ γ x θ φ x Ä Ó Ò Ð Ä Ó Ò Ð ÙÖ ¾½º ÆÓØ ¾½º½ ½º Ë α ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò µ Ñ Ó Ò Ö Ò Ý Ò Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ð Ò ÙÐÓ α+nπ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ αº Ö ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ α Ð ÙÑ α ÓÒ ÐÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒØ ÖÓ πº ¾º Ë α ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò µ Ñ Ó Ò Ö Ó Ý Ò Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ð Ò ÙÐÓ α+n(360 ) ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ αº Ö ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ α Ð ÙÑ α ÓÒ ÐÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒØ ÖÓ 360 º ÑÔÐÓ ¾½º ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ π 3 º ËÓÐÙ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ø Ò ÙÐÓ Ò Ò ØÓº Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ π 3 +π ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ø Ð ÓÒ Òº Ò Ò Ö Ð ÖÓ Ð Ð Ó Ò Ð Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ Ó ÒØ Ó Ò Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ Óº

102 ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÑÔÐÓ ¾½º π 3, π 3 +π, π 3 +4π, π 3 +6π,..., π 3 π, π 3 4π, π 3 6π... ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð 3π º ËÓÐÙ Ò Ð Ò ÙÐÓ 3π 11π +4π = ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ 3π º ÑÔÐÓ ¾½º ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ 3πº ËÓÐÙ Ò Ð Ò ÙÐÓ 3π 6π 9π ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ 3πº ÑÓ Ö ÓÒÓ Ö Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ½º Ó Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ò Ö Ó ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð Ù Ö Ò ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒØ ÖÓ 360 º ¾º Ó Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ò Ö Ò ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð Ù Ö Ò ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒØ ÖÓ πº Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ Ý Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÒØ ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ µ ÍÒ Ò ÙÐÓ ÒÓ Ù Ö ÒØ Ð ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ ØÖ ÚÙ ÐØ º µ ÍÒ Ò ÙÐÓ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ù ØÖÓ ÚÙ ÐØ º ¾º úéù Ö Ø Ö Ø Ô Ð Ø Ò Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ð Ó Ò Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º À ÐÐ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ 3π 4 º º Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ π 3 º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ø Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [0,π] Ý ÕÙ ÓØ Ö¹ Ñ Ò Ð ÓÒ ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ó µ 33π 4 31π 1π µ 13π µ µ º 6 4 º Ê ÔÖ ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ó Ò ÔÓ Ò Ø Ò Öº Ø ÖÑ Ò ÐÐÓ ÓÒ ÓØ ÖÑ ¹ Ò Ð Ý Ð Ù Ö ÒØ Ò Ð Ù Ð ÒÙ ÒØÖ Ò µ δ = 9π 4 Ý η = π 4 µ σ = 5π 4 Ý ω = 3π 4 µ α = 7π 3 Ý β = 7π 3 º º ú Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ô Ö Ò ÙÐÓ ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð µ α = 140 Ý β = 0 µ α = 3π 4 Ý β = 7π 4 º

103 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Á Ä Ò ¾¾ Ò Ð Ð Ò Ò ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò¹ ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÓÑÓ Ö ÞÓÒ ÒØÖ ÐÓ Ø ØÓ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓº È ÖØ Ö ÑÓ Ø Ò ÓÒ Ô Ö ÐÙ Ó ÜØ Ò ÖÐ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ø Ò Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓº ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò º y N(0, y) P(x,y) r y O t x M(x, 0) x ÙÖ ¾¾º½ Ò Ð ÙÖ ¾¾º½ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ OMP Ò Ð Ù Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ø Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó xyº Ð Ú ÖØ O Ó Ò ÓÒ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ð Ø ØÓ OM Ø Ó Ö Ð x Ð ÔÓØ ÒÙ Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ð Ò ÙÐÓ Ò M Ö ØÓ Ý Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ tº Ó ÕÙ t ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ OM Ù Ð Ð x P x > 0 Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ PM Ù Ð Ð ÓÖ Ò y P y > 0º Ë ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ r Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ OMP ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ

104 È Ø ÓÖ Ø Ò ÑÓ ÕÙ r = x +y. Ä Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓt Ø Ò Ò ¾¾º½µº sent = cost = tant = ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ t ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ Ý ÒØ t ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ t ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ Ý ÒØ t = y r, = x r, = y x. ¾¾º½µ Ó ÕÙ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ t Ò ¾¾º½µ Ø Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÓÓÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ù Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ù ÒÓ ÔÓ Ö Ò Ö Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö ÙØ Ð Þ Ò Ó Ô Ö ÐÐÓ Ð Ù Ð ¾¾º½µº ÐÓ Ö Ö ÜØ Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ¹ ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ Ò Ö Ð ÕÙ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓÖ ÒØ Ò Ý Ñ Ò ØÙ º È Ö ÔÓ Ö Ò Ö ÙÒ ÙÒ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ ¹ Ò Ò Ò ÑÓ ÙÖ ÖÒÓ ÕÙ ¾¾º½µ Ö ÐÑ ÒØ Ò Ò ÓÖÑ Ò Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö Ð Ò ÙÐÓ t Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ø Ö Ð ÓÒ Ø Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ðº úéù Ù Ó ÑÓ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ P (x,y ) Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð t Ë Ö ÕÙ Ö ÕÙ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò Ò Ð Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö Ø ÒØÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó tº Ò Ð ÙÖ ¾¾º¾ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ OMP Ý OM P ÓÒ Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì Ð Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð º Ú Ö Ò Ð Ö Ð ÓÒ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ð ÒØÖ ÐÓ Ð Ó ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ OMP Ý OM P Ò ¾¾º¾µº Î Ø ÓÖ Ñ Ò Ð Ô Ò ½ º y O r t x r P(x,y) y M x P (x,y ) y M x y r = y r x r = x r y x = y x ¾¾º¾µ ÙÖ ¾¾º¾ ¼

105 Ç ÖÚ ÕÙ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Çųȳ Ø Ò ÕÙ sent = cost = tant = ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ t ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ Ý ÒØ t ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ t ÐÓÒ ØÙ Ð Ø ØÓ Ý ÒØ t = y r = x r = y x ¾¾º µ Ä Ö Ð ÓÒ Ò ¾¾º½µ ¾¾º¾µ Ý ¾¾º µ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ò ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ð Ò Ò Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ô Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ ÕÙ Ð Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Ø Ò Ö ÑÓ Ö ØÖ ÓÒ Ô Ö Ð ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ò Ó Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ Ø Ó Ö ÙÒÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó ÔÙ ØÓ ÕÙ Ò Ó Ó Ø Ò Ö ÑÓ Ð ÙÒÓ ÒÓÑ Ò ÓÖ Ù Ð ÖÓ Ò ¾¾º½µº Ò Ò ¾¾º½ Ë t ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò P(x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ (x,y) (0,0) Ý r > 0 Ð Ø Ò P(x,y) Ð ÓÖ Ò Ò Ò sent = y r, cost = x r, tant = y, Ô Ö x 0, x cott = x, Ô Ö y 0, y sect = r, Ô Ö x 0, x csct = r, Ô Ö y 0. y ¾¾º µ Ç ÖÚ Ò ¾¾º½ Ó ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ø Ô Ö Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ù Ð º ÑÔÐÓ ¾¾º½ Ð Ò ÙÐÓ θ Ø Ò ÔÓ Ò Ø Ò Öº Ë Ð ÔÙÒØÓ P( 3,4) Ô ÖØ Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θ ÐÙÐ Ò Ó ÕÙ Ü Ø Ò ØÓ Ù ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ËÓÐÙ Ò ÐÙÐ ÑÓ Ð Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ È r = 9+16 = 5 = 5, ½

106 ÑÔÐÓ ¾¾º¾ Ë tanθ = 5 Ð Ò ÙÐÓ θº 1 senθ = 4 5, cscθ = 5 4, cosθ = 3 5 = 3 5, secθ = 5 3 = 5 3, tanθ = 4 3 = 4 3, 3 cotθ = 4 = 3 4. Ý cosθ > 0 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ñ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ËÓÐÙ Ò Ë ÓÐÓ Ð Ò ÙÐÓ θ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò º Ë ÙÒ ÔÙÒØÓ (x,y) Ø Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θ ÒØÓÒ tanθ = y x Ý cosθ = x r º ÓÑÓ cosθ > 0 Ý tanθ < 0 ÒØÓÒ x > 0 Ý y < 0º È Ö ÐÙÐ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓº Ë Ð ÓÒ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ ÓÓÖ Ò y = 5 Ý x = 1º Ô ÖØ Ö Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ù Ð r = ( 5) +1 = = 169, r = 169 = 13, senθ = 5 13 = 5 13, cscθ = 13 5, cosθ = 1 13, secθ =, cotθ = ÑÔÐÓ ¾¾º ËÙÔÓÒ ÕÙ t ÙÒ Ò Ù Ó Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ý Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò Ù Ð Ó Ò Ð ÓÒ Ò Ø Ú º Ë cost = 4 5 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓ Ù ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ËÓÐÙ Ò ÌÓÑ ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x,y) Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð tº ÓÑÓ cost = 5 4 ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö x = 4 r = 5 Ý y < 0º x +y = r, 16+y = 5, y = 5 16 = 9, y = 3. ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ð Ó Ò Ð t ( 4, 3)º ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ sent = 3 5 ; csct = 5 3, cost = 4 5 ; sect = 5 4, ¾

107 Ö Ó tant = 3 4 = 3 4 ; cott = 4 3. ½º Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ý ÐÙÐ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ó ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ Ò µ ýò ÙÐÓ α 1 Ù Ð Ó Ò Ð ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ ( 6, 8)º µ ýò ÙÐÓ α Ù Ð Ó Ò Ð ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ (3, )º µ ýò ÙÐÓ α 3 Ù Ð Ó Ò Ð ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ ( 3,1)º µ ýò ÙÐÓ α 4 Ù Ð Ó Ò Ð ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ (1, )º µ Ð Ò ÙÐÓ α Ø Ò Ò Ù Ð Ó Ò Ð Ð ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò ( 5, 1)º ¾º Ë cosθ = 4 5 Ý senθ > 0 ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ θº º Ë cscα = 13 5 Ý Ð ÐÓ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò Ð Ð Ó Ò Ð α ÓÒ Ò Ø Ú ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ αº

108

109 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÁÁ Ä Ò ¾ Ò Ð Ð Ò ¾¾ Ò ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ó Ø Ò Ö Ý Ö Ð Þ ÑÓ Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ Ú Ö ÑÓ ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓ ÙÒ ÙÒ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð ÔÓ Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù Ö ÒØ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ ÒÓº ÑÔÐÓ ¾ º½ ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ð Ö Ø ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ P ÓÒ ÓÓÖ Ò (,5)º ËÓÐÙ Ò ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ α Ð Ò ÙÐÓ ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ð Ö Ø º È Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ ÓÐ Ø Ó ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P º Ä Ø Ò P Ð ÓÖ Ò r = ( ) +5 = 4+5 = 9. y P(,5) 5 α x ÙÖ ¾ º½ senα = 5 9 = 5 9 9, cscα = cosα = 9 = 9 9, secα = 9 5, 9 = tanα = 5 = 5, cotα = 5 = 5. 9,

110 Ë ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð ÒÓ ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ò ÐÓ Ö Ô Ø ÚÓ ÒÓ Ð Ý ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ Ý ÕÙ Ð Ø Ò ÓÒ ÑÔÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ º Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ð ÓÖ Ò Ý Ð ÓÒ ØÓ ÔÓ Ø Ú º ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ØÓÑ Ò Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ º Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ð ÓÖ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ý Ð Ò Ø Ú º ÓÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÒÓ Ý Ó ÒØ Ô Ò Ò Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ù Ú ÐÓÖ ÓÒ ÔÓ Ø ÚÓ º Ð Ó ÒÓ Ý Ð ÒØ Ô Ò Ò Ð ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù Ú ÐÓÖ ÓÒ Ò Ø ÚÓ º Ä Ø Ò ÒØ Ý Ð ÓØ Ò ÒØ Ô Ò Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ó ÓÓÖ Ò Ý Ó Ø Ò Ò ÓÑÓ Ð Ó ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÒÓ ÓÔÙ ØÓ ÒØÓÒ Ù Ú ÐÓÖ ÓÒ Ò Ø ÚÓ º Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ Ø ÒØÓ Ð ÓÑÓ Ð ÓÖ Ò ÓÒ Ò Ø Ú º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ ÒØ Ý Ó ÒØ ØÓÑ Ò Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ º Ä Ø Ò ÒØ Ý Ð ÓØ Ò ÒØ ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÔÓÖÕÙ Ö ÙÐØ Ò Ð Ó ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÒ Ð Ñ ÑÓ ÒÓº Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ Ð ÓÖ Ò ÓÒ Ò Ø Ú Ý Ð ÓÒ ÔÓ Ø Ú ØÓ ÕÙ Ð ÒÓ Ý Ð Ó ÒØ ØÓÑ Ò Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ Ý ÕÙ Ð Ó ÒÓ Ý Ð ÒØ ØÓÑ Ò Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ ÔÓÖ Ö Ð Ó ÒØ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ Ö ÒØ ÒÓ ÓÒ Ò Ø ÚÓ º Ê ÙÑ ÑÓ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Ø Ð ¾ º½ ÑÔÐÓ ¾ º¾ Ë Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ α ÔÓ Ø Ú Ý Ù Ó ÒÓ Ò Ø ÚÓ ÒØÓÒ α ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º ÑÔÐÓ ¾ º Ë senβ < 0 Ý cosβ < 0 ÒØÓÒ β ÙÒ Ò ÙÐÓ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º Ë ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ö ÒØ ÙÒ ÓÒ ÔÓ Ø Ú ÙÒ ÓÒ Ò Ø Ú Á ØÓ Ò Ò ÙÒ ÁÁ sen csc cos tan sec cot ÁÁÁ tan cot sen cos csc sec ÁÎ cos sec sen tan csc cot Ì Ð ¾ º½

111 ÑÔÐÓ ¾ º ËÙÔÓÒ ÕÙ θ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ò ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ð ÔÙÒØÓ P(,y)º Ë θ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ Ý Ð Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P r = 3 ÒÙ ÒØÖ senθ cosθ Ý tanθº ËÓÐÙ Ò È Ö ÐÐ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ÑÓ ÓÒÓ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÖ Ò yº ÓÑÓ Ð Ò ÙÐÓ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ ÒØÓÒ y < 0º ÔÐ ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ô Ö ÐÐ Ö y 3 = ( ) +y, ÈÙ ØÓ ÕÙ y Ò Ø ÚÓ y = 5º y = 9 4 = 5, y = ± 5. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÓÖ Ò P ÓÒ (, 5)º À ÐÐ ÑÓ ÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ senθ = 5 5 = 3 3, cosθ = ÑÔÐÓ ¾ º 3 = 3, tanθ = 5 = 5. Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 9π 4 º ËÓÐÙ Ò Í Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó ÜÔÐ Ó Ò Ð Ð Ò ¾½ Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ 9π ÙÝ Ñ Ø ÓÑÔÖ Ò ÒØÖ 0 Ý π 4 9π 4 = π + π 4. Ð Ò ÙÐÓ 9π ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ πº ÓÑÓ π ÙÒ Ò ÙÐÓ ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ 9π ÓÒ ÔÓ Ø Ú º 4 ÑÔÐÓ ¾ º Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ sec( 1100 )º ËÓÐÙ Ò Ù ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ 1100 Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ 1100 = 3(360 ) 0.

112 Ð Ò ÙÐÓ 0 ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ Ý ÔÓÖ ØÓ sec( 1100 ) Ø Ò ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓº Ö Ó ½º Ë Ð Ð Ó Ò Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ δ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ø Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ Ö ÔÖ ÒØ ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ δ Ý ÒÙ ÒØÖ Ù ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ¾º Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ó (a) α = 5 µ β = 30 µ γ = 5 (d) θ = 3π 4 µ ϕ = 5π 6 µ ν = 11π 4 º º ÒÙ ÒØÖ Ð ÒÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ø ÒØ Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ò ÓÖÑ Ò Ò ÒÓÒØÖ Ö Ð Ò ÙÐÓ µ senα = 1 13 α Ø Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º µ cotβ = 1 3 β Ø Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º µ cosγ = 1 Ý γ Ø Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º µ secϕ = 5 ϕ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º 7 º ú ÔÓ Ð ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ α Ø Ð ÕÙ cosα 0 Ý secα 0 ÂÙ Ø ÕÙ Ù Ö ÔÙ Ø º º Ë cosα = cosβ Ý α β ú ÓÒ α Ý β Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÂÙ Ø ÕÙ Ù Ö ÔÙ Ø º º Ò ÐÓ Ù ÒØ Ð Ø Ö Ð ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ Ü Ø ÙÒ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ø Ð ÓÒ Ò µ cosα = 1 Ý tanα > 0 µ tanα = 1 Ý senα < 0. º Ê Ð ÙÒ Ö ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ý ÒÙ ÒØÖ Ù ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ø Ð Ò ÓÖÑ Ò ÕÙ µ ýò ÙÐÓδ 1 Ù Ð Ó Ò Ð ÓÖÑ Ò ÙÐÓ 45 ÓÒ Ð x Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º µ ýò ÙÐÓδ Ù Ð Ó Ò Ð ÓÖÑ Ò ÙÐÓ 30 ÓÒ Ð x Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º µ ýò ÙÐÓδ 3 Ù Ð Ó Ò Ð ÓÖÑ Ò ÙÐÓ 60 ÓÒ Ð x Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º

113 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÁÁÁ Ä Ò ¾ ÑÔÐÓ ¾ º½ È Ö ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó Ò ÐÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÒÙ ÒØÖ Ð ÓØÖ ÒÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ó Ø Ò Ö θº ½º senθ = θ Ò Ð Ù Ö ÒØ Áº 5 ¾º tanθ = 4 θ Ò Ð Ù Ö ÒØ ÁÁº 3 º csc θ = < θ < 360 º ËÓÐÙ Ò ½º È Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÒÓ Ô Ò Ò Ø ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x,y) ÕÙ Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θ Ð Ù Ð ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÓ ØÖ ÑÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ó ÔÙÒØÓº ÓÑÓ senθ = y r = ÔÓ ÑÓ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ y = Ý r = 5 Ú Ð ÙÖ ¾ º½µº 5 ÙÖ ¾ º½ Ë ÑÓ ÕÙ x +y = r ÕÙ x = r y Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ x = ± r y º ÓÑÓ Ð Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θ Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÒØÓÒ Ð ÓÓÖ Ò x

114 Ö ÔÓ Ø Ú º ÄÙ Ó x = 5 = 5 4 = 1. À ÐÐ ÑÓ ÓÖ Ð ÓØÖ ÒÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ cscθ = r y = 5, cosθ = x r = 1 5, secθ = r x = 5 1, tanθ = y x = 1, cotθ = x y = 1. ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÐØ Ö ÕÙ P( 1,) ÒÓ Ð Ò Ó ÔÙÒØÓ ÕÙ ÔÓ Ö ÑÓ Ö Ó Ó Ó Ý Ò Ò Ø ÔÓ Ð Ý ÕÙ Ý Ò Ò ØÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θº ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ù Ò Ó ÙÔÙ ÑÓ ÕÙ y = Ý r = 5 ÓØÖ Ó Ò Ú Ð Ù Ö Ó y = 4 Ý r = 10 Ð Ù Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ð ÔÙÒØÓ P ( 1,4) Ó Ø Ñ Ò y = /3 Ý r = 5/3 ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÔÙÒØÓ P ( 1/3,/3) Ú Ð ÙÖ ¾ º¾µº Ö Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ ÙÝ ÓÓÖ Ò Ò ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P( 1,) Ö ÙÒ Ð Ò ÓÖÖ Ø º ÁÒÚ Ø ÑÓ Ð Ð ØÓÖ ÕÙ Ú Ö ÕÙ ÕÙ ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ò Ò ÐÓ Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ θº ÙÖ ¾ º¾ ¾º È Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ô Ó Ò Ø ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x,y) ÕÙ Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ò ÙÐÓθ Ð Ù Ð ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º ÓÑÓtanθ = y x = 4 Ý Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ x Ò Ø Ú ÔÓ ÑÓ 3 ÙÔÓÒ Ö ÕÙ y = 4 Ý x = 3 Ú Ð ÙÖ ¾ º µº ½¼¼

115 ÙÖ ¾ º Ë ÑÓ ÕÙ x +y = r ÕÙ r = x +y º ÒØÓÒ r = ( 3) +4 = 9+16 = 5 = 5. À ÐÐ ÑÓ ÓÖ Ð ÓØÖ ÒÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ senθ = y r = 4 5, cscθ = r y = 5 4, cosθ = x r = 3 5 = 3 5, secθ = r x = 5 3 = 5 3, cotθ = x y = 3 4 = 3 4. º Æ Ø ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x,y) ÕÙ Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θ Ð Ù Ð ÒÙ ÒØÖ Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º csc θ = 9 4 ÑÔÐ ÕÙ 9 cscθ = ± 4 = ±3. ÓÑÓ 70 < θ < 360 ÒØÓÒ cscθ = 3 º Ë ÑÓ ÕÙ cscθ = r ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ y ÔÓ ÑÓ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ y = Ý ÕÙ r = 3 Ú Ð ÙÖ ¾ º µº ½¼½

116 ÙÖ ¾ º ÓÑÓ x +y = r ÒØÓÒ x = ± r y º Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ Ð ÓÓÖ Ò x ÔÓ Ø Ú ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ x = 3 ( ) = 9 4 = 5. Ö Ó À ÐÐ ÑÓ ÓÖ Ð ÓØÖ ÒÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ senθ = y r = 3 = 3, cosθ = x r = 5 3, secθ = r x = 3 5, tanθ = y x = 5 = 5, cotθ = x y = 5 = ÒÙ ÒØÖ Ð ÒÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ø ÒØ Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ò ÓÖÑ Ò Ò ÒÓÒØÖ Ö Ð Ò ÙÐÓ ½º cosθ = 5 3 ÓÒ θ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º ¾º senα = 13 1 ÓÒ α ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º º cotβ = 1 ÓÒ β ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º 3 º cosγ = 1 ÓÒ γ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º 5. º secϕ = 5 7 ÓÒ ϕ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º ½¼¾

117 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÁÎ Ä Ò ¾ Ð Ø Ñ ÒØÖ Ð Ø Ð Ò Ð ØÙ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò ÐÓ Ù Ð ÓÒ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÙÝ ÑÔÓÖØ Ò Ö Ò ÕÙ ÐÐÓ Ô ÖÑ Ø Ò ÑÔÐ Ö Ð ÐÙÐÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ö ØÖ Ö Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º Ä ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÓÒ Ð ØÙ Ó Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö Ò ÙÐÓ Ù Ó º ØÓ ÓÖ Ò Ð ØÙ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ô Ð 30,60 Ý 45 Ý Ð ÓÒ ØÖÙ Ò Ø Ð Ô Ö ÔÖÓÔ Ö Ð ÐÙÐÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö ÐÓ Ñ Ò ÙÐÓ º Ø Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ò Ò Ð Ò ÓÖÑ Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ò¹ ÙÐÓ Ù Ó º Ù Ò Ó Ð ØÙ Ó ÜØ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÙÖ Ð ÒØ Ö ÔÓ Ö ÐÙÐ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù ÐÕÙ Ö Ò ÙÐÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ¹ ÓÒ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º È Ö ÐÐÓ ÓÒ Ù Ó ÐÓ ÒÓÑ Ò Ó Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò º ýò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ò Ò ¾ º½ Ë θ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð ÒÓ Ø Ó Ö ÙÒ ÓÓÖ Ò Ó Ù Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ Ù Ó ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ð Ó Ø ÖÑ Ò Ð θ Ý Ð xº ÍÒ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ù ÐÕÙ Ö Ò ÙÐÓ α ÓÒ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ù Ö ÒØ Ò Ð Ù Ð Ø Ð Ò ÙÐÓ α ÜÔÖ Ò Ó α Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ Ý ÐÙ Ó Ô ÖØ Ö Ø ÐØ ÑÓ ÐÙÐ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ù Ö ÒØ Ð Ù Ð Ô ÖØ Ò αº Î ÑÓ Ö ØÖ Ò Ö ÒÙ ØÖÓ ØÙ Ó Ð Ó Ò Ð Ù Ð 0 < θ < π Ó ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ò ÙÐÓ β ÒÓ Ù Ö ÒØ Ð ÔÙ ÐÐ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð θ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ý Ø Ð ÕÙ 0 < θ < πº ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ θ R Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ θº Ò Ð ÙÖ ¾ º½ ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò θ R Ô Ö Ò ÙÐÓ θ ÕÙ Ø Ò Ò ÐÓ Ù ØÖÓ Ù Ö ÒØ º Ó ÕÙ Ò Ð Ñ ØÓ Ó ÔÖÓÔÙ ØÓ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ α Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÐÙÐ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ α ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ñ ÒÓ ½¼

118 ÙÒ ÚÙ ÐØ ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ú Ö Ó ÑÔÐÓ Ó Ö Ø Ø Ñ Ý ÐÙ Ó ÐÙÐ Ö ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò º y y θ = θ R x θ R θ x θ R = θ y θ R = π θ y θ R θ x θ θ R x θ R = θ π θ R = π θ ÑÔÐÓ ¾ º½ ÙÖ ¾ º½ Ë α = 11π 4 ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ α 1 ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ α Ø Ð ÕÙ 0 α 1 πº ÑÓ ÜÔÖ Ö α Ò Ð ÓÖÑ α = 11π 4 = πn+α 1. ÈÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö n Ý α 1 Ò Ó ÓÖÑ Ö ÒØ º ½º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ α ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ ÔÙ ØÓ ÕÙ ÒØÓÒ π = 8π 4 11π 4 16π 4 = 4π. α 1 = 11π 4 8π 4 = 3π 4, 11π 4 = 8π 4 + 3π 4 = π + 3π 4. ¾º Ð Ú ÐÓÖ n Ð Ó ÒØ Ý α Ð Ö ÙÓ ÕÙ Ó Ø Ò Ò Ð Ú Ö 11π ÔÓÖ πº 4 11π 11π 4 π = 4 8π = 11 8 = , 11π 4 = π 4 ( ½¼ ) = π+ 3π 4.

119 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ n = 1 Ý α 1 = 3π 4. ÑÔÐÓ ¾ º¾ ÍØ Ð Þ Ò Ó Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ Ó Ñ ØÓ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð ÑÔÐÓ ¾ º½ ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ α ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ α = 19π 3 Ø Ð ÕÙ 0 α πº α = 19π 3 = 6π + π 3, α = π 3. ÑÔÐÓ ¾ º È Ö ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ α = 5π ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÚÙ ÐØ ÓÑÔÐ Ø ÕÙ ÖÓØ α Ö Ô ØÓ Ð 6 ÓÖ Òº ÕÙ 36π 6 5π 6 4π 6, α ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ ¾ ÚÙ ÐØ º È Ö ÐÐ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ α Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ ÕÙ ÔÓ Ø ÚÓ ÑÓ Ö Ð Ö Ò α ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø ÚÓ ØÖ ÚÙ ÐØ Ý Ó Ø Ò ÑÓ 5π 6 = 36π π 6 α 3 = 11π ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ αº 6 ÑÔÐÓ ¾ º = 6π + 11π 6. Î ÑÓ ÐÙÐ Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ô Ö ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ α = 150,β = 4π 3 Ý θ = 11π 6. ËÓÐÙ Ò Î Ð ÙÖ ¾ º½º Ð Ò ÙÐÓ α ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º ËÙ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò α R = = 30. β ÙÒ Ò ÙÐÓ Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º ËÙ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò β R = 4π 3 π = π 3. θ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º ËÙ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò θ R = π 11π 6 = π 6. ÑÔÐÓ ¾ º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ θ = 13π 6,δ = 8π 3 Ý φ = 405. ËÓÐÙ Ò Ì Ò ÑÓ ÕÙ Ò ÙÐÓ Ñ ÙÒ ÚÙ ÐØ º È Ö Ò ÙÐÓ Ú ÑÓ Ù Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö ÔÙ ÐÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð ÙÖ ¾ º½º ½¼

120 ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ θ = 13π º ÈÙ ØÓ ÕÙ 6 13π 6 = π + π 6, Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò θ R = π º Ø Ð Ò ÙÐÓ Ù Ó ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð 6 ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓº È Ö δ = 8π 3 Ø Ò ÑÓ ÓÑÓ δ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ π 3 Ö Ò π 3 º ÈÙ ØÓ ÕÙ π 3 8π 3 = π + π 3. Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò δ Ó Ò ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ Ö ¹ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ù Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò δ R = π π 3 = π 3. ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ò ÙÐÓ φ = 405 º Ù Ò Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ø Ò ÓÖ ÒØ Ó Ò ¹ Ø Ú Ñ ÒØ ÑÓ Ø Ò Ö Ù Ó Ò Ð ÕÙ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÔÙ Ò ÒÙ ØÖ Ö ØÖ Ò ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÕÙ ÔÓ Ø ÚÓ ÓÒ Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ º Ð Ð Ó Ò Ð φ Ö Ó Ñ ÙÒ Ú Þ Ô ÖÓ Ñ ÒÓ Ó Ù Ñ Ñ ÝÓÖ 360 Ô ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ 70 º Ë ÜÔÖ ÑÓ φ Ò Ø ÖÑ ÒÓ 360, Ø Ò Ö ÑÓ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ø ÚÓ Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ù Ð º ÑÓ ÒØÓÒ ÓÑÔ Ö ÖÐÓ ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ 70 º Î ÑÓ ÕÙ 405 = ÈÙ ØÓ ÕÙ 315 ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò φ Ö Ó φ R = = 45. ½º ÈÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ó Ý Ù Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò µ α = 35 µ β = 5 µ γ = 5π 13π µ θ = 3 3 µ φ = 9π 4 º ¾º Ø ÖÑ Ò Ò ÕÙ Ù Ö ÒØ Ø Ð Ò ÙÐÓ Ó Ý ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ µ s = 60 µ t = 5 µ u = 750 µ v = 4π 3 µ x = 17π º 3 13π µ w = 6 ½¼

121 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Î Ä Ò ¾ Ò Ø Ð Ò Ú Ö ÑÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ α Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÒÓ Ù Ö ÒØ Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÐÓ ÒÓ ÔÖÓÔ Ó Ð Ù Ö ÒØ αº ÐÙÐÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ò ÙÐÓ Ö ¹ Ö Ò È Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù ÐÕÙ Ö Ò ÙÐÓα Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÐÐ Ð Ù Ö ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ α ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ØÓ ÐÙÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ý Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÙ Ó Ø ÖÑ Ò Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ý ÓÒ Ø Ð Ð Ò ÙÐÓ α Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð ÒÓº Ø Ñ ØÓ Ó ÒÓÑ Ò Ö Ù Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º ÑÔÐÓ ¾ º½ ½º ÐÙÐ Ð ÒÓ Ð Ó ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ 3π 6 º ËÓÐÙ Ò Ù ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ 3π 6 = π+ 11π 6. Ð Ò ÙÐÓ 11π Ø Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º ËÙ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò π 11π 6 6 = π 6. ÄÓ Ú ÐÓÖ Ð ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ ÓÒ Ò Ø ÚÓ Ý Ð Ó ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓº ÍØ Ð Þ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ π 6 Ý Ó Ø Ò ÑÓ sen π 6 = 1, ÒØÓÒ 3π sen 6 = 1, cos π 3 6 = 3π, ÒØÓÒ cos 6 = tan π 3 6 = 3π, ÒØÓÒ tan 3 6 = ½¼ 3, 3 3.

122 ¾º Í Ò Ó Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò ÐÐ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÒÓ Ð Ó ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ α = 00 º ËÓÐÙ Ò Ð Ò ÙÐÓ α Ø Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ α R = = 0. À ÐÐ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ ¾¼ Ý Ø Ò ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ ÔÓÖ Ø Ö α Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ Ð ÒÓ Ý Ð Ó ÒÓ ÓÒ Ò Ø ÚÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ ÔÓ Ø Ú º Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½º½ Ò Ð Ô Ò ¾¾ Ø Ò ÕÙ sen0 0.34,cos Ý tan0 0.36º ÑÔÐÓ ¾ º¾ senα 0.34, cosα 0.94, tanα ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó Ö Ù Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÒÙ ÒØÖ Ð ÒÓ Ð Ó ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ β = 550 º ËÓÐÙ Ò ½º ÌÓÑ ÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ β Ñ ÒÓ ÙÒ ÚÙ ÐØ ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú ¹ Ñ ÒØ º 550 = ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ β Ý ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º ¾º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò ÙÐÓ β ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º À ÐÐ ÑÓ ÓÖ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 170 β R = = 10. º Ú ÐÙ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ β ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ý ÕÙ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ý ÐÓ Ð Ó ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ ÓÒ Ò Ø ÚÓ º sen , ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ sen( 550 ) 0.17, cos , ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ tan , ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ cos( 550 ) 0.98, tan( 550 ) Î Ð Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½º½ Ò Ð Ô Ò ¾¾º ÑÔÐÓ ¾ º Ò Ð Ø Ð ¾ º½ Ô Ö Ò Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒÓØ Ð º ØÓ ÓÒ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ Ý 60 Ý ØÓ Ó ÕÙ ÐÐÓ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ 0 Ý 360 ÕÙ ÐÓ Ø Ò Ò ÐÐÓ ÓÑÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò º ½¼

123 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÒÓØ Ð ÙÒ Ò Ë ÒÓ ¹ ¹ 3 ¹ 3 1 Ó ÒÓ 3 1 ¹ 1 ¹ ¹ 3 ¹ 3 ¹ ¹ Ì Ò ÒØ ¹ 3 1 ¹ ¹ 3 ¹1 ¹ 3 3 Ì Ð ¾ º½ È Ö Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÌÓ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ Ó Ò Ö Ò Ð ÓÖÑ α + nπ ÓÒ Ò ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓÒ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ αº Ð Ò Ñ ÖÓ n Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ý Ð ÒØ Ó Ò ÕÙ ÐÐÓ Òº ÓÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ù Ð Ø Ò ÑÓ Ò Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ö Ð Ù ÒØ Ù Ð sen(α+π) = senα, cos(α+π) = cosα, tan(α+π) = tanα, cot(α+π) = cotα, sec(α+π) = secα, csc(α+π) = cscα. ¾ º½µ Ò Ò ¾ º½ ÍÒ ÙÒ Ò f Ô Ö Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ p Ø Ð ÕÙ f(x) = f(x+p) Ô Ö ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ x D f º Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò f Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ô Ö Ð Ù Ð f(x) = f(x+p) Ô Ö ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ x D f º Ó Ð Ù Ð Ò ¾ º½µ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ó Ö Ò¹ ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö Ó Ò Ò ÓÒ Ô Ö º ÈÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ Ú Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ù Ó ÙÒ ÓÒ ÒØ Ý Ó ÒØ Ø Ú Ñ ÒØ π Ý Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ø Ò ÒØ Ý Ð ÓØ Ò ÒØ πº Ö Ó ½º ÈÓÖ Ð Ñ ØÓ Ó Ö Ù Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 35 5π 3 17π 4 º ¾º ÈÓÖ Ð Ñ ØÓ Ó Ö Ù Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ù ÒØ Ò ÙÐÓ µ 750 µ 5π º 6 ½¼

124 º Ò Ð Ø Ð ¾ º½ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒÓØ Ð º È Ö ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð Ø Ð ÒÙ ÒØÖ Ù Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ý Ú Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓº º Ð ÓÖ ÙÒ Ø Ð Ñ Ð Ö Ð Ø Ð ¾ º½ ÓÒ Ô Ö Þ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ ÐØ ¹ ÔÐÓ 45 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 70,70 ] Ý ÔÖ ÒØ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ º ½½¼

125 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÎÁ Ä Ò ¾ ÄÓ Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð Ó Ù Ö ÒØ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÕÙ Ø Ò Ò Ù Ð Ó Ò Ð Ò ÙÒÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò¹ ÙÐ Ö º Ò Ð Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý Ö ØÖ ÓÒ Ô Ö ØÓ Ò ÙÐÓ Ø Ö Ð Ø Ñ Ø Ð Òº ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ð Ó Ò Ð Ó Ö ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó Ó ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ù Ð Ù ¹ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ 0 π π Ý 3π º È Ö ØÓ Ò ÙÐÓ ÒÓ Ø Ò Ò ØÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ½º Ë Ð Ð Ó Ò Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ø Ó Ö Ð y Ð Ù ÐÕÙ Ö Ù ÔÙÒØÓ ÖÓ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ô Ö ØÓ Ò ÙÐÓ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ò ÒØ º ÒÓ Ø Ò Ò Ð Ø Ò ÒØ Ò Ð ÒØ π 3π Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð ÙÒÓ ÐÐÓ º ¾º È Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ð x Ð ÓÖ Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ Ù Ð Ó Ò Ð ÖÓ Ô Ö ØÓ Ò ÙÐÓ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÓØ Ò ÒØ Ò Ó ÒØ º ÒØÓÒ ÒÓ Ø Ò Ò Ð Ó ÒØ Ò Ð ÓØ Ò ÒØ 0 π Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð ÓÒ Ð ÙÒÓ ÐÐÓ º º Ä ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ø Ò Ò Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ º È Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÓ Ò ÙÐÓ Ð ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ù Ð 1 Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ù ÓÓÖ¹ Ò ÐÐ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÙÒ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ÁÐÙ ØÖ ÑÓ ÓÒ Ó Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö º ÑÔÐÓ ¾ º½ ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ 0 Ý 3π º ½½½

126 ÍÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ α = 0 P(1,0)º Ä Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ø ÔÙÒØÓ r = 1 +0 = 1 = 1º y sen 0 = 0 1 = 0, cos0 = 1 1 = 1, P(1,0) x tan 0 = 0 1 = 0, sec0 = 1 1 = 1, cot 0 Ý csc 0 ÒÓ Ø Ò Ò Ý ÕÙ Ð ÓÖ Ò P ¼º ÙÖ ¾ º½ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 3π º ÍÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ P(0, 1)º Ä Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ø ÔÙÒØÓ r = 0+( 1) = 1 = 1 y P(0, 1) x sen 3π = 1 1 = 1 cos 3π = 0 1 = 0, cot 3π = 0 1 = 0. csc 3π = 1 1 = 1 tan 3π Ý sec 3π ÒÓ Ø Ò Ò Ý ÕÙ Ð P ¼º ÙÖ ¾ º¾ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù Ö ÒØ Ð ýò ÙÐÓ È Ü Ýµ r sen cos tan cot sec csc ¼ ½ ¼µ ½ ¼ ½ ¼ ÒÓ Ò ½ ÒÓ Ò π ¼ ½µ ½ ½ ¼ ÒÓ Ò ¼ ÒÓ Ò ½ π ¹½ ¼µ ½ ¼ ¹½ ¼ ÒÓ Ò ¹½ ÒÓ Ò 3π ¼ ¹½µ ½ ¹½ ¼ ÒÓ Ò ¼ ÒÓ Ò ¹½ ÑÔÐÓ ¾ º¾ ÐÙÐ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ α = 3πº ½½¾

127 ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ 3π = 4π +π, Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ 3π ÓÒ Ù Ð Ð Ð Ò ÙÐÓ π Ý ÕÙ ÐÓ Ó ÓÒ Ò ÙÐÓ ÓØ ÖÑ Ò Ð º sen( 3π) = sen(π) = 0, csc( 3π) ÒÓ Ø Ò cos( 3π) = cos(π) = 1, sec( 3π) = secπ = 1, tan( 3π) = tan(π) = 0, cot( 3π) ÒÓ Ø Ò º ÑÔÐÓ ¾ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 9π º ËÓÐÙ Ò Ä ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 9π ÓÒÓÑ ØÖ π. 9π = 4π+ π ÔÙ Ò ÜÔÖ Ö Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ¹ sen 9π = sen π = 1, csc 9π = 1, cos 9π = cos π = 0, sec 9π ÒÓ Ø Ò, tan 9π ÒÓ Ø Ò cot 9π = 0. Ö Ó ÒÙ ÒØÖ Ù Ò Ó ÔÓ Ð ÐÓ Ù ÒØ Ú ÐÓÖ º ÜÔÐ ÕÙ Ù Ò Ó Ð ÙÒÓ ÐÐÓ ÒÓ Ø Ò Ó ( ) 9π ½º cos º 4 ¾º tan540 º º sec450 º º sec( 390 )º ( º tan 11π ) º º cot11πº º sen( 4π)º º sen5πº ½½

128 ½½

129 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÎÁÁ Ä Ò ¾ Ò Ø Ð Ò Ö ÑÓ Ò Ò Ð Ö Ð Ò ÕÙ Ü Ø ÒØÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ θ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ý ÕÙ ÐÐ Ù Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ θº Ô ÖØ Ö Ø Ö Ð ÓÒ ØÙ Ö ÑÓ ÐÓ ÓÒ ÔØÓ ÙÒ Ò Ô Ö ÑÔ Öº ÙÒ ÓÒ ( θ) Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ¾ º½ ÔÓ ÑÓ ØÙ Ö Ð Ö Ð Ò ÕÙ Ü Ø ÒØÖ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó θ Ý Ð Ù Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ θµº y P(x,y) y θ θ Q(x, y) x ÙÖ ¾ º½ Ë Ð ÔÙÒØÓ P ÓÓÖ Ò (x,y) Ø Ò Ð Ð Ó Ò Ð ÙÒ Ò ÙÐÓ θ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ Q(x, y) Ø Ò Ð Ð Ó Ò Ð θº ÒØÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ θ ÓÒ senθ = y r, cosθ = x, tanθ = y x, cotθ = x y, secθ = r x, cscθ = r y. ¾ º½µ Ä ÙÒ ÓÒ θ ÓÒ sen( θ) = y r = y r, cos( θ) = x y, tan( θ) = r x = y x, cot( θ) = x y = x y, sec( θ) = r x, csc( θ) = r y = r y. ¾ º¾µ ½½

130 ÓÑÔ Ö Ò Ó Ð Ù Ð Ò ¾ º½µ Ý ¾ º¾µ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ sen( θ) = senθ, tan( θ) = tanθ, sec( θ) = secθ, cos( θ) = cosθ, cot( θ) = cotθ, csc( θ) = cotθ. ¾ º µ ÙÒ ÓÒ Ô Ö ÑÔ Ö Ò Ò ¾ º½ Ë Ô Ö ÙÒ ÙÒ Ò f ÙÑÔÐ ÕÙ f(x) = f( x) Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ x Ø Ð ÕÙ x Ý x Ø Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó f ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò f Ô Öº Ë f( x) = f(x) Ô Ö ØÓ Ó x Ø Ð ÕÙ x Ý x Ø Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò f ÑÔ Öº Ð Ù Ð Ò ¾ º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ó ÒÓ Ý ÒØ º ËÓÒ ÑÔ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ø Ò ÒØ Ó ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ º ÑÔÐÓ ¾ º½ ( ½º sen π ) ( π 3 = sen = 3 3). ¾º cos( π) = cos(π) = 1. º Ë cos( α) = 0.78 ÒØÓÒ cosα = 0.78º ( º tan π ) = tan π 4 4 = 1. ÑÔÐÓ ¾ º¾ ËÙÔÓÒ ÕÙ tan( β) = 0.47 Ý cosβ = 0.91º Ë Ò ÒÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ β ÒÙ ÒØÖ senβº ú Ù Ð Ù Ö ÒØ Ô ÖØ Ò β ËÓÐÙ Ò ÍØ Ð Þ ÑÓ Ð ÒØ tan( β) = sen( β) cos( β). ¾ º µ Ë ÑÓ ÕÙ cos( β) = cosβ, ÔÓÖ ÐÓ Ù Ð cos( β) = Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ Ò ¾ º µ Ý ÑÔÐ ÑÓ 0.47 = sen( β), sen( β) = (0.47)(0.91) = ÓÑÓ sen( β) = senβ Ø Ò ÑÓ senβ = ÈÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ senβ = ½½

131 ÓÑÓ cosβ ÔÓ Ø ÚÓ Ý senβ Ò Ø ÚÓ ÒØÓÒ Ð Ò ÙÐÓ β Ù ÖØÓ Ù ¹ Ö ÒØ º ÑÔÐÓ ¾ º Ø ÖÑ Ò Ð ÙÒ Ò f(x) = senxtanx Ô Ö Ó ÑÔ Öº ËÓÐÙ Ò ÑÓ ÐÙÐ Ö f( x) Ô Ö ÓÑÔ Ö ÖÐÓ ÓÒ f(x)º f( x) = sen( x)tan( x) = ( senx)( tanx) = (senx)(tanx) = f(x). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÙÒ Ò f Ô Öº Ç ÖÚ Ò ¾ º½ Ò ÓÖÑ Ò Ö Ð ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ó ÙÒ ÓÒ ÑÔ Ö ÙÒ ÙÒ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ó ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ô Ö Ý Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Ö ÔÓÖ ÙÒ Ô Ö ÑÔ Öº Ö Ó ½º Ë Ð ÔÙÒØÓ P ÓÒ ÓÓÖ Ò ( 1,1) Ø Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ θ 1 = 3π 4 Ú Ö ÕÙ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ P ( 1, 1) Ø Ò Ð Ð Ó Ò Ð θ = 3π 4 º ¾º Ë Ð Ò ÙÐÓ x ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ ú Ò ÕÙ Ù Ö ÒØ Ø x º Ë Ð Ò ÙÐÓ x ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ ú Ò ÕÙ Ù Ö ÒØ Ø x º Ë senx 0.77 Ý tan( x) 1.19 ú ÕÙ Ù Ö ÒØ Ô ÖØ Ò Ü º Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ cosx Ý ÐÙÐ Ù Ú ÐÓÖ Ò Ù Ó Ø Ð Ò ÐÙÐ ÓÖ º º Ø ÖÑ Ò Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ ÓÒ Ô Ö Ó ÑÔ Ö (a) f 1 (x) = (cosx)sen(x), (b) f 3 (x) = tan(x), (b) f (x) = (senx) (d) f 4 (x) = (senx) 3. ½½

132 ½½

133 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Á Ä Ò ¾ Ò Ø Ð Ò Ú Ö ÑÓ ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ö Ò ÔÙ Ò ÜØ Ò Ö ÙÒ ÓÒ ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó ÓÒ Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ë ÔÙ Ø Ð Ö ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÚÓ ÒØÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ý Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ð Ò ÙÐÓ α Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ý ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ñ t Ö Ò Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ t Ý Ð Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ñ t Ö Ò Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ tº Ê ÔÖÓ Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ó ÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò º Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ t Ð Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ t Ö Ò ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ º ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ò Ø ÚÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ t Ö Ò ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ý ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð 0 Ó ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ ÒÙÐÓº Ò Ð Ð Ò ØÙ ÑÓ Ð Ö Ð Ò ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ s Ð ÖÓ ÖÙÒ Ö Ò Ù ¹ Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð t Ñ Ó Ò Ö Ò Ý Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò r Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð ÙÖ ¾ º½º r O r t s ÙÖ ¾ º½ ÈÓ ÑÓ Ù Ö Ð Ù Ð Ò ¾ º½µ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ò Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÐÓÒ ØÙ s Ð ÖÓ Ó Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ t Ò Ö Ò Ù Ò Ó ÓÒÓ ÑÓ Ð Ñ Ó ØÓ Ð Ñ ÒØÓ s r tº t = s r. ¾ º½µ Ä Ñ s Ý r Ò Ö ÜÔÖ ÓÒ Ð Ñ Ñ ÙÒ ÐÓÒ ØÙ º ¾ º½µ Ú ÑÓ ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð t Ó Ò Ö Ò Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ Ð ÖÓ s t = s r. ¾ º¾µ ½½

134 Ù Ò Ó Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ð 1 Ø Ò ÑÓ t = s 1 = s. ¾ º µ Ù Ö Ó ÓÒ ¾ º µ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ t Ò Ö Ò Ù Ð Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÓ Ñ Ò Ð Ñ Ñ ÙÒ ÐÓÒ ØÙ Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò º Ë ÓÐÓ ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ t Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ø Ò ÑÓ Ð ØÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ¾ º¾º Ò Ð Ô ÖØ Ö Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ t ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ ÙÝ Ñ s Ö Ò Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÖÓ s ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ÓÒ s > 0 Ò Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð Ö ÑÙ ØÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ø Ó Ó ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ø ÚÓ s Ý Ð ÖÓ Ø Ò ÐÓÒ ØÙ sº Ò Ð Ô ÖØ Ò Ö ÓÖ Ð ÙÖ Ú ÑÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ý Ð ÔÙÒØÓ Ò Ð Ö Ø Ö Ð ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ Ð ÖÓ Ð Ò ÙÐÓ Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ð ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ù Ð Ö ÐÓ º Ù Ò Ó Ð Ò ÙÐÓ Ø ÓÖ ÒØ Ó Ò Ð ÒØ Ó Ð Ù Ð Ö ÐÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ò Ð Ö Ø Ö Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ø ÚÓº y y s O 1 t = s x t = s O 1 x s Ê Ø Ê Ð π O s π π s π t ÙÖ ¾ º¾ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ Ù ÖÓÒ Ò Ô Ö Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÙÝÓ ÓÑ Ò Ó Ö Ô Ø ÚÓ Ò Ù ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ñ Ø Ó ØÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ô Ö ÐÓ Ù Ð ÙÒ Ò Ø Ò Ô Ö Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö È Ö Ð ØÙ Ó Ð ÔÖÓÔ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ú ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÕÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÒØÖÓ Ð ÓÖ Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ý Ù Ö Ó Ð ÙÒ º ½¾¼

135 Í Ð Þ Ò Ó Ð ÖÑÙÐ Ð Ø Ò ÒØÖ Ð ÔÙÒØÓ P(x,y) Ý Ð ÓÖ Ò O(0,0) ÔÓÖ d(p,o) = x +y = 1 Ø Ò ÑÓ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ø Ò Ð Ù Ò ¾ º µ x +y = 1. ¾ º µ y y P(x,y) t t x P(cost,sent) t t x ÙÖ ¾ º ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ z = sent Ý z = cost Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÓÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ¾ º º Ä ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÕÙ Ô Ö Ò Ð ÙÖ ¾ º ÓÑ ÒÑ ÒØ ÐÐ Ñ ÖÙÒ¹ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ Ø Ò ÑÓ sent = y 1 = y, cost = x 1 = x. ¾ º µ Ä Ù Ð Ò ¾ º µ ÑÔÐ Ò ÕÙ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P ÔÙ Ò Ö Ö ÓÑÓ P(cost,sent)º ÐÓ Ú ÐÓÖ sent Ý cost Ô Ò Ò Ò Ñ ÒØ Ð ÓÖ Ò y Ý Ð x Ð ÔÙÒØÓ P(x,y) Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ ÓÒ Ñ t Ö Ò Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ¾ º Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ò Ö Ø Ò Ø ÖÑ ÒÓ cost Ý sentº Ë ÒÓØ ÑÓ ÐÓ ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ ÔÓÖD sen ÝD cos Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý R ÒÓØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ò ÑÓ ÕÙ D sen = R Ý D cos = R. Ð Ô ÖØ Ò Ö Ð ÔÙÒØÓ P Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ð ÓÖ Ò Ý Ð ØÓ ÔÙÒØÓ ÔÙ Ò ØÓÑ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ 1,1]º Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ð 1 Ý Ð Ñ ÒÓÖ 1º ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ R sen Ý R cos Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ ÕÙ R sen = [ 1,1] Ý R cos = [ 1,1]. ½¾½

136 ÈÓÖ Ø Ö Ð ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ø Ò ÕÙ (sent) +(cost) = 1. ¾ º µ ÑÔÐÓ ¾ º½ ½º sen15 Ð ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ ½ Ö Ò ÓÖ ÒØ Ó ÔÓ Ø Ú Ñ ÒØ º ¾º cos( 0) Ð Ó ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ ¾¼ Ö Ò ÓÖ ÒØ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ º º sen5 sen5 º ÑÔÐÓ ¾ º¾ ú ÔÓ Ð ÒÓÒØÖ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ø Ð ÕÙ sent = 0.5 Ý cost = 0.5 Ë Ü Ø Ø Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ö Ø Ö Ð Ù Ð ¾ º µº Ç ÖÚ ÕÙ (sent) +(cost) = (0.5) +( 0.5) = = ÄÙ Ó ÒÓ Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t ÕÙ Ø Ð ÓÒ ÓÒ º ÑÔÐÓ ¾ º Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÒØÓ Ú ÐÓÖ t Ø Ò Ð ÓÒ Ò sent = 1 Ô Ö t Ò Ð Ò¹ Ø ÖÚ ÐÓ [0,π)º ÌÓÑ ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ë sent = 1 Ð ÓÖ Ò P Ò Ö Ù Ð 1º À Ý Ó ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ò ÙÒÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ý ÓØÖÓ Ò Ð ÙÒ Óº Î Ð ÙÖ ¾ º º ÍÒ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ø Ð ÕÙ sent = 1 π Ý Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ ÙÒ 6 Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò π π π = 5π º y P(x, 1 ) 1 y t = π 6 1 P(x, 1 ) x ÙÖ ¾ º ½¾¾

137 Ö Ó ½º Ë P(x,y) Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ µ úù ÒØ Ú ÖÓØ P ÐÖ ÓÖ Ð ÓÖ Ò O Ù Ò Ó t Ú Ö Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ 10π,10π] µ Ë Ð ÔÙÒØÓP ÔÐ Þ Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÓ π ÒØ Ñ ØÖÓ ÔÓÖ ÙÒ Ó Ù ÒØ ÖÓØ ÓÒ Ó Ð Ò ÙÐÓ t ÐÖ ÓÖ Ù Ú ÖØ ÔÙ 1 ÙÒ Ó ¾º Ò ÐÓ Ù ÒØ Ð Ø Ö Ð ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù Ò¹ ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ð ÙÒ Ò f Ò ÔÓÖ z = f(t) ØÓÑ Ð Ú ÐÓÖ z Ó Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Iº µ f(t) = sent z =,I = [0,π)º µ f(t) = cost z = 1,I = [0,π)º µ f(t) = sent z = 3,I = [0,4π)º µ f(t) = cost z = I = [ π,π)º º Ê ÔÓÒ Ð ÔÖ ÙÒØ Ò ÐÓ Ù ÒØ Ð Ø Ö Ð º ÂÙ Ø ÕÙ Ù Ö ÔÙ Ø º Ò Ù ÜÔÐ Ò ÔÙ ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Ë Ù Ö ÔÙ Ø ÖÑ Ø Ú ÙÒ ÑÔÐÓº µ ÔÓ Ð Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ø Ð ÕÙ cost = 1.9 µ ú Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ø Ð ÕÙ sent = 0.7 Ý cost = 0.3 µ ú ÔÓ Ð ÕÙ Ü Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ø Ð ÕÙ sent = 5 5 Ý cost = 5 5 µ ú Ü Ø Ð Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π] Ø Ð ÕÙ cost = sent º ú Ø Ò Ò Ó ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð sen( ) cos10 ÂÙ Ø ÕÙ Ù Ö ¹ ÔÙ Ø º ½¾

138 ½¾

139 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÁ Ä Ò ¼ ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓ Ð ØÙ Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º Ò Ø Ð Ò ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓº ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ä Ö Ð ÙÒ Ò sent Ð ÓÒ ÙÒØÓ {(t,sent)/t R}. È Ö Ò Ñ ÖÓ t ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ P(x,y) ØÙ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó ½º ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ sent = y = y Ý 1 cost = x = x ÒØÓÒ Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó x ÔÓÖ cost Ý y ÔÓÖ sent Ð ÓÓÖ Ò P ÓÒ 1 cost Ý sentº ÒÙ ØÖÓ ØÙ Ó Ú Ò Ó Ö Ò Ð Ú Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò P Ù Ò Ó t Ú Ö º y y 1 y t P(cost,sent) t x 1 x P(cost,sent) 1 x 1 y t t x ÙÖ ¼º½ ÁÒ ÑÓ ÒÙ ØÖÓ ØÙ Ó Ð Ö Ð ÙÒ Ò sent Ò t = 0 Ú Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ¼º½µº Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ò Ð ÒØ Ö Ò ÒØÖ Ð x ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ý Ù ÓÓÖ Ò ÓÒ (1,0)º sen0 = 0º Ë ÒÖ Ñ ÒØ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ t t = 0 Ø t = π Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ Ö Ò Ð ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ð ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ù Ð Ö ÐÓ Ý Ð ÔÙÒØÓ P ÑÙ Ú Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ º Ð Ú ÐÓÖ sent Ó Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÖ Ò P ÙÑ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ ½ Ò t = π º ØÓ Ó Ò ÓÒ ÐÓ ÕÙ Ý ÑÓ sen π = 1º Ò Ø ÔÙÒØÓ Ó Ø Ò Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ô Ö Ð ÙÒ Ò sentº ½¾

140 Ù Ò Ó t ÒÖ Ñ ÒØ t = π Ø t = π Ð ÔÙÒØÓ P ÓÒØ Ò Ù ÖÓ Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ú Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ¼º½µº Ä ÓÖ Ò P Ø Ò Ò ÒÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ú Ò Ö Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ Ø Ó Ø Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ 0 Ò t = πº ÓÒ ÖÑ ÑÓ ÕÙ senπ = 0º Ñ ÕÙ t ÒÖ Ñ ÒØ t = π Ø t = 3π Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ò ØÓÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ Ý Ú Ò Ö Ò Ó 0 Ø ÐÐ Ö 1 sen 3π = 1 Ú Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ¼º¾µº Ø Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ ÕÙ ÔÙ ØÓÑ Ö Ð ÓÖ Ò P Ý Ò ÓÒ Ù Ò Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ sentº Ë Ð Ú ÐÓÖ t ÙÑ ÒØ t = 3π Ø t = π Ð Ú ÐÓÖ sent ÒÖ Ñ ÒØ 1 Ø ¼ Ý Ð ÔÙÒØÓ P Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÚÙ ÐÚ Ù ÔÓ Ò Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ¼º¾µ y y 1 P(x,y) x t y 1 x t y 1 x P(x,y) x ÙÖ ¼º¾ Ù Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ t ÙÑ ÒØ t = π Ø t = 4π Ð ÔÙÒØÓ P Ö ÓÖÖ ÒÙ ÚÓ ÐÓ Ñ ÑÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ý ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ö Ô Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π] ÐÓ Ñ ÑÓ Ú ÓÒØ ÒÙ Ö Ù Ò Ó Ò Ò Ñ ÒØ Ñ ÕÙ t ÙÑ ÒØ º ÓÖ Ú ÑÓ Ö Ð ØÙ Ó Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ù Ò Ó t ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ Ô ÖØ Ö t = 0º Ù Ò Ó t ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ò Ø ÚÓ t = 0 Ø t = π Ð ÔÙÒØÓ P ÑÙ Ú Ò Ð ÒØ Ó Ð Ñ Ò ÐÐ Ð Ö ÐÓ º Ä Ú Ö Ò Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÖ Ò P Ú Ò ÒØ Ó ÓÔÙ ØÓ Ð Ö Ø ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ tº ØÓ Ð ÔÙÒØÓ P ÑÔ Þ Ð ÖÓ Ö ÓÖÖ Ò Ó Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ Ý Ð ÔÖÓÜ Ñ Ö t ¹ π Ð ÓÖ Ò P Ñ ÒÙÝ ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ Ø ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ 1º ØÓ ÐÓ ÔÓ ÑÓ Ø Ñ Ò Ú Ö Ò Ð ÙÖ ¼º º Ñ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ t Ñ ÒÙÝ π Ð ÔÙÒØÓ P Ô Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ Ý Ù ÓÖ Ò Ú ÙÑ ÒØ Ò Ó Ø ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÖÓº Ñ ÕÙ t Ú Ö ¹ 3π Ù Ð ÔÙÒØÓ P Ù Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ý Ù ÓÖ Ò Ú ÙÑ ÒØ Ò Ó Ø ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ 1º Ñ ÕÙ t ÐÐ π Ð ÔÙÒØÓ P Ô Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ý Ù ÓÖ Ò Ö Ø ÖÓº Ð ÔÙÒØÓ P Ú ÓÒØ ÒÙ Ö Ö Ð Þ Ò Ó Ù ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð Ò¹ Ø Ó Ò Ø ÚÓº Ù Ò Ó t ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø Ñ Ó π Ð ÔÙÒØÓ P ÙÒ ½¾

141 ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ý sent ØÓÑ Ü Ø Ñ ÒØ ÐÓ Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ º Ë ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ n Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ý Ù ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ò Ø ÚÓµ ÔÓ ÑÓ ÖÑ Ö ÕÙ sen(t+nπ) = sen(t), Ô Ö ØÓ Ó t R Ý n Z. ¼º½µ Ä Ù Ð ¼º½µ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ô Ö º Ð Ñ ÒÓÖ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ð ÕÙ sen(t+p) = sen(t), Ô Ö ØÓ Ó t R p = πº Ä Ö Ô Ò ÕÙ ÑÓ Ó ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ö Ö Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó ¹½ ½ º Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò ÒÓ πº Ä ÙÒ Ò ÒÓ ÑÔ Ö sen( t) ¹ sentº Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ y z z = sent 1 h t P(x,h) x 1 x 4π 3π π π π 1 h 0 t R(t, h) π π 3π π 3π 4π t 1 ÙÖ ¼º È Ö ØÖ Þ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = sent Ò ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t Ý Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö Ð Ú Ö Ð Ô Ò ÒØ zº Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ¼º Ô Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ 4π, 4π]º Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ R(t,z) Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ð t Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ò ÔÓ Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ö Ò Ý Ð ÓÖ Ò R sentº ÈÓÖ ÑÔÐÓ t = 0 Ó t = π Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ R ÖÓº Å ÒØÖ ÕÙ t = 3π Ð ÓÖ Ò R Ù Ð 1º Ò Ò Ö Ð Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ ÓÖ Ò Ù Ð h ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ Ú ÐÓÖ t Ð Ò ÙÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÝ ÓÖ Ò z = h Ú Ð ÙÖ ¼º µº ½¾

142 Ä Ò Ð Ö Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [0,π] Ö Ð ÒÓÑ Ö ÐÓ ÙÒ ¹ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò ÒÓº ÈÓÖ Ð Ô Ö Ó Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö Ô Ø ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ö Ø Ö Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ πº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÒÓ ÑÔ Ö ÐÓ ÕÙ Ò ÕÙ sen( t) = sen(t)º ÈÓÖ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ Òº Ä Ó ÖÚ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÓÒÓ Ö ÑÙ Ù ÔÖÓÔ ÓÑÓ ÐÓ Ú Ö ÑÓ Ò ÐÓ ÑÔÐÓ ¼º½ ¼º¾ Ý ¼º Ý Ò Ð Ö Ó º ÑÔÐÓ ¼º½ ú Ü Ø Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ô Ö ÐÓ Ù Ð sent = 1. ËÓÐÙ Ò Ð Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ÔÙ ØÓÑ Ö Ð ÒÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ 1º ÓÑÓ 1. < 1 ÒÓ Ü Ø Ø Ð Ò Ñ ÖÓº ÑÔÐÓ ¼º¾ ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] Ô Ö ÐÓ Ù Ð sent = 1º ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ t ÕÙ Ø Ò Ð Ù Ð sent = 1 Ø Ò Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = sent Ý Ó Ö ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð ÔÐ ÒÓ tz Ô Ö Ð Ð Ð t ÖÖ Ó Ý ÙÒ Ø Ò ÙÒ ÙÒ º ÌÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ö Ø Ö Þ Ò ÔÓÖ Ø Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò z Ù Ð ½º ÈÓÖ Ø Ö Þ Ò ÙÒ Ù Ò ÕÙ Ö Ø Ö Þ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ø Ö Ø z = 1º ØÓ Ú ÐÓÖ t ÓÒ t = 3π Ý t = π. Ç ÖÚ Ð ÙÖ ¼º z 1 z = sent 4π 3π π 3π π π t π π 3π π 3π 4π t 1 ÙÖ ¼º ÑÔÐÓ ¼º úè Ö Ù ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] sent = 1 3 ËÓÐÙ Ò È Ö Ó Ú ÐÓÖ tº Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ½¾

143 ÖÖ Ó [ π,π] ÓÐ Ñ ÒØ Ý Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ(0,π)º Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÓ Ý Ó Ú ÐÓÖ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð sent = 1 3 º Ö Ó Ê ÔÓÒ Ð Ù ÒØ ÔÖ ÙÒØ ÓÒ Ð ÝÙ Ð ÙÖ ¼º º ½º úèù Ü Ø Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ø Ð ÕÙ sent < 1? ¾º ú Ù ÒØ Ú Ö Ô Ø Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð Ö Ð ÙÖ ¼º º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 3π,3π] úù ÒØ Ú ØÓÑ Ð ÙÒ Ò sent Ù Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ º úè Ö Ù Ð Ú ÐÓÖ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] Ú Ö ÕÙ sent = 0 º Ö ÐÓ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 5π,5π] Ò ÐÓ Ù Ð Ð ÙÒ Ò sent ÔÓ Ø Ú º º µ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ú Ö Ð Ù Ð sent = 1 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 4π,4π]º µ ÓÒÓ Ò Ó ÕÙ sen π = 1 6 ÐÐ ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 4π,4π] Ô Ö ÐÓ Ù Ð sent = 1º ½¾

144 ½ ¼

145 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÁÁº Ä Ò ½ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒÙ ÑÓ Ð ØÙ Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÕÙ ÙØ Ð Þ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ñ Ð Ö Ð Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ØÙ Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓº ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ë t ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº ÌÓÑ ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x,y) Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó ½µº ÈÓÖ Ò Ò cost = x 1 = x Ý sent = y = yº Ð Ð ÔÙÒØÓ P costº Ä Ú Ö Ò Ð 1 Ð ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÒÓ Ò ÕÙ Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ R cos Ø Ó ÔÓÖ R cos = [ 1,1]. ÓÖ ØÙ ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓº Î ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ò Ð ÕÙ ÒÓ Ô Ö¹ Ñ Ø ÓÑÔÖ Ò Ö Ð Ú Ö Ò Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ñ ÕÙ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t Ñ º y y 1 P(x,y) y P(x,y) Ç t x 1 x 1 x Ç 1 y t x ÙÖ ½º½ Ó ÙÒ Ú ÐÓÖ t Ø Ò ÑÓ ÔÖ ÒØ ÕÙ Ð Ð ÔÙÒØÓP Ù Ð costº Ñ ÕÙ t ÙÑ ÒØ t = 0 Ø t = π Ð ÔÙÒØÓ P ÑÙ Ú Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ù Ð Ö ÐÓ Ý Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ñ ÒÙÝ x = 1 ½ ½

146 Ø x = 0º Î Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ½º½º Ì Ñ Ò ÒØ Ö ÒØ Ö Ñ Ö Ò Ó ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ò Ð ÙÖ ½º º Ù Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ö Ð t Ú Ö t = π Ø t = π Ð ÔÙÒØÓ P ÑÙ Ú Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ ÖÓØ Ò Ó Ò ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ð Ò Ø Ú Ý Ñ ÕÙ t Ö π Ð P Ñ ÒÙÝ Ø ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ 1 Ú Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ ½º½º Ù Ò Ó t ÒÖ Ñ ÒØ t = π Ø t = 3π È Ø Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ Ù Ù Ò Ó Ò Ø Ú Ý Ú ÙÑ ÒØ Ò Ó Ø ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÖÓ Ò t = 3π º Î Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ½º¾º Ç ÖÚ Ø Ñ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ò Ð ÙÖ ½º º y y 1 P(x,y) x t Ç y 1 x t Ç y 1 x 1 P(x,y) x ÙÖ ½º¾ Ù Ò Ó t ÒÖ Ñ ÒØ 3π Ø π P Ð Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ Ð ÔÓ Ø Ú Ý Ú ÙÑ ÒØ Ò Ó Ø ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ 1 Ò π Ð ÔÙÒØÓ ÚÙ ÐØÓ Ù ÔÓ Ò Ò Ð P(1,0)º Ö cosπ = cos0. Ë ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÒÖ Ñ ÒØ Ó Ð Ú ÐÓÖ t π Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø Ñ Ó π Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÔÙÒØÓ P ÚÙ ÐÚ Ö ÓÖÖ Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÕÙ ÐÓ ÞÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖº Ä ÙÒ Ò Ó ÒÓ ÚÙ ÐÚ Ö Ô Ø Ö Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ Ò Ò Ñ ÒØ º Ë t Ú Ö 0 Ø π Ð ÔÙÒØÓ Ö Ð Þ Ù ØÖ Ý ØÓÖ Ò ÒØ Ó Ò Ø ÚÓ Ò Ñ Ö Ó Ð Ú Ò ØÓÑ Ò Ó ÐÓ Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ð Ö ÓÖÖ Ó ÕÙ Ö Ð Þ Ó Ò Ð ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓº Ù Ò Ó t Ñ ÒÙÝ 0 Ø π Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ú Ö Ù Ð ÕÙ Ù Ò Ó t ÙÑ ÒØ 0 π º ËÙ ÐÓ Ñ ÑÓ Ò ÐÓ Ö ÓÖÖ Ó ÔÓÖ ÐÓ ÓØÖÓ Ù Ö ÒØ Ð Ñ Ò Ò Ð Ñ Ñ ÓÖÑ Ò ÕÙ ÐÓ Ò Ù Ò Ó Ð ÔÙÒØÓ Ö Ó Ò ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓº Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø Ñ Ó π Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ö Ô Ø Ù Ú ÐÓÖ º Ç ÖÚ ÒÙ ÚÓ Ð ÙÖ ½º º ÄÓ Ú ÐÓÖ Ó ÒÓ Ú Ö Ò Ñ ØÖ Ñ ÒØ Ö Ô ØÓ t = 0º ØÓ ÐÓ ÕÙ Ù Ù Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ô Öº ÓÑÔ Ö ÓÒ Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒÓ Ò Ð ÙÖ ¼º Ò Ð Ô Ò ½¾ Ð Ù Ð ÑÔ Öº Ù Ò Ó t ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø Ñ Ó π Ð ÔÙÒØÓ ÙÒ ÖÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ý cost ØÓÑ Ü Ø Ñ ÒØ ÐÓ Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ º Ë ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ Ò Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÓ Ý Ù ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ò Ø ÚÓµ ÔÓ ÑÓ ÖÑ Ö ÕÙ cos(t+nπ) = cost, Ô Ö ØÓ Ó t R Ý n Z. ½ ¾ ½º½µ

147 Ä Ù Ð ½º½µ Ò ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ô Ö º Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ p Ø Ð ÕÙ cos(t+p) = cost Ô Ö ØÓ Ó t R p = πº Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ ÓÒÐÙ ÓÒ Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó ¹½ ½ º Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ πº Ä ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ô Ö cos( t) = costº Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Î ÑÓ Ð Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ ¹ Ò tz ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ 4π,4π]º Ä Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Ó Ý Ð ÓÖ Ò ÓÒ ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓÑ Ó ÔÓÖ Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ð ÙÖ ½º½ Ý ½º¾º Ç ÖÚ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÕÙ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð P Ô Ö t = 0, π,π, 3π, Ý π ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý 1º ËÓÒ ÒØ Ö ÒØ Ø Ñ Ò Ð Ñ ØÖ Ö Ô ØÓ Ð z Ý Ð Ô Ö Ó ÓÒ Ô Ö Ó Ó πº z 1 z = cost 4π 3π π π π 0 Q(t, z) π π 3π π 3π 4π t 1 ÙÖ ½º Ä Ô ÖØ Ð ÙÖÚ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [0,π] Ö Ð ÒÓÑ Ö ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ðº Ó ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ π Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ö Ö Ô Ø Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ π ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÑÔÐÓ ½º½ ú Ù ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 3π,π] Ø Ò Ò Ð Ú ÐÓÖ Ó ÒÓ Ù Ð ¹ 5 8 ËÓÐÙ Ò À Ý Ú ÐÓÖ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 3π,π] Ò ÐÓ Ù Ð Ó ÒÓ Ù Ð ¹ 5 8 º Ç ÖÚ Ò Ó Ð ÙÖ ½º ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö Ø Ö ÔÙ Ø Ú Ö Ñ Ò Ö º Ë ØÖ Þ ÑÓ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö Ð Ð Ð t Ó Ð t Ý ÙÒ Ø Ò Ù Ð 5 8 Ö Ø ÓÖØ Ð Ö Ó ÒÓ Ò Ù ØÖÓ ÔÙÒØÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 3π,π]º Î Ð ÙÖ ½º Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 3π,π] Ø Ò ÐÓÒ ØÙ Ù Ð 4π Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ö Ó ÒÓ ÔÙ Ö Ô Ø Ö ¾ Ú ÔÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ó ÒÓ πº Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ½

148 ÐÓÒ ØÙ π Ý Ó Ú ÐÓÖ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð cost ÔÙ ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ 5 8 º Ò ÓÒ Ù Ò Ý Ù ØÖÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ó ÒØ ÖÚ ÐÓ Ø Ð ÕÙ cost = 5 8 º 1 z z = cost 4π 3π π π π π π 3π π 3π 4π t ÑÔÐÓ ½º¾ ÙÖ ½º ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π, 3π ] Ô Ö ÐÓ Ù Ð cost = 0º ËÓÐÙ Ò ÄÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ø Ò Ð Ù Ð ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ ÓÖØ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ØÓ ÓÒ ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ð ÓÖÑ t = (n + 1) π ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π, 3π ]º Ö t = 3π, π, π, 3π. ÑÔÐÓ ½º ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 4π,4π] Ô Ö ÐÓ Ù Ð cost = 1º ËÓÐÙ Ò ÄÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ø Ò Ø Ù Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÕÙ ÐÐÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ ÓÖØ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÐØÙÖ z = 1º ØÓ ÓÒ ØÓ Ó ÐÓ t Ð ÓÖÑ t = nπ ÕÙ Ô ÖØ Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 4π,4π]º ØÓ Ö Ó t = 4π, π,0,π,4π. Ê ÔÓÒ Ð Ù ÒØ ÔÖ ÙÒØ ÓÒ Ð ÝÙ Ð ÙÖ ½º º ½º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 3π,3π] µ úù ÒØ Ú ØÓÑ Ð ÙÒ Ò cost Ù Ñ Ü ÑÓ Ú ÐÓÖ Ý Ù Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ µ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ú ÐÓÖ º ¾º µ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù ÒØÓ Ú ÐÓÖ t cost = Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π]º µ À ÐÐ ØÓ Ú ÐÓÖ tº º µ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù ÒØÓ Ú ÐÓÖ t cost = 3 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,0]º µ À ÐÐ ØÓ Ú ÐÓÖ tº º Ö ØÓ Ó ÐÓ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] Ò ÐÓ Ù Ð Ð ÙÒ Ò z = cost ÔÓ Ø Ú º º µ ú È Ö Ù ÒØÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ 6π,6π] cost = 0 µ À ÐÐ ØÓ Ú ÐÓÖ tº ½

149 º µ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù ÒØÓ Ú ÐÓÖ t cost = 1 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π]º µ Ë Ò Ó ÕÙ cos π = 1 ÐÐ ØÓ Ú ÐÓÖ tº 3 ½

150 ½

151 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÁÎ Ä Ò ¾ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÓÒ Ð ØÙ Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÁÒ Ö ÑÓ ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ ÓØ Ò¹ ÒØ ÒØ Ý Ó ÒØ Ý Ø Ð Ö ÑÓ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò¹ ÒØ º Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ý ØÙ Ö ÑÓ Ù Ö Ò Ó Ý Ù ÒØÓØ Ú ÖØ Ð º ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÒØ ÓØ Ò ÒØ Ý Ó ¹ ÒØ Ë t ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº ÌÓÑ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ P(x,y) Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ú Ð ÙÖ ¾º½µº ÈÓÖ Ð Ò ÓÒ y P(x,y) t t x tant = y x cott = x y Ý sect = 1, Ô Ö x 0. x Ý csct = 1, Ô Ö y 0. y ÙÖ ¾º½ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ tant Ý sect Ò ÜÐÙ Ö ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ó Ö Ð yº ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ ÐÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÑÔ Ö π Ý Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÓÖ t = (n+1)π, Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ nº Ë ÒÓØ ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÒØ ÔÓÖ D tan Ý D sec Ö Ô Ø Ú ¹ Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ ÕÙ D tan = D sec = {t R/t (n+1) π, Ô Ö ØÓ Ó n Z}. Ä ÙÒ ÓÒ cott Ý csct ÒÓ Ø Ò Ò Ô Ö ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÙÝÓ Ð Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ð x Ó ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ø Ø Ò Ò ½

152 ÓÖ Ò Ù Ð 0º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ð Ö ÙÐØ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ n ÔÓÖ πº Ë ÒÓØ ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÓØ Ò ÒØ Ý Ó ÒØ ÔÓÖ D cot Ý D csc Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ ÕÙ D cot = D csc = {t R/t n π, Ô Ö ØÓ Ó n Z}. È Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ Ë ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ô Ö Ý Ù Ô Ö Ó Ó Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð πº Ò Ð Ð ÓÒ ¼ Ý ½ Ú ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ø Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ó Ó πº Ò Ø Ð Ò Ú Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ Ø Ò Ò Ô Ö Ó Ó πº Ò Ð ÙÖ ¾º¾ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ t Ý t+π Ý ÐÓ ÔÙÒØÓ P Ý Q ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ý ÐÓ Ð Ó Ò Ð ÐÓ Ò ÙÐÓ t Ý t + π Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º x P(x,y) t+π y t 1 t 0 1 y Q( x, y) x y 1 x Ë P(x,y) Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t ÒØÓÒ Q( x, y) Ø Ó Ö Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t+π Ó Ð Ñ ØÖ Ð ÖÙÒ Ö Ò º tan(t+π) = y x = y x = tant, cot(t+π) = x y = x y = cott. ÙÖ ¾º¾ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ ÓÒ Ô Ö ÓÒ Ô Ö Ó Ó πº Ò Ò Ö Ð ÔÓ ÑÓ Ö Ö tan(t+kπ) = tant, Ô Ö ØÓ Ó t D tan Ý Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ k, cot(t+kπ) = cott, Ô Ö ØÓ Ó t D cot Ý Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ k. ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ È Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ú ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Ì Ò Ö ÑÓ Ò Ù ÒØ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔ ½

153 Ä ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ ÑÔ Ö tan( t) = tant Ô Ö ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t D tan. ¾º½µ ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ø Ò Ô Ö Ó Ó π Ù ÒØ ÓÒ Ö Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ Ó Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º Ä Ù Ð ¾º½µ ÑÔÐ Ð ÓÒ ØÖÙ Ò Ð Ö º ÓÒ Ö ÑÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÖØÓ [0, π ) Ý ØÙ Ö ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ ÕÙ ØÓÑ Ò tant Ý tantµº ØÓ ÐØ ÑÓ ÔÓÖ ¾º½µ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò tan( t) Ö Ð Ø Ò ÒØ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º Ç ÖÚ ÕÙ Ù Ò Ó t Ú Ö t = 0 Ø t = π Ð Ú ÐÓÖ t Ú Ö 0 Ø πº Ò Ð ÙÖ ¾º Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ô Ö Ò Ö tant ÔÓ ÑÓ Ð ÓÒ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÔÙÒØÓ Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ tº È Ö Ò Ð Þ Ö Ð Ú ÐÓÖ tant ØÓÑ ÑÓ ÓÑÓ ÔÙÒØÓ Ö Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ P ÕÙ Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ý Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð Ø Ò ÒØ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò (1,0) ÒÓØ ÔÓÖ L Ò Ð ÙÖ ¾º º ÓÑÓ tant = y = y Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÖ Ò P Ù Ð tant Ý Ð ÓÖ Ò Q 1 y Ö ÔÖ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ tant = tan( t)º Î ÑÓ Ò Ð Þ Ö Ð Ú Ö Ò Ð ÙÒ Ò tant ÓÑÓ Ð Ú Ö Ò Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ P Ý Qº L y P (1,y ) P(1,y) t 1 t x 0 t 1 t Q(1, y) tant = y 1 = y, tan( t) = y 1 = y. Q (1, y ) ÙÖ ¾º Ñ ÕÙ t ÙÑ ÒØ 0 Ø π Ð ÔÙÒØÓ P ÔÐ Þ Ó Ö Ð Ö Ø L Ð ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò ½ ¼µ ÖÖ º ÒØÓÒ tant ÙÑ ÒØ Ö Ô Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö tan0 = 0 Ý Ö Ò Ò Ñ ÒØ Ù Ò Ó t Ö π º Ð Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ Ð ÓÖ Ò Q Ú Ö 0 Ý Ö ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ Ñ ÕÙ t ÙÑ ÒØ t Ñ ÒÙÝ µ Ö Ò Ó Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ð Ò ÙÐÓ t Ö πº ½

154 Ù Ò Ó t = π Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t Ø Ó Ö Ð y Ý ÒÓ ÓÖØ Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ L ÔÙ ÓÒ Ö Ø Ô Ö Ð Ð º Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ t = π ÒÓ Ø Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º Ò Ð Ø Ð ¾º½ Ú ÑÓ Ð ÓÖÑ ÓÑÓ ÙÑ ÒØ Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ tant Ô Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ö ÒÓ π º t tan t Ì Ð ¾º½ È Ö ØÖ Þ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = tant Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ tz ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t Ý Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö Ù Ñ Ò º Ò Ð ÙÖ ¾º Ô Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ( 3π, 3π )º Ä Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( π, π ) Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÝÓÖ Ö Ô Ø ÑÓ Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÐÓ Ð Ö Ó Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö Ý Ð ÞÕÙ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( π, π ) Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ πº Ó ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ ÙÒ ÙÒ Ò ÑÔ Ö Ù Ö Ñ ØÖ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò º z z = tant 3Π Π Π 0 Π Π 3Π t ÙÖ ¾º Ò Ð Ö Ó ÖÚ Ò Ö Ø Ú ÖØ Ð Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÑ t = (n+1) π º Ø Ö Ø ÕÙ ÓÒ ÐÐ Ñ ÒØÓØ Ú ÖØ Ð ÒÙÒ ÓÖØ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º ½ ¼

155 È Ö Ñ ÓÐ Þ Ö Ð Ó ÕÙ Ð Ñ Ò Ð ÙÒ Ò tant Ö Ò Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ó t ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ú Þ Ñ Ö ÒÓ π Ô ÖÓ Ñ ÒÓÖ ÕÙ π Ö ÑÓ Ð ÜÔÖ Ò tant + Ù Ò Ó t π. ¾º¾µ Ä ÜÔÖ Ò Ò ¾º¾µ Ð tant Ø Ò Ñ Ò Ò ØÓ Ù Ò Ó t Ø Ò π ÞÕÙ Ö º ÔÓÖ Ð ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð Ö Ñ ÒØÓ Ò Ð Ñ Ø Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ù Ò Ó ØÓÑ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ú Þ Ñ Ö ÒÓ π Ô ÖÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¹π Ö ÑÓ Ð ÜÔÖ ¹ Ò tant Ù Ò Ó t π, ¾º µ + ÕÙ Ð tant Ø Ò Ñ ÒÓ Ò Ò ØÓ Ù Ò Ó t Ø Ò π ÔÓÖ Ð Ö º Ö Ñ ÒØ ÔÙ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö Ò Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ò Ó ÙÒ ÔÖÓÝ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ö Ø Ò ÙÐ Ö Ó Ö Ð Ð Ú Ö Ð Ô Ò ÒØ º ÄÓ ÔÙÒØÓ Ó Ø Ò Ó Ô ÖØ Ö Ø ÔÖÓÝ Ò ÓÒ Ø ØÙÝ Ò Ù Ö Ò Óº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ô Ö ÔÖÓÝ Ø Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö ÙÒ Ö Ø ØÖ Þ Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø º Ë Ö Ð Þ ÑÓ Ð ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ò Ð Ó Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ö ØÓ Ó Ð Ú ÖØ Ð ØÓ ÒÓ ÕÙ Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ÑÔÐÓ ¾º½ ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( 3π, 3π ) ÙÝ Ø Ò ÒØ Ù Ð 1º ËÓÐÙ Ò Ë ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒÓ Ó ÙÝ Ø Ò ÒØ Ù Ð 1 t 1 = π 4 º Ì Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ø Ò Ô Ö Ó Ó π Ó Ø Ò ÑÓ Ø Ñ Ò ÐÓ Ò Ñ ÖÓ t = t 1 +π = π 4 +π = 5π 4, Ý t 3 = t 1 π = π 4 π = 3π 4. Ç ÖÚ ÑÓ Ð Ö Ý ÒÓØ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó ÒÓ ÔÙ Ö Ñ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÙÝ Ø Ò ÒØ Ù Ð 1 Ý ÕÙ ÐÐ ÐÓ Ý ØÖ Ö Ñ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º Ò Ö ÙÑ Ò Ø Ò ÑÓ ØÖ ÔÙÒØÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( 3π, 3π ) ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ Ò Ö ÕÙ Ö º ØÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ t 1 = π 4,t = 5π 4 Ý t 3 = 3π 4. ÑÔÐÓ ¾º¾ ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( π, 3π ) ÙÝ Ø Ò ÒØ Ù Ð 13.5º ½ ½

156 ËÓÐÙ Ò Ë Ù ÑÓ Ð ÐÙÐ ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ t ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ( π, π ) Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ø Ò ÒØ Ù Ð 13.5º ÍÒ ÙÒ Ó Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó ÓÒ Ø ÔÖÓÔ t = t 1 +π 1.5+π 1.6. Ç ÖÚ ÑÓ Ð Ö Ý ÒÓØ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó ÒÓ ÔÙ Ö Ñ Ò Ñ ÖÓ ÙÝ Ø Ò ÒØ Ú Ð 13.5 Ý ÕÙ ÐÐ ÐÓ Ý Ó Ö Ñ Ð ÙÖÚ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º Ê ÔÙ Ø t Ý t 1.6º Ö Ó ( π ½º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ, 5π ) Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ù Ø Ò ÒØ Ù Ð 1º ¾º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ( 3π, ) 3π Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ù Ø Ò ÒØ Ù Ð 1º º ú Ù ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ( 3π ),π Ø Ò Ò Ø Ò ÒØ Ù Ð µ 3 µ 3 µ 3 3 µ 3 3 º À ÐÐ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ö Ó º º ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ò Ð ÜÔÖ Ò tant + Ù Ò Ó t 3π. º ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ò Ð ÜÔÖ Ò tant + Ù Ò Ó t 3π. º Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t 1 = π,t = 5π Ýt 3 = 15π Ø Ò Ð ÙÒ Ò tantº º Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t 1 = 0,t = 3π Ý t 3 = π Ø Ò Ò Ð ÙÒ ÓÒ sect Ý costº ½ ¾

157 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Î Ä Ò Ò Ø Ð Ò Ò Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ý ÓÒ ¹ ØÖÙ Ö ÑÓ Ù Ö º È Ö ÐÐÓ Ø Ò Ö ÑÓ Ò Ù ÒØ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ý Ð Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ cott = 1. tant ÈÖÓÔ Ý Ö Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ò Ð Ð Ò ¾ ØÙ ÑÓ Ð ÓÑ Ò Ó Ý Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ý Ó ØÙÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ D cot = {t R/t n π, Ô Ö ØÓ Ó n Z} Ý ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ø ÙÒ Ò Ð Ù Ð ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ πº Ä ÙÒ ÓÒ z = cott Ý z = tant Ø Ò Ð Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ cott = 1 tant. º½µ Ò Ð ÙÖ º½ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = cott Ò Ð ÔÐ ÒÓ tz Ý Ò Ð Ò ÔÙÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = tantº Ë ÙØ Ð Þ Ó Ð Ö Ð Ò º½µ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð ÓÖ Ò z Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = cott ÓÑÓ Ð Ö ÔÖÓ Ð ÓÖ Ò z Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = tantº z z = cott 3Π Π Π 0 Π Π 3Π t ÙÖ º½ ½

158 Ä Ö Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (0,π) Ö Ð ÒÓÑ Ö ÐÓ ÙÒ ¹ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ º Ä Ö Ô Ö ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ Ö Ò Ó Ø Ò Ö Ô Ø Ò Ó Ø ÔÓÖ Ò Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ π Ø ÒØÓ Ö ÓÑÓ ÞÕÙ Ö º Ç ÖÚ ÕÙ ÐÓ ÒÓ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ Ó Ò Ò Ò ÐÓ Ö Ô Ø ÚÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ º Ö Ð ÓØ Ò ÒØ ÔÓ Ø Ú Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð Ø Ò ÒØ ÔÓ Ø Ú Ý Ò Ø Ú Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÒ Ð Ø Ò ÒØ Ò Ø Ú º È Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò ÐÓ Ù Ð Ð ÙÒ Ò tant Ù Ð ÖÓ Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ ÒÓ Ø Ò º Ù Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ö ØÓ Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ò Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ö Ò Ò Ð Ñ Ø Ó Ö Ò Ò Ð Ñ Ø Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÒÓ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º Ä Ö Ø Ú ÖØ Ð ÕÙ Ò ØÖ Þ Ó Ò ØÓ ÔÙÒØÓ ÓÒ Ð ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð ÙÖ º½ Ô Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ý ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ò t = π t = 0 Ý t = π Ý Ô Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ý ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ò t = 3π t = π t = π Ý t = 3π º Ä ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ ÑÔ Ö Ý ÕÙ cot( t) = 1 tan( t) = 1 tant = cott. Ç ÖÚ Ð Ñ ØÖ Ð Ö Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ Òº ÑÔÐÓ º½ Ø ÖÑ Ò Ô Ö Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ò Ð ÓØ Ò ÒØ t 1 = 0,t = 5π Ý t 3 = 15πº ËÓÐÙ Ò ÄÓ Ò Ñ ÖÓ Ð ÓÖÑ nπ Ô Ö n ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ º ÒØÓÒ Ø ÙÒ Ò ÒÓ Ø Ò Ô Ö t 1 Ý t 3 º ÑÔÐÓ º¾ ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ( π,π) ÙÝ ÓØ Ò ÒØ 0 ËÓÐÙ Ò Ò Ð ÐÙÐ ÓÖ Ó Ò Ð Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ò ÑÓ Ð ÓÔ Ò ÒÓÒØÖ Ö Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ò ÒØ º ÈÓÖ Ð Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÓØ Ò ÒØ Ù ÑÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ t 1 ÙÝ Ø Ò ÒØ 0 1 Ý Ô ÖØ Ö Ø Ø ÖÑ ¹ Ò ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ö ÕÙ Ö Ó º Ð Ò Ñ ÖÓ t ÙÒÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ Ò ÔÙ π < t 1 < πº ÇØÖÓ Ú ÐÓÖ t ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ð ÓÒ Ò Ò Ø Ö π < t < π Ý ÄÓ Ö Ð Ò Ø ÚÓ ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ Ò ÓÒ t = t 1 +nπ 0.05+nπ, Ô Ö n ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ. t 0.05 π Ý t ½

159 ÄÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ð ÔÖÓÔ ÓÒ Ö Ó t 3 π 0.05 Ý t 4 π ½º ú Ù ÒØÓ ( Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ ÙÒ Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ý Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 5π, 5π )? ( ¾º ÒÙ ÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ 3π, 5π ) Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ù ÓØ Ò¹ ÒØ Ù Ð 1º º ú Ù ÒØÓ Ò Ñ ÖÓ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ( 3π ),0 Ø Ò Ò ÓØ Ò ÒØ Ù Ð 3 º ÜÔÐ ÕÙ ÓÑÓ Ö Ð ÓÒ Ð Ó ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ ÑÔ Ö ÓÒ Ð ÓÖÑ Ù Ö º º Ç Ø Ò ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ò Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð tant = 0º º Ç Ø Ò ØÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð cott = 1º º Ç Ø Ò ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ò Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð tant = 1º º Ç Ø Ò ØÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð cott = 1º º ÈÙ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ t Ø Ð ÕÙ cott = 0 ½¼º Ò Ð ÙÖ º½ ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ù ÓÒ Ð Ñ Ò cott Ù Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t Ö ÖÓº ½½º ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ò Ð ÜÔÖ Ò cott + Ù Ò Ó t 0 +. ½¾º ÜÔÐ ÕÙ ÕÙ Ò Ð ÜÔÖ Ò cott Ù Ò Ó t 0. ½

160 ½

161 ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÎÁ Ä Ò Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÔÖÓÔ Ð ÙÒ ÓÒ ÒØ Ý Ó ¹ ÒØ ÒÓÒØÖ Ö ÑÓ Ù ÓÑ Ò Ó Ö ÑÓ ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ù Ö Ý Ø ÖÑ Ò Ö ÑÓ Ù Ö Ò Ó Ý Ù Ô Ö Ó Óº ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÒØ Ý Ó ÒØ Ò Ð Ð Ò ¾ ØÙ ÑÓ ÐÓ ÓÑ Ò Ó Ø Ó ÙÒ ÓÒ Ý Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÕÙ D sec = {t R/t (n+1) π, Ô Ö ØÓ Ó n Z}, D csc = {t R/t n π, Ô Ö ØÓ Ó n Z}, ÓÒ D sec Ý D csc ÒÓØ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÒØ Ý Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ð ÓÒ ÙÒØÓ D sec ÜÐÙÝ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ò ÐÓ Ù Ð cost = 0 Ý D csc ÜÐÙÝ ÕÙ ÐÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò ÐÓ Ù Ð sent = 0º È Ö Ò Ð Þ Ö Ð ÙÒ ÔÖÓÔ Ð ÙÒ ÓÒ ÒØ Ý Ó ÒØ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð Ö Ð ÓÒ Ö ÔÖÓ y sect = 1 cost, csct = 1 sent. º½µ º¾µ ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ô Ö Ø Ñ Ò Ð ÙÒ Ò ÒØ Ô Ö sec( t) = 1 cos( t) = 1 cost = sect. Ä ÙÒ Ò Ó ÒØ ÑÔ Ö csc( t) = 1 sen( t) = 1 sent = 1 sent = csct. ½

162 Ö Ð ÙÒ Ò ÒØ Í ÑÓ Ð Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ º½µ Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = sect ØÓÑ Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ Ö ÔÖÓÓ Ð ÓÖ Ò z Ò Ð Ö Ð ÙÒ Òz = cost. z z = sect π 3π π π 0 π π 3π π t 5π ÙÖ º½ Ò Ð ÙÖ º½ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = sect Ò Ð ÔÐ ÒÓ tz Ý Ò Ð Ò ÔÙÒØ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ø Ñ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = costº Ç ÖÚ ÕÙ ÐÓ ÒÓ Ñ Ö Ó Ò Ò Ò ÐÓ Ö Ô Ø ÚÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ tº ÆÓØ Ø Ñ Ò ÕÙ Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò ÐÓ Ù Ð Ð ÙÒ Ò cost Ù Ð ÖÓ Ð ÙÒ Ò ÒØ ÒÓ Ø Ò ØÓ ÓÒ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð ÓÖÑ (n+1)π ÓÒ n ÒØ ÖÓº Ù Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t ÔÖÓÜ Ñ ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ù Ñ Ò sect Ö Ò Ð Ñ Ø Ó Ö Ò Ð Ñ Ø Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÒÓ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓº Ç ÖÚ Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð ÕÙ Ò ØÖ Þ Ó Ò ØÓ ÔÙÒØÓ º Ä Ö Ð ÙÒ Ò ÒØ ÒÙÒ Ð ÓÖØ º Ø Ö Ø ÕÙ ÓÒÓ Ò ÓÑÓ ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ô Ö Ò Ð Ö Ñ Ð Ö Ô Ö ÐÓ Ö ÒØ ÒØ ÖÚ ÐÓ º Ö Ñ ÒØ ÔÙ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö Ò Ó Ø ÙÒ Ò Ò Ó ÙÒ ÔÖÓÝ Ò Ù Ö Ó Ö Ð Ú ÖØ Ðº ÄÓ ÔÙÒØÓ Ó Ø Ò Ó Ô ÖØ Ö Ø ÔÖÓÝ Ò ÓÒ Ø ØÙÝ Ò Ù Ö Ò Ó ÒÓØ Ó ÔÓÖ R sec R sec = (, 1] [1, ). Ò Ð ÙÖ º½ ÔÙ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò z = sect πº Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ Í ÑÓ Ð Ö Ð Ò Ö ÔÖÓ º¾µ Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = csct ØÓÑ Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ Ö ÔÖÓÓ Ð ÓÖ Ò z Ò Ð Ö Ð ÙÒ Òz = sent. ½

163 Ë ÒÙ ÒØÖ Ô Ö t Ð Ú ÐÓÖ csct = 1 º Ì Ò ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ Ô Ö sent ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ø Ð ÕÙ sent = 0 Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ ÒÓ Ø Ò Ý Ò Ó ÔÙÒØÓ Ø Ò Ò ÒØÓØ Ú ÖØ Ð º ØÓ ÓÒ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð ÓÖÑ t = n π ÓÒ n ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓº Ù Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ t Ö ØÓ Ú ÐÓÖ Ù Ñ Ò Ö Ò Ò Ð Ñ Ø Ó Ö Ò Ò Ð Ñ Ø Ù Ö Ó ÓÒ Ð ÒÓ Ð ÙÒ Ò ÒÓº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ Ô Ö ÓÒ Ô Ö Ó Ó π Ý Ù Ö Ò Ó R csc R csc = (, 1] [1, ). Ò Ð ÙÖ º¾ Ô Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò z = csct Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( π,π)º ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ Ø Ò Ô Ö Ó Ó π Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( π,π) ÕÙ Ø Ò ÐÓÒ ØÙ π Ø Ò ¹ ÑÓ ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓÑ Ó ÔÓÖ Ð ÙÒ Òº È Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÙÒ Ò Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ Ñ ÝÓÖ ÔÓ ÑÓ Ö Ô Ø Ö Ø Ö Ñ ÒØÓ Ö Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ö ÕÙ Ö Óº z z = csct π 3π π π 0 π π 3π π t ÙÖ º¾ ÑÔÐÓ º½ úè Ö Ù Ð ÐÓ Ù ÒØ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t = 0,7π, 5π, Ý 1π ÒÓ Ø Ò Ò sect Ý csct ËÓÐÙ Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò ÒØ ÒÓ Ø Ò ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÔÙ Ò ÜÔÖ Ö ÓÑÓ (n+1) π Ô Ö n ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÙÒ Ò sect ÒÓ Ø Ò Ô Ö t = 5π 1π Ò Ô Ö t = º Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ ÒÓ Ø Ò ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÔÙ Ò ÜÔÖ Ö ÓÑÓ nπ Ô Ö n ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÙÒ Ò csct ÒÓ Ø Ò Ô Ö t = 0 Ò Ô Ö t = 7πº ½

164 Ö Ó ½º À ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÒØ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ( 3π,3π)º ¾º À ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð Ö Ð ÙÒ Ò Ó ÒØ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ ( 4π, 4π)º º ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð Ö Ò Ó Ð ÙÒ Ò sectº º ÒÙ ÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð sect = º º ÜÔÐ ÕÙ ÑÓ Ù Ö Ð ÒØÓØ Ú ÖØ Ð Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ z = sect Ý z = csct Ù Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ø Ð ÕÙ cost = 0 Ý sent = 0º º ÒÙ ÒØÖ ØÖ Ú ÐÓÖ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð sect = 1. º ÒÙ ÒØÖ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t Ô Ö ÐÓ Ù Ð csct = 1. º ÒÙ ÒØÖ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð csct = 1. º ÜÔÐ ÕÙ ÔÓÖ ÕÙ Ð Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ ØÓÑ Ð ÙÒ Ò csct ½º ½¼º ÒÙ ÒØÖ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð sect = º ½½º ÜÔÐ ÕÙ ÑÓ Ó Ø Ò Ð Ö z = sect ÓÒÓ Ò Ó Ð Ö z = costº ½¾º ÜÔÐ ÕÙ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ö Ñ ÒØ ÙÒ Ú ÐÓÖ t Ò Ð Ù Ð csct = º ½ º È Ö Ù Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð tø Ð ÕÙ 3π t 3π ÒÓ Ø Ò Ò Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ µ cost µ tant µ sect µ csctº ½ ¼

165 Ä Ò Ö Ý ÔÐ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð Á Ò Ð ÔÖ Ü Ñ ØÖ Ð ÓÒ ØÙ Ö ÑÓ Ú Ö ÙÒ ÓÒ ÓÒÓ ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð ÕÙ Ó Ø Ò Ò ÔÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓº ËÙ ÓÖÑ Ò Ö Ð y = asen(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d ÓÒ a,b,c Ý d ÓÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ø ÒØ º Ø ÙÒ ÓÒ ÙØ Ð Þ Ò Ò Ð Ö Ô Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ Ù Ò ÙÒ ÑÓ ÐÓ ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ó Ý Ò Ò Ñ ÒÓ Ð ÑÙÒ Ó Ö Ð ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ò ØÙ ÓÒ ÕÙ Ö Ô Ø Ò ÔÓÖ ÐÓ º Ø ÔÐ ÓÒ Ô Ö Ò Ò Ö ÒØ ÔÐ Ò ÓÑÓ Ð ÕÙ Ñ Ò ØÓ Ð Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ñ Ò Ð ÖÑ ÓÐÓ Ý Ð ÑÓÐÓ ÒØÖ ÓØÖ º Ò Ø Ð Ò Ö Ð Þ Ö ÑÓ ÒÙ ØÖÓ ØÙ Ó ÔÓÖ Ø Ô ÒØÖÓ Ù Ò Ó Ò ÙÒ ÐÐ ÒÙ ÚÓ Ð Ñ ÒØÓ ÔÖÓÚ Ò Ó Ð ÔÖÓÔ ÓÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ö ÑÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð Ý Ö ÔÖÓ Ñ ÒØ ÓÒÓ Ò Ó Ù Ö ÒØ Ö ÑÓ Ù ÔÖÓÔ Ý Ö Ø Ö Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö º ÁÒ ÐÑ ÒØ ØÖ Ö ÑÓ ÓÒ Ð ÓÔ Ö ÓÒ ÕÙ Ò Ö Ò Ø Ö Ñ ÒØÓ Ó ÓÑÔÖ Ò ÐÓ Ð Ö Ó Ð Ú ÖØ Ð Ý Ö Ü ÓÒ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÓÖ Ò Ó ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò º Ð Ø Ò Ý ÓÑÔÖ Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓ¹ Ñ ØÖ ÑÔÐ ØÙ ÙÒ ÙÒ Ò ÒÙ Ó Ð Ý Üµ Ð ÑÔÐ ØÙ f ÒÓØ ÔÓÖA Ò ÓÑÓ ÑÔÐÓ º½ A = 1 Ñ Ü ÑÓ f(x) Ñ Ò ÑÓ f(x)). Ä ÑÔÐ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ y = senx Ý y = cosx Ù Ð 1 Ó ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ØÓÑ Ò Ø ÙÒ ÓÒ 1 Ý Ù Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ 1º A = 1 (1 ( 1)) = 1º Î ÑÓ Ð Ú Ö Ò ÕÙ Ù Ö Ð ÑÔÐ ØÙ Ø ÙÒ ÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐ ÔÓÖ ÙÒ ØÓÖ aº Ë ÑÓ ÕÙ 1 senx 1 Ý 1 cosx 1. º½µ ½ ½

166 Ë a > 0 Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÔÓÖ a Ð Ù Ð Ò º½µ Ó Ø Ò ÑÓ a asenx a Ý a acosx a ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ ÕÙ ØÓÑ Ò Ð ÙÒ ÓÒ a senx Ý acosx a Ý Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ a Ý Ð ÑÔÐ ØÙ A = aº ÑÔÐÓ º¾ ½º Ä ÑÔÐ ØÙ y = 1 senx 1 º ¾º Ä ÑÔÐ ØÙ y = 3 cosx 3 º Ë a < 0 ÑÓ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ ÙÒ Ù Ð ÔÓÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ø ÚÓ Ð Ù Ð Ñ ÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ØÓ Ó ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ Ð Ù Ð Ò º½µ ÔÓÖ a Ó Ø Ò ÑÓ a asenx a Ý a acosx a. Ö a asenx a Ý a acosx a. Ä ÑÔÐ ØÙ A = 1 ( a a) = a Ò Ö ÙÑ Ò Ð ÑÔÐ ØÙ Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÔÓÖ y = asenx Ý y = acosx º ÑÔÐÓ º ½º Ä ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ y = 7senx Ø Ò ÓÑÓ ÑÔÐ ØÙ 7 º ¾º y = 3cosx Ø Ò ÓÑÓ ÑÔÐ ØÙ 3 = 3º Ð Ø Ò Ý ÓÑÔÖ Ò Ú ÖØ Ð Ð Ö Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = af(x) ÓÒ Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ P Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ a Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð P ÒÓ Ù Ö Ò Ò Ò ÙÒ ÑÓ Òº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ a > 0 Ë a > 1 Ð Ö y = af(x) ÑÙ ØÖ ÙÒ Ð Ø Ò Ó Ð Ö Ñ ÒØÓ Ò Ð ÒØ Ó Ú ÖØ Ð Ò ÙÒ ÔÖÓÔÓÖ Ò a ÙÒ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ö y = f(x)º Ë 0 < a < 1 Ð Ö y = af(x) ÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÑÔÖ Ò Ò Ð ÒØ Ó Ú ÖØ Ð Ò ÙÒ ÔÖÓÔÓÖ Ò a ÙÒ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ö y = f(x)º ½ ¾

167 ÑÔÐÓ º ½º Ò Ð ÙÖ º½ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÔÓÖ y = senx Ý y = senxº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ Ý ÒÓ Ý Ñ Ó Ò Ð º Ä ÑÔÐ ØÙ Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ y = senx º y y = senx y = senx 1 π 3π ¹ π 1 ¼ π 3π x π ÙÖ º½ ¾º Ö Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ y = 1 senxº ËÓÐÙ Ò È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ 1 Ý ÒÓ Ý Ñ Ó Ò Ð º Ä ÑÔÐ ØÙ 1 º Î Ð ÙÖ º¾º 1 y y = 1 senx y = senx π π π ¼ π x 1 ÙÖ º¾ Ê Ü Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ë Ð Ò Ñ ÖÓ a ÔÓÖ Ð Ù Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ð ÙÒ Ò f Ò Ø ÚÓ Ó Ø Ò ÙÒ Ö Ü Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ð Ó ÕÙ Ð ÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð Ö ÕÙ Ò ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ø ÚÓº Ë a < 1 Ð Ö ÑÔÐ Ò Ð ÒØ Ó Ú ÖØ Ð Ò ÙÒ ÔÖÓÔÓÖ Ò a ÙÒ Ý Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ½

168 1 y y = senx y = senx π 3π ¹ π 1 ¼ π 3π π x ÙÖ º Ë 0 > a > 1 Ð Ö ÓÒØÖ Ò Ð ÒØ Ó Ú ÖØ Ð Ò ÙÒ ÔÖÓÔÓÖ Ò a ÙÒ Ý Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÑÔÐÓ º Ä Ö y = senx Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ º º Ä ÑÔÐ ØÙ 1 = 1º Ò Ò Ö Ð Ô Ö a < 0 ÔÓ ÑÓ Ö Ð Ö ØÖ Þ Ò Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ a sent Ý Ö Ò ÓÐ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÑÔÐÓ º Ò Ð ÙÖ º Ô Ö Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = senx Ý y = senxº Ä ÙÒ ÙÒ Ö Ü Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð xº ËÓÐÙ Ò y y = senx 1 y = senx π 3π ¹ π 1 ¼ π 3π π x ÙÖ º Ê Ü Ò Ö Ô ØÓ Ð Ú ÖØ Ð Ë ÙÒ ÙÒ Ò f Ø Ò ÔÓÖ y = f(x) Ð Ö ÕÙ Ó Ø Ò Ð Ö Ö Ð Ö f ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ú ÖØ Ð Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f( x)º Ê ÓÖ ÑÓ Ð Ù ÒØ Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ô Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ ½

169 Ó ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ sen( x) = senx, cos( x) = cosx, tan( x) = tanx. Ä Ö Ð ÙÒ Ò y = cosx Ó Ò ÓÒ Ù Ö Ü Ò Ö Ô ØÓ Ð Ú ÖØ Ðº Ä Ö ÕÙ Ó Ø Ò Ò Ð Ö Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ó Ø Ò ÒØ Ö Ô ØÓ Ð Ú Ö¹ Ø Ð ÓÒ Ù Ð Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ó Ø Ò Ò ÔÓÖ Ù Ö Ü Ò Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº y y = tant y = tan( t) 3Π Π Π ¼ Π Π 3Π t ÙÖ º ÑÔÐÓ º Ò Ð ÙÖ º ÑÙ ØÖ Ò Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = tant Ò Ð Ò ÔÙÒØ Ý Ð ÙÒ Ò y = tan( t) = tant Ð Ù Ð Ð Ö Ü Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÒ Ò Ö Ô ØÓ Ð Ú ÖØ Ð yº Ö Ó ½º È Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ ÔÓÖ ÓÑÔ Ö Ò ÓÒ Ð ÙÒ¹ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ senx cosx Ø ÖÑ Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ö Ü Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý ÓÑÔÖ Ò Ó Ð Ø Ò Ú ÖØ Ðº µ y = 3senxº µ y = 1 3 senxº µ y = 5cosxº µ y = 1 senxº µ y = 3senx. ¾º ÌÖ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ð ½ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π]º º Á ÒØ ÕÙ Ð Ù ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ù Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ù ÒØ Ö º ½

170 (a) 1 y 0 π π 1 π π ÙÖ º x (b) 1 y π π 1 π π 0 x ½

171 Ä Ò Ö Ý ÔÐ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð ÁÁ Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ y = asenbx Ý y = acosbx Ð Ù Ð Ó Ø Ò Ò ÔÓÖ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓº Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò ÐÙ Ö Ñ Ó Ò Ð ÑÔÐ ØÙ Ý Ð Ô Ö Ó Óº À Ö ÑÓ Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö ÒØ Ö ÑÓ Ù ÔÖÓÔ ÙÒ Ñ ÒØ Ð º Ñ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ ÔÐ ÓÒ Ø Ø ÔÓ ÙÒ ÓÒ º È Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ asenbx Ý acosbx ËÙÔÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ó ÒØ b Ð Ú Ö Ð x ÔÓ Ø ÚÓ ØÓ b > 0º Ø ÙÔÓ Ò Ù ÒØ Ô Ö ØÙ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ó Ó Ð ÔÖÓÔ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ Ó Ö Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ sen( bx) = senbx; cos( bx) = cosbx. È Ö ÐÙÐ Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ senbx Ý cosbx Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ú ÐÓÖ ØÓÑ ¹ Ó ÔÓÖ Ø ÙÒ ÓÒ Ò Ö Ô Ø Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ π Ô Ö Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ bxº 0 bx π. ÓÑÓ b > 0 Ð Ú Ö ÔÓÖ b Ø Ò ÑÓ 0 x π b. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÐÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÒ ÓÒ asenbx Ý acosbx Ð ÔÓÖ Ò Ð Ö Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [0, π ]º ØÓ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó b Ø ÙÒ ÓÒ p = π º b ÑÔÐÓ º½ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò senx p = π = πº ÑÔÐÓ º¾ È Ö ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ Ý Ð Ô Ö Ó Óº ½º y = 1 4 sen x ¾º y = sen3x ½

172 º y = 3cosxº ËÓÐÙ Ò ½º y = 1 4 sen x Ø Ò ÓÑÓ ÑÔÐ ØÙ A = 1 4 = 1 4 º È Ö ÐÐ Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ó ÒØ x 1 º ÒÓÒØÖ ÑÓ Ò¹ ØÓÒ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò p = π 1 = 4π. ¾º Ä ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ y = sen3x Ø Ò ÓÑÓ ÑÔÐ ØÙ A = Ý ÓÑÓ Ô Ö Ó Ó p = π 3 º º y = 3cosx Ø Ò ÓÑÓ ÑÔÐ ØÙ A = 3 = 3 Ý Ù Ô Ö Ó Ó p = π = πº ÑÔÐÓ º Ê ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ò y = cosx Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ π,π]º ËÓÐÙ Ò Ä ÑÔÐ ØÙ Ð ÙÒ Ò y = cosx A = 1 = 1 Ý Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò π = π. ÌÖ Þ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ö Ð ÙÒ Òy = cosx Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º½ Ý ÔÙ Ð Ö ÑÓ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = cosx Ð Ù Ð Ô Ö Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ º½º È Ö ØÖ Þ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = cosx Ù ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] Ó Ö Ð xº ÄÙ Ó Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò y = cosx Ù Ð πº ØÓ Ò ÕÙ Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò y = cosx Ú Ö Ô Ø Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ πº ÈÓÖ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ð ÓÒ ØÖÙ Ò Ð Ö Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π] Ý ÐÙ Ó ÜØ Ò ÑÓ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] Ö Ô Ø Ò Ó Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ò Ñ ÖÓ Ú ÕÙ Ò Ö Óº Ì Ò ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ Ò Ð ÐÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ð Ö ÓÖØ Ó Ú Ð Ð Ø Ò ÙÒ Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ 1 Ý ÙÒ Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ 1º ÆÙ ØÖÓ Ó Ø ÚÓ Ò Ð Ù Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = cosx ÓÒ Ð x Ý ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÓ ÕÙ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð Ñ Ü ÑÓ Ý Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π]º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ cosx = 0 x = π x = 3π. ÒØÓÒ Ð Ö Ú ÓÖØ Ö Ð x Ò x = π 4 Ý Ò x = 3π 4 º Ð Ñ Ü ÑÓ ÔÖ ÒØ Ù Ò Ó cosx = 1º x = 0 Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ x = 0º Ð Ñ Ò ÑÓ ÓÙÖÖ Ù Ò Ó cosx = 1º ØÓ ÓÙÖÖ Ô Ö x = π Ý Ø Ò ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ x = π º ÌÖ Þ ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = cosx Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [0,π]º Ø Ú Ö Ô Ø Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ π Ø ÓÑÔÐ Ø Ö Ð Ö Ó Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ π,π] ÜØ Ò Ò Ó Ð Ö Ý Ð ÞÕÙ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π]º Î Ð Ô ÖØ ½

173 ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º½º ÈÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ÑÓ Ð Ö Ü Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð ÓÖ ¹ ÞÓÒØ Ð Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = cosxº Î Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ º½º y y 1 y = cosx 1 y = cosx π π 0 1 π π 3π π x π π 0 1 π π 3π π x ÙÖ º½ Ä ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÖÚ Ò Ô Ö ÑÓ Ð Ö Ò Ñ ÒÓ Ô Ö Ó º Ä Ö Ù Ò ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ y = acosbt Ý y = asenbt Ò ÓÑÓ Ð ÒÚ Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ð Ô Ö Ó Ó Ö Ð Ö Ù Ò Ø Ó ÙÒ ÓÒ ω = b π º ÑÔÐÓ º Ä Ö Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º¾ ÑÙ ØÖ Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ð Ù Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð Ò Ú Ð Ñ Ó Ð Ù Ð Ñ Ö Ò Ì ÓÑ Ï Ò ØÓÒ ÙÖ ÒØ ÙÒ Ô Ö Ó Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ¾ ÓÖ º Ç Ø Ò ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ y = asenbt ÕÙ Ö Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ð Ù ÓÑÓ ÙÒ ÙÒ Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖ ØÖ Ò ÙÖÖ ÔÙ Ð Ñ ÒÓ º ú Ù Ð Ð ÐØÙÖ Ð Ù ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ò Ú Ð Ð Ñ Ö Ð ½ ¼¼ ԺѺ ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ò Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º¾ ÔÖ ÒØ Ð ÙÒ Ö Ò ÓÒ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ù Ù Ð Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓº Ë Ò Ñ Ö Ó ÒØ Ö ÒØ ÙØ Ð Þ ÖÐ ÔÓÖÕÙ ÑÙ ÔÐ ÓÒ ØÖ Ò Ö ÕÙ ÒÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÓÖÑ Ò Ð ÙÖ Ó Ý Ò Ö Ó ÖÐ ÒØ ÖÔÖ Ø Öº Ð ÙÖ Ù ÑÓ ÕÙ Ð Ö ÙÒ Ö Ü Ò ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð x ÙÒ ÙÒ Ò ÒÓ Ð ÙÝ ÑÔÐ ØÙ 6º Ä ÙÒ Ò ÔÙ ÜÔÖ Ö ÔÓÖ y = 6senbt. È Ö ÐÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ b Ö ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó ÙÒ ÙÒ Ò Ø Ø ÔÓ π b º Ð Ö Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò 1º π b = 1º Ê ÓÐÚ ÑÓ Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö b Ý Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ b = π 1 = π 6. Ä Ù Ò ÕÙ Ö Ð Ú Ö Ò Ð Ò Ú Ð Ð Ù y = 6sen π 6 t. ½

174 Ä Ö Ø ÙÒ Ò Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ty Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ô ÖØ Ö Ð ÙÖ º¾º Ä ÐØÙÖ Ð ½ ¼¼ ԺѺ ÔÖ ÒØ Ò t = 13º Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ Ø Ú ÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ó Ø Ò y = 6sen 13π 6 = 6sen π 6 = 6 y = 3 Ô. ( ) 1, Ð ½ ¼¼ ԺѺ Ð Ù ÒÙ ÒØÖ 3 Ô Ó Ð Ò Ú Ð ÔÖÓÑ Ó Ð Ñ Öº y(pies) y 6 6 y = 6sen π 6 t Æ Ú Ð Ñ Ó Ð Ñ Ö tiempo (horas) t 6 ºÅº Ñ ÒÓ ÈºÅº Ñ ÒÓ ÙÖ º¾ 6 Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ Ý Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò g(x) = 1 cosxº Ò ÙÒ Ø Ñ 3 ÓÓÖ Ò xy Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð ÙÒ Ò g Ý Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ j(x) = cosx Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ π,π]º ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ ÙÒ Ð ÙÒ ÓÒ f(x) = 1 senx Ýg(x) = 3senxº Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ f Ý g Ý Ð ÙÒ Ò h Ò ÔÓÖ h(x) = senx Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ π,π]º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò y = g(x) = cosx Ý Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = g(x) Ý y = fx) = cosx Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ π,π] Ò Ð Ñ ÑÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº º ÒÙ ÒØÖ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Òy = f(t) = cos 1 tº Ò ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò 4 ty Ö ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð ÙÒ Ò f Ý Ð ÙÒ Ò y = j(t) = cost Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó [ 16π,16π]º º È Ö ÙÒ Ò Ò Ó Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ð ÑÔÐ ØÙ Ù Ö Ý Ð Ô Ö Ó Óº Ø ÖÑ Ò Ù ÒØÓ ÐÓ Ö Ô Ø Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Óº µ y = cos6x, π x πº µ y = 3cos(πx), x º µ y = 4cos(4x), π x πº µ y = 5sen(x), 4π x 4πº ½ ¼

175 µ y = sen(πx), x º º Á ÒØ ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ y = f(x) Ý y = g(x) ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò ÙÒ Ð Ù ÒØ Ö Ý Ö Ù ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ó Ó Ý ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ y = asenbx y = acosbx. y y y = f(x) 1 3 y = g(x) π 3 π 0 6 π 6 π 3 3π 6 π x 3 π π 0 π π 3π 4π π 1 3 x ÙÖ º º Ä ÚÓÐØ E ØÖ Ú ÐÓ Ø ÖÑ Ò Ð ÖØÓ ÖÙ ØÓ ÓÖÖ ÒØ ÐØ ÖÒ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ E = 156 sen110 πt ÚÓÐØ Ó ÓÒ t Ö ÔÖ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ó Ò ÙÒ Ó º ú Ù Ð Ð Ñ Ü Ñ ÚÓÐØ Ý Ù Ð Ð Ö Ù Ò Ô Ö Ø ÖÙ ØÓ ½ ½

176 ½ ¾

177 Ä Ò ÌÖ Ð ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ Ð Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ò Ø Ð Ò Ú ÑÓ ØÙ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ò ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ Ð Ù Ö º Ê ÓÐÚ Ö ÑÓ Ð ÙÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Òº ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ð Ò ½ Ú ÑÓ ÕÙ c > 0 Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x + c) Ó Ø Ò Ð ØÖ Ð Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) c ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x c) Ó Ø Ò Ð ØÖ Ð Ö Ð Ö y = f(x) c ÙÒ Ð Ö º Ò Ð Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ØÙÑ Ö ÐÐ Ñ Ö Ñ ÒØÓ Ð ØÖ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÈÓÖ ÑÔÐÓ f(x) = sen(x + π) Ð ÙÒ Ò Ø π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö º Ë g(x) = sen(x π) Ð ÙÒ Ò Ø π ÙÒ Ð Ö º ÙÒ ÓÒ y = asen(bx+c) Ý y = acos(bx+c) Ý Ù Ö È Ö Ò Ð Þ Ö Ø ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ù ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ó Ó Ý Ñ ÒØÓº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ ÑÔÖ ÓÒ Ö ÑÓ b > 0º Ä ÑÔÐ ØÙ a Ð Ô Ö Ó Ó π b º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ð ÓÖÑ [ ( y = asen b x+ c )] [ ( Ý y = acos b x+ c )]. b b Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asenbx Ý y = acosbx Ò ÔÐ Þ Ó ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ c ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö c > 0 Ý c < 0 Ý ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ b ÓÖ ÞÓÒØ Ð c ÙÒ Ð Ö º b È Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asen(bx + c) Ý y = acos(bx + c) Ò Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ c b º ½

178 ÑÔÐÓ º½ Ò Ð ÙÖ º½ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = sent Ý y = sen(t π)e Ç ÖÚ ÕÙ Ð Ö Ð ÙÒ ÙÒ Ò ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö π y = sent, ÙÒ Ð Ö º Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ù Ð πº Ù Ò Ó Ø Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÑÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ô Ö ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ Ñ Ö º y 1 y = sen ( t π y = sent ) π π 0 π π π 3π π t 1 ÙÖ º½ ÑÔÐÓ º¾ Ò Ð ÙÖ º¾ Ô Ö Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = sent Ý y = sen(t+ π ). Ç ÖÚ ÕÙ Ð Ö Ð ÙÒ ÙÒ Ò ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö y = sent, π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö º Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ù Ð πº y 1 y = sen ( t+ π y = sent ) π π π 0 π π 3π π t 1 ÙÖ º¾ ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ý Ð Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ f(x) = cos(x+π) Ý Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÙÒ Òº ËÓÐÙ Ò ÑÔÐ ØÙ A = 1 = 1 Ô Ö Ó Ó p = π Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ò Ð ÓÖÑ y = cos(x+π) = cos(x+ π ). ½ = πº È Ö ÐÙÐ Ö Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ

179 ÒØÓÒ Ð Ñ ÒØÓ π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö ÓÒ Ö Ð Ò Ð ÙÒ Ò y = cosxº Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ π º È Ö Ö Ð Ö ÔÖÓ ÑÓ Ò Ú Ö Ø Ô º ½º Ò Ð ÙÖ º Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = cosx Ý y = cosxº Ä ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ò Ð Ò ÔÙÒØ Ý Ð ÙÒ Ò ØÖ ÞÓ ÓÒØ ÒÙÓº Ä ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ü Ò Ó Ö Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÔÖ Ñ Ö º Ð Ô Ö Ó Ó πº π π y π ÙÖ º π x y = cosx y = cosx ¾º ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ö y = cosx Ð Ù Ð Ô Ö Ò Ø Ö Ò Ð Ò ÔÙÒØ º π y π π ÙÖ º π x y = cos ( x+ π y = cosx ) Ä Ö Ð ÙÒ Ò y = cos [ (x+ π )] Ô Ö Ò Ø ÙÖ Ò ØÖ ÞÓ ÓÒ¹ Ø ÒÙÓº Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π, π ] Ý ÙÒ ÐÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ð ÙÒ Òº ÌÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð Ò Ð Ð Ò ½ Ú ÑÓ ÑÓ Ô ÖØ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÔÓÖ y = f(x) + c Ý y = f(x) cº È Ö Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ c Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) + c ÙÒ ØÖ Ð Ò f c ÙÒ ÖÖ Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) c ÙÒ ØÖ Ð Ò Ð Ö f c ÙÒ Óº Ù Ò Ó ÓÒ Ö Ò ØÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð Ý Ú Ö ÓÒ Ò Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ ØÓÑ Ò Ð ÓÖ Ò Ñ ÒÓ Ò Ð º Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ñ ÑÓ Ð ÙÒ Ò y = f(x)º ½

180 Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ÙÒ Ò Ô Ö y = F(x) Ø ÔÓÖ A = 1 Ñ Ü ÑÓ F(x) Ñ Ò ÑÓ F(x)). ÑÔÐÓ º ½º Î ÑÓ Ð ÙÒ ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò f(x) = senx+1. ÕÙ 1 senx 1, ÙÑ Ò Ó 1 Ò ÐÓ ØÖ Ñ Ñ ÖÓ Ø Ù Ð Ó Ø Ò ÕÙ 0 senx+1. Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ 0 Ù ÑÔÐ ØÙ 1 ( 0) = 1 Ý Ù Ô Ö Ó Ó πº Ä Ö f Ó Ø Ò ÔÐ Þ Ò Ó Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = senx ÙÒ ÙÒ ÖÖ º ¾º Î ÑÓ Ð ÙÒ ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ z(t) = sen3t 1. ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ý Ñ Ò ÑÓ Ý Ð ÑÔÐ ØÙ º Í ÑÓ Ð Ó ÕÙ 1 sen3t 1. ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ ØÓ Ó ÐÓ Ñ Ñ ÖÓ Ð ÒØ Ö ÓÖ Ù Ð Ý ÐÙ Ó Ö Ø Ò Ó 1 Ó Ø Ò sen3t, 1 sen3t 1 3. ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ 1 Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ 3 Ý Ð ÑÔÐ ØÙ A = 1(1 ( 3)) = 1 (4) = º Ð Ô Ö Ó Ó π Ý Ð Ö Ó Ø Ò ÔÐ Þ Ò Ó Ð Ö z = sen3t ÙÒ 3 ÙÒ Óº Ò Ð ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö º z z = sen3t z = sen3t 1 1 4π 3 π π π 3 π 4π 3 t 3 ÙÖ º ½

181 Ö Ó ½º ÐÙÐ Ð ÑÔÐ ØÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ö Ù Ò Ý Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ µ y = cos(x π ), 4π x 4πº 6 µ y = 1 sen(x+π), π x πº µ y = 5cos(x π ), 4π x 4πº µ y = cos(x ), 4π x 4πº π µ y = sen(πx), 6 x 6º µ y = sen(πx π), x º ¾º ÌÖ Ð Ö ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö Ð ½ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Óº ½

182 ½

183 Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asen(bx+c)+d Ý y = acos(bx+c)+d Ä Ò Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð ÓÖÑ y = asen(bx+c)+d Ý y = acos(bx + c) + d Ø Ð ÓÖÑ Ñ Ò Ö Ð Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð º ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ Ù Ö Ø Ö Ø ØÖ Ú Ù Ù ÓÒ Ý Ö º ÈÓ ÑÓ ÒÓØ Ö ÕÙ Ð ØÙ Ó Ø ÙÒ ÓÒ ÒÚÓÐÙÖ ØÓ Ó ÐÓ Ó ÕÙ ØÙ ÑÓ Ò Ð Ð ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ º ÓÒ Ö Ð Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ø Ò Ö Ñ Ó Ò Ð ÑÔÐ ØÙ Ý Ð Ô Ö Ó Ó Ñ ØÖ Ð ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ Ð º À Ý Ö ÒØ Ñ Ò Ö Ö Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö º ÓÖÑ º Ë ÙÔÓÒ ÕÙ b > 0º ÁÐÙ ØÖ Ö ÑÓ ÙÒ Ø ½º Ë ÓÒ ØÖÙÝ Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asenbx Ý y = acosbx ÓÑÓ Ò Ð Ð Ò º Ä ÑÔÐ ØÙ Ù Ð a Ð Ô Ö Ó Ó π b Ð Ö Ù Ò º b π ¾º Ë ØÖ Ð Ò Ð Ö Ð ÒÙÑ Ö Ð ½ ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ c ÙÒ Ù Ö Ó ÓÒ b Ð ÒÓ c º Ò Ø ÓÖÑ Ó Ø Ò Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ b [ ( y = asen b x+ c )] b [ ( Ý y = acos b x+ c )]. b Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ c b º º Ë ØÖ Ð Ò Ð Ö Ó Ø Ò Ò Ð ÒÙÑ Ö Ð ¾ Ò Ð Ú ÖØ Ð d ÙÒ ÖÖ d > 0 d ÙÒ Ó d < 0º ÑÔÐÓ º½ ÌÖ ÑÓ Ð Ö y = 3sen(x π )+1º ½º Ø ÖÑ Ò ÑÓ Ð ÑÔÐ ØÙ A Ð Ô Ö Ó Ó p Ý Ð Ö Ù Ò ω Ý ØÖ Þ ÑÓ Ð Ö f(x) = 3sen(x) A = 3 = 3, p = π, ω = 1 π. Ä Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ º½º ½

184 y 3 y = 3senx 1 π 3π π 1 0 π π 3π π x 3 ÙÖ º½ ¾º ÌÖ Ð ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò f(x) = 3sen(x) π ÙÒ Ð Ö Ð 4 ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ù Ð π º Ä Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò Ð ÙÖ º¾º 4 Ä Ö Ð ÙÒ Ò f(x) = 3sen(x) Ô Ö ÓÒ Ð Ò ÔÙÒØ Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = 3sen(x π ) ÓÒ ØÖ ÞÓ ÓÒØ ÒÙÓº 4 π 3π π π y 0 ÙÖ º¾ π y = 3sen(x π 4 ) π 3π π x 4 y y = 3sen(x π 4 ) π 3π π π 1 0 π π 3π π x 3 ÙÖ º ½ ¼

185 º ÌÖ Ð ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Òy = 3sen(x π ) ÙÒ ÙÒ ÖÖ º Ä 4 Ö Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò Ð ÙÖ º º Ä Ö Ð ÙÒ Ò y = 3sen(x π) 4 Ô Ö ÓÒ Ð Ò ÔÙÒØ Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = 3sen(x π )+1 ÓÒ ØÖ ÞÓ ÓÒØ ÒÙÓº ÑÔÐÓ º¾ Ä Ú Ö Ò ÒÙ Ð Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ T Ò Ö Ó ÒØ Ö Ó µ Ò ÇØØ Û Ò ÔÙ ÐÙÐ Ö Ñ ÒØ Ð ÙÒ Ò ( π T(t) = 15.8sen 6 t π +5. ) ÓÒ t Ð Ø ÑÔÓ Ò Ñ Ý t = 0 ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ½ Ò ÖÓº À ÐÐ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ü Ñ Ð Ó Ý Ð Ò ÕÙ ÓÙÖÖ º ËÓÐÙ Ò Ä Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ô Ò Ð Ú Ö Ò Ð ÙÒ Ò ÒÓº Î Ö Ñ Ü Ñ Ù Ò Ó sen ( π 6 t π ) = 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ü Ñ ÓÑÓ sen ( π 6 t π ) = 1 ÒØÓÒ T(t) = = 0.8 C. π 6 t π = π, π 6 t = π + π = π, t = π π/6 = 6. ÓÑÓ Ð Ø ÑÔÓ Ø Ñ Ó Ò Ñ Ý t = 0 ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ½ Ò ÖÓ ÒØÓÒ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ü Ñ ÔÖ ÒØ Ð ½ ÂÙÐ Óº Ö Ó ½º È Ö ÙÒ Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ý Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ú ÖØ Ðº ÌÖ ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð Ö Ò Ù Ö ÐÙÐ ÓÖ Ö ÓÖ Ò Ø Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ µ y = cos(x+π) π x π µ y = sen(x π)+1 π x π µ y = cos(x π) 1 π x πº ¾º Ä Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÖÓÑ Ó Ö ÙÒ Ö Ò Ø ÔÓÖ Ð ÙÒ Ò ( ) π C(t) = 0+6cos 365 (t 10), ½ ½

186 ÓÒ C(t) Ð ÔÖÓÑ Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð t Ö Ò Ò Ö Ó Ò¹ Ø Ö Ó µ Ý t = 1 Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓº Ø ÖÑ Ò Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÑÔÐ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ Ý Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ú ÖØ Ðº ÌÖ ÙÒ Ö Ø ÙÒ Òº ¹ Ø ÖÑ Ò Ð Ñ Ü Ñ Ý Ð Ñ Ò Ñ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ð Ó Ý Ð Ò ÕÙ ÓÙÖÖ º º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÔÖÓÑ Ó ÙÒ ÐÙ Ö Ô Ö º ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÔÖÓÑ Ó Ñ ÓÙÖÖ Ð ¾¼ Ò ÖÓ Ý ½¼ Ö Ó ÒØ Ö Ó Ð Ñ ÐØ ¼ Ö Ó ÒØ Ö Ó Ý ÓÙÖÖ Ð ¾¼ ÙÐ Óº ÌÖ ÙÒ Ö Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÔÖÓÑ Ó Ö Ò Ý ÜÔÖ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÔÖÓÑ Ó ÓÑÓ ÙÒ Ò Ð Ð Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓº º ÍÒ ÒÚ Ø Ò ÒØ ÓÒÐÙÝ ÕÙ ÙÒ ÙÐØÓ ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ý Ü Ð ÐÖ ÓÖ ¼º Ð ØÖÓ 4 ÙÒ Ó º Ð ÚÓÐÙÑ Ò Ö Ò Ð ØÖÓ µ Ò ÐÓ ÔÙÐÑÓÒ ÔÙ t ÙÒ Ó ÔÙ Ü Ð Ö Ù ÑÓ Ð Ó ÔÓÖ Ñ Ó Ð ÙÒ Ò v(t) = cos( πt ), Ô Ö 0 t 8º µ ú Ù Ð Ð Ñ Ü Ñ ÒØ Ö Ò ÐÓ ÔÙÐÑÓÒ µ ú Ù Ð Ð Ñ Ò Ñ ÒØ Ö Ò ÐÓ ÔÙÐÑÓÒ µ ú Ù Ð Ð Ô Ö Ó Ó µ ú Ù ÒØ Ò Ð ÓÒ Ò ÔÓÖ Ñ ÒÙØÓ º Ð ÙÒÓ ÒØ Ó Ù Ò Ð ÖÑÙÐ f(t) = asen(bt c)+d Ô Ö ÑÙÐ Ö Ð Ú Ö ÓÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÙÖ ÒØ Ð º Ð Ø ÑÔÓ Ø Ø Ó Ò ÓÖ Ý Øµ Ò Ö Ó Ð Ù º Ä Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ ÒÓ Ð ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ø ¼ º Ë ÙÒ Ò Ð Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ú Ö Ò Ð ÖÑÙÐ f(t) = 10sen( π 1 t 5π 6 ). Ð ÖÑ ÓÒ A Ý B º Ð Ñ ÒÓ Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ù Ù Ð 5 C º Ä Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ñ Ò Ñ Ù 10 C ÓÖÖ ØÓ ÖÑ Ö ÕÙ µ Ý ÓÒ Ú Ö Ö º µ Ú Ö Ö Ý Ð º µ Ð Ý Ú Ö Ö º µ Ý ÓÒ Ð º ½ ¾

187 Ä Ò ÌÖ Ð ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ Ð Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ò Ø Ð Ò Ú ÑÓ ØÙ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ò Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ ÕÙ ÓÒÐÐ Ú Ò ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú ÖØ Ð Ù Ö º Ê ÓÐÚ Ö ÑÓ Ð ÙÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÐ Òº ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ð Ò ½ Ú ÑÓ ÕÙ c > 0 Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x + c) Ó Ø Ò Ð ØÖ Ð Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) c ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x c) Ó Ø Ò Ð ØÖ Ð Ö Ð Ö y = f(x) c ÙÒ Ð Ö º Ò Ð Ó Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó ØÙÑ Ö ÐÐ Ñ Ö Ñ ÒØÓ Ð ØÖ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÈÓÖ ÑÔÐÓ f(x) = sen(x + π) Ð ÙÒ Ò Ø π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö º Ë g(x) = sen(x π) Ð ÙÒ Ò Ø π ÙÒ Ð Ö º ÙÒ ÓÒ y = asen(bx+c) Ý y = acos(bx+c) Ý Ù Ö È Ö Ò Ð Þ Ö Ø ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÑÓ ÕÙ ÓÒ Ö Ö Ù ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ó Ó Ý Ñ ÒØÓº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ ÑÔÖ ÓÒ Ö ÑÓ b > 0º Ä ÑÔÐ ØÙ a Ð Ô Ö Ó Ó π b º È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ÒØÓ Ö ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ Ò Ð ÓÖÑ [ ( y = asen b x+ c )] [ ( Ý y = acos b x+ c )]. b b Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asenbx Ý y = acosbx Ò ÔÐ Þ Ó ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ c ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö c > 0 Ý c < 0 Ý ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ b ÓÖ ÞÓÒØ Ð c ÙÒ Ð Ö º b È Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = asen(bx + c) Ý y = acos(bx + c) Ò Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÔÓÖ c b º ½

188 ÑÔÐÓ º½ Ò Ð ÙÖ º½ Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = sent Ý y = sen(t π)e Ç ÖÚ ÕÙ Ð Ö Ð ÙÒ ÙÒ Ò ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö π y = sent, ÙÒ Ð Ö º Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ù Ð πº Ù Ò Ó Ø Ò Ñ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÔÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö ÓÑ ØÖ Ñ ÒØ ÓÑÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ Ô Ö ÓÖ ÞÓÒØ ÐÑ ÒØ Ñ Ö º y 1 y = sen ( t π y = sent ) π π 0 π π π 3π π t 1 ÙÖ º½ ÑÔÐÓ º¾ Ò Ð ÙÖ º¾ Ô Ö Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = sent Ý y = sen(t+ π ). Ç ÖÚ ÕÙ Ð Ö Ð ÙÒ ÙÒ Ò ÙÒ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö y = sent, π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö º Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ù Ð πº y 1 y = sen ( t+ π y = sent ) π π π 0 π π 3π π t 1 ÙÖ º¾ ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÑÔÐ ØÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ý Ð Ñ ÒØÓ Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ f(x) = cos(x+π) Ý Ö ÔÖ ÒØ Ö Ñ ÒØ Ð ÙÒ Òº ËÓÐÙ Ò ÑÔÐ ØÙ A = 1 = 1 Ô Ö Ó Ó p = π Ö ÑÓ Ð ÙÒ Ò Ò Ð ÓÖÑ y = cos(x+π) = cos(x+ π ). ½ = πº È Ö ÐÙÐ Ö Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ

189 ÒØÓÒ Ð Ñ ÒØÓ π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö ÓÒ Ö Ð Ò Ð ÙÒ Ò y = cosxº Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ π º È Ö Ö Ð Ö ÔÖÓ ÑÓ Ò Ú Ö Ø Ô º ½º Ò Ð ÙÖ º Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ y = cosx Ý y = cosxº Ä ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ò Ð Ò ÔÙÒØ Ý Ð ÙÒ Ò ØÖ ÞÓ ÓÒØ ÒÙÓº Ä ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ü Ò Ó Ö Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÔÖ Ñ Ö º Ð Ô Ö Ó Ó πº π π y π ÙÖ º π x y = cosx y = cosx ¾º ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ π ÙÒ Ð ÞÕÙ Ö ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ö y = cosx Ð Ù Ð Ô Ö Ò Ø Ö Ò Ð Ò ÔÙÒØ º π y π π ÙÖ º π x y = cos ( x+ π y = cosx ) Ä Ö Ð ÙÒ Ò y = cos [ (x+ π )] Ô Ö Ò Ø ÙÖ Ò ØÖ ÞÓ ÓÒ¹ Ø ÒÙÓº Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π, π ] Ý ÙÒ ÐÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ð ÙÒ Òº ÌÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð Ò Ð Ð Ò ½ Ú ÑÓ ÑÓ Ô ÖØ Ö Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ò ÔÓÖ y = f(x) + c Ý y = f(x) cº È Ö Ú ÐÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ c Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) + c ÙÒ ØÖ Ð Ò f c ÙÒ ÖÖ Ý Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = f(x) c ÙÒ ØÖ Ð Ò Ð Ö f c ÙÒ Óº Ù Ò Ó ÓÒ Ö Ò ØÖ Ð ÓÒ Ú ÖØ Ð Ð ÙÒ ÓÒ ÒÙ Ó Ð Ý Ú Ö ÓÒ Ò Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ ØÓÑ Ò Ð ÓÖ Ò Ñ ÒÓ Ò Ð º Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ñ ÑÓ Ð ÙÒ Ò y = f(x)º ½

190 Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö ÙÒ Ò Ô Ö y = F(x) Ø ÔÓÖ A = 1 Ñ Ü ÑÓ F(x) Ñ Ò ÑÓ F(x)). ÑÔÐÓ º ½º Î ÑÓ Ð ÙÒ ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò f(x) = senx+1. ÕÙ 1 senx 1, ÙÑ Ò Ó 1 Ò ÐÓ ØÖ Ñ Ñ ÖÓ Ø Ù Ð Ó Ø Ò ÕÙ 0 senx+1. Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ 0 Ù ÑÔÐ ØÙ 1 ( 0) = 1 Ý Ù Ô Ö Ó Ó πº Ä Ö f Ó Ø Ò ÔÐ Þ Ò Ó Ð Ö Ð ÙÒ Ò y = senx ÙÒ ÙÒ ÖÖ º ¾º Î ÑÓ Ð ÙÒ ÔÖÓÔ Ð ÙÒ Ò Ò ÔÓÖ z(t) = sen3t 1. ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ Ý Ñ Ò ÑÓ Ý Ð ÑÔÐ ØÙ º Í ÑÓ Ð Ó ÕÙ 1 sen3t 1. ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ ØÓ Ó ÐÓ Ñ Ñ ÖÓ Ð ÒØ Ö ÓÖ Ù Ð Ý ÐÙ Ó Ö Ø Ò Ó 1 Ó Ø Ò sen3t, 1 sen3t 1 3. ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ 1 Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ò ÑÓ 3 Ý Ð ÑÔÐ ØÙ A = 1(1 ( 3)) = 1 (4) = º Ð Ô Ö Ó Ó π Ý Ð Ö Ó Ø Ò ÔÐ Þ Ò Ó Ð Ö z = sen3t ÙÒ 3 ÙÒ Óº Ò Ð ÙÖ º ÔÖ ÒØ Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ö º z z = sen3t z = sen3t 1 1 4π 3 π π π 3 π 4π 3 t 3 ÙÖ º ½

191 Ö Ó ½º ÐÙÐ Ð ÑÔÐ ØÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ö Ù Ò Ý Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð Ù ÒØ ÙÒ ÓÒ µ y = cos(x π ), 4π x 4πº 6 µ y = 1 sen(x+π), π x πº µ y = 5cos(x π ), 4π x 4πº µ y = cos(x ), 4π x 4πº π µ y = sen(πx), 6 x 6º µ y = sen(πx π), x º ¾º ÌÖ Ð Ö ÙÒ Ò Ð ÒÙÑ Ö Ð ½ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Óº ½

192 ½

193 Ä Ò ¼ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁ Ë ÑÔÐ Ò ÜÔÖ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ø Ð Ò ÐÙ ØÖ Ö ÑÓ Ñ ÒØ Ú Ö Ó ÑÔÐÓ ÑÓ ÔÙ Ò ÑÔÐ Ö ÜÔÖ ¹ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º È Ö ÑÔÐ Ö ÜÔÖ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ñ Ð ÒØ ØÖ Ó¹ ÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ñ Ø Ò ÕÙ ÓÒ ÑÔÐ Ô Ö ÑÔÐ Ö ÜÔÖ ¹ ÓÒ Ð Ö º ÑÔÐÓ ¼º½ Ë ÑÔÐ ÕÙ Ð Ù ÒØ ÜÔÖ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ½º ¾º º º º º sen 3 x+senxcos x. seny cscy + cosy secy. tanθcosθcscθ. senx cosx + cosx 1+senx. secy cosy. tany (1 cos x)tanxcosx+sen xcotxcosx. ËÓÐÙ Ò ½º sen 3 x+senxcos x = senxsen x+senxcos x, = senx(sen x+cos x) = senx. ½

194 ¾º º º seny cscy + cosy secy = seny 1 + cosy, 1 seny cosy = sen y +cos y, = 1. Ç ÖÚ Ò Ò ÑÙ Ó Ó Ø Ð Ö Ö Ð ÜÔÖ Ò ÑÔÐ Ö Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ ÓÑÓ ÞÓ Ò Ø ÑÔÐÓº tanθcosθcscθ = senθ cosθ cosθ 1 senθ = senθ cosθ senθcosθ = 1. senx cosx + cosx 1+senx = senx(1+senx)+cosxcosx, cosx(1+senx) = senx+sen x+cos x, cosx(1+senx) senx+1 = cosx(1+senx), = 1 cosx, = secx. º º secy cosy tany = = 1 cosy cosy seny cosy sen y cosy seny cosy = seny. = 1 cos y cosy seny cosy = cosy sen y cosy seny,, (1 cos x)tanxcosx+sen xcotxcosx = sen x senx cosx cosx+sen x cosx senx cosx, = sen 3 x+senxcos x, = senx(sen x+cos x), = senx. ½ ¼

195 Ö Ó Ë ÑÔÐ ÕÙ Ð Ù ÒØ ÜÔÖ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ½º ¾º º º º cotysecy º cscy 1+sec x 1+tan x º tanx sec( x) º cosy secy +tany º cosu senu senucosu 1+cos u º ½ ½

196 ½ ¾

197 Ä Ò ½ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁÁ Ø Ð Ò Ø ÐÙ ØÖ Ö Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ù Ö Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ù Ð ÙÒ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ÓÒ Ö Ù Ò Ô Ö Ø ÔÖÓ Ó Ù Ö ÑÓ Ð ÜÔÖ Ò Ú Ö Ö ÙÒ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ö Ö ÕÙ ÙÒ Ù Ð ÙÒ ÒØ ÓÒ Ø Ò ÔÖÓ Ö ÕÙ Ø Ú Ö Ö Ô Ö ØÓ Ó Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð º Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ô Ö Ú Ö Ö ÙÒ ÒØ ÓÒ Ø Ö Ò Ð ÓÒ Ö ÙÒÓ ÐÓ Ð Ó Ð Ù Ð Ý ÔÓÖ Ñ Ó Ð ÒØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó Ð ÙÒ ÒØ Ý ÓÒÓ Ý ÓÔ Ö ÓÒ Ð Ö Ó Ø Ò Ö Ð ÓØÖÓ Ð Ó Ð Ù Ð º ÑÔÐÓ ½º½ ÑÙ ØÖ ÕÙ ÙÒ Ð Ù ÒØ Ù Ð ÙÒ ÒØ º ½º cost (tant+cott) = csctº ËÓÐÙ Ò ÍÒ Ù Ò Ö ÑÔÐ Þ Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓº Ì Ñ Ò ÓÒ Ð ØÙ Ö ÐÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ò Ó Ý ÑÔÐ Ö Ð Ñ Ü ÑÓ Ð Ö ÓÒ º Ò Ø Ó Ô Ö Ò Ö Ð ÓÒ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð ÔÓÖ Ö Ñ Ð ÓÖ Ó Ý ÓÒØ Ò Ö Ñ ÓÔ Ö ÓÒ Ô Ö Ö Ð Þ Öº ( sent cost ( tant+cott ) = cost cost + cost ) = cost sent cost +cost sent cost sent = sent+ cos t sent = sen t+cos t sent = 1 sent = csct. ÓÒ Ø ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÑÓ Ú Ö Ó Ð ÒØ cost (tant+cott) = csctº ¾º sec 4 t sec t = tan 4 t+tan tº ËÓÐÙ Ò Ò Ø Ó Ð Ó ÖÚ Ö Ð ÔÓØ Ò Ô Ö Ð ÙÒ ÓÒ Ø Ò ÒØ Ý ÒØ ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð Ù Ð Ú ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ù Ò ØÖ Ø ÙØ Ð Þ Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ ÒØ Ô Ø Ö 1+tan t = sec tº ÄÓ Ó Ð Ó Ð Ù Ð Ô Ö Ò ÔÖÓÔ Ó Ô Ö Ò Ö Ð Ú Ö Òº ÌÓÑ ÑÓ Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ÒÓ Ô Ö Ò Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ð ½

198 ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ º ÒØÓÒ ÑÓ Ö ÑÔÐ Þ Ö Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ Ò ÒØ tan 4 t+tan t = tan t (tan t+1) = (sec t 1)(sec t) = sec 4 t sec t. À ÑÓ Ò Ó Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð Ý ÑÓ Ó Ø Ò Ó Ð Ò Ð Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð Ú Ö Ò Ó Ð ÒØ º º 1+tan ( t) = sec tº º ËÓÐÙ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó 1+tan ( t) = sec ( t) = (sec( t)) = (sect) = sec t. 1+tant 1 tant = cott+1 cot1 1 º ËÓÐÙ Ò ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó 1+tant 1 tant = 1+tant tant 1 tant tant = 1 tant +1 = 1 tant 1 cott+1 cott 1. Ç ÖÚ Òº È Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ ÙÒ Ù Ð ÒÓ ÙÒ ÒØ ÑÓ ÒÓÒ¹ ØÖ Ö Ð Ñ ÒÓ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ð Ù Ð ÒÓ Ø Ð Ù Ð º ÑÔÐÓ ½º¾ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ð tanx+cotx = 0 ÒÓ ÙÒ ÒØ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ x = π º ÒØÓÒ tan π +cot π = 1+1 = º ÄÙ Ó ÔÓÖ ÒÓ Ú Ö Ö Ð Ù Ð Ô Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ð Ù Ð ÒÓ ÙÒ ÒØ º Ö Ó ½º Î Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÒØ sent µ 1 cost = 1+cost µ sect+tant sent cott+cost = tantsect senx µ 1 cosx = 1+cosx senx µ sect 1 sent = 1+sent, cos 3 t µ tan x sen x = tan xsen x µ senx 1 cosx 1 cosx senx µ 1 cot x tan x 1 = cot x, = 0, µ cos x 3cosx+ sen x = cosx 1+cosx º ¾º Ø ÖÑ Ò Ð Ù Ð ÙÒ ÒØ º µ (x+1) = x 1 µ cot x csc x = 1 µ sec( x)+secx = µ (1 secx) = tan x µ sen 4 y +cos 4 y = 1º ½

199 Ä Ò ¾ Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÎ ÑÔÐÓ ¾º½ Î Ö ÕÙ Ð ÒØ (tanx+cotx) 4 = csc 4 xsec 4 x. ËÓÐÙ Ò Ö ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ý ÑÔÐ ÕÙ ¹ ÑÓ ( senx (tanx+cotx) 4 = cosx + cosx ) 4 senx ( ) sen x+cos 4 x = senxcosx ( ) 4 1 =. senxcosx ÓÖ Ù ÑÓ Ð ÒØ Ö ÔÖÓ ÒØ Ý Ó ÒØ ( ) 4 (tanx+cotx) 4 1 = senxcosx ÑÔÐÓ ¾º¾ Î Ö ÕÙ Ð ÒØ ËÓÐÙ Ò =csc 4 xsec 4 x. sen 4 x cos 4 x = 1 sec x. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ÙÒ Ö Ò Ù Ö Ó º ØÓÖ Þ Ö Ø Ð Ó Ý ÑÔÐ Ö sen 4 x cos 4 x =(sen x cos x)(sen x+cos x) =sen x cos x =1 cos x cos x =1 cos x = 1 sec x. ÈÓ ÑÓ ÒØÓÒ ½

200 ÑÔÐÓ ¾º Î Ö ÕÙ Ð ÒØ cotx sec 4 x = sen4 x sen x tan 3. x ËÓÐÙ Ò Ò Ø Ó Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ÐÙ Ñ ÑÔÐ Ó ÕÙ Ð Ð Ó Ö Óº ØÓ Ù Ö ÓÑ ÒÞ Ö Ø Ú Þ ÔÓÖ Ð Ð Ó Ö Ó Ý ØÖ Ø Ö ÐÐ Ö Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Óº Ò ØÓ sen 4 x sen x tan 3 x = sen x(sen x 1) tan 3 x = sen x( cos x) tan 3 x = = cos5 x senx = cosx senx cos4 x. sen xcos x 1 sen 3 x cos 3 x Ä ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò Ù Ð Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð ÒØ º ÑÔÐÓ ¾º Î Ö ÕÙ Ð ÒØ cotx+tanx secx+cscx = senx+cosx 1+senxcosx. ËÓÐÙ Ò ÔÐ ÕÙ ÑÓ ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ð Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ØÓ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÒÓ Ý Ó ÒÓ º Ò Ø Ó ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ( cosx cotx+tanx secx+cscx = senx + senx ) ( cosx 1 cosx + 1 ) senx ( ) cos x+sen x = senxcosx ( ) senx+cosx senxcosx 1 = senx+cosx. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò ÓÒØ Ò Ð ÙÑ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ò Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ Ò Ø ÒØÓ ÕÙ Ð Ð Ó Ö Ó Ð ÒØ Ð Ù Ð ÕÙ Ö ÑÓ ÐÐ Öµ ÓÒØ Ò ÙÑ Ò Ð ½

201 ÒÙÑ Ö ÓÖº ÈÖÓ ÑÓ ÒØÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ð Ò Ù Ð ÔÓÖ Ð Ø ÖÑ ÒÓ senx+cosx senx+cosx, Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ö Ó cotx+tanx secx+cscx = 1 senx+cosx 1 = senx+cosx Î Ö ÕÙ Ð Ù ÒØ ÒØ º ½º cos x(tanx+cotx) 3 = secxcsc 3 x tan ¾º x = cotxsecx sinxsec x º ( 1 + ) 1 tanx sinx cosx º ( tanx secx cotx cscx = 1+tanx secx ) ( 1 secx 1 cscx) = tan x senx+cosx senx+cosx = senx+cosx (senx+cosx) senx+cosx = sen x+senxcosx+cos x = senx+cosx 1+senxcosx. ½

202 ½

203 Ä Ò Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Î À Ø Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ó ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ò ÙÒ ÓÐ Ú Ö Ð Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÓÖ Ð ÒØ Ô Ö Ð ÒÓ Ð Ó ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ Ð ÙÑ Ý Ð Ö Ò Ó Ú Ö Ð º ÖÑÙÐ Ò Ý Ù ØÖ Ò ÖÑÙÐ Ò Ý Ù ØÖ Ò Ô Ö Ð Ó ÒÓ cos(s t) = cosscost+senssent, cos(s+t) = cosscost senssent. º½µ º¾µ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ð ÒØ º½µº Ô ÖØ Ö Ø Ù Ð ÔÙ Ú Ö Ö ÐÑ ÒØ Ð ÙÒ ÒØ º ØÓ ÐÓ Ö ÑÓ Ò Ð ÑÔÐÓ º½º P(x 1,y 1 ) Q(x,y ) s y t O 1 x y R(x 3,y 3 ) s t O 1 S x ÙÖ º½ ÑÓ ØÖ Ò Ð ÒØ cos(s t) = cosscost+senssent ÈÖÙ ÇÔ ÓÒ Ðµ Ò Ø ÑÓ ØÖ Ò Ú ÑÓ Ù Ö ÒÙ ÚÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ý ÐÓ Ö ÙÑ ÒØÓ ÕÙ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ó ÒØ Ò Ð Ð ÓÒ ¾ Ý ¼º Ò Ð ÙÖ º½ ÓÒ Ö ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ s t Ý s tº Ð ÔÙÒØÓ P(x 1,y 1 ) Ø Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ t ÓÒ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º ÒØÓÒ ÔÓÖ Ð Ò ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ sent = y 1 Ý cost = x 1 º Ð ½

204 ÓÓÖ Ò P ÔÙ Ò Ö Ö ÓÑÓ cost Ý sentº Ð ÔÙÒØÓ Q(x,y ) Ø Ò Ð Ð Ó Ò Ð Ð Ò ÙÐÓ s Ý Ù ÓÓÖ Ò ÓÒ coss Ý sensº ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÒ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ POQ ØÙ ÑÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ SOR Ð Ù Ð ÓÒ ØÖÙÝ Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ POQ ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÒ Ð Ò ÙÐÓ SOR Ð Ù Ð Ñ s t Ö Ò Ý Ù Ð Ó Ò Ð Ð Ñ ÒØÓ OS Ø Ó Ö Ð x Ý S Ø Ò ÓÓÖ Ò 1 Ý 0º Ä ÓÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ R(x 3,y 3 ) ÓÒ cos(s t) Ý sen(s t))º ØÓ x 3 = cos(s t) Ý y 3 = sen(s t). ÒÓØ ÑÓ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P Q ÔÓÖ d(p,q) Ý Ð Ø Ò R S Ð ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ d(r,s)º ÒØÓÒ d(p,q) = d(s,r) (x x 1 ) +(y y 1 ) = (x 3 1) +(y 3 0), (x x 1 ) +(y y 1 ) = (x 3 1) +(y 3 0), x +x 1 x x 1 +y +y 1 y y 1 = x 3 +1 x 3 +y 3. º µ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ P Q R Ý S Ø Ò Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ø ÕÙ x 1 +y 1 = 1, x +y = 1, x 3 +y 3 = 1. Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó ØÓ Ú ÐÓÖ Ò º µ Ý ÑÔÐ Ò Ó Ó Ø Ò ÑÓ x x 1 y 1 y = x 3, Ö x x 1 +y y 1 = x 3. cos(s t) = coss cost+senssent. ÑÔÐÓ º½ Î Ö ÕÙ Ð ÖÑÙÐ Ò Ô Ö Ð Ó ÒÓ cos(s+t) = cosscost senssentº ËÓÐÙ Ò È ÖØ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð Ý ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÒØ º½µ Ý Ð ÒØ ¹ Ð Ò ÙÐÓ ( t)º cos(s+t) = cos(s ( t)) = coss cos( t)+sens sen( t) = coss cost+sens ( sen(t)) = coss cost sens sent. Á ÒØ Ó ÙÒ Ò ½ ( π ) cos t = sent, º µ ( π ) sen t = cost. º µ ½ ¼

205 ÑÔÐÓ º¾ Î Ö ÕÙ Ð ÒØ Ó ÙÒ Ò cos( π t) = sentº ËÓÐÙ Ò È ÖØ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð Ý ÙØ Ð Þ ÑÓ Ð ÒØ Ð Ó ÒÓ ÙÒ Ö Ò Ò ÙÐÓ º¾µ ( π ) cos t = cos π cost+sen π sent = (0) cost+(1) sent = sent. ÑÔÐÓ º Î Ö ÕÙ Ð ÒØ Ó ÙÒ Ò sen( π t) = costº ËÓÐÙ Ò È ÖØ ÑÓ Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð Ý Ð ÒØ Ó ÙÒ Ò Ô Ö Ð Ó ÒÓ º µ ÑÓ ØÖ Ò Ð ÑÔÐÓ º¾ ( π ( π )) ( π ) cost = cos t = sen t. ÖÑÙÐ Ò Ý Ù ØÖ Ò Ô Ö Ð ÒÓ Ý Ð Ø Ò ÒØ sen(s+t) = senscost+cosssentº sen(s t) = senscost cosssentº tan(s+t) = tans+tant 1 tanstant. ÑÔÐÓ º Î Ö ÕÙ ÑÓ Ð ÖÑÙÐ Ò sen(s+t) = senscost+cosssentº È ÖØ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð Ý ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÒØ Ó ÙÒ Ò ( π ) (( π ) ) sen(s+t) = cos (s+t) = cos s t ( π ) ( π ) = cos s cost+sen s sent = senscost+cosssent. ÑÔÐÓ º Î Ö ÕÙ ÑÓ Ð ÖÑÙÐ Ò tan(s+t) = tans+tant 1 tanstant º È ÖØ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð Ý ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð ÖÑÙÐ Ò Ô Ö Ð ÒÓ Ý Ð Ó ÒÓ tan(s+t) = sen(s+t) cos(s+t) = senscost+cosssent cosscost senssent. ½ ½

206 Ú ÑÓ Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ Ð ÜÔÖ Ò cosscostº ÒØÓÒ tan(s+t) = senscost cosscost + cosssent cosscost 1 senssent cosscost = tans+tant 1 tanstant. Á ÒØ Ó ÙÒ Ò ¾ tan( π t) = cottº cot( π t) = tantº sec( π t) = csctº csc( π t) = sectº ÑÔÐÓ º ÐÙÐ sen75 ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ 30 Ý 45 º ËÓÐÙ Ò sen75 = sen( ) = sen45 cos30 +cos45 sen30 ( ) ( ) ( ) 3 1 ( ) = + = Ö Ó ½º ÑÙ ØÖ Ð ÒØ Ó ÙÒ Ò ¾º ¾º Ø ÖÑ Ò Ð Ù Ð ÙÒ ÒØ º µ tan(x+π) = tanx µ sen(x+π) = sen(x) µ sen(x 3π) = cosxº º ÒÙ ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ Ð Ù Ò ÜÔÖ ÓÒ º µ sen0 cos5 +cos0 sen5 µ sen55 cos10 cos55 sen10 µ sen15 µ cos75 º ½ ¾

207 Ä Ò Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÎÁ Ò Ø Ð Ò ÓÒ Ö ÑÓ Ñ ÑÔÐÓ Ó Ö Ú Ö Ò ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ¹ ØÖ Ù Ò Ó Ð ÒØ Ò Ý Ù ØÖ Òº ÑÔÐÓ º½ Î Ö ÕÙ Ð ÒØ cos(x+y)cos(x y) = cos x sen yº ËÓÐÙ Ò ÑÔÐÓ º¾ cos(x+y)cos(x y) = (cosxcosy senxseny)(cosxcosy +senxseny) = cos xcos y sen xsen y = cos x(1 sen y) (1 cos x)sen y = cos x sen ycos x sen y +sen ycos x = cos x sen y. Î Ö ÕÙ Ð ÒØ senx+sen(3x)+sen(5x) cosx+cos(3x)+cos(5x) = tan(3x)º ËÓÐÙ Ò senx+sen(3x)+sen(5x) cosx+cos(3x)+cos(5x) = sen(3x x)+sen(3x)+sen(3x+x) cos(3x x)+cos(3x)+cos(3x+x) = sen(3x)cos(x)+sen(3x) cos(3x) cos(x) + cos(3x) = sen(3x)(cos(x)+1) cos(3x)( cos(x) + 1) = sen(3x) cos(3x) = tan(3x). ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÖÑ Asenx+Bcosx Ä ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÖÑ Asenx + Bcosx ÑÔÖ ÔÙ Ò Ö Ö Ò Ð ÓÖÑ ksen(x+φ) kcos(x+φ) ÓÒ k > 0º ½

208 ÑÔÐÓ º ÜÔÖ 1 3 senx+ cosx Ò Ð ÓÖÑ kcos(x+φ)º ËÓÐÙ Ò kcos(x+φ) = k[cosxcosφ senxsenφ] = kcosxcosφ ksenxsenφ È Ö ÕÙ ÙÑÔÐ Ð Ù Ð Ò Ö Ó ÕÙ Ð Ú Ò Ó Ð Ù Ö Ó Ñ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ÙÑ Ò Ó = ( ksenφ)senx+(kcosφ)cosx. ksenφ = 1 Ý ÕÙ kcosφ = 3. k sen φ = 1 4 Ý k cos φ = 3 4. k sen φ+k cos φ = , k ( sen φ+cos φ ) = 4 4 = 1, k 1 = 1, k = 1. Ø ÓÖÑ ÓÑÓ ksenφ = 1 ÒØÓÒ 1senφ = 1 Ö senφ = 1 º 3 3 ÓØÖ Ô ÖØ ÓÑÓ kcosφ = ÒØÓÒ cosφ = º ÓÑÓ senφ < 0 Ý cosφ > 0 φ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÁÎ Ù Ö ÒØ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ φ = π 6 º ÑÔÐÓ º 1 3 ( ( senx+ cosx = 1cos x+ π )) ( = cos x π ). 6 6 Ö Ð ÙÒ Ò 3senπx+3 3cosπx ÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÒÓº ËÓÐÙ Ò ÑÓ Ö Ö Ð ÜÔÖ Ò 3senπx+3 3cosπx Ò Ð ÓÖÑ ksen(πx+φ) k > 0º ksen(πx+φ) = k[senπxcosφ+cosπxsenφ] = ksenπxcosφ+kcosπxsenφ = (kcosφ)senπx+(ksenφ)cosπx. ½

209 ÒØÓÒ ÓÒ Ò Ð ÜÔÖ Ò Ò Ð kcosφ = 3, k cos φ = 9. ksenφ = 3 3, k sen φ = 7. º½µ º¾µ ËÙÑ Ò Ó Ð ÜÔÖ ÓÒ º½µ Ý º¾µ Ø Ò ÑÓ k sen φ+k cos φ = 7+9, k (sen φ+cos φ) = 36, k = 36, k = 6. Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó k Ò º½µ Ý º¾µ Ø Ò ÑÓ Ò º½µ Ò º¾µ 6cosφ = 3, cosφ = 3 6, cosφ = 1, 6senφ = 3 3, senφ = 3 3, 6 3 senφ =. ÓÑÓ senφ > 0 Ý cosφ > 0 ÒØÓÒ φ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ ÔÓÖ Ø ÒØÓ φ = π 3 º Ö Ó ½º Î Ö ÕÙ Ð ÒØ º 3senπx+3 3cosπx = 6sen ( πx+ π 3) º µ sen(x+y)+sen(x y) = senxcosyº µ sen(x+y) sen(x y) = cosxsenyº µ cos(x+y) cos(x y) = senxsenyº µ cos(x+y)+cos(x y) = cosxcosyº µ sen(x+y) cos(x y) = tanx+tany a+tanxtany º µ sen(x+y)sen(x y) = sen x sen yº µ cot(x+y) = µ cot(x y) = cotxcoty 1 cotx+coty º cotxcoty +1 coty cotx º ½

210 µ 1 tanxtany = cos(x+y) cosxcosy º µ sen(3x)+sen(7x) cos(3x) cos(7x) = cot(x)º ¾º ÜÔÖ Ö sen(3x) Ò Ø ÖÑ ÒÓ sen(x)º º ÜÔÖ Ö cos(4x) Ò Ø ÖÑ ÒÓ cos(x)º ½

211 Ä Ò Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÎÁÁ Ò Ø Ð Ò ÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ ÑÔÐÓ ÓÒ Ð ÒØ Ò Ý Ù ØÖ Ò Ò ÙÐÓ º Ò Ð ÙÒ Ó ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ ÙÒ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒÓ ÓÑ Ò Ý Ø Ð ÜÔÖ ÖÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ò ÙÐÓ Ñ ÓÑÙÒ º È Ö ØÓ ÔÓ ÑÓ Ù Ö ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÓ Ð ÕÙ Ú Ö ÑÓ Ò Ø Ð Òº Á ÒØ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð ÙÑ Ò Ð Ð ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÔÖ Ò ÑÓ ÕÙ cos(s t) = cosscost+senssent, cos(s+t) = cosscost senssent, sen(s t) = senscost cosssent, sen(s+t) = senscost+cosssent. º½µ º¾µ º µ º µ Ô ÖØ Ö Ð ÒØ º½µ º¾µ º µ Ý º µ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö ØÖ ÒØ ÓÒ Ð Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ë ÙÑ ÑÓ Ð ÒØ º½µ Ý º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ Ð ÒØ cosscost = 1 [cos(s t)+cos(s+t)]. º µ Ë Ö Ø ÑÓ Ð ÒØ º½µ Ý º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ Ð ÒØ senssent = 1 [cos(s t) cos(s+t)]. º µ Ë ÙÑ ÑÓ Ð ÒØ º µ Ý º µ Ó Ø Ò ÑÓ Ð ÒØ senscost = 1 [sen(s t)+sen(s+t)]. º µ ½

212 ÑÔÐÓ º½ ÐÙÐ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ cos(0 )cos(40 ) sen(0 )sen(40 )º ËÓÐÙ Ò Í Ò Ó Ð ÒØ º µ Ý º µ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ cos(0 )cos(40 ) sen(0 )sen(40 ) = 1 [cos( 0 )+cos(60 )] 1 [cos( 0 ) cos(60 )] = cos(60 ) = 1. ÑÔÐÓ º¾ ÜÔÖ sen(x)cos(7x) ÐÓ Ò Ø ÖÑ ÒÓ ÙÑ Ý Ö Ø ÒÓ Ý Ó ÒÓ º ËÓÐÙ Ò Ô ÖØ Ö Ð ÒØ º µ Ó Ø Ò ÑÓ sen(x)cos(7x) = 1 [sen(x 7x)+sen(x+7x)] = 1 [sen( 5x)+sen(9x)] = 1 [ sen(5x)+sen(9x)]. Á ÒØ Ð ÙÑ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ð Ñ Ò Ö Ø Ò ÑÓ ÕÙ ÐÙÐ Ö ÙÒ ÙÑ ÒÓ ÓÒ ÒÓ Ó ÒÓ ÓÒ Ó ÒÓ Ó ÒÓ ÓÒ Ó ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ð ÖÑÙÐ Ð ÔÖÓ ÙØÓ º µ º µ Ý º µ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö Ô Ö Ó Ø Ò Ö ( s t sens+sent = cos ( s+t sens sent = cos ( s+t coss+cost = cos ) sen ) sen ) cos ( s+t ( s t ( s t Ä ÜÔÖ Ò Ô Ö coss cost ÓÑÓ Ö Ó Ô Ö Ð Ð ØÓÖº ), º µ ), º µ ). º½¼µ ½

213 ÑÔÐÓ º ÐÙÐ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ cos(195 )+cos(105 )º ËÓÐÙ Ò Í Ò Ó Ð ÒØ º½¼µ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ ( ) ( ) 195 cos(195 )+cos( ) = cos cos ( ) ( ) = cos cos = cos(150 )cos(45 ) ( )( ) 3 = 6 =. Ö Ó ½º ÐÙÐ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ µ cos(5 )sen(70 ) sen(5 )cos(70 ) µ cos(10 )cos(35 ) sen(10 )sen(35 ) µ sen(110 )sen(80 )+cos(110 )cos(80 )º ¾º ÑÙ ØÖ Ð ÒØ º µ º µ Ý º½¼µº º À ÐÐ ÙÒ ÜÔÖ Ò Ô Ö coss costº º ÐÙÐ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ µ cos(90 )+cos(30 ) µ cos(75 ) cos(15 ) µ sen(105 )+sen(75 )º ½

214 ¾¼¼

215 Ä Ò Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÎÁÁÁ Ò Ø Ð Ò ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ð ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ó Ð Ý Ð ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ñ Óº Á ÒØ Ò ÙÐÓ Ó Ð sent = sentcost, cost = cos t sen t, tant = tant 1 tan t, cost = cos t 1, cost = 1 sen t. º½µ º¾µ º µ º µ º µ Ä ØÖ ÔÖ Ñ Ö ÒØ Ù Ò ÒÑ Ø Ñ ÒØ Ð ÒØ Ô Ö ÙÑ Ò ÙÐÓ ØÙ Ò Ð Ð Ò Ð Ö Ö t = t+tº Ä ÒØ º µ Ý º µ Ù Ò Ð Ù Ð º¾µ ÓÑ Ò ÓÒ Ð ÒØ Ô Ø Ö sen t+cos t = 1º ÑÔÐÓ º½ Î Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÒØ ½º cott = 1 (cott tant) ¾º tan3t = 3tant tan3 t 1 3tan t, º cotx = cot x 1 cotx º ËÓÐÙ Ò ½º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð 1 (cott tant) = 1 ( cost sent sent ) = cos t sen t = cost cost sentcost sent = cott. ¾¼½

216 ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð tant tan3t = tant+tant 1 tanttant = 1 tan t +tant 1 tant 1 tan t.tant = tant+tant tan 3 t 1 tan t 1 tan t tan t 1 tan t º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð Á ÒØ ÔÖÓ ÙØÓ ¹ ÙÑ cotx = cosx senx = cos x sen x senxcosx cos x sen x sen x sen x = senxcosx sen x senxcosy = 1 (sen(x+y)+sen(x y)), cosxseny = 1 (sen(x+y) sen(x y)), senxseny = 1 (cos(x y) cos(x+y)), cosxcosy = 1 (cos(x+y)+cos(x y)) ÑÔÐÓ º¾ Î Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÒØ ½º cosxseny = 1 (sen(x+y) sen(x y)) ¾º cosxcosy = 1 (cos(x+y)+cos(x y))º ËÓÐÙ Ò = 3tant tan3 t. 1 3tan t = cot x 1 cotx. ½º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð 1 (sen(x+y) sen(x y)) = 1 (senxcosy +cosxseny) 1 (senxcosy cosxseny) = 1 (cosxseny) = cosxseny. ¾º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÑÓ Ð Ð Ó Ö Ó Ð Ù Ð 1 (cos(x+y)+cos(x y)) = 1 (cosxcosy senxseny)+ 1 (cosxcosy +senxseny) = 1 (cosxcosy) = cosxcosy. ¾¼¾

217 Ö Ó Î Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÒØ ½º sent = sentcost, ¾º cost = cos t sen t, º cost = 1 sen t º cos t = 1+cost, cost º 1+sent = cott 1 cott+1 º (cos 4 t sen 4 t) = costº ¾¼

218 ¾¼

219 Ä Ò Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Á Ò Ø Ð Ò Ù Ö ÑÓ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö Ò ÙÐÓ Ñ Ó ÖÑÙÐ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ Ó sen x 1 cosx = ±, º½µ cos x 1+cosx = ±, º¾µ tan x = 1 cosx senx, tan x = senx 1+cosx. º µ º µ ÄÓ ÒÓ Ð Ó ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð Ù Ö ÒØ Ò Ð Ù Ð Ø xº Ä ÑÓ ØÖ Ò Ð Ó ÔÖ Ñ Ö ÒØ ÒÑ Ø Ô ÖØ Ö Ð ÒØ Ô Ö Ò ÙÐÓ Ó Ð º µ Ý º µº Ò Ð Ù Ð º½µ Ý º¾µ ÙØ Ð Þ Ö Ð ÒÓ Ó Ð ÒÓ ¹ Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ù Ö ÒØ Ò Ð Ù Ð Ø Ð Ò ÙÐÓ x º Ø Ø Ñ ÐÓ Ð Ö Ö ÑÓ Ò Ø Ð Òº ÑÔÐÓ º½ Î Ö ÕÙ Ð ÒØ cos x 1+cosx = ±. Ò Ð Ù Ð º µ Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ t ÔÓÖ x ÑÔÐ Ò Ó Ó Ø Ò ÑÓ ÄÙ Ó cosx+1 = cos x. cos x cosx+1 = ±. ÒØ Ö ÒØ ØÙ Ö Ñ Ø Ò Ñ ÒØ Ð ÖÑÙÐ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ Ó Ó ÐÓ ÒÓ ÕÙ Ô Ö Ò Ò º½µ Ý º¾µº ¾¼

220 ÑÔÐÓ º¾ Ë π x π Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ú ÐÓÖ y = sen x Ù Ð Ð 1 cosx Ú ÐÓÖ z = º ËÓÐÙ Ò Ó º½µ Ý Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ z ÔÓ Ø ÚÓ ÐÓ Ò Ö Ó ÒÓÒØÖ Ö ÐÓ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð ÒÓ y = sen x ÔÓ Ø ÚÓº Ë 0 x π ÒØÓÒ 0 x π. Ö Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ò Ö Ò x Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º ÒØÓÒ Ð ÒÓ y ÔÓ Ø ÚÓº Ò ÓÒ Ù Ò y = z, 0 < x < π. Ë π < x < 0 ÒØÓÒ π < x < 0. Ö Ð Ò ÙÐÓ ÙÝ Ñ Ò Ö Ò x Ø Ò Ð Ø Ö Ö Ó Ù ÖØÓ Ù Ö ÒØ º ÒØÓÒ Ð ÒÓ y Ò Ø ÚÓº Ò ÓÒ Ù Ò¹ ÑÔÐÓ º y z, π < x < 0. Î Ö ÕÙ Ð ÒØ tan x = senx 1+cosx. ËÓÐÙ Ò Ó ÐÓ ÒÓ ÕÙ Ô Ö Ò Ò Ð Ù Ð º½µ Ý º¾µ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ó Ó Ô Ö Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ x ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ tan x ÔÓ Ø ÚÓ ÕÙ ÐÐÓ ÓÒ tan x Ò Ø ÚÓº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ x Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ º ÒØÓÒ x Ø Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ º Ò ØÓ 0 x π Ø Ò ÑÓ ÕÙ 0 x π Ý π x 3π ÒØÓÒ π x 3πº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ú ÐÓÖ x tan x 0 Ý Ô Ö ØÓ Ú ÐÓÖ x senx 0º Ç ÖÚ Ø Ñ Ò ÕÙ 1+cosx 0 Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ xº ÒØÓÒ 1 cosx tan x = sen x cos x = 1+cosx = 1 cosx 1+cosx. ¾¼

221 ÅÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ 1+cosx Ý Ó Ø Ò ÑÓ tan x (1 cosx)(1+cosx) = (1+cosx) sen x = (1+cosx) = senx 1+cosx. = 1 cos x (1+cosx) ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ π < x < π 3π < x < π ÒØÓÒ π < x < π Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ý 3π < x < 4π Ò Ð ÙÒ Ó Óº È Ö ØÓ Ú ÐÓÖ x tan x 0 Ý Ô Ö ØÓ Ú ÐÓÖ x senx 0º Ç ÖÚ ÕÙ 1+cosx 0 Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ xº ÒØÓÒ tan x = sen x cos x 1 cosx 1 cosx = =. 1+cosx 1+cosx ÅÙÐØ ÔÐ ÑÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ 1+cosx Ý Ó Ø Ò ÑÓ tan x = (1 cosx)(1+cosx) (1+cosx) 1 cos x =. (1+cosx) sen x = (1+cosx) = senx 1+cosx = senx 1+cosx. Ö Ó ½º Î Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ù ÒØ ÒØ µ sen x = sen x 1+cosx µ cos x = 1+cosx µ cot x = 1+cosx senx º ¾º ú Ð Ù Ð ÙÒ ÒØ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð µ 1 cosx x +6x+9 = x+3 µ sen x = º Ë π x π Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ù ÒØ ÖÚ ÐÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ú ÐÓÖ y Ù Ð Ð Ú ÐÓÖ zº 1 cosx µ y = sen x z = 1+cosx µ y = cos x z = º ¾¼

222 ¾¼

223 Ä Ò Á ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ø Ð Ò ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÑÔÐÓ ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ó Ð Ý Ð Ò ÙÐÓ Ñ Óº ÑÔÐÓ º½ ÐÙÐ Ð Ú ÐÓÖ Ü ØÓ Ð Ù ÒØ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÑÔÐ Ö ÐÙÐ ÓÖ º cos(15 ). º cos(11.5 ). º sen(9.5 ). ËÓÐÙ Ò º cos(15 1+cos(30 ) = ) 1+ 3 = = º cos( cos(5 ) = ) 1 = = 1. º sen(9.5 1 cos(585 ) = ) 1 cos(5 = ) 1+ = = 1 +. ÑÔÐÓ º¾ ÐÙÐ sen θ cos θ Ý tan θ Ô ÖØ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ò ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ º ½º cosθ = < θ < 70 º ¾º cotθ = < θ < 70 º ËÓÐÙ Ò ½º cosθ = < θ < 70 º ÓÑÓ 180 < θ < 70 ÒØÓÒ 90 < θ < 135 ÐÙ Ó θ Ø Ò Ð ÙÒ Ó ¾¼

224 Ù Ö ÒØ º À ÐÐ ÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ô Ö Ð Ò ÙÐÓ Ñ Ó sen θ 1 cosθ = ( 1 4 ) 5 9 = = 5 9 = 10 = 3, 10 cos θ ( 1+cosθ = 1+ 4 ) 5 1 = = 5 1 = 10 = 1, 10 tan θ sen θ 3 = 10 cos θ = 1 = ¾º cotθ = < θ < 70 º ÓÑÓ 180 < θ < 70 ÒØÓÒ 90 < θ < 135 ÐÙ Ó θ Ù Ö ÒØ º Ø Ò Ð ÙÒ Ó ÓÒ Ö Ò Ó Ð ÔÙÒØÓ (x,y) = ( 5, 1) Ù Ó Ò Ð Ø Ö Ö Ù Ö ÒØ ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ÙÖ º½ ÈÓ ÑÓ ÐÐ Ö h ÔÓÖ Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ h = ( 5) +( 1), h = 5+1, h = 6. ÒØÓÒ cosθ = 5 6. ¾½¼

225 À ÐÐ ÑÓ ÒØÓÒ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ò ÙÐÓ Ñ Ó ( sen θ = 1 5 ) = =, 6 ( cos θ = 1+ 5 ) = = tan θ sen θ = cos θ = 6 5 = , ÑÔÐÓ º ÈÖÙ Ð Ù ÒØ ÒØ ½º sen x = 1 cosx ¾º cos x = 1+cosx º ËÓÐÙ Ò ½º cosx = cos x sen x, cosx = 1 sen x sen x, cosx = 1 sen x, sen x = 1 cosx, sen x = 1 cosx ¾º cosx = cos x sen x, cosx = cos x (1 cos x), cosx = cos x 1, cos x = 1+cosx. ÑÔÐÓ º ÜÔÖ sen3x Ò Ø ÖÑ ÒÓ senxº ËÓÐÙ Ò. sen3x = sen(x+x) = senxcosx+cosxsenx = (senxcosx)cosx+(1 sen x)senx = senx(1 sen x)+(1 sen x)senx = 3senx 4sen 3 x. ¾½½

226 Ö Ó ½º ÑÙ ØÖ ÕÙ µ cos6x = 1 sen 3x 1 cosx µ senx = ± µ tan4x = sen8x 1+cos8x º ¾º ÈÖÙ Ð Ù ÒØ ÒØ µ 1+senx senx = 1+ 1 secxcscx µ cotx = 1 tan x tanx ( x µ tan + π ) = 1+senx 4 1 senx µ cos x sen xtan x = sec x secx º º ÐÙÐ sen θ cos θ Ý tan θ ÕÙ µ tanθ = 1 0 < θ < 90 µ senθ = 5 13 µ cosθ = 3 7 Ý θ Ò Ð Ù Ö ÒØ II Ý θ Ò Ð Ù Ö ÒØ IV º º ÜÔÖ cos4x Ò Ø ÖÑ ÒÓ cosxº ¾½¾

227 Ä Ò Ä Ý Ó ÒÓ Á Ò Ø Ð Ò ØÖ Ø Ö ÑÓ Ð Ø Ñ Ð Ö ÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ô Ö Ð Ó Ò Ö Ð Ò Ð Ù Ð ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ö ØÓº ÄÓ Ð Ó Ý Ò ÙÐÓ ÓÒÓ Ó Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ø ÖÑ Ò Ò ÕÙ Ñ ØÓ Ó ÙØ Ð Þ Ö Ô Ö Ö ÓÐÚ ÖÐÓº ÁÒ Ö ÑÓ Ð ØÙ Ó ÓÒ Ð Ð Ý Ð Ó ÒÓ Ý Ò ÔÖ Ü Ñ Ð ÓÒ ØÙ Ö ÑÓ Ð Ð Ý Ð ÒÓº ÍÒÓ ÐÓ Ö ÙÐØ Ó ÓÒÓ Ó ÕÙ Ø Ö ÑÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÐÓ Ð Ö Ó Ø Ð Ò Ð Ù ÒØ Ä ÙÑ Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ 180 ÐÓ Ù Ð ÕÙ Ú Ð π Ö Ò º Ê ÓÐÙ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ê ÓÐÚ Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÒÓÒØÖ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ù Ð Ó Ý Ð Ñ Ù Ò ÙÐÓ º È Ö Ö ØÓ Ò Ø ÑÓ ÓÒÓ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ ÙÒÓ Ù Ð Ó º Ñ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ö ÕÙ Ö ÓÒÓ Ö ÓØÖ Ó ÒØ º ÓÒÓ Ó ØÖ ØÓ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÒØÖ ÐÐÓ ÙÒ Ð Óµ Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ù ØÖÓ ÔÓ Ð Ë ÓÒÓ Ò ØÖ Ð Ó º Ë ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ ÐÐÓ º Ë ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÙÒÓ ÐÐÓ º Ë ÓÒÓ Ò ÙÒ Ð Ó Ý Ó Ò ÙÐÓ º Ä Ð Ý Ð Ó ÒÓ Ù Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÐÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ý Ð Ð Ý Ð ÒÓ Ò ÐÓ Ó ÐØ ÑÓ Ó º Ò Ð ÙÖ º½ ÒØÖÓ Ù Ð ÒÓØ Ò ÕÙ Ù Ö ÑÓ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö ÐÓ Ð Ó Ý Ò ÙÐÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABCº ÒÓØ Ö ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð Ð ØÖ ÐÓ Ú ÖØ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒØ º ÇØÖ ÒÓØ Ò Ù Ù Ð Ù Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ Ö α,β Ýγ Ô Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÓ Ú ÖØ A B Ý C Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ì Ñ Ò ÙØ Ð Þ Ö Ò Ø Ð ØÖ Ô Ö Ò Ö Ð Ñ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ò Ö Ó Ó Ò Ö Ò º È Ö ÒÓÑ Ö Ö ÐÓ Ð Ó Ý Ø Ñ Ò Ô Ö Ò Ö Ù ÐÓÒ ØÙ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ò Ö ÐÑ ÒØ Ð Ð ØÖ Ñ Ò ÙÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ú ÖØ ÓÔÙ ØÓº ¾½

228 ÙÖ º½ Ä Ý Ó ÒÓ Ò Ù ÐÕÙ Ö ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º½ µ a = b +c bccosa, b = a +c accosb, c = a +b abcosc. º½µ º¾µ º µ Ö Ò Ù ÐÕÙ Ö ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ù Ö Ó Ð ÐÓÒ ØÙ Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ Ð Ó Ù Ð Ð ÙÑ ÐÓ Ù Ö Ó Ð ÐÓÒ ØÙ ÐÓ ÓØÖÓ Ó Ð Ó Ñ ÒÓ Ð Ó Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ð ÐÓÒ ØÙ ØÓ Ó Ð Ó Ý Ð Ó ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ ÐÐÓ º Ä ÔÖÙ Ð Ð Ý Ó ÒÓ Ò ÐÐ Ý Ù Ú Ö Ó ÐÓ ÓÒ ÔØÓ ÔÖ Ò Ó Ò Ð ÓÒ ÔÖ Ú º ÈÓÖ ØÓ Ú Ð Ð Ô Ò ÕÙ Ð ØÙ ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Òº Ù ÑÓ Ð ABC Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ xy ÓÒ Ð A Ò ÔÓ Ò Ø Ò Ö ÙÖ º¾ Ì ÒØÓ Ð Ò ÙÐÓ A Ù Ó ÓÑÓ Ó ØÙ Ó Ð ÓÓÖ Ò Ð Ú ÖØ B ÓÒ (c,0) Ý Ð ÓÓÖ Ò Ð Ú ÖØ C ÓÒ (bcosa,bsena) úèóö ÕÙ µ ÓÑÓ a = d(b,c) Ø Ò ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ B Ý Cµ ÒØÓÒ ¾½

229 a = [d(b,c)], a = (bcosa c) +(bsena 0), a = b cos A bccosa+c +b sen A, a = b (cos A+sen A) bccosa+c, a = b +c bccosa, ÔÓÖÕÙ cos A+sen A = 1. Ò ÓÖÑ Ñ Ð Ö ÔÖÙ Ð Ö ÙÐØ Ó Ô Ö ÐÓ ÓØÖÓ Ó Ð Ó b Ý c. Ç ÖÚ Ò Ë Ð ÙÒÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö ØÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ A = 90 ÒØÓÒ cosa = 0 Ý Ð Ð Ý Ó ÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ a = b +c º ÈÓÖ Ø Ö Þ Ò Ð Ð Ý Ð Ó ÒÓ Ø Ñ Ò Ù Ð ÒÓÑ Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ò Ö Ð Þ Óº ÑÔÐÓ º½ ÄÓ Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ a = 0 b = 5 c = º ØÖ Ò ÙÐÓº ËÓÐÙ Ò ÒÙ ÒØÖ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ð ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ñ ÐÓ Ð Ó Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò Ð Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø Ò ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÑ Ð ÐÓÒ ØÙ Ó Ð Ó Ù Ð ÕÙ Ö ÑÔÖ Ñ ÝÓÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó Ö Ø ÒØ º ÓÖ ÑÓ ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÖ º ÔÐ Ò Ó Ð Ý Ó ÒÓ ÒØÓÒ ÄÙ Ó A = º a = b +c bccosa. cosa = (0) (5) () (5)() ¾½

230 Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ cosb = b a c ac = (5) (0) () (0)() ÄÙ Ó B 7.88 Ý cosc = c a b ab = () (0) (5) (0)(5) 0.541, C 57.5 º ÑÔÐÓ º¾ Ë ÓÒÓ Ò ÐÓ ØÖ Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ a =,b =.5,c = 4. Ø ÖÑ Ò Ù Ò Ù¹ ÐÓ º ËÓÐÙ Ò Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ð Ù ÒØ ÜÔÖ ÓÒ Ð Ù Ð Ù Ò Ò¹ Ñ Ø Ñ ÒØ Ð Ù Ð º½µ º¾µ Ý º µ cosa = b +c a bc cosb = a +c b ac cosc = a +b c ab = (.5) +4 (.5)(4) A 4.15, = +4 (.5) ()(4) B 30.75, = +(.5) 4 ()(.5) C = = = = , = , = , Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ cosc Ò Ø ÚÓº ØÓ Ò ÕÙ C ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó ØÙ Ó Ñ ÝÓÖ 90 µº Ä ÙÑ A B Ý C 180 º Ö Ó ½º Í Ð Ð Ý Ó ÒÓ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÐÓ ÔÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ ÓÒ º µ a = 65, c = 50, B = 5 º µ b = 60, c = 30, A = 70 º ¾º Ë ÓÒÓ Ò ÐÓ Ó Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ a =,b =.5 Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ ÐÐÓ C = 60 º Ø ÖÑ Ò Ù Ò ÙÐÓ Ö Ø ÒØ Ý Ð Ð Ó cº ¾½

231 Ä Ò ¼ Ä Ý Ó ÒÓ ÁÁ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒÙ Ö ÑÓ ÓÒ Ð ØÙ Ó Ð Ð Ý Ó ÒÓ Ý Ú Ö ÑÓ ÑÓ ÔÙ Ù Ö Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ú Ö Ðº ÑÔ ÑÓ ÓÒ ÙÒ ÑÔÐÓ Ò ÐÐÓ Ô Ö Ö ÓÖ Ö ÑÓ ÔÐ Ø Ð Ýº ÑÔÐÓ ¼º½ Ë ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ a =,b =.5 Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ ÐÐÓ C = 60 º Ø ÖÑ Ò Ù Ò ÙÐÓ Ö Ø ÒØ Ý Ð Ð Ó cº ËÓÐÙ Ò ÈÓÖ Ð Ð Ý Ð Ó ÒÓ c = a +b abcosc c = +(.5) () (.5)cos60 = = 5.5, ÓÒ c.9. È Ö ÐÐ Ö ÐÓ Ñ Ò ÙÐÓ ÔÙ Ù Ö Ð Ð Ý Ð Ó ÒÓº cosa = b +c a bc cosb = a +c b ac (.5) +(.9) (.5)(.9) A 49.11, +.9 (.5) ()(.9) ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ú Ö ÒÙ ØÖÓ Ö ÙÐØ Ó º B , , ÈÖ Ñ Ö Ñ ØÓ Ó Ð ÙÑ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ó Ø Ò Ó A B C ,03 º Ø ÙÒ Ö ÙÐØ Ó ÑÙÝ ÔÖÓÜ Ñ Ó 180 º Ë ÙÒ Ó Ñ ØÓ Ó ÔÓ ÑÓ ÓÒ ÖÑ Ö ÒÙ ÚÓ Ð Ú ÐÓÖ ÓÒÓ Ó ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ C = 60 º cosc = a +b c ab = +(.5) (.9) ()(.5) = Ð Ò ÙÐÓ C ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ê ÔÙ Ø c ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð.9 Ý ÐÓ Ò ÙÐÓ ÓÒ C = 60 A ÔÖÓÜ ¹ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð Ý B ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð 70.9 º ¾½

232 ÓÖ Ú ÑÓ Ð ÙÒÓ ÑÔÐÓ ÔÐ Òº ÑÔÐÓ ¼º¾ ÔÐ Ò ÍÒ ÙØÓÑ Ú Ð Ú ÔÓÖ ÙÒ ÖÖ Ø Ö Ò Ö Ò Ø ÙÖ ÒØ 1 ÓÖ ÐÙ Ó Ú ÙÖ ÒØ 30 Ñ ÒÙØÓ ÔÓÖ ÓØÖ ÖÖ Ø Ö ÕÙ Ö Ð ÆÓÖ Ø º Ë Ð ÙØÓÑ Ú Ð ÔÐ Þ ÙÒ Ú ÐÓ ÓÒ Ø ÒØ 40 Ñ Ðл ÓÖ úõù Ø Ò Ð Ó Ø Ù ÔÓ Ò Ô ÖØ Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö ÓÖÖ Ó ËÓÐÙ Ò À ÑÓ ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð ØÙ Ò ÙÖ ¼º½ Ë d Ð Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÕÙ Ô Ö Ð ÙØÓÑ Ú Ð Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ º ÓÑÓ Ø Ò Ö ÓÖÖ Ð Ø = 40 Ñ Ðл ÓÖ 1 ÓÖ = 40 Ñ ÐÐ Ý Ø Ò Ö ÓÖÖ Ð ÆÓÖ Ø = 40 Ñ Ðл ÓÖ 1 ÓÖ = 0 Ñ ÐÐ ÒØÓÒ ÔÐ Ò Ó Ð Ð Ý Ó ÒÓ Ø Ò ÑÓ ( ) d = (0)(40)cos(135 ) = , d ÄÙ Ó Ð Ó ÓÖ Ý Ñ Ð ÙØÓÑ Ú Ð Ø ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ñ ÐÐ Ù ÔÙÒØÓ Ô ÖØ º ÑÔÐÓ ¼º ÔÐ Ò ÍÒ ØÓÖÖ ½¾ Ô Ø Ò Ø Ð Ò ÙÒ Ð Ö ÙÒ ÑÓÒØ ÕÙ Ø Ò ÙÒ ÒÐ ¹ Ò Ò 3 ÓÒ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ÓÐÓ Ö ÙÒ Ð Ù Ð Ô ÖØ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÓÖÖ Ý ÒÐ Ö Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ 55 Ô Ð Ö Ó Ð Ð ØÓÖÖ º Ø ÖÑ Ò Ö Ù Ð Ð Ñ Ò ØÙ Ñ ÓÖØ Ð ÕÙ Ò Ø º ËÓÐÙ Ò À ÑÓ ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð ØÙ Ò ¾½

233 ÙÖ ¼º¾ Ë a Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ñ ÓÖØÓ ÕÙ Ò Ø º ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð ØÖ Þ Ö ÙÒ Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ð ØÓÖÖ Ò Ð ÙÖ ¼º¾ Ý ÑÔÐ Ò Ó Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ð ØÓÖÖ ÓÒ Ð Ð Ö µ = 1 Ú Ð ÙÖ ¼º µº ÙÖ ¼º ÍØ Ð Þ ÑÓ Ð Ð Ý Ó ÒÓ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ a Ð Ð Ò Ö Ó a = b +c bccosa = (55)(15)cos , a ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ñ ÓÖØÓ ÕÙ Ò Ø Ô º Ö Ó ½º Ó ÖÖ Ø Ö Ö Ø Ú Ö Ò Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ 65 Ö Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ ÐÐ 65. Ó ÙØÓÑ Ú Ð Ð Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð ¾ ¼¼ ԺѺ ÙÒÓ Ú 50 ¾½

234 Ð Ñ ØÖÓ» Ý Ð ÓØÖÓ 30 Ð Ñ ØÖÓ» º úéù Ø Ò Ô ÖØ Ó Ø Ò ÐÓ ÙØÓÑ Ú Ð Ð ¾ ¼ ԺѺ ¾º ÍÒ Ô ÐÓØÓ ÚÙ Ð Ò ÙÒ ØÖ Ý ØÓÖ Ö Ø ÙÖ ÒØ 1 ÓÖ Ý 30 Ñ ÒÙØÓ º ÔÙ ÙÒ ÓÖÖ Ò Ð ÙÖ Ó Ò Ö Ò 10 Ð Ö Ù ÙÖ Ó ÓÖ Ò Ð Ý ÚÙ Ð ÓÖ Ò Ð ÒÙ Ú Ö Òº Ë Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ú ÐÓ ÓÒ Ø ÒØ 65 Ð Ñ ØÖÓ» úõù Ø Ò Ð Ó Ø Ù ÔÙÒØÓ Ô ÖØ º ÙÒ ÔÙ ØÓ Ó ÖÚ Ò ÓÒ Ø Ø Ó Ó Ó ØÓ Ý Ø Ò 9 Ý 8 Ð Ñ ØÖÓ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ö Ð Ò ÓÒ Ð ÔÙ ØÓ Ó ÖÚ Òº Ë Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ð Ò Ú Ò ÐÓ Ó Ó ØÓ 140 úù Ð Ð Ø Ò ÒØÖ ÐÓ Ó Ó ØÓ º ÍÒ ÓØ Ò Ú Ð ÔÙ ÐÓ A Ø Ð ÔÙ ÐÓ B ÕÙ ÒÙ ÒØÖ ½¼¼ Ñ Ø Ò Ó Ö Ð Ñ Ñ Ñ Ö Ò Ð Ö Óº ÄÙ Ó Ñ Ð ÖÙÑ Ó Ò Ö Ò Æ ÒÓÖ Ø µ Ý Ö Ð ÔÙÒØÓ Cº Ë Ð Ø Ò Ö ÓÖÖ ÒØÖ B Ý C ¾¼¼ Ñ úù Ð Ð Ø Ò ÒØÖ A Ý C º ú Ù Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ð Ô ÐÓØÓ Ò C Ô Ö ÚÓÐÚ Ö Ð ÔÙ ÐÓ A º ¾¾¼

235 Ä Ò ½ Ä Ý ÒÓ Á ÓÑÓ ÐÓ Ñ Ò ÓÒ ÑÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ØÖ Ø Ö ÑÓ Ð Ø Ñ Ð Ö ÓÐÙ Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ô Ö Ð Ó Ò Ð Ù Ð ÒÓ Ò Ö Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ö ØÓº ÓÒÖ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó Ë ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÙÒÓ ÐÐÓ º Ë ÓÒÓ Ò ÙÒ Ð Ó Ý Ó Ò ÙÐÓ º Ä Ý ÒÓ Ò Ù ÐÕÙ Ö ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ÙÖ ½º½ sena a = senb b = senc. c Ö Ò ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ð Ö Þ Ò ÒØÖ Ð ÒÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ý Ð Ñ Ð Ð Ó ÓÔÙ ØÓ ÓÒ Ø ÒØ º ÈÖÙ Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù ÐÕÙ Ö º Ë Ò h Ð ÐØÙÖ Ó Ö Ð Ð Ó BC Ý D Ð Ô ÐØÙÖ Ö Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð ÐØÙÖ ÓÒ Ð Ð Ó BCº ¾¾½

236 ÙÖ ½º¾ ÓÑÓ Ð BDA Ö Ø Ò ÙÐÓ Ñ ÓÑÓ Ð ADC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý senb = h, Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ h = csenb. c senc = h b, Ó h = bsenc, csenb = h = bsenc. ÄÙ Ó senb = senc. ½º½µ b c ÌÖ ÑÓ Ð ÐØÙÖ H Ó Ö Ð Ð Ó BA Ý E Ð Ô ÐØÙÖ º ÙÖ ½º ÓÑÓ Ð AEC Ö Ø Ò ÙÐÓ sen(180 A) = H b, Ö H = bsen(180 A) = bsena, Ý ÕÙ 180 A Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ð Ò ÙÐÓ Aº Ñ H = asenb, Ý ÒØÓÒ bsena = H = asenb. sena a = senb. ½º¾µ b ¾¾¾

237 ½º½µ Ý ½º¾µ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ç ÖÚ ÓÒ sena a = senb b = senc. c Ë Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒÓ ÑÓ ÙÒ Ð Ó Ý Ó Ò ÙÐÓ Ó Ó Ð Ó Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÙÒÓ Ó Ð Ó ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ð Ð Ý ÒÓ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó ÓÒÓ Ó ÙÒ Ð Ó Ý Ó Ò ÙÐÓ Ð Ø Ö Ö Ò ÙÐÓ ÐÙÐ Ù Ò Ó Ð Ó ÕÙ Ð ÙÑ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ 180 º È Ö ÐÐ Ö ÙÒÓ ÐÓ ÓØÖÓ Ó Ð Ó ÔÐ ÑÓ Ð Ð Ý ÒÓ Ù Ò Ó Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò ÒØÖ Ð Ö Þ Ò ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ð Ð Ó ÓÒÓ Ó Ý Ð ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ð Ð Ó ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ ÐÐ Öº Ò Ø Ó Ü Ø ÙÒ Ò Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º Ò Ð ÙÒ Ó Ó ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó Ý Ð Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÙÒÓ ÐÐÓ Ù Ð Ð Ý ÒÓ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÓÔÙ ØÓ ÙÒÓ ÐÓ Ð Ó ÓÒÓ Ó ÐÙ Ó ÐÐ Ð Ø Ö Ö Ò ÙÐÓ Ý Ò ÐÑ ÒØ Ð Ø Ö Ö Ð Ó ÐÙÐ Ù Ò Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ð Ð Ý ÒÓº Ò Ø Ó ÔÙ ÓÙÖÖ Ö ÕÙ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ò Ò ØÖ Ò ÙÐÓ ÙÑÔÐ Ò Ð ÓÒ ÓÒ Ö Þ Ò ÔÓÖ Ð Ù Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ð Ó Ñ ÙÓº Ü Ø Ò Ù ØÖÓ ÔÓ Ð ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ÙÖ ½º Ò Ð Ó Ð ÙÖ ½º µ ÒÓ Ü Ø ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ ÔÓÖÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó a Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ö ÕÙ Ö Ô Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð ÙÑÔÐ º Ò Ð ÙÖ ½º µ Ó Ø Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö Ù ÐÚ Ñ ÐÑ ÒØ Ù Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ Ý Ð Ò Ò Ð ÙÒ¹ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ò Ð ÙÖ ½º µ Ü Ø Ò Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ð ÓÒ ÓÒ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ Ý Ó ÓÐÙ ÓÒ ÔÓ Ð Ý Ò Ð ÙÖ ½º µ Ð ÓÐÙ Ò Ò º ¾¾

238 ÁÐÙ ØÖ ÑÓ Ø ÓÒ ÐÓ Ù ÒØ ÑÔÐÓ º ÑÔÐÓ ½º½ Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ÓÒÓ Ó ÐÓ Ò ÙÐÓ A = 70 B = 60 Ý Ð Ð Ó a ÕÙ Ñ Ñ º ËÓÐÙ Ò Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÐÐ ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ C Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ A+B + C = 180 C = = 50. ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ð Ý Ð ÒÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ ÐÓ Ð Ó b Ý c ÑÔÐÓ ½º¾ sen70 = sen60, b b = sen Ñ sen70 sen70 = sen50, c c = sen Ñ º sen70 Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC A = 4 a = 70 Ý b = 1º ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ Ò Ð ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ÙÒ Ó ÕÙ Ó ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ú Ö ÙÖ ½º µº ÙÖ ½º ÐÙÐ ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ B Ù Ò Ó Ð Ý ÒÓ ÐÙ Ó sena a senb = bsena a = senb b = 1sen(4 ) 70, ÓÑÓ sena 1 Ô Ö ØÓ Ó Ò ÙÐÓ A Ý ÕÙ Ð Ö Þ Ò ÒØÖ Ð Ø ØÓ ÓÔÙ ØÓ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ ÑÔÖ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ Ø ØÓ ÒØÓÒ Ò Ò Ò ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ð ÓÒ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ º ¾¾

239 Ä Ò ¾ Ä Ý ÒÓ ÁÁ Ò Ø Ð Ò ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÓÒ ÑÔÐÓ Ð Ð Ý Ð ÒÓº ÑÔÐÓ ¾º½ Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC A = 45 a = 7 Ý b = 7º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ Ù ÑÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÙÑ Ò ØÖ º Ä ÙÖ ¾º½ Ø ÒØ Ø Ú Ý ÕÙ Ò ÒÓ ÓÒÓ Ò ÐÓ ÓØÖÓ Ò ÙÐÓ º ÙÖ ¾º½ ÒÓÒØÖ ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ B Ù Ò Ó Ð Ð Ý ÒÓ sena a = senb. b ÄÙ Ó senb = bsena a = 7sen45 7 = = 1. À Ý Ó ÔÓ Ð Ò ÙÐÓ B ÒØÖ 0 Ý 180 Ø Ð ÕÙ senb = 1 B = 30 Ý B = 150 Ô ÖÓ B = 150 ÒÓ ÓÐÙ Ò Ý ÕÙ > 180 Ö ÒÓ Ö Ô Ó Ô Ö ÙÒ Ø Ö Ö Ò ÙÐÓº ÄÙ Ó B = 30 Ý C = = 105 º ÔÐ Ò Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ð Ð Ý ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó c senb b = senc c. ¾¾

240 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÔÐÓ ¾º¾ c = bsenc senb = 7sen(105 ) sen(30 ) Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC A = 43.1 a = 186. Ý b = ËÓÐÙ Ò ÌÖ ÑÓ ÙÒ Ó ÕÙ Ó Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÓÒ ÐÓ ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÖ ¾º¾µ ÙÖ ¾º¾ Í ÑÓ Ð Ð Ý ÒÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ B : sena a = senb b ÒØÓÒ senb = bsena = 48.6sen(43.1 ) a 186. Ü Ø Ò Ó Ò ÙÐÓ ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ø ÓÒ Ò B 65.8 Ý B = ÙÖ ¾º È Ö ÙÒÓ ØÓ Ú ÐÓÖ Ý ÙÒ Ú ÐÓÖ Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ò ÙÐÓ C Ý C ÕÙ Ø ¹ Ò C = = 71.08, C = =.7. ¾¾

241 Ð Ø Ö Ö Ð Ó Ø Ð Ù ÓÒ sen sen = senc, c 186. sen71.08 c = 57.79, sen43.1 c = senc, c 186. sen.7 = sen43.1 ÄÙ Ó Ý Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ ÓÒ ÑÔÐÓ ¾º a = 186.,b = 48.6,c 57.79,α = 43.1,β 65.8,C 71.08, a = 186.,b = 48.6,c 105.5,α = 43.1,β ,C.7. Ê Ù ÐÚ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC A = 30 a = 3 Ý b = 4º ËÓÐÙ Ò ÑÔÐ Ò Ó Ð Ð Ý ÒÓ sen30 3 = senβ, 4 senβ = 4 sen30 3 = = 3 Ü Ø Ò Ó Ò ÙÐÓ ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ø ÓÒ Ò B Ý B = È Ö ÙÒÓ ØÓ Ú ÐÓÖ Ý ÙÒ Ú ÐÓÖ Ô Ö Ð Ø Ö Ö Ò ÙÐÓ C Ý C ÕÙ Ø ¹ Ò C = = , C = = 11,19. Ð Ø Ö Ö Ð Ó Ø Ð Ù ÓÒ sen30 = senc, 3 c c = 3 sen sen sen30 = senc, 3 c c = 3 sen11, sen , ¾¾

242 ÄÙ Ó Ý Ó ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ ÓÒ a = 3,b = 4,c 5.7,α = 30,β 41.81,C , a = 3,b = 4,c 1.14,α = 30,β ,C Ö Ó Í Ð Ð Ý ÒÓ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö ÐÓ ÔÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ ¹ ÓÒ º ½º a = 30 c = 40 A = 37 ¾º b = 73 c = 8 B = 58 º c = 68 b = 480 C = 55 º a = 31.5 c = 51.8 B = 33 º c = 5 A = 35 B = 68 º a = 15 A = 11 C = 4 º ¾¾

243 Ä Ò Ä Ý ÒÓ ÁÁÁ Ò Ø Ð Ò ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÙÒ ÔÐ ÓÒ Ð Ð Ý Ð ÒÓº ÑÔÐÓ º½ ÔÐ Ò Ð ÑÔ Ò Ö Ó Ð ÌÓÖÖ È Ò ÁØ Ð ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ 5.6 ÓÒ Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð ØÖ Þ Ð C Ð ØÓÖÖ ØÙ Ò Ð Ô Óº ÍÒ ØÙÖ Ø Ù 105 Ñ Ð C Ð ØÓÖÖ Ò Ð Ö Ò Ò Ð ÕÙ Ð ØÓÖÖ ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ù Ó ÓÒ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ð Ò ÙÐÓ Ð Ú Ò Ñ Ó ÔÓÖ Ð ØÙÖ Ø 9. Ø Ð Ô ÖØ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÓÖÖ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ØÓÖÖ º ËÓÐÙ Ò ÙÖ º½ Ë a Ð ÐÓÒ ØÙ Ò Ñ ØÖÓ Ð ÌÓÖÖ º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ÙÖ º½µ Ø Ò ÕÙ C = = 84.4, ÔÓÖÕÙ 5.6 Ð Ò ÙÐÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð ØÓÖÖ ÓÒ Ð Ú ÖØ Ðº B = = 66.4 º Í Ò Ó Ð Ð Ý ÒÓ Ø Ò ÑÓ ÕÙ sena a = senb 105, a = 105senA senb = 105sen(9. ) sen(66.4 ) ÄÙ Ó Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ØÓÖÖ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ 56 Ѻ = 55.9 Ñ. ¾¾

244 ÑÔÐÓ º¾ ÔÐ Ò ÄÓ ÔÙÒØÓ A Ý B Ø Ò Ô Ö Ó ÔÓÖ ÙÒ Ð Óº È Ö ÐÐ Ö Ð Ø Ò ÒØÖ ÐÐÓ ÙÒ ØÓÔ Ö Ó ÐÓ Ð Þ ÙÒ ÔÙÒØÓ C Ó Ö Ð Ù ÐÓ Ø Ð ÕÙ CAB = 48.6 º Ì Ñ Ò Ñ CA ÓÑÓ 31 Ô Ý CB ÓÑÓ 57 Ô º ÒÙ ÒØÖ Ð Ø Ò ÒØÖ A Ý Bº ËÓÐÙ Ò ÙÖ º¾ ÔÐ Ò Ó Ð Ð Ý ÒÓ sena a = senb b senb = bsena, a senb = 31sen senb 0.44,, B 6.37., ÈÓ ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ A+B +C = 180, C = 180 A B, C ,37, C ÈÓ ÑÓ ÒØÓÒ ÔÐ Ö Ð Ð Ý ÒÓ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ø Ò ÒØÖ Ý cµ senc = sena, c a asenc = csena, c = asenc sena, c 57sen sen48.6, c Ä Ø Ò ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ý ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ô º ¾ ¼

245 ÑÔÐÓ º ÔÐ Ò ÍÒ Ô ÐÓØÓ Ø ÚÓÐ Ò Ó Ó Ö ÙÒ ÖÖ Ø Ö Ö Ø º Ð ÒÙ ÒØÖ ÕÙ ÐÓ Ò ÙÐÓ ÔÖ ¹ Ò ¾ ÔÓ Ø Ò ÓÖ Ñ ÐÐ 5 Ñ ÐÐ Ø Ò ÒØÖ Ø Ò Ò ÐÓ Ú ÐÓÖ 3 Ý 48 Ò Ó ÖÚ Ò Ð ÙÖ º º ÙÖ º ½º Ø ÖÑ Ò Ð Ø Ò Ð ÖÓÔÐ ÒÓ Ð ÔÙÒØÓ º ¾º Ø ÖÑ Ò Ð ÐØ ØÙ Ð ÖÓÔÐ ÒÓº ËÓÐÙ Ò ½º Ø Ò Ð ÖÓÔÐ ÒÓ Ð ÔÙÒØÓ º Ë b Ð Ø Ò ÒØÖ Ð ÖÓÔÐ ÒÓ Ý Ð ÔÙÒØÓ º Ë Ò Ð ÙÖ º Ù Ò Ó Ð Ù Ð ÐÓ Ò ÙÐÓ ÐØ ÖÒÓ ÒØ ÖÒÓ Ø Ò ÑÓ ÈÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð Ò ÙÐÓ B = 48 y A = 3. A+B +C = 180, C = 180 A B, C = , C = 100. ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ð Ý ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ø Ò ÒØÖ Ð ÖÓÔÐ ÒÓ Ý Ð ÔÙÒØÓ bµ senb = senc, b c csenb = bsenc, b = csenb senc, b = 5sen48 sen100, b ¾ ½

246 Ä Ø Ò ÒØÖ Ð ÖÓÔÐ ÒÓ Ý Ð ÔÙÒØÓ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ 3.77 Ñ ÐÐ º µ ÐØ ØÙ Ð ÖÓÔÐ ÒÓº ÙÖ º Ë a 1 Ð ÐØ ØÙ Ð ÖÓÔÐ ÒÓº ÔÐ Ò Ó Ð Ð Ý ÒÓ ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ a 1 sena = send a , 3.77senA = a 1 send, a 1 = 3.77senA send, a sen3 sen90, a Ä ÐØ ØÙ Ð ÖÓÔÐ ÒÓ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ½º Ñ ÐÐ º Ö Ó ½º Ò Ð ÓÖ ÐÐ ÓÔÙ Ø ÙÒ Ö Ó Ø Ò Ó ÔÙÒØÓ A Ý Bº Ò Ð ÓÖ ÐÐ ÓÒ Ø ØÙ Ó Ð ÔÙÒØÓ A Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ø Ö Ö ÔÙÒØÓ C ÙÒ Ø Ò 75 Ñ Ý Ñ Ò ÐÓ Ò ÙÐÓ CAB = 15 Ý ACB = 48 º ÒÙ ÒØÖ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ A Ð ÔÙÒØÓ Bº ¾º ËÓ Ö ÙÒ Ô Ó ØÙ Ó Ò Ð Ö Ö ÙÒ Ö Ó Ð Ú ÒØ ÙÒ ØÓÖÖ 15 Ñ ÐØÙÖ º Ð ÜØÖ ÑÓ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÓÖÖ Ð Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ØÙ Ó Ò Ð ÓÖ ÐÐ ÓÔÙ Ø 8 Ý Ð Ð ØÓÖÖ Ð Ò ÙÐÓ ÔÖ Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÙÒØÓ 18 º ÒÙ ÒØÖ Ð Ò Ó Ð Ö Ó Ý Ð ÐØÙÖ Ð Ô Óº º ÍÒ ÒØ Ò Ö Ó ÓÒ ÓÖØ Ø ÔÓÝ ÔÓÖ Ó Ð ÙÝ ÐÓÒ ØÙ ÓÒ 165 Ý 185 Ô º ÄÓ Ð Ø Ò Ò ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ò Ð Ô ÖØ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÒØ Ò Ý ÐÓ ÓØÖÓ ÜØÖ ÑÓ Ø Ò ÒÐ Ó Ò ÔÙÒØÓ Ð Ù ÐÓ ÐÓ Ð Þ Ó Ò Ð Ó ÓÔÙ ØÓ Ð Ô Ð ÒØ Ò º Ð Ð Ñ ÓÖØÓ ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ 67 ÓÒ Ð Ù ÐÓº úéù Ø Ò Ô ÖØ Ó Ø Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒÐ ¾ ¾

247 º Ò Ø Ö Ó ØÖ Ø Ö ÓÒÓ Ö Ù Ð Ð ØÖ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ô ÖØ Ö ÐÓ ØÓ ÓÒÓ Ó Ý Ø ÖÑ Ò Ö ÔÓ Ð Ö ÓÐÚ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ÙØ Ð Þ Ö Ð Ð Ý Ð ÒÓ Ó Ð Ð Ý Ð Ó ÒÓº Î Ð ÙÖ º º ÙÖ º µ ÓÒÓ Ó ÐÓ Ð Ó a Ý c Ý Ð Ò ÙÐÓ Cº µ ÓÒÓ Ó ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ A B Ý Cº µ Ë ÓÒÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó Ð ØÖ Ò ÙÐÓº µ Ë ÓÒÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý ÓÒÓ Ò Ó Ð Ó a Ý c Ý C = 90. ¾

248 ¾

249 Ä Ò Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Á Ò Ð ØÖ Ð ÓÒ Ù ÒØ ØÙ Ö ÑÓ Ð ÓÐÙ Ò Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º Ä Ù ÓÒ Ñ Ò ÐÐ Ö Ò ÓÒ Ö Ò Ø Ð Ò Ý Ð Ö ÓÐÚ Ö ÑÓ Ù Ò Ó Ð ÒØ ÙÒ Ñ ÒØ Ð º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÙÜ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ÍÒ Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ù Ð ÕÙ ÓÒØ Ò ÜÔÖ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ º Ö Ò Ð ÒØ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ø Ù Ð ÒÓ Ø Ò ÕÙ Ø Ö Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ð Ð Ú Ö Ð º Ò Ð Ñ ÝÓÖ ÐÓ Ó ÒÓ ÒØ Ö ÒÓÒØÖ Ö ÕÙ ÐÐÓ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ø Ð Ù Ð º ØÓ ÐÓ ÕÙ ÓÒÓ ÓÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ð Ù Òº ÄÓ Ú ÐÓÖ Ð Ú Ö Ð ÕÙ Ø Ò Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ò ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Òº Ò Ö ÐÑ ÒØ Ð Ú Ö Ð ÙÒ Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ð Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ö Ò º È Ö Ö ÓÐÚ Ö ÙÒ Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ Ð Ù ÒØ Ó ÖÚ ÓÒ ½º Ë ÑÔÖ Ò Ö Ó Ñ Ö Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ð Ù Ð Ø ÑÓ Ù Ò Ó Ð ÓÐÙ Òº Ò Ó ÕÙ ÒÓ ÓÒÓÞ Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ø Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ¾º ÈÓ ÑÓ ÔÐ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ñ ØÓ Ó ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò Ô Ö ÑÔÐ Ö Ý Ö ÓÐÚ Ö Ù ¹ ÓÒ Ð Ö º º ÑÔÓÖØ ÒØ Ö ÓÖ Ö ÕÙ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÔÙ Ò Ø Ò Ö Ð Ñ ÑÓ Ú ÐÓÖ Ò Ù Ö ÒØ Ö ÒØ ÔÓÖ ÐÓ Ù Ð Ý ÕÙ Ø Ò Ö Ù Ó ØÓÑ Ö ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ð Ð Ò ÙÐÓº º ÓÑÓ Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ô Ö ÒØÓÒ Ò Ö Ó ÓÒ Ö Ö ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ð Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ò ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÐÓÒ ØÙ Ù Ð Ð Ô Ö Ó Ó Ý ÐÙ Ó ÓÒ Ö Ö ØÓ Ó ÐÓ Ñ Ò ÙÐÓ ØÓ ÐÓ Ö ÙÑ Ò Ó Ð ÓÐÙ ÓÒ ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÐÐ ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÒØ ÖÓ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒÚÓÐÙÖ º º ÓÒ Ð ÔÖÓÔ ØÓ ÐÐ Ö ØÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ ÔÓ Ð ÙÒ Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ¹ ØÖ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö ÑÙÝ Ú Ö Ó Ö ÙÖ Ó ØÙ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ø Ð ÓÑÓ ÐÓ Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò Ð ÖÙÐÓ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ð Ö Ð ÙÒ ÓÒ ØÖ Ó¹ ÒÓÑ ØÖ ÒØÖ ÓØÖÓ º Ò ÐÓ Ú Ö Ó ÑÔÐÓ ÜÔÐÓÖ Ö ÑÓ ÙÒÓ ÐÐÓ º ¾

250 º Ð ØÙ Ö ÓÔ Ö ÓÒ Ð Ö Ø Ð ÓÑÓ Ð Ú Ö ÙÒ ÜÔÖ Ò ÙÒ ÔÓØ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÔÓÖ ÙÒ ØÓÖ Ó ÔÙ Ò ÒØÖÓ Ù Ö ÓÐÙ ÓÒ ÜØÖ Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ð Ö Ú ÐÓÖ ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÓÐÙ ÓÒ Ø º ÈÓÖ Ø ÑÓØ ÚÓ Ò Ö Ó Ú Ö Ö Ð ÓÐÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº ÑÔÐÓ º½ Ø ÖÑ Ò t = π ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò sen(t+ π ) = 1º ú t = π ÙÒ ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ËÓÐÙ Ò Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ t ÔÓÖ π Ò Ð Ù Ò º Ð Ö ÙÐØ Ó ( π sen + π = sen(π) = 0 1. ) ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ π Ö ÙÐØ Ó ÒÓ ÓÐÙ Òº ÓÖ Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ t ÔÓÖ π Ò Ð Ù Ò º Ð ( sen π + π ) = sen ( ) 3π = 1. t = π ÙÒ ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò º ÑÔÐÓ º¾ Ê Ù ÐÚ Ð Ù Ò cost = cott, Ô Ö 0 t < πº ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÑÔÐ Ö Ð Ù Ò ( cost cott = cost 1 ) = 0, sent ( cost = 0 1 ) = 0, sent cost = 0 sent 1 = 0, cost = 0 sent = 1. ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ó ÐØ Ñ Ù ÓÒ º Ä ÙÒ ÓÒ sent Ý cost Ø Ò Ò Ô Ö Ó Ó Ù Ð π ÔÓÖ ØÓ ØÙ Ö ÑÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ø Ù ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0 t < πº Í Ö ÑÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÙÜ Ð Öº ¾

251 y y 1 P(0,y) 1 x 1 P(x, 1) y P(x, 1) t = π 6 1 x P(0,y) ÙÖ º½ Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ý Ð ÓÖ Ò Ð ÙÒ Ò ÒÓº Ë cost = 0 ÒØÓÒ Ð P ÓÒ ÖÓº Ø ØÙ Ò ÓÙÖÖ Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð y ÓÒ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö Ö Ù Ò Ó t = π t = 3π º Î Ð Ö ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º½º Ë sent = 1 ÒØÓÒ Ð ÓÖ Ò P ÓÒ Ù Ð 1º Ø ØÙ Ò ÓÙÖÖ Ò Ó ÔÙÒØÓ P Ó Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÙÒÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ý ÓØÖÓ Ò Ð ÙÒ Óº ÍÒ Ò ÙÐÓ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ö ÒØ Ø Ð ÕÙ sent = 1 π Ý Ò Ð ÙÒ Ó Ù Ö ÒØ ÙÒ 6 Ò ÙÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ö Ö Ò π π π = 5π º Î Ð Ö Ö Ð ÙÖ º½º Ò Ö ÙÑ Ò cost = 0 t = π t = 3π º sent = 1 t = π 6 t = 5π 6 º Î Ö ÕÙ ÑÓ ÓÖ ÒÙ ØÖÓ Ö ÙÐØ Ó Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ð Ù Ò ÓÖ ¹ Ò Ð t = π cos(π ) = 0 = cot(π ). t = 3π cos(3π ) = 0 = cot(3π ). t = π 3 6 cos(π ) = = 3 = cot( π). 6 6 t = 5π 6 cos(5π 6 ) = ( 3 ) = 3 = cot( 5π 6 ). ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ t ÕÙ Ó ØÙÚ ÑÓ ÓÒ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Òº Ê ÔÙ Ø Ä ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò cost = cott Ô Ö 0 t < π ÓÒ t = π t = 3π t = π 6 Ý t = 5π 6 º ¾

252 ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù Òcos 4 t+1 = sen t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖÖ Ó[ π,π]º ËÓÐÙ Ò ÜÔÖ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓº ÌÖ ÔÓÒ Ò Ó Ø ÖÑ ÒÓ Ý ÐÙ Ó ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÒØ Ô Ø Ö Ó Ø Ò ÑÓ cos 4 t+1 sen t = 0, cos 4 t+cos t = 0, cos t(cos t+1) = 0, cos t = 0 cos t = 1. ÓÑÓ Ð Ù Ö Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÒÓ ÔÙ Ö Ù Ð 1 ÐÓ ÔÙ ÙÑÔÐ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ð º Ö cos t = 0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ cost = 0. È Ö Ò Ð Þ Ö Ð Ù Ò cost = 0 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [ π,π] ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÐÓ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö ÓÖÖ Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÒØ Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ý Ò Ø ÚÓº ÄÓ Ò Ñ ÖÓ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [π,π] ÕÙ Ø Ò Ð Ù Ò cost = 0 ÓÒ ÑÔÐÓ º t = π,t = 3π,t = π, Ý t = 3π. Ê Ù ÐÚ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ csc t = cot t Ô Ö t Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ Ô Ö ÑÔÐ Ö Ð Ù Òº ÓÑÓ csc t = 1+cot t, ÒØ Ô Ø Ö µ ÒØÓÒ Ð Ù Ò ØÖ ÓÖÑ Ò 1+cot t = cot t, Ö ÄÙ Ó cot t = 1. cott = 1 cott = 1. Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ô Ö ÓÒ Ô Ö Ó Ó πº ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ó ÐØ Ñ Ù ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0 t πº ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð Ö Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ ÓÑÓ ÙÜ Ð Öº Î Ð ÙÖ º¾º ÓÒ Ð Ò ÔÙÒØ ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ z = 1 Ý z = 1 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π)º ¾

253 z z = cott 3Π Π Π 1 1 Π Π 3Π t ÙÖ º¾ cott = 1º À Ý ÙÒ ÓÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π) t = π 4 º cott = 1º À Ý ÙÒ ÓÐÓ Ú ÐÓÖ t Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π) t = 3π 4 º Î Ö ÕÙ ÑÓ ÓÖ ÒÙ ØÖÓ Ö ÙÐØ Ó º Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ ÔÓÖ ÑÔÐÓ t = 3π 4 csc ( 3π 4 ) = ( ) = ( ) = 4 = = 1 = cot ( ) 3π. 4 ÈÓÖ Ø ÒØÓ t = 3π 4 ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº Á Ù ÐÑ ÒØ ÔÙ Ú Ö Ö ÕÙ t = π 4 Ø Ñ Ò ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº ÓÖ Ú ÑÓ ÓÒ Ö Ö ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ Ø Ò Ð Ù Òº ÓÑÓ Ð ÙÒ Ò ÓØ Ò ÒØ Ô Ö Ý Ø Ò Ô Ö Ó Ó π Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ÓÒ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t ÕÙ Ø Ò t = π 4 t = 3π 4 +kπ,k Z, +kπ,k Z. Ö Ó ½º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ Óº µ cosz = 1 0 z < π µ tanθ = 3 θ Rº µ tan θ = 1 θ Rº µ sen θ = 1 θ R µsenw = 1 w Rº µcosz = cotz, 0 z < π. ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð Ò Ö Ó Ð Ù Ò cosz = 3. ¾

254 ¾ ¼

255 Ä Ò Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁ Ò Ø Ð Ò Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó Ò Ð ØÙ Ó Ð ÙÒ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ô Ö Ù ÓÐÙ Òº ÑÔÐÓ º½ Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x Ô Ö ÐÓ Ù Ð ÙÑÔÐ Ð Ù Ò cotxtanx = 1. º½µ ËÓÐÙ Ò Ù Ò Ó ØÖ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ð Ù Ð Ý Ö ØÖ Ò Ð ÓÑ Ò Ó Ò Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ò ÜÐÙ Ö º Ó ÕÙ cotxtanx = tanx tanx = 1, Ð Ù Ð º½µ ÙÒ ÒØ Ô Ö ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÓÑ Ò Ó Ð ÙÒ ÓÒ tanx Ý cotxº Ä ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º½ µ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÓÒ Ü Ô Ò ÐÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð ÓÖÑ x = n π ÓÒn ÒØ ÖÓº ÑÔÐÓ º¾ ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò sen t sent 3 = 0 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π)º ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ø Ù Ò Ø Ò Ð ÓÖÑ ÙÒ Ù Ò ÙÒ Ó Ö Óº À ÑÓ ÙÒ Ñ Ó Ú Ö Ð Ô Ö ÕÙ Ð Ø Ù ÓÐÙ Òº Ò ÑÓ w := sentº Ê Ñ¹ ÔÐ Þ ÑÓ Ò Ð Ù Ò Ý Ó Ø Ò ÑÓ ÔÐ ÑÓ Ð ÖÑÙÐ Ù Ö Ø w w 3 = 0. w = 1± = 1± 5. 4 Ì Ò ÑÓ Ó ÔÓ Ð w 1 = 1 w = 3. ¾ ½

256 Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ Ð Ú ÐÓÖ w Ý Ó Ø Ò ÑÓ sent = 1 sent = 3. ÓÑÓ Ð Ú ÐÓÖ ÒÓ ÒÓ ÔÙ Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ ½ ÖØ Ð ÙÒ ÓÔ Òº Ê ÓÐÚ ¹ ÑÓ Ð Ù Ò sent = 1 ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑÓ ÙÜ Ð Öº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ý Ð ÓÖ Ò Ð ÙÒ Ò ÒÓº Ë sent = 1 ÒØÓÒ Ð ÓÖ Ò P Ù Ð 1 Ø ØÙ Ò ÓÙÖÖ Ò Ð ÒØ Ö Ò Ð y ÓÒ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Ö Ù Ò Ó P(0, 1) Ú Ð ÙÖ º½º Ð Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ t t = 3π º Ò Ö ÙÑ Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π) Ð Ò ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò sent sent 3 = 0 t = 3π º 1 y t = 3π 3 P(0, 1) 1 x ÙÖ º½ ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ cos t+cost 1 = 0, Ô Ö 0 t < π. ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÕÙ Ø ÙÒ Ù Ò Ù Ö Ø Ò costº ÒØÓÒ cost = 1± cost = 1 cost = 1. = 1±3, 4 Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ð ÔÙÒØÓ P Ö ÔÖ ÒØ Ð ÙÒ Ò Ó ÒÓ Ý Ð ÓÖ Ò Ð ÙÒ Ò ÒÓº ¾ ¾

257 1 y P( 1,y) 1 y 5π 3 π 3 1 x P( 1,0) t = π 1 x P( 1,y) ÙÖ º¾ À ÐÐ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð cost = 1º ÌÖ Þ ÑÓ ÙÒ Ð Ò Ú ÖØ Ð ÓÒ Ù Ð 1 º À Ý Ó ÔÙÒØÓ Ò Ð ÒØ Ö Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö º Î Ð Ö ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º¾º Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0 t < π ÐÓ Ú ÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ t ÓÒ t = π Ý t = 5π 3 3 À ÐÐ ÑÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ô Ö ÐÓ Ù Ð cost = 1º Ð Ò Ó ÔÙÒØÓ P Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø Ö ÓÒ Ù Ð 1 P( 1,0)º Ø ÔÙÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ò ÙÐÓ t = π Ú Ð Ö Ö Ð ÙÖ º¾µº Ò Ö ÙÑ Ò cost = 1 t = π t = 5π 3 3, cost = 1 t = π. Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÒÚ Ø Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ó Ø Ò Ó ÓÒ Ò ØÓ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº ÐÑ ÒØ Ú Ö ÕÙ ØÓ Ó ÐÓ Ú ÐÓÖ t ÓÒ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Òº Ä Ö ÔÙ Ø t = π 3,t = 5π 3 Ý t = π. ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð Ð Ù Ò cosx = cosx. ËÓÐÙ Ò ÍØ Ð Þ ÑÓ Ð ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ó Ð cosx = cos x 1º Ø Ñ Ò Ö Ð Ù Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ò cos x 1 = cosx, cos x cosx 1 = 0 cosx = 1± = 1±3 4, cosx = 1 cosx = 1. ¾

258 Ê ÓÐÚ ÑÓ Ø Ù ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0 x < π cosx = 1 x = 0, cosx = 1, x = π 3 x = 4π 3. ÑÓ Ú Ö Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ x Ó Ø Ò Ó ÓÒ Ò ØÓ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº x = 0 cos( 0) = 1 = cos0º ÓÒÐÙ Ò x = 0 ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº x = π cos( π) = cos 4π = = cos(π)º ÓÒÐÙ Ò x = π 3 3 Ð Ù Òº ÓÐÙ Ò x = 4π cos( 4π) = cos 8π = cos(π + π) = cos(π) = 3 1 = cos(4π)º 3 ÓÒÐÙ Ò x = 4π ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº 3 ÒØÓÒ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò Ø Ð ÕÙ 0 x < π ÓÒ x = 0 x = π 3 Ý x = 4π 3 º Ó ÕÙ ÒÓ ÔÙ ØÓ ÓÒ Ò Ó Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ù Ð Ô ÖØ Ò Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÓÒ Ö Ö ÕÙ x Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº Ò ÓÒ Ù Ò Ð Ö ÔÙ Ø x = kπ, x = π 3 +kπ Ý x = 4π 3 +kπ, ÓÒ k ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓº Ö Ó Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Óº ½º sen t cost 1 = 0, 0 t < π ¾º sen t+cost+ = 0, 0 t < 360 º sen t+sent = 0, t R º cost+sen t = 0, 0 t < πº ¾

259 Ä Ò Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÁÁ Ò Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ Ö Ù Ò Ð ÙÒ ÓÔ Ö ÓÒ Ð ¹ Ö ÐØ Ö Ò Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº ÔÓ Ð ÕÙ ÙÖ Ò Ð ÙÒ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù ¹ ÓÒ ÒØ ÖÑ ÕÙ ÒÓ ÓÒ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº Ø ÓÒ ÓÑ ÒÑ ÒØ ÐÐ Ñ ÓÐÙ ÓÒ ÜØÖ º Ø Ø Ñ Ö ÓÒ Ö Ó Ò Ø Ð Òº Ì Ñ Ò ÒÓ Ø Ò Ö ÑÓ Ò Ð ÓÐÙ Ò Ù ÓÒ ÕÙ ÒÚÓÐÙÖ Ò Ò ÙÐÓ Ó Ð Ý Ñ Ó º ÑÔÐÓ º½ Ê Ù ÐÚ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ cost+sent = 1,0 t < π. ËÓÐÙ Ò Ð Ú ÑÓ Ð Ù Ö Ó Ñ Ó Ð Ó Ð Ù (cost+sent) = 1, cos t+sen t+sentcost = 1, 1+sentcost = 1, sentcost = 0, sent = 0 cost = 0. Ê ÓÐÚ ÑÓ Ø Ó ÐØ Ñ Ù ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ 0 t < π sent = 0 t = 0 t = π, cost = 0, t = π t = 3π. Ó ÕÙ Ð Ú ÑÓ Ð Ù Ö Ó ÔÓ Ð ÕÙ Ý Ò ÙÖ Ó ÓÐÙ ÓÒ ÜØÖ º ÑÓ Ú Ö Ö ÐÓ Ú ÐÓÖ t Ó Ø Ò Ó ÓÒ Ò ØÓ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº t = 0 cos0+sen0 = 1+0 = 1º ÓÒÐÙ Ò t = 0 ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº t = π cosπ +senπ = 1+0 1º ÓÒÐÙ Ò t = π ÒÓ ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ÓÖ Ò ÐÑ ÒØ º t = π cos π +sen π = 0+1 = 1º ÓÒÐÙ Ò t = π t = 3π cos 3π +sen 3π = 0+( 1) = 1 1º ÓÒÐÙ Ò t = 3π Ð Ù Òº ¾ ÓÐÙ Ò Ð Ù Òº ÒÓ ÓÐÙ Ò

260 Ê ÔÙ Ø Ð ÓÐÙ ÓÒ t Ð Ù Ò cost+sent = 1 Ø Ð ÕÙ 0 t < π ÓÒ t = 0 Ý t = π º ÑÔÐÓ º¾ ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ cos 3 x cos x cosx+1 = 0, 0 x < π. ËÓÐÙ Ò Ê ÑÔÐ Þ ÑÓ cosx ÔÓÖ y Ô Ö Ö Ö Ð Ù Ò ÓÑÓ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó Ò yº Ä Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò y 3 y y +1 = 0. ÈÙ ØÓ ÕÙ y = 1 ÙÒ Ö Þ Ð Ù Ò Ø Ò ÑÓ ÒØÓÒ ØÓ y 3 y y +1 = (y 1)(y 1). y = 1 y 1 = 0. cosx = 1 cos x 1 = 0. È Ö Ð Ù Ò cosx = 1 Ø Ò ÑÓ Ð ÓÐÙ Ò x = 0º È Ö Ð Ù Ò cos x 1 = 0 Ø Ò ÑÓ ÕÙ cos x = 1, 1 cosx = ± = ±. x ÔÙ ØÓÑ Ö ÐÓ Ù ÒØ Ú ÐÓÖ x = π 4 x = 3π 4 x = 5π 4 x = 7π 4 º ÔÙ Ú Ö Ö Ð ÓÐÙ ÓÒ Ò Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ò Ð Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ Ó ÓÒ x = 0 x = π 4 x = 3π 4 x = 5π 4 Ý x = 7π 4 º ÑÔÐÓ º Ê Ù ÐÚ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ senx = 1,0 x < π. ËÓÐÙ Ò ÈÓÖ ØÖ Ø Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó Ð Ø Ö Ó Ø Ò Ô ØÓ ÒÙ ÚÓ ÕÙ ÑÓ Ñ Ö Ö ÓÒ Ø Ò Òº Î ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ø Ù Ò ÔÓÖ Ó Ñ ØÓ Ó Ö ÒØ ½º Å ÒØÖ Ð Ò ÙÐÓ x Ø ÙÒ ÖÓØ Ò ÓÑÔÐ Ø ÒØ 0 Ý π Ð Ò ÙÐÓ x Ú Ö ÒØÖ 0 Ý πº Ë ÕÙ Ö ÑÓ ÕÙ x Ú Ö Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π) ÑÓ Ô ÖÑ Ø Ö ÕÙ x ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,4π)º Ê ÓÐÚ ÑÓ Ð Ù Ò senx = 1, Ø Ð ÕÙ 0 x < 4π Ý Ó Ø Ò ÑÓ x = 3π x = 7π º x = 3π Ý x = 7π 4 4. ¾

261 ¾º Ò Ð ÙÒ Ó Ñ ØÓ Ó ØÓÑ ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò y = senx πº Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÐÓ ÓÑÔÐ ØÓ Ð ÙÒ Ò y = senx Ø Ò ÐÓÒ ØÙ πº Î Ð Ð Ò º Ó ÕÙ Ð Ò ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò senx = 1 Ô Ö x [0,π) x = 3π Ø Ò ÑÓ ÕÙ x = 3π Ð Ò ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò senx = 1 Ô Ö x [0,π)º 4 Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ Ò senx Ð ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð Ð Ù Ò senx = 1 Ø Ò Ð ÓÖÑ x = 3π 4 +kπ, Ô Ö k Z. Ø Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ ÓÐÙ ÓÒ Ð ÓÒ ÑÓ ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ø Ò Ð ÓÒ ¹ Ò 0 x < π Ý Ú Ö Ò Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ðº Ç Ø Ò ÑÓ x = 3π 4 Ý x = 3π 4 +π = 7π 4. ÊØ x = 3π 4 Ý x = 7π 4. ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ senx+sen4x = 0. ËÓÐÙ Ò ÍØ Ð Þ ÑÓ Ð ÒØ Ð ÒÓ Ð Ò ÙÐÓ Ó Ð ÔÐ Ð Ò ÙÐÓ4x sen4x = senxcosx. senx+senxcosx = 0, senx(1+cosx) = 0, senx = 0 cosx = 1. È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ð Ù ÓÒ ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ú Ö ÐÓ ÓÑ ÒØ Ö Ó Ò Ð ÑÔÐÓ º º Ó ÕÙ Ð Ô Ö Ó Ó Ð ÙÒ ÓÒ y = senx Ý y = cosx π Ö ÓÐÚ ÑÓ Ð Ù ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π)º È Ö Ð Ù Ò senx = 0, Ô Ö 0 x < π, Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ö x = 0 x = π. x = 0 x = π. È Ö Ð Ù Ò cosx = 1 Ô Ö 0 x < π, Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ x = π 3 x = 4π 3. ¾

262 Ö x = π 3 x = π 3. ÔÙ Ú Ö Ö ÕÙ ÐÓ Ú ÐÓÖ x ÓÒ ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ÓÖ Ò Ð Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÓÐÙ Ò Ò Ö Ð x = kπ,x = π +kπ,x = π 3 +kπ Ý x = π 3 +kπ, Ô Ö k Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ. Ö Ó ½º Ê Ù ÐÚ Ð Ù Ò sent = cost 1 Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π)º ¾º Ê Ù ÐÚ Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ó µ tan ( x ) = 1,0 x < π µ cost+cost = 0,t R µ sen3t = 1,0 t < π µ cos4t = 0,0 t < π, µ sen4t = 0,t R, µ sen4t = 1,t R. ¾

263 Ä Ò Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÁÎ Ò Ð ÔÖ ÒØ Ð Ò ÓÒ Ö ÑÓ Ñ ÑÔÐÓ Ø Ô Ó Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ º ÑÔÐÓ º½ Ê Ù ÐÚ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ 3tan 3 x 3tan x tanx+1 = 0. ËÓÐÙ Ò ÈÓ ÑÓ ØÓÖ Þ Ö 3tan x(tanx 1) (tanx 1) =0, (3tan x 1)(tanx 1) =0, ( 3tanx+1)( 3tanx+1)(tanx 1) =0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 3tanx+1 = 0 3tanx 1 = 0 tanx 1 = 0. Ö tanx = 1 3 tanx = 1 3, tanx = 1. ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò Ø Ò ÒØ Ô Ö ÓÒ Ô Ö Ó Ó π ÐÐ ÑÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ( π, π )º tanx = 1 x = π 3 6 tanx = 1 x = π 3 6 Ý tanx = 1 x = π º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ØÓ 4 Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò Ø Ò ÔÓÖ x = π 6 +kπ, x = π 6 +kπ Ý x = π 4 +kπ, ÓÒ k ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ. ¾

264 ÑÔÐÓ º¾ ËÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ secx tanx = cosx. ËÓÐÙ Ò Ö ÑÓ Ð Ù Ò Ò Ø ÖÑ ÒÓ Ð ÙÒ ÓÒ ÒÓ Ý Ó ÒÓ Ý ÑÔÐ ÕÙ ÑÓ 1 cosx senx cosx =0, cosx 1 senx cos x =0. cosx Ä Ö Ò Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ð ÖÓ Ù Ò Ó Ù ÒÙÑ Ö ÓÖ ÖÓº ÄÙ Ó 1 senx cos x =0, 1 senx (1 sen x) =0, sen x senx =0, senx(senx 1) =0. ÒØÓÒ Ö senx = 0 senx 1 = 0. senx = 0 senx = 1. Ó ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÒÓ π Ô Ö ÐÐ ÑÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π) senx = 0 x = 0 Ý x = π Ý senx = 1 x = π º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ØÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò Ø Ò ÔÓÖ x = 0+kπ, x = π +kπ Ý x = π +kπ, k Z. Ç ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ x = kπ Ý x = π +kπ, k Z. ÑÔÐÓ º ËÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ sen(5x) sen(3x) = cos(4x). ¾ ¼

265 ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ sen(5x) =sen(4x+x) = sen(4x)cosx+senxcos(4x), Ý Ñ ÕÙ sen(3x) =sen(4x x) = sen(4x)cosx senxcos(4x). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ù Ò ØÖ ÓÒÓÑ ¹ ØÖ sen(4x)cosx+senxcos(4x) [sen(4x)cosx senxcos(4x)] = cos(4x), Ý ÑÔÐ Ò Ó senxcos(4x) =cos(4x), senxcos(4x) cos(4x) =0, cos(4x)(senx 1) =0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö cos(4x) = 0 senx 1 = 0. cos(4x) = 0 senx = 1. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÙÒ Ò cos(4x) ÙÒ ÓÑÔÖ Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð ÙÒ Ò cosx Ò ÙÒ ØÓÖ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÑÓ cosx π Ô Ö Ø Ò ÕÙ cos(4x) Ô Ö ÓÒ Ô Ö Ó Ó π º Ü Ñ Ò ÑÓ ÒØÓÒ cos(4x) = 0 Ô Ö x Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0, π ) Ö Ô Ö 4x Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ [0,π) cos(4x) = 0 4x = π Ý 4x = 3π º Ö x = π 8 Ý x = 3π 8. ÄÙ Ó cos(4x) = 0 Ô Ö x = π 8 +kπ Ý x = 3π 8 +kπ, ÓÒ k ÒØ ÖÓº ÓÖ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð ÙÒ Ò ÒÓ π Ô Ö Ò Ð ÑÓ senx = 1 Ò [0,π) ¾ ½

266 senx = 1 x = π 6 Ý x = 5π º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ô Ø Ú ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò 6 ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÒ x = π 6 +kπ Ý x = 5π 6 +kπ, k Z. Ò ÓÒÐÙ Ò Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù Ò sen(5x) sen(3x) = cos(4x) Ú Ò Ò ÔÓÖ x = π 8 + kπ x = 3π 8 + kπ x = π 6 + kπ Ý x = 5π + kπ ÓÒ k ÙÒ Ò Ñ ÖÓ 6 ÒØ ÖÓº Ö Ó ÒÙ ÒØÖ ØÓ Ð ÓÐÙ ÓÒ Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º ½º cos x = sen x 1 º ¾º sen w 5cosw = cos w º º 3sen t = cos tº º secztanz = 0º º 4senx = cos(x) 1º º cos x = 3(1+senx)º º tant sect = cottº º sen(y +π/3) = sen(y +π/6)º ¾ ¾

267 Ä Ò Ä Ò Ö Ø Á Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ ÙÒ Ð Ò Ö Ø Ó Ö Ø Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ (x,y) R ÙÝ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÒ Ù Ò Ð Ø ÔÓ ax+by +c = 0 ÓÒ a b Ý c ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð ÓÒ a 0 b 0º Ø ÐØ Ñ Ù Ò ÓÒÓ ÓÒ Ð ÒÓÑ Ö ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÔÐ ÒÓº Ò Ð Ó ÙÒ Ö Ø ÕÙ ÒÓ Ú ÖØ Ð Ð ÓÓÖ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ô ÖØ Ò ÒØ Ð Ö Ø Ø Ò ÙÒ Ù Ò Ð Ø ÔÓ y = mx+b ÓÒ m Ý b ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð º Ä ÓÒ Ø ÒØ m ÐÐ Ñ Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø Ý Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ð Ö Ø ÓÒ Ð semieje x ÔÓ Ø ÚÓ Ñ Ó Ò ÒØ Ó ÒØ ÓÖ Ö Ó Ð semieje x ÔÓ Ø ÚÓ Ø ÒÓÒØÖ Ö ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ Ð Ö Ø Ú Ð ÙÖ º½µº Ä ÓÒ Ø ÒØ b Ð ÓÓÖ Ò y Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ Ð Ö Ø ÒØ Ö ÔØ Ð eje y ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø Ô Ö Ð Ù Ð x 0º ÄÐ Ñ ÑÓ ÒØ Ö ÔØÓ Ø ÓÒ Ø ÒØ º ÙÖ º½ Ä Ù Ò y = mx+b ÓÒÓ ÓÒ Ð ÒÓÑ Ö Ù Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÓÖÑ Ô Ò ÒØ ÒØ Ö ÔØÓº ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÙÒ Ð Ò Ö Ø Ø ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ó ÔÙÒØÓ Ø ÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ó Ö ÐÐ º ¾

268 ÙÖ º¾ Ë ÙÒ Ö Ø Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ P(x 1,y 1 ) Ý Q(x,y ) x 1 x ÔÓ ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð Ô Ò ÒØ m Ö Ø Ø ÔÓÖ m = tanα = y y 1 x x 1, ÓÒ α Ð Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ö Ø º Ç ÖÚ ÓÒ ½º Ä Ô Ò ÒØ m ÙÒ Ö Ø ÔÙ Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú Ó ÖÓº Ò Ð Ó ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð Ð Ô Ò ÒØ ÒÓ Ø Ò Ú Ð ÙÖ º µº y y y y x x x x m = 0 m > 0 m < 0 m inde nida ÙÖ º ¾º Ä Ô Ò ÒØ ÒÓ Ø Ò Ô Ö Ö Ø Ú ÖØ Ð Ý ÕÙ Ó ÔÙÒØÓ Ù Ð ÕÙ Ö Ó Ö ÙÒ Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x. Ä Ù Ò ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð Ð ÓÖÑ x = b ÓÒ b ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ º º Ä Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÑÔÖ Ù Ð 0º ÑÔÐÓ º½ Ä Ù Ò y = ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÒØ m = 0 ÕÙ ÓÖØ Ð y Ò Ð ÔÙÒØÓ (0,)º ËÙ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ (x,y) R Ø Ð ÕÙ y = º Ø Ö Ø ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖ x y = Ú Ð ÙÖ º µº ¾

269 ÙÖ º ÑÔÐÓ º¾ Ä Ù Ò x = 1 Ø Ò Ô Ò ÒØ Ò Ò Ý ÕÙ Ó ÔÙÒØÓ Ù Ð ÕÙ Ö Ó Ö ÙÒ Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò xº ËÙ Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ (x,y) R Ø Ð ÕÙ x = 1º Ø Ö Ø ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð Ý ÕÙ Ô Ö Ù ÐÕÙ Ö Ú ÐÓÖ y x = 1 Ú Ð ÙÖ º µº ÙÖ º ÑÔÐÓ º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ (1, 1) Ý ( 3,)º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ô Ò ÒØ m Ð Ö Ø y = mx+b ÑÔÐ Ò Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ (x 1,y 1 ) = (1, 1) Ý (x,y ) = ( 3,) m = y y 1 x x 1 = ( 1) 3 1 = 3 4. È Ö Ó Ø Ò Ö b Ø ÓÒ Ö ÑÔÐ Þ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ù Ò Ö Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð ÔÙÒØÓ (x 1,y 1 ) = (1, 1) Ò Ð Ù Ò y = 3 4 x + b Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ 1 = 3 4 (1) + b b = 1 º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ 4 Ô ÔÓÖ ÐÓ Ó ÔÙÒØÓ y = 3 4 x 1 4 Ú Ð ÙÖ º µº ¾

270 ÙÖ º ÑÔÐÓ º Ë Ð Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓP(3, 4) α = π 3 ÒÓÒØÖ Ö Ð Ù Ò Ö Ø º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ô Ò ÒØ m Ð Ö Ø y = mx + b Ô Ö ÐÐÓ Ø Ò ÑÓ ÔÖ ÒØ ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ö Ø α = π 3 m = tanα = tan π 3 = 3. È Ö Ó Ø Ò Ö b Ø ÓÒ Ö ÑÔÐ Þ Ö Ð ÔÙÒØÓ P Ò Ð Ù Ò Ö Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó P(3, 4) Ò Ð Ù Ò y = 3x + b Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ 4 = 3(3) + b b = 4 3 3º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÙÝÓ Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò α = π Ý Ô ÔÓÖ 3 Ð ÔÙÒØÓ P(3, 4) y = 3x Ú Ð ÙÖ º µº ÙÖ º ¾

271 Ä Ò Ä Ò Ö Ø ÁÁ Ë ÙÒ Ö Ø ÒÓ Ú ÖØ Ð Ù Ô Ò ÒØ Ð Ö Þ Ò ÒØÖ Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ú ÖØ Ð Ý Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ù Ò Ó Ô ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓØÖÓ Ó Ö Ð Ö Ø º m = ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ú ÖØ Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð. ÙÖ º½ Ò Ð ÙÖ º½ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ØÓÑ ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ P(x 1,y 1 ) Ý Q(x,y ) Ô Ö ÐÙÐ Ö ÐÓ ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ú ÖØ Ð Ý ÓÖ ÞÓÒØ Ð º Ö m = y y 1 x x 1 = y 1 y x 1 x. Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ð ÒØ Ö ÔØÓ (0,b) ÓÑÓ ÙÒÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð Ô Ò¹ ÒØ m = b y 1 0 x 1. Î ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ ÙÒ Ö Ø Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ P(x 1,y 1 ) Ý Q(x,y ), ÓÒ x 1 x ÓØÖ Ñ Ò Ö Ö Ö Ù Ù Ò y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ), ÕÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ y = mx+b, ÓÒ m = y y 1 x x 1, Ý b = y 1 y y 1 x x 1 x 1 º ¾

272 ÓÑÓ ÓÒ Ù Ò Ð Ó ÖÚ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò ÑÓ Ð ÖÑÙÐ ÔÙÒØÓ Ô Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(x 0,y 0 ) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ m ÑÔÐÓ º½ y y 0 = m(x x 0 ). Ö ÕÙ Ð Ö Ø L ÙÝ Ù Ò y = 3x º ËÓÐÙ Ò Ä Ö Ö Ø Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ (x,y) R Ø Ð ÕÙ y = 3x Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÑ (x,3x ) ÓÒ x Rº Ø Ö Ø Ø Ò Ô Ò ÒØ m = 3 Ý ÓÖØ Ð y Ò (0, )º ÓÑÓ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ø Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (0, ) Ô Ö Ö ÖÐ Ò Ø ÑÓ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö ÐÐ Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ y Ô Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ x 0. Ë x = 1, y = 3(1) = 1 Ý ÒØÓÒ Ð ÔÙÒØÓ (1,1) Ø Ñ Ò Ø Ó Ö Ø Ö Ø º ÓÒØ ÒÙ Ò Ù ÑÓ Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ (0, ) Ý (1,1) Ý ÓÒ ÙÒ Ö Ð ØÖ Þ ÑÓ Ð Ð Ò Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ó ÔÙÒØÓ Ú Ð ÙÖ º¾µº ÙÖ º¾ ÓÑÓ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø 3 ÓÒ Ö ÑÓ Ó ÔÙÒØÓ Ö ÒØ Ó Ö Ð Ö Ý Ñ ÑÓ Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ Ú ÖØ Ð ÒØÖ ÐÐÓ Ø Ð ØÖ ÔÐ Ð ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÒØÖ ØÓ ÔÙÒØÓ º ÑÔÐÓ º¾ À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(,4) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ 1º ËÓÐÙ Ò ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ P(,4) Ý Ð Ô Ò ÒØ m = 1 Ù ÑÓ Ð ÖÑÙÐ ÔÙÒØÓ Ô Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò Ð Ö Ø y 4 = 1(x ( )), y 4 = 1(x+), y = x +4, y = x+. ¾

273 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ô y = x+ Ú Ð ÙÖ º µº ÑÔÐÓ º ÙÖ º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ R( 1, ) Ý S(4,3) ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ô Ò ÒØ m Ð Ö Ø ÑÔÐ Ò Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ R( 1, ) ÝS(4,3) m = = 5 5 = 1. ÆÙ Ú Ñ ÒØ Ù Ö ÑÓ Ð ÖÑÙÐ ÔÙÒØÓ¹Ô Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò Ð Ö Ø º Ò Ø Ó ÔÓ ÑÓ ØÓÑ Ö Ð ÔÙÒØÓRÓ Ð ÔÙÒØÓS Ý ÐÐ ÑÓ Ð Ñ Ñ Ù Ò Ò ØÓ y ( ) = 1(x ( 1)), y + = x+1, y 3 = 1(x 4), y 3 = x 4, y = x 1. y = x 1. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ô y = x 1 Ú Ð ÙÖ º µº ÙÖ º ¾

274 Ö Ó ½º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (3, 1) Ý ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ 60 ÓÒ Ð Xº ¾º À ÐÐ Ö Ð Ô Ò ÒØ m Ý ÐÓ ÒØ Ö ÔØÓ b ÓÒ Ð yµ Ð Ù ÒØ Ö Ø µ 3x 5y 10 = 0º µ 4x+3y 18 = 0º µ 3x+y = 7º µ x 3y 5 = 0º º ÐÙÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P (,4) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ 1º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P ( 3,) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ 3 º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P (,4) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ 3º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P ( 4, 6) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ 5 7 º µ È ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 1, ) Ý (4,3)º µ È ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ (, ) Ý (5,)º µ È ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ (5, 1) Ý ( 4,3)º µ È ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ (,1) Ý ( 6,5)º µ Ä ÒØ Ö ÓÒ ÓÒ ÐÓ x Ý y ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÐÓ ÔÙÒØÓ (,0) Ý (0, 7)º ¾ ¼

275 Ä Ò ¼ Ä Ò Ö Ø ÁÁÁ Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ Ö Ø Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x 0,y 0 ) Ý ÙÒ Ö Ø L ÒÓ Ú ÖØ Ð ÓÒ Ù Ò ax+by+c = 0 ÕÙ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P Ð Ö Ø L Ú Ð ÙÖ ¼º½¹ ÞÕÙ Ö µº ÙÖ ¼º½ Ø Ø Ò Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÙÒ Ð ÔÙÒØÓ P Ý Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ö ÒÓ Ð Ó Ö Ð Ö Ø L Ú Ð ÙÖ ¼º½¹ Ö µº È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ø Ò Ù Ö ÑÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ º Ò Ð ÙÖ ¼º¾ ÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ ABQ Ý PQR ÓÒ Ñ ¹ ÒØ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ d L (P) PQ = PR PQ = AB AQ Ö È ÖÓ ÔÓÖ Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ d L (P) = PQ AB AQ. AQ = AB + QB = AB 1+ QB AB = AB 1+m, ÐÙ Ó d L (P) = PQ AB AB 1+m = PQ. 1+m ¾ ½

276 ÙÖ ¼º¾ Ð ÔÙÒØÓ Q Ø Ò ÓÓÖ Ò ( x 0,mx 0 b) c Ý m = aº ËÙ Ø ØÙÝ Ò Ó ØÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð b Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ y0 (mx 0 c b d L (P) = ) = y 0 ( ax ) b 0 c b m +1 (. a b) +1 Ë ÑÔÐ Ò Ó Ð ÜÔÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x 0,y 0 ) Ð Ö Ø ÒÓ Ú ÖØ Ð L ÓÒ Ù Ò ax+by +c = 0 Ø Ó ÔÓÖ d L (P) = ax 0 +by 0 +c a +b. ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ó Ù Ò Ó b = 0 Ö Ø Ú ÖØ Ðµ Ö Ù Ò Ó Ð Ù Ò Ð Ö Ø L ax+c = 0 a 0µ x = c a. ÙÖ ¼º Ä Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P(x 0,y 0 ) Ð Ö Ø L Ø ÔÓÖ Ð Ø Ò ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ P Ý R Ú Ð ÙÖ ¼º µ d L (P) = x 0 + c = ax 0 +c a a ¾ ¾ = ax 0 +by 0 +c a +b.

277 Ò ÐÑ ÒØ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P(x 0,y 0 ) Ð Ö Ø L ÓÒ Ù Ò ax+by +c = 0 Ø Ó ÔÓÖ d L (P) = ax 0 +by 0 +c a +b. ÑÔÐÓ ¼º½ À ÐÐ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P(8, 4) Ð Ö Ø x+3y = 6º ÙÖ ¼º ËÓÐÙ Ò ÑÔÐ Ò Ó Ð ÖÑÙÐ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P(8, 4) Ð Ö Ø x+3y 6 = 0 d = (8)+3( 4) 6 = 34. ( ) ÑÔÐÓ ¼º¾ À ÐÐ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓP(, 5) Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ (5, 1) Ý( 3,6)º ÙÖ ¼º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ ÐÙÐ ÑÓ Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÓÖÑ Ô Ò ÒØ ÒØ Ö ÔØÓ y = mx+bº Ä Ô Ò ÒØ m Ø ÔÓÖ m = ( 3) = 7 8. ¾

278 È Ö Ó Ø Ò Ö b Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ (5, 1) Ò Ð Ù Ò y = 7 x+b Ý Ó Ø Ò ÑÓ 8 ÕÙ 1 = 7 7 (5)+b Ö b = º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÓÖÑ 8 8 Ô Ò ÒØ ÒØ Ö ÔØÓ y = 7 8 x + 7 Ý Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÓÖÑ Ò Ö Ð 8 7x+8y 7 = 0º ÓÖ ÑÔÐ Ò Ó Ð ÖÑÙÐ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P(, 5) Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ (5, 1) Ý ( 3,6) d = 7()+8( 5) = Ö Ó ½º À ÐÐ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö Ø Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó µ 4x 3y 6 = 0 (0,0)º µ 3x 4y 8 = 0 (,3)º ¾º À ÐÐ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ P( 4,1) ÙÒ Ð Ö Ø ÕÙ ÙÑÔÐ ÓÒ Ð ÓÒ ÓÒ µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P (,4) Ý Ø Ò Ô Ò ÒØ 1º µ È ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ R( 1, ) Ý S(4,3)º ¾

279 Ä Ò ½ Ä Ò Ö Ø ÁÎ Ù Ò Ó Ö ÑÓ Ó Ö Ø L 1 Ý L Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ ÒÓ ÒÓÒØÖ ÑÓ ÓÒ ÙÒÓ Ý ÐÓ ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó µ Ä Ö Ø L 1 Ý L Ø Ò Ò ØÓ Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Ò Ö ÙÒ ÑÓÒØ ÓÑÔÐ ¹ Ø Ñ ÒØ Ó Ö Ð ÓØÖ º Ù Ò Ó ØÓ Ù ÑÓ ÕÙ L 1 Ý L ÓÒ Ó Ò ÒØ º µ Ä Ö Ø L 1 Ý L ÒÓ ÔÓ Ò ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Ò Ö ÒÙÒ ÓÖØ Òº Ò Ø Ó ÑÓ ÕÙ L 1 Ý L ÓÒ Ô Ö Ð Ð Ý Ö ÑÓ L 1 L º µ Ä Ö Ø L 1 Ý L Ø Ò Ò ÙÒ Ò Ó ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Ò P º Ò Ó Ó ÑÓ ÕÙ L 1 Ý L ÓÖØ Ò Ó ÒØ Ö ÔØ Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ P º µ Ê Ø Ó Ò ÒØ µ Ê Ø Ô Ö Ð Ð µ Ê Ø ÕÙ ÒØ Ö ÔØ Ò ÙÖ ½º½ Ò Ð ØÙ Ò µ Ù Ò Ó Ð Ö Ø Ð ÓÖØ Ö ÓÖÑ Ò 4 Ò ÙÐÓ Ö ØÓ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ø L 1 Ý L ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ý Ö ÑÓ L 1 L º Ö Ñ ÒØ Ó ØÙÑ Ö Ù Ö ÙÒ Ô ÕÙ Ó Ù Ö Ó Ô Ö Ò Ö Ð ÔÖ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ Ö ØÓ Ú Ð ÙÖ ½º¾µº ÙÖ ½º¾ ¾

280 ÄÓ ÓÒ ÔØÓ Ô Ö Ð Ð ÑÓ Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÒØÖ Ó Ö Ø ÔÙ Ò ØÙ Ö ÑÙÝ ÐÑ ÒØ Ò Ó Ù Ó Ù Ô Ò ÒØ º ÓÒØ ÒÙ Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð Ó Ù Ò Ó Ð Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ð Ð º Ê Ø Ô Ö Ð Ð Ë Ò L 1 Ý L Ó Ö Ø Ø ÒØ ÒÓ Ú ÖØ Ð ÓÒ Ô Ò ÒØ m 1 Ý m Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ð Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø Ð Ø Ò ÒØ Ù Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ L 1 Ý L ÓÒ Ô Ö Ð Ð Ù Ô Ò ÒØ ÓÒ Ù Ð º L 1 L Ý ÐÓ m 1 = m. Ð Ö ÓÖ Ö Ð ÓÖÑ Ô Ò ÒØ ÒØ Ö ÔØÓ Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ô Ö ÕÙ Ó Ö Ø Ò Ô Ö Ð Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÕÙ Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y Ò Ø ÒØÓ º Ù Ò Ó Ó Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ Ô Ò ÒØ Ý Ð Ñ ÑÓ ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y ÐÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ô Ö Ö Ø Ó Ò ÒØ º À ÑÓ ÜÐÙ Ó Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð Ý ÕÙ Ø ÒÓ ÔÓ Ò Ô Ò ÒØ º ÓÒ Ö Ô ØÓ Ø Ø ÔÓ Ö Ø ÔÓ ÑÓ Ö ÕÙ Ó Ö Ø Ú ÖØ Ð Ø ÒØ ÓÒ ÑÔÖ Ô Ö Ð Ð º ÑÔÐÓ ½º½ À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(,1) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 3, ) Ý B(4,)º ËÓÐÙ Ò ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ L 1 Ð Ö Ø Ô Ý ÔÓÖ L Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 3, ) Ý B(4,) Ú Ð ÙÖ ½º µº ÙÖ ½º Ë m 1 Ð Ô Ò ÒØ L 1 Ý m Ð Ô Ò ÒØ L ÒØÓÒ Ô Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ò Ô Ö Ð Ð ÑÓ Ø Ò Ö ÕÙ m 1 = m º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø L 1 ¾

281 Ð Ñ Ñ Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø L Ý Ø ÐØ Ñ Ô Ò ÒØ Ð ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ù Ò m = y y 1 x x 1, ÓÒ (x 1,y 1 ) = ( 3, ) Ý (x,y ) = (4,)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ m = ( ) 4 ( 3) = 4 7. ÄÙ Ó m 1 = m = 4 7 º Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ P (,1) Ý Ð Ô Ò ÒØ m 1 = 4 7 Ù ÑÓ Ð ÖÑÙÐ ÔÙÒØÓ¹Ô Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò L 1 y 1 = 4 7 (x ( )), y 1 = 4 7 (x+), y = 4 7 x , y = 4 15 x ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ô y = 4 15 x+ 7 7 º Ö Ó À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º Ù ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ØÙ Òº ½º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓP(,1) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 3, ) Ý B(4,)º ¾º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Q( 1,3) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,3) Ý B(3, 1)º º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(3,1) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÙÝÓ ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ ÐÓ x Ý y ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý 1º º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ R(1, ) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÙÝÓ ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ ÐÓ x Ý y ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ 3 Ý 4º ¾

282 ¾

283 Ä Ò ¾ Ä Ò Ö Ø Î ÑÔÐÓ ÓÒ Ð ÑÔÐÓ ¾º½ À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P ( 3,1) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò 4x+3y = 1º ËÓÐÙ Ò ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ L 1 Ð Ö Ø Ô Ý ÔÓÖ L Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò 4x+3y = 1 Ú Ð ÙÖ ¾º½µº ÙÖ ¾º½ Ë m 1 Ð Ô Ò ÒØ L 1 Ý m Ð Ô Ò ÒØ L ÒØÓÒ Ô Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ò Ô Ö Ð Ð ÑÓ Ø Ò Ö ÕÙ m 1 = m º ÈÓ ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ m Ô Ò Ó Ð Ú Ö Ð y Ò Ð Ù Ò L Ý Ð Ý Ò Ó Ð Ó ÒØ Ð Ú Ö Ð x Ð Ù Ð Ö Ð ¾

284 Ô Ò ÒØ m º Î ÑÓ 4x+3y = 1, 3y = 4x+1, y = 4 1 x+ 3 3, y = 4 3 x+4. ÄÙ Ó m 1 = m = 4 3 º Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ P ( 3,1) Ý Ð Ô Ò ÒØ m 1 = 4 3 Ù ÑÓ Ð ÖÑÙÐ ÔÙÒØÓ¹Ô Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò L 1 y 1 = 4 3 (x ( 3)), y = 4 3 (x+3)+1, y = 4 3 x 4+1, y = 4 3 x 3. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ô y = 4 3 x 3º ÑÔÐÓ ¾º¾ Í Ð ÒÓ Ò Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓA( 3, 4) B( 1, 1) Ý C(3,5) ÓÒ ÓÐ Ò Ð Ó ÒÓ Ö Ø Ò Ó ÒÓ Ó Ö Ð Ñ Ñ Ö Ø º ËÓÐÙ Ò È Ö Ù Ö Ö Ð Ñ Ò Ö Ñ Ð Ö ÓÐÚ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÕÙ ÑÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ ÔÙÒØÓ Ò Ð ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ú Ð ÙÖ ¾º¾µº ÙÖ ¾º¾ ¾ ¼

285 Ë L 1 Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A Ý B ÓÒ Ô Ò ÒØ m 1 Ý L Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ B Ý C ÓÒ Ô Ò ÒØ m º È Ö ÕÙ ØÓ ØÖ ÔÙÒØÓ Ò ÓÐ Ò Ð Ð Ö Ø L 1 Ý L Ò Ö Ó Ò ÒØ Ö Ò Ø Ò Ö Ð Ñ Ñ Ù Òº ÓÑÓ Ñ Ö Ø Ø Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Ò Ð ÔÙÒØÓ Bµ Ô Ö Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ Ù Ò Ø ÓÒ Ú Ö Ù Ö ÐÐ Ø Ò Ò Ù Ð Ô Ò ÒØ º Î ÑÓ Ý m 1 = 1 ( 4) 1 ( 3) = = 3, m = 5 ( 1) 3 ( 1) = = 6 4 = 3. ÄÙ Ó m 1 = m Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ L 1 Ý L ÓÒ Ó Ò ÒØ ÓÒ ÐÓ Ù Ð ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ A B Ý C ÓÒ ÓÐ Ò Ð º ÑÔÐÓ ¾º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P( 1,3) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò x = º ËÓÐÙ Ò Ò Ø Ó Ú ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò x = ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ð Ò Ö Ø Ú ÖØ Ð Ý ÔÓÖ Ø Ö Þ Ò ÒÓ ÔÓ Ô Ò ÒØ º Ó ØÓ ÒÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ù Ó Ð Ö Ø Ö Ó ÙØ Ð Þ Ó Ò ÐÓ ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÓÖ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÔÓ Ð Ö ÓÐÚ Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓ ÑÓ Ù ÒØ ÕÙ ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô Ö Ð Ð ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÔÖ Ñ ÒØ ÓØÖ Ö Ø Ú ÖØ Ðº È Ö Ð ØÙ Ò ÕÙ Ø Ò ÑÓ Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P( 1,3) ÕÙ ÐÐ ÓÒ Ù Ò x = 1 Ú Ð ÙÖ ¾º µº ÙÖ ¾º Ö Ó ½º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º Ù ÓÑÔÐ Ø ¹ Ñ ÒØ ØÙ Òº ¾ ½

286 µ ÖÙÞ Ð y Ò y = 6 Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø x+3y +4 = 0º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø 3y + 1x = 7 ÓÒ Ð y Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,0) Ý B(1,)º ( ) 1 µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P, Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø 4x 8y = 1º 3 µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(1, ) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò y 3 = 0º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P( 3,0) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò x+1 = 0º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(,3) Ý Ô Ö Ð Ð Ð xº µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Q( 1,3) Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,3) Ý B( 5, 1)º ¾º ÑÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 4,3) B(,6) C( 6, 3) Ý D(4,) ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ ØÖ Ô Óº º ÑÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5, 1) B( 4,) C(0,4) Ý D( 1,1) ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº º Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ Ó ÓÒ ÓÐ Ò Ð Ó ÒÓº µ A(, 1) B(0,) Ý C(3,4)º µ A( 3,) B( 1,1) Ý C(3, 1)º µ A( 4,3) B( 1,) Ý C(4,1)º µ A( 6,1) B(,) Ý C(6,3)º º À ÐÐ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÒ Ø ÒØ a Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ 5ax+6y = 1 Ý 3ay +10x = 1 Ò Ô Ö Ð Ð º º À ÐÐ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÒ Ø ÒØ a Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ 5ax+6y = 1 Ý 3ay +10x = 1 Ò Ó Ò ÒØ º ¾ ¾

287 Ä Ò Ä Ò Ö Ø ÎÁ Ê Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ë Ò L 1 Ý L Ó Ö Ø ÒÓ Ú ÖØ Ð ÓÒ Ô Ò ÒØ m 1 Ý m Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ð Ô Ò ÒØ ÙÒ Ö Ø Ð Ø Ò ÒØ Ù Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ L 1 Ý L ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ô Ò ÒØ Ù Ð 1º L 1 L Ý ÐÓ m 1 m = 1. Ì Ð Ý ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ Ô Ö Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ò Ð Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÜÐÙ ÑÓ Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð Ý ÕÙ Ø ÒÓ ÔÓ Ò Ô Ò ÒØ º ÓÒ Ö Ô ØÓ Ø Ø ÔÓ Ö Ø ÔÓ ÑÓ Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ø Ú ÖØ Ð ÑÔÖ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ù ÐÕÙ Ö Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ý Ú Ú ÖÞ º ÑÔÐÓ º½ À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(3,) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A(1,1) Ý B(5, 1)º ËÓÐÙ Ò ÙÖ º½ ¾

288 Ë Ò L 1 Ð Ö Ø ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ý L Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A Ý Bº ÒÓØ ¹ ÑÓ ÔÓÖ m 1 Ý b 1 Ð Ô Ò ÒØ Ý Ð ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y Ð Ö Ø L 1 Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ö Ð Ù Ò L 1 y = m 1 x+b 1 º Ñ ÑÓ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ m Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø L º ÑÔÐ Ò Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ (x 1,y 1 ) = (1,1) Ý (x,y ) = (5, 1) ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö m Ó Ø Ò Ò Ó ÕÙ m = = 4 = 1. Ë ÑÓ ÕÙ L 1 L Ý ÐÓ m 1 m = 1 ØÓ m 1 = 1 m = 1 1 Ð Ù Ò L 1 y = x+b 1 º Ð Ú ÐÓÖ Ð ÒØ Ö ÔØÓ b 1 Ó Ø Ò Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö Ð ÔÙÒØÓ P(3,) Ò Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ö = (3)+b 1 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ b 1 = 4 Ý Ð Ù Ò Ð Ö Ø L 1 y = x 4º ÑÔÐÓ º¾ À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P ( 1, 3) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò 4x 8y = 1º ËÓÐÙ Ò =. ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ L 1 Ð Ö Ø Ô Ý ÔÓÖ L Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò 4x 8y = 1º ÙÖ º¾ Ë m 1 Ð Ô Ò ÒØ L 1 Ý m Ð Ô Ò ÒØ L ÒØÓÒ Ô Ö ÕÙ Ø Ö Ø Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÑÓ Ø Ò Ö ÕÙ m 1 m = 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø L 1 Ð ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ù Ò m 1 = 1 m. ¾

289 Ë ÐÓ Ö Ø ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ m Ý Ô Ö Ø Ð Ò ÐÓ ÕÙ ÑÓ Ö Ô Ö Ð Ú Ö Ð y Ò Ð Ù Ò L Ý Ð Ö ØÓ Ð Ó ÒØ Ð Ú Ö Ð x Ö Ð Ô Ò ÒØ m º Î ÑÓ 4x 8y = 1, 8y = 4x+1, y = 4 8 x+ 1 8 y = 1 x 1 8. ÄÙ Ó m = 1 Ý m 1 = 1 1 =. Ò ÐÑ ÒØ ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ P ( 1 3), Ý Ð Ô Ò ÒØ m1 = Ù ÑÓ Ð ÖÑÙÐ ÔÙÒØÓ¹ Ô Ò ÒØ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò L 1 y ( ) 3 ( = ( ) x 1 ), y + 3 = x+, y = x+1 3, y = x ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ô y = x+ 1 3 º Ö Ó ½º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º Ö ÕÙ ÓÑÔÐ Ø ¹ Ñ ÒØ ØÙ Òº µ ÖÙÞ Ð y Ò y = 6 Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø x+3y +4 = 0º ( ) 1 µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P, Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø 4x 8y = 1º 3 µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(,1) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 3, ) Ý B(4,)º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Q(,4) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø 5x 7y = º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Q( 1,3) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,3) Ý B(3, 1)º ¾

290 µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø 3y + 1x = 7 ÓÒ Ð y Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,0) Ý B(1,)º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(1, ) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò y 3 = 0º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P( 3,0) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù Ò x+1 = 0º µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P(,3) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð xº µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ R(, 5) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð yº µ È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Q( 1,3) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,3) Ý B( 5, 1)º ¾º Ë a Ý b ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÒÓ ÒÙÐ ÔÖÙ ÕÙ Ð Ö Ø ax+by = c Ý bx ay = d ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÓÒ c Ý d ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ù Ð ÕÙ Ö º º À ÐÐ Ð Ú ÐÓÖ Ð ÓÒ Ø ÒØ a Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ 3ax+8y = 5 Ý y 8ax = 1 Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º Ö ÕÙ Ð Ó Ö Ø º ¾

291 Ä Ò Ä Ò Ö Ø ÎÁÁ ÑÔÐÓ ÓÒ Ð ÑÔÐÓ º½ ÑÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ A( 3,) B( 1,5) Ý C(5,1) ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓº ËÓÐÙ Ò ÙÖ º½ Ä ÙÖ º½ Ù Ö ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ Ö ØÓ Ô Ö Ø Ö Ò Ð Ú ÖØ Bº Ë L 1 Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ A Ý B Ý L Ð Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ B Ý Cº È Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò B Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ L 1 Ô ÖÔ Ò¹ ÙÐ Ö L º È Ö Ø Ð Ò ÐÙÐ ÑÓ Ð Ô Ò ÒØ m 1 Ý m Ð Ö Ø L 1 Ý L Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý m 1 = 5 1 ( 3) = = 3, m = ( 1) = = 4 6 = 3. ¾

292 ( )( 3 ÓÑÓ m 1 m = ) = 1 ÒØÓÒ L 1 L Ý ÔÖÓ ÑÓ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ 3 ABC Ö Ø Ò ÙÐÓ Ò Ð Ú ÖØ Bº ýò ÙÐÓ ÒØÖ Ö Ø ÓÒ Ö ÑÓ Ó Ð Ò Ö Ø L 1 Ý L ÕÙ ÒÓ ÓÒ Ô Ö Ð Ð Ö Ó ÓÖØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÓÒ Ó Ò ÒØ º Ò ÑÓ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø L 1 Ý L ÓÑÓ Ð Ñ ÒÓÖ ÐÓ 4 Ò ÙÐÓ ÕÙ ÐÐ ÓÖÑ Ò Ð ÓÖØ Ö Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÓÑÓ ÖÓ Ò Ð Ó Ö Ø Ó Ò ÒØ º ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ θ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø L 1 Ý L º ÒØÓÒ 0 θ 90 º Ë ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖα 1 Ð Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ö Ø L 1 Ý ÔÓÖα Ð Ò ÙÐÓ ÒÐ Ò Ò Ð Ö Ø L ÒØÓÒ α 1 α = ±θ Ú Ð ÙÖ º¾µº ÙÖ º¾ ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ø ÒÓ ÓÒ Ú ÖØ Ð º Ë Ð Ö Ø ÒÓ ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ö θ 90 ÒØÓÒ tan(±θ) = tan(α 1 α ), ±tanθ = tanα 1 tanα 1+tanα 1 tanα. ÄÙ Ó tanθ = tanα 1 tanα 1+tanα 1 tanα. Ë m 1 Ý m ÓÒ Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø L 1 Ý L Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÒØÓÒ Ø Ñ Ò Ø Ò ÑÓ ÕÙ tanθ = m 1 m 1+m 1 m. º½µ ¾

293 ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÖÑÙÐ º½µ Ö ÕÙ Ö ÕÙ m 1 m 1 ÐÓ Ù Ð Ø Ö ÒØ Þ Ó Ý ÕÙ L 1 Ý L ÒÓ ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º ÑÔÐÓ º¾ À ÐÐ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ y = x+1 Ý y = 5x º ËÓÐÙ Ò Î ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ò ÒØ m 1 Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ý Ð Ô Ò ÒØ m Ð ÙÒ 5º ÓÑÓ 5 1 ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ð ÖÑÙÐ º½µ Ô Ö ÐÐ Ö Ð Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ θ ÒØÖ Ø Ö Ø tanθ = = 3 11 = Í ÑÓ ÙÒ ÐÙÐ ÓÖ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÕÙ ( ) 3 θ = tan ÄÙ Ó Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð 15.6 º ÙÖ º Ö Ó ½º ÑÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 1,3) B(3,4) Ý C(5, 4) ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ ØÖ Ò¹ ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓº ¾º ÑÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 5,1) B(,4) C( 1, 3) Ý D(,0) ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓº ¾

294 º ÑÙ ØÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ A( 3,0) B(,) C( 1, 1) Ý D(0,1) ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ ÙÒ Ù Ö Óº ÑÙ ØÖ Ñ ÕÙ Ù ÓÒ Ð ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º º Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ô Ö Ö Ø Ò Ð ÙÒÓ Ó Ò Ö Ó Ù Ö Ð ÐÙÐ ÓÖ µº Ö ÕÙ Ð Ô Ö Ö Ø Ý Ú Ö ÕÙ ÓÒ ÙÒ ØÖ Ò ÔÓÖØ ÓÖ Ù Ö ÔÙ Ø º µ y 4x = 10 Ý 3x 9y = 1º µ x+15y = 1 Ý 10x+3y = 4º µ x 3y = Ý y = 5x+1º µ y +4x = 1 Ý x+y = 8º µ 7y x = 5 Ý 6x 1y = 15º µ x = 1 Ý y = 0º ¾ ¼

295 Ä Ò Ä Ò Ö Ø ÎÁÁÁ ÑÔÐÓ ÓÒ Ð ÑÔÐÓ º½ Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ Ô Ö Ð Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ó Ò Ò ÙÒ Ð ÒØ Ö ÓÖ º Ù Ò Ó Ð Ö Ø ÒÓ Ò Ô Ö Ð Ð ÐÐ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ ÐÐ º ½º L 1 : x+5y = 1 Ý L : 10x+5y = 4º ¾º L 1 : x 3y = 1 Ý L : y +3x = 5º º L 1 : y +3x = 7 Ý L : x+y = 3º º L 1 : 7y x = 5 Ý L : 6x 1y = 15º ËÓÐÙ Ò ½º Ô ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ù ÓÒ Ð Ú Ö Ð yº L 1 x+5y = 1, 5y = x 1, y = x 1, 5 y = 5 x 1 5. È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 5 1º 5 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y ¾ ½

296 L 10x+5y = 4, 5y = 10x+4, y = 10x+4, 5 y = 10 5 x+ 4 5, y = 5 x È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 5 4 º 5 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y Ç ÖÚ ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ù Ð Ô Ò ÒØ Ô ÖÓ Ø ÒØÓ ÒØ Ö¹ ÔØÓ ÓÒ Ð y ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ð Ð º ¾º Ô ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ù ÓÒ Ð Ú Ö Ð yº L 1 x 3y = 1, 3y = x 1, y = x 1, 3 y = 1 3 x È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 1 3 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y 1 3 º L y +3x = 5, y = 3x+5. È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 3 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y 5º Ì Ò ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ô Ö Ø Ö Ø Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ô Ò ÒØ ( 1 3) ( 3) = 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ö Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º Ò Ø Ó Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø 90 º º Ô ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ù ÓÒ Ð Ú Ö Ð yº L 1 y +3x = 7, y = 3x+7. È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 3 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y 7º ¾ ¾

297 L x+y = 3, y = x 3, y = x 3, y = 1 x 3. È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 1 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y 3 º Ç ÖÚ ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ô Ò ÒØ Ø ÒØ Ý ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ô Ò ÒØ ÒÓ Ù Ð 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ö Ø ÒÓ ÓÒ Ò Ó Ò ÒØ Ò Ô Ö Ð Ð Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö º È Ö ÐÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ θ ÒØÖ Ð Ö Ø ÔÓ ÑÓ Ù Ö Ð ÖÑÙÐ º½µº ÒØÓÒ 3 1 tanθ = ) 1+( 3) (1 = 7 = 7 = 7. Í ÑÓ ÙÒ ÐÙÐ ÓÖ Ô Ö ÒÓÒØÖ Ö ÕÙ 1 3 θ = tan 1 (7) ÄÙ Ó Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ Ù Ð º º Ô ÑÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ù ÓÒ Ð Ú Ö Ð yº L 1 7y x = 5, 7y = x 5, y = x 5, 7 y = 7 x 5 7. È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 7 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y 5 7 º L 6x 1y = 15, 1y = 6x+15, y = 6x+15, 1 y = 6 15 x 1 1, y = 7 x 5 7. È Ö Ø Ö Ø Ú ÑÓ ÕÙ Ù Ô Ò ÒØ 7 Ý Ù ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y 5 7 º ¾ 1

298 Ç ÖÚ ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ù Ð Ô Ò ÒØ Ù Ð ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ º Ò Ø Ó Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð Ö Ø 0 º Ö Ó ½º È Ö ÒÙÑ Ö Ð Ð ÑÔÐÓ Ð ÔÖ ÒØ Ð Ò Ù Ð Ô Ö Ö Ø Ý ÓÒ ÖÑ Ö Ñ ÒØ ÐÓ Ó Ø Ò Ó Ò Óº ¾º Ò ÙÒÓ ÐÓ Ù ÒØ Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ó Ò ¹ ÒØ Ô Ö Ð Ð Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ó Ò Ò ÙÒ Ð ÒØ Ö ÓÖ º Ù Ò Ó Ð Ö Ø ÒÓ Ò Ô Ö Ð Ð ÐÐ Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ ÐÐ º Ñ Ù Ñ Ö Ø Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓº µ 3x+7y = 1 Ý 6x 14y = 5º µ 10y 6x = 4 Ý 3x 5y = º µ x 5y = 3 Ý y = 5x+3º µ y +3x = 7 Ý 6x y = 1º µ 7y x = 5 Ý 6x 1y = 15º µ 3x 11y = Ý y +5x = 1º µ 11x y = 1 Ý 6y 33x = 7º µ x+ = 1 Ý y = 3º µ y = Ý y 3 = 0º µ x 7y = 3 Ý 35y 10x = 15º µ x = 3 Ý x = 1º е y = Ý y = x 1º Ë ÓÖØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓº θ = 45 º ¾

299 Ä Ò Ä ÖÙÒ Ö Ò Á Ò Ò Ý Ù Ò Ä ÖÙÒ Ö Ò ÙÒ ÙÖÚ ÓÖÑ ÔÓÖ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð ÕÙ Ù Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó C ÐÐ Ñ Ó ÒØÖÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú r > 0º ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú r ÒÓÑ Ò Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò º È Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÔÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÓÑÓ ÐÓ Ò Ð ÙÖ º½º ÙÖ º½ Ð ÑÓ ÙÒ Ù Ö ÐÓÒ ØÙ r > 0º Ë ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ð Ù Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ Cº Ä ÙÖÚ ÕÙ Ö Ð ÑÓÚ Ö Ð ÔÙÒØ Ð Ð Ô Þ Ñ ÒØ Ò Ò Ó Ø Ò ÓÒ Ð Ù Ö ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ C Ý ÓÒ Ö Ó rº Î ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÑÓ ÒÙ ØÖ Ð Ù Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò º ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ C = (h,k) Ö Ó r > 0 Ý P = (x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò º ÓÑÓ P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ø Ò Ð ÒØÖÓ C Ö Ù Ð rº ÈÓÖ ¾

300 Ð ÖÑÙÐ Ð Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ d(p,c) = r (x c) +(y k) = r. Ë Ð Ú ÑÓ Ð Ù Ö Ó Ñ Ó Ð Ó Ò Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ (x c) +(y k) = r. º½µ Ä Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (h,k) Ý Ö Ó rº Ù Ò Ó Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò Ö Ù Ò Ó C = (0,0) Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÑÔÐ Ý Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ ÜÔÖ Ò x +y = r. º¾µ Î ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Ò ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ù¹ Ò Ö Ø Ö Ø Ð Ö ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò (0,0) Ý Ö Ó r > 0 Ò Ø Ó Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ý Ó ÖÚ Ò Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Ø º Ë Ñ ØÖ Ç ÖÚ ÕÙ Ò Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò x +y = r, Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö x ÔÓÖ x Ó y ÔÓÖ y Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ñ Ñ Ù Ò Ý ÕÙ ( x) = x Ý ( y) = y º ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò (0,0) Ñ ØÖ Ö Ô ØÓ Ð y Ý Ð xº ÁÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ ÐÓ Ë ÑÓ x = 0 Ò Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ó Ø Ò ÕÙ y = r. Ø Ù Ò Ø Ò Ó ÓÐÙ ÓÒ y = r Ý y = r ÐÓ Ù Ð Ò ÕÙ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò (0,0) ÒØ Ö ÔØ Ð y Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ A 1 = (0,r) Ý A = (0, r)º Ç ÖÚ ÕÙ Ð ÒØÖÓ C Ö ÙÐØ Ö Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ ØÓ Ó ÔÙÒØÓ º ¾

301 ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó ÑÓ y = 0 Ò Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ó Ø Ò ÑÓ x = r. Ù Ò Ø Ò Ó ÓÙ ÓÒ x = r Ý x = rº Ø Ñ Ò Ö ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÒØ Ö ÔØ Ð x Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ B 1 = ( r,0) Ý B = (r,0)º Ñ ÒØÓ Ö Ø ÕÙ ÙÒ Ó ÔÙÒØÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ý Ô ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ Ð ÒÓÑ Ò Ñ ØÖÓ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ñ ÒØÓ A 1 A ÙÒ Ñ ØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò º Ä ÙÖ º¾ ÑÙ ØÖ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (0,0) Ý Ö Ó rº ÙÖ º¾ ÑÔÐÓ º½ ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P = (1,5)º ËÓÐÙ Ò È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÑÓ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒØÖÓ C Ý Ð Ö Ó rº Ð Ô Ø Ð ÑÔÐÓ ÑÓ ÕÙ C = (0,0)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÓÐÓ ÒÓ ÐØ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ö Ó r Ð ÖÙÒ Ö Ò º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ d(p,c) = r Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ö Ð ÖÑÙÐ Ð Ø Ò ÒØÖ Ó ÔÙÒØÓ Ø Ò ÑÓ ÕÙ r = d(p,c) = d((0,0),(1,5)) = (5 0) +(1 0) = 6. ¾

302 ÓÑÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ø ÒØÖ Ò C = (0,0) Ý Ù Ö Ó r = 6 Ù Ò Ó Ð ÜÔÖ Ò º½µ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ù Ù Ò ÑÔÐÓ º¾ x +y = 6. À ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ý ÔÙÒØÓ ÒÓØ Ð Ð ÖÙÒ Ö Ò ÔÓÖ Ð Ù Ò ËÓÐÙ Ò x +y 0 = 0. Ç ÖÚ ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ö Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÑÓ Ù (x) +(y) = ( 0) ). Ô ÖØ Ö Ø Ù Ò ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (0,0) Ý Ö Ór = 0º ÄÓ ÔÙÒØÓ ÒÓØ Ð Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ù ÒØ ÓÓÖ Ò A 1 = (0, 0) Ý A = (0, 0º B 1 = ( 0,0) Ý B = ( 0,0)º Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝ Ù Ò Ø ÔÓÖ x +y = 144 ¾º ÌÖ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÙÒ Ó ÑÔÐÓ Ô ÖØ Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒÓØ Ð ÒÓÒØÖ Ó º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÙÝ ÐÓÒ ØÙ ÙÒÓ Ù Ñ ØÖÓ Ù Ð ¾ º Ö ÕÙ ÖÙÒ Ö Ò º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÜØÖ ÑÓ ÙÒÓ Ù Ñ ØÖÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ù Ó Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ P 1 = (3,4) Ý P = ( 3, 4)º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÒØÖÓ Ø Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ Ð Ö Ø y = 1+x ÓÖØ Ð y Ý ÓÒ Ö Ó Ù Ð ¾º ¾

303 Ä Ò Ä ÖÙÒ Ö Ò ÁÁ Ò Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ù ÑÓ Ð Ù Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ C = (h,k) Ý Ö Ó r > 0º È Ö Ð Ó Ò ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ØÓ C = (0,0) ÑÓ ØÖ ÑÓ ÓÑÓ ÒÓÒØÖ Ò ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð ÖÙÒ Ö Ò Ý Ù Ö º Î ÑÓ ÓÖ ÕÙ Ô Ù Ò Ó Ð ÒØÖÓ ÒÓ Ð ÔÙÒØÓ P = (0,0)º Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (h,k) Ý Ö Ó r ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó r ÙÝÓ ÒØÖÓ Ø Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ (h,k)º ÓÑÓ Ù Ó Ò Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ð Ù Ò Ø ÖÙÒ Ö Ò (x h) +(y k) = r. Ò Ø Ó Ð ÓÖÑ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ð Ð Ð Ó Ò ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð ÔÙÒØÓ (0,0) Ý ÔÙ Ú Ö Ö ÐÑ ÒØ Ù Ò Ó Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒÓØ Ð C A 1 A B 1 Ý B Ø Ò Ò Ð Ù ÒØ ÓÓÖ Ò C = (h,k)º A 1 = (h,k +r) Ý A = (h,k r)º B 1 = (h r,k) Ý B = (h+r,k)º È Ö Ø Ó Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÔÖ ÒØ Ò Ð Ù ÒØ ÙÖ º½º ¾

304 ÙÖ º½ Ç ÖÚ ÕÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ö Ø ÖÖ ÓÒ Ù Ò (x h) +(y k) = r, ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ØÖ Ð Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ Ù Ò x + y = r ÙÝÓ ÒØÖÓ Ù Ò Ð ÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ C = (h,k) ÕÙ Ö Ð ÒØÖÓ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò º ÑÔÐÓ º½ À ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝ Ù Ò Ø ÔÓÖ x +y +4x 16 = 0. º½µ ËÓÐÙ Ò ÓÑ ÒÞ ÑÓ Ö Ö Ò Ó Ð Ù Ò º½µ ÙÒ Ñ Ò Ö ÔÖÓÔ Ý Ô Ö ÐÐÓ ¹ ÑÓ ÓÑÔÐ Ø Ö ÐÓ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ Ð Ù ÒØ Ñ Ò Ö x +y +4x 16 = 0 x +y +x 8 = 0 (x +x+1)+y 8 1 = 0 (x+1) +y = 9 (x+1) +y = 3. Ô ÖØ Ö Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = ( 1,0) Ý Ö Ó r = 3º ÄÓ ÔÙÒØÓ ÒÓØ Ð Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ù ÒØ ÓÓÖ Ò ¾ ¼

305 A 1 = ( 1,0+3) = ( 1,3) Ý A = ( 1,0 3) = (1, 3)º B 1 = ( 1 3,0) = ( 4,0) Ý B = ( 1+3,0) = (,0)º ÑÔÐÓ º¾ À ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ý ØÖ Ð Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÔÓÖ Ð Ù Ò x +y x+4y 0 = 0. º¾µ ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ Ö Ö ÑÓ Ð Ù Ò º¾µ ÙÒ Ñ Ò Ö ÔÖÓÔ Ý Ô Ö ÐÐÓ ÑÓ ÓÑÔÐ Ø Ö ÐÓ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ ÓÑÓ Ù (x x+1)+(y +4y +4) = 0 (x 1) +(y +) 5 = 0 (x 1) +(y +) = 5 (x 1) +(y ( )) = (5). Ô ÖØ Ö Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Ò ÑÓ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (1, ) Ý Ö Ó r = 5º ÄÓ ÔÙÒØÓ ÒÓØ Ð Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ù Ò Ò Ð Ù ÒØ ÓÓÖ Ò A 1 = (1, +5) = (1,3) Ý A = (1, 5) = (1, 7)º B 1 = (1 5, ) = ( 4, ) Ý B = (1+5, ) = (6, )º Ä Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ º¾º ÙÖ º¾ ¾ ½

306 ÑÔÐÓ º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÜØÖ ÑÓ ÙÒÓ Ù Ñ ØÖÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ P 1 = (,6) Ý P = (8,9)º ËÓÐÙ Ò È Ö ÐÐ Ö Ð Ù Ò ÖÙÒ Ö Ò ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ù ÒØÖÓ C = (h,k) Ý Ù Ö Ó rº Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö Ó ÖÚ ÕÙ ÓÑÓ P 1 Ý P ÓÒ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ ÙÒÓ ÐÓ Ñ ØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ P 1 Ý P Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò º Ø Ñ Ò Ö Ø Ò ÑÓ ÕÙ C = 1 ((,6)+(8,9)) = ( 1 (+8), 1 (6+9)) = ( 10, 15 ) = (5, 15 ). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò C = (5, 15 )º ÓÖ ÐÐ ÑÓ Ð Ö Ó rº È Ö ØÓ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ r = d(p 1,C) Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÓ ÑÓ ÙØ Ð Þ Ö Ð ÖÑÙÐ Ð Ø Ò Ô Ö ÐÙÐ Ö Ð Ö Ó ÓÑÓ Ù r = d(p 1,C) = ( 5) +(6 15 ) = ( 3) +( 3 ) = = 45. Í Ò Ó Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ô (x 5) +(y 15 ) = Ö Ó ½º Ö Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÔÐÓ Ø Ð Òº ¾º Ö Ö Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ Ù Ò (x 3) +(y 6) = 36º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý ÙÝÓ ÒØÖÓ Ð ÔÙÒØÓ C = (4, 7)º ¾ ¾

307 º ÓÑÔÐ Ø ÐÓ Ù Ö Ó Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ò 6x +6y +48x 36y 300 = 0, Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò º À ÐÐ Ù ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ý Ö ÕÙ Ð º º ÓÑÔÐ Ø ÐÓ Ù Ö Ó Ô Ö ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ù Ò x +y 4x+18y +76 = 0, Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò º À ÐÐ Ù ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ý ØÖ Ð Ö º º Ö ÕÙ Ð ÖÙÒ Ö Ò x + y = 16 (x ) + (y 3) = 16 Ý ÓÑÔ Ö Ð Ö Ó Ø Ò º ú ÉÙ ÔÙ Ö Ð Ö Ô ØÓ º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÒØÖÓ Ð ÒØ Ö ÔØÓ Ð Ö Ø y = 3+x ÓÒ Ð y Ý ÙÝÓ Ö Ó r = 10º ¾

308 ¾

309 Ä Ò Ä ÖÙÒ Ö Ò ÁÁÁ Ò Ø Ð Ò ÐÙ ØÖ Ö ÑÓ Ñ ÒØ Ú Ö Ó ÑÔÐÓ ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ù Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò Ò Ö ÒØ ØÙ ÓÒ Ò ÓÒ Ø Ò Ò ÓÖÑ Ò Ù ÒØ Ô Ö ÓÒÓ Ö Ù Ö Ó Ý Ù ÒØÖÓº ÑÔÐÓ º½ ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó ÙÝÓ ÒØÖÓ C Ð ÔÙÒØÓ Ò¹ Ø Ö Ò Ð Ö Ø y x+4 = 0 Ý y +6x 0 = 0º ËÓÐÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ Ó ÖÚ ÕÙ Ý ÓÒÓ ÑÓ Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò r = 5º ÓÖ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ô Ö ÕÙ ÑÓ ÒÓÒØ Ö Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ó Ö Ø º È Ö ÐÐ Ö Ó ÔÙÒØÓ Ó ÖÚ ÕÙ ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ó Ù ÓÒ Ð Ö Ø y x+4 = 0, y +6x 0 = 0, º½µ Ý Ö Ø ÑÓ Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ð ÙÒ Ù Ò Ó Ø Ò ÑÓ y x+4 (y +6x 0) = 0 8x+4 = 0 8x = 4 x = 3. Ë Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ x = 3 Ò Ð Ù Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Ø Ó Ø Ò ÑÓ y (3)+4 = 0 y =. Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ó Ö Ø C = (3,) Ý ÕÙ Ø Ò ÕÙ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ô (x 3) +(y ) = 5. ¾

310 Ò Ð ÔÖ Ü ÑÓ ÑÔÐÓ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ Ð Ù ÒØ Óº ÓÒ Ö ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò C = (h,k)º Ë ÙÒ Ö Ø L Ø Ò ÒØ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ P = (a,b) ÒØÓÒ Ð Ö Ø L 1 ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ C Ý P Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Lº ÑÔÐÓ º¾ ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ö Ø L Ø Ò ÒØ Ð ÖÙÒ Ö Ò x +y = 5 Ò Ð ÔÙÒØÓ µº ËÓÐÙ Ò Ä ÖÙÒ Ö Ò Ø Ò ÒØÖÓ Ò C = (0,0)º Ø Ñ Ò Ö ÔÓ ÑÓ ÐÙÐ Ö Ð Ù Ò Ð Ö Ø L 1 ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ý ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (4,3)º Í ÑÓ Ð ÓÖÑ ÔÙÒØÓ Ô Ò ÒØ Ô Ö Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ø Ý Ó Ø Ò ÑÓ (y 0) = (x 0) y = 3 4 x. Ç ÖÚ ÕÙ Ð Ô Ò ÒØ Ø Ö Ø m 1 = 3 º Ë m Ð Ô Ò ÒØ Ð Ö Ø L 4 ÓÑÓ L 1 Ý L ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÑÔÐ Ö ÕÙ m 1 m = 1 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 3 4 m = 1 m = 4 3. º¾µ Ø Ñ Ò Ö Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ø L Ø Ò Ô Ò ÒØ 4 Ý Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (4,3) ÔÓÖ 3 ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ö Ð ÓÖÑ ÔÙÒØÓ Ô Ò ÒØ Ð Ù Ò ÙÒ Ö Ø Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ö Ø Lº ÑÔÐÓ º (y 3) = 4 (x 4), º µ 3 ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó r = 9 ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý ÙÝÓ ÒØÖÓ ÒÙ ÒØÖ Ó Ö Ð Ñ ÔÓ Ø ÚÓ yº ËÓÐÙ Ò Ð ÓÐÙ ÓÒ Ö Ø ÑÔÐÓ ÑÓ Ø Ò Ö Ò Ù ÒØ ÕÙ Ü Ø Ò Ò Ò Ø ÖÙÒ Ö Ò ÕÙ Ô Ò ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ¼ ¼µ Ý Ø Ò Ò Ö Ó r = 9º Ë Ò Ñ Ö Ó ÒØÖ ØÓ Ø ÔÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ ÐÐ Ø Ò Ù ÒØÖÓ Ò Ð Ñ ÔÓ Ø ÚÓ yº Ç ÖÚ ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ö Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ C = (0,a) ÓÒ a > 0 Ý ÕÙ Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ñ ÔÓ Ø ÚÓ y Ý Ñ d((0,0),(0,a)) = 9. ¾

311 ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ý Ð ÖÑÙÐ Ð Ø Ò Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ 9 = d((0,0),(0,a)) = (0 0) +(0 a) = a = a = a. Ð ÐØ Ñ Ù Ð ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ C(0,9) Ð ÒØÖÓ Ð ÖÙÒ Ö Ò Ô Ý ÓÑÓ Ù Ö Ó r = 9 Ð Ù Ò ÖÙÒ Ö Ò x +(y 9) = 81. Ö Ó ËÙ Ö Ò ÓÞ Ö ÙÒ Ö ÕÙ ÐÙ ØÖ Ð ØÙ Òº ½º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö ÓÒ ÒØÖÓ C = (1,1) Ô Ö Ð Ù Ð Ð Ö Ø y = x ÙÒ Ù Ö Ø Ø Ò ÒØ º ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÒØÖ Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÕÙ Ø Ò ÒØ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ y = 4 Ý y = 4º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÒØÖÓ Ø Ù Ó Ò Ð Ñ Ò Ø ÚÓ x Ý ÕÙ Ø Ò ÒØ ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ x = 1 Ý x = 9º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ Ð Ö Ø y = 7 ÒØ Ö ÔØ Ð y Ý ÙÝÓ ÒØÖÓ Ø Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ô Ò Ð Ö Ø x = 4 Ý y = 7º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò ÙÝÓ Ö Ó Ó Ú Ð Ö Ó Ð ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ Ù Ò x + y + 4y 1 = 0 Ý ÙÝÓ ÒØÖÓ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ô Ò Ð Ö Ø y = 1+x Ý y = 1 xº º ÌÖ Ð Ö ÙÒ Ð ÖÙÒ Ö Ò ÐÓ Ö Ó ½¹ º ¾

312 ¾

313 Ä Ò ÌÖ Ð Ò ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ (h,k) Ý ÕÙ Ò Ð ÒØÖ ÑÓ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ø Ð ÕÙ ÐÓ x Ý x Ò Ô Ö Ð ÐÓ Ð Ù Ð ÕÙ ÐÓ y Ý y º Ñ ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ñ Ó Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ù ÐÑ ÒØ ÓÖ ÒØ Ó Ý Ø Ò Ò Ð Ñ Ñ ÙÒ Ñ Ú Ö ÙÖ º½ µº ÙÖ º½ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ (x,y ) Ò Ð Ø Ñ x y úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò Ø Ð ÔÙÒØÓ Ò Ð Ø Ñ xy Î ÑÓ Ø ØÙ Ò Ò Ð ÙÖ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ x = x +h Ý x = x h Ý y = y +k. y = y k, Ò Ò Ð Ö Ð Ò Ü Ø ÒØ ÒØÖ ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó xy Ý x y º ÑÔÐÓ º½ ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÔÙÒØÓ (4,3) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ù ÑÓ Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º ¾

314 µ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ P ÓÒ ÓÓÖ Ò (5, ) Ò Ð Ø Ñ x y úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò P Ò Ð Ø Ñ xy µ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Q ÓÒ ÓÓÖ Ò ( 4,6) Ò Ð Ø Ñ xy úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò Q Ò Ð Ø Ñ x y ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ (4,3) Ð ÒØÖÓ Ð Ø Ñ x y Ù Ó Ó Ö Ð Ø Ñ xy ÒØÓÒ h = 4 Ý k = 3º µ Í ÕÙ ÑÓ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ý Ð ÔÙÒØÓ P Ú Ö ÙÖ º¾µº ÙÖ º¾ Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ò ÓÓÖ Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ x y (x,y ) = (5, )º ÒØÓÒ x = x +h = 5+4 = 9 Ý y = y +k = +3 = 1. Ø ÓÖÑ Ð ÔÙÒØÓ P Ø Ò ÓÓÖ Ò (9,1) Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó xyº µ Í ÕÙ ÑÓ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ý Ð ÔÙÒØÓ Q Ú Ö ÙÖ º µº ÙÖ º ¼¼

315 Ð ÔÙÒØÓ Q Ø Ò ÓÓÖ Ò Ò Ð ÔÐ ÒÓ xy (x,y) = ( 4,6)º ÒØÓÒ x = x h = 4 4 = 8 Ý y = y k = 6 3 = 3. ÄÙ Ó Ð ÔÙÒØÓ Q Ø Ò ÓÓÖ Ò ( 8,3) Ò Ð Ø Ñ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º ÑÔÐÓ º¾ Ò ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ö ØÙÖ Ð Ù Ò x +y 6x+10y+3 = 0. ËÓÐÙ Ò ÖÙÔ ÑÓ ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ú Ö Ð x Ý ÐÓ Ø ÖÑ ÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ú Ö Ð y Ô Ö ÐÙ Ó ÓÑÔÐ Ø Ö ÙÒ ØÖ ÒÓÑ Ó Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ Ò Ô Ö ÒØ º (x 6x)+(y +10y)+3 = 0, (x 6x+9) 9+(y +10y +5) 5+3 = 0, (x 3) +(y +5) = 11. Ë Ò ÑÓ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ñ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ð Ù Ò ÕÙ ÑÔÐ Ò Ð ÓÖÑ x = x 3, y = y +5, (x ) +(y ) = 11. Ñ ÒØ ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ (h,k) = (3, 5)º ØÓ ÕÙ Ö Ö ÕÙ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ø Ö ÒØÖ Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ (3, 5) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó xyº Ö Ó ½º Ò Ð ÔÙÒØÓ (10,5) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ù Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º µ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ P ÓÓÖ Ò ( 3,8) Ò Ð Ø Ñ x y úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò P Ò Ð Ø Ñ xy µ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Q ÓÓÖ Ò (5,4) Ò Ð Ø Ñ x y úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò Q Ò Ð Ø Ñ xy µ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ R ÓÓÖ Ò (7, ) Ò Ð Ø Ñ xy úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò R Ò Ð Ø Ñ x y µ Ë Ù ÑÓ Ð ÔÙÒØÓ S ÓÓÖ Ò ( 9,15) Ò Ð Ø Ñ xy úù Ð Ö Ò Ð ÓÓÖ Ò S Ò Ð Ø Ñ x y ¾º Ò Ð ÔÙÒØÓ ( 7,9) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ù Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º Ö Ð Ù Ò 5x 4y = 15 Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º ¼½

316 º Ò Ð ÔÙÒØÓ (5,7) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ù Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º Ö Ð Ù Ò Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º x +y 10x 14y 65 = 0 º Ò ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ð Ö ØÙÖ Ð Ù Ò x 3y +16x+6y +3 = 0. ¼¾

317 Ä Ò ¼ È Ö ÓÐ Á Ò Ò ÄÐ Ñ ÑÓ Ô Ö ÓÐ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð ÕÙ Ù Ø Ò ÙÒ Ö Ø ÐÐ Ñ Ö ØÖ Þ Ù Ð Ù Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó ÜØ Ö ÓÖ Ð Ö ØÖ Þ ÐÐ Ñ Ó ÓÓº Ò Ð ÙÖ ¼º½ ÐÙ ØÖ Ð ÓÒ Ò ÕÙ ÙÑÔÐ Ö ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð Ö ØÖ Þ Ù Ð Ð Ø Ò Ð ÔÙÒØÓ Ð ÓÓº Foco Punto de la parábola ÙÖ ¼º½ Directriz Ä Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÓÓ Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö ØÖ Þ R ÒÓÑ Ò Ó Ð Ð Ô Ö ÓÐ º Ð ÔÙÒØÓ Ò Ð Ù Ð Ð Ó Ð ÒØ Ö ÔØ Ð Ô Ö ÓÐ ÐÐ Ñ Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ô Ö ÓÐ Ð Ú ÖØ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó Ö Ð Ó Ð ÕÙ ÙÒ Ð ÓÓ ÓÒ Ð Ö ØÖ Þº Ä Ö Ø ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÓÓ Ý Ô Ö Ð Ð Ð Ö ØÖ Þ R ÒØ Ö ÔØ Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ó ÔÙÒØÓ º Ð Ñ ÒØÓ ÕÙ ÙÒ ØÓ Ó ÔÙÒØÓ Ð ÐÐ Ñ Ð Ó Ö ØÓº Ä Ø ÖÑ ÒÓÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ÐÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ¼º¾º ¼

318 Parábola Lado Recto Foco Vértice R Eje Focal ÙÖ ¼º¾ Ù Ò Ð È Ö ÓÐ ÓÖ ÒÓ ÔÐ ÒØ ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ö ÙÒ Ù Ò ÕÙ Ö Ø Ö ÐÓ ÔÙÒØÓ ÙÒ Ô Ö ÓÐ º È Ö Ø Ð ØÓ ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò xy Ò Ð ÔÐ ÒÓº ÈÓÖ ÑÔÐ ÒÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÓ ÔÓÖ ÓÖ Ð Ó Ò ÕÙ Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ Ð ÓÖ Ò (0,0) Ý Ù Ó Ð Ð x Ó Ð y µ Ë Ð Ó Ð Ð y Ð ÓÓ Ø Ù Ó Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÑ (0,p) ÓÒ p > 0 Ó p < 0º µ Ë Ð Ó Ð Ð x Ð ÓÓ Ø Ù Ó Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÑ (p,0) ÓÒ p > 0 Ó p < 0º ÓÑ Ò ÑÓ ÓÒ Ð Ó µº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ð ØÙ Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÙÖ ¼º Ý ¼º º y ( 0,p) ( x,y) 0 x p>0 ( x,-p) y=-p ÙÖ ¼º ¼

319 y p<0 ( x,-p) y=-p ( x,y) 0 ( 0,p) x ÙÖ ¼º Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ Ø ÔÓÖ Ð y = p ÔÙ Ð Ú ÖØ (0,0) ÕÙ Ø Ð ÓÓ Ý Ð Ö ØÖ Þµº Ë ØÓÑ ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ P = (x,y) Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ô Ö ÓÐ Ð Ø Ò ÒØÖ (x,y) Ý (0,p) Ù Ð Ð Ø Ò ÒØÖ (x,y) Ý Ð Ö Ø y = pº Ñ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ò (x,y) Ð Ö Ø y = p Ù Ð Ð Ø Ò ÒØÖ (x,y) Ý (x, p)º (x 0) +(y p) = (x x) +(y ( p)), x +(y p) = (y +p), x +(y p) = (y +p), x +y py +p = y +py +p, x = 4py, Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ y = 1 4p x. ¼º½µ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö x ÔÓÖ x Ò Ð Ù Ò ¼º½µ Ø ÒÓ Ñ º (x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÐÓ ( x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ º ØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð yº Ñ p > 0 ÒØÓÒ Ð Ù Ò ¼º½µ Ú ÑÓ ÕÙ y 0º ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ù Ò Ó x ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ö Ò Ý Ò Ø ÚÓ y ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý ÔÓ Ø ÚÓ º Ò Ø Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ö ÖÖ Ú Ð ÙÖ ¼º µº Ë p < 0 ÒØÓÒ Ð Ù Ò ¼º½µ Ú ÑÓ ÕÙ y 0º ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÖ Ù Ò Ó x ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ö Ò Ý Ò Ø ÚÓ y ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý Ò Ø ÚÓ º Ò Ø Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ó Ú Ð ÙÖ ¼º µº ¼

320 ÓÖ ÐÐ ÑÓ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ð Ó Ö ØÓº ØÓ ÐÐ ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ö Ø y = p ÓÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó y ÔÓÖ p Ò ¼º½µ 1 4p x = p, x = 4p, x 4p = 0, (x p)(x+p) = 0, x = p Ó x = p, ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ð Ó Ö ØÓ ÓÒ ( p,p) Ý (p,p)º Ä ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó Ö ØÓ Ð Ø Ò ÒØÖ ØÓ Ó ÔÙÒØÓ (p p) +(p ( p)) = (4p) = 4 p. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ñ ÝÓÖ p Ñ ÝÓÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó Ö ØÓ Ý Ò ÓÒ Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ñ ÖØ º Ê ÙÑ ÑÓ ØÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ä Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò (0,0) Ý ÓÓ Ò (0,p) Ø ÔÓÖ y = 1 4p x, Ý Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ Ø ÔÓÖ y = pº Ë p > 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö ÖÖ º Ë p < 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö Óº ÆÓØ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ p ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ð Ø Ò Ð ÓÓ Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ø Ó ÖÚ Ò Ö Ø Ð Ñ Ð ÒØ Ù Ò Ó ÓÒ Ö ÑÓ ØÖ Ð Ò º ÑÔÐÓ ¼º½ À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ Ú ÖØ Ø Ò Ð ÓÖ Ò ÙÝÓ Ó Ð Ð y Ý ÕÙ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ ( 1, 1 )º ÌÖ Ð Ö Ô Ö ÓÐ º ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ Ð Ó Ð Ð y Ð ÓÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÓÖÑ (0,p)º Ë ÑÓ Ñ ÕÙ Ð Ú ÖØ Ø Ò Ð ÓÖ Òº Ò ÓÒ Ù Ò ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ð ÓÖÑ y = 1 4p x. ¼º¾µ È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ pù ÑÓ Ð Ó ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ( 1, 1 )º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö y ÔÓÖ 1/ Ý x ÔÓÖ 1/ Ò ¼º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ 1 = 1 4p ¼ ( ) 1.

321 Ø Ù Ð Ø Ò ÑÓ ÕÙ p = 1/8º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö Ò ¼º¾µ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ y = x º ÓÒ Ð Ò ØÖ Þ Ö Ð Ö ÒÓØ ÑÓ ÕÙ p < 0 Ø Ñ Ò Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ö Óº Ä Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ö Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð y = 1/8º Ð Ð Ó Ö ØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ò ÜØÖ ÑÓ Ò ( 1, 1) Ý 4 8 (1, 1 )º Ò Ð ÙÖ ¼º Ö ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð Ö 4 8 Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ù Ð Ó Ö ØÓ Ý Ù ÓÓº y -1/4 1/4 x (0,- 1 ) 8 y=-x ÙÖ ¼º Ö Ó ½º À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ù Ó Ð y Ý Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ( 1/,5)º ¾º Ä Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ y = 5x º À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ö ØÖ Þ Ô Ö ÓÐ Ý Ð ÓÓÖ Ò Ù ÓÓº º Ä Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ 16y = x º À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ö ØÖ Þ Ô Ö ÓÐ Ý Ð ÓÓÖ Ò Ù ÓÓº ¼

322 ¼

323 Ä Ò ½ È Ö ÓÐ ÁÁ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ó µº ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ Ð ØÙ Ò Ð Ö Ø Ò Ð ÙÖ ½º½ Ý ½º¾º ( x,y) y ( p,0) 0 x p<0 x=-p ÙÖ ½º½ x=-p y ( x,y) 0 ( p,0) x p>0 ÙÖ ½º¾ Ò Ø Ó Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ Ø ÔÓÖ x = pº Ë ØÓÑ ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ¼

324 P = (x,y) Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ô Ö ÓÐ Ð Ø Ò ÒØÖ (x,y) Ý (p,0) Ù Ð Ð Ø Ò ÒØÖ (x,y) Ý Ð Ö Ø x = pº Ñ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ø Ò (x,y) Ð Ö Ø x = p Ù Ð Ð Ø Ò ÒØÖ (x,y) Ý ( p,y)º ÈÖÓ Ò Ó ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ Ò Ð Ó µ Ó Ø Ò ÑÓ (x p) +(y 0) = (x ( p)) +(y y)), (x p) +y = (x+p), (x p) +y = (x+p), x px+p +y = x +px+p, y = 4px, ÉÙ ÕÙ Ú Ð x = 1 4p y. ½º½µ ÓÖ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö y ÔÓÖ y Ò Ð Ù Ò ½º½µ Ø ÒÓ Ñ º (x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÐÓ (x, y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ º ØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ñ ØÖ ÖÓÒ Ô ØÓ Ð xº Ñ p > 0 ÒØÓÒ Ð Ù Ò ½º½µ Ú ÑÓ ÕÙ x 0º ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÖ Ù Ò Ó y ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ö Ò Ý Ò Ø ÚÓ x ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý ÔÓ Ø ÚÓ º Ò Ø Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ð Ö Ú Ð ÙÖ ½º½µº Ë p < 0 ÒØÓÒ Ð Ù Ò ½º½µ Ú ÑÓ ÕÙ x 0º ÓÖ ÒÓØ ÑÓ ÕÙ Ù Ò Ó y ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý ÔÓ Ø ÚÓ Ó Ö Ò Ý Ò Ø ÚÓ x ØÓÑ Ú ÐÓÖ Ö Ò Ý Ò Ø ÚÓ º Ò Ø Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ð ÞÕÙ Ö Ú Ð ÙÖ ½º¾µº ÓÖ ÐÐ ÑÓ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ð Ó Ö ØÓ ØÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ö Ø x = p ÓÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó x ÔÓÖ p Ò ½º½µ 1 4p y = p, y = 4p, y 4p = 0, (y p)(y +p) = 0, y = p Ó y = p. Ç Ø Ò ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ð Ð Ó Ö ØÓ Ø Ò ÜØÖ ÑÓ Ò(p, p) Ý(p,p) Ý ÕÙ Ù ÐÓÒ ØÙ 4 p º ÆÙ Ú Ñ ÒØ Ñ ÝÓÖ p Ñ ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ê ÙÑ ÑÓ ØÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ð Ó µ Ä Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò (0,0) Ý ÓÓ Ò (p,0) Ú Ò ÔÓÖ x = 1 4p y, Ý Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ö ØÖ Þ Ú Ò ÔÓÖ x = pº Ë p > 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ð Ö º ½¼

325 Ë p < 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ð ÞÕÙ Ö º ÆÓØ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÒÙ Ú Ñ ÒØ p ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ð Ø Ò Ð ÓÓ Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º Ø Ó ÖÚ Ò Ö Ø Ð Ñ Ð ÒØ Ù Ò Ó ÓÒ Ö ÑÓ ØÖ Ð Ò º ÑÔÐÓ ½º½ ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ù Ó Ð Ð x Ý ÓÖØ Ð Ö Ø x = 1 Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ (1, 1 ) Ý 3 (1, 1 )º ÓÒØ ÒÙ Ò Ó Ð 3 Ö Ð Ô Ö ÓÐ º ËÓÐÙ Ò Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ð ÓÖÑ x = 1 4p y, ½º¾µ ÔÙ Ð Ó Ð Ð xº È Ö ÐÐ Ö p Ù ÑÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÙÒ Ó Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö x = 1 Ý y = ± 1 1 Ò Ð Ù Ò ½º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ p = º Í Ò Ó 3 36 ÒÙ Ú Ñ ÒØ Ð Ù Ò ½º¾µ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ x = 9y º Ä Ô Ö ÓÐ Ö Ð Ö º Ò Ð ÙÖ ½º ÓÞ ÑÓ Ð Ö º y 1 3 x=9y 1 3 x x=1 ÙÖ ½º Ö Ó ½º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º µ Ì Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ý Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ y = 3º ½½

326 µ Ì Ò Ð ÓÓ Ò (0, 1) Ý Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ y = 1º ¾º Ä Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ y = 16xº À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ö ØÖ Þ Ô Ö ÓÐ Ý Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º º Ä Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ 0y = x º À ÐÐ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÓÓ Ô Ö ÓÐ Ý Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º º À ÐÐ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø y = x+ Ý Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò ÓÓ Ò (0, 1 ) Ý Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Òº 4 ½¾

327 Ä Ò ¾ È Ö ÓÐ ÁÁÁ ÑÔÐÓ ¾º½ ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ù Ó Ð Ð y Ý Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (, 16)º ËÓÐÙ Ò ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð Ú ÖØ Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ý Ù Ó Ð Ð y Ð Ô Ö ÓÐ Ø ÔÓÖ ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ y = 1 4p x. ¾º½µ Ë ÐÓ Ö Ø ÒÓÒØÖ Ö pº È Ö ØÓ Ù ÑÓ Ð Ó ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ (, 16)º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö x = Ý y = 16 Ò ¾º½µ Ó Ø Ò ÑÓ 16 = 1 4p 4, Ö p = 1 º Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ø Ú ÐÓÖ Ò ¾º½µ Ý ÑÔÐ Ò Ó Ó Ø Ò ÑÓ Ð 16 Ù Ò Ö ÕÙ Ö y = 4x. ÑÔÐÓ ¾º¾ À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ Ó Ð Ð x Ø Ò Ù Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÓÖØ Ð Ö Ø x = 5 Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 5, 1 ) Ý ( 5, 1 )º ËÓÐÙ Ò Ò Ø Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ø ÔÓÖ ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ x = 1 4p y. ¾º¾µ ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒØ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 5, 1 1 ) Ý ( 5, ) Ð Ö ÑÔÐ Þ ÖÐÓ Ò Ð Ù Ò ¾º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ 5 = 1 1 4p, p = ½

328 Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ø Ð Ú ÐÓÖ p Ò ¾º¾µ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò ÕÙ Ö Ð Ô Ö ÓÐ x = 10y. ÑÔÐÓ ¾º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ð ÓÒ ÓÒ µ Ì Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ý Ù Ö ØÖ Þ y = º µ Ì Ò ÓÓ Ò (1,0) Ý Ù Ö ØÖ Þ x = 1º ËÓÐÙ Ò µ Ð ÓÒ ÓÒ Ð Ó Ð Ð Ô Ö ÓÐ Ð y ÔÙ Ø Ð ÓÒØ Ò Ð Ú ÖØ Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö ØÖ Þµº Ò ÓÒ Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ y = 1 4p x, ¾º µ ÓÒ (0,p) Ð ÓÓº Ë ÐÓ ÒÓ ÕÙ ÔÓÖ ÒÓÒØÖ Ö ÒØÓÒ Ð Ú ÐÓÖ pº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ð Ú ÖØ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ð Ö ØÖ Þ Ý Ð ÓÓº ÓÑÓ Ò Ø Ó Ð Ö ØÖ Þ Ð Ö Ø y = Ð ÓÓ (0, )º p = Ý Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö Ø Ú ÐÓÖ Ò ¾º µ ÐÐ ÑÓ y = 1 8 x, ÕÙ Ð Ù Ò Ö ÕÙ Ö º µ Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ð Ô Ö ÓÐ Ð x ÔÙ Ø Ð ÓÒØ Ò Ð ÓÓ Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ö ØÖ Þº Ð Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ ÙÒ Ù Ò Ð Ø ÔÓ x = 1 4p y. ¾º µ ÆÙ Ú Ñ ÒØ ÑÓ ÒÓÒØÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ pº Ê ÓÖ ÑÓ ÕÙ p Ò Ð Ù Ò ¾º µ Ø Ð ÕÙ Ð ÓÓ Ù Ò Ð ÔÙÒØÓ (p,0)º Ò Ø Ó ÓÑÓ Ð ÓÓ Ø Ò (1,0) Ø Ò ÑÓ ÕÙ p = 1º Ê ÑÔÐÞ Ò Ó Ò ¾º µ ÑÔÐÓ ¾º x = 1 4 y. ÍÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ Ð Ù Ò 16y = 48x º Ø ÖÑ Ò Ð ÓÓÖ Ò Ð ÓÓ Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÐÓ ÔÙÒØÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ð Ó Ö ØÓº ÓÒØ ÒÙ Ò Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º ËÓÐÙ Ò Ä Ù Ò 16y = 48x ÔÙ ÐÐ Ú Ö Ð ÓÖÑ y = x, ½

329 y = 3x. Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ø Ù Ò Ð ÓÖÑ y = 1 x ÓÒ (4p) 1 = 3 Ö 4p p = 1 º 1 Ì Ò ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ð ÓÓ Ø Ò (0, 1 1 ) Ý Ð Ö ØÖ Þ Ú Ò ÔÓÖ y = º Ð 1 1 Ð Ó Ö ØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ò ÜØÖ ÑÓ Ò (, 1 ) Ý (, 1 )º Ç ÖÚ ÑÓ Ð ÙÖ ¾º½º y 1/1 y= 1 1-1/6 (-,- 1 ) /1 (0,- 1 ) 1 1/6 (,- 1 ) 1 1 x ÙÖ ¾º½ ÑÔÐÓ ¾º À ÐÐ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø y = x 1 Ý Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÓÓ Ò ( 1 8,0)º ËÓÐÙ Ò Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÐÐ ÑÓ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ º ÈÙ ØÓ ÕÙ Ù Ú ÖØ Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ý Ù ÓÓ Ó Ö Ð x Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ð ÓÖÑ ¾º µ ÓÒ (p,0) Ð ÓÓº Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò Ø Ó (p,0) = ( 1,0)º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö p = 1/8 8 Ò ¾º µ Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ù Ò x = y º Ø Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ º ÓÖ ÐÐ ÑÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ö ÕÙ Ö Ó º Ë (x,y) ÒÓØ ÙÒÓ Ø Ð ÔÙÒØÓ Ó ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ò Ñ ÖÓ x Ý y Ø Ò Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ð Ö Ø ÓÑÓ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ º ÈÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÒØÓÒ Ô Ò Ó x Ò Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ù Ð Ò Ó Ð Ú ÐÓÖ Ó Ø Ò Ó ÓÒ Ð x Ð Ô Ö ÓÐ º ØÓ y 1 = y, y y 1 = 0. Ä ÐØ Ñ Ù Ð ÙÒ Ù Ò Ù Ö Ø Ò Ð Ú Ö Ð y ÙÝ ÓÐÙ ÓÒ ÓÒ y = ( 1)± ( 1) 4 ( 1) = 1±3 4. ½

330 Ç Ø Ò ÑÓ ÒØÓÒ Ó Ú ÐÓÖ y = 1/ Ý y = 1º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö ÙÒÓ ØÓ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ Ò Ð Ù Ò Ð Ö Ø µ Ó Ø Ò ÑÓ Ð ÓÓÖ Ò Ò Ð Ú Ö Ð x ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò y = 1/ x = ( 1/) = 1/º Ë y = 1 x = 1 = º ÄÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø Ý Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ( 1/, 1/) Ý (,1)º Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ù Ó Ð Ð x Ý Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ( 4,1)º ¾º ÍÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ Ð Ù Ò 16x = 48y º Ø ÖÑ Ò Ð ÓÓÖ Ò Ð ÓÓ Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ö ØÖ Þ Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÐÓ ÔÙÒØÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ð Ó Ö ØÓº ÓÒØ ÒÙ Ò Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º º À ÐÐ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø y = x Ý Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÓÓ Ò ( 1 8,0)º ½

331 Ä Ò È Ö ÓÐ ÁÎ È Ö ÓÐ ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ ÙÒÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó º Ò ÐÓ ÕÙ Ù ÙÔÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ (h,k) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ó ÑÔÐÓ Ø ØÙ Ò ÐÙ ØÖ Ò Ò Ð ÙÖ º½ Ý º¾º y ( h, k) 0 x ÙÖ º½ y ( h, k) 0 x ÙÖ º¾ Ò ÑÓ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ º ½

332 Ë ÑÓ ÕÙ ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ó xy Ýx y Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÔÓÖ Ð Ù ÓÒ x = x h Ý y = y k. º½µ Ì Ð ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÑÓ Ó Ó µ Ð Ó Ð Ð Ö Ø x = h Ö Ð Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ð yº µ Ð Ó Ð Ð Ö Ø y = k Ö Ð Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ð xº ÓÑ Ò ÑÓ ÓÒ Ð Ó µº Ò Ð Ø Ñ x y Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ý Ù Ó Ð y º ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ ÕÙ ÑÓ ØÙ Ó Ð Ô Ö ÓÐ Ø ÔÓÖ ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ y = 1 4p x, º¾µ ÓÒ p ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ð Ø Ò Ð ÓÓ Ð Ú ÖØ º Ê Ñ¹ ÔÐ Þ Ò Ó º½µ Ò º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ Ø ÔÓÖ Ð Ù Ò y k = 1 4p = (x h), ÓÒ p ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÙÝÓ Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ð Ø Ò Ð ÓÓ Ð Ú ÖØ º Ç ÖÚ ¹ ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ò Ð ÓÓÖ Ò xy Ð Ú ÖØ Ø Ò (h,k) Ð ÓÓ Ò (h,k+p) Ý Ð Ö ØÖ Þ Ø ÔÓÖ Ð Ù Ò y = k pº Ê ÙÑ ÑÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ä Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò (h,k) Ý ÓÓ Ò (h,k + p) Ø ÔÓÖ y k = 1 4p (x h), Ý Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ Ø ÔÓÖ y = k pº Ë p > 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö ÖÖ º Ë p < 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö Óº ÓÒØ ÒÙ ÑÓ ÓÒ Ð Ó µº Ê ÞÓÒ Ò Ó ÓÑÓ ÐÓ ÑÓ Ò Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ø Ó Ø ÔÓÖ ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ Ð Ö ÙÑ Ò Ò Ø Ó x h = 1 4p = (y k), Ä Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò (h,k) Ý ÓÓ Ò (h + p,k) Ø ÔÓÖ x h = 1 4p (y k), Ý Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ Ø ÔÓÖ x = h pº Ë p > 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ð Ö º Ë p < 0 Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ð ÞÕÙ Ö º ½

333 ÑÔÐÓ º½ µ Ö Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò ( 1,3) Ý ÙÝÓ ÓÓ Ø Ò ( 1, )º µ Ö Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò Ú ÖØ Ò (3,0) Ý ÙÝÓ ÓÓ Ø Ò (1, 0)º ËÓÐÙ Ò µ Ò Ø Ó h = 1 k = 3 Ý p = 1 p Ô Ð Ù Ð (h,p+k) = ( 1,)µº ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ö ÕÙ Ö ÕÙ ÔÙ Ö Ö Ø Ñ Ò ÓÑÓ y 3 = 1 4( 1) (x+1), 4y +x +x 11 = 0. µ Ò Ø Ó h = 3 k = 0 Ý p = p Ô Ð Ù Ð (h+p,k) = (1,0)µº ÈÓÖ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ö ÕÙ Ö ÕÙ ÔÙ Ö Ö Ø Ñ Ò ÓÑÓ Ö Ó x 3 = 1 4( ) y, 8x+y +4 = 0. ½º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º µ Ì Ò Ú ÖØ Ò (0,) Ý Ù Ó Ð Ð yº µ Ì Ò Ð ÓÓ Ò ( 3,0) Ý Ð Ù Ò Ð Ö ØÖ Þ x = 1º ¾º Ä Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ (y 1) = 16(x 4)º À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ö ØÖ Þ Ô Ö ÓÐ Ý Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º º Ä Ù Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú Ò ÔÓÖ 0(y + 3) = (x ) º À ÐÐ Ð ÓÓÖ Ò Ð ÓÓ Ô Ö ÓÐ Ý Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º º À ÐÐ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ö Ø y = x Ý Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ Ø Ò ÓÓ Ò (0,0) Ý Ú ÖØ Ò (1,0)º ½

334 ¾¼

335 Ä Ò È Ö ÓÐ Î ÑÔÐÓ º½ Ø ÖÑ Ò Ð ÓÓÖ Ò Ð Ú ÖØ Ý Ð ÓÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÔÓÖ Ð Ù Ò y = 9x +18x 10º ËÓÐÙ Ò Ä ÕÙ ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ ÓÒ Ø Ò ØÖ Ø Ö ÐÐ Ú Ö Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÙÒ Ð ÓÖÑ Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖº È Ö ÐÐÓ ÓÑÔÐ Ø ÑÓ Ù Ö Ó Ò Ð Ù Ò y = 9x +18x 10, ( y = 9 x x+ 10 ), 9 ( y = 9 x x ( y = 9 x x+1+ 1 ), 9 ), y = 9(x x+1) 1, y +1 = 9(x 1). Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ð ÐØ Ñ Ù Ò Ð ÓÖÑ y k = 1 4p (x h). Ò Ø Ó Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ (h,k) = (1, 1) Ù ÓÓ Ð ÓÖÑ (h,k+p) = (1, 1+p) Ý 1 4p = 9. Ç Ø Ò ÑÓ p = ÑÔÐÓ º¾ º Ð ÓÓ Ð Ô Ö ÓÐ (h,k +p) = ( 1, 37 ). 36 À ÐÐ ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ Ú ÖØ (,1) ÙÝÓ Ó Ð Ð Ö Ø y = 1 Ý ÕÙ ÓÖØ Ð x Ù Ò Ó x = 1º ¾½

336 ËÓÐÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ð x Ð Ù Ò ÕÙ Ù ÑÓ Ð ÓÖÑ x h = 1 4p (y k). Ò Ø Ó Ð Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ (,1)º (h,k) = (,1)º Ì Ò ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ x+ = 1 4p (y 1). Ë ÐÓ ÒÓ ÕÙ ÔÓÖ ÐÐ Ö Ð Ó ÒØ Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ù Ö Ø Ó Ò Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ö Ð Ú ÐÓÖ 1/4pº È Ö ØÓ Ù ÑÓ Ð Ó ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖØ Ð x Ù Ò Ó x = 1 Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (1,0)º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö Ø ÔÙÒØÓ Ò Ð Ù Ò Ó Ø Ò ÑÓ 3 = 1 4p. ÓÒÐÙ ÑÓ ÒØÓÒ ÕÙ Ð Ù Ò Ö ÕÙ Ö ÑÔÐÓ º x+ = 3(y 1). ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ô Ö ÓÐ x = y +1 ÓÖØ Ð Ö Ø x+y = º ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ (x,y) Ö ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ñ Ù ÓÒ º ØÓ ¹ ÑÓ Ö ÓÐÚ Ö Ð Ø Ñ Ù ÓÒ x =y +1, x+y =. ÈÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö Ú Ö ÓÖÑ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÔÓ ÑÓ Ö ÑÔÐ Þ Ö Ð x Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ô Ö Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ù Ò Ù Ö Ø Ò y y +1+y =, y +y 1 =0. Ä ÓÐÙ Ò Ø Ù Ò Ø ÔÓÖ Ð ÖÑÙÐ Ù Ö Ø y = 1± ( 1) = 1± 5. À ÑÓ Ó Ø Ò Ó Ð ÓÓÖ Ò Ò y ÐÓ ÔÙÒØÓ Ö ÕÙ Ö Ó º È Ö ÒÓÒØÖ Ö Ð ÓÓÖ¹ Ò Ò x Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ ÙÒÓ ÐÓ Ú ÐÓÖ y ÐÐ Ó Ò Ð ÙÒ Ð Ù ÓÒ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ð ÙÒ º ÒØÓÒ y = 1+ 5 x = y = 1+ 5 ¾¾ = 5 5.

337 Ð ÔÙÒØÓ ( 5 5, 1+ 5) ÙÒÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Òº È Ö ÐÐ Ö Ð ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ØÓÑ ÑÓ Ð ÓØÖÓ Ú ÐÓÖ y ÐÐ Ó Ý ÐÙÐ ÑÓ xº ØÓ ÒØÓÒ y = 1 5 x = y = 1 5 = Ð ÔÙÒØÓ ( 5+ 5, 1 5 ) Ð ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ö ÕÙ Ö Óº ÑÔÐÓ º Ø ÖÑ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ò ÐÓ Ù Ð Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ Ó Ð Ð y Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ (1, 1) Ý ÔÓÖ (, 1/3) ÓÖØ Ð xº ËÓÐÙ Ò Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÑÓ ÐÐ Ö ÙÒ Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ø º Ò Ø Ó Ð Ó Ð Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ö Ø Ú ÖØ Ð Ö Ø ÔÓÖ Ð Ù Ò x = 0 Ð yµº Í Ò Ó ÐÓ Ö ÙÐØ Ó Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ð ÓÖÑ y k = c(x h), º½µ ÓÒ c = 1 º ÈÙ ØÓ ÕÙ Ð ÓÓ (h,k) Ø Ò Ð y h = 0º È Ö ÐÐ Ö k Ý c Ù ÑÓ 4p Ð Ó ÕÙ ÐÓ ÔÙÒØÓ (1, 1) Ý (, 1/3) Ô ÖØ Ò Ò Ð Ô Ö ÓÐ º Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö x = 1 Ý y = 1 Ò º½µ Ø Ò ÑÓ ÕÙ 1 k = c. Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö x = Ý y = 1/3 Ò º½µ Ø Ò ÑÓ ÕÙ 1 k = 4c. 3 Ì Ò ÑÓ ÒØÓÒ Ó Ù ÓÒ Ð Ò Ð º Ê ÓÐÚ Ò Ó Ø Ø Ñ Ù ÓÒ ÓÒ¹ ÐÙ ÑÓ ÕÙ c = /9 Ý ÕÙ k = 11/9º Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ò º½µ Ø Ò ÑÓ ÕÙ y = 9 x. È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÕÙ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖØ Ð x Ø Ö ÑÔÐ Þ Ö y = 0 Ò Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö Ó Ø Ò Ö 11 x = ±. 11 ÐÓ ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ö ÕÙ Ö Ó ÓÒ (,0) Ý ( 11,0)º ¾

338 Ö Ó ½º Ó Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÐÓ ÑÔÐÓ ½ Ý ¾ Ø Ð Òº ¾º Ó Ð Ö Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý Ð Ö Ø Ð ÑÔÐÓ Ø Ð Òº Ë Ð Ò Ð Ù Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ñ Ö º º Ó Ð Ö Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ý Ð x Ð ÑÔÐÓ Ø Ð Òº Ë Ð Ò Ð Ù Ó ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ñ Ö º ¾

339 Ä Ò Ä Ð Ô Á Ò Ò Ä Ð Ô Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð ÕÙ Ð ÙÑ Ð Ø Ò Ó ÔÙÒØÓ Ó ÐÐ Ñ Ó ÓÓ Ù Ð ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú a ÕÙ Ñ ÝÓÖ Ð Ø Ò ÒØÖ ÐÓ ÓÓ º È Ö ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ Ð Ô ÔÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÓÑÓ ÐÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ º½º ÙÖ º½ Ë Ò Ó ÔÙÒØÓ ÐÓ Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ F 1 Ý F Ý Ð ÙÒ Ù Ö ÐÓÒ ØÙ a ÓÒ a > d(f 1,F )º Ë Ò ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ù Ö Ò F 1 Ý F º Ä ÙÖÚ ÕÙ Ö Ð ÑÓÚ Ö Ð ÔÙÒØ Ð Ð Ô Þ Ñ ÒØ Ò Ò Ó Ø Ò ÓÒ Ð Ù Ö ÙÒ Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ù Ó Ò F 1 Ý F º Ù Ò ÙÒ Ð Ô ÓÒØ ÒÙ Ò Ù Ö ÑÓ Ð Ù Ò ÖØ Ò ÙÒ Ð Ô º ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ F 1 = ( c,0) Ý F = (c,0) ÓÒ c > 0 Ý ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ P = (x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ð Ô º ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ a ÓÒ a > 0 Ð ÙÑ Ð Ø Ò P F 1 Ý P F º ÓÑÓ ¾

340 P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð Ð Ô ÙÑÔÐ Ö ÕÙ d(p,f 1 )+d(p,f ) = a (x+c) +(y 0) + (x c) +(y 0) = a (x+c) +y = a (x c) +y ( (x+c) +y ) = (a (x c) +y ) (x+c) +y = 4a 4a (x c) +y +(x c) +y x +xc+c +y = 4a 4a (x c) +y +x xc+c +y 4a (x c) +y = 4a 4xc a (x c) +y = a xc (a (x c) +y ) = (a xc) a ((x c) +y ) = a 4 a xc+x c a (x xc+c +y ) = a 4 a xc+x c a x a xc+a c +a y = a 4 a xc+x c (a c )x +a y = a (a c ). Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ ÓÑÓ a > d(f 1,F ) Ý ÓÑÓ d(f 1,F ) = c ÒØÓÒ a > c Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a > c º ÓÒÐÙ ÑÓ Ø Ñ Ò Ö ÕÙ a c > 0 Ý Ò ÑÓ b = a c ÓÒ b > 0 Ð Ö ÑÔÐ Þ Ö Ò Ð Ù Ò Ó Ø Ò ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ó Ø Ò b x +a y = a b b x a b + a y a b = 1 x a + y b = 1. Ä ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ò F 1 = ( c,0) Ý F = (c,0) ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ò Ò Ù Ð aº ÑÔÐÓ º½ ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ (4,0) Ý ( 4,0) Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (0,1)º ËÓÐÙ Ò Ó ÕÙ ÐÓ ÓÓ Ð Ð Ô ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ (4,0) Ý ( 4,0) ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ c = 4º ÓÑÓ Ð ÔÙÒØÓ (0,1) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ð Ô Ý Ð Ù Ò ÙÒ Ð Ô Ø Ø ÔÓ Ð ÓÖÑ x a + y b = 1, ÒØÓÒ ÙÑÔÐ Ö ÕÙ 0 a + 1 b = 1. ¾

341 Ø Ñ Ò Ö Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ 1 b = 1 b = 1, Ý ÓÑÓ b > 0 ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ b = 1º È Ö Ò Ð Þ Ö Ó ÖÚ ÕÙ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ð Ð Ô Ö Ó a = b +c = 1 +4 = 17. x 17 + y 16 = 1. ½º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 3,0) Ý (3,0) Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (0, 7)º ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 1,0) Ý (1,0) Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (4,0)º º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÓÓ Ð Ð Ô ÙÝ Ù Ò Ø ÔÓÖ x 16 + y 4 = 1. º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÓÓ Ð Ð Ô ÙÝ Ù Ò Ø ÔÓÖ x 5 + y 16 = 1. ¾

342 ¾

343 Ä Ò Ä Ð Ô ÁÁ Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ ÙÒ Ð Ô Ý ÔÖ Ò Ö ÑÓ Ö Ö ÙÒ Ð Ô ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô ÖØ Ö Ð Ò Ð Ù Ù Ò ÖØ Ò º Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ØÖ Ó ÙÒ Ð Ô Ç ÖÚ ÑÓ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö ÐØ Ó Ò Ð Ù ÒØ ÙÖ º½º ÙÖ º½ Ð ÔÙÒØÓ C ÔÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ ÐÓ ÓÓ F 1 Ý F ÐÓ ÒÓÑ Ò ÑÓ ÒØÖÓ Ð Ð Ô º Ð Ö Ø L ÕÙ Ô ÔÓÖ ÐÓ ÓÓ F 1 Ý F Ð ÐÐ Ñ Ó Ðº ÄÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ð Ô ÓÒ Ð Ó Ð L ÒÓØ Ó ÔÓÖ V 1 Ý V ÐÐ Ñ Ò Ú ÖØ Ð Ð Ô º Ð Ñ ÒØÓ V 1 V Ð ÒÓÑ Ò Ñ ÝÓÖ Ð Ð Ô º Ð Ö Ø K ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÒØÖÓ C Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ó Ð L Ð ÐÐ Ñ ÒÓÖÑ Ð Ð Ð Ô º Ð Ñ ÒØÓ A 1 A ÓÒ A 1 Ý A ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö Ò Ð Ð Ô ÓÒ Ð ÒÓÖÑ Ð K Ð ÒÓÑ Ò Ñ ÒÓÖ Ð Ð Ô º ¾

344 Ö Ð Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ò ( c,0) Ý (c,0)º Ò Ø Ó Ð ÒØÖÓ Ð Ð Ô Ø Ù Ó Ò Ð ÓÖ Ò C = (0,0)º Ñ ÓÑÓ ÐÓ ÓÓ Ð Ð Ô Ø Ò Ó Ö Ð x ÑÓ ÕÙ Ð Ô ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ë Ñ ØÖ Ç ÖÚ ÕÙ Ò Ð Ù Ò Ð Ð Ô x a + y b = 1, Ð Ö ÑÔÐ Þ ÖxÔÓÖ x Óy ÔÓÖ y Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ñ Ñ Ù Ò Ó ÕÙ ( x) = x Ý ( y) = y º ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö Ð Ð Ô Ñ ØÖ Ö Ô ØÓ Ð y Ý Ð xº ÁÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ ÐÓ Ë ÑÓ x = 0 Ò Ð Ù Ò Ð Ð Ô Ó Ø Ò ÑÓ ÕÙ y = b. Ø Ù Ò Ø Ò Ó ÓÐÙ ÓÒ y = b Ý y = bº Ö Ð Ö Ð Ð Ô ÒØ Ö ÔØ Ð y Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ A 1 = (0,b) Ý A = (0, b)º ØÓ Ó ÔÙÒØÓ ÓÒ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ð Ô Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÒÓÖ Ð Ð Ô bº Ë ÑÓ y = 0 Ò Ð Ù Ò Ð Ð Ô Ó Ø Ò ÕÙ x = a. Ù Ò Ø Ò Ó ÓÙ ÓÒ x = a Ý x = aº Ø Ñ Ò Ö ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ö Ð Ð Ô ÒØ Ö ÔØ Ð x Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ V 1 = ( a,0) Ý V = (a,0)º ØÓ Ó ÔÙÒØÓ ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ Ð Ð Ô Ý ÒØÓÒ Ø Ò ÑÓ ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ÝÓÖ Ð Ð Ô Ù Ð aº Ð Ð Ô Ð Ó Ð Ô ÔÓÖ ÐÓ ÔÙÒØÓ F 1 Ý F Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ó Ò ÓÒ Ð xº Ð ÒÓÖÑ Ð Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ C = (0,0) Ý Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð Ó Ð ÐÓ Ù Ð ÕÙ Ö Ö ÕÙ Ð yº Ä ÙÖ º¾ ÑÙ ØÖ Ð Ö Ð Ð Ô Ô Ö Ø Óº ¼

345 ÙÖ º¾ ÑÔÐÓ º½ À ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ð Ô x 36 + y 9 = 1. ËÓÐÙ Ò ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ô ÙÒ Ð Ô ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÓÒ a = 36 Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ a = 6 Ý b = 9 Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ b = 3º Ô ÖØ Ö Ð Ö Ð Ò a c = b ÓÒÐÙÝ ÕÙ c = a b = 36 9 = 7º Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø Ò ÑÓ ÐÓ Ù ÒØ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð Ô ÄÓ Ú ÖØ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ V 1 = ( 6,0) Ý V = (6,0)º Ð ÒØÖÓ Ð ÔÙÒØÓ C = (0,0)º ÄÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ F 1 = ( 7,0) Ý F = ( 7,0)º ÄÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÖ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ A 1 = (0,3) Ý A = (0, 3)º Ð Ó Ð Ð x Ý Ð ÒÓÖÑ Ð Ð yº Ä Ö Ð Ð Ô ÔÖ ÒØ ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ð ÙÖ º ½

346 ÙÖ º Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÓÓ Ý ÐÓ Ú ÖØ Ð Ð Ô ÓÒ Ù Ò x 0 + y 16 = 1º ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÒØÖ Ò Ð ÓÖ Ò Ô Ö Ð Ù Ð ÙÒÓ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ù ÒÓÖÑ Ð Ð ÔÙÒØÓ (0,5) Ý ÙÒÓ Ù ÓÓ Ð ÔÙÒØÓ ( 5,0)º º À ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ð Ô x 49 + y 5 = 1º º Ö ÕÙ Ð Ð Ô ÓÒ Ù Ò x 81 +y = 1º º ÍÒ ÓÓ ÙÒ Ð Ô Ð ÔÙÒØÓ (3,0) ÙÒÓ Ù Ú ÖØ Ð ÔÙÒØÓ (5,0) Ý Ù ÒØÖÓ (0,0)º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ô º ¾

347 Ä Ò Ä Ð Ô ÁÁÁ Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ò (0,c) Ý (0, c)º Ò Ð Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ Ø Ò Ù Ó Ó Ö Ð x Ý Ù ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò ÖØ Ò º ÓÖ ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ Ð Ô ÓÒ ÓÓ Ù Ó Ó Ö Ð y F 1 = (0,c) ÝF = (0, c) ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ð Ò Ò Ù Ð aº ÈÓ ÑÓ Ö Ð Þ Ö ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ñ Ð Ö Ð ÔÖ ÒØ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ù Ö ÕÙ Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ô y a + x b = 1, ÓÒ b = a c > 0º Ò Ø Ó Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ô Ú ÖØ Ð Ý ÔÙ Ú Ö ÓÑÓ Ò Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ Ð Ö Ø Ò Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Ø Ñ ØÖ Ö Ô ØÓ Ð x Ý Ð yº ÄÓ ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð y ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ V 1 = (0,a) Ý V = (0, a) ÐÓ Ù Ð ÓÒ ÐÓ Ú ÖØ Ð Ð Ô º ÄÓ ÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð x ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ A 1 = ( b,0) Ý A = (b,0)º ØÓ ÓÒ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÖº Ð Ó Ð Ð Ð Ô Ð yº Ð ÒÓÖÑ Ð Ð Ð Ô Ð xº Ò Ø Ó Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ð Ô Ú ÖØ Ð Ý Ù Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð Ù ÒØ ÙÖ º½º

348 ÙÖ º½ ÑÔÐÓ º½ À ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ð Ô 16x +9y 144 = 0. ËÓÐÙ Ò Ê Ö ÑÓ Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖÑ Ù 16x +9y 144 = 0 16x +9y = x y 144 = 1 x 9 + y 16 = 1 x (3) + y (4) = 1. Ô ÖØ Ö Ð Ù Ò Ø Ò ÑÓ ÕÙ a = 3 b = 4 Ý c = b a = 7º Ì Ò ÑÓ ÙÒ Ð Ô Ú ÖØ Ð ÓÒ ÐÓ Ù ÒØ Ð Ñ ÒØÓ ÄÓ Ú ÖØ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ V 1 = (0, 4) Ý V = (0,4)º Ð ÒØÖÓ Ð ÔÙÒØÓ C = (0,0)º

349 ÄÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ F 1 = (0, 7) Ý F = (0, 7)º ÄÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÖ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ A 1 = (3,0) Ý A = ( 3,0)º Ð Ó Ð Ð y Ý Ð ÒÓÖÑ Ð Ð xº Ä ÙÖ º¾ ÒÓ ÔÖ ÒØ Ð Ö Ð Ð Ô Ø ÑÔÐÓº ÑÔÐÓ º¾ ÙÖ º¾ ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÓÒ Ú ÖØ Ò V 1 = (0,5) Ý V = (0, 5) Ý ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ F 1 = (0,4) Ý F = (0, 4)º ËÓÐÙ Ò Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò Ø Ó Ð Ð Ô Ú ÖØ Ð ÔÙ Ù ÓÓ ÒÙ ÒØÖ Ò Ù Ó Ó Ö Ð y Ý Ð Ù Ò Ô Ö Ð Ð Ô Ø Ò Ð ÓÖÑ y a + x b = 1. Ô ÖØ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ò Ó Ö ÐÓ ÓÓ Ø Ò ÑÓ ÕÙ a = 5 c = 4 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ b = a c = 5 16 = 9 Ý ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ð Ô y 5 + x 9 = 1.

350 Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ù ÒØ Ð Ô µ y 49 + x 5 = 1º µ y 64 + x 36 = 1º ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò ÙÒ Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ (0, 4) Ý (0,4) Ý ÙÒÓ Ù Ú ÖØ Ð ÔÙÒØÓ (0, 6)º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÓÒ ÒØÖÓ Ò (0,0) Ø Ð ÕÙ ÙÒÓ Ù Ú ÖØ Ð ÔÙÒØÓ (0, 5) Ý ÙÒÓ Ù ÓÓ Ð ÔÙÒØÓ (0, 4)º º ÍÒ Ð Ô Ø Ò ÒØÖÓ Ò (0,0) Ù Ó Ð Ð y Ù Ñ ÝÓÖ Ñ ÙÒ Ý Ð Ø Ò ÒØÖ Ù ÓÓ ¾ ÙÒ º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ô Ý ØÖ Ù Ö º º ÅÙ ØÖ ÕÙ Ð Ù Ò 5y +144x 5 = 0, Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ð Ô º À ÐÐ Ù ÓÓ Ù Ú ÖØ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÖ Ý ØÖ Ù Ö º

351 Ä Ò Ä Ð Ô ÁÎ ØÙ Ö ÑÓ Ò Ø Ð Ò Ð Ô ÙÝÓ ÒØÖÓ ÒÓ Ø Ù Ó Ò Ð ÔÙÒØÓ (0,0) Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xyº Ò Ø Ó Ö Ò Ö Ó Ö Ð Þ Ö ÙÒ ØÖ Ð Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ö Ñ Ò Ö Ù Ð Ð Ô º Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÐ Ú Ö Ó Ñ Ð Ö Ð Ö Ð Þ Ó Ô Ö Ð Ô Ö ÓÐ º Ð Ô ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (h,k) ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ð Ô ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò ÒØÖÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ (h,k) Ö ÒØ Ð (0,0)º Ë Ò ÔÙÒØÓ Ù ÑÓ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÒØÓÒ Ð Ð Ô Ø Ò ÔÓÖ Ù Ò Ò Ð Ø Ñ x y (x ) a + (y ) b = 1. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÑÓ ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ý x y Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ó Ñ ÒØ Ð Ù ÓÒ x = x h Ý y = y k, º½µ ÒØÓÒ Ð Ù Ò Ð Ð Ô Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ø Ò Ð ÓÖÑ (x h) + a (y k) b = 1. Ò ÓÖÑ Ñ Ð Ö ÔÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö ÕÙ ÙÒ Ð Ô Ú ÖØ Ð Ø Ò ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (h,k) ÒØÓÒ Ù Ù Ò Ø Ò Ð ÓÖÑ ÑÔÐÓ º½ (y k) a + (x h) b = 1. ÍÒ Ð Ô Ø Ò ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ (,) Ý (10,)º ËÙÔÓÒ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ Ú ÖØ Ð Ð Ô ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ (0,)º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ð Ô Ð ÓØÖÓ Ú ÖØ Ý ØÖ Ù Ö º ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ ÐÓ ÓÓ Ø Ò Ù Ó Ò (,) Ý (10,) ÒØÓÒ Ð Ó Ð Ð Ð Ô Ð Ö Ø y = Ý Ø Ò ÑÓ ÙÒ Ð Ô ÓÖ ÞÓÒØ Ðº

352 Ç ÖÚ ÕÙ Ð Ø Ò ÒØÖ ÐÓ ÓÓ 8 ÙÒ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ c = 8 Ö c = 4 Ý Ð ÒØÖÓ Ð Ð Ô Ù 4 ÙÒ ÓÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÒØÖÓ Ð Ð Ô Ö Ð ÔÙÒØÓ (6,) Ö ÕÙ (h,k) = (6,)º Ð Ù Ö Ò Ø ÔÙÒØÓ Ð ÓÖ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ó Ø Ò ÑÓ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ò ÐÓ Ó Ø Ñ ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ x = x 6 Ý y = y. ÓÒ Ø Ô Ö Ù ÓÒ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò ÐÓ ÓÓ Ý Ð Ú ÖØ Ó Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÓÓ ( 6, ) = ( 4,0) Ý (10 6, ) = (4,0)º Î ÖØ (0 6, ) = ( 6,0)º ÄÙ Ó Ð ÓØÖÓ Ú ÖØ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ (6,0) Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ý Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ò Ð ÔÙÒØÓ (6+6,0+) = (1,)º Ò Ð ÙÖ º½ ÑÙ ØÖ Ð Ù Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÐÓ ÓÓ Ý ÐÓ Ú ÖØ º ÙÖ º½ Ë Ò Ð ÓÓÖ Ò ÐÓ ÓÓ Ý ÐÓ Ú ÖØ Ò Ð Ø Ñ x y ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ c = 4 Ý a = 6º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ b = a c = = 0, Ý ÒØÓÒ Ð Ù Ò Ð Ð Ô Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y (x ) + (y ) = 1, a b (x ) 36 + (y ) 0 = 1, Ý Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy (x 6) 36 + (y ) 0 = 1.

353 ÄÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð Ô Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÓÒ ÐÓ Ù Ò¹ Ø ÒØÖÓ C = (0,0)º ÓÓ F 1 = ( 4,0) Ý F = (4,0)º Î ÖØ V 1 = ( 6,0) Ý V = (6,0)º ÜØÖ ÑÓ Ð Ñ ÒÓÖ A 1 = (0, 0) Ý A = (0, 0)º ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ð ÙÖ ÙÖ Ñ Ò Þ½ ÑÙ ØÖ Ð Ö Ð Ð Ô º ÙÖ º¾ Ö Ó ½º ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ð Ð Ô Ð ÑÔÐÓ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ¹ Ò xyº ËÙ Ö Ò ÍØ Ð Þ Ð Ù ÓÒ º½µº ¾º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÓÒ ÒØÖÓ Ò (3,) ÙÒ ÓÓ Ò (3,4) Ý ÙÒ Ú ÖØ Ò (3,5)º º ÌÖ Ð Ö Ð Ð Ô ÙÝ Ù Ò Ø ÔÓÖ (x ) +y = 9. 9 º ÓÑÔÐ Ø ÐÓ Ù Ö Ó Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ò x +x+4y 16y 47 = 0, Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ð Ô ÒÙ ÒØÖ ÐÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ¹ Ò xy Ý ØÖ Ð Ö º º ÒÙ ÒØÖ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÙÝÓ ÓÓ ÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ (4, ) Ý (4,10) Ý ÕÙ Ø Ò ÙÒÓ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ù ÒÓÖÑ Ð Ò (1,4)º º ÌÖ Ð Ö Ð Ð Ô x +3) +(y Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y º = 1º ÒÙ ÒØÖ Ù ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ñ ÒØÓ

354 ¼

355 Ä Ò À Ô Ö ÓÐ Á Ò Ò ÄÐ Ñ ÑÓ Ô Ö ÓÐ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð ÕÙ Ð Ö Ò Ð Ø Ò¹ Ó ÔÙÒØÓ Ó Ó ÐÐ Ñ Ó ÓÓ ØÓÑ Ò Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú º Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÙÝÓ ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ F 1 = ( c,0) Ý F = (c,0) ÓÒ c ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ý ÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ Ð ÔÙÒØÓ P = (x,y) ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ Ú Ö ÙÖ º½µº ÙÖ º½ ÄÐ Ñ ÑÓ a ÓÒ a > 0 Ð Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ø Ò P F 1 Ý Ð Ø Ò P F º Ø Ö Ò ÔÙ Ö ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ø Ú ÒØÓÒ Ø Ò ÑÓ ½

356 ÕÙ d(p,f 1 ) d(p,f ) = ±a, (x+c) +(y 0) (x c) +(y 0) = ±a, (x+c) +y = (x c) +y ±a, [ ] [ ], (x+c) +y = (x c) +y ±a (x+c) +y = (x c) +y ±4a (x c) +y +4a, x +xc+c = x xc+c ±4a (x c) +y +4a, 4xc 4a = ±4a (x c) +y, xc a = ±a (x c) +y, [ (xc a ) = ±a ], (x c) +y x c xca +a 4 = a [(x c) +y ], x c xca +a 4 = a (x xc+c +y ), x c xca +a 4 = a x xca +a c +a y, x (c a ) a y = a (c a ). ÓÖ ÓÑÓ Ð ÙÑ Ð ÐÓÒ ØÙ Ó ÐÓ Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ø Ö Ö Ð Ó ÒØÓÒ d(p,f 1 )+d(f 1,F ) > d(p,f ), d(f 1,F ) > d(p,f ) d(p,f 1 ). Á Ù ÐÑ ÒØ ÓÒ ÐÓ Ù Ð d(f 1,F ) > d(p,f 1 ) d(p,f ), d(f 1,F ) > d(p,f 1 ) d(p,f ), c > a. Ð Ú ÑÓ Ð Ù Ö Ó Ó Ø Ò ÑÓ c > a ÐÓ Ù Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ c a > 0º Ø ÓÖÑ Ò Ò Ó b = c a ÓÒ b > 0 Ý Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ò Ð ÜÔÖ Ò Ó Ø Ò ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ù ÕÙ x b a y = a b. ÄÙ Ó Ú ÑÓ Ø ÐØ Ñ ÜÔÖ Ò ÔÓÖ a b Ó Ø Ò ÑÓ x a y b = 1 ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ F 1 = ( c,0) Ý F = (c,0)º ¾

357 ÑÔÐÓ º½ À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 8,0) Ý (8,0) Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (,0)º ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ ÐÓ ÓÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÒÙ ÒØÖ Ò Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 8,0) Ý (8,0) ÒØÓÒ ÒØ ÑÓ c = 8º ÓÖ ÓÑÓ Ð ÔÙÒØÓ (,0) Ô ÖØ Ò Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ý Ð Ù Ò Ø Ø ÔÓ Ô Ö ÓÐ Ð ÓÖÑ ÒØÓÒ ÙÑÔÐ Ö ÕÙ ÄÙ Ó x a y b = 1, a + 0 b = 1. 4 a = 1, a = 4. ÓÑÓ a > 0 ÒØÓÒ a = º Ò ÐÑ ÒØ b = c a = 8 = 60. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ö Ó x 4 y 60 = 1. ½º À ÐÐ ÐÓ ÓÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝ Ù Ò µ x y 3 = 1º µ x 9 y 4 = 1º µ 11x 5y = 55º µ 3x 7y 1 = 0º ¾º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ ÓÒ º µ ÓÓ ( 5,0) Ý (5,0)º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (3,0)º µ ÓÓ ( 10,0) Ý (10,0)º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ( 4,0)º µ ÓÓ ( 7,0) Ý ( 7,0)º È ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (4, 5/3)º

358

359 Ä Ò ¼ À Ô Ö ÓÐ ÁÁ Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ ¹ ¼µ Ý ¼µ Ë Ñ ØÖ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ù Ò x a y b = 1 Ö ÑÔÐ Þ ÑÓ x ÔÓÖ x Ó y ÔÓÖ y Ð Ù Ò ÒÓ Ñ º ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð y Ý ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð x Ý ÒØÓÒ Ð ÔÙÒØÓ (0,0) Ð ÒÓÑ Ò ÒØÖÓ Ð Ô Ö ÓÐ º ÁÒØ Ö Ò ÓÒ ÐÓ Ë x = 0 Ó Ø Ò ÑÓ Ò Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ y = b. ÓÑÓ b 0 ÒØÓÒ ÒÓ Ü Ø ÙÒ Ú ÐÓÖ Ö Ð y ÕÙ Ø Ð ÒØ Ö ÓÖ Ù Ð º ØÓ Ò ÕÙ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ù Ò ÒÓ ÒØ Ö ÔØ Ð yº x a y b = 1 Ë y = 0 Ó Ø Ò ÑÓ Ò Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ x = a. Ø Ù Ò Ø Ò Ó ÓÐÙ ÓÒ x = a Ý x = a ÐÓ Ù Ð ÕÙ Ö Ö ÕÙ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ù Ò x a y b = 1 ÒØ Ö ÔØ Ð x Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ( a,0) Ý (a,0)º Ø Ô Ö ÔÙÒØÓ Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ú ÖØ Ð Ô Ö ÓÐ Ú Ö ÙÖ ¼º½µº

360 ÙÖ ¼º½ ÒØÓØ Ô ÑÓ y Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ y = ±b x 1 = ±b a x a y b = 1, x y 1 = a ( ) b, x b a 1 = y, x a (1 a x ) = ± ba x 1 a x. ÓÖ Ò Ð ÑÓ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ö ÑÙÝ Ð Ö Ó ÑÙÝ Ð ÞÕÙ Ö Ò Ð x ØÓ Ù Ò Ó x ÑÙÝ Ö Ò º Ò Ø Ó Ð Ú ÐÓÖ a ÚÙ ÐÚ x ÑÙÝ Ô ÕÙ Ó Ð Ú ÐÓÖ Ð Ö Þ Ù Ö Ò Ð ÜÔÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÖÓÜ Ñ ÑÙ Ó ½ ÑÓ ÕÙ Ø Ò ½µ Ý Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÔÖÓÜ Ñ ÑÙ Ó Ð Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÓÒ y = b a x Ý y = b a x, ÕÙ ÓÒ Ð Ù ÓÒ Ó Ö Ø ÕÙ Ô Ò ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý Ø Ò Ò Ô Ò ÒØ b a Ý b a Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ø Ô Ö Ö Ø Ð ÓÒÓ ÓÑÓ ÒØÓØ Ð Ô Ö ÓÐ Ý Ø Ð ÓÑÓ Ù Ó ÓÒ Ó Ö Ø Ð Ù Ð ÔÖÓÜ Ñ ÑÙ Ó Ð Ö Ð

361 Ô Ö ÓÐ ÑÙÝ Ð ÞÕÙ Ö Ý ÑÙÝ Ð Ö Ò Ð xº Ä ØÙ Ò ÐÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ¼º¾º ÙÖ ¼º¾ Ê Ñ Ð Ô Ö ÓÐ Ë Ô ÑÓ x Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ó Ø Ò ÑÓ [ ] x = a 1+ y, b Ý ÓÑÓ y y 0 ÒØÓÒ 1+ 1 ÓÒ ÐÓ Ù Ð b b x a, x a 0, (x a)(x+a) 0, ÕÙ ÕÙ Ú Ð x (, a] [a, )º ØÓ ÒÓ Ò ÕÙ ÒÓ Ý ÔÙÒØÓ (x,y) Ò Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ô Ö ÐÓ Ù Ð x ( a,a)º Ò ÓØÖ Ô Ð Ö Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ø Ú Ò Ó Ô ÖØ ÕÙ ÐÐ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ (x,y) ÓÒ x a Ý ÕÙ ÐÐ ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÓ ÔÙÒØÓ (x,y) ÓÒ x aº ÙÒ Ø Ô ÖØ Ð ÐÐ Ñ Ö Ñ Ð Ô Ö ÓÐ º ÑÔÐ Ò Ó ØÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ò Ð Þ ÔÖÓ ÑÓ Ò Ð ÙÖ ¼º Ö Ð Þ Ö Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ ( c,0) Ý (c,0)º

362 ÙÖ ¼º ÈÓÖ Ð ÓÖÑ Ð Ö Ð x Ð ÒÓÑ Ò ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ô Ö ÓÐ Ý ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº

363 Ä Ò ½ À Ô Ö ÓÐ ÁÁÁ ÑÔÐÓ ½º½ À ÐÐ ÐÓ Ú ÖØ ÓÓ ÒØÓØ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÙÝ Ù Ò Ú Ò ÔÓÖ x 4 y 9 = 1. ËÓÐÙ Ò Î ÖØ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ a = ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ Ú ÖØ ÓÒ (,0) Ý (,0)º ÓÓ ÓÑÓ b = 3 ÒØÓÒ c = a +b = 4+9 = º ÕÙ ÐÓ ÓÓ ÓÒ ( 13,0) Ý ( 13,0)º ÒØÓØ Ä ÒØÓØ ÓÒ y = ± 3 xº Ö ÓÒ ØÓ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÔÖÓ ÑÓ Ò Ð ÙÖ ÙÖ ½º½ Ö Ð Þ Ö Ð Ö ¹ Ð Ô Ö ÓÐ º ÙÖ ½º½

364 Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ ¼ ¹µ Ý ¼ µ Å ÒØ ÙÒ Ò Ð Ñ Ð Ö Ð Ö Ð Þ Ó Ò Ð Ó Ð ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÑÓ Ú Ö ÕÙ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ (0, c) Ý (0,c) ÓÒ Ù Ò y a x b = 1 ÓÒ c = a +b º Ë Ñ ØÖ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð x Ý ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð yº ÁÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð Ü ÆÓ Ø Ò º ÁÒØ Ö ÔØÓ ÓÒ Ð Ý Î ÖØ (0, a) Ý (0,a)º ÒØÓØ y = ± a b xº Ê Ñ y a Ý y aº ØÖ Ò Ú Ö Ð yº Ö Ë Ò Ð Ò ÓÖÑ Ò Ð Ö ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ½º¾º ÙÖ ½º¾ ÈÓÖ Ð ÓÖÑ Ð Ö ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ðº ÑÔÐÓ ½º¾ À ÐÐ ÐÓ Ú ÖØ ÓÓ ÒØÓØ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ 16y 9x 144 = 0. ¼

365 ËÓÐÙ Ò Ê Ö ÑÓ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ù ÒØ ÓÖÑ 16y 9x = 144, 16y 144 9x 144 = 1, y 9 x 16 = 1. ÈÓÖ Ð ÓÖÑ Ð Ù Ò ØÖ Ø ÙÒ Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ðº Î ÖØ Ç ÖÚ ÑÓ ÕÙ a = 3 ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ Ú ÖØ ÓÒ (0, 3) Ý (0,3)º ÓÓ ÓÑÓ b = 4 ÒØÓÒ c = a +b = 9+16 = 5 = 5º ÕÙ ÐÓ ÓÓ ÓÒ (0, 5) Ý (0,5)º ÒØÓØ Ä ÒØÓØ ÓÒ y = ± 3 4 xº Ö ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ò Ó Ø Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÙÖ ½º º ÙÖ ½º Ö Ó ½º ÓÒ ÐÓ ØÓ Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ù Ò Ð Ò¹ ØÓØ Ý ØÖ Ù Ö º µ ÓÓ ( 5,0) Ý (5,0)º Î ÖØ ( 4,0) Ý (4,0)º µ ÓÓ ( 6,0) Ý (6,0)º Î ÖØ ( 5,0) Ý (5,0)º µ ÓÓ (0, 10) Ý (0,10)º Î ÖØ (0, 8) Ý (0,8)º ½

366 ¾º À ÐÐ ÐÓ Ú ÖØ ÓÓ ÒØÓØ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝ Ù Ò Ú Ò ÔÓÖ µ 5x 8y = 40º µ 7y 9x = 63º º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÕÙ Ø Ò ÙÒÓ ÐÓ Ú ÖØ Ò Ð ÔÙÒØÓ (,0) Ò Ó ÕÙ ÙÒ Ù ÒØÓØ Ø Ò Ù Ò 3x 4y = 0º Ñ ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ÒØ Ý ØÖ Ù Ö º º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ð ÕÙ Ø Ò ÙÒÓ ÐÓ ÓÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (0, 5) Ò Ó ÕÙ ÙÒ Ù ÒØÓØ Ø Ò Ù Ò x 3y = 0º Ñ ÐÐ ÐÓ Ð Ñ ÒØÓ Ö Ø ÒØ Ý ØÖ Ù Ö º ¾

367 Ä Ò ¾ À Ô Ö ÓÐ ÁÎ À Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ µ ËÙÔÓÒ ÑÓ ÕÙ ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø Ò ÒØÖÓ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ (h,k) Ö ÒØ Ð (0,0)º Ë Ò ÔÙÒØÓ Ù ÑÓ ÙÒ ÒÙ ÚÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÒØÓÒ Ð Ô Ö¹ ÓÐ Ø Ò ÔÓÖ Ù Ò Ò Ð Ø Ñ x y (x ) a (y ) b = 1. ÓÖ ÓÑÓ ÐÓ Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ý xy Ø Ò Ö Ð ÓÒ Ó Ñ ÒØ Ð Ù ¹ ÓÒ x = x h Ý y = y k, ÒØÓÒ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ø Ò Ð ÓÖÑ (x h) a (y k) b = 1. Ò ÓÖÑ Ñ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ Ú ÖØ Ð Ý Ø Ò ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (h,k) ÒØÓÒ Ù Ù Ò Ø Ò Ð ÓÖÑ (y k) a (x h) b = 1. ÑÔÐÓ ¾º½ ÍÒ Ô Ö ÓÐ Ø Ò ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ (0,1) Ý (10,1)º Ë ÙÒÓ Ù Ú ÖØ Ð ÔÙÒØÓ (,1) ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ð ÓØÖÓ Ú ÖØ Ð Ù Ò Ð ÒØÓØ Ý ØÖ Ù Ö º ËÓÐÙ Ò ÓÑÓ ÐÓ ÓÓ Ø Ò Ù Ó Ò (0,1) Ý (10,1) ÒØÓÒ Ð ØÖ Ò Ú Ö Ð Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ö Ø y = 1 Ý ØÖ Ø ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº

368 Ç ÖÚ ÑÓ Ñ ÕÙ Ð Ø Ò ÒØÖ ÐÓ ÓÓ ½¼ ÙÒ ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð Ô Ö ÓÐ ÒÙ ÒØÖ ÙÒ ÓÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (5,1) Ö(h,k) = (5,1)º Ò Ø ÔÙÒØÓ Ù ÑÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò x y Ý ÒØÓÒ Ð Ö Ð Ò ÒØÖ ÐÓ Ó Ø Ñ Ø ÔÓÖ Ð Ù ÓÒ x = x 5 Ý y = y 1. ÓÒ Ø Ô Ö Ù ÓÒ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö ÐÓ ÓÓ Ý Ð Ú ÖØ Ó Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÓÓ (0 5,1 1) = ( 5,0) Ý (10 5,1 1) = (5,0)º Î ÖØ ( 5,1 1) = ( 3,0)º ÄÙ Ó Ð ÓØÖÓ Ú ÖØ ÒÙ ÒØÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ (3,0) Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y Ý Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy Ò Ð ÔÙÒØÓ (3+5,0+1) = (8,1)º Ò Ð ÙÖ ¾º½ ÑÙ ØÖ Ð Ù Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÐÓ ÓÓ Ý ÐÓ Ú ÖØ º y y 1 F 1 V 1 V F 5 10 x x ÙÖ ¾º½ Ë Ò Ð ÓÓÖ Ò ÐÓ ÓÓ Ý ÐÓ Ú ÖØ Ò Ð Ø Ñ x y ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ c = 5 Ý a = 3º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ b = c a = 5 9 = 4 Ý ÒØÓÒ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y (x ) a (y ) b = 1, (x ) 9 (y ) 16 = 1, Ý Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy (x 5) 9 (y 1) 16 = 1.

369 Ñ Ð Ù ÓÒ Ð ÒØÓØ Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò x y ÓÒ y = ± b a x, y = ± 4 3 x, Ý Ò Ð Ø Ñ ÓÓÖ Ò xy ÓÒ y 1 = 4 3 (x 5), Ý y 1 = 4 3 (x 5), y = 4 3 x , Ý y = 4 0 x , y = 4 3 x 17 3, Ý y = 4 3 x ÓÒØ ÒÙ Ò Ò Ð ÙÖ ¾º¾ ÑÙ ØÖ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ º ÙÖ ¾º¾ Ö Ó ½º ÓÒ ÐÓ ØÓ Ó Ø ÖÑ Ò Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ Ð Ù Ò Ð Ò¹ ØÓØ Ý ØÖ Ù Ö º µ ÓÓ ( 1, 6) Ý (9, 6)º Î ÖØ (1, 6) Ý (7, 6)º µ ÓÓ ( 3, 1) Ý ( 3, 6)º Î ÖØ ( 3, 11) Ý ( 3, 7)º

370 ¾º À ÐÐ ÐÓ Ú ÖØ ÓÓ ÒØÓØ Ý ØÖ Ð Ö Ð Ô Ö ÓÐ ÙÝ Ù Ò Ú Ò ÔÓÖ µ 5x 36y 150x 144y 819 = 0º µ 144x 196y +115x+39y+549 = 0º º À ÐÐ Ð Ù Ò Ð Ô Ö ÓÐ ÓÒ ÓÓ Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ ( 13, 7) Ý (1, 7) Ý ÕÙ Ô ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ (, )º

371 Ä Ò Ù Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ó Ö Ó Ý Ö Ñ Ò ÒØ º Ò Ð Ð ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ØÙ Ó Ð ÓÒ Ò ÓÒ Ù Ô Ö Ð ÐÓ Ð ÙÒÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó x Ý yº Ò Ø Ð Ò ØÙ Ö ÑÓ Ð ÓÒ Ò Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø Ð Ù Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ó Ö Ó ÕÙ ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ ÓÒ A 0, Ó B 0 Ó C 0. Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0, ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ù ÓÒ Ð Ò ØÙ Ø Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÔÙ Ò Ö Ö Ò Ð ÓÖÑ Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0, ÓÒ A 0, Ó C 0, Ð Ù Ð Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ Ò xy. Ñ ÔÙ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ø ÐØ Ñ Ù Ò Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ ÓÒ ÒØ ÓÒµ Ð ÙÒÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó x,y, Ó ÙÒ Ò Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ó ÙÒ Ô Ö Ö Ø Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ò Ò Ò ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ú Óµµ ÔÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ù Ò Ð ÖÙÒ Ö Ò (x h) +(y k) = r, Ó Ø Ò Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ò Ó A = C = 1, D = h, E = k Ý F = h +k r. Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð Ô Ö ÓÐ Ù Ò (y k) = 1 4p (x h), Ó Ø Ò Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ò Ó A = 1, BC = 0, D = h, E = 4p Ý F = h +4pk. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ð Ò Ö Ø Ô Ö ÓÑÓ ÙÒ Ó Ô Ð Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ò Ó A = C = 0. Ð Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ö Ó Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Þ Ð ÙÖÚ Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ð Ù Ò ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Þ Ò Ó Ò Ñ ÒØ Ù Ó ÒØ º Ì ÓÖ Ñ º Ä Ù Ò Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0, ÓÒ A,C,D,E,F ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð Ý A 0, Ó C 0, Ö ÔÖ ÒØ ½º ÖÙÒ Ö Ò A = C 0. Ò Ó Ô Ð ÔÙ Ö Ù Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ó ÖÙÒ Ö Ò Ò Ö Ó Ö Ö ÔÙÒØÓ Ö Ð µº

372 ¾º È Ö ÓÐ A 0 Ý C = 0 Ó A = 0 Ý C 0, Ö A C = 0 Ò Ó Ô Ð ÔÙ Ö Ù Ö ÙÒ Ô Ö Ö Ø Ô Ö Ð Ð Ó ÙÒ Ö Ø Ò Ð Ó Ô Ö ÓÐ Ò Ö ºµ º Ð Ô A Ý C Ø Ò Ò Ð Ñ ÑÓ ÒÓ Ö A C > 0. Ò Ó Ô Ð ÔÙ Ö Ù Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò Ð Ó Ð Ô Ò Ö Ó Ö Ö ÔÙÒØÓ Ö Ð µº º À Ô Ö ÓÐ AÝC Ø Ò Ò ÒÓ ÓÔÙ ØÓ Ö A C < 0. Ò Ó Ô Ð ÔÙ Ö Ù Ö ÙÒ Ô Ö Ö Ø ÒØ Ò Ð Ó Ô Ö ÓÐ Ò Ö ºµ Ç ÖÚ Òº Ë Ð Ù Ò Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0, Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò ÒÓ Ò Ö ÒØÓÒ D Ý E Ò Ò ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð Ò Ù Ò Ó ÐÓ Ýµ Ø Ù Ö Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò D = 0 Ð ÒØÖÓ Ø Ó Ö Ð y Ý E = 0 Ð ÒØÖÓ Ø Ó Ö Ð x. Ë F 0, ÒØÓÒ Ð Ò ÒÓ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò Ý F = 0 Ô º ÑÔÐÓ º½ Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÕÙ Ø ÔÓ Ò ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ù Òº ½º 4x +5y 14x+16y 55 = 0 ¾º 4x +4y 14x+16y 55 = 0 º 4x 4y 14x+16y 55 = 0 º 8y 14x+16y 55 = 0 ËÓÐÙ Òº ½º ÓÑÓ A = 4 Ý C = 9 Ø Ò Ð Ñ ÑÓ ÒÓ Ð Ò ÙÒ Ð Ô ÓÒ Ù Ô Ö ¹ Ð ÐÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó x,y Ý ÓÒ Ù ÒØÖÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò xy ÔÙ D = 14 Ý E = 16µ Ý ÒÓ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÔÙ F = 55 0.µ ¾º ÓÑÓ A = 4 Ý C = 4 Ð Ò ÙÒ ÖÙÒ Ö Ò ÓÒ Ù Ô Ö Ð ÐÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó x,y Ý ÓÒ Ù ÒØÖÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò xy ÔÙ D = 14 Ý E = 16µ Ý ÒÓ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÔÙ F = 55 0.µ º ÓÑÓ A = 4 Ý C = 4 Ø Ò ÒÓ ÓÔÙ ØÓ Ð Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ù Ô Ö Ð ÐÓ ÐÓ ÓÓÖ Ò Ó x,y Ý ÓÒ Ù ÒØÖÓ Ø ÒØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò xy ÔÙ D = 14 Ý E = 16µ Ý ÒÓ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÔÙ F = 55 0.µ º ÓÑÓ A = 0 Ý C = 8 Ð Ò ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÓÒ Ó Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ð x Ý ÓÒ Ú ÖØ Ø ÒØÓ Ð ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò x,y ÔÙ D = 14 Ý E = 16µ Ý ÒÓ Ô ÔÓÖ Ð ÓÖ Ò ÔÙ F = 55 0.µ ÆÓØ ÑÓ ÕÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ò ØÙÖ Ð Þ Ð Ò Ò ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÔÓÖ Ð ÓÒ Ø ÒØ AÝC. Ò Ò Ö Ð Ð Ø ÔÓ ÙÖÚ Ô Ò ÙÒ ÒØ ÕÙ Ò ÑÓ ÓÒØ ÒÙ Òº

373 ÄÐ Ñ ÑÓ Ö Ñ Ò ÒØ Ð Ù Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ó Ö Ó Ax +Bxy +Cy + Dx+Ey +F = 0, ÓÒ A,B,C,D,E Ý F ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð Ð Ò Ñ ÖÓ B 4AC. Ò Ð Ó B = 0, Ø Ö Ù 4AC. Ð Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÐÓ ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ö ÓÑÓ Ì ÓÖ Ñ º Ä Ù Ò Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0, ÓÒ A,C,D,E,F ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Ö Ð Ý A 0, Ó C 0, Ö ÔÖ ÒØ ½º ÖÙÒ Ö Ò A = C Ý 4AC < 0. ¾º È Ö ÓÐ 4AC = 0. º Ð Ô 4AC < 0. º À Ô Ö ÓÐ 4AC > 0. Ó Ù Ö Ô Ø Ú ÓÖÑ ÓÒ Ù Ö Ó ÓÒ ÐÓ Ò Ð Þ Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÑÔÐÓ º¾ Ø ÖÑ Ò ÑÓ ÕÙ Ø ÔÓ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ù Òº ½º y 1x 4y 56 = 0 ¾º 16x +9y 64x+18y 71 = 0 ËÓÐÙ Òº ½º Ä Ö y 1x 4y 56 = 0 Ö ÙÒ Ô Ö ÓÐ ÔÙ Ò Ø Ó A = 0 Ý C = 1, ÒØÓÒ 4AC = (0)(1) = 0. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ù Ö Ó Ò y, Ö ÓÖ Ò Ò Ó Ý ØÓÖ Þ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ x+5 = 1 1 (y ). ¾º Ä Ö 16x + 9y 64x + 18y 71 = 0 Ö ÙÒ Ð Ô ÔÙ Ò Ø Ó A = 16 Ý C = 9, ÒØÓÒ 4AC = (16)(9) = 144 < 0. ÆÓØ ÑÓ ÕÙ ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ù Ö Ó Ò y, Ö ÓÖ Ò Ò Ó Ý ØÓÖ Þ Ò Ó Ø Ò Ö ÑÓ Ç ÖÚ Òº (y +1) 4 + (x ) 3 = 1. Ð Ó B 0 Ò Ð Ù Ò Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F = 0, ÙÒÕÙ ÒÓ ÐÓ Ú ÑÓ ØÖ Ø Ö Ò Ø Ð Ò Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ Ò Ó Ù Ò Ö Ò ÓÒ Ó Ð ÖÓØ Ó Ö ÓÒ Ö Ø Ó Ð Ù ÓÒ Ö Ô ØÓ ÐÓ x,y.

374 Ö Ó º ½º Ò Ó Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø ÔÓ Ò ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ù Òº µ 4x +16y 5 = 0 µ y 9x = 0 µ 16x 9y +96x 7y 144 = 0 µ 4x +y 36 = 0 µ 3x +4y +66x 4y +36 = 0 ¾º ÓÒ Ö Ð Ù Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ó Ö Ó Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0, µ ÒÙ ÒØÖ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ A,C,D,E Ý F Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ð Ö ÙÒ Ô Ö Ö Ø º µ ÒÙ ÒØÖ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ A,C,D,E Ý F Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ð Ö ÙÒ ÓÐ Ö Ø º µ ÒÙ ÒØÖ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ A,C,D,E Ý F Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓº µ ÒÙ ÒØÖ ÙÒÓ Ú ÐÓÖ A,C,D,E Ý F Ô Ö ÐÓ Ù Ð Ð Ö Ú º ¼

375 Ä Ò ÔÐ ÓÒ Ð Ò Á Ð ÔÓ Ò ÕÙ ÔÓÐÓÒ Ó ÑÓ ØÖ Ð ÔÖÓÔ Ð ÙÖÚ Ò ¹ Ù Ö ÕÙ Ø Ð Ö Ò Ô Ó Ò ÓÖÑ Ò Ò ÔÐ Ò Ó Ð ÔÖÓÔ Ö Ü Ò Ó Ø Ò Ò Ó ÐÓ ÐÐ Ñ Ó Ô Ó Ð ÔØ Ó Ô Ö Ð Ó Ó Ô Ö Ð Ó º Ù ÒØ ÒÐÙ Ó ÙÒ Ð Ý Ò ÕÙ ÖÕÙ Ñ ¾ ¹¾½¾ º ºµ ÐÓ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ú ÖÓÑ Ò ÙÖ ÒØ Ð Ò Ë Ö Ù Ù Ò Ó Ð ÔÖÓÔ ÐÓ Ô Ó Ô Ö Ð ¹ Ó º ÔÐ ÓÒ Ð Ð Ô Ð ØÖ ÒÓÑÓ Ð Ñ Ò ÂÓ ÒÒ Ã ÔÐ Ö ½ ¼¹½ ¼µ Ù Ö ÕÙ Ð Ö Ø ÐÓ ÔÐ Ò¹ Ø ÐÖ ÓÖ Ð ÓÐ ÓÒ Ð Ô ÕÙ Ø Ò Ò Ð ÓÐ ÓÑÓ ÙÒÓ Ù ÓÓ Ò Ð Ó Ð Ø ÖÖ Ð Ü ÒØÖ ¼º¼½ Ý ÐÓ Ñ ÔÐ Ò Ø Ú Ö Ò ¼º¼¼ Æ ÔØÙÒÓ ¼º¾ ¼ ÈÐÙØ Òº Å Ø Ö Ð Ð Ö Ñ Ø Ñ Ø Ó Ý Ó Ò Ð Á Æ ÛØÓÒ ½ ¾¹½ ¾ µ ÑÓ ØÖ ÕÙ Ð Ö Ø ÙÒ Ù ÖÔÓ ÐÖ ÓÖ ÙÒ Ù ÖÞ Ø ÔÓ Ö Ú Ø ØÓÖ Ó ÑÔÖ ÙÒ ÙÖÚ Ò º Ô ÖØ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð Ð Ô Ø Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÐ ÓÒ Ò Ð Ñ Ò º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ò Ð ÒØ Ö Ò ÐÙÐÓ Ö Ò Ð ÙØ Ð Þ ÙÒ Ô Ö ØÓ ÒÓÑ Ò Ó Ð ØÓØÖ ÔØÓÖ Ð Ù Ð Ù ÙÒ Ö ØÓÖ Ð ÔØ Ó Ô Ö ÕÙ ÓÒ ÒØÖ Ð ÓÒ ÓÕÙ ÔÖÓ Ù ÔÓÖ ÙÒ Ò Ö ÓÖ ÓÒ Ò Ð ÐÙÐÓ Ý ÐÓ ØÖÙÝ º Ò ÐÑ ÒØ Ú Ð Ð Ô Ò Ñ Ò ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÖÕÙ Ø ØÙÖ ÓÒ ØÖÙÝ Ò Ø Ó Ð Ô Ó Ð ÐÐ Ñ Ó ÓÑ ÒÑ ÒØ Ô ÐÐ ÐÓ Ö ØÓ µ ÓÒ ÔÙ Ó Ö ÙÒ Ô Ö ÓÒ Ù Ò ÙÒ ÓÓ Ð ÓØÖÓ ÓÓ Ñ ÒØÖ ÕÙ Ð Ô Ö ÓÒ Ù Ò Ð Ñ Ó ÒÓ ÔÓ Ö Ò Ù Ö Ò º ÑÔÐÓ º½ Ð ÖÓ ÙÒ ÔÙ ÒØ Ñ Ð ÔØ Ó ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÓÖ ÞÓÒØ Ðº Ä Ð ÖÓ Ø Ò ¼ Ñ ØÖÓ ÐÓÒ ØÙ Ý Ù Ô ÖØ Ñ ÐØ ÓÒ Ö Ô ØÓ Ð Ø ÖÖ Ø ½¼ Ñ ØÖÓ º Ø ÖÑ Ò Ð ÐØÙÖ Ð ÖÓ Ñ ØÖÓ Ð ÒØÖÓ Ð º ½

376 ËÓÐÙ Ò Ù Ö Ó ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÙÑ Ò ØÖ ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ð ÔÙ ÒØ ÔÓÖ Ñ Ó Ð Ð Ô ÐÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ º½º ÙÖ º½ Ó Ò Ð ÙÖ º½ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ð Ù Ò Ð Ð Ô ÕÙ Ö Ð ÔÙ ÒØ x 15 + y 10 = 1. ÕÙ Ð ÐØÙÖ hµ Ð ÖÓ Ð ÔÙ ÒØ 6 Ñ ØÖÓ Ð ÒØÖÓ Ð ÔÙ Ö ÒÓÒØÖ ÔÓÖ Ñ Ó Ð ÜÔÖ Ò h 10 = 1, ÓÒ ( ) h = = 84, 15 Ö h = 1mº ÑÔÐÓ º¾ ÍÒ ÔÙ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Ó ÔÓÖ Ò Ñ ÙÒ ÙØÓÔ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ñ Ð ÔØ ÓÑÓ ÑÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ º¾º Ä Ñ ÒÓÖ ÐØÙÖ Ó Ö Ð ÙØÓÔ Ø 4 Ñ ØÖÓ Ý Ð ÐØÙÖ Ñ Ü Ñ 9 Ñ ØÖÓ º Ð Ò Ó Ð ÔÙ ÒØ 50 Ñ ØÖÓ º Ð ÓÒ ÙØÓÖ ÙÒ Ñ Ò ÕÙ Ô Ö ÔÓÖ ÙÒ ÖÖ Ð Ð ÙØÓÔ Ø ØÙ Ó 10 Ñ ØÖÓ ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ø Ö ÕÙ ÐØÙÖ ØÓØ Ð Ð Ö ÐØÙÖ Ð Ö Ñ ÐØÙÖ Ð Ñ Òµ ÔÙ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ö Ö ÙÒ ÐÙÞ 0.5 Ñ ØÖÓ ÒØÖ Ð Ö Ý Ð ÔÙ ÒØ º ¾

377 ÙÖ º¾ ËÓÐÙ Ò ÈÓ ÑÓ Ù Ö ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÖØ ÒÓ Ô Ö Ù Ö Ð Ð Ô ÕÙ ÓÖÑ Ð ÔÙ ÒØ º ÈÓÖ ÑÔÐ ¹ ÔÓ ÑÓ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ Ð ÒØÖÓ Ð Ð Ô Ø Ò Ð ÓÖ Ò Ý ÕÙ Ð Ñ Ñ ÝÓÖ Ø Ó Ö Ð º Ì Ò Ó Ò Ù ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÙÑ Ò ØÖ ÔÓ ÑÓ Ó Ø Ò Ö Ð Ö Ð ÙÖ º º ÙÖ º Ð Ö ÔÓ Ð Ù Ö ÕÙ Ð Ù Ò ÕÙ Ö Ð Ð Ô x 5 + y 9 = 1. È Ö ÔÓ Ö Ö ÔÓÒ Ö Ð ÔÖ ÙÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ ÐÐ Ö ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ò Ó Ð ÙØÓÔ Ø Ô Ö ÔÓ Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÕÙ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÒÙ ÒØÖ Ð Ñ Òº È Ö ØÓ Ø Ò ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ ÐÓ ÜØÖ ÑÓ Ð ÙØÓÔ Ø ÒÙ ÒØÖ Ò Ù Ó Ò ÐÓ ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÓÒ Ð ÐØÙÖ Ð Ð Ô 4m ÔÙÒØÓ L Ý L Ò Ð ÙÖ º µº Ö L = 1, ÓÒ ( ) L = = m 9

378 L =.40mº ÓÑÓ Ð Ñ Ò Ø Ô Ò Ó 10m ÙÒ ÜØÖ ÑÓ Ð ÙØÓÔ Ø ÔÓ ÑÓ ÒØÓÒ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ Ø Ô Ò Ó ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ Ó Ö Ð ÓÒ Pc = = 1.40m ÒÓØ ÕÙ Ó Ð Ñ ØÖ Ð Ð Ô Ð Ö ÙÐØ Ó Ö Ù Ð Ù ÑÓ Ð Ñ Ò Ó Ö Ð ÔÙÒØÓ ( Pc,0)µº Ô ÖØ Ö Ø Ö ÙÐØ Ó ÔÓ ÑÓ ÐÐ Ö Ð ÐØÙÖ hµ Ð ÔÙ ÒØ Ð Ô µ Ù Ò Ó x = 1.40 Ý Ó Ø Ò ÑÓ Ö h = 7.815mº h 9 = 1, ( ) h = = m, 5 Ò ÐÑ ÒØ ÓÑÓ ÑÓ Ö ÙÒ ÐÙÞ 0.5m ÒØÖ Ð Ö Ý Ð ÔÙ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÓÒ¹ ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ñ Ü Ñ ÐØÙÖ Ð Ñ Ò Ñ Ù Ö Ö 7.81m 0.5m = 7.31mº ÑÔÐÓ º Ä Ö Ø Ð Ì ÖÖ ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ Ø Ò Ð ÓÖÑ ÙÒ Ð Ô ÓÒ Ð ËÓÐ Ò ÙÒ ÓÓ Ú Ö ÙÖ º µº Ë Ð Ñ Ø Ð Ñ Ò ØÙ Ð Ñ ÝÓÖ Ö Ø Ñ ½ ¼¼¼ Ñ Ý Ð Ü ÒØÖ Ð Ð Ô ¼º¼½ ÐÐ Ö Ð Ø Ò Ñ Ü Ñ Ý Ð Ø Ò Ñ Ò Ñ Ð Ì Ö Ð ËÓк ÙÖ º ËÓÐÙ Ò ÈÓ ÑÓ ÙÔÓÒ Ö ÕÙ Ð Ö Ø Ð Ì ÖÖ ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ Ø Ö Ø ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ù Ò Ð ÓÖÑ x a + y b = 1, ÓÒ Ò Ø Ó a = º ÓÖ Ø Ò Ò Ó Ò Ù ÒØ ÕÙ Ð Ü ÒØÖ Ò ÓÑÓ e = c/a ÓÒ c Ð ÔÓ Ò ÙÒÓ ÐÓ ÓÓ ÔÓ ÑÓ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ð Ù Ò Ð ËÓÐ Ó Ö Ð Ø Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ c = ea = ( ) = 49780km. Ñ Ð Ö Ð Ò c = a b ÔÓ ÑÓ Ù Ö b = a c ÕÙ b = ÓÒ Ð Ù Ò Ð Ö Ø Ð Ì ÖÖ ÐÖ ÓÖ Ð ËÓÐ x y = 1.