ACTIVIDADES INICIALES

14 Combinatoria ACTIVIDADES INICIALES 14.I. Cuántos caracteres se podrían codificar usando un máximo de cinco símbolos Habría de un símbolo, 4 de dos, 8 de tres, 1 de cuatro y 3 de cinco, en total. 14.II. ara separar letras se deja un silencio de un punto de duración. Cómo se transmitiría la palabra Morse? Representando el silencio por /, sería / / / /. 14.III. El código Morse se utiliza también en transmisiones mediante señales luminosas. uedes simularlo en clase utilizando la mano (mano abierta: encendido, mano cerrada: apagado). Intenta transmitir un mensaje a algún compañero. Actividad abierta. 14.IV. ara aprender el alfabeto Morse se emplean diversas reglas mnemotécnicas. La más común es asociar a cada letra una palabra que empiece por esa letra, que tenga tantas vocales como símbolos tenga la letra codificada, de forma que cada O represente una raya y cada vocal distinta de O represente un punto. or ejemplo, la A ( ) se recordaría con la palabra Ajo, Árbol, Asno, Busca una palabra para cada letra. Verás que hay algunas muy difíciles Respuesta abierta. La K y las cuatro últimas son complicadas. Se puede usar algún truco, como buscar palabras en otro idioma, o variar la ortografía normal, como se suele hacer en los SMS. or ejemplo, para la K se puede usar la palabra Kosako 18 Unidad 14 Combinatoria

14.1. Actividad resuelta. ACTIVIDADES ROUESTAS 14.. En una cafetería puedes elegir entre tres tipos de café: colombia, india y arabia; cuatro tipos de leche: de soja, entera, desnatada y de almendras; dos toppings: canela y vainilla, y dos edulcorantes: azúcar y sacarina. Cuántos cafés diferentes podrían hacerse con los cuatro ingredientes? Formamos el diagrama en árbol: Aplicando el principio de multiplicación podremos hacer: 3 4 = 48 cafés diferentes. 14.3. Un determinado modelo de automóvil se fabrica con dos tipos de motores: diesel y gasolina; podemos elegir la carrocería entre cinco colores: blanco, rojo, azul, amarillo y negro, y con tres terminaciones: básica, deportiva y lujo. Cuántos tipos diferentes de coches se fabrican de ese modelo? Formamos el diagrama en árbol: Aplicando el principio de multiplicación podremos fabricar: 5 3 = 30 tipos diferentes de coches. Combinatoria Unidad 14 19

14.4. Actividad resuelta 14.5. En una comunidad formada por viviendas tiene que renovarse la junta directiva, ara ello deben elegir al presidente, al vicepresidente, al secretario y a un vocal. De cuántas formas diferentes se pueden asignar los cuatro cargos? V,4 = 1 0 19 = 175 50 formas diferentes de asignar los cargos de la junta directiva. 14.. En una parada de autobús hay 8 personas esperando. Si cuando suben al autobús solo hay 5 asientos libres, de cuántas formas diferentes pueden sentarse? V 8,5 = 8 7 5 4 = 70 formas diferentes de sentarse. 14.7. Actividad interactiva 14.8. Actividad resuelta. 14.9. Actividad resuelta. 14.10. Cuántas banderas con tres franjas horizontales pueden formarse con los colores blanco, rojo, azul, verde, naranja y amarillo? Ten en cuenta que puede haber banderas de un solo color. Disponemos de colores. Si podemos repetir colores obtenemos VR,3 = 3 = 1 banderas distintas. 14.11. Cuántos números de 5 cifras se pueden formar que contengan solo doses y treses? Admitiendo los dos casos formados uno exclusivamente por doses y otro por treses tenemos: VR,5 = 5 = 3 números distintas. 14.1. Cuántas palabras de seis letras se pueden forman que contengan solamente las vocales a, i y u? Tenemos: VR 3, = 3 = 79 palabras distintas. 14.13. Cuántos números impares de seis cifras hay que contengan solo unos y cuatros? Si solo contiene unos y cuatros y además debe ser impar, entonces la cifra de las unidades es necesariamente un uno. Nos quedan por tanto otras cinco cifras por determinar. or tanto tenemos: VR,5 = 5 = 3 números distintas. 14.14. Al lanzar tres dados diferentes, cuántos resultados diferentes pueden obtenerse? Si lanzamos tres dados, obtenemos VR,3 = ³ = 1 resultados distintos. 14.15. Actividad resuelta. 14.1. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) a) 1!!! 1! 1 11 10 9 8 7 5 4 3 1!! = 5 4 3 1 5 4 3 1 b) 10!! 1 11 5 3 3 4 7 = 3 5 4 3 c) = 1 11 7 = 94 9! 0 1! b) c) 10! 10 9 8 7 5 4 3 1 =! 5 4 3 1 = 10 9 8 7 = 5040 9! 9 8 7 5 4 3 1 0 3 5 11 1! = 1 11 10 9 8 7 5 4 3 1 3 5 11 5 1 = = = 1 11 10 10 0 Unidad 14 Combinatoria

14.17. Con las letras de la palabra QUIJOTE, cuántas palabras de 7 letras pueden formarse con sentido o no? Y si la primera letra es la J? Como ninguna de las letras se repite se trata de las permutaciones de 7 elementos, es decir: 7 = 7 5 4 3 1 = 5040 palabras Si forzamos que la primera letra sea J tenemos que reordenar las otras luego tendremos: = 5 4 3 1 = 70 palabras 14.18. Actividad resuelta. 14.19. De cuántas formas diferentes pueden colocarse alineados ocho rayas y cinco puntos? Y cinco rayas y cuatro puntos? Ocho rayas y cinco puntos: 8,5 13 13! 13 1 11 10 9 8! 13 1 11 10 9 = = = = 187 formas 8!5! 8!5! 5 4 3 1 Cinco rayas y cuatro puntos: 5,4 9 9! 9 8 7 5! 9 8 7 = = = = 1 formas 5! 4! 5! 4! 4! 14.0. Cuántas quinielas diferentes pueden hacerse con 8 unos, 5 equis y doses? 8,5, 15 15! 15 14 13 1 11 10 9 8! 15 14 13 1 11 10 9 = = = = 135 135 quinielas distintas 8!5!! 8!5!! 5!! 14.1. Cuántos números mayores que 100 000 pueden formarse con los dígitos 0,,, 4, 4, 4? odemos calcular todos los números distintos que podemos formar incluyendo los que comiencen con cero. Después, solo serán menores que 100 000 precisamente aquellos que comiencen con 0, y como solo hay un cero basta considerar los números que podemos formar con las otras 5 cifras y restar esta cantidad a la anterior. Todos los números posibles:,3! 5 4 3! 5 4 = = = = 0!3! 3!! Comienzan por cero:,3 5 5! 5 4 3! 5 4 = = = = 10!3! 3!! or tanto podrán formarse 0 10 = 50 números distintos mayores que 100 000 14.. Cuántos números de ocho cifras pueden escribirse con 3 cincos y 5 treses? Cuántos son múltiplos de 5? 3,5 8 8! 8 7 5! = = = 5 números distintos con tres cincos y cinco treses. 5!3! 5!3! Si es múltiplo de 5, además la última cifra es fija y debe ser 5 luego quedan cincos, 5 treses y 7 posiciones a colocar, es decir:,5 7 7! 7 5! 7 = = = = 1 números distintos y múltiplos de 5. 5!! 5!!! 14.3. Actividad resuelta. Combinatoria Unidad 14 1

14.4. En una clase de 8 alumnos tienen que seleccionar a cuatro para una comisión. Cuántos grupos diferentes pueden formarse? C 8, 4 V8, 4 8! 8 7 5 4! 8 7 5 = = = = = 0 475 grupos diferentes. 4!4! 4!4! 4! 4 14.5. Omar tiene que elegir 3 asignaturas entre las 7 que oferta el Conservatorio. Cuántas elecciones posibles tiene? C 7, 3 V7, 3 7! 7 5 4! = = = = 35 elecciones posibles. 4!3! 4!3! 3 14.. Cuántos productos diferentes de 4 factores sin repetir pueden hacerse con los dígitos, 3, 5,, 7, 8 y 9? Cuántos de estos productos son múltiplos de 5? Las maneras de elegir 4 de esos factores sin importar el orden son C 7, 4 V7, 4 7! 7 5 4! = = = = 35 4!3! 4!3! ero algunas de estas elecciones generan los mismos productos, en particular aquellas formadas por el, el tres y otros dos factores a elegir entre 5, 7 y 8 y las formadas por el, el 9 dos factores a elegir entre 5, 7 y 8. Como hay C 3, = 3 formas de elegir factores entre los números 5, 7 y 8, estos tres productos los hemos contado dos veces. Así, el número de productos diferentes es 35 3 = 3. ara ser múltiplo de 5 deben contener a 5 como factor con lo que debemos elegir otros tres de entre los restantes. Como antes tenemos C, 3 V, 4! 5 4 = = = = 0 formas de hacerlo. 3!3! 3! 4 Y como antes habremos contado dos veces el producto 5 3 n y 5 9 n siendo n o bien 7 o bien 8 con lo que quedan 18 productos distintos. 4 14.7. ara formar un equipo de voleibol, el entrenador escoge 3 alumnos de 4.ºA y otros 3 de 4.ºB. Cuánto equipos distintos puede elegir si en 4.ºA hay 5 alumnos y en 4.ºB 8? Como cada trío de 4.ºA se puede asociar con un trío de 4.ºB tendremos: 5! 8! 8! 8 7 5 4 3 C5, 3 C 8, 3 = = = = 7 534 800 equipos distintos.!3! 5!3!! 3! 3! 3!3! 14.8. ara una visita institucional se forma una comisión con 3 profesores de entre los 9 del Departamento de Lengua, de entre los 8 del de Matemáticas y 1 de entre los 3 de Educación Física. Cuántas comisiones distintas pueden formarse? 9! 8! 3! 9 8 7 8 7 3 C9, 3 C8, C 3,1 = = = 7 05 comisiones pueden formarse.!3!!!!1! 3!! 14.9. Actividad interactiva. 14.30. Actividad resuelta. 14.31. Cuántas pizzas diferentes puede servir una pizzería si los clientes pueden elegir 4 ingredientes diferentes entre 14? El número de formas de elegir 4 ingredientes entre 14 sin importar el orden es: 14! 14 13 1 11 10! C 14, 4 = = = 1001 10!4! 10! 4! Unidad 14 Combinatoria

14.3. Cuántos números pares de cuatro cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1,, 3, 4, 5 y? Y si las cifras se repiten? Si las cifras no se repiten tendremos lo siguiente: Hay 3 posibilidades de elegir la cifra de las unidades y V 5,3 de elegir las decenas, centenas y unidades de millar, es decir: 3 V 5,3 = 3 5 4 3 =180 números pares distintos. Si las cifras se pueden repetir, tendremos: 3 VR,3 = 3 3 =48 números pares distintos. 14.33. De cuántas formas distintas se pueden sentar 1 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase? Y si el primer puesto está reservado siempre para el delegado? Se pueden elegir V 1,4 = 1 11 10 9 = 11 880 formas distintas de sentar a 4 de los 1 alumnos. Si el primero es para el delegado solo quedan 11 alumnos y 3 puestos, luego tendremos: V 11,3 = 11 10 9 = 990 formas distintas. 14.34. Cuántos anagramas, con sentido o sin él, de la palabra COLOCO se pueden escribir? Tenemos letras, pero la C está dos veces y la O tres, luego tendremos:,3! 5 4 = = = 0 anagramas distintos.!3! 14.35. En una liga de 0 equipos, cuántas clasificaciones distintas pueden darse al final de la temporada? El número de formas de reordenar los 0 equipos es: 0 = 0! = 43 90 008 17 40 000 14.3. Si solo tres entre ocho concursantes pasan a la segunda fase de un concurso, cuántas situaciones distintas pueden darse? Como el orden en que pasan a la final es indiferente, el número de formas de elegir tres concursantes entre 8 participantes es: 8! 8 7 C 8,3 = = = 5 5!3! 3! Luego podemos tener 5 situaciones diferentes. 14.37. Cuántos múltiplos de 3 con tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, y 4? Las ternas que generan múltiplos de 3 son: Los tres dígitos iguales. De estas hay 3 posibilidades. Un uno y dos cuatros. De estas hay Dos unos y un cuatro. De estas hay 3 = 3 posibilidades. 3 = 3 posibilidades. El resto de ternas ({1,,4}; {1,,};{1,1,};{,,4};{4,4,}) no generan múltiplos de 3. or tanto se pueden formar 3 + 3 + 3 = 9 posibilidades 14.38. Cuántos capicúas hay de 8 cifras? Como la cifra de las centenas de millón (y de las unidades) no puede ser cero para que realmente sea de 8 cifras, tendremos 9 posibilidades de seleccionar dicha cifra y después las para las otras tres tendremos VR 10,3, es decir: 9 VR 10,3 =9 10 3 = 9000 números capicúas distintos de 8 cifras Combinatoria Unidad 14 3

Diagramas de árbol. rincipio de multiplicación EJERCICIOS 14.39. Una urna contiene 5 bolas blancas y negras. Se extraen 3 bolas consecutivamente y sin devolución. Realiza un diagrama de árbol para calcular el número de resultados posibles. El número de resultados posibles es V 7,3 = 7 5 = 10 formas distintas de extraer la bolas. 14.40. La combinación secreta de una caja fuerte está formada por tres números diferentes (1, y 3) y dos letras (X e Y). Realiza el diagrama de árbol y calcula el número de combinaciones posibles. Como van los tres números seguidos de las dos letras, el número de combinaciones posibles será 3 = = 1 4 Unidad 14 Combinatoria

14.41. El equipamiento del equipo de baloncesto consta de 3 camisetas diferentes, 3 pantalones distintos y 5 pares de medias. Cuántas equipaciones diferentes pueden hacerse? Aplicando el principio de multiplicación tendremos: 3 3 5 = 45 equipaciones distintas. 14.4. Utiliza un diagrama de árbol para encontrar todos los números de 5 cifras que pueden formarse con 3 cincos y sietes. 14.V.,3 5! Se pueden formar 5 = = 10!3! Combinatoria Unidad 14 5

14.43. El código de la taquilla de Zaira está formado por 4 números del 1 al 4, repetidos o no. Con ayuda de un diagrama de árbol, describe y calcula el número de posibles códigos que se pueden utilizar para abrir la taquilla. El número de códigos posibles es: VR 4,4 = 4 4 = 4 Variaciones 14.44. De cuántas formas pueden repartirse cuatro premios de diferente categoría entre las 885 personas que han participado en un certamen literario? El número de formas posibles de repartir los cuatro premios es: V 885,4 = 885 884 883 88 = 09 91 08 040 14.45. La clave de acceso al Banconet está formada por 3 letras, exceptuando la ñ, seguidas de números. Si el sistema de identificación bancario distingue entre minúsculas y mayúsculas, cuántas combinaciones diferentes puede haber? Disponemos de letras minúsculas y mayúsculas y de 10 dígitos, es decir, 5 letras y 10 dígitos. El número de combinaciones posibles es: VR 5,3 VR 10, = 5 3 10 = 14 00 800 14.4. En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación 3 veces. Cuántos resultados diferentes se pueden dar? El número de resultados diferentes es: VR 8,3 = 8 3 = 51 Unidad 14 Combinatoria

14.47. Con las letras de la palabra MURCIÉLAGO: a) Cuántas palabras de cuatro letras sin repetir se pueden formar? b) Cuántas palabras de cuatro letras repetidas o no se pueden construir? c) De las palabras del apartado b, cuántas empiezan y terminan por vocal? En todos los casos no tengas en cuenta si las palabras formadas tienen o no sentido. a) Disponemos de 10 letras distintas luego el número de palabras de 4 letras sin repetir será: V 10,4 = 10 9 8 7 = 5040 b) VR 10,4 = 10 4 = 10000 c) Las opciones para la 1.ª y 4.ª letra son 5, de modo que el número total de palabras será: 5 VR 10, 5 = 5 10 =500 14.48. Con los números del 1 al, ambos inclusive, cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse que sean divisibles entre 3? Las únicas ternas que hacen que el número sea múltiplo de 3 son {3,1,} {3, 1, 5} {3,, 4} {, 1, } {, 1, 5} {,, 4} Con cada terna podemos formar 3 = 3! = números distintos. or tanto tendremos 3 = = 3 múltiplos de 3 14.49. Cuántos números capicúas de 4 cifras existen? Cuántos son pares? Cuántos son múltiplos de 5? Cuántos son menores que 300? Números capicúas de 4 cifras: VR 10, = 10 = 100. Ahora, 100 10 (los que empiezan por 0) = 90. Números capicúas pares: 4 10 = 40 Números capicúas múltiplos de 5 son solo los que terminan por 5. Hay 10 que empiezan y terminan por 5. Números capicúas menores que 300 son los que empiezan por 1 (hay 10), los que empiezan por (hay 10) y los que empiezan por 30 o 31 (hay ). En total tendremos. 14.50. Calcula el valor de x en estas igualdades. a) VR x,4 = 0 VR x, VR 8, b) 5V x, 3 = V x+, 3 a) VR x,4 = 0 VR x, VR 8, x 4 = 0 x 8 x 4 0x + 4 = 0 Resolvemos la ecuación bicuadrada con el cambio: x = t t 0t + 4 = 0 0 ± 0 4 1 4 t = 1 x = ± 4 t = = 1 t = 4 x = ± De estas soluciones solo tienen sentido las positivas x = y x = 4 b) 5 V x,3 = V x+,3 5x (x 1)(x ) = (x + )(x + 1) x 5x (x 1)(x ) (x + )(x + 1) x =0 x (5x 15x + 10 x 3x ) = 0 x (4x 18x +8) = 0 x (x 9x + 4) = 0 o bien x = 0 o bien (x 9x + 4) = 0 9 ± 81 3 x = 4 x = = 1 x = Solo tiene sentido en este contexto la solución x = 4 ermutaciones 14.51. Estefanía coloca en una estantería de la cocina los cereales. Si tiene 5 clases diferentes de cereales empaquetados en cajas, cuántas ordenaciones distintas puede hacer? En número de ordenaciones distintas es 5 = 5! = 10 Combinatoria Unidad 14 7

14.5. Con las letras de la palabra ERMUTACIÓN, cuántas agrupaciones diferentes pueden hacerse? Cuántas de ellas empezarían por? Y por A? Disponemos de 11 letras todas distintas que podremos reordenar de 11 formas distintas, es decir: 11 = 11! = 11 10 9 8 7 5 4 3 1 = 39 91 800 reordenaciones distintas. Si fijamos como la primera letra tendremos: 10 = 10! = 10 9 8 7 5 4 3 1= 38800 reordenaciones distintas. Si fijamos A como las dos primeras letras tendremos: 9 = 9! = 9 8 7 5 4 3 1= 3880 reordenaciones distintas. 14.53. La lista de reproducción con las canciones favoritas de Montse tiene 14 canciones. Si el M4 de Montse las reproduce aleatoriamente, cuántas reproducciones diferentes puede haber? Disponemos de 14 canciones todas distintas que podremos reordenar de 14 formas distintas: 14 = 14! = 14 13 1 11 10 9 8 7 5 4 3 1= 871789100 reordenaciones distintas. 14.54. Cuántos números diferentes de cifras pueden formarse con 3 treses y 3 sietes? odremos formar 3,3! 5 4 = = = 0 números distintos 3! 3! 3! 14.55. El diseño de un nuevo circuito de velocidad debe incluir 9 curvas, de las cuales cuatro deben ser hacia la derecha y cinco hacia la izquierda. De cuántas formas diferentes puede distribuirse el circuito? odremos colocarlas de distribuciones distintas. 5,4 R 9 formas distintas, es decir, 5,4 9! 9 8 7 R 9 = = = 1 5! 4! 4! 14.5. El AVE que une las ciudades de Madrid y Zaragoza está formado por seis vagones: 4 de clase turista y de clase preferente. De cuántas formas posibles pueden ordenarse los vagones detrás de la cabecera?,4! 5 odremos ordenarse de R = = = 15 formas distintas.! 4!! 14.57. Nueve amigos quieren hacerse una fotografía de tal manera que los cinco más altos se colocarán atrás, y los más bajos, sentados delante. De cuántas formas diferentes pueden colocarse? Los altos pueden colocarse de 5 formas distintas, y los más bajos de 4 formas, de modo que tendremos = 5! 4! = 10 4 = 880 formas de colocarlos 5 4 14.58. El aula de informática de un instituto tiene 10 ventanas. Teniendo en cuenta que sus posiciones posibles son abiertas o cerradas, y que debe haber abiertas y 4 cerradas, calcula el número de posiciones distintas que pueden tener las ventanas. El número de formas de seleccionar las abiertas y cerradas es: R 10! 10 9 8 7 = C = = = 10 posiciones distintas! 4! 4!,4 10 10, 8 Unidad 14 Combinatoria

14.59. Cuántos números mayores que 000 000 pueden formarse con: a) 4 cincos, unos y 1 siete b) Los dígitos 1, y 3 a) ara se mayor que 000 000 la primera cifra debe ser un 5 o un 7 Si la primera es un 5 nos quedan por colocar tres cincos dos unos y un 7, es decir: 3,! 5 4 R = = = 0 números 3!!! Si la primera cifra es el 7 nos quedan por colocar cuatro cincos y dos unos, es decir: 4,! 5 R = = = 15 números. 4!!! En total tenemos 0 + 15 = 75 números distintos b) Con 7 dígitos a elegir entre 1, y 3 necesitamos que el primero sea un o un 3. Si el primero es un tendremos: or tanto serán 79 + 79 = 1 458 números distintos. VR 3, = 3 = 79 y si es un 3 tendremos VR 3, = 3 = 79 14.0. Resuelve las siguientes ecuaciones encontrando los valores de las incógnitas.. a) a) R 1 = b) R 3 4,,1 n,, n 4,,1 n,, n R,,1 n = V c), ( n ) R ( n ) 5,3 8 = 5 x R 1 4,,1,, n!! n! 1 4!! = 3 Rn = 1 Rn 3 = 1 = R 3 4!!!!!! 3!!! n = 7 1± 1+ 18 n ( n 1) = 4 n n 4 = 0 n = = n = Tiene sentido la solución n = 7.,,1 n!! b) Rn = V, = n! = 5!! 1! n! = 10 n = 5!! 1! 4! c) ara que tenga sentido necesitamos que x sea par, es decir, x = y pero como 5,3 8! R 8 = = 5, y 5 no es múltiplo de 5, entonces es imposible que 5 = 5 x y la ecuación 5! 3! no tiene solución. Combinaciones 14.1. Relaciona en tu cuaderno las operaciones de la columna de la izquierda con la herramienta combinatoria correspondiente de la derecha. 8! V 8,5 8! 5!3! VR 8,5 8 7 5 4 8 8 5 R 5,3 8 8! = 8 8! 5!3! = R 8 7 5 4 = V 8,5 8 5 = VR 8,5 5,3 8 Combinatoria Unidad 14 9

14.. En el juego del mus se reparten cuatro cartas a cada jugador. En el reparto inicial, cuántas manos diferentes puede tener el primer jugador? El número de formas de elegir cuatro cartas sin importar el orden en que se eligen es C 40,4, es decir, 40! 40 39 38 37 C 40,4 = = = 91390 manos distintas 3! 4! 4! 14.3. Cuántos cuadriláteros distintos pueden formarse con 14 puntos en el plano, sabiendo que no existen 3 puntos alineados? 14! 14 13 1 11 El número de formas de elegir los cuatro vértices es C 14,4 = = = 1001 10! 4! 4! 14.4. Un alumno debe contestar 10 de las 18 preguntas de que consta un examen, de las que 5 son obligatorias. De cuántas formas diferentes puede responder? Si 5 son obligatorias deberá elegir las otras 5 de entre las 13 restantes. 13! 13 1 11 10 9 El número de elecciones posibles será C 13,5 = = = 187 8! 5! 5! 14.5. Qué relación hay entre,4, C, y C.4?! Las tres son iguales entre sí e iguales a 15 4!! = 14.. En el juego de Euromillones hay que seleccionar 5 números del 1 al 50 y estrellas numeradas del 1 al 11. Cuántas apuestas diferentes pueden hacerse? 50! 11! Hay C 50,5 = = 118 70 formas de elegir los 5 números y C 11, = = 55 formas de elegir las 45! 5! 9!! dos estrellas. or tanto habrá 55 118 70 = 11 531 800 apuestas distintas posibles. 14.7. María ha comprado pintura azul, blanca, amarilla y verde para pintar su casa. Decide probar con mezclas de tonos. Cuántas tonalidades diferentes obtiene? El número de formas de elegir pinturas de entre las 4 es C 4, = combinaciones posibles 14.8. Adrián tiene en la nevera calabacines, acelgas, borrajas, zanahorias, patatas, judías verdes y puerros. Eligiendo solo 5 verduras, cuántas cremas de verduras diferentes podría elaborar? Y si elige solo 3 verduras? Tiene 7 verduras para elegir y debe seleccionar 5 luego podrá hacer C 7,5 = 1 cremas distintas. Si elige sólo tres verduras, podrá hacer C 7,3 = 35 cremas distintas. 14.9. Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9: a) Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar? b) Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden conseguir? c) Cuántos productos de 3 factores distintos se pueden realizar? a) V 5,3 = 5 4 3 = 0 números de 3 cifras distintas. b) 5 = 5! = 5 4 3 1= 10 números de 5 cifras distintas (Coincide con V 5,5 ) c) Con esos números ningún par de ternas posibles generan el mismo producto por tanto tenemos 5! C 5,3 = = 10 productos distintos posibles 3!! 30 Unidad 14 Combinatoria

14.70. Cuántos triángulos diferentes pueden formarse al unir tres vértices de un octógono? Y de un decágono? En un octógono regular (u otro que no tenga tres vértices alineados) tenemos C 8,3 formas distintas de seleccionar conjuntos de 3 vértices y como cada trío genera un único triángulo tendremos 8! C 8,3 = = 5 triángulos distintos. 5! 3! 10! En el caso del decágono tendremos C 10,3 = = 10 triángulos distintos 7! 3! 14.71. Cierta comarca está formada por 15 pueblos, y todos sus Ayuntamientos deciden rehabilitar sus carreteras. Si todas las localidades se encuentran comunicadas entre sí, cuántas carreteras deberán rehabilitarse? Habrá tantas carreteras como pares de pueblos distintos podamos formar, es decir, habrá que 15! rehabilitar C 15, = = 105 carreteras. 13!! 14.7. En una clase hay 15 chicos y 10 chicas. Se quiere escoger a 5 alumnos, respetando la proporcionalidad de chicos y chicas. De cuántas formas diferentes pueden elegirse? Si de 5 estudiantes 15 son chicos, entonces de 5, necesitaremos x chicos de forma que 15 x =, 5 5 esto es 3 chicos. Ahora el número de formas distintas de elegir 3 chicos y chicas será: 15! 10! C15,3 C 10, = = 455 45 = 0 475 1! 3! 8!! 14.73. Calcula el valor de x en la siguiente ecuación.. C x + 3,3 V x, = VR x + 1, ( x + 3)! x! ( x + 3) ( x + ) ( x + 1) Cx+ 3,3 Vx, = VRx+ 1, = ( x + 1) x ( x 1) = ( x + 1) x! 3! ( x )! + 5 3 x x x = x x + x = x = x x + = 0 ( 5) 0 0 5 0 x = 5 ± 3 0 x = 0 x = = x = 1 ara x = 0 y x = 1 la expresión V x, carece de sentido, por tanto la única solución es x = 5. ROBLEMAS 14.74. De cuántas maneras se pueden sentar 7 amigos que acuden a un concierto de música clásica en una fila de 7 butacas? Y si la persona de mayor edad siempre se sienta en la última butaca de la fila? Formas de sentarse: 7 = 7! = 5040 Si fijamos una posición: =! = 70 formas Combinatoria Unidad 14 31

14.75. Una persona ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Solo recuerda que empieza por 9 y que es un número par. Qué posibilidad tienen de encontrarla sabiendo que las claves son de 4 cifras con posible repetición? Si empieza por 9 nos faltan 3 cifras por determinar. or ser par la última solo puede ser, 0,, 4, u 8. Las dos cifras centrales pueden ser cualquiera, por tanto el número de claves posibles es: 5 VR 10, = 5 10 = 500 14.7. En un intercambio cultural participan 4 alumnos. El monitor responsable desea distribuirlos por parejas para completar los asientos del autobús. a) De cuántas formas puede realizarlo? b) Si hay 8 alumnos del mismo país, en cuántas posiciones estos 8 alumnos no estarán emparejados entre ellos? 4! a) C4, = = 7 formas de emparejar a los alumnos.!! b) En C 8, = 8 de esos agrupamientos están los alumnos del mismo país juntos. or tanto, en 7 8 = 48, alguno de los alumnos del mismo país están mezclados con el resto. 14.77. Un equipo de balonmano está formado por seis jugadores de campo y un portero. Si un entrenador dispone de 1 jugadoras de campo y porteras, cuántas alineaciones distintas puede completar? Las posiciones de las jugadoras son distintas, por lo tanto, si influye el orden, por lo que el número de alineaciones distintas es: V1, = 5 80 = 1330 50. 14.78. En las actividades de fin de curso de un centro se organiza un partido y se premia a quien adivine el resultado del encuentro. Contabiliza todos los tanteos que en principio se pueden producir si se ha decidido imponer un tope de 7 goles por equipo. Si han apostado 4 personas por cada resultado y cada apuesta cuesta un euro, cuánto recibe cada uno de los que ganen? Con un tope de 7 goles cada equipo puede tener en su marcador hasta 8 resultados distintos, por tanto el nº total de tanteos posibles será: VR 8, = 8 = 4 tanteos posibles. La recaudación ascenderá a 4 4 = 5. Como habrá 4 acertantes cada uno recibirá 4 14.79. Los números escritos en base ocho solo permiten el uso de cifras del 0 al 7. a) Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas? b) Cuántos números de cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas? a) Si no consideramos aquellos que empiezan por cero tenemos: V 8,4 V 7,3 = 8 7 5 7 5 = 180 10 = 1470 números distintos con todas sus cifras distintas. b) V 8, V 7,5 = 8 7 5 4 3 7 5 4 3 = 0 10 50 = 17 40 números 3 Unidad 14 Combinatoria

14.80. Se define un byte como una combinación de 8 dígitos que solo pueden ser ceros y unos. Cuántos bytes distintos hay que tengan ceros y unos? Cuántos de estos bytes terminan en 1? R 8! = C = = 8 bytes distintos.!!, 8 8, Si imponemos que terminen en 1 tendremos que determinar 7 dígitos en los que uno de ellos es un 1,1 y el resto son ceros, es decir, 7 posibilidades (o si se prefiere R = C = ) 7 7,1 7 14.81. La codificación de los libros de una biblioteca se establece de la siguiente manera: los 3 primeros dígitos del código hacen referencia a la sección a la que pertenece el libro; los siguientes, al número de la estantería en la que se encuentra, y los últimos, a la posición que ocupa dentro de dicha estantería. Teniendo en cuenta que se utilizan las cifras del 0 al 9, cuántos libros se pueden codificar? Número de libros que se pueden codificar: 7 VR 10,7 = 10 = 10 000 000. Si, como es razonable, consideramos que no hay sección (0 0 0), ni estantería (0 0), ni posición (0, 0), la respuesta es: 999 99 99 = 9 791 199. 14.8. La contraseña de acceso a la cuenta de cierto correo electrónico está formada por 8 caracteres. Los 5 primeros son dígitos del 1 al 9, y los 3 últimos son vocales. a) Cuántas contraseñas distintas se pueden formar? b) Cuántas de ellas terminan en a? 5 3 a) Número de contraseñas distintas: VR9,5 VR5,3 = 9 5 = 7 38115 5 b) Terminan en a: VR9,5 VR5, = 9 5 = 1 47 5 14.83. Santi, ilar, Ana, Rodrigo y Elena van a ir de viaje en un coche de 5 plazas con dos asientos delanteros y tres traseros. Solo las tres chicas tienen carné de conducir y, además, Santi tiene que ir en los asientos delanteros porque se marea. Teniendo en cuenta estas condiciones: a) De cuántas formas diferentes pueden ocupar los asientos del coche? b) En cuántas de estas formas irá Rodrigo sentado al lado de una de las cuatro ventanillas? c) En cuántos casos irá Ana sentada entre ilar y Rodrigo? d) En cuántos casos irá Santi sentado al lado de Rodrigo? a) El asiento del copiloto lo ocupa Santi. ara elegir conductor hay 3 posibilidades. Después los otros tres asientos se podrán ocupar de cualquier modo. or tanto habrá 3 3 = 3 3! = 18 formas distintas de ocupar los asientos. b) Rodrigo no irá en una ventanilla si ocupa el asiento central trasero, es decir, tendremos 3 = 3! = formas en las que NO va sentado junto a la ventanilla. Quedan por tanto 18 = 1 formas en las que sí irá sentado junto a la ventanilla. c) Si Ana va entre ilar y Rodrigo, la conductora debe ser Elena, el copiloto Santi y el asiento central estará ocupado por Ana. Quedan por tanto = formas posibles de colocar a ilar y Rodrigo. d) En ninguno. Santi va delante y Rodrigo no conduce. Combinatoria Unidad 14 33

14.84. Un programa de ordenador descifra claves secretas en tiempo récord. Una agencia de investigación necesita descubrir un código de 5 dígitos y 3 letras, y en ese orden. Sabiendo que emplea una milésima de segundo en analizar cada código, cuántos días tardará en desvelar el código secreto? 5 3 El número de códigos posibles es VR10,5 VR,3 = 10 = 1757 00 000 Tardará por tanto 1 757 00 segundos es decir 0 días 8 horas 13 minutos 0 segundos como mucho, puesto que puede descifrarla antes de probar todas las posibilidades. 14.85. Determina cuál de las siguientes relaciones es la correcta, siendo n un número natural mayor que 1, y justifica tu respuesta. n! < n n n! = n n n! > n n n La relación correcta es la primera, ya que n! = n ( n 1) ( n )... 1 < n = n n n... n 14.8. Con las cifras impares: a) Cuántos resultados distintos se pueden obtener al sumarlas de 3 en 3? b) De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar, cuántos son mayores que 70 000? c) Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden conseguir? Averigua la suma de todas ellas. a) Como existen sumas coincidentes, como 1 + 3 + 9 =1 + 5 + 7, hay que tener en cuenta que todas las sumas diferentes son los números impares desde 9 hasta 1. En total 7. b) De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar son mayores que 70 000 aquellos que empiezan por 7 y 9: 4 = 48. c) Números de 3 cifras distintas = V 5,3 = 0 ara calcular la suma de todos ellos: Al ser números de tres cifras, serán de la forma C D U (centenas, decenas y unidades). U = V4, 9 + V4, 7 + V4, 5 +... + V4, 1 = 300 D = 10 300 = 3000 Total = 33300 C = 100 300 = 30000 14.87. El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es igual a C mn, Vmn, =, pero hay otra manera de calcular este número en la que la expresión obtenida depende solo de factoriales. Obtén esta fórmula. C mn, [ ] [ ] Vmn, m ( m 1) ( m ( n 1)) m ( m 1) ( m ( n 1)) ( m n) ( m n 1)... 1 = = = = n n! ( m n) ( m n 1)... 1 n! m! = ( m n)! n! n 34 Unidad 14 Combinatoria

AMLIACIÓN 14.88. Las antiguas matrículas de un país consistían en una letra (de un total de ) seguida de cuatro dígitos. Las nuevas consisten en tres letras seguidas de tres dígitos. Cuál es el cociente entre el posible número de matrículas nuevas y el de antiguas? a) 10 b) 10 c) El número de matrículas antiguas viene dado por A = VR 10,4 = 10 4 y el número de matrículas nuevas, por B = VR,3 VR 10,3 = 3 10 3. 10 Así pues, el cociente pedido B 3 3 A sería 10 =, opción a). 4 10 10 3 3 d) 10 3 14.89. En una fiesta, cada chico bailó exactamente con 3 chicas y cada chica bailó solamente con chicos. Si había 1 chicos en la fiesta, cuántas chicas había? a) b) 18 c) 1 d) 8 Llamando x al número de chicas que había en la fiesta, y contando las parejas que se formaron, podemos escribir que, atendiendo al número de chicos, el número de parejas formadas fue 1 3 y atendiendo al número de chicas, x. Así pues 1 3 = x y x = 18, opción b). 14.90. En una hamburguesería hay 3 tipos de carne, pero 8 tipos de salsas. Un cliente puede escoger uno de los tres tipos de carne y cualquier número de salsas, e incluso no tomar salsa. Cuántas hamburguesas distintas podría tomar? a) 4 b) 5 c) 78 d) 40 30 Cada uno de los 8 tipos de salsa puede ser escogida o no, por tanto habrá una elección o una no elección en 8 casos, luego tendremos VR,8 formas de elegir las salsas. Como esto es para cada una de las tres carnes, tendremos un total de 3 VR,8 = 3 8 = 78 combinaciones posibles, respuesta c). 14.91. Un mesón ofrece el doble de primeros platos que de segundos y tres postres. Un menú consiste en un primer plato, un segundo y un postre. Cuál es el mínimo número de segundos platos que debe ofrecer el restaurante para asegurar que un cliente podría tomar menús diferentes a lo largo de todo un año? a) 5 b) c) 7 d) 8 Llamando n al número de segundos platos, n es el número de primeros platos, por lo que el número de menús vendrá dado por n n 3. 35 Nos dicen que n n 3 35, es decir, n, por lo que al ser n entero, deberá ocurrir que n 8, con lo que la opción correcta es d). 14.9. Un número de teléfono de 7 dígitos d1 d d3 d4 d5 d d7 decimos que es memorizable si la sucesión d1 d d3 es la misma que la d4 d5 d o que la d5 d d7 (o incluso que las dos). Si cada dígito puede ser de 0 a 9, cuántos teléfonos memorizables hay? a) 19 810 b) 19 910 c) 19 950 d) 19 990 Calculemos en primer lugar el número de teléfonos memorizables porque la sucesión d 1 d d 3 sea la 3 d 4 d 5 d siendo d 7 cualquier dígito. Este número será, pues, VR 10 10 = 10 4. Análogamente, cuando d 1 d d 3 sea d 5 d d 7 siendo d 4 cualquier dígito habrá otros 10 4 números. ero aquí ha habido números que hemos contado dos veces, en concreto, cuando todos los dígitos sean el mismo número. Como hay 10 números con estas características, la respuesta será 10 4 10 = 19 990, opción d). Combinatoria Unidad 14 35

AUTOEVALUACIÓN 14.1. Se organiza una fiesta solidaria con el fin de recaudar fondos para el centro de personas mayores del barrio. En dicha fiesta se disponen 4 tipos de bocadillos, clases de refresco y postres. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a la elección de un bocadillo, un refresco y un postre. Cuántas posibilidades distintas existen? Hay 4 = 1 posibilidades distintas. 14.. Sara tiene 4 hijos y ha comprado un marco para poner alineadas una foto de cada uno de sus hijos. De cuántas formas distintas puede colocar Sara las fotos de sus hijos? odrá colocarlos de 4 = 4! = 4 formas distintas 14.3. Juan tiene 5 camisetas y quiere elegir 3 para llevarlas en su viaje de fin de semana. De cuántas formas distintas puede realizar la elección? odrá elegir las camisetas de C 5,3 = 10 formas distintas 14.4. Cuántos números de 8 cifras se pueden construir con 4 doses, cincos y treses? Cuántos de ellos son pares? 4,, ueden formarse R = 8! 8 40 4!!! = números distintos. 3,, Si son pares la última cifra es un dos, por tanto habrá R = 7! 7 10 3!!! = números distintos. 3 Unidad 14 Combinatoria

14.5. De cuántas formas diferentes se pueden extraer 3 figuras de entre todas las existentes en una baraja española de 40 cartas? 1! C = = 0 formas distintas de extraer 3 figuras. 9! 3! Hay 1,3 14.. Los cuatro refugios de un parque natural están comunicados todos ellos dos a dos. Cuántos caminos diferentes hay? 4! or cada pareja de refugios hay un camino. Esto hace un total de C 4, = = caminos diferentes.!! 14.7. Calcula el valor de x en las siguientes igualdades: a) V x,3 = 4C x + 1, b) x = 0 x a) b) x! ( x + 1)! = x x = x = x = ( x 3)! ( x 1)!! 3 4 5 0 0 y 5. Solo tiene sentido la solución x = 5. x! = 0 ( x )! x x 0 = 0 x = 5 y x = 4, pero solo tiene sentido x = 5. 14.8. De cuántas formas distintas pueden colocarse camisetas amarillas y 4 rojas?,4 10! Se pueden colocar de R 10 = = 10 formas distintas.! 4! Conoce e identifica > Banderas de colores ON A RUEBA TUS COMETENCIAS El color que aprecias en las cosas que te rodean no es más que una percepción visual que se genera en tu cerebro al interpretar las sensaciones nerviosas que le envían unas células de la retina llamadas fotorreceptores o conos. Como hay tres tipos de conos, se dice que hay tres colores primarios, que son los que producen una sensibilidad máxima en cada uno de estos tipos de células. Estos colores son el rojo, el verde y el azul. Combinando dos de estos colores en proporciones iguales se producen los colores aditivos secundarios: cian, magenta y amarillo. Este proceso es recíproco si en vez de utilizar colores de luz se utilizan pigmentos de color y se mezclan. En este caso se llaman primarios el cian, el magenta y el amarillo, porque con ellos se obtienen el rojo, el verde y el azul. Si a estos seis colores se añade el blanco, suma de los tres colores primarios de luz, y el negro, ausencia de los tres, se obtienen los ocho colores elementales. 14.1. Las especies animales que tienen estos tres tipos de fotorreceptores (como la humana) se llaman tricrómatas. Otras especies, como, por ejemplo, los marsupiales, son tetracrómatas porque tienen cuatro tipos de fotorreceptores. Cuántos serían los colores elementales para estas especies? Cuatro. 14.. Antonio y Beatriz están entretenidos diseñando banderines tricolores con estos ocho colores elementales. Cada banderín está formado por tres franjas horizontales de igual anchura. Cuántos banderines diferentes podrán formar? V 8,3 = 8 7 = 33 Combinatoria Unidad 14 37

14.3. Antonio se da cuenta de que hay países, como Argentina o Austria, que tienen una bandera con tres franjas horizontales iguales pero bicolores. a) Cómo son las banderas de estos países? b) Cuántos banderines con estas características podrán diseñar Antonio y Beatriz? a) Argentina: azul, blanco, azul. Austria: rojo, blanco, rojo. b) V 8, = 8 7 = 5 14.4. Si cada una de las tres franjas de los banderines se puede rellenar con cualquiera de estos ocho colores, aparecerán banderines monocolores y bicolores también. Cuántos banderines diferentes se pueden diseñar ahora? 3 VR 8,3 = 8 = 51 14.5. A Beatriz se le ha ocurrido diseñar pines tricolores con forma circular. Cada color ocupará un sector circular de la misma superficie que los otros. Ella está convencida de que puede diseñar el mismo número de pines que de banderines con franjas horizontales tricolores, pero Antonio opina que no. Quién tiene razón? Justifica tu respuesta calculando el número de pines circulares diferentes que se pueden diseñar. Con tres colores en horizontal se pueden diseñar banderines, 3! =. Con tres colores para banderines en forma circular solo hay dos diseños, pues los banderines RVA, VAR, ARV son el mismo, y RAV, AVR y VRA también, ya que son permutaciones cíclicas. or tanto, el número de pines circulares será: C = 5 11. 8, 3 = 14.. En esta página hay cuatro banderas. a) A qué países corresponden? b) Cuáles de ellos pertenecen a la Unión Europea? a) Bulgaria, Italia, olonia y Marruecos. b) Bulgaria, Italia y olonia. 38 Unidad 14 Combinatoria

Calcula y piensa > Combinatoria con ritmo La combinatoria también está muy presente en la música. En esta actividad recordarás algunos conceptos básicos sobre el ritmo para determinar cuántas posibilidades te ofrece. En música, la duración de los sonidos y las pausas se representa mediante un conjunto de signos llamados figuras y silencios. La referencia es la negra, a la que se asigna una duración de un tiempo. Redonda Blanca Negra Corchea Semicorchea Figura Silencio Duración 4 1 1 1 4 Un compás es una división del tiempo en partes iguales. Los compases se representan mediante una fracción donde el numerador indica el número de pulsos o partes, y el denominador, la figura que ocupa cada una de las partes, de acuerdo con las duraciones anteriores. Así, un compás de 4 4 (se lee cuatro por cuatro ) puede contener cuatro negras; será el único que utilizarás en esta actividad. Se representa así: De acuerdo con las duraciones de la tabla, un compás de 4 también puede contener dos blancas, o 4 una redonda, o dos negras y una blanca Cada combinación es un ritmo distinto. Ten en cuenta que cuatro negras son una sola combinación, pero tres negras y un silencio de negra dan lugar a cuatro combinaciones distintas, según dónde sitúes el silencio. 14.7. Calcula cuántos ritmos se pueden crear en un compás utilizando solo (pero no necesariamente todas) las siguientes figuras y silencios. a) Redondas y blancas. e) Redondas, blancas y sus silencios. b) Redondas, blancas y negras. f) Redondas, blancas, negras y sus silencios. c) Blancas y silencios de blanca. g) Todas las figuras (ningún silencio). d) Negras y silencios de negra. a) Dos: una redonda o dos blancas b) Seis: R, BB, BNN, NBN, NNB, NNNN c) Cuatro: BB, BS, SB, SS d) Dieciséis: NNNN, NNNS, NNSN, NSNN, SNNN, NNSS, NSNS, NSSN, SNNS, SNSN, SSNN, NSSS, SNSS, SSNS, SSSN, SSSS e) Seis: R, S R, BB, BS B, S B B, S B S B f) Treinta y cuatro: (las de e) + (las 1 de d) + (1 formadas por una B y NN o con sus silencios). g) Cerca de 5000 (4975). Téngase en cuenta que con 1N, 4C y 4SC, que forman un compás, hay 30 combinaciones posibles, y con 1N, 3C y SC hay 840. 14.8. Imagina una pieza compuesta por 1 compases. Cuántos ritmos distintos puede tener? 1 1 1 1 = 1 1 1,8 10 19 14.9. Ahora compón un ritmo de 5 compases e intenta interpretarlo. Respuesta abierta. 14.10. Tienes buen oído? En esta actividad interactiva tendrás que reconocer ritmos a partir de las partituras: www.e-sm.net/4esoz8. Respuesta abierta. Combinatoria Unidad 14 39

royecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio Haciendo el león, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel edrosa Diseño: ablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. ara garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico ediciones@grupo-sm.com. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de ágina fotocopiable. Ediciones SM Impreso en España rinted in Spain