MOVIMIENTO ONDULATORIO

MOVIMIENTO ONDULATORIO 1. Descripción física y clasificación de los fenómenos ondulatorios. 2. Ondas monodimensionales armónicas. 3. Ecuación del movimiento ondulatorio. 4. Intensidad de una onda. 5. Fenómenos ondulatorios: Absorción, interferencias, reflexión, refracción, difracción y polarización. 6. Ondas electromagnéticas. Descripción. Espectro electromagnético. El movimiento ondulatorio puede considerarse como el transporte de energía y cantidad de movimiento sin transporte de materia. Las ondas pueden propagarse en medios materiales, gracias a la elasticidad del medio de propagación: ondas mecánicas, o en el vacío, debido a la propagación de un campo electromagnético: son las ondas electromagnéticas. Cuando la dirección de la propagación y la dirección de la vibración son perpendiculares se trata de ondas transversales. Si la dirección es la misma, se trata de ondas longitudinales. Periodo T es el tiempo que dura un ciclo completo. La longitud de onda λ es la distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de vibración. La velocidad de propagación v es la distancia recorrida por la onda por unidad de tiempo. Si consideramos el lapso de tiempo de un pulso, el tiempo será T y la distancia recorrida λ : La frecuencia f es el número de pulsos por unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el hertzio (Hz) Pulsación ω vale 2π f. Ondas armónicas. Ondas que pueden ser descritas utilizando funciones seno o coseno. Si consideramos una perturbación en un punto según la ecuación del movimiento armónico simple Y(t) = A sen ω t; donde A es la amplitud y ω = 2π f, que se propaga en una dirección, transcurrido un tiempo t' se habrá propagado una distancia x = v t', donde v es la velocidad de propagación. Y(x,t) = A sen ω ( t - t') = A sen ω ( t - ) = = llamando número de onda a k = que es la ecuación del movimiento ondulatorio. Y(x,t) = A sen (ω t - k x) Conviene subrayar que la función Y(x,t) puede representar cualquier propiedad que se propague, ya sea una

altura (ondas de agua), presión del aire (sonido), o campo eléctrico (ondas electromagnéticas). Al término ω t - k x se le llama fase. En el instante t = 0 y en el origen x = 0, la elongación Y no tiene porque ser cero; hay que introducir un valor, la fase inicial ϕ 0, de modo que la ecuación general queda así: Y(0,0) = Asenϕ 0 Y(x,t) = A sen (w t - k x + j 0 ) Se dice que dos puntos están en fase si su diferencia de fase ϕ = 2π, o un número par por π. Si su diferencia de fase es π o un número impar por π, se dice que están en oposición de fase. ϕ = 2nπ en fase ϕ = (2 n + 1)π oposición de fase Energía del movimiento ondulatorio. Intensidad de una onda La energía total de una partícula m vibrando será la suma de la energía cinética y potencial: E = ½ mv 2 + ½ ky 2 = ½ mv 2 + ½ mω 2 y 2 ya que k = m ω 2 Para la máxima elongación v = 0 e y = A E = ½ m ω 2 A 2 = 2 m π 2 f 2 A 2 Es decir la energía de una partícula vibrante depende de la amplitud al cuadrado y la frecuencia al cuadrado. La intensidad de una onda en un punto es la energía que atraviesa la unidad de superficie por unidad de tiempo en ese punto. Se mide en W/m 2. Si un foco puntual emite una potencia P 0 en todas direcciones, la potencia a una distancia r del foco se tendrá que repartir en una superficie esférica 4π r 2, por lo que la intensidad a una distancia r valdrá: es decir I disminuye con el cuadrado de la distancia. Un ejemplo: el sonido. Nivel de intensidad Por ejemplo, para el oído humano el umbral de audición es para una frecuencia de 10.000 Hz, 10-12 W/m 2, y el umbral de dolor es de aproximadamente 1 W/m 2. Debido al enorme margen de intensidades audibles y a que la sensación sonora varía con la intensidad no de modo lineal sino casi de modo logarítmico, se usa la escala logarítmica para describir el nivel de intensidad sonora. El nivel de intensidad β se mide en decibelios (db) y se define: β = 10 log ; donde I es la intensidad e I 0 es un nivel arbitrario de referencia que se considera como el umbral de audición. I 0 = 10-12 W/m 2.

Nivel de intensidad de algunos sonidos comunes β (db) β (db) Umbral de audición 0 Tráfico pesado 70 Respiración normal 10 Fábrica 80 Rumor de hojas 20 Camión pesado 90 Murmullo a 5 m 30 Tren suburbano 100 Biblioteca 40 Ruido de construcción 110 Oficina tranquila 50 Concierto de rock Conversación normal 60 Martillo neumático 130 120 (umbral de dolor) Absorción Experimentalmente se observa que la disminución -di de intensidad de una onda al atravesar un medio de espesor dx es directamente proporcional a la propia intensidad, al espesor y a las propiedades intrínsecas del medio representadas por un coeficiente de absorción β : es decir la intensidad disminuye exponencialmente con la distancia. La distancia para que la intensidad se reduzca a la mitad valdrá: PROPIEDADES DE LAS ONDAS Principio de Huygens Huygens en 1690 ideó un mecanismo para explicar el avance de un frente de ondas, conociendo dicho frente un instante anterior. Todo punto de un medio alcanzado por una onda, se convierte en foco emisor de ondas secundarias.

Interferencias Este es uno de los fenómenos mas llamativos de las ondas, la posibilidad de interferir y producir interferencias constructivas y destructivas. El fenómeno fue experimentado con ondas luminosas antes de saber que la luz poseía tal carácter en una célebre experiencia realizada por Young con dos rendijas muy finas separadas por una distancia menor que 1 mm. El fenómeno es fácil de visualizar en una cubeta de ondas, un modelo para estudiar el comportamiento de las ondas usando las ondas que se propagan en el agua. Si hacemos que una onda pase por dos rendijas muy próximas, las dos ondas formadas se reunirán de nuevo en distintos puntos. Cuando la diferencia de distancias recorridas por ambas ondas d sea un múltiplo entero de longitudes de onda, éstas llegarán en fase, produciéndose interferencia constructiva. Cuando la diferencia de distancias recorridas por ambas ondas d sea un múltiplo impar de semilongitudes de onda, éstas llegarán en oposición de fase, produciéndose interferencia destructiva. d = d = d = observarán alternativamente por tanto, direcciones de propagación con interferencia constructiva e interferencia destructiva. Se Ondas estacionarias Consideremos dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario, como por

ejemplo el resultado de el encuentro de una onda con su reflejada: Y 1 = Asen(ω t - kx) Y 2 = Asen(ω t + kx) La superposición de las dos ondas dará lugar a otra onda, que tendrá por función: Y = Y 1 + Y 2 = 2Asen kx cos ω t = A cosω t Tal onda no se desplaza, existiendo unos puntos llamados nodos donde la amplitud es siempre cero. Un caso interesante es el de una cuerda fija por sus dos extremos; se forma una onda estacionaria que no puede tener cualquier longitud de onda, sino únicamente aquella que cumpla que L = n siendo L la distancia entre los extremos de la cuerda. Para n = 1 tenemos la frecuencia fundamental de vibración f 0.

Difracción Si hacemos llegar un frente de ondas (por ejemplo ondas de agua) sobre una rendija, el resultado varía según el tamaño de la rendija. Solo si la longitud de onda es mayor que el tamaño de la rendija, se observa que el orificio se convierte en foco emisor de ondas dando lugar al fenómeno de la difracción. En el modelo de la figura, en el primer caso, el punto P no se ve alcanzado por las ondas, mientras que en el segundo si. Por ejemplo, usando ondas luminosas (λ 10-7 m), aparecerá difracción para orificios u obstáculos de esa envergadura. Reflexión y refracción Cuando un frente de ondas choca con una superficie tenemos el fenómeno de la reflexión (inversión de una velocidad), o refracción (continua cambiando de dirección).

En la reflexión, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión: i = r. En la refracción, ángulo de incidencia y de refracción se relacionan con la ley de Snell: la constante n recibe el nombre de índice de refracción y es la velocidad de la onda en el vacío dividido por la velocidad en el medio. Hay un ángulo límite que hace que desaparezca la refracción (cuando r = 90º), entonces sen i L = n, y todo el rayo sale reflejado (reflexión total). Polarización En las ondas transversales, existen multitud de planos posibles de vibración. Si mediante algún mecanismo obligamos que la onda vibre en un solo plano, tenemos una onda polarizada. Así para la luz, que es la propagación de un campo eléctrico y magnético perpendiculares a la dirección de propagación, si interponemos un filtro especial, solamente se deja pasar aquellas vibraciones que tengan una dirección determinada, obteniéndose luz polarizada. Existen distintos mecanismos para polarizar la luz aunque principalmente son dos por absorción y por reflexión. La

polarización por absorción consiste en que ciertas sustancias absorben luz en cualquier plano posible de vibración menos en uno. La polarización por reflexión se produce cuando la luz al pasar de un medio a otro (produciéndose reflexión y refracción) lo hace con un ángulo tal que el rayo reflejado y el refractado forman 90º. Entonces el rayo reflejado sale totalmente polarizado; cumpliéndose: (ley de Brewster) 1. La ecuación de cierta onda es Y = 10 sen 2π (2x - 100t), donde x se mide en metros y t en segundos. Hallar: a. La amplitud. b. la longitud de onda. c. La frecuencia. d. La velocidad de propagación. e. Representar gráficamente la onda para t = 0 y t = 2.4 ms. Comparando con la ecuación general: Y = Asen (kx - ω t): A = 10 m; k = π m -1 ; ω = π s -1 k = 2π /λ ; λ = 0.5 m; ω = 2π f; f = 100 Hz = λ f = 50 m/s

2. Obtener la longitud de onda y la frecuencia del campo eléctrico definido por: E(x,t) = 10-3 cos(200x - 5 10 10 t), x(m), t(s). Cuál es el índice de refracción del medio? La fase del movimiento ondulatorio kx - ω t, nos permite identificar: ω = 5 10 10 s -1 = 2π f; f = 5 10 10 /2π = 7.96 GHz. k = 200 m -1 = 2π /λ ; λ = 31.42 mm v = λ f = 2.5 10 8 m/s. Por tanto el índice de refracción n = = 1.2 3. Dos ondas transversales polarizadas en el mismo plano de polarización, se propagan en una cuerda en la misma dirección, tienen la misma frecuencia (100 Hz), longitud de onda (2 m) y amplitud (2 cm), pero están desfasadas 60º. Calcular: a. La velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda. b. La amplitud de la onda resultante y su ecuación de onda. c. La velocidad máxima de un punto cualquiera de la onda. a) v = λ f = 200 m/s. b) Se trata de sumar dos ondas: Y = Y 1 + Y 2 = Asen (kx - ω t + ϕ 1 ) + Asen (kx - ω t + ϕ 2 ) = 2Acos sen (kx - ω t + ϕ medio ) Por tanto, la amplitud de la onda resultante A = 2Acos = 0.02 m. Y = 0.02 sen (π x - 200π t + π /6)

c) V= = -Aω sen (kx - ω t + ϕ medio ), por lo que v max = Aω = 0.02 2π 100 = 4π m/s 4. Una onda de frecuencia 5000 Hz tiene una velocidad de fase de 200 m/s. a. Cuál es la separación entre dos puntos que tengan una diferencia de fase de 45º? b. Cuál es la diferencia de fase entre dos elongaciones en un mismo punto que estén separados por un intervalo de 0.1 ms? a) La longitud de onda λ vale λ = v/f = 200/5000 = 0.04 m. k = = 50π m -1 y el ángulo de fase ϕ = kx - ω t, luego la diferencia de fase entre dos puntos de la onda en el mismo instante será: ϕ = ϕ 2 - ϕ 1 = k(x 2 - x 1 ). π /4 = 50π x; x = 0.005 m. b) La diferencia de fase será ahora: ϕ = ϕ 2 - ϕ 1 = ω (t 2 - t 1 ).

ω = 2π f = 10000π s -1 ; ϕ = 10 4 π10-4 = π rad. Es decir, las dos elongaciones del mismo punto se hallan en oposición de fase. 5. Si una onda sonora atraviesa un espesor de pared de 10 cm, su intensidad se reduce de 12 a 2 pw/cm 2. Hallar el coeficiente de absorción. Aplicando la ley de la absorción I = I o e -β x ; β = = 10 ln6 = 17.9 m -1 6. Un foco emite ondas esféricas con una potencia de 100 W. Cuál es la intensidad de la onda a 10 m del foco? = 79.6 mw/m 2 7. La intensidad de un sonido se reduce a la mitad cuando ha atravesado 1 cm de cierto material. En qué proporción se reducirá cuando haya recorrido 5 cm? Cuánto vale el coeficiente de absorción del material? Aplicando la ley de la absorción I = I o e -β x ; β = ln 2 = 0.693 cm -1

8. La intensidad del sonido a 20 m de una explosión es de 2 W/m 2. A qué distancia hay que alejarse para que sea de 1 µw/m 2? La intensidad decrece con el cuadrado de la distancia: = 20 10 3 =28.3 km 9. Una onda elástica longitudinal, plana y armónica, se propaga a lo largo del eje x con una velocidad de 2.4 km/s, siendo su longitud de onda 18 cm. En el punto x=0 la elongación es máxima en el instante t = 24 µs y vale 0.1 mm. Hallar: a. La ecuación que describe la onda. b. La elongación y la velocidad en el punto de coordenadas x = 1 m en el instante t = 0.1 s. a) El periodo T = λ /v = 7.5 10-5 s y = Acos (kx - ω t + ϕ ) = 0.1cos( = 0.1cos2π (5.55x - 13333t + θ ) mm para obtener la fase θ tendremos en cuenta que y(x,t) = y(0, 24 µs) = 0.1: 13333 24 10-6 = θ = 0.32 rad b) y(1m, 0.1s) = 0.1cos2π (5.55-1333.3 + 0.32) mm = -0.097 mm v = = 26666π 0.1sen2π (5.55x - 13333t + 0.32) mm/s = 2.67π sen2π (5.55x - 13333t + 0.32) m/s v(1,0.1) = 2.67π sen2π (5.55-1333 + 0.32) = -0.53 m/s