I. 2 COORDENADAS CELESTES Alejandro Toro INTRODUCCIÓN Cuando usted se encuentra en un lugar despejado, durante una noche de verano y tal vez con algún instrumento óptico útil para observar el cielo, tiene la sensación de estar bajo una gran cantidad de puntos brillantes que envían su luz desde todas las direcciones sobre el horizonte, como si estuvieran colocados sobre un manto oscuro muy lejano. La imposibilidad de establecer a simple vista las características estructurales de estos puntos y de determinar si se encuentran todos a la misma distancia de nosotros o no, probablemente condujo a nuestros antepasados a suponer una forma esférica para ese manto oscuro, hipotético y etéreo, responsable de sostener el cielo sobre nosotros. El conocimiento actual de la estructura del Universo, sustentado en el impulso de la mecánica clásica y en la visión cosmológica de la física del siglo XX, exige un desprendimiento de la idea de que el hombre ocupa una posición privilegiada en el centro de alguna esfera hipotética. Términos como galaxia, cúmulo estelar, super-gigante roja o enana blanca hacen ya parte del léxico común en prácticamente todas las culturas, y eso mismo constituye una nueva visión acerca de las formas, distancias y tamaños en el Universo. No obstante lo anterior, si se desea observar el cielo y describir con precisión las posiciones y los movimientos aparentes de los puntos brillantes distribuidos sobre el firmamento, es sorprendente descubrir cuán útil es la vieja hipótesis de una esfera, en cuyo centro nos encontramos en todo momento. Esa esfera, la Esfera Celeste, constituye la idea central de la Astronomía de Posición, y su estudio provee no sólo la información necesaria para caracterizar los movimientos aparentes de los astros y sus regularidades en el tiempo, sino también una fuente inagotable de situaciones de interés matemático, enmarcadas en el campo de la trigonometría esférica. CONSTRUCCIÓN DE LA ESFERA CELESTE La esfera celeste es una superficie esférica ideal cuyo radio es lo suficientemente grande como para que las dimensiones de la tierra y del mismo sistema solar completo puedan ser consideradas irrelevantes. Su construcción parte de la percepción subjetiva de cada observador en su ubicación sobre la Tierra, y los elementos que la constituyen tienen origen en la geografía y en el cielo mismo. La figura I.4 ilustra la forma como se construye una esfera celeste para un observador en algún lugar del hemisferio norte, por ejemplo en la ciudad de Medellín, con una latitud denotada por el símbolo φ. Note que existen dos componentes en la esfera determinados directamente por la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra; son ellos: LA VERTICAL, que es la línea que indica la dirección en la que actúa el peso de los cuerpos cerca de la superficie de la Tierra, y EL PLANO DEL HORIZONTE, que es el plano perpendicular a la vertical y tangente a la superficie de la Tierra en el lugar de observación. La vertical corta a la esfera celeste en dos puntos: EL ZENIT (Z) y EL 9
NADIR (N), que corresponden al punto más alto y más bajo respectivamente en la esfera celeste. Sobre el plano del horizonte se definen LOS PUNTOS CARDINALES, establecidos de acuerdo a las convenciones de uso común en la geografía. Figura I.4. Construcción de la esfera celeste para un observador ubicado en Medellín. Latitud: φ = 6 16 Norte. Con este panorama inicial, usted está preparado para observar los objetos que aparecerán sobre su horizonte. La primera cuestión a resolver es si puede identificarse algún movimiento (individual o colectivo) de esos objetos durante una noche, y es conveniente además saber cómo cambiará el panorama cuando se observa el cielo desde un mismo sitio en diferentes épocas del año, o en una misma fecha desde diferentes sitios. Estas preguntas deben resolverse a partir del estudio de los movimientos de la rotación y traslación terrestre, que son los directos responsables del movimiento aparente de los astros en la bóveda celeste para un observador sobre la superficie de la tierra. En primer lugar, durante una noche los cuerpos celestes se mueven alrededor de un eje ideal que es la extensión del eje de rotación terrestre hacia la esfera celeste; de esta manera, cuando la tierra rota sobre su eje, el efecto aparente para un observador en la superficie es que todo el cascarón esférico que lo rodea rota en el sentido contrario. El tiempo que la Tierra tarda en realizar una revolución completa sobre su eje es de 23 horas, 56 minutos y 4 segundos, cantidad que suele llamarse "día sideral". Por consiguiente, ese tiempo es el que un astro tomaría en regresar a un mismo punto en el cielo luego de que un observador lo ha identificado. Sin embargo, el hecho de que la Tierra toda se traslade alrededor del sol simultáneamente con su rotación, hace que realmente un astro no vuelva a ocupar la misma posición en el cielo sino hasta que ha girado una cantidad conveniente sobre su eje y ha girado alrededor del sol una vuelta completa. Estrictamente hablando no son sólo la rotación y la 10
traslación los responsables del movimiento aparente de los astros; pueden identificarse otros movimientos como la precesión del eje de rotación, nutación, precesión del perihelio, movimiento compartido con la galaxia y otros, cuya trascendencia para las observaciones de un astrónomo aficionado no es significativa. En la figura 1 puede verse que si se conoce la ubicación del observador sobre la Tierra, puede definirse en su esfera celeste cuál es la ubicación del eje respecto al cual verá rotar todos los astros durante cada noche. En el caso particular de un habitante del hemisferio norte, es claro que la línea CN es paralela a la línea OP, y ambas, al cotejar las dimensiones terrestres con las de la esfera celeste, coinciden en una misma línea llamada el eje del mundo, que indica precisamente el eje respecto al cual todos los astros parecen rotar. Note además que la línea NcSc es perpendicular a la línea CO (la tangente a la superficie de la tierra es perpendicular a su radio), de tal manera que el ángulo ECO (La LATITUD DEL LUGAR, comúnmente denotada f) es congruente con el ángulo NcOP. Al punto P, que es la prolongación del polo norte terrestre en la esfera celeste se le llama POLO NORTE CELESTE (P), y si se hace un razonamiento sencillo es fácil concluir que no presenta movimiento aparente sobre la esfera celeste. Una conclusión interesante es que un habitante del hemisferio Norte ubicará con facilidad el Polo Norte Celeste en su propia esfera, simplemente encontrando el Norte Cardinal y desplazándose hacia el Zenit una cantidad angular igual a la latitud del lugar en el que se encuentra (note que la separación angular entre P y Z es de 90 ). La línea diametral que pasa por el polo norte celeste (y por consiguiente por el polo sur celeste P ) se llama EJE DEL MUNDO, e indica el eje respecto al cual cada observador verá rotar los cuerpos celestes durante una noche. La figura I.5 presenta una esfera celeste construida para un observador en Medellín. Figura I.5. Esfera Celeste para un observador en Medellín 11
En este punto es necesario introducir otro elemento en la esfera, y es la proyección en ella del Ecuador terrestre. A este círculo se le llama ECUADOR CELESTE, y el plano que lo contiene es el PLANO DEL ECUADOR, que es siempre perpendicular al eje del mundo. Lo anterior implica que así como la ubicación del eje del mundo varía con la latitud de observación, la posición del Ecuador celeste también lo hace y en la misma proporción. La latitud puede expresarse como la separación angular entre P y Nc (ó entre P y Sc si se trata del hemisferio sur) o como la separación angular entre el Zenit y el Ecuador Celeste. No debe perderse de vista el hecho de que pueden construirse los elementos principales de la esfera celeste para un habitante del hemisferio sur de manera análoga a un observador en el hemisferio norte, con la diferencia de que para el primero el polo celeste que se encuentra sobre su horizonte es el sur (P ). Esto implica que este observador encontrará la ubicación de P llegando hasta el sur cardinal Sc y desplazándose hacia el zenit Z una cantidad angular igual a su latitud. CINEMÁTICA DE LA ESFERA CELESTE Inicialmente es necesario identificar las trayectorias seguidas por los astros en la esfera celeste ya construida para cada observador, y para tal efecto hay que notar que cada objeto celeste tiene un movimiento aparente alrededor del eje del mundo; por tal razón, la trayectoria de cada astro es una circunferencia paralela al Ecuador Celeste, cuyo centro se encuentra en el eje del mundo. A la trayectoria de cada astro en la esfera celeste se le llama PARALELO CELESTE, siendo el Ecuador Celeste el paralelo de mayor diámetro de la esfera. Un observador percibe que cada objeto celeste recorre su paralelo con una rapidez que depende la rapidez angular de la tierra alrededor de su eje, y de la visual establecida entre el observador y el objeto. En la situación en la que el astro pasa por el punto más alto de su trayectoria respecto al observador, se dice que el astro se encuentra en el MERIDIANO DEL OBSERVADOR, que es la línea que une los puntos P, Z y P (figura I.6). La rapidez aparente del astro A cuando pasa por el meridiano del observador es en consecuencia V = w r (1) donde r = R Sen a, siendo a el ángulo subtendido entre el eje del mundo y la línea OA y w la velocidad angular de rotación de la esfera celeste. La relación entre las rapideces de 2 astros A1 y A2 ubicados en dos diferentes visuales a1 y a2 puede establecerse entonces como sigue: V1 / V2 = w R Sen a1 / w R Sen a2 (2) V1 / V2 = Sen a1 / Sen a2 (3) Esta es la razón por la cual las constelaciones parecen rotar sobre sí mismas mientras pasan sobre nosotros en la esfera celeste. Las distancias aparentes entre las estrellas que las conforman no varían, pero sus rapideces de rotación aparentes sí son diferentes, lo que produce un efecto cinemático similar al de un cuerpo rígido con movimientos combinados de rotación y traslación. 12
Figura I.6. Movimiento aparente de las estrellas sobre sus paralelos Cuando el astro no se encuentra sobre el meridiano del observador debe definirse su MERIDIANO ZENITAL, que es la línea que pasa por Z, por la estrella y por N. Puede mostrarse sin problemas que en ese caso la relación de velocidades es la misma indicada en la ecuación (3), ya que el radio de la circunferencia de la trayectoria del astro es invariable. Es importante aclarar que el ángulo a que hemos definido no es de uso extendido en astronomía, y se emplea con mayor frecuencia el ángulo h medido entre la visual OA y la línea OA trazada desde el observador hasta el punto donde el meridiano zenital corta al plano del horizonte. El ángulo h es llamado ALTURA SOBRE EL HORIZONTE del astro, y en la sección siguiente entraremos en detalles acerca de él. SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Identificadas ya las trayectorias de los astros en la esfera celeste, es necesario establecer una estructura matemática que permita normalizar la medida de sus posiciones aparentes para un observador en una fecha, hora y ubicación geográfica dadas. El punto de partida para la definición de un sistema de coordenadas astronómicas es entender que los objetos a ubicar se encuentran sobre una superficie, y por tanto están involucradas dos dimensiones independientes en el problema. Adicionalmente, la superficie de estudio es la de una esfera, y sobre ella deben definirse las variables a relacionar. A continuación presentamos tres de los sistemas coordenados más usados en astronomía, haciendo referencia a algunas de sus propiedades, ventajas e inconvenientes. 13
Sistema Altazimutal En este sistema se usa como referencia el plano del horizonte, tal como se ilustra en la figura I.7. Un astro A tiene coordenadas Altazimutales llamadas ALTURA SOBRE EL HORIZONTE (h) y AZIMUT (Az), definidas de la siguiente forma: El Azimut es el ángulo medido sobre el horizonte, a partir del sur cardinal y en dirección oeste, hasta el punto A que es donde el meridiano zenital del astro intercepta al horizonte. La altura sobre el horizonte es el ángulo medido sobre el meridiano zenital, entre el punto de intersección A y la posición del astro. Una inspección rápida de la geometría de la esfera celeste permite concluir que las coordenadas Altazimutales de un astro no permanecen constantes en el tiempo para un observador cualquiera, y que tampoco son equivalentes en un mismo instante para dos observadores en diferentes lugares de la tierra. La razón de que las coordenadas altazimutales de un objeto no permanezcan constantes para un mismo observador estriba fundamentalmente en que mientras el astro se mueve por su paralelo, continuamente cambia de meridiano zenital; por otro lado dos observadores en lugares distintos de la tierra tendrán, respecto a las estrellas lejanas, diferentes orientaciones de su horizonte y zenit y por tanto los puntos de referencia no serán comparables. Sistema Ecuatorial Figura I.7. Coordenadas del sistema Altazimutal A partir de las limitaciones de las coordenadas altazimutales, el sistema ecuatorial usa como referencia el plano del Ecuador en vez del plano del Horizonte. Puede notarse en la figura I.8 que la separación angular entre el paralelo del astro y el Ecuador Celeste (que es una cantidad 14
constante) es realmente una referencia fija, y el sistema Ecuatorial tiene eso en cuenta al definirla como una de sus coordenadas: LA DECLINACIÓN (d), que tiene un valor de 0 para un astro en el Ecuador Celeste, de 90 en el Polo Norte Celeste (La estrella polar) y de 90 en el Polo sur Celeste. La otra coordenada que usa el sistema Ecuatorial es EL ÁNGULO HORARIO (H), medido como la separación angular entre el meridiano del observador y la línea que une al Polo Norte celeste, el Astro y el Polo Sur Celeste. Esta última línea se conoce como EL MERIDIANO POLAR DEL ASTRO, ó simplemente el Meridiano del astro. El ángulo horario se mide sobre el Ecuador Celeste en sentido horario si se observa desde el polo norte celeste (o sea que crece en la dirección en que se ven mover las estrellas durante una noche) y toma valores entre 0 y 24 horas; cada hora corresponde a 15 minutos de separación angular en la visual del observador. Figura I.8. Coordenadas del sistema Ecuatorial Por la forma como está definida la declinación de un astro, es claro que para un mismo observador ésta no variará a pesar de que transcurra una noche, o incluso aunque pasen muchas noches. El ángulo horario, en cambio, sí experimenta variación bajo esta circunstancia debido a que todos los astros (excepto los que se encuentren exactamente en P y P ) se mueven respecto al meridiano del observador durante una noche. Sistema Equinoccial En este sistema se usa, al igual que en el Ecuatorial, LA DECLINACIÓN para medir la separación entre el paralelo del astro y el Ecuador Celeste, lo que indica que también se usa como referencia el plano del Ecuador. La diferencia es establecida aquí en la forma de ubicar el astro sobre su paralelo, ya que en vez de usar como referencia el meridiano del observador (que 15
naturalmente depende de cada observador) se recurre a un punto que se mueve en el cielo junto con todos los astros, tal y como el meridiano de Greenwich se mueve con todos los puntos de la superficie terrestre cuando ésta realiza su rotación. La consecuencia más importante de esta convención es que el punto de referencia para medir la posición de un astro sobre su meridiano es el mismo para cualquier observador y en cualquier instante, de manera que la coordenada que se defina a partir de ese punto será invariable para cada astro, independiente de la ubicación del observador. La coordenada que acompaña a la declinación en las coordenadas Equinocciales se llama ASCENSION RECTA (A.R.= a), y el punto de referencia en la esfera celeste (donde la A.R. = 0) se llama PUNTO ARIES o PUNTO VERNAL, denotado con el símbolo g. La figura I.9 presenta las coordenadas del sistema Equinoccial. Figura I.9. Coordenadas del sistema Equinoccial El punto Aries recibe este nombre de acuerdo a la forma como fue definido hace más de 2000 años: es el lugar en el cielo directamente opuesto al sol en el equinoccio de primavera en el hemisferio norte. Realmente en la actualidad la proyección de la línea Tierra-Sol ya no apunta hacia Aries sino hacia Piscis debido a la precesión del eje de rotación de la Tierra, sin embargo el nombre de Punto Aries ha permanecido por su importancia histórica y su significado. El sistema Equinoccial de coordenadas es, no sin razón, el más ampliamente usado por los astrónomos en todo el mundo, y todos los catálogos estelares que se distribuyen entre aficionados y profesionales contienen la información de la ascensión recta y la declinación de miles de astros, corregidas generalmente cada cincuenta años. En conclusión, cada estrelle 16
tiene unas coordenadas asociadas A.R. y a que no dependen ni del lugar, ni la fecha ni la hora de observación, lo cual es altamente ventajoso. EL TRIÁNGULO ASTRONÓMICO A pesar de que el sistema Equinoccial es el sistema natural para hacer astronomía de posición, en muchas circunstancias los equipos de observación no tienen los mecanismos correctos para encontrar el eje del mundo y el plano del ecuador, y el aficionado debe conformarse con el plano del horizonte y la vertical que son mucho más fáciles de percibir y calibrar; en estas circunstancias puede también hacerse una buena observación y establecerse contacto con otros astrónomos en otros lugares ó a distintas horas, aún cuando las coordenadas altazimutales y el ángulo horario no coincidan. La forma de lograr esto es usar las propiedades geométricas de la esfera celeste para relacionar las coordenadas de los diferentes sistemas entre sí. La figura I.10 ilustra la situación en una esfera celeste para Medellín. Figura I.10. Relaciones entre sistemas de coordenadas: el triángulo astronómico Puede notarse en la figura I.10 que el triángulo esférico PEZ contiene información acerca de las coordenadas de los tres sistemas estudiados, entonces bastará con establecer relaciones trigonométricas entre los lados y ángulos de dicho triángulo para tener la posibilidad de convertir unas coordenadas en otras. El triángulo PEZ se llama EL TRIÁNGULO ASTRONÓMICO, y es de capital importancia en la astronomía de posición. En este punto es importante discutir algunos aspectos de la geometría de la esfera celeste, como sigue: Los círculos correspondientes a los Meridianos polares y zenitales, el Ecuador Celeste, el Horizonte y el Meridiano del observador se llaman Círculos Máximos, y tienen la propiedad de tener como centro el centro mismo de la esfera y como radio el radio de la esfera (cosa que no sucede con los paralelos). La magnitud del radio de la esfera Celeste, como ya se dijo, es mucho mayor que cualquiera de las dimensiones comparables con la tierra o el sistema solar mismo; numéricamente hablando, le asignaremos el valor de la unidad. Esta convención tiene un significado más profundo de lo que podría pensarse inicialmente, porque implica que una medición angular que un observador realiza con vértice en él mismo, tiene el mismo valor numérico que la separación entre dos objetos sobre la esfera celeste. En otras palabras, cuando un 17
observador mide el ángulo de declinación de una estrella, o de Azimut, o cualquiera de las coordenadas ya mencionadas, está midiendo también un arco sobre la esfera celeste, el cual recibe el mismo nombre y valor numérico que la coordenada angular. De acuerdo a lo anterior, es claro que los lados del triángulo astronómico son arcos de círculos máximos, cuya magnitud es S = Rq, pero como R=1, entonces S = q. Figura I.11. El triángulo esférico En un triángulo esférico como el de la figura I.11, donde cada lado es un arco de círculo máximo, pueden establecerse relaciones fundamentales como la ley de senos y la ley de cosenos, cuya demostración puede encontrarse en AYRES, F. (1954). Usando estas dos leyes puede un astrónomo convertir coordenadas entre los tres sistemas principales estudiados con bastante facilidad, de tal manera que puede combinar sus observaciones con el manejo de información estandarizada. La ley de senos se escribe como sigue: Sen a / Sen A = Sen b / Sen B = Sen c / Sen C (4) Y la ley de cosenos puede desarrollarse para cada lado del triángulo ó para cada ángulo, así: Cos a = Cosb Cosc + Sen b Sen c Cos A (5) Cos b = Cosa Cosc + Sen a Sen c Cos B (6) Cos c = Cosa Cosb + Sen a Sen b Cos C (7) Cos A = -CosB CosC + Sen B Sen C Cos a (8) Cos B = -CosA CosC + Sen A Sen C Cos b (9) Cos C = -CosA CosB + Sen A Sen B Cos c (10) Cuando se alcanza un conocimiento global acerca de la mecánica de la esfera celeste se está preparado para realizar observaciones sistemáticas y registros detallados, y esto implica el desarrollo de técnicas de CARTOGRAFÍA CELESTE. Esta área de la astronomía permite escudriñar la esfera celeste en busca de objetos interesantes (estelares o no) y usa las herramientas de la geometría esférica que hemos estudiado aquí. El desarrollo específico de la cartografía celeste se discutirá en el capítulo siguiente. 18