CAPÍTULO I : FUNDAMENTOS DE ASTRONOMIA DE POSICIÓN

CAPÍTULO I : FUNDAMENTOS DE ASTRONOMIA DE POSICIÓN 1.1 DEFINICIÓN La Astronomía de posición es la parte de la Astronomía, que tiene por objetivo el estudio de la esfera celeste, visando la determinación del azimut verdadero y de las coordenadas geográficas. El azimut verdadero es utilizado para la orientación de poligonales topográficas, ubicación de áreas de investigación y zonas minéreas. 1.2 ESFERA CELESTE La esfera celeste es una esfera de radio desconocido, cuyo centro es el centro de la tierra. Para un observador en la superficie terrestre, los cuerpos celestes (Sol, planetas y estrellas) aparecen como puntos luminosos, estampados en la superficie interna de la esfera celeste, y se mueven del este hacia el oeste. La esfera celeste sirve de base para la astronomía de posición. En la figura 1, las estrellas C y D y el planeta AB son vistos, conforme a sus proyecciones, en la superficie interna de la esfera celeste. 1.3 MOVIMIENTOS DE LA TIERRA Nuestro planeta está animado de varios movimientos, de los cuales destacamos : - Movimiento de Rotación, - Movimiento de Traslación 1

1.3.1 MOVIMIENTO DE ROTACIÓN Movimiento de Rotación es el movimiento que la Tierra realiza en torno del eje polar, tiene sentido de rotación de oeste para el este, y causa la sucesión de los días y de las noches, el nacer y el ocaso del Sol, estrellas y planetas. 1.3.2 MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN Movimiento de traslación es el movimiento que la Tierra realiza en torno del Sol, en un período aproximado de 365 días. De este movimiento surgen las estaciones del año. Para el estudio de la Astronomía, se considera la Tierra fija, ocupando el centro de la esfera celeste, que gira del este para el oeste. 1.3.3 LEYES DE KEPLER PRIMERA LEY DE KEPLER Los planetas describen alrededor del Sol elipses, en la cual el Sol ocupa uno de los focos. Ver figura 2. La elipse descrita se llama órbita y posee dos posiciones extremas, en el eje mayor de la elipse, denominadas de : - Perielio : cerca del Sol. - Afelio : lejos del Sol. SEGUNDA LEY DE KEPLER Las áreas descritas por el radio vector, en tiempos iguales, son iguales. Ver figura 3. Por tanto se puede decir que, cuanto mayor sea el radio vector, más lenta será la velocidad de traslación del planeta. 2

TERCERA LEY DE KEPLER Los cuadrados de los tiempos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los grandes ejes de la órbita. Valiéndose de esta ley, se puede calcular el diámetro de las órbitas de los planetas. 1.4 ELEMENTOS DE LA ESFERA CELESTE 1.4.1 EJE DEL MUNDO El eje del mundo es el eje, según el cual, la esfera celeste efectúa el movimiento de rotación, del este para el oeste. Este eje intercepta la Tierra en dos puntos diametralmente opuestos, denominados de : - Polo norte terrestre; - Polo sur terrestre. El polo norte terrestre también es denominado de polo boreal o polo ártico y el polo sur terrestre también es denominado de polo austral o polo antártico. Ver figura 4. 1.4.2 ECUADOR CELESTE El Ecuador Celeste es el círculo máximo QQ, cuyo plano es perpendicular al eje del mundo. Ver figura 4. Este plano divide a la esfera celeste en dos partes, denominadas de hemisferios, que llevan el nombre del polo correspondiente. De esta forma, la posición de un astro en la esfera celeste puede ser : 3

- Boreal : en el hemisferio norte, - Austral : en el hemisferio sur, - Ecuatorial : en el ecuador. 1.4.3 PARALELOS CELESTES Paralelos celestes son los círculos menores determinados por planos que cortan a la esfera celeste perpendicularmente al eje del mundo. Ver figura 4. 1.4.4 MERIDIANOS CELESTES Meridianos celestes son los círculos máximos de la esfera celeste, que pasan por los polos boreal y austral, conteniendo el eje del mundo. Ver figura 4. 1.4.5 MERIDIANO DEL LUGAR Meridiano del lugar es la línea definida en la esfera celeste, por un plano que corta esta esfera perpendicularmente al plano del ecuador, conteniendo el eje del mundo e la vertical del lugar. El meridiano del lugar proyectado en el plano del horizonte del lugar (plano topográfico), define el norte verdadero. 1.4.6 VERTICAL DEL LUGAR La vertical del lugar es definida por la dirección del hilo de plomo, que posee dos sentidos. - Zenit; - Nadir 4

1.4.7 ZENIT Zenit es el lugar geométrico de la esfera celeste, definido por la intersección de la prolongación de la dirección del hilo de plomo sobre el horizonte, con la esfera celeste. Ver figura 5. 1.4.8 NADIR Nadir es el lugar geométrico de la esfera celeste definido por la intersección de la prolongación del hilo de plomo, abajo del horizonte, con la esfera celeste. Ver figura 5. 1.4.9 HORIZONTE DEL LUGAR Se denomina horizonte del lugar el plano perpendicular a la vertical del lugar, que pasa por el punto de la superficie terrestre ocupado por el observador. El horizonte que pasa por el centro de la Tierra se denomina horizonte geocéntrico. 5

1.4.10 PLANO DEL HORIZONTE Plano del horizonte es el plano que define el horizonte del lugar. El plano topográfico es una porción del plano del horizonte. 1.4.11 CÍRCULO DE LA VERTICAL Círculo de la vertical es el círculo máximo de la esfera celeste que pasa por el zenit y nadir conteniendo la vertical del lugar. 1.4.12 ALMICANTARADOS Almicantarados son círculos menores de la esfera celeste, paralelos al plano del horizonte. Ver figura 5. 1.4.13 PUNTOS CARDINALES La intersección del plano del meridiano del lugar con el plano del horizonte, define la línea norte-sur. La intersección del plano del ecuador con el plano del horizonte define la línea este-oeste. En la figura 6, el punto del ecuador más próximo del zenite es denominado de QZ y el punto más próximo del nadir es denominado de QN. 6

El punto del plano del horizonte más próximo del polo sur es denominado de HS y el punto próximo del polo norte es denominado de HN. 1.4.14 MERIDIANO SUPERIOR Meridiano superior es el semi-meridiano que contiene el zenit. Está situado arriba del horizonte visible del observador. Ver figura 6. 1.4.15 MERIDIANO INFERIOR Meridiano inferior es el semi-meridiano que contiene el nadir. Está situado abajo del horizonte invisible al observador 1.4.16 POLO ELEVADO En la figura 6 el arco HSPS es el polo sur elevado y corresponde a la latitud del lugar del observador. El arco ZQZ es la declinación del zenit y también corresponde a la latitud del lugar del observador. ZQZ = HSPS 1.4.17 DECLINACIÓN Declinación es la ordenada del sistema de coordenadas horarias y corresponde al arco de meridiano que va del ecuador hasta el astro. 1.4.18 ECLIPTICA Eclíptica es el lugar geométrico de los puntos del espacio ocupado por el Sol en su trayectoria anual. Este plano (plano de la eclíptica) forma con el plano del ecuador, un ángulo de 23 o 27 denominado OBLIQUIDAD DE LA ECLÍPTICA. 1.4.19 POLOS DE LA ECLÍPTICA Una línea perpendicular al plano de la eclíptica pasando por su centro, intercepta a la esfera celeste en dos puntos diametralmente opuestos, denominados polos de la eclíptica. Ver figura 7. El polo de la eclíptica más próximo del polo norte es denominado de IN y el polo de la eclíptica más próximo del polo sur es denominado de IS. 7

1.4.20 EQUNOCCIOS La intersección del plano de la eclíptica con el plano del ecuador define la línea equinoccial o línea de los equinoccios, cuyos extremos son : Punto Vernal (γ) o equinoccio de primavera; Punto Libra (Ω) o equinoccio de otoño. Por tanto : γ y Ω = puntos equinocciales. γω = línea equinoccial. 1.4.21 SOLSTÍCIOS La normal al centro de la línea equinoccial que pertenece al plano de la eclíptica define en la esfera celeste, dos puntos denominados PUNTOS SOLSTICIALES. Ver figura 7. ε = solsticio de verano. ε = solsticio de invierno. Por tanto: ε e ε = puntos solsticiales. εε = línea solsticial. γ ε ε Ω 8

1.4.22 TRÓPICOS Los solsticios describen en la esfera celeste, los círculos menores de 23 o 27 norte denominado de TRÓPICO DE CÁNCER y de 23 o 27 sur denominado de TRÓPICO DE CAPRICORNIO. Ver figura 7. 1.4.23 CÍRCULOS POLARES Los polos de la eclíptica describen en la esfera celeste, los círculos menores de 66 o 33 norte denominado de CÍRCULO POLAR ÁRTICO Y DE 66 o 33 sur, denominado de CÍRCULO POLAR ANTÁRTICO. 1.4.24 COLURO DE LOS EQUINOCCIOS Coluro de los equinoccios son las meridianas que pasan por los puntos equinocciales γ y Ω, punto vernal y punto libra respectivamente. 1.4.25 COLURO DE LOS SOLSTICIOS Coluro de los solsticios son las meridianas que pasan por los puntos solsticiales. 1.4.26 ZODIACO Zodiaco es la zona de la esfera celeste con 16 o de ancho, estando en el medio el plano de la eclíptica. Esta zona fue dividida en 12 partes iguales, contadas a partir del punto vernal. Está formada por círculos máximos que pasan por los polos de la eclíptica. Cada una de estas partes posee 30 o y era designada de SIGNO DEL ZODIACO llevando el nombre de las constelaciones allí existentes en el tiempo de Hiparco (150 años antes de Cristo). Los signos del zodiaco, en orden, a partir del punto vernal son : ARIES, TAURUS, GEMINI, CANCER, LEO, VIRGO, LIBRA, SCORPIO, SAGITTARIUS, CAPRICORNIUS, AQUARIUS y PISCES. Actualmente, ya pasados más de 2.100 años, el punto vernal ya se dislocó para el occidente en torno de 30 o, correspondiendo a una división o signo del zodiaco. Tal hecho ocurrió en virtud de la PRECESIÓN DE LOS EQUINOCCIOS. 9

1.4.27 PRECESIÓN DE LOS EQUINOCCIOS Presesión de los equinoccios es el movimiento que el eje del mundo realiza en torno del eje de la eclíptica, produciendo un retraso del punto vernal. Un giro completo lleva en torno de 25.800 años. 1.5 UNIDADES DE MEDIDA EN ASTRONOMÍA Las principales unidades de medida utilizadas en la astronomía son : i) La unidad fundamental de medida es la U.A., que es la abreviatura de Unidad Astronómica y que se define como la distancia media de la tierra al sol : 1 U.A. = 149.500.000 km. ii) Otra unidad de medida es el AÑO-LUZ, que es la distancia que recorre la luz en el vacío en un año. Su valor es : 1 Año-Luz = 365,25 x 24 x 60 x 60 x 300.000 1 Año-Luz = 9,467 x 10 12 km 1 Año-Luz = 63.326 U.A. iii) Una tercera unidad de medida es el PÁRSEC, que se deriva de paralaje por segundo. Un pársec, es la distancia a que se encuentra un astro si su paralaje es de un segundo de arco. 1 PARSEC = 3,09 x 10 13 = 3,26 años-luz. 1 PARSEC = 206.265 U.A. 10

CAPITULO II : SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÓMICAS 2.1 NOCIONES PRELIMINARES El sistema de coordenadas astronómicas sirve para determinar la posición de un determinado astro en la esfera celeste. 2.1.1 CONSTITUCIÓN DE UN SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÓMICAS Para la constitución de un sistema de coordenadas astronómicas o coordenadas esféricas son necesarios los siguientes elementos : a) un círculo fundamental o plano fundamental, constituido por un círculo máximo; b) los polos del plano fundamental; c) un círculo secundario, constituido por un círculo máximo, que pasa por los polos del círculo fundamental y astro; d) un origen, sobre el círculo fundamental, convenientemente escogido. 2.1.2 CÍRCULOS FUNDAMENTALES Los círculos fundamentales a ser utilizados en los diversos sistemas de coordenadas son : a) Horizonte del lugar, cuyos polos son zenit y nadir; b) Ecuador, cuyos polos son los polos celestes (polo norte y polo sur); c) Eclíptica, cuyos polos son IN e IS (polos de la eclíptica). 2.1.3 COORDENADAS ABSCISA Abscisa es el arco medido a lo largo del círculo fundamental, a partir de un origen establecido, en un sentido que podrá ser directo (horario) o retrógrado (antihorario), hasta la intersección con el círculo secundario. ORDENADA Ordenada es el arco medido en el círculo secundario del astro, hasta la intersección con el círculo fundamental. 11

2.2 SISTEMA DE COORDENADAS HORIZONTALES 2.2.1 CÍRCULOS Círculo fundamental Círculo secundario : horizonte del lugar, : vertical del astro. 2.2.2 COORDENADAS Abscisa Ordenada : azimut del astro (A); : altura del astro (h). ORIGEN DE LA ABSCISA Punto sur del horizonte (punto HS). 2.2.2.1 AZIMUT DEL ASTRO Azimut del astro es el arco A, medido del punto sur (HS) hasta interceptar el círculo de la vertical del astro. Ver figura 8. A : azimut del astro; H : altura del astro. VARIACIÓN El azimut varía de 0 o a 360 o en el sentido horario (S, W, N, E). 2.2.2.2 AZIMUT ASTRONÓMICO TERRESTRE El azimut de una línea terrestre, en el plano del horizonte (plano topográfico), es el ángulo que esta línea forma con la proyección de la meridiana del lugar en el plano del horizonte. El origen del azimut es el punto sur (equivalente a la proyección del polo sur en el plano del horizonte) contado de 0 o a 360 o en el sentido horario. En topografía el azimut tiene origen en el norte verdadero (equivalente a la proyección del polo norte en el plano del horizonte) contado de 0 o a 360 o en el sentido horario (N, E, S y W). El azimut topográfico es determinado a partir de observaciones astronómicas en el Sol o estrellas. 2.2.3 ALTURA DEL ASTRO Altura del astro es el arco h, medido en el círculo de la vertical del astro, desde este hasta la intersección con el plano del horizonte. 12

VARIACIÓN : h varía de 0 o a 90 o. SITUACIONES ESPECIALES : h = 00 o h = 90 o : el astro está en el horizonte; : el astro está en el zenit. Al complemento de la altura se denomina DISTANCIA ZENITAL, que es el arco que va desde el zenit hasta el astro. Z = 90 o h La altura de un astro es medida con el teodolito. 13

2.2.4 NOTAS SOBRE EL SISTEMA a) Las coordenadas horizontales o locales, sólo son válidas para un determinado local, pues varían con la posición del observador. b) Si el observador cambia de lugar, variará el zenit, el meridiano y el horizonte. c) Si el observador permanece en el mismo lugar, las coordenadas variaran en virtud del movimiento diurno del astro. El azimut variará de 0 o a 90 o. d) La velocidad del astro es resultado de dos velocidades : - Velocidad Zenital; - Velocidad Azimutal. En el campo óptico de los teodolitos la velocidad zenital hace que el astro se aleje o se aproxime de hilo horizontal, en tanto la velocidad azimutal hace que el astro se aleje o se aproxime del hilo vertical. e) Por lo dicho anteriormente, este sistema de coordenadas astronómicas sirve para un determinado lugar, a una hora determinada. 2.3 SISTEMA DE COORDENADAS HORARIAS 2.3.1 CÍRCULOS Círculo fundamental : Ecuador; Círculo secundario : círculo horario del astro. 2.3.2 COORDENADAS Abscisa Ordenada : ángulo horario (H); : declinación (δ). ORIGEN DE LA ABSCISA Intersección del meridiano superior con el ecuador (QZ). 2.3.2.1 ANGULO HORARIO (H) Angulo horario es el arco del ecuador, que va desde el origen (QZ), hasta la intersección con el círculo horario del astro. Ver figura 10. El ángulo horario es contado en el sentido retrógrado a partir de QZ. VARIACIÓN : El ángulo horario varía de 0 o a 360 o o de 0 a 24 horas. SITUACIONES ESPECIALES H = 00 o : el astro está en el semi-meridiano superior (QZ); H = 180 o : el astro está en el semi-meridiano inferior (QN); 14

H = 90 o : el astro está en el punto W; H = 270 o : el astro está en el punto E. 2.3.2.2 DECLINACIÓN (δ) Declinación es el arco del círculo horario, que va del ecuador hasta el astro. VARIACIÓN : La declinación varía de 0 o a ± 90 o. Siendo positiva cuando el astro es está en hemisferio Norte y negativa cuando el astro está en el hemisferio Sur. De esta forma : Astro en el hemisferio Sur Astro en el hemisferio Norte : declinación austral; : declinación boreal. SITUACIONES ESPECIALES δ = 0 o : el astro está en el ecuador. No hay en la esfera celeste, astros que materialicen los polos, es decir, no hay astros que posean declinación igual a 90 o. 2.3.2.3 DISTANCIA POLAR Distancia polar es el arco del círculo de declinación que va desde el astro hasta el polo norte. La distancia polar es denominada de p, y varía de 0 o a 180 o. Cuando el astro esté en el hemisferio austral, la declinación es negativa y la distancia polar será mayor que 90 o. 2.3.3 NOTAS SOBRE EL SISTEMA a) Las estrellas, llamadas astros fijos, sin movimiento propio, describen en función del movimiento de rotación de la tierra, el mismo paralelo. De esta forma, si no existiese el movimiento del eje del mundo alrededor del eje de la eclíptica (precesión de los equinoccios), estos astros tendrían declinación constante a lo largo del año. Por tanto, con este movimiento, la declinación varía algunos segundos por año. b) Los astros errantes (caso del sol y planetas), participan del movimiento de rotación de la Tierra teniendo movimiento de traslación propio. Estos astros describen, a cada día, un paralelo diferente y en consecuencia de esto, tienen declinaciones variables. c) El ángulo horario del astro, varía con la posición del observador y con el movimiento diurno, teniendo carácter meramente local. 15

d) La variación del ángulo horario es uniforme y posee la misma velocidad para todos los astros, ya que los mismos participan del movimiento diurno. e) En los polos de la Tierra, los sistemas horizontales y horarios se confunden, ya que el horizonte se equivale al ecuador y la línea zenit-nadir es la misma línea del eje del mundo. f) El sistema de coordenadas horarias lleva ventaja sobre el sistema de coordenadas horizontales, en virtud de ser invariable la declinación de la estrella, en el espacio de tiempo entre las observaciones, y al ser el ecuador como plano fundamental, el mismo para todos los observadores. No importando el lugar de la observación. δ δ 2.4 SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES 2.4.1 CÍRCULOS Círculos fundamental Círculo secundario : ecuador; : círculo horario del astro. 16

2.4.2 COORDENADAS Abscisa Ordenada : ascensión recta (α); : declinación (δ). ORIGEN DE LA ABSCISA Punto Vernal. 2.4.2.1 ASCENCIÓN RECTA (α) Ascensión recta es el arco del ecuador que va desde el punto vernal hasta el círculo horario del astro. La ascensión recta es contada a partir del punto vernal, en el sentido contrario al movimiento diurno. VARIACIÓN La ascensión recta varía de 0 a 24 horas. 2.4.2.2 DECLINACIÓN (δ) Declinación es el arco del círculo horario que va desde el ecuador hasta el astro. Una descripción más detallada sobre la declinación fue vista en el sistema de coordenadas horarias. 2.4.3 NOTAS SOBRE EL SISTEMA a) Las coordenadas ecuatoriales no varían con la posición del observador ni con el movimiento de rotación de la esfera celeste. b) Las coordenadas ecuatoriales sufren pequeñas variaciones, que son causadas por la precesión de los equinoccios. c) Son publicadas anualmente las EFEMÉRIDES ASTRONÓMICAS, que proporcionan las coordenadas ecuatoriales de las principales estrellas, planetas y del Sol. d) LA MIRA ( editada por la editorial y librería Luana Ltda.), publica la declinación del Sol y de las principales estrellas, elemento necesario para la determinación del norte verdadero. e) El almanaque náutico, editado por la Marina Americana es distribuido por las Capitanías de Puertos, también proporciona las coordenadas ecuatoriales del Sol y estrellas principales. 17

γ ε δ α ε Ω δ α γ Ω 2.5 SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS 2.5.1 CÍRCULOS Círculo Fundamental Círculo Secundario : eclíptica; : círculo máximo que pasa por los polos de la eclíptica y por el astro. 2.5.2 COORDENADAS Abscisa : longitud celeste(l ); Ordenada : latitud celeste (β). ORIGEN DE LA ABSCISA : Punto Vernal. 18

2.5.2.1 LONGITUD CELESTE (β) Longitud celeste es el arco de la eclíptica que va desde el punto vernal hasta la intersección con el círculo máximo que contiene los polos de la eclíptica e el astro. VARIACIÓN : La longitud celeste varía de 0 a 24 horas. 2.5.2.2 LATITUD CELESTE (l ) Latitud celeste es un arco del círculo máximo de los polos de la eclíptica que va de la eclíptica hasta el astro. VARIACIÓN : La latitud celeste varía de 0 o a ± 90 o. 2.5.3 NOTAS SOBRE EL SISTEMA a) El sistema de coordenadas eclípticas es poco usado en Astronomía de campo. b) Las coordenadas independen de la posición del observador y del movimiento de rotación de la esfera celeste y son usadas en los cálculos de las órbitas de los planetas. ε ι ε γ β γ ι β 19

2.6 RESUMEN DE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS ASTRONÓMICAS CÍRCULOS SISTEMA CÍRCULO FUNDAMENTAL CÍRCULO SECUNDARIO Horizontal Horizonte del lugar Vertical del astro Horario Ecuador Círculo horario del astro Ecuatorial Ecuador Círculo horario del astro Eclíptica Eclíptica Círculo de los polos de la eclíptica COORDENADAS SISTEMA CÍRCULO FUNDAMENTAL CÍRCULO SECUNDARIO Horizontal Azimut (A) Altura (h) Horario Angulo horario (H) Declinación (δ) Ecuatorial Ascensión recta (α) Declinación (δ) Eclíptica Longitud celeste (β) Latitud celeste (l ) ORIGEN DE LA ABSCISA SISTEMA Horizontal Horario Ecuatorial Eclíptica ORIGEN DE LA ABSCISA Punto sur del horizonte (HS) Intersección del meridiano sup. con el ecuador (QZ) Punto vernal (γ) Punto vernal (γ) VARIACIÓN DE LAS COORDENADAS SISTEMA ABSCISA ORDENADA Horizontal A de 0 o a 360 o h de 0 o a 90 o Horario H de 0 o a 360 o o de 0 a 24 h δ de 0 o a ± 90 o Ecuatorial α de 0 a 24 h δ de 0 o a ± 90 o Eclíptica β de 0 a 24 h l de 0 o a ± 90 o 20

2.7 ÁNGULO HORARIO Y HORA SIDÉREA DE UNA ESTRELLA QUE NO SEA EL SOL El ángulo horario (H) de una estrella respecto al círculo horario de un observador es la distancia angular dibujada a lo largo del ecuador celeste, entre el punto de intersección de la parte superior (respecto al observador) de dicho círculo con el ecuador celeste y el punto de intersección del círculo horario de la estrella con el ecuador. Observase la figura 13. Aquí se ha dibujado el círculo horario de un observador situado en A, el círculo horario de Greenwich, la trayectoria de una estrella E y el paralelo de declinación de referencia (ecuador celeste). El ángulo horario H de la estrella E ubicada en el punto 5 respecto al círculo horario local, es la distancia angular 1-Ô-3 correspondiente al arco 1-3 del ecuador celeste. Cuando la estrella se sitúa en el punto 6, H es 1-Ô-4 corresponde al arco 1-3-4; cuando se ubica en 7, su H es 1-Ô-8 y su valor es de 180 o equivalente a 24 horas. Z 1 2 ECUADOR CELESTE AHL en 6 AHL en 5 AHL en 7 POLO NORTE 2 10 A AHL en 5 AHL en 7 AHL en 6 6 3 5 E TRAYECTORIA DE LA ESTRELLA E CIRCULO HORARIO DE LA ESTRELLA E EN 5 O POLO SUR 9 4 E 6 CIRCULO HORARIO DE GREENWICH CIRCULO HORARIO DE E EN 6 CIRCULO HORARIO LOCAL DE A FIGURA 13 8 7 E FIGURA 13 Resumiendo, los ángulos horarios de las estrellas excepto el Sol, respecto al círculo horario de un observador se dibujan sobre el ecuador celeste, desde la intersección de dicho círculo con el ecuador (punto inamovible) hasta la intersección del círculo horario de la estrella con el ecuador (punto que se desplaza continuamente) de Este para Oeste. El ángulo horario de la estrella ubicada en 5, respecto al círculo horario de Greenwich, es el arco 10-1-3 correspondiente a la distancia angular 10-0-3. 21

El punto 10 es la intersección de la parte superior del círculo horario de Greenwich con el ecuador. Dicha distancia angular es el ángulo horario en Greenwich de la estrella indicada. En particular, cuando la estrella es el punto Vernal, obtendremos el ángulo horario del punto Vernal (Hγ) u hora Sidérea. Ver la figura 14. Si el Hγ es respecto al círculo horario local, tendremos la Hora Sidérea Local (HSL) y cuando es respecto al círculo horario de Greenwich, tendremos la Hora Sidérea en Greenwich (HSG). Una vuelta completa de 360 o del punto Vernal alrededor del eje celestial de rotación constituye el día sidéreo. Cuando el γ se ubica en el punto 7, su ángulo horario local (respecto al observador A) es de cero grados y la HSL es de cero horas; cuando se ubica en 5 tendremos 12 horas sidéreas equivalente al arco 7-8-5 de 180 grados. Cuando γ se ubica en 6, inicia el día sidéreo por un observador en Greenwich, pero para el observador local en A son las 20 horas sidéreas equivalentes al arco 7-8-5-6. Generalizando el ángulo horario de una estrella X respecto al círculo horario Y, es igual al arco de Ecuador comprendido entre la intersección de la parte superior del círculo horario de Y con el Ecuador y la intersección del círculo horario de la estrella X con el Ecuador; se mide de Este a Oeste. CENIT DE A LONG 60º ESFERA CELESTE 7 T CIRCULO HORARIO LOCAL DE 4 h 00 LONG. POLO NORTE LONGITUD 0º 6 T Pν ECUADOR Y TRAYECTORIA DEL Pν A TIERRA 8 T Pν POLO SUR CIRCULO HORARIO DE GREENWICH FIGURA 14 5 T FIGURA 14 22

El Ecuador celeste coincide con la trayectoria del Punto Vernal (γ). El ángulo horario de γ respecto a un círculo horario y expresado en horas es la hora sidérea respecto al mismo círculo. El día sidéreo del observador A inicia cuando el γ se ubica en el punto 7, en la intersección de la parte superior del círculo horario local con el Ecuador. El día sidéreo en Greenwich inicia cuando γ se ubica en el punto 6, en la intersección de la parte superior del círculo horario de Greenwich (superior respecto a un observador situado en Greenwich) con el Ecuador Celeste (punto 6). Cuando el γ se ubica en el punto 6, respecto a un observador en Greenwich son las cero horas sidéreas. Cuando se ubica en el punto 5, para el observador A son las 12 horas sidéreas equivalentes al arco 7-8-5. El arco 6-7 es la longitud del círculo horario local que hemos supuesto de 60 grados, equivalente a 4 horas; 60/15 = 4 horas. 7-8-5-6 = 24 h (circunferencia completa arco 6-7) = 24 h 4 h. Los ángulos horarios, así como las longitudes, se pueden expresar en grados o en horas; se pueden convertir los grados en horas dividiendo los primeros por 15 y la solución inversa se obtiene multiplicando las horas por 15. 2.8 ÁNGULO HORARIO DEL SOL, HORA MEDIA, HORA VERDADERA Y ECUACIÓN DEL TIEMPO. Todo lo explicado sobre los ángulos horarios de las estrellas es válido para el ángulo horario del Sol, con dos diferencias importantes: (ver figura 15) a) El origen del ángulo horario local del Sol es la intersección de la parte inferior del círculo horario local del observador con el Ecuador celeste (punto 9) y no la parte superior como sucede con los ángulos horarios de las estrellas. Esto es el caso normal. b) El ángulo horario del Sol expresa la hora media que señala nuestro reloj si se refiere al Sol medio o imaginario, y la hora verdadera si se refiere al Sol verdadero. No expresa la hora sidérea como sucede con un ángulo horario del Punto Vernal. En la figura 15 se ha dibujado el círculo horario local del observador A (arco 1-2-3-4-1), el círculo horario de Greenwich, la trayectoria del Sol con declinación Norte y el Ecuador celeste. Para dibujar el ángulo horario del Sol ubicado en el punto 5 de la esfera celeste, respecto al círculo horario local, se deben seguir los siguientes pasos: 1) Trace el círculo horario del Sol (arco 4-10-2) que en este caso coincide con el círculo horario local, y localice su intersección con el Ecuador celeste (punto 10). 2) Localice la intersección de la parte inferior del círculo horario local con el Ecuador celeste (punto 9). 3) El ángulo horario del Sol es igual a la distancia angular 9-A-10 equivalente al arco 9-12-10, iniciando desde el punto 9, sobre el 23

círculo del Ecuador en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj. Cuando el Sol verdadero se ubica en el punto 5 de la esfera celeste, en su culminación superior respecto al círculo horario local, son las 12 horas verdaderas para el observador A porque su ángulo horario es el arco 9-12-10 equivalente a 180 grados o 12 horas. TRAYECTORIA DEL SOL 5 CENIT DE A 1 SOL 10 ESFERA CELESTE ECUADOR CELESTE 4 POLO NORTE 7 SOL 12 A TIERRA CIRCULO HORARIO LOCAL DE A CIRCULO HORARIO DE GREENWICH 13 11 8 2 POLO SUR 6 FIGURA 15 FIGURA 15 9 3 Para el observador A, el día solar inicia cuando el Sol se ubica en el punto 6, en su culminación inferior respecto al círculo horario de A. Para un observador ubicado en Greenwich, el día solar inicia cuando el Sol se ubica en el punto 11, en su culminación inferior respecto al círculo horario de Greenwich. Respecto al círculo horario local el día solar inicia cuando el Sol se ubica en el punto 9 y respecto al círculo horario de Greenwich inicia cuando el Sol se ubica en el punto 8. Cuando el Sol se ubica en 7, en su paso superior respecto al círculo horario de Greenwich, para un observador en Greenwich, son las 12 horas (mediodia) equivalentes al arco 8-9-12 y para el observador A son las horas equivalentes al arco 9-13-12. Se observa que el arco 12-10 es la longitud de A respecto a Greenwich y es igual al arco 8-9. Si el geomensor conoce la hora media local equivalente al arco 9-13-12, para calcular la correspondiente hora en Greenwich 24

equivalente al arco 8-9-12, se debe sumar a la primera, la longitud de A que es el arco 8-9. 8-9-12 = (9-12) + (8-9) = (9-12) + (10-12) = HL + Long de A. Para aclarar los conceptos entre hora media y hora verdadera téngase presente la figura 16. La Tierra en su viaje alrededor del Sol (traslación), no tiene una velocidad constante; su órbita (recorrido) forma una elipse donde el Sol está ubicado en uno de los focos de la elipse. Cuando la Tierra se ubica en su perihelio (distancia mínima entre el Sol y la Tierra), su velocidad es máxima para equilibrar la fuerza de atracción de los astros que también es máxima. Esto evita que el Planeta se acerque demasiado al Sol. Cuando la Tierra se ubica en su afelio (distancia máxima entre el Sol y el Planeta), su velocidad es mínima lo que evita que la Tierra se salga de su órbita y venga disparada en el espacio infinito. Durante cuatro períodos de un año, su velocidad es mayor a su velocidad promedio y durante otros cuatro períodos es menor. Para un observador ubicado en el Planeta, dicho cambio de velocidad se traduce en que el Sol a veces parece desplazarse de Este a Oeste, a mayor velocidad y en otras, a menor velocidad. De lo dicho se desprende que los días solares verdaderos (respecto al Sol que vemos todos los días), no tienen igual duración. Por este motivo, los astrónomos consideraron la conveniencia de imaginar la existencia de un Sol que tenga una velocidad constante, identificándolo con el símbolo Si (Sol imaginario) o Sm (Sol medio). En esta forma, los días solares respecto al Si tienen la misma duración. La hora que señala nuestro reloj se refiere a dicho Sol imaginario. Se deduce fácilmente que el Si, respecto al Sol verdadero, se ubicará a veces en una posición adelantada y en otras veces, en una posición retrasada durante su recorrido aparente alrededor del Planeta. En determinados momentos las posiciones de los dos Soles coincidirán. Estas diferencias de posiciones entre los dos soles en términos de horas, constituyen la Ecuación de Tiempo (E). AFELIO PLANO ECLIPTICO SOL S N PERIELIO TIERRA ORBITA DE LA TIERRA FIGURA 16 FIGURA 16 25

En el caso de la figura 17, el Sol imaginario (Si) se ubica detrás del Sol verdadero. L ecuación de tiempo (E) es la distancia angular 1-0-2 equivalente al arco 1-2. ECUACION DE DE TIEMPO SOL IMAGINARIO 1 CIRCULO HORARIO DE A 2 SOL VERDADERO TRAYECTORIA DEL SOL OESTE OESTE O OBSERVADOR SITUADO EN GREENWICH A TIERRA FIGURA 17 En la figura 17, cuando el Sol se ubica en su paso superior (punto 2), respecto al círculo horario del observador A, para dicho observador son las 12 horas verdaderas (mediodía verdadero) y cuando lo hace el Sol imaginario Si son las 12 horas de tiempo medio (mediodía aparente). El ángulo horario de Si está tabulado en horas para todos los días del año respecto al círculo de Greenwich cuando el Sol verdadero se ubica en su paso superior; o sea cuando la hora verdadera de Greenwich sea de 12 horas. La ecuación de Tiempo E resulta igual a: E = Tm - Tv. Donde Tm es la hora referida al Si o Sm y Tv es la hora referida al Sol verdadero. El cálculo de E para una hora verdadera que no sean las 12 horas, se hará interpolando como se explica en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.- Supongamos un observador situado en Greenwich. Se requiere determinar la Ecuación de Tiempo cuando el observador tenga una hora media local de 15 h 20 m 32 s en la tarde del día 25 de octubre de 1979. Calcular también la hora verdadera correspondiente a dicha hora media. Solución: Consultando el Anuario Astronómico de Greenwich del año 1979, encontramos que para las 12 horas verdaderas del 25 de octubre de 1979, la hora media en Greenwich es de 11 h 44 m 10,14 s. E(25/10/79) = Tm - Tv = 11 h 44 m 10,14 s - 12 h = -00 h 15 m 49,86 s. 26

También encontramos que para las 12 horas verdaderas del día siguiente (26/10/79) la hora media es de 11 h 44 m 03,35 s. E(26/10/79) = 11 h 44 m 03,35 s - 12 h = -00 h 15 m 56,65 s. El signo negativo quiere decir que el Si se ubica detrás del Sol verdadero. Cálculo de la variación de E en 24 horas: Var. De E en 24 h = 00 h 15 m 56,65 s - 00 h 15 m 49,86 s = 6,79 s. Cálculo de la variación de E para la hora del observador: Si para 24 horas E varía 6,79 s, en 3 h 20 m 32 s cuál será su variación? h 24 6,79 s = h m 3 20 32 VAR. X s = VAR. X = 0,95 S Cálculo de la E en la hora de la observación: A la E del 25/10 para las 12 horas de Tv que va aumentando en el transcurso del día, sumaremos la variación de E para las 3 h 20 m 32 s. E(en la hora de la observación) = 00 h 15 m 49,86 s + 0,95 s = 00 h 15 m 50,81 s (negativo). Cálculo de la hora verdadera correspondiente a la hora media del observador: Para tal efecto, a la hora media de observador sumaremos la E calculada para dicha hora porque el Si se ubica detrás del Sol verdadero. Tv = 15 h 20 m 32 s + 00 h 15 m 50,81 s = 15 h 36 m 22,81 s. 2.9 RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO HORARIO DE UNA ESTRELLA Y LA HORA SIDÉREA. Supongamos un observador ubicado en A como se puede apreciar en la figura 18 y la estrella E ubicada en 4, al Oeste del ángulo horario del observador, con un ángulo horario local equivalente al arco 5-2. Supuesto conocida la posición del γ,de la figura se deduce: HSL(HLγ) = HLe + α = (5-2) + (2-6) = (5-2-6) I HLe = HSL - α = (5-6) - (2-6) = (5-2) II HSG = arco 8-5-6 = HSL + Long. De A = (5-6) + (8-5). 27

Esto quiere decir que si el geomensor conoce la hora sidérea respecto a su círculo horario, podrá calcular el ángulo horario de dicha estrella por la relación II; y si conoce el ángulo horario de la estrella, podrá calcular la hora sidérea local por la relación I. En particular, si la estrella E se ubica en su culminación superior, en el punto 7, su ángulo horario evidentemente será igual a cero grados y la hora sidérea local coincidirá con la ascensión recta (α) de la estrella E. Este es un modo de calcular rápidamente la Hora Siderea local aproximada. Para calcular la hora Sidérea con más exactitud es necesario utilizar otros métodos. HSL = α (ascensión recta de la estrella). FIGURA 18 ESFERA CELESTE Z 5 7 E ECUADOR CELESTE CIRCULO HORARIO LOCAL POLO NORTE 8 A 4 E TRAYECTORIA DE LA ESTRELLA TIERRA 6 CIRCULO HORARIO DE LA ESTRELLA "E" EN LA POSICION 4 POLO SUR PV CIRCULO HORARIO DE GREENWICH 2.10 HORA OFICIAL O LEGAL Y SU RELACIÓN CON LA HORA LOCAL. La Hora Oficial o Legal (HO) de un País es la hora media que se refiere a un único meridiano; por tanto, todos los lugares de dicho País tendrán una misma hora. Esto es el caso normal. En Chile se ha escogido al meridiano 60º Oeste como meridiano de referencia. En la realidad Chile por su longitud geográfica está situado en el uso XIX (meridiano central 75º), pero por ley Nº 8.777 del 22 de mayo de 1947, tiene como hora oficial la de huso XX. Tomando en cuenta que 60º equivalen a 4 horas, se deduce que todos los lugares del País tendrán una hora oficial de 4 horas menor de la hora en Greenwich. En la figura 19, el observador A está ubicado en un lugar cuya longitud del meridiano del observador, es de 60º Oeste. Si el Sol se ubica en 11, la HMG equivale al arco 1-2-3-5 y la hora oficial de Chile equivale al arco 2-3-5. (2-3-5) = (1-2-3-5) (1-2). III Donde (1-2) = (6-3) que es la longitud del lugar de l observador A. 28

El observador A está ubicado en un punto cuya longitud es de 60 o Oeste, meridiano de referencia de la Hora Oficial de Chile. La Hora Media Local (HML) que en la figura coincide con la HO de Chile, inicia en el punto 2 y se mide a lo largo del Ecuador Celeste, de Este a Oeste, hasta la intersección del círculo horario del Sol con el Ecuador. HMG = (1-2-6-3-5), cuando el Sol se ubica en el punto 11. El arco (6-3) = (1-2), corresponde a la distancia angular 6-A-3, entre el círculo horario de Greenwich y el círculo horario de 60 o Oeste y es equivalente a la Longitud de A. La diferencia de longitudes entre dos puntos determina la diferencia de horas entre dichos puntos. La ec. III nos dice que : HO de Chile = HMG 4 h. Ejemplo 2.- Supongamos un lugar de la provincia de Antofagasta de longitud 70 o 24 y el reloj de un observador ahí ubicado esté señalando las 19 h 20 m 17 s correspondientes a la hora oficial. Calcúlese la Hora Media Local. Solución : En la figura 20, la hora del observador es la hora oficial de Chile y equivale al arco 1-8-2-5. La hora media local equivale al arco 8-2-5. HML = HO (1-8) equivalente a (8-2-5) = (1-8-2-5) (1-8), donde (1-8) = (3-2) = diferencia de longitud entre el círculo horario local de 70 o 24 Oeste y el círculo horario de 60 o W. (2-3) = (10-2) (10-3) = 70 o 24-60 o = 10 o 24. HML = 19 h 20 m 17 s (10 o 24 /15) = 18 o 38 41. 29

FIGURA 20 Se recomienda al estudiante dibujar un croquis como la figura 20, antes de iniciar la resolución de un problema. 30

2.11 Día Solar y día Sidéreo: transformación de un intervalo de tiempo sidéreo (Is) en un intervalo de tiempo medio (Tm) y viceversa. Una estrella en su viaje aparente alrededor del eje polar celeste, se adelanta respecto del Sol continuamente. Si se observa una estrella X a la misma hora, ésta se va alejando de su posición inicial hacia el Oeste y llegará un día en que no será visible para el observador a la misma hora, porque la estrella estará ubicada por debajo del horizonte de este. El tiempo que demora una estrella que no sea el Sol en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra, constituye un DÍA SIDÉREO y el tiempo empleado por el Sol, constituye el DÍA SOLAR. El día solar y el día sidéreo se dividen en 24 horas. Cuando el Si atraviesa el círculo horario de un observador A en su paso superior, son las 12 horas medias (mediodía) y cuando lo hace el Sol verdadero, son las 12 horas solares verdaderas (mediodía verdadero). En la figura 21 se ha dibujado la tierra en el punto A, a lo largo de su órbita, en el instante en que el Sol y una estrella E estén simultáneamente en sus culminaciones superiores respecto al círculo horario c-a-b del observador. Al día siguiente la Tierra se habrá desplazado a lo largo de su órbita en la posición B, dando una rotación completa de 360 o. En este momento aparecerá de nuevo la estrella E en su culminación superior, no siendo así con el Sol. La Tierra debe rotar una distancia angular adicional para que el Sol aparezca de nuevo en su culminación superior. Esto significa que el día sidéreo es más corto que el día solar, y la diferencia entre dichos días está determinada por el ángulo α. Este ángulo es igual a β que es el ángulo de desplazamiento de la tierra en un día. Figura 21 DISTANCIA TIERRA - EST"E":7 AÑOS LUZ ESTRELLA "E" SOL DISTANCIA TIERRA - SOL : 7 LUZ m 59'08''33 β r r'' 59'08''33 α A C r' PARALELO DE "A" ECUADOR C A B B POLO SUR A B TIERRA TIERRA 31

Las rectas r y r pueden ser consideradas paralelas por un largo trecho tomando en cuenta la enorme distancia existente entre la Tierra y la estrella. Calculando el valor de α en grados y en horas se obtendrá la diferencia entre el día solar medio y el día sidéreo. Como se estudió anteriormente, cada 21 de marzo, el Sol atraviesa aparentemente el Ecuador Celeste, determinando el punto Vernal; dos pasos consecutivos constituyen un Año Trópico. Durante un año trópico, la Tierra ejecuta 366,2422 rotaciones alrededor de su eje. Considerando la Tierra inmóvil, se dirá que las estrellas, excepto el Sol, rotan 366,2422 veces alrededor de la Tierra. El Sol efectúa 365,2422 rotaciones, o sea una vuelta menos que las demás estrellas. Esto sucede porque la Tierra, en un año, recorre una vuelta alrededor del Sol y no de las estrellas; esta traslación provoca la pérdida de una vuelta. Cada año trópico los ángulos horarios del Sol y del punto Vernal vuelven a coincidir sucediendo en un determinado instante del 21 de marzo. En un mismo año trópico, transcurren 366,2422 días sidéreos y 365,2422 días solares; por tanto dichas cantidades son equivalentes y por efecto de esta equivalencia, el día solar debe ser más largo que el día sidéreo. Si durante la traslación de la Tierra de 360 o transcurren 365,2422 días solares, qué distancia angular (β) recorre el Planeta en un día solar?. o o 360 X o o = X = 00 59'08,3304" = ánguloβ d 365,2422 1 El Planeta recorrerá 59 08,3304 en un día solar medio. Considerando que el ángulo β es igual al ángulo α, se deduce que la diferencia en grados entre el día solar medio y el día sidéreo es de 59 08,3304. Ahora queda por calcular los intervalos de tiempo medio (Im) y de tiempo sidéreo (Is) correspondientes a 59 08,3304 y se conocerá la diferencia en horas entre el día solar y el día sidéreo en tiempo medio y en tiempo sidéreo. Como se aprecia en la figura 21, la Tierra debe rotar 360 o + 59 08,3304 para que el Sol vuelva en su culminación superior respecto al círculo horario c-a-b del observador; transcurriendo así un día solar de 24 horas que evidentemente es más largo que un día sidéreo. Si en 24 horas solares la Tierra rota 360 o 59 08,3304 alrededor de su eje, en cuántas horas rotará 59 08,3304?. h h 24 X h m s = X = 3 55,9095 = Im o 360 59'08,3304" 59'08,3304" De esta relación se deduce que el día solar es más largo que un día sidéreo en la cantidad de 3 m 55,9096 s en tiempo medio (Tm). Un día solar está formado por 24 h solares, y un día sidéreo por 24 h sidéreas. Para que 24 h sidéreas sean más cortas que 24 h solares es evidente que las manecillas de un reloj sidéreo deben desplazarse a una velocidad mayor que las manecillas de un reloj de tiempo medio; esto nos hace pensar que un reloj sidéreo es un reloj muy especial y también más costoso que un reloj de tiempo medio, en cuanto su demanda está reservada a un reducido grupo de científicos y técnicos. Para calcular la relación entre un intervalo de tiempo medio Im y un intervalo de tiempo sidéreo Is, es necesario calcular el Is correspondiente a 59 08,3304. 32

Si en 24 h sidéreas la Tierra rota alrededor de su eje 360 o, en cuánto tiempo rotará 59 08,3304?. h h 24 X h m s = X = 3 56, 5554 = Is o 360 59'08,3304 m s Im 3 55,9095 = m s, de donde Is 3 56, 5554 Im = Is x 0,997269562, Is = Im x 1,002737914. Estas son las fórmulas para convertir un intervalo de tiempo medio en tiempo sidéreo y viceversa. Ejercicios: - Transformar 12 h 54 m 32,4 s de tiempo medio en tiempo sidéreo. - Transformar 12 h 56 m 39,6 s de tiempo sidéreo en tiempo medio. 2.12 Cálculo de la hora Sideral correspondiente a una hora local y viceversa. Supóngase que en fecha 15-06-1979 un observador situado en un lugar de longitud 61 o 05 30 Oeste, tiene una hora media local de 12 h 50 m 25,4 s. Para calcular el valor de la hora sidérea local correspondiente a dicha hora media, es aconsejable llevar la HML en Greenwich, calcular la HS en Greenwich correspondiente a la hora media del observador y calcular la HSL. Siguiendo dicho orden de cálculo, se procede a realizar los siguientes pasos: a) Se calcula la HMG: HMG = HML + Long. del círculo horario local (5-1-3-4) = (1-3-4) + (5-1), donde : (5-1) = (2-3) = Long. de A. HMG = 12 h 50 m 25,4 s + (61 o 04 30 / 15) = 16 h 54 m 47,4 s. b) Se calcula la HSG correspondiente a la hora media del observador. En el anuario astronómico de Greenwich del año 1979 encontramos que para el 15-06-1979, a las 0 TMG, el punto Vernal se ubica a 17 h 30 m 43,85 s de la intersección de la parte superior del círculo horario de Greenwich con el Ecuador Celeste (punto 2), a lo largo del Ecuador. HSG = 17 h 30 m 43,85 s a la 0 TMG del día 15-6-79 (2-3-6-1-14). Para calcular la HSG correspondiente a las 16 h 54 m 47,4 s (HMG), se transformará este intervalo de TM en TS y luego el resultado se sumará a las 17 h 30 m 43,85 s. 33

Is = 16 h 54 m 47,4 s x 1,002737914 = 16 h 57 m 34,10 s HSG a 0 h TMG. 17 h 30 m 43,85 s (2-3-6-1-14) Is transcurrido.. 16 h 57 m 34,10 s (14-3-6) 34 h 28 m 17,95 s 24 h HSG a las 16 h 54 m 47,4 s 10 h 28 m 17,95 s (2-3-6). c) Cálculo de la HSL. HSL = HSG long. De A (3-4-6) = (2-3-6) (2-3) HSL = 10 h 28 m 17,95 s - 4 h 04 m 22,0 s HSL = 6 h 23 m 55,96 s (3-4-6). 34