Análisis dinámico y control multivariable del sistema de tanques interconectados Feedback

Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica Análisis dinámico y control multivariable del sistema de tanques interconectados Feedback 33-230 Por: Roy Olivier Ramírez Sequeira Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica Diciembre de 2012

Análisis dinámico y control multivariable del sistema de tanques interconectados Feedback 33-230 Por: Roy Olivier Ramírez Sequeira Sometida a la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Costa Rica como requisito parcial para optar por el grado de: BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Aprobada por el Tribunal: Víctor M Alfaro, Ph.D Profesor guía Mauricio Espinoza, Ing Profesor lector José D Rojas, Ph.D Profesor lector

Dedicatoria A mis padres que siempre me han brindado todo su apoyo y me han impulsado a alcanzar mis metas. Y a mis amigos que estuvieron a mi lado en esta travesía hacia convertirme en un profesional. iii

Reconocimientos Al profesor tutor Victor Alfaro por la guía dada y ayuda brindada, y a los profesores lectores en especial al profesor Mauricio Espinoza por los consejos dados y el conocimiento compartido. iv

Índice general Resumen Nomenclatura x xi 1. Introducción 1 1.1. Alcances................................... 1 1.2. Objetivos.................................. 1 1.2.1. Objetivo general.......................... 1 1.2.2. Objetivos específicos........................ 2 1.3. Metodología................................. 2 2. Antecedentes 4 2.1. Origen de los sistemas de tanques cuádruples............... 4 2.2. Equipo Feedback 33-230 y su configuración como sistema multivariable 5 2.3. Modelo matemático del Feedback 33-230 como sistema multivariable.. 8 2.4. Condiciones de fase mínima y no mínima del sistema de tanques.... 10 2.5. Sistemas multivariables........................... 11 2.5.1. Método de Bristol para la evaluación de las interacciones.... 12 2.5.2. Desacopladores........................... 12 3. Simulaciones, diseño y resultados 16 3.1. Características físicas del equipo de tanques acoplados......... 16 3.2. Modelado de procesos............................ 19 3.3. Proceso de fase no mínima......................... 19 3.3.1. Matriz de ganancias relativas de Bristol.............. 21 3.3.2. Desacople simplificado fase no mínima.............. 23 3.4. Proceso de fase mínima........................... 28 3.4.1. Matriz de ganancias relativas de Bristol.............. 30 3.4.2. Desacople inverso sistema de fase mínima............. 31 3.4.3. Desacople simplificado para el sistema de fase mínima...... 34 3.5. Herramientas implementadas en LabVIEW................ 35 3.5.1. Herramienta de inversión de los lazos de realimentación..... 38 v

ÍNDICE GENERAL vi 3.5.2. Red de desacople.......................... 38 3.5.3. Acción directa............................ 41 3.5.4. Interfaz gráfica........................... 42 3.5.5. Ajuste del rango de tensiones aplicadas a las bombas...... 45 3.6. Control del proceso de fase mínima.................... 46 3.7. Control de proceso de fase no mínima................... 54 4. Conclusiones y recomendaciones 63 4.1. Conclusiones................................. 63 4.2. Recomendaciones.............................. 65 Bibliografía 66 Apéndices 66 A. Guía de Laboratorio, control multivariable 67 A.1. Sistema multivariable y desacople simplificado.............. 67 A.2. Interfaz gráfica............................... 68 A.3. Configuración de procesos......................... 70 A.3.1. Sistema de fase mínima....................... 71 A.3.2. Sistema de fase no mínima..................... 71 A.4. Procedimiento identificación de modelos................. 72 A.5. Diseño.................................... 73 A.6. Pruebas................................... 74 A.6.1. Prueba 1............................... 74 A.6.2. Prueba 2............................... 75 A.6.3. Prueba 3............................... 75 A.6.4. Prueba 4............................... 75 A.7. Análisis................................... 76

Índice de figuras 2.1. QuadraTank creado en Instituto Tecnológico de Lund......... 5 2.2. Esquema del sistema de tanques cuádruples (Johansson, 2000)..... 6 2.3. Sistema de tanques acoplados Feedback 33-230.............. 6 2.4. Esquema de sistema equipo de tanques acoplados feeedback 33-230.. 7 2.5. Esquema de la configuración escogida para QuadraTank........ 8 2.6. Diagrama de control de un proceso multivariable(2x2).......... 11 2.7. Sistema multivarialbe con desacople simplificado............. 13 2.8. Sistema multivarialbe con desacople inverso............... 14 3.1. Comportamiento de los caudales entregados por las bombas...... 17 3.2. Variación del caudal para diferentes posiciones de las válvulas..... 18 3.3. Curvas de reacción reales y modeladas del sistema fnm......... 21 (a). Salida 1 debido a la entrada 1.................... 21 (b). Salida 1 debido a la entrada 2.................... 21 (c). Salida 2 debido a la entrada 1.................... 21 (d). Salida 2 debido a la entrada 2.................... 21 3.4. Respuesta inversa del proceso de fase no mínima............. 22 3.5. Comparación de la respuesta inversa del proceso y del modelo fnm... 22 3.6. Diagrama en Simulink del proceso con emparejamiento por Bristol, fnm 24 3.7. Control de emparejamiento por método de Bristol G21 sistema fnm.. 24 3.8. Control de emparejamiento por método de Bristol G12 sistema fnm.. 25 3.9. Procesos aparentes del sistema de fnm con desacople simplificado... 26 (a). Proceso aparente Q11 fnm..................... 26 (b). Proceso aparente Q22 fnm..................... 26 3.10. Diagrama en Simulink del proceso con desacople simplificado, fnm.. 27 3.11. Control para modelo multivariable más desacoplador simplificado, fnm 27 3.12. Curvas de reacción reales y modeladas del sistema multivariable fm.. 29 (a). Salida 1 debido a la entrada 1.................... 29 (b). Salida 1 debido a la entrada 2.................... 29 (c). Salida 2 debido a la entrada 1.................... 29 (d). Salida 2 debido a la entrada 2.................... 29 3.13. Diagrama en Simulink del proceso con emparejamiento por Bristol, fm 31 vii

ÍNDICE DE FIGURAS viii 3.14. Control de emparejamiento por método de Bristol G21 sistema fm... 32 3.15. Control de emparejamiento por método de Bristol G12 sistema fm... 32 3.16. Diagrama en Simulink del proceso con desacople inverso, fm...... 33 3.17. Control de sistema con desacople inverso.fm............... 34 3.18. Procesos aparentes del sistema con desacople simplificado, fm..... 35 (a). Proceso aparente Q11 fm...................... 35 (b). Proceso aparente Q22 fm...................... 35 3.19. Diagrama en Simulink del proceso con desacople simplificado, fm... 36 3.20. Control de sistema con desacople simplificado.fm............. 36 3.21. Interfaz gráfica del programa de control existente............ 37 3.22. Diagrama de bloques de una función de transferencia.......... 39 3.23. Prueba de función de transferencia ejemplo 1.............. 40 3.24. Prueba de función de transferencia ejemplo 2.............. 40 3.25. Ejemplo de resultado de prueba de desacople simplificado........ 41 3.26. Ejemplo de resultado de prueba de desacople simplificado y proceso.. 42 3.27. Interfaz gráfica del programa de control de los equipo Feedback 33-230 43 3.28. Interfaz gráfica de las herramientas incorporadas............. 43 3.29. Curvas estáticas del proceso de fase mínima............... 47 (a). Curva estatica con CO2 constante................. 47 (b). Curva estatica con CO1 constante................. 47 3.30. Repuesta del sistema con emparejamiento de Bristol, +SP,fm...... 49 3.31. Repuesta del sistema con emparejamiento de Bristol,-SP,fm....... 50 3.32. Repuesta del sistema emparejamiento Bristol, perturbaciones,fm.... 50 3.33. Repuesta del sistema con desacople simplificado, -SP, fm........ 52 3.34. Repuesta del sistema con desacople simplificado, +SP, fm........ 52 3.35. Repuesta del sistema con desacople simplificado, ante perturbaciones,fm 53 3.36. Repuesta del sistema con desacople simplificado, en modo manual, fm. 53 3.37. Procesos aparentes del sistema de con desacople simplificado, fnm... 55 (a). Curva estatica con CO2 constante................. 55 (b). Curva estatica con CO1 constante................. 55 3.38. Repuesta del sistema con emparejamiento por bristol +SP, fnm.... 58 3.39. Repuesta del sistema con emparejamiento por bristol -SP, fnm..... 58 3.40. Repuesta del sistema con emparejamiento bristol, perturbaciones, fnm. 59 3.41. Repuesta del sistema con desacople simplificado, +SP, fnm....... 60 3.42. Repuesta del sistema con desacople simplificado, -SP, fnm....... 60 3.43. Repuesta del sistema con desacople simplificado, ante perturbaciones,fnm 61 3.44. Repuesta del sistema con desacople simplificado, en modo manual, fnm 61 A.1. Sistema multivarialbe con desacople simplificado 2x2.......... 68 A.2. Interfaz gráfica del programa de control del proceso multivariable... 69

Índice de cuadros 2.1. Casos para el desacoplo inverso fijando dos elementos a la unidad... 15 3.1. Ejemplos de la prueba de determinación de caudales........... 18 3.2. Prueba de determinación de flujos para modelo de fase no mínima... 20 3.3. Parámetros de los controladores para emparejamiento por Bristol, fnm 23 3.4. Parámetros de los controladores utilizando desacople simplificado. fnm 26 3.5. Prueba de determinación de flujos para modelo de fase mínima..... 28 3.6. Parámetros de los controladores para emparejamiento por Bristol, fm. 30 3.7. Parámetros de los controladores, con desacople inverso. fm....... 33 3.8. Parámetros de los controladores, con desacople simplificado. fm.... 35 3.9. Parámetros para control por emparejamiento por Bristol, fm...... 49 3.10. Parámetros para control con red de desacople simplificado, fm..... 51 3.11. Parámetros para control por emparejamiento por Bristol, fnm..... 57 3.12. Parámetros para control con red de desacople simplificado, fnm.... 59 ix

Resumen El proyecto se basó en el estudio del equipo de sistema de tanques interconectados Feedback 33-230, que se encuentra en el Laboratorio de Automática de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Costa Rica. El objetivo fue realizar el control del equipo funcionando como un sistema multivariable. El equipo se configuró como un sistema multivariable de dos entradas y dos salidas, se buscó la configuraciones donde el sistema de tanques presentara fase mínima y fase no mínima, las cuales fueron posible encontrar teniendo como base el modelo matemático del sistema de tanques. Se identificaron modelos para estas diferentes configuraciones, mediante los cuales se determinó el grado de interacción del sistema. Además, se logró ver que los procesos de fase no mínima presentaron respuestas de baja amplitud. En MATLAB/Simulink se realizaron las simulaciones del control de los procesos identificados, utilizando desacopladores y el emparejamiento sugerido por la matriz de ganancias relativas de Bristol. Con esto se determinó cuales herramientas eran necesarias implementar en LabVIEW para realizar el control del proceso real. Se diseñaron los desacopladores (simplificado e inverso) para el sistema, pero solo el desacople simplificado se pudo implementar. Este se agregó al sistema de control de los tanques programado en LabVIEW, junto con otras dos herramientas que permitían la posibilidad de tener dos opciones para los emparejamientos de realimentación de los lazos de control y que el controlador existente tuviera la capacidad de aplicar acción directa. Se realizaron pruebas de control de procesos multivariables, que dieron como resultado que los procesos son factibles a ser controlados por el sistema de control de los tanques utilizando las herramientas incorporadas. Tanto utilizando la red de desacople simplificado como utilizando el emparejamiento de entrada-salida más adecuado obtenido por el método de la matriz de ganancias relativas de Bristol. Con desacople las salidas del sistema presentaban un comportamiento totalmente independiente, por lo que se consideró la mejor opción para realizar el control del proceso multivariable. Finalmente se elaboró una "guía de laboratorio", para una práctica utilizando el sistema de tanques Feedback 33-230 como un sistema multivariable. x

Nomenclatura a razón de contantes de tiempo del proceso (modelo). a i área del orificio de salida del tanque i. A i área del fondo del tanque i. β factor de peso del valor deseado del controlador. fm fase mínima. fnm fase no mínima. g aceleración de la gravedad. H i nivel de agua en el tanque i. T i constante de tiempo del tanque i. k c K p T d T i constante de los transmisores. ganancia del controlador. constante del tiempo derivativo del controlador. constante del tiempo integral del controlador. u i salida del controlador i. v i tensión aplicada a la bomba i. y 1 (t) salida 1 del sistema multivariable. y 2 (t) salida 2 del sistema multivariable. γ 1 parte del caudal entregado por la bomba 1 dirigido hacia tanque 2. γ 2 parte del caudal entregado por la bomba 2 dirigido hacia tanque 4. ρ densidad τ c relación de la constante de tiempo del proceso y del controlador xi

Capítulo 1 Introducción 1.1. Alcances Determinación con precisión de la posición de cada válvula del equipo de tanques acoplados Feedback 33-230, para que el proceso presentara respuesta de fase mínima o fase no mínima. Desarrollo de pequeños programas en MATLAB, que permitieran la identificación rápida de modelos del sistema a partir de los datos de las curvas de reacción, esto como un complemento para facilitar la presentación y el análisis de los resultados al trabajar en el laboratorio. Integración de una herramienta al programa existente desarrollado en LabVIEW utilizado para el control del sistema de tanques, que permita la incorporación de desacopladores simples o inversos, si fueran requeridos al trabajar con sistemas multivariables (2x2). 1.2. Objetivos Se establecieron los siguientes objetivos para el desarrollo del trabajo: 1.2.1. Objetivo general Analizar la interacción del sistema de tanques interconectados Feedback 33-230 y desarrollar un sistema de control multivariable (2x2) para el equipo. 1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2 1.2.2. Objetivos específicos Los objetivos específicos del proyecto incluyeron: Identificar modelos multivariables (2x2) para el sistema, en diferentes configuraciones (selección de las válvulas de interconexión). Simular en MATLAB/Simulink el modelo del sistema de tanques interconectados. Determinar el grado de interacción del mismo, utilizando la matriz de ganancias relativas de Bristol, en las diferentes configuraciones. Determinar la configuración en que el sistema presenta características de fase no mínima (respuesta inversa) y de fase mínima. Diseñar desacopladores para el sistema (desacople simplificado y desacople inverso). Incorporar la red de desacopladores, al sistema de control programado en Lab- VIEW. Verificar el funcionamiento del sistema con los desacopladores, mediante simulaciones y pruebas experimentales. Elaborar una "guía de laboratorio", para una práctica con el sistema de control multivariable. 1.3. Metodología El desarrollo del trabajo incluyó los siguientes pasos y procedimientos: 1. Revisión de artículos y documentos existentes relacionados con estudios de sistemas Quadra Tank, así como sobre la teoría de análisis y control de sistemas multivariables que se relacionan con estos. 2. Establecimiento de la configuración para el sistema de tanques interconectados Feedback 33-230 se que consideró adecuada para alcanzar los objetivos planteados, esto con base en la documentación consultada. 3. Implementación en MATLAB de las herramientas necesarias para la identificación de los modelos multivariable (2x2) del sistema en sus diferentes configuraciones, a partir de las curvas de reacción. 4. Obtención experimental de las curvas de relación de diferentes configuraciones del sistema de tanques interconectados Feedback 33-230, identificación de los modelos a partir de estas, empleando las herramientas de MATLAB implementadas.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3 5. Realización de diversas pruebas experimentales en diferentes posiciones de las válvulas del sistemas de tanques, en busca de la configuración para la cual el sistema presentara una respuesta inversa. 6. Cálculo de la matriz de ganancias relativas de Bristol. Esta se empleó para determinar el grado de interacción de los diferentes modelos multivariables identificados del sistema de tanques interconectados. 7. Se diseñó un desacople simplificado y luego un desacople inverso, para el sistema multivariable implementado. 8. Se realizaron pruebas mediante simulaciones para verificar el funcionamiento correcto de la red de desacopladores. 9. Se incorporaron los desacopladores diseñados al sistema de control programado en LabVIEW con el que cuenta el sistema de tanques Feedback 33-230. 10. Se verificó el funcionamiento de los desacopladores mediante pruebas experimentales. 11. Con base en la experiencia del trabajo realizado y los resultados obtenidos, se elaboró una guía de laboratorio, para una práctica con el sistema de tanques interconectados Feedback 33-230 operando como un sistema multivariable.

Capítulo 2 Antecedentes 2.1. Origen de los sistemas de tanques cuádruples La enseñanza sobre el control y automatización de procesos en ingeniería presenta un alto grado de abstracción debido a la dificultad de lograr una adecuada relación entre la teoría y la práctica. Åström y Ostberg (1986), indican que durante años se experimentó con diferentes técnicas, tales como demostraciones, proyectos, cursos especiales de laboratorio, para ir mejorando el sistema de enseñanza. Entre los principales planteamientos que hacen, se indica la importancia de los equipos por utilizar, los cuales deben cumplir algunos requerimientos. Entre los requerimientos están: Debe demostrar ideas importantes. Debe reflejar problemas prácticos relevantes. Debe tener escalas de tiempo adecuadas. Debe dar señales visuales y acústicas. Debe ser seguro. Debe ser barato de hacer y ejecutar. Con el fin de tener un equipo que cumpliera con estos requerimientos y que permitiera el estudio de sistemas de control multivariable en el Instituto de Tecnología de Lund, Suecia, se creo el proceso de tanques cuádruples conocido mayormente como Quadra- Tank. Este equipo es utilizado en muchos centros de estudio de control automático, para realizar prácticas en temas como: comprender las limitaciones de control debido a las interacciones y las incertidumbres del modelo, diseño de control descentralizado, implementación de desacopladores para reducir el efecto de las interacciones, implementación completa de un sistema de control multivariable y la elección de la mejor 4

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 5 Figura 2.1: Modelo físico del QuadraTank creado en Instituto Tecnológico de Lund (Johansson, 2000) estructura de control basado en las características multivariable del proceso. Pero el equipo de tanques cuádruples presenta también la posibilidad de poder ser configurado para operar como un proceso de fase mínima o fase no mínima, esta característica es la que ha sido más estudiada. En la figura 2.1 se muestra el modelo físico del QuadraTank creado en Instituto Tecnológico de Lund, donde se aprecia el sistema de tanques y el computador con el programa utilizado para el control del proceso. El esquema del sistema de tanques cuádruples se muestra en la figura 2.2. El QuadraTank mostrado en las figuras 2.1 y 2.2 está formado por cuatro tanques, un sumidero, dos bombas cuyas señales de control son las entrada del sistemas, dos sensores de nivel para los tanques inferiores que son las salidas del sistema, y dos válvulas de tres vías. Este modelo de QuadraTank es el que se ha estudiado en todos los documentos consultados, por lo que hay mucha información sobre su modelo matemático y características de funcionamiento. 2.2. Equipo Feedback 33-230 y su configuración como sistema multivariable En el Laboratorio de Automática de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Costa Rica, se encuentra el equipo de tanques acoplados Feedback 33-230, el cual fue empleado para la realización del presente proyecto, este se aprecia en la figura 2.3.

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 6 Figura 2.2: Esquema del sistema de tanques cuádruples (Johansson, 2000) Figura 2.3: Sistema de tanques acoplados Feedback 33-230

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 7 Figura 2.4: Esquema de sistema equipo de tanques acoplados feeedback 33-230 El equipo Feedback 33-230 consiste en un conjunto de cuatro tanques, dos bombas de agua, once válvulas, las tuberías de interconección, los transmisores de nivel de los cuatro tanques y un tanque sumidero. El esquema del sistema se muestra en la figura. 2.4. En la figura 2.4 las válvulas MV-A, MV-B, MV-C, MV-D, MV-E, MV-F, MV-G definen la configuración del sistema, mientras que las válvulas MV-1, MV-2, MV-3, MV-4 se emplean para introducir perturbaciones al proceso. Por su parte T-1, T-2, T-3, T-4 indican los cuatro tanques que pueden formar el proceso, los cuatro transmisores de nivel son representados por LT-1, LT-2, LT-3, LT-4 y como elementos finales de control se tienen las bombas sumergibles P-1 y P-2. El sistema para realizar los estudios debía ser un sistema multivariables de dos entradas y dos salidas, el sistema de tanques Feeback 33-230 se podía configurar de varias formas para obtener sistemas multivariables. Entre las posibles opciones se escogió la mostrada en la figura 2.5, esta se consideró como la más apropiada ya que era la que no requería realizar ninguna variación a la configuración de como estaba interconectado el sistema de Tanques Feeback 33-230. Además, la configuración elegida presentaba mucha similitud con los sistemas multivariables de QuadraTank de los que se tenía

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 8 Figura 2.5: Esquema de la configuración escogida para el estudio del sistema multivariable QuadraTank documentación como el de la figura 2.2. El sistema mostrada en la figura 2.5 se logró manteniendo siempre cerradas las válvulas MV-B, MV-E, MV-G, MV-1, MV-3, se tomaron como las dos entradas las señales de las bombas de agua, y como las dos salidas la señal de los transmisores de nivel de los tanques T-2 y T-4, las válvulas MV-A, MV-C, MV-D, MV-E quedaron como las encargadas de definir la configuración del proceso y las válvulas MV-2 y MV-4 siempre permanecen abiertas. El Quadra Tank de la figura 2.2 utiliza válvulas de tres vías, en el caso del Feedback 33-230 todas las válvulas son de dos vías, por esto el sistema elegido figura 2.5 se debió ajustar en conjunto los pares de válvulas MV-A, MV-C y MV-D, MV-E para lograr la adecuada distribución de los caudales hacia los tanques. 2.3. Modelo matemático del Feedback 33-230 como sistema multivariable Por las ventajas que presenta en ingeniería el tener un modelo matemático de los sistemas con los que se trabaja, los investigadores ya han realizado, mediante la teoría

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 9 de análisis de sistema para el modelado de procesos, el estudio del sistema de tanques cuádruples de la figura 2.2, obteniendo un modelo que representa con exactitud al mismo. Como se realizaron las consideraciones necesarias para que el sistema de la figura 2.4, se comportará como el de la figura 2.2, se obtuvo el modelo de los tanques Feedback mediante las ecuaciones de balance de masas y la ley de Bernuolli, usando como guía a Johansson (1986). Para los tanques se obtuvieron las siguientes ecuaciones: dh 1 dt = a 1 A 1 2gh1 + (1 γ 2)k 2 V 2 A 1 (2.1) dh 2 dt = a 2 A 2 2gh2 + a 1 A 2 2gh1 + γ 1k 1 V 1 A 2 (2.2) dh 3 dt = a 3 A 3 2gh3 + (1 γ 1)k 1 V 1 A 3 (2.3) dh 4 dt = a 4 A 4 2gh4 + a 3 A 2 2gh3 + γ 2k 2 V 2 A 4 (2.4) El sistema representado por (2.1) a (2.4) no es lineal, por lo que este fue linealizado para obtener las ecuaciones de estados y de salidas linealizadas, permitiendo encontrar el modelo en variables de estado en un punto de operación específico. dx dt = 1 T 1 0 0 0 A 1 1 A 2 T 1 T 2 0 0 1 0 0 T 3 0 0 0 A 3 A 4 T 3 1 T 4 x+ (1 γ 0 2 )k 2 A 1 γ 1 K 1 A 2 0 (1 γ 1 )k 1 A 3 0 γ 0 2 K 2 A 4 u (2.5) [ ] 0 kc 0 0 y = x (2.6) 0 0 0 k c donde k c es la ganancia de los transmisores de nivel, x es el vector de estados, u es el vector entradas, y es el vector de salidas y se tiene que las constantes de tiempo están definidas por: T i = A i a i 2h 0 i,i = 1,2,3,4 (2.7) g Luego mediante (2.8) se obtiene la matriz de transferencia del sistema. G(s) = C T (si A) 1 B (2.8)

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 10 G(s) = [ T 2 k 1 k cγ 1 A 2 (T 2 s+1) T 4 k 1 k c(γ 1 1) A 4 (T 3 s+1)(t 4 s+1) T 2 k 2 k c(γ 2 1) A 2 (T 1 s+1)(t 2 s+1) T 4 k 2 k cγ 2 A 4 (T 4 s+1) ] (2.9) El determinante de la matriz de transferencia para obtener los ceros y polos que definen la fase y la estabilidad del sistema es: G(s) = T 2 T 4 k 1 k 2 k 2 c A 1 A 2 ( ) T1 T 3 γ 1 γ 2 s 2 +γ 1 γ 2 (T 1 +T 3 )s+γ 1 +γ 2 1 (T 1 s+1)(t 2 s+1)(t 3 s+1)(t 4 s+1) (2.10) El determinante de la matriz de transferencia muestra que el sistema tiene dos ceros finitos, uno siempre estará en el semiplano izquierdo, el otro puede ubicarse en el semiplano izquierdo o derecho, esta ubicación depende de la suma deγ 1 yγ 2. Teniendose que para la condición (2.11), uno los ceros estará en el semiplano derecho y el otro en el izquierdo, y para la condición dada por (2.12) ambos ceros estarán en el semiplano izquierdo. 0 < γ 1 +γ 2 < 1 (2.11) 1 < γ 1 +γ 2 < 2 (2.12) Con esto se determinó las condiciones necesarias para operar el sistema de tanques en las dos situaciones de interés, con ceros en ambos semiplanos o solo en el semiplano izquierdo. 2.4. Condiciones de fase mínima y no mínima del sistema de tanques Los sistemas son divididos en sistemas de fase mínima o no mínima, dependiendo de la ubicación en el plano complejo de los ceros de la función de transferencia del proceso. Cuando todos los ceros de la función de transferencia están ubicados en el semiplano izquierdo el sistema es de fase mínima. Se establece que para que el sistema de tanques Feedback, opere como un sistema de fase mínima, debe cumplirse (2.12). Esto implica que se estará enviando mayor caudal a los tanques inferiores. Si alguno de los ceros de la función de transferencia del proceso se ubica a la derecha del plano complejo el sistema es de fase no mínima. El QuadraTank presenta fase no mínima

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 11 Figura 2.6: Diagrama de control de un proceso multivariable(2x2) cuando se cumple (2.11). Para este caso la mayor cantidad de flujo se dirige hacia los tanques superiores. Los sistemas de fase no mínima presentan respuesta inversa. En los sistemas multivariable (2x2) que presentan fase no mínima, la respuesta inversa se observar cuando se aplica una señal escalón positivo en una entrada y un escalón negativo a la otra entrada. 2.5. Sistemas multivariables En la industria, la mayoría de procesos presentan varias entradas y salidas, y se conocen como sistemas multivariables. El control de estos procesos tiene la problemática de la interacción que se presenta entre los lazos de control, dado que una variable manipulada, puede afectar a más de una variable controlada, produciendo problemas de estabilidad. Por este motivo una de las principales consideraciones que se hacen al diseñar una estructura de control para procesos multivariables, es determinar la forma de emparejar las variables controladas y manipuladas, para formar los lazos de control, ya que con un adecuado emparejamiento se puede disminuir el efecto de las interacciones. En la figura 2.6 se presenta el diagrama de control de un proceso multivariables (2x2), donde G11, G12, G21, G22 representan a las cuatro funciones de transferencia que definen al proceso, C1, C2 corresponden a los controladores de cada uno de los lazos de control. Este caso mostrado en la figura 2.6 es correspondiente al QuadraTank.

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 12 2.5.1. Método de Bristol para la evaluación de las interacciones Para realizar el emparejamiento correcto entre las variables manipuladas y controladas, se puede utilizar el método de Bristol de ganancias relativas, el cual permite evaluar con facilidad las interacciones en régimen permanente (Ollero y Fernández, 2006). La matriz M de ganancias relativa de Bristol se puede calcular a partir de la matriz K de las ganancias estáticas (s = 0) mediante la expresión: M = K (K 1 ) T (2.13) Esta tiene la propiedad de que la suma de los elementos de cualquier fila o columna es igual a la unidad. Esto en procesos como el QuadraTank, que son sistemas multivaribles de 2x2 presenta la ventaja de que basta calcular uno de los elementos de la matriz de ganancia relativas, para poder conocer todos sus valores. Para el caso de un sistema 2x2 la matriz de indices de interacción esta dada por: M = 1 [ k11 k 22 ] k 12 k 21 k 11 k 22 k 12 k 21 k 12 k 21 k 11 k 22 (2.14) A partir de los valores de los indices de la matriz se realiza la elección de los pares entrada-salida, cuanto más difiera el valor de las ganancias relativas de la unidad, mayor será el grado de interacción entre los lazos de control, mientras que un valor de uno indica que los lazos no presentan interacción entre ellos. Por lo que se eligen las parejas que presenten las ganancias relativas más próximas a la unidad. En el caso en que los valores de las ganancias relativas son 0.6 o 0.4 el sistema presentara un alto grado interacción y el sistema sera difícilmente controlable. Para valor de 0.5 la interacción es máxima entre los lazos. Para el control de estos procesos con alta interacción se deben emplear otras técnicas para reducir las interacciones, como son los desacopladores por ejemplo del desacople simplificado o el inverso. 2.5.2. Desacopladores Los desacopladores son elementos de control empleados con el objetivo de eliminar o reducir al máximo la intensidad de las interacciones, esto mediante funciones de transferencias que se agregan al sistema para que el controlador vea un lazo de control aparentemente independiente. La forma general de desacople de un proceso es tratar que se cumpla que:

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 13 Figura 2.7: Sistema multivarialbe con desacople simplificado (Morilla y otros, 2010) G D = Q (2.15) donde G es la matriz de transferencia del proceso, D la matriz de desacople y Q es la matriz que presenta el sistema desacoplado, el cual usualmente es una matriz diagonal. Para un sistemas multivariable (2x2) se pueden ver las matrices G, D, Q como: [ ] G11 G G = 12,D = G 21 G 22 [ D11 D 12 D 21 D 22 ] [ ] Q11 Q,Q = 0 Q 0 Q 22 (2.16) Dos formas de desacople son el simplificado y el inverso. Desacople simplificado En los sistemas con desacople simplificado, las señales de control son el resultado de la combinación de la señales de los controladores diagonales filtrados por los elementos de la red de desacople. En la figura 2.7 se muestra el esquema de un sistema multivariable (2x2) con desacople simplificado (Morilla y otros, 2010). Despejando (2.15) para D y resolviendo con base a las matrices de (2.16) se tiene: D = 1 [ G22 Q 11 ] G 12 Q 22 G 11 G 22 G 12 G 21 G 21 Q 11 G 11 Q 11 (2.17) Donde se eligen arbitrariamente algunos elementos de la matriz D y después se sintoniza los controladores con la matriz Q resultante. Esto permite hacer la elección de manera que el resultado sean elementos de desacople simples de implementar, pero siempre se debe tener el cuidado de que estos sean realizables. Para el desacople simplificado se eligen dos elementos de D iguales a uno, normalmente los de la diagonal, de no ser

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 14 Figura 2.8: Sistema multivarialbe con desacople inverso 2x2(Morilla y otros, 2010) esto posible se puede variar la configuración. La matriz de desacople simplificado es definida como: D = [ 1 G 12 ] G11 G 21 G 22 1 (2.18) Con esto se logra poder ajustar el sistema como si se tratara de dos sistemas de una entrada y una salida (SISO), y los controladores se sintonizan para el proceso aparente Q resultante. Este desacople presenta la ventaja de presentar que los elementos de la red de desacople suelen ser sencillos, pero la desventaja de que el proceso aparente resultante presente gran complejidad. Desacople inverso Los sistema con desacople inverso, obtienen las señales de control como una combinación de las señales de los controladores donde una es la señal directa de uno de los controladores y la otra es la señal de salida del otro controlador, pero filtrada por los elementos del desacople. En la figura 2.8 se muestra el sistema general una red de desacople inverso (Morilla y otros, 2010). Para el caso general igualmente se busca que la matriz Q sea diagonal y los elementos de la matriz D quedan definidos por: D 11 = Q 1 G 11,D 12 = G 12 Q 1,D 21 = G 21 Q 2,D 22 = Q 2 G 22 (2.19) Para obtener los cuatro elementos de la matriz D sólo es necesario especificar las dos funciones de transferencia Q. Estas se pueden elegir con total libertad siempre y cuando los elementos de la red sean realizables.

CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES 15 Cuadro 2.1: Casos para el desacoplo inverso 2x2 fijando dos elementos a la unidad (Morilla y otros, 2010) Un caso particular del desacople inverso es cuando elementos de la matriz D se fijan iguales a la unidad, en el cuadro 2.1 se muestran los cuatro posibles casos. Las redes de desacople inverso presentan la ventaja, sobre las redes de desacople simplificado, de que las funciones de transferencia son mucho más sencillas, pero tienen la desventaja de presentar problemas de inestabilidad con ceros multivariables de fase no mínima, debido a que en la ecuación de lazo cerrado este cero se va convertir en un polo inestable de algún elemento del sistema. La implementación del desacople inverso en ese caso, solo es posible si el cero de fase no mínima esta relaciona a una única entrada y se encuentra en los dos elementos de la misma fila ya que es ese caso se cancelaría.

Capítulo 3 Simulaciones, diseño y resultados 3.1. Características físicas del equipo de tanques acoplados Para tener conocimiento del comportamiento de los elementos del sistema de tanques acoplados Feedback 33-230, se realizaron pruebas a las bombas y a las válvulas. En el caso de las bombas fue importante conocer el comportamiento del caudal al aumentar o disminuir la señal de tensión aplicada a estas. Primeramente se midió el volumen que podían almacenar los tanques. Se midieron las dimensiones de los tanques obteniendo: Alto de tanque: 27 cm Diámetro tanque: 13.3 cm Alto del tubo de desagüe: 27 cm Diámetro tubo de desagüe: 2 cm Diámetro de la manguera: 0.8 cm Largo manguera: 23 cm A partir de esto se obtuvieron los volúmenes: Tanque: 3751.09 cm 3 Tubo desagüe: 84.82 cm 3 Manguera: 11.56 cm 3 16

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 17 Figura 3.1: Comportamiento de los caudales entregados por las bombas Para lo cual se tiene que el volumen efectivo es la suma del volumen del tanque más el de la manguera, menos el del tubo de desagüe, para esto se obtiene que Volumen efectivo = 3751,09+11,56 84,82 = 3677,83cm 3 (3.1) Para determinar el comportamiento del caudal entregado por las bombas, se abrió completamente la válvula MV-A, y se cerraron completamente las otras tres válvulas. La señal CO1 que controla la bomba 1 se hizo variar entre 0 % y 100 % en pasos de 10 %. Para cada paso se midió el tiempo requerido para llenar el tanque alimentado por la válvula que estaba abierta, luego se calculó el caudal entregado por la bomba a partir del valor de volumen dado por (3.1) y el tiempo medido. Esta prueba se repitió para la válvula MV-C que es la otra alimentaba por la bomba 1 y también se hizo para las dos válvulas MV-D y MV-F alimentadas por la bomba 2, que es controlada por la señal CO2. Los resultados de esta prueba se muestran en la figura 3.1. El efecto que producían las válvulas en sus diferentes posiciones de abertura sobre el caudal que las atravesaba, se determinó mediante una prueba realizada a la válvula MV-A y MV-C, donde se aplicó una señal del 70 % en CO1 y se varió el ángulo de apertura de la válvula MA-C entre 0 y 90 en pasos de 10. Para cada paso se calculó el caudal, esto se repitió para la válvula MC-C, y al ser todas válvulas iguales MV-D y MV-F deben presentar el mismo comportamiento. Los resultados de esta prueba son los de la figura 3.2. Como una tercera prueba, que se llamó "Prueba de determinación de flujos", se midió la distribución del caudal entre las dos válvulas por las que atraviesa el caudal entregado por cada una de las bombas. El caudal de la bomba 1 atraviesa MV-A y MV-C y el de la bomba 2 atraviesa MV-D y MV-F. Para esto se aplicó una entrada CO1 fija a la bomba

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 18 Figura 3.2: Variación del caudal para diferentes posiciones de las válvulas 1, y se colocó MV-C totalmente abierta y MV-A en una posición intermedia. Se medía el tiempo que duraba en llenarse uno de los tanques y el volumen total de agua contenido en los dos tanques. Con esto se calculó el caudal y se determinó que porcentaje de flujo iba en cada dirección. Esta prueba, se realizó para varias posiciones de las válvulas, en el cuadro 3.1 se presentan los resultados de dos casos de esta prueba. Cuadro 3.1: Ejemplos de la prueba de determinación de caudales Caso 1 Entrada CO1 70 % Válvulas Posición Caudal cm 3 /s Distribución Caudal normalizado MVA 60 63.27 γ 1 0.46 MVC 90 72.83 1 γ 1 0.54 Total - 136.10-1 Caso 2 Entrada CO1 70 % Válvulas Posición Caudal cm 3 /s Distribución Caudal normalizado MVA 90 36.31 γ 1 0.26 MVC 60 103.66 1 γ 1 0.74 Total - 139.97-1 Para la determinación de las configuraciones de los procesos modelados, se realizó la prueba de determinación de flujos para calcular los valores deγ 1 yγ 2 en cada caso.

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 19 3.2. Modelado de procesos Para la obtención de los modelos del sistema multivariable, se utilizó el principio de superposición y se siguieron los siguientes pasos: Posicionamiento de las válvulas. Realización de la prueba para determinar la distribución de los flujos. Determinación del punto de operación Aplicación de un escalón positivo en la entrada 1 (CO1) y la obtención de las curvas de reacción en las salidas y 1 y y 2, producidas por ese cambio en la entrada. Regreso al punto de operación. Aplicación de un escalón positivo en la entrada 2 (CO2) y la obtención de las curvas de reacción en las salidas y 1 y y 2, producidas por ese cambio en la entrada. Empleo de métodos de identificación para obtener las cuatro funciones de transferencia, que definen a las cuatro curvas de reacción obtenidas. Las señales de salida y 1 y y 2 corresponden a los niveles H 2 y H 4. 3.3. Proceso de fase no mínima Con base al modelo matemático obtenido, se sabe que si se cumple la condición (2.11), donde el flujo es mayor hacia los tanques superiores, el proceso debía presentar fase no mínima. Para esto se colocó las válvulas es las posiciones: MV-A=50 MV-C=90 MV-D=45 MV-F=90 Al realizar la prueba de determinación de flujos para la configuración establecida se obtuvieron los resultados mostrados en el cuadro 3.2. Por lo que la configuración establecida en el cuadro 3.2 cumple con la condición (2.11) y el sistema debía ser de fase no mínima. Para las condiciones del cuadro 3.2 se tiene que el punto de operación del proceso es: H 1 = 39.6 %

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 20 Cuadro 3.2: Prueba de determinación de flujos para modelo de fase no mínima Entrada CO1 65 % Válvulas Posición Caudal cm 3 /s Distribución Caudal normalizado MVA 50 30.37 γ 1 0.28 MVC 90 81.98 1 γ 1 0.72 Total - 112.56-1 Entrada CO2 65 % Válvulas Posición Caudal cm 3 /s Distribución Caudal normalizado MVD 45 40.65 γ 2 0.30 MVF 90 93.7 1 γ 2 0.70 Total - 134.4-1 H 2 = 67.4 % H 3 = 9 % H 4 = 51.9 % Luego de aplicar por superposición escalones de 5 % en cada entrada y obtener las cuatro curvas de reacción, se empleó el método de identificación 123c (Alfaro, 2006) para encontrar cada una de las cuatro funciones de transferencia que forman el modelo del sistema multivariable. En la figura 3.3 se muestra las salidas reales y las salidas del modelo y en (3.2) el modelo completo identificado. El modelo identificado para el sistema de fase no mínima fue [ G(s) fnm = 0,7507 75,55s+1 3,466 (108s+1)(52,63s+1) 3,777 (116,8s+1)(68s+1) 0,8591 81,01s+1 ] (3.2) En la figura 3.4 se presenta las salidas del proceso multivariable al aplicar en la entrada 1 un escalón positivo de 5 % y en la entrada 2 un escalón negativo de -5 %, y se aprecia que el sistema presentó una pequeña respuesta inversa, al cual es casi imperceptible a la vista, ya que es corresponde aproximadamente a un 1 % del nivel de los tanques, lo que es en realidad 0.25 cm de variación. Luego se comparó esta respuesta con la producida por el modelo identificado, figura 3.5, el cual también presentó respuesta inversa. Con estos resultados obtenidos se determinó que acorde con el modelo matemático, el equipo de tanques acoplados Feedback 33-230, puede ser configurado como un proceso de fase no mínima, cuando el caudal dirigido hacia los tanques superiores es mayor que el dirigido hacia los tanques inferiores.

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 21 (a) Salida 1 debido a la entrada 1 (b) Salida 1 debido a la entrada 2 (c) Salida 2 debido a la entrada 1 (d) Salida 2 debido a la entrada 2 Figura 3.3: Curvas de reacción reales y modeladas del sistema multivariable de fase no mínima 3.3.1. Matriz de ganancias relativas de Bristol Para conocer el grado de interacción del sistema modelado se sustituyó s igual cero en (3.2) para obtener la matriz de ganancias del sistema y luego se empleó (2.14) para calcular la matriz de ganancias relativas de Bristol, con lo se obtuvo la matriz M fnm = [ ] 0,052 1,052 1,052 0,052 (3.3) De (3.3) se observó que el sistema se comportaba prácticamente como dos procesos independientes, por lo que para realizar el control del sistema se determinó que el mejor emparejamiento de entradas y salidas para los lazos de control era: CO1 con H 4 CO2 con H 2

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 22 Figura 3.4: Respuesta inversa del proceso de fase no mínima Figura 3.5: Comparación de la respuesta inversa del proceso y del modelo de fase no mínima

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 23 Estableciendo esta relación entrada-salida, se crean dos lazos de control donde los procesos a controlar son los dados por (3.4) y (3.5). G(s) 12fnm = G(s) 21fnm = 3,777 (116,8s+1)(68s+1) 3,466 (108s+1)(52,63s+1) (3.4) (3.5) A ambos procesos se les sintonizó un controlador de dos grados de libertad, empleando el método de sintonización analítica robusta (ART 2 ) para plantas de segundo orden sin tiempo muerto (Alfaro, 2011). Para esto se obtuvieron los parámetros de sintonización de los controladores PID del cuadro 3.3, donde el controlador 1 corresponde al proceso dado por (3.5) y el controlador 2 al proceso dado por (3.4) Cuadro 3.3: Parámetros de los controladores para emparejamiento por Bristol, fnm Parámetros Controlador 1 Controlador 2 K p 1.2262 1.3522 T i 125.26 s 167.25 s T d 33.5594 s 44.1672 s β 0.5882 0.5694 γ 0 0 Acción inversa inversa En la figura 3.7 se presenta el comportamiento del lazo del Control 1 y en la figura 3.8 el del lazo del Control 2. Estas respuestas fueron obtenidas por medio de simulaciones en Simulink empleando el diagrama de bloques mostrado en la figura 3.6. Para este caso la señal y 1 corresponde a H 4 y y 2 corresponde a H 2. 3.3.2. Desacople simplificado fase no mínima Para realizar el control del sistema multivariable de fase no mínima pero utilizando el emparejamiento de entrada-salida: CO1 con H 2 CO2 con H 4

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 24 Figura 3.6: Diagrama en Simulink del proceso de fase no mínima con emparejamiento por Bristol, fnm Figura 3.7: Control de emparejamiento por método de Bristol G21 sistema fnm

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 25 Figura 3.8: Control de emparejamiento por método de Bristol G12 sistema fnm Este nuevo emparejamiento se utilizó con el objetivo de probar la efectividad del desacople, en la situación extrema, al utilizar los dos lazos de control donde la interacción es mayor entre ellos, lo cual no debería ser problema dado que el desacople es independiente de los grados de integración. Se diseñó un desacople simplificado dado por (3.6), para el modelo multivariable obtenido. D11 = 1,D22 = 1,D12 = G12 G21,D21 = G11 G22 (3.6) Al agregar el desacople simplificado al modelo del sistema multivariable se obtiene el proceso aparente dado por: Q fnm = [ G11 G 22 G 12 G 21 0 G22 G 0 11 G 22 G 12 G 21 G11 ] (3.7) Al sustituir los valores correspondientes de (3.2) en (3.6) se obtiene el desacople simplificado D(s) fnm = [ 4,97(77,55s+1) 1 (68s+1)(116,8s+1) 4,03(81,01s+1) 1 (108s+1)(52,63s+1) ] (3.8) Luego de sustituir (3.2) en (3.7), se obtuvo un proceso aparente dado por unas funciones de transferencia de gran complejidad, por lo que se generan sus curva de reacción, que

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 26 se muestran en la figura 3.9, y a partir de estas se obtiene un modelo de segundo orden más tiempo muerto (SOMTM) utilizando el método de identificacion 123c (Alfaro, 2006). (a) Proceso aparente Q11 fnm (b) Proceso aparente Q22 fnm Figura 3.9: Procesos aparentes del sistema de fase no mínima con desacople simplificado Finalmente se tiene el proceso aparente dado por [ Q(s) fnm = 14,48e 41,2s 0 (118,34s+1)(114,64s+1) 0 16,37e 45,6s (125s+1)(110,5s+1) ] (3.9) Para el proceso (3.9) se sintonizaron dos controladores PID utilizando el método de ART 2 para SOMTM (Alfaro, 2011), los parámetros de los controladores se presentan en el cuadro 3.4 Cuadro 3.4: Parámetros de los controladores utilizando desacople simplificado. fnm Parámetros Controlador 1 Controlador 2 K p 0.2922 0.2137 T i 228.039 s 215.93 s T d 57.008 s 53.953 s β 0.5027 0.5117 γ 0 0 τ c 1 1 M s 1.8 1.8 Acción directa directa En la figura 3.11 se muestran las señales del lazo de control 1 formado por Q11 y el controlador 1, y el lazo 2 formado por Q22 y el controlador 2, respectivamente. Obtenidas a partir del diagrama de bloques de la figura 3.10 simulado en Simulink.

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 27 Figura 3.10: Diagrama en Simulink del proceso de fase no mínima con desacople simplificado, fnm Figura 3.11: Control para modelo multivariable más desacoplador simplificado, fnm

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 28 3.4. Proceso de fase mínima Para el modelo de fase mínima con base al modelo matemático se requiere que la mayor cantidad de caudal vaya a los tanques inferiores. Con este fin se colocaron las válvulas en las posiciones: MV-A=70 MV-C=90 MV-D=70 MV-F=90 Luego, realizando la prueba de determinación de flujos se obtienen la distribución de flujos presentados en el cuadro 3.5 Cuadro 3.5: Prueba de determinación de flujos para modelo de fase mínima Entrada CO1 60 % Válvulas Posición Caudal cm 3 /s Distribución Caudal normalizado MVA 70 67.1 γ 1 0.59 MVC 90 46.8 1 γ 1 0.41 Total - 113.9-1 Entrada CO2 55 % Válvulas Posición Caudal cm 3 /s Distribución Caudal normalizado MVD 75 67.1 γ 2 0.63 MVF 90 45 1 γ 2 0.37 Total - 122.1-1 El punto de operación para las condiciones dadas en el cuadro 3.2 fue: H1= 4 % H2= 49 % H3= 4 % H4= 59 % Luego, para determinar la matriz de transferencia que define el modelo de fase mínima, se realizó el mismo proceso mediante superposición explicado anteriormente para el caso de fase no mínima. Obteniendo las curvas mostradas en la figura 3.12 y el modelo completo para fase mínima está dado por (3.10). Los niveles tan bajos presentados en los tanques superiores, presentan la problemática de que se pueden formar remolinos que van a producir ruido en las señales de salidas

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 29 del sistema. Sin embargo, después de algunas pruebas, se determinó que por las características del proceso, estos niveles no se pueden aumentar sin producir que los tanques inferiores lleguen a desbordarse. (a) Salida 1 debido a la entrada 1 (b) Salida 1 debido a la entrada 2 (c) Salida 2 debido a la entrada 1 (d) Salida 2 debido a la entrada 2 Figura 3.12: Curvas de reacción reales y modeladas del sistema multivariable de fase mínima El modelo identificado para el sistema de fase mínima fue: G(s) fm = [ 1,448 66,7s+1 2,955 83,55s+1 3,39 70,89s+1 1,685 61,9s+1 ] (3.10) Con estos resultados obtenidos se determinó que acorde con el modelo matemático, el equipo de tanques acoplados Feedback 33-230, puede ser configurado como un proceso de fase mínima, cuando el caudal dirigido hacia los tanques superiores es menor que el dirigido hacia los tanques inferiores.

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 30 3.4.1. Matriz de ganancias relativas de Bristol Para determinar el grado de interacción entre entradas y salidas, se calculó la matriz de ganancias relativas de Bristol obteniendo como resultado: M fm = [ ] 0,32 1,32 1,32 0,32 (3.11) Dada la ecuación (3.11) se determinó que el mejor emparejamiento de entradas y salidas es: CO1 con H 4 CO2 con H 2 que es igual al caso de fase no mínima, aunque en este caso el proceso presenta un mayor grado de interacción, por lo que no se puede considerar como procesos completamente independientes. Utilizando las relaciones entrada-salida establecidas, se sintonizaron dos controladores PI para los procesos: G(s) 12fm = 3,39 70,89s+1 G(s) 21fm = 2,955 83,55s+1 (3.12) (3.13) Para el control de estos procesos se sintonizaron controladores PI empleando el método de sintonización analítica robusta (ART 2 ) para plantas de primer orden sin tiempo muerto (Alfaro, 2011). En el cuadro 3.6 se muestran los parámetros de los controladores sintonizados, el controlador 1 corresponde al proceso (3.13) y el controlador 2 a (3.12) Cuadro 3.6: Parámetros de los controladores para emparejamiento por Bristol, fm Parámetros Controlador 1 Controlador 2 K p 0.3384 0.295 T i 83.55 s 70.89 s τ c 1 1 Acción inversa inversa En la figura 3.14 se presenta el comportamiento del lazo del Control 1 y en la figura 3.15 el del lazo del Control 2. Respuestas obtenidas por medio de simulaciones en Simulink

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 31 Figura 3.13: Diagrama en Simulink del proceso de fase mínima con emparejamiento por Bristol, fm empleando el diagrama de bloques mostrado en la figura 3.13. Para estos casos la señal y 1 corresponde a H 4 y y 2 corresponde a H 2. 3.4.2. Desacople inverso sistema de fase mínima Con el fin de eliminar las integraciones entre los lazos de control, y poder establecer un emparejamiento entrada-salida de la forma: CO1 con H 2 CO2 con H 4 Se diseñó un desacople inverso, para esto se utilizó la primera opción del cuadro 2.1, al sustituir las funciones de (3.10) en las ecuaciones indicadas en el cuadro 2.1 se tiene el desacople inverso definido por: D(s) fm,inv = [ 2,34(66,7s+1) 1 70,89s+1 1,756(83,55s+1) 1 61,19s+1 ] (3.14) Al agregar el desacople inverso al proceso multivariable, el proceso a controlar quedó definido por: Q(s) fm,inv = [ 1,448 0 66,7s+1 1,685 0 61,19s+1 ] (3.15)

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 32 Figura 3.14: Control de emparejamiento por método de Bristol G21 sistema fm Figura 3.15: Control de emparejamiento por método de Bristol G12 sistema fm

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 33 Figura 3.16: Diagrama en Simulink del proceso de fase mínima con desacople inverso, fm A este proceso se le sintonizaron controladores PI mediante el método de sintonización analítica robusta (ART 2 ), para plantas de primer orden sin tiempo muerto (Alfaro, 2011). En el cuadro 3.7 se muestran los parámetros de los controladores, donde controlador 1 corresponde al proceso (3.16) y el controlador 2 a (3.17) G(s) 11fm = 1,448 66,7s+1 G(s) 22fm = 1,685 61,19s+1 (3.16) (3.17) Cuadro 3.7: Parámetros de los controladores, con desacople inverso. fm Parámetros Controlador 1 Controlador 2 K p 0.6906 0.5935 T i 66.7 s 61.19 s τ c 1 1 Acción inversa inversa En la figura 3.17 se muestra la respuesta del modelo del sistema multivariable de fase mínima, con desacople inverso y la acción de los controladores, obtenida mediante simulaciones realizadas en Simulink empleando el diagrama de la figura 3.16.

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 34 Figura 3.17: Control de sistema con desacople inverso.fm 3.4.3. Desacople simplificado para el sistema de fase mínima El desacople simplificado presentó otra opción para eliminar la interacción entre los lazos de control del sistema multivariable, y lograr la relación entrada-salida: CO1 con H 2 CO2 con H 4 El desacople simplificado está definido por (2.18). Al sustituir en esta ecuación los valores correspondientes de (3.10), se obtiene el desacople simplificado dado por: D(s) fm,sim = [ 2,34(66,7s+1) 1 70,89s+1 1,756(83,55s+1) 1 61,19s+1 ] (3.18) Al sustituir las funciones de transferencia de la matriz (3.10), que corresponde al modelo del proceso de fase mínima, en (3.7), que es la que define al proceso aparente, se obtiene el modelo aparente, el cual se modelo a partir de curva de reacción como un proceso de primer orden sin tiempo muerto. En la figura 3.18 se presentan las curvas de reacción del proceso aparente que se obtiene al unir el desacople y la planta, y de su modelo de primer orden. Finalmente se tiene el proceso aparente dado por: Q(s) fm = [ 4,497 0 101s+1 5,233 0 96,48s+1 ] (3.19)

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 35 (a) Proceso aparente Q11 fm (b) Proceso aparente Q22 fm Figura 3.18: Procesos aparentes del sistema de fase mínima con desacople simplificado Luego se utilizó nuevamente el método ART 2 para sistemas de primer orden sin tiempo muerto, para sintonizar dos controladores PI al proceso. En el cuadro 3.8 se encuentran los valores de los parámetros de sintonización de cada controlador. El controlador 1 corresponde al proceso Q 11 y el controlador 2 a Q 22 Cuadro 3.8: Parámetros de los controladores, con desacople simplificado. fm Parámetros Controlador 1 Controlador 2 K p 0.2224 0.1911 T i 101 s 96.48 s τ c 1 1 Acción directa directa En la figura 3.20 se muestra la respuesta del modelo del sistema multivariable de fase mínima, con desacople simplificado y la acción de los controladores, obtenidos a partir del diagrama de la figura 3.19 mediante simulaciones en Simulink. 3.5. Herramientas implementadas en LabVIEW Por los resultados obtenidos y a partir de las simulaciones realizadas en MATLAB, se concluyo que para realizar el control de los procesos que se obtienen al utilizar el equipo Feedback 33-320, como sistema multivariable 2x2, se requería incorporar tres herramientas al programa realizado en LabVIEW, que se utiliza para el control del sistema de tanques. En la figura 3.21, se muestra la interfaz gráfica del programa existente. En este todas las variables de muestran en porcentajes de 0 % a 100 %. Al lado izquierdo de la pantalla

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 36 Figura 3.19: Diagrama en Simulink del proceso de fase mínima con desacople simplificado, fm Figura 3.20: Control de sistema con desacople simplificado.fm

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 37 Figura 3.21: Interfaz gráfica del programa de control existente se muestra un diagrama esquemático del sistema de tanques donde se presenta gráfica y numéricamente el nivel de cada tanque, y por indicadores numéricos se muestra también el porcentaje de la señal de control aplicado a cada bomba. El sistema de control esta formado por dos controladores PID. El controlador 1 controla el nivel liquido del tanque T-1 o T-2 y el controlador 2 controla el nivel del liquido del tanque T-3 o T-4. En el centro de la pantalla se muestran las barras indicadoras y el despliegue de las variables de los controladores, donde: SP: Valor deseado (azul). PV: Variable controlada (verde). CO: Salida controlada (roja). También cada controlador tiene un selector de operación Automático/Manual, y espacios para los parámetros: ganancia proporcional (K p ), constante de tiempo integral (T i ), constante de tiempo derivativa(t d ), el factor de peso del valor deseado modo proporcional(β), el factor de peso del valor deseado modo derivativo(γ). La acción del controlador es solo inversa. El programa permite al exportación de datos a archivos de texto. Las herramientas incorporadas consisten en una red de desacople, la posibilidad de tener dos opciones para los emparejamientos de realimentación de los lazos de control e incorporar al controlador existente la capacidad de aplicar acción directa.

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 38 3.5.1. Herramienta de inversión de los lazos de realimentación La finalidad de esta incorporación es la de permitir variar la realimentación de los lazos de control, es decir que sea posible realizar emparejamiento de control de la bomba 1 con el nivel del tanque 2 o con el tanque 4, así mismo la bomba 2 con el nivel del tanque 2 o tanque 4. Esto se logró con la incorporación de una acción booleana al programa, la cual, en caso de ser verdadera, intercambia las señales de realimentación, es decir la bomba 1 queda en un lazo de realimentación con la salida 2, que es nivel del tanque 4, y la bomba 2 queda en lazo con la salida 1. Y en caso de ser falsa los lazos quedan bomba 1 con salida 1 y bomba 2 con salida 2. El control de este emparejamiento se realiza mediante un botón en el tablero de control, que si su luz indicadora esta encendida, la acción es verdadera y apagado es falsa. 3.5.2. Red de desacople Para la construcción de la red de desacople, como estas están formadas por funciones de transferencia, lo primero fue la programación de un bloque que funcionara como una función de transferencia. Como el proceso es un sistema multivariable de 2x2, la función de transferencia más grande que se puede obtener es una de dos ceros y dos polos. LabVIEW tiene un bloque integrador, por lo que es posible implementar las funciones de transferencia a partir de su representación en diagramas de bloques con integradores. La ecuación (3.20), muestra la función de transferencia genérica de la cual se obtiene el diagrama de bloques de la figura 3.22, el cual es una representación hecha en simulink, para representar el diagrama de LabVIEW, que se utilizó como base para formar todas los demás diagramas de bloques de las posibles de funciones de transferencia que tenga menos de dos ceros y dos polos. D = as2 +bs+c ds 2 +es+f (3.20) Una vez construido en LabVIEW el diagrama de bloques de la figura 3.22, se requirió estudiar los diagramas de bloques de las aproximadamente 15 formas de funciones de transferencia posibles que sean realizables, que tengan menos de dos ceros y dos polos, esto para determinar como se formaban estos diagramas a partir del diagrama de la figura 3.22. Una vez que se lograron establecer las variantes necesarias para cada caso, estas se programaron por medio de funciones lógicas que se encargan de controlar el flujo de datos, y de activar los bloques para formar el diagrama de la función de transferencia introducida por el usuario, a partir del conocimiento de las constantes

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 39 Figura 3.22: Diagrama de bloques de una función de transferencia con dos ceros y dos polos a,b,c,d,e,f. Luego, también se le incorporaron otras funciones lógicas encargadas de evitar la introducción de funciones impropias o con divisiones por cero. De introducir alguno de estos casos se muestra un mensaje de error en pantalla. Finalmente se agrego también la posibilidad de tener funciones de transferencia con tiempos muertos, esto mediante un bloque de LabVIEW que permite producir este retraso, reteniendo el numero de muestras que se le indique. Para corroborar el funcionamiento correcto del bloque de función de transferencia programado, se compararon los resultados obtenidos en simulaciones en LabVIEW con los resultados de esas mismas funciones, pero simuladas en MATLAB. Dos ejemplos de los resultados obtenidos se muestran en las figuras 3.23 y 3.24. Donde se puede apreciar que el funcionamiento del bloque de función de transferencia es correcto, ya que presenta el comportamiento esperado. La función de transferencia del ejemplo 1 es (3.21) y del ejemplo 2 es (3.22). D j1 = (10s+1)e 3s 20s+1 D j2 = 181,4s+2,51 84,9s+1,64 (3.21) (3.22) Luego, se armó utilizando los bloques de funciones de transferencia programados, la configuración de la red de desacople simplificado, una vez obtenido el programa del desacople simplificado. Este se probó, comparando su respuesta con la del mismo sistema pero simulado en MATLAB. El desacople de prueba, fue el desacople dado por (3.23), los resultado de la prueba se muestra en la figura 3.25. D(s) = [ 110,6s 1,53 1 51,1s+1 109s 2,3 1 62,2s+1 ] (3.23)

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 40 Figura 3.23: Prueba de función de transferencia ejemplo 1 Figura 3.24: Prueba de función de transferencia ejemplo 2

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 41 Figura 3.25: Ejemplo de resultado de prueba de desacople simplificado Luego, se programó un bloque que pudiera simular un proceso multivariable 2x2, y se le conectó el bloque de desacople para realizar una prueba final, que permitiera corroborar el funcionamiento correcto del desacople simplificado programado, y también tener un programa que permitiera hacer pruebas simuladas en tiempo real de ser requeridas. El proceso que se utilizó para la prueba se define en (3.24), y el desacople fue el mismo dado por (3.23), en la figura 3.26 se muestra el resultado obtenido. D(s) = [ 1,64 72,79s+1 3,24 62,2s+1 2,51 51,77s+1 1,41 47,56s+1 ] (3.24) También se programó un bloque para realizar una red de desacople inverso, utilizando la misma metodología empleada para el desarrollo del desacople simplificado. Pero la implementación de este bloque no fue posible, ya que a pesar de los diversos intentos y cambios de método para su programación el bloque siempre llegaba a un punto donde su salida se inestabilizaba, por lo que se decidió desistir de su implementación en el proceso real y se desarrollo de una forma meramente teórica por medio de simulaciones en MATLAB. La causa del problema con la implementación del desacople inverso, se considero como un error de programación, que producía un flujo de datos defectuoso, pero no fue posible determinar la ubicación del error para poder corregirlo. 3.5.3. Acción directa Esto se logró incorporar a los controladores, la posibilidad de realizar acción directa mediante un bloque a la salida de cada controlador, que multiplica la señal por -1 y le

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 42 Figura 3.26: Ejemplo de resultado de prueba de desacople simplificado y proceso suma 100, esto si la acción requerida es directa, si se necesitaba acción inversa el bloque simplemente dejaba pasar la señal sin hacer ninguna modificación. La selección de cuál acción realiza el controlador se realiza mediante dos botones en el tablero frontal, uno para cada controlador. Su funcionamiento es sencillo se realiza una acción directa si el botón está encendido y una acción inversa si esta apagado. 3.5.4. Interfaz gráfica Finalmente luego de incorporar estas características, al programa de control del sistema de tanques, se obtuvo una herramienta que permite realizar el control de procesos multivariables 2x2. La interfaz del programa se muestra en la figura 3.27. En la figura 3.28 se muestra el detalle de la parte que fue la incorporada al programa. A continuación se presenta la explicación del funcionamiento de cada parte de esta interfaz. 1. Activar desacople: este botón realiza la acción de incorporar o retirar la red de desacople, cada vez que se presiona. Cuando el LED indicador que se encuentra a la derecha del botón esta encendido, indica que la red de desacople esta activada, si se presiona el botón en ese momento se cambia su estado y el LED indicador se apaga para indicar que la red de desacople fue retirada del proceso. 2. Selector de función de transferencia: la interfaz solo muestra en pantalla una de las cuatro funciones de la red de desacople a la vez, por lo que este selector permite elegir cual de las cuatro funciones D11, D12, D21, D22, es la que se muestra. Para introducir los valores de las constantes de las funciones de

CAPÍTULO 3. SIMULACIONES, DISEÑO Y RESULTADOS 43 Figura 3.27: Interfaz gráfica del programa de control de los equipo Feedback 33-230 Figura 3.28: Interfaz gráfica de las herramientas incorporadas